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3.6.6E: Zeros complexos (exercícios)


seção 3.6 exercício

Simplifique cada expressão em um único número complexo.

1. ( sqrt {-9} )

2. ( sqrt {-16} )

3. ( sqrt {-6} sqrt {-24} )

4. ( sqrt {-3} sqrt {-75} )

5. ( dfrac {2+ sqrt {-12}} {2} )

6. ( dfrac {4+ sqrt {-20}} {2} )

Simplifique cada expressão em um único número complexo.

7. ( left (3 + 2i right) + (5-3i) )

8. ( esquerda (-2-4i direita) + esquerda (1 + 6i direita) )

9. ( esquerda (-5 + 3i direita) - (6-i) )

10. ( left (2-3i right) - (3 + 2i) )

11. ( esquerda (2 + 3i direita) (4i) )

12. ( left (5-2i right) (3i) )

13. ( esquerda (6-2i direita) (5) )

14. ( esquerda (-2 + 4i direita) esquerda (8 direita) )

15. ( esquerda (2 + 3i direita) (4-i) )

16. ( left (-1 + 2i right) (- 2 + 3i) )

17. ( left (4-2i right) (4 + 2i) )

18. ( esquerda (3 + 4i direita) esquerda (3-4i direita) )

19. ( dfrac {3 + 4i} {2} )

20. ( dfrac {6-2i} {3} )

21. ( dfrac {-5 + 3i} {2i} )

22. ( dfrac {6 + 4i} {i} )

23. ( dfrac {2-3i} {4 + 3i} )

24. ( dfrac {3 + 4i} {2-i} )

Encontre todos os zeros do polinômio e, em seguida, fatorá-lo completamente sobre os números reais e fatorá-lo completamente sobre os números complexos.

25. (f (x) = x ^ {2} -4x + 13 )

26. (f (x) = x ^ {2} -2x + 5 )

27. (f (x) = 3x ^ {2} + 2x + 10 )

28. (f (x) = x ^ {3} -2x ^ {2} + 9x-18 )

29. (f (x) = x ^ {3} + 6x ^ {2} + 6x + 5 )

30. (f (x) = 3x ^ {3} -13x ^ {2} + 43x-13 )

31. (f (x) = x ^ {3} + 3x ^ {2} + 4x + 12 )

32. (f (x) = 4x ^ {3} -6x ^ {2} -8x + 15 )

33. (f (x) = x ^ {3} + 7x ^ {2} + 9x-2 )

34. (f (x) = 9x ^ {3} + 2x + 1 )

35. (f (x) = 4x ^ {4} -4x ^ {3} + 13x ^ {2} -12x + 3 )

36. (f (x) = 2x ^ {4} -7x ^ {3} + 14x ^ {2} -15x + 6 )

37. (f (x) = x ^ {4} + x ^ {3} + 7x ^ {2} + 9x-18 )

38. (f (x) = 6x ^ {4} + 17x ^ {3} -55x ^ {2} + 16x + 12 )

39. (f (x) = - 3x ^ {4} -8x ^ {3} -12x ^ {2} -12x-5 )

40. (f (x) = 8x ^ {4} + 50x ^ {3} + 43x ^ {2} + 2x-4 )

41. (f (x) = x ^ {4} + 9x ^ {2} +20 )

42. (f (x) = x ^ {4} + 5x ^ {2} -24 )

Responder

1. 3 (i )

3. -12

5. (1 + sqrt {3} i )

7. (8 - i )

9. (- 11 + 4i )

11. (- 12 + 8i )

13. (30 - 10i )

15. (11 + 10i )

17. 20

19. ( dfrac {3} {2} + 2i )

21. ( dfrac {3} {2} + dfrac {5} {2} i )

23. (- dfrac {1} {25} - dfrac {18} {25} i )

25. (f (x) = x ^ 2 - 4x + 13 = (x - (2 + 3i)) (x - (2 - 3i)) ). Zeros: (x = 2 pm 3i )

27. (f (x) = 3x ^ 2 + 2x + 10 = 3 (x - (- dfrac {1} {3} + dfrac { sqrt {29}} {3} i)) (x - (- dfrac {1} {3} - dfrac { sqrt {29}} {3} i)) ). Zeros: (x = - dfrac {1} {3} pm dfrac { sqrt {29}} {3} i )

29. (f (x) = x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 5 = (x + 5) (x ^ 2 + x + 1) = (x + 5) (x - (- dfrac {1 } {2} + dfrac { sqrt {3}} {2} i)) (x - (- dfrac {1} {2} - dfrac { sqrt {3}} {2} i)) ) Zeros: (x = -5 ), (x = - dfrac {1} {2} pm dfrac { sqrt {3}} {2} i )

31. (f (x) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 4x + 12 = (x + 3) (x ^ 2 + 4) = (x + 3) (x + 2i) (x - 2i) ) Zeros: (x = -3, pm 2i )

33. (f (x) = x ^ 3 + 7x ^ 2 + 9x - 2 = (x + 2) (x - (- dfrac {5} {2} + dfrac { sqrt {29}} { 2})) (x - (- dfrac {5} {2} - dfrac { sqrt {29}} {2})) ) Zeros: (x = -2 ), (x = - dfrac {5} {2} pm dfrac { sqrt {29}} {2} )

35. (f (x) = 4x ^ 4 - 4x ^ 3 + 13x ^ 2 - 12x + 3 = (x - dfrac {1} {2}) ^ 2 (4x ^ 2 + 12) = 4 (x - dfrac {1} {2}) ^ 2 (x + i sqrt {3}) (x - i sqrt {3}) ) Zeros: (x = dfrac {1} {2}, x = pm sqrt {3} i )

37. (f (x) = x ^ 4 + x ^ 3 + 7x ^ 2 + 9x - 18 = (x + 2) (x - 1) (x ^ 2 + 9) = (x + 2) (x - 1) (x + 3i) (x - 3i) ) Zeros: (x = -2, 1, pm 3i )

39. (f (x) = -3x ^ 4 - 8x ^ 3 - 12x ^ 2 - 12x - 5 = (x + 1) ^ 2 (-3x ^ 2 - 2x - 5) = -3 (x + 1 ) ^ 2 (x - (- dfrac {1} {3} + dfrac { sqrt {14}} {3} i)) (x - (- dfrac {1} {3} - dfrac { sqrt {14}} {3} i)) ) Zeors: (x = -1 ), (x = - dfrac {1} {3} pm dfrac { sqrt {14}} {3 } eu)

41. (f (x) = x ^ 4 + 9x ^ 2 + 20 = (x ^ 2 + 4) (x ^ 2 + 5) = (x - 2i) (x + 2i) (x - i sqrt {5}) (x + i sqrt {5}) ) Zeros: (x = pm 2i, pm i sqrt {5} )


Álgebra da faculdade, 6ª edição

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Encontrando os Zeros de uma Função Polinomial Nos Exercícios 47-52, use o zero dado para encontrar todos os zeros da função. Função Zero 47. fu) = x + 3x² - 24x + 28 48. f (x) = x + 3x² - 5x + 25 49. h (x) = -x + 2x - 16x + 32 50. f (x) = 5x - 4 + 20x - 16 51. g (x) = 2r + - 3r - 13x + 37x - 15 52. f (x) = x * + 5x + 2x - 50x - 84 2 -5% 3D 21 2 + i - 3 + 3i

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Transcrição de imagemperto

Encontrando os Zeros de uma Função Polinomial Nos Exercícios 47-52, use o zero dado para encontrar todos os zeros da função. Função Zero 47. fu) = x + 3x² - 24x + 28 48. f (x) = x + 3x² - 5x + 25 49. h (x) = -x + 2x - 16x + 32 50. f (x) = 5x - 4 + 20x - 16 51. g (x) = 2r + - 3r - 13x + 37x - 15 52. f (x) = x * + 5x + 2x - 50x - 84 2 -5% 3D 21 2 + i - 3 + 3i


3.6.6E: Zeros complexos (exercícios)

VISUALIZANDO CONCEITOS

23.1 Este gráfico mostra a variação em uma propriedade importante dos metais de K a Ge. A propriedade é raio atômico, eletronegatividade ou primeira energia de ionização? Explique sua escolha. [Seção 23.1]

23.2 (uma) Desenhe a estrutura para Pt (en) Cl2. (b) Qual é o número de coordenação para platina neste complexo e qual é a geometria de coordenação? (c) Qual é o estado de oxidação da platina? [Seção 23.2]

23.3 Desenhe a estrutura de Lewis para o ligante mostrado na próxima coluna. (a) Quais átomos podem servir como átomos doadores? Classifique este ligante como monodentado, bidentado ou tridentado. (b) Quantos desses ligantes são necessários para preencher a esfera de coordenação em um complexo octaédrico? [Seção 23.2]

23.4 O íon complexo mostrado aqui tem uma carga 1. Nomeie o íon complexo. [Seção 23.4]

23.5 Existem dois isômeros geométricos de complexos octaédricos do tipo MA3X3, onde M é um metal e A e X são ligantes monodentados. Dos complexos mostrados aqui, quais são idênticos a (1) e quais são os isômeros geométricos de (1)? [Seção 23.4]

23.6 Quais dos complexos mostrados aqui são quirais? Explique. [Seção 23.4]

23.7 Cada uma das soluções mostradas aqui tem um espectro de absorção com um único pico de absorção, como mostrado na Figura 23.26. Qual a cor que cada solução absorve mais fortemente? [Seção 23.5]

23.8 Qual desses diagramas de divisão de campo de cristal representa: (uma) um complexo octaédrico de campo fraco de Fe 3+, (b) um complexo octaédrico de campo forte de Fe 3+, (c) um complexo tetraédrico de Fe 3+, (d) um complexo tetraédrico de Ni 2+? (Os diagramas não indicam as magnitudes relativas de & Delta.) [Seção 23.6]

23.9 No campo de cristal linear mostrado aqui, as cargas negativas estão no z-eixo. Usando a Figura 23.28 como um guia, preveja quais d orbital tem lóbulos mais próximos das cargas. Quais dois têm lóbulos mais distantes das cargas? Preveja a divisão do campo de cristal do d orbitais em complexos lineares. [Seção 23.6]

23.10 Dois complexos de Fe (II) são ambos de baixo spin, mas possuem ligandos diferentes. A solução de um é verde e a solução do outro é vermelha. Qual solução provavelmente contém o complexo que possui o ligante de campo mais forte? [Seção 23.6]

OS METAIS DE TRANSIÇÃO (seção 23.1)

23.11 Explique a contração dos lantanídeos e descreva como ela afeta as propriedades dos elementos de metal de transição.

23.12 Esboce um gráfico de raio atômico versus número de valência d elétrons para os metais de transição do período 5, e explicar a tendência.

23.13 O estado de oxidação +2 é comum para quase todos os metais de transição. Sugira uma explicação.

23.14 Não são conhecidos compostos nos quais o escândio esteja no estado de oxidação +2. Sugira uma explicação.

23.15 Escreva as configurações de elétrons do estado fundamental de (uma) Ti 3+, (b) Ru 2+, (c) Au 3+, (d) Mn 4+.

23.16 Quantos elétrons estão na valência d orbitais nesses íons de metal de transição? (uma) Co 3+, (b) Cu +, (c) Cd 2+, (d) Os 3+.

23.17 Explique a diferença entre uma substância diamagnética e uma substância paramagnética.

23.18 Faça a distinção entre uma substância ferromagnética, uma substância antiferromagnética e uma substância ferrimagnética.

23.19 Que tipo de magnetismo é exibido por este diagrama:

23.20 Os óxidos de ferro mais importantes são magnetita, Fe3O4, e hematita, Fe2O3. (uma) Quais são os estados de oxidação do ferro nesses compostos? (b) Um desses óxidos de ferro é ferrimagnético e o outro é antiferromagnético. Qual óxido de ferro provavelmente mostrará qual tipo de magnetismo? Explique.

COMPLEXOS DE TRANSIÇÃO METÁLICA (seção 23.2)

23.21 (uma) Qual é a diferença entre os conceitos de Werner de valência primária e valência secundária? Que termos usamos agora para esses conceitos? (b) Por que o NH3 molécula serve como um ligante, mas o BH3 molécula não pode?

23,22 (a) Qual é o significado do termo número de coordenação como se aplica a complexos metálicos? (b) Dê um exemplo de um ligante que é neutro e outro que está carregado negativamente. (c) Você esperaria que ligantes com carga positiva fossem comuns? Explique. (d) Que tipo de ligação química é característica dos compostos de coordenação? Ilustre com o composto Co (NH3)6Cl3. (e) Quais são os números de coordenação mais comuns para complexos de metal?

23.23 Um complexo é escrito como NiBr2 • 6 NH3. (uma) Qual é o estado de oxidação do átomo de Ni neste complexo? (b) Qual é o número de coordenação provável para o complexo? (c) Se o complexo for tratado com excesso de AgNO3(aq), quantos moles de AgBr precipitarão por mol de complexo?

23.24 Um certo complexo de metal M é formulado como MCl3 • 3 H2O. O número de coordenação do complexo não é conhecido, mas espera-se que seja 4 ou 6. (uma) As medições de condutividade forneceriam informações sobre o número de coordenação? (b) Ao usar medições de condutividade para testar quais ligantes estão ligados ao íon metálico, que suposição é feita sobre a taxa na qual os ligantes entram ou saem da esfera de coordenação do metal? (c) Suponha que você determine experimentalmente que este complexo existe em solução aquosa como uma única espécie. Sugira um número de coordenação provável e o número e tipo de cada ligante.

23.25 Indique o número de coordenação do metal e o número de oxidação do metal, bem como o número e tipo de cada átomo doador dos ligantes para cada um dos seguintes complexos:

23.26 Indique o número de coordenação do metal e o número de oxidação do metal, bem como o número e tipo de cada átomo doador dos ligantes para cada um dos seguintes complexos:

(f) [Cu (bipy)2Eu] eu

LIGANDOS COMUNS NA QUÍMICA DE COORDENAÇÃO (seção 23.3)

23.27 (uma) Qual é a diferença entre um ligante monodentado e um ligante bidentado? (b) Quantos ligantes bidentados são necessários para preencher a esfera de coordenação de um complexo de seis coordenadas? (c) Disseram a você que uma determinada molécula pode servir como um ligante tridentado. Com base nessa afirmação, o que você sabe sobre a molécula?

23.28 Para cada um dos seguintes ligantes polidentados, determine (i) o número máximo de locais de coordenação que o ligante pode ocupar em um único íon metálico e (ii) o número e tipo de átomos doadores no ligante: (uma) etilenodiamina (en), (b) bipiridina (bipy), (c) o ânion oxalato (C2O4 2– ), (d) o íon 2 da molécula porfina (Figura 23.13) (e) [EDTA] 4–.

23.29 Os ligantes polidentados podem variar no número de posições de coordenação que ocupam. Em cada um dos seguintes, identifique o ligante polidentado presente e indique o número provável de posições de coordenação que ele ocupa:

23.30 Indique o número provável de coordenação do metal em cada um dos seguintes complexos:

(d) N / D2[Co (EDTA) Br]

23.31 (uma) O que significa o termo efeito quelato? (b) Qual fator termo-dinâmico geralmente é responsável pelo efeito quelato? (c) Por que os ligantes polidentados são freqüentemente chamados agentes sequestrantes?

23.32 Piridina (C5H5N), abreviado py, é a molécula

(uma) Por que a piridina é referida como um ligante monodentado? (b) Para a reação de equilíbrio

o que você preveria para a magnitude da constante de equilíbrio? Explique sua resposta.

23.33 O ligante a seguir é quelante? Explique.

23.34 Qual é a geometria do centro de metal neste complexo? Você esperaria que este complexo tivesse contra-íons? Explique.

NOMENCLATURA E ISOMERISMO NA QUÍMICA DE COORDENAÇÃO (seção 23.4)

23.35 Escreva a fórmula para cada um dos seguintes compostos, certificando-se de usar colchetes para indicar a esfera de coordenação:

(uma) nitrato de hexaamminecromio (III)

(b) sulfato de tetraamminocarbonatocobalt (III)

(c) brometo de diclorobis (etilenodiamina) platina (IV)

(d) diaquatetrabromovanadato de potássio (III)

(e) bis (etilenodiamina) zinco (II) tetraiodomercurato (II)

23.36 Escreva a fórmula para cada um dos seguintes compostos, certificando-se de usar colchetes para indicar a esfera de coordenação:

(uma) perclorato de tetraaquadibromomanganês (III)

(b) cloreto de bis (bipiridil) cádmio (II)

(c) potássio tetrabromo (orto-fenantrolina) -cobaltato (III)

(d) diamminetetracianocromato de césio (III)

(e) tris (etilenodiammina) ródio (III) tris (oxalato) -cobaltato (III)

23.37 Escreva os nomes dos seguintes compostos, usando as regras de nomenclatura padrão para complexos de coordenação:

23.38 Escreva nomes para os seguintes compostos de coordenação:

23.39 Ao escrever fórmulas ou desenhar estruturas relacionadas a qualquer um desses três complexos,

ilustrar (uma) isomeria geométrica, (b) isomeria de ligação, (c) isomeria óptica, (d) isomeria de esfera de coordenação.

23,40 (a) Desenhe os dois isômeros de ligação de [Co (NH3)5SCN] 2+.

(b) Desenhe os dois isômeros geométricos de [Co (NH3)3Cl3] 2+ .

(c) Dois compostos com a fórmula Co (NH3)5ClBr pode ser preparado. Use fórmulas estruturais para mostrar como eles diferem. Que tipo de isomeria isso ilustra?

23.41 Um complexo MA de quatro coordenadas2B2 é preparado e tem dois isômeros diferentes. É possível determinar a partir dessas informações se o complexo é quadrado plano ou tetraédrico? Se sim, qual é?

23.42 Considere um complexo octaédrico MA3B3. Quantos isômeros geométricos são esperados para este composto? Algum dos isômeros será opticamente ativo? Se sim, quais são?

23.43 Esboce todos os estereoisômeros possíveis de (uma) tetraédrico [Cd (H2O)2Cl2], (b) quadrado-planar [IrCl2(PH3)2] – , (c) octaédrico [Fe (o-phen)2Cl2] + .

23.44 Esboce todos os estereoisômeros possíveis de (uma) [Rh (bipy) (o-phen)2] 3+ , (b) [Co (NH3)3(bipy) Br] 2+, (c) quadrado-planar [Pd (en) (CN)2].

COR E MAGNETISMO NA TEORIA DO CAMPO DE CRISTAL DA COORDENAÇÃO QUÍMICA (seções 23.5 e 23.6)

23.45 (uma) Podemos ver uma luz com comprimento de onda de 300 nm? 500 nm em comprimento de onda? (b) O que significa o termo cor complementar? (c) Qual é o significado das cores complementares na compreensão das cores dos complexos metálicos? (d) Se um complexo absorve luz a 610 nm, qual é a energia dessa absorção em kJ / mol?

23,46 (a) Um complexo absorve luz na faixa de 200–300 nm. Você espera que ele tenha uma cor visível? (b) Uma solução de um composto aparece verde. Essa observação significa necessariamente que todas as cores da luz visível, exceto o verde, são absorvidas pela solução? Explique. (c) Quais informações geralmente são apresentadas em um espectro de absorção visível de um composto? (d) Que energia está associada a uma absorção em 440 nm em kJ / mol?

23.47 É possível que um complexo octaédrico de Fe (II) de baixo spin seja paramagnético? Explique.

23.48 Se um complexo de metal de transição tem um número par de valência d elétrons, isso significa necessariamente que o complexo é diamagnético? Explique.

23.49 Na teoria do campo de cristal, os ligantes são modelados como se fossem cargas negativas pontuais. Qual é a base dessa suposição e como ela se relaciona com a natureza das ligações metal-ligante?

23.50 Explique porque o dxy, dxz, e dsim orbitais têm menos energia do que o dz 2 e dx 2 –Y 2 orbitais na presença de um arranjo octaédrico de ligantes em torno do íon de metal central.

23.51 (uma) Esboce um diagrama que mostra a definição do energia de divisão de campo de cristal (& Delta) para um campo de cristal octaédrico. (b) Qual é a relação entre a magnitude de & Delta e a energia do d-d transição para um d 1 complexo? (c) Calcule & Delta em kJ / mol se um d 1 complexo tem um máximo de absorção em 545 nm.

23.52 Conforme mostrado na Figura 23.26, o d-d transição de [Ti (H2O)6] 3+ produz um máximo de absorção em um comprimento de onda de cerca de 500 nm. (uma) Qual é a magnitude de & Delta para [Ti (H2O)6] 3+ em kJ / mol? (b) O que é série espectroquímica? Como a magnitude de & Delta mudaria se o H2Ligantes O em [Ti (H2O)6] 3+ foram substituídos por NH3 ligantes?

23.53 Explique por que muitos complexos ciano de íons de metais de transição divalentes são amarelos, enquanto muitos complexos aquáticos desses íons são azuis ou verdes.

23.54 O [Ni (H2O)6] 2+ íon tem um máximo de absorção em cerca de 725 nm, enquanto o [Ni (NH3)6] 2+ íon é absorvido em cerca de 570 nm. Preveja a cor de uma solução de cada íon. (b) O [Ni (en)3] O máximo de absorção de íons 2+ ocorre em cerca de 545 nm, e o de [Ni (bipy)3] 2+ íon ocorre em cerca de 520 nm. A partir desses dados, indique as forças relativas dos campos de ligantes criados pelos quatro ligantes envolvidos.

23.55 Dê o número de (valência) d elétrons associados ao íon de metal central em cada um dos seguintes complexos: (uma) K3[TiCl6], (b) N / D3[Co (NÃO2)6], (c) [Ru (en)3] Br3, (d) [Mo (EDTA)] ClO4, (e) K3[ReCl6].

23.56 Dê o número de (valência) d elétrons associados ao íon de metal central em cada um dos seguintes complexos: (uma) K3[Fe (CN)6], (b) [Mn (H2O)6](NÃO3)2, (c) Na [Ag (CN)2], (d) [Cr (NH3)4Br2] ClO4, (e) [Sr (EDTA)] 2–.

23.57 Um colega de classe disse: “Um ligante de campo fraco geralmente significa que o complexo é de alto spin”. Seu colega está correto? Explique.

23.58 Um colega de classe disse: “Um ligante de campo forte significa que o ligante se liga fortemente ao íon metálico”. Seu colega está correto? Explique.

23.59 Para cada um dos seguintes metais, escreva a configuração eletrônica do átomo e seu íon 2+: (uma) Mn, (b) Ru, (c) Rh Desenhe o diagrama de nível de energia do campo de cristal para o d orbitais de um complexo octaédrico e mostram a colocação do d elétrons para cada íon 2+, assumindo um complexo de campo forte. Quantos elétrons desemparelhados existem em cada caso?

23.60 Para cada um dos seguintes metais, escreva a configuração eletrônica do átomo e seu íon 3+: (uma) Ru, (b) Mo, (c) Co. Desenhe o diagrama de nível de energia do campo de cristal para o d orbitais de um complexo octaédrico e mostram a colocação do d elétrons para cada íon 3+, assumindo um complexo de campo fraco. Quantos elétrons desemparelhados existem em cada caso?

23.61 Desenhe os diagramas de nível de energia do campo de cristal e mostre a colocação de d elétrons para cada um dos seguintes: (uma) [Cr (H2O)6] 2+ (quatro elétrons desemparelhados), (b) [Mn (H2O)6] 2+ (alta rotação), (c) [Ru (NH3)5H2O] 2+ (baixa rotação), (d) [IrCl6] 2– (baixa rotação), (e) [Cr (en)3] 3+ , (f) [NiF6] 4– .

23.62 Desenhe os diagramas de nível de energia do campo cristalino e mostre a colocação dos elétrons para os seguintes complexos: (uma) [VCl6] 3– , (b) [FeF6] 3– (um complexo de alta rotação), (c) [Ru (bipy)3] 3+ (um complexo de baixo spin), (d) [NiCl4] 2– (tetraédrico), (e) [PtBr6] 2– , (f) [Ti (en)3] 2+ .

23.63 O complexo [Mn (NH3)6] 2+ contém cinco elétrons desemparelhados. Esboce o diagrama de nível de energia para o d orbitais, e indicam a localização dos elétrons para este íon complexo. O íon é um complexo de spin alto ou baixo?

23.64 O íon [Fe (CN)6] 3– tem um elétron desemparelhado, enquanto [Fe (NCS)6] 3– tem cinco elétrons desemparelhados. A partir desses resultados, o que você pode concluir sobre se cada complexo é de spin alto ou spin baixo? O que você pode dizer sobre a colocação do NCS - na série espectroquímica?

EXERCÍCIOS ADICIONAIS

23.65 O Temperatura curie é a temperatura na qual um sólido ferromagnético muda de ferromagnético para paramagnético e, para o níquel, a temperatura de Curie é 354 ° C. Sabendo disso, você amarra um barbante a dois clipes de papel feitos de níquel e os segura perto de um ímã permanente. O ímã atrai os clipes de papel, como mostra a foto à esquerda. Agora você aquece um dos clipes de papel com um isqueiro e o clipe cai (foto à direita). Explique o que aconteceu.

23.66 Explique por que os metais de transição nos períodos 5 e 6 têm raios quase idênticos em cada grupo.

23.67 Com base nos valores de condutância molar listados aqui para a série de complexos de platina (IV), escreva a fórmula para cada complexo de modo a mostrar quais ligantes estão na esfera de coordenação do metal. A título de exemplo, as condutâncias molares de 0,050 M NaCl e BaCl2 são 107 ohm –1 e 197 ohm –1, respectivamente.

23,68 (a) Um composto com a fórmula RuCl3 • 5 H2O é dissolvido em água, formando uma solução que tem aproximadamente a mesma cor do sólido. Imediatamente após a formação da solução, a adição do excesso de AgNO3(aq) forma 2 moles de AgCl sólido por mole de complexo. Escreva a fórmula do composto, mostrando quais ligantes provavelmente estarão presentes na esfera de coordenação. (b) Depois de uma solução de RuCl3 • 5 H2O ficou por cerca de um ano, adição de AgNO3(aq) precipita 3 mol de AgCl por mole de complexo. O que aconteceu no tempo seguinte?

23.69 Esboce a estrutura do complexo em cada um dos seguintes compostos e dê o nome completo do composto:

23,70 (a) Quais íons complexos no Exercício 23.69 têm um plano de espelho? (b) Algum dos complexos será opticamente ativo? Explique.

23.71 A molécula dimetilfosfinoetano [(CH3)2PCH2-CH2P (CH3)2, que é abreviado como dmpe] é usado como um ligante para alguns complexos que servem como catalisadores. Um complexo que contém este ligante é Mo (CO)4(dmpe). (uma) Desenhe a estrutura de Lewis para dmpe e compare-a com etilenodiammina como um ligante coordenador. (b) Qual é o estado de oxidação do Mo em Na2[Mo (CN)2(CO)2(dmpe)]? (c) Esboce a estrutura do [Mo (CN)2(CO)2(dmpe)] 2– íon, incluindo todos os isômeros possíveis.

23.72 Apesar de cis configuração é conhecida por [Pt (en) Cl2], não trans forma é conhecida. (uma) Explique porque o trans composto não é possível. (b) Seria NH2CH2CH2CH2CH2NH2 ser mais provável do que en (NH2CH2CH2NH2) para formar o trans composto? Explique.

23.73 O íon acetilacetona forma complexos muito estáveis ​​com muitos íons metálicos. Ele atua como um ligante bidentado, coordenando-se com o metal em duas posições adjacentes. Suponha que um dos CH3 grupos do ligante é substituído por um CF3 grupo, como mostrado aqui,

Esboce todos os isômeros possíveis para o complexo com três tfac li-gands no cobalto (III). (Você pode usar o símbolo para representar o ligante.)

23.74 Dê breves declarações sobre a relevância dos seguintes complexos nos sistemas vivos: (uma) hemoglobina, (b) clorofilas, (c) sideróforos.

23.75 Escreva equações químicas balanceadas para representar as seguintes observações. (Em alguns casos, o complexo envolvido foi discutido anteriormente no texto.) (uma) O cloreto de prata sólido se dissolve em um excesso de amônia aquosa. (b) O complexo verde [Cr (en)2Cl2] Cl, em tratamento prolongado com água, converte-se em um complexo marrom-laranja. Reação de AgNO3 com uma solução do produto precipita 3 moles de AgCl por mole de Cr presente. (Escreva duas equações químicas.) (c) Quando uma solução de NaOH é adicionada a uma solução de Zn (NO3) 2, forma-se um precipitado. A adição de solução de NaOH em excesso faz com que o precipitado se dissolva. (Escreva duas equações químicas.) (d) Uma solução rosa de Co (NO3) 2 voltas para um azul profundo com a adição de ácido clorídrico concentrado.

23.76 Alguns complexos de metal têm um número de coordenação de 5. Um desses complexos é o Fe (CO)5, que adota um trigonal bipiramidal geometria (veja a Figura 9.8). (uma) Escreva o nome para Fe (CO)5, utilizando as regras de nomenclatura para compostos de coordenação. (b) Qual é o estado de oxidação do Fe neste composto? (c) Suponha que um dos ligantes CO seja substituído por um CN - lig e, formando [Fe (CO)4(CN)] -. Quantos isômeros geométricos você prevê que este complexo possa ter?

23.77 Qual dos seguintes objetos é quiral: (uma) um sapato esquerdo, (b) uma fatia de pão, (c) um parafuso de madeira, (d) um modelo molecular de Zn (en) Cl2, (e) um típico clube de golfe?

23.78 Os complexos [V (H2O)6] 3+ e [VF6] 3– são ambos conhecidos. (uma) Desenhe o d- diagrama de nível de energia orbital para complexos octaédricos V (III). (b) O que dá origem às cores desses complexos? (c) Qual dos dois complexos você esperaria que absorvesse luz de alta energia? Explique.

[23.79] Uma das espécies mais famosas em química de coordenação é o complexo Creutz-Taube,

Tem o nome de dois cientistas que o descobriram e inicialmente estudaram suas propriedades. O ligante central é a pirazina, um anel plano de seis membros com nitrogênios em lados opostos. (uma) Como você pode explicar o fato de que o complexo, que tem apenas ligantes neutros, tem uma carga geral ímpar? (b) O metal está em uma configuração de baixo spin em ambos os casos. Assumindo a coordenação octaédrica, desenhe o d- diagrama de nível de energia orbital para cada metal. (c) Em muitos experimentos, os dois íons metálicos parecem estar em estados exatamente equivalentes. Você consegue pensar em uma razão para que isso pareça ser assim, reconhecendo que os elétrons se movem muito rapidamente em comparação com os núcleos?

23.80 Soluções de [Co (NH3)6] 2+, [Co (H2O)6] 2+ (ambos octaédricos) e [CoCl4] 2– (tetraédrico) são coloridos. Um é rosa, um é azul e o outro é amarelo. Com base nas séries espectroquímicas e lembrando que a divisão de energia nos complexos tetraédricos é normalmente muito menor do que nos octaédricos, atribua uma cor a cada complexo.

23.81 Oxihemoglobina, com um O2 ligado ao ferro, é uma desoxiemoglobina complexa de Fe (II) de baixo spin, sem o O2 molécula, é um complexo de alta rotação. (uma) Supondo que o ambiente de coordenação sobre o metal seja octaédrico, quantos elétrons desemparelhados estão centrados no íon metálico em cada caso? (b) Qual ligante é coordenado com o ferro no lugar de O2 na desoxihemoglobina? (c) Explique de uma maneira geral por que as duas formas de hemoglobina têm cores diferentes (a hemoglobina é vermelha, enquanto a desoxihemoglobina tem um tom azulado). (d) Uma exposição de 15 minutos ao ar contendo 400 ppm de CO faz com que cerca de 10% da hemoglobina no sangue seja convertida no complexo de monóxido de carbono, chamado carboxiemoglobina. O que isso sugere sobre as constantes de equilíbrio relativas para a ligação de monóxido de carbono e O2 para hemoglobina?(e) CO é um ligante de campo forte. Qual é a cor que você espera que seja a carboxi-hemoglobina?

[23.82] Considere os ânions tetraédricos VO4 3– (íon ortovanadato), CrO4 2– (íon cromato) e MnO4 - (íon permanganato). (uma) Esses ânions são isoeletrônico. O que significa esta afirmação? (b) Você esperaria que esses ânions exibissem d-d transições? Explique. (c) Conforme mencionado em "Um olhar mais atento" sobre a cor de transferência de carga, a cor violeta de MnO4 - é devido a um transferência de carga de ligante para metal (LMCT) transição. O que significa este termo? (d) A transição LMCT em MnO4 - ocorre em um comprimento de onda de 565 nm. The CrO4 2– o íon é amarelo. O comprimento de onda da transição LMCT para cromato é maior ou menor do que MnO?4 -? Explique. (e) O VO4 3– o íon é incolor. Você espera que a luz absorvida pelo LMCT caia na região de UV ou IV do espectro eletromagnético? Explique seu raciocínio.

[23.83] Dadas as cores observadas para VO4 3– (íon ortovanadato), CrO4 2– (íon cromato) e MnO4 - (íon permanganato) (ver Exercício 23.82), o que você pode dizer sobre como a separação de energia entre os orbitais do ligante e o vazio d orbitais mudam em função do estado de oxidação do metal de transição no centro do ânion tetraédrico?

[23.84] A cor vermelha do rubi é devido à presença de íons Cr (III) em sítios octaédricos na rede de óxido compactado de Al2O3. Desenhe o diagrama de divisão do campo de cristal para Cr (III) neste ambiente. Suponha que o cristal de rubi seja submetido a alta pressão. O que você prevê para a variação no comprimento de onda de absorção do rubi em função da pressão? Explique.

23.85 Em 2001, os químicos da SUNY-Stony Brook conseguiram sintetizar o complexo trans- [Fe (CN)4(CO)2] 2–, que poderia ser um modelo de complexos que podem ter desempenhado um papel na origem da vida. (uma) Esboce a estrutura do complexo. (b) O complexo é isolado como um sal de sódio. Escreva o nome completo deste sal. (c) Qual é o estado de oxidação do Fe neste complexo? Quantos d elétrons estão associados ao Fe neste complexo? (d) Você esperaria que este complexo fosse de alto ou baixo spin? Explique.

[23.86] Quando Alfred Werner estava desenvolvendo o campo da química da coordenação, alguns argumentaram que a atividade óptica que ele observou nos complexos quirais que havia preparado era devido à presença de átomos de carbono na molécula. Para refutar esse argumento, Werner sintetizou um complexo quiral de cobalto que não tinha átomos de carbono e foi capaz de resolvê-lo em seus enantiômeros. Projete um complexo de cobalto (III) que seria quiral se pudesse ser sintetizado e que não contivesse átomos de carbono. (Pode não ser possível sintetizar o complexo que você projetou, mas não vamos nos preocupar com isso por enquanto.)

23.87 De modo geral, para um determinado metal e ligante, a estabilidade de um composto de coordenação é maior para o metal no estado de oxidação +3 do que no estado de oxidação +2 (para metais que formam íons +3 estáveis ​​em primeiro lugar). Sugira uma explicação, tendo em mente a natureza ácido-base de Lewis da ligação metal-ligante.

23.88 Existem muitos vestígios de íons metálicos no sangue complexados com aminoácidos ou pequenos peptídeos. O ânion do aminoácido glicina (gly),

pode atuar como um ligante bidentado, coordenando-se com o metal por meio de átomos de nitrogênio e oxigênio. Quantos isômeros são possíveis para (uma) [Zn (gly)2] (tetraédrico), (b) [Pt (gly)2] (quadrado plano), (c) [Co (gly)3] (octaédrico)? Esboce todos os isômeros possíveis. Use o símbolo para representar o ligante.

[23.89] Suponha que um íon de metal de transição estivesse em uma rede na qual estivesse em contato com apenas dois ânions próximos, localizados em lados opostos do metal. Faça um diagrama da divisão do metal d orbitais que resultariam de tal campo de cristal. Supondo um campo forte, quantos elétrons desemparelhados você esperaria para um íon de metal com seis d elétrons? (Dica: Considere o eixo linear como sendo o z-eixo)

EXERCÍCIOS INTEGRATIVOS

[23.90] Elementos metálicos são componentes essenciais de muitas enzimas importantes que operam em nossos corpos. Anidrase carbônica, que contém Zn 2+ em seu sítio ativo, é responsável por interconverter rapidamente o CO dissolvido2 e íon bicarbonato, HCO3 -. O zinco na anidrase carbônica é tetraedricamente coordenado por três grupos contendo nitrogênio neutro e uma molécula de água. A molécula de água coordenada tem um pKa de 7,5, que é crucial para a atividade da enzima. (uma) Desenhe a geometria do sítio ativo para o centro de Zn (II) na anidrase carbônica, apenas escrevendo “N” para os três ligantes de nitrogênio neutro da proteína. (b) Compare o pKa do sítio ativo da anidrase carbônica com o da água pura que espécie é mais ácida? (c) Quando a água coordenada para o centro Zn (II) na anidrase carbônica é desprotonada, quais ligantes estão ligados ao centro Zn (II)? Suponha que os três ligantes de nitrogênio não sejam afetados. (d) O pKa de [Zn (H2O)6] 2+ é 10. Sugira uma explicação para a diferença entre este pKa e a da anidrase carbônica. (e) Você esperaria que a anidrase carbônica tivesse uma cor profunda, como a hemoglobina e outras proteínas contendo íons metálicos? Explique.

23.91 Dois compostos diferentes possuem a formulação CoBr (SO4) • 5 NH3. O composto A é violeta escuro e o composto B é vermelho-violeta. Quando o composto A é tratado com AgNO3(aq), nenhuma reação ocorre, enquanto o composto B reage com AgNO3(aq) para formar um precipitado branco. Quando o composto A é tratado com BaCl2(aq), um precipitado branco é formado, enquanto o composto B não tem reação com BaCl2(aq). (uma) O Co está no mesmo estado de oxidação nesses complexos? (b) Explique a reatividade dos compostos A e B com AgNO3(aq) e BaCl2(aq). (c) Os compostos A e B são isômeros um do outro? Em caso afirmativo, qual categoria da Figura 23.19 melhor descreve o isomerismo observado para esses complexos? (d) Seria de se esperar que os compostos A e B fossem eletrólitos fortes, eletrólitos fracos ou não eletrólitos?

23.92 Um complexo de manganês formado a partir de uma solução contendo brometo de potássio e íon oxalato é purificado e analisado. It contains 10.0% Mn, 28.6% potassium, 8.8% carbon, and 29.2% bromine by mass. The remainder of the compound is oxygen. An aqueous solution of the complex has about the same electrical conductivity as an equimolar solution of K4[Fe(CN)6]. Write the formula of the compound, using brackets to denote the manganese and its coordination sphere.

23.93 O E° values for two low-spin iron complexes in acidic solution are as follows:

(a) Is it thermodynamically favorable to reduce both Fe(III) complexes to their Fe(II) analogs? Explain. (b) Which complex, [Fe(o-phen)3] 3+ or [Fe(CN)6] 3– , is more difficult to reduce? (c) Suggest an explanation for your answer to (b).

23.94 A palladium complex formed from a solution containing bromide ion and pyridine, C5H5N (a good electron-pair donor), is found on elemental analysis to contain 37.6% bromine, 28.3% carbon, 6.60% nitrogen, and 2.37% hydrogen by mass. The compound is slightly soluble in several organic solvents its solutions in water or alcohol do not conduct electricity. It is found experimentally to have a zero dipole moment. Write the chemical formula, and indicate its probable structure.

23.95 (a) In early studies it was observed that when the complex [Co(NH3)4Br2]Br was placed in water, the electrical conductivity of a 0.05 M solution changed from an initial value of 191 ohm –1 to a final value of 374 ohm –1 over a period of an hour or so. Suggest an explanation for the observed results. (See Exercise 23.67 for relevant comparison data.) (b) Write a balanced chemical equation to describe the reaction. (c) A 500-mL solution is made up by dissolving 3.87 g of the complex. As soon as the solution is formed, and before any change in conductivity has occurred, a 25.00-mL portion of the solution is titrated with 0.0100 M AgNO3 solution. What volume of AgNO3 solution do you expect to be required to precipitate the free Br – (aq)? (d) Based on the response you gave to part (b), what volume of AgNO3 solution would be required to titrate a fresh 25.00-mL sample of [Co(NH3)4Br2]Br after all conductivity changes have occurred?

23.96 The total concentration of Ca 2+ and Mg 2+ in a sample of hard water was determined by titrating a 0.100-L sample of the water with a solution of EDTA 4– . The EDTA 4– chelates the two cations:

It requires 31.5 mL of 0.0104 M [EDTA] 4– solution to reach the end point in the titration. A second 0.100-L sample was then treated with sulfate ion to precipitate Ca 2+ as calcium sulfate. The Mg 2+ was then titrated with 18.7 mL of 0.0104 M [EDTA] 4– . Calculate the concentrations of Mg 2+ and Ca 2+ in the hard water in mg/L.

23.97 Carbon monoxide is toxic because it binds more strongly to the iron in hemoglobin (Hb) than does O2, as indicated by these approximate standard free-energy changes in blood:

Using these data, estimate the equilibrium constant at 298 K for the equilibrium

[23.98] The molecule methylamine (CH3NH2) can act as a monoden-tate ligand. The following are equilibrium reactions and the thermochemical data at 298 K for reactions of methylamine and en with Cd 2+ (aq):

(a) Calculate &DeltaG° and the equilibrium constant K for the following ligand exchange reaction:

Based on the value of K in part (a), what would you conclude about this reaction? What concept is demonstrated? (b) Determine the magnitudes of the enthalpic (&DeltaH°) and the entropic (–T&DeltaS°) contributions to &DeltaG° for the ligand exchange reaction. Explain the relative magnitudes.(c) Based on information in this exercise and in the “A Closer Look” box on the chelate effect, predict the sign of &DeltaH° for the following hypothetical reaction:

23.99 The value of &Delta for the [CrF6] 3– complex is 182 kJ/mol. Calculate the expected wavelength of the absorption corresponding to promotion of an electron from the lower-energy to the higher-energy d-orbital set in this complex. Should the complex absorb in the visible range?

[23.100] A Cu electrode is immersed in a solution that is 1.00 M in [Cu(NH3)4] 2+ and 1.00 M in NH3. When the cathode is a standard hydrogen electrode, the emf of the cell is found to be +0.08 V. What is the formation constant for [Cu(NH3)4] 2+ ?

[23.101] The complex [Ru(EDTA)(H2O)] – undergoes substitution reactions with several ligands, replacing the water molecule with the ligand. In all cases the ruthenium stays in the +3 oxidation state and the ligands use a nitrogen donor atom to bind to the metal.

The rate constants for several ligands are as follows:

(a) One possible mechanism for this substitution reaction is that the water molecule dissociates from the Ru(III) in the rate-determining step, and then the ligand L binds to Ru(III) in a rapid second step. A second possible mechanism is that L approaches the complex, begins to form a new bond to the Ru(III), and displaces the water molecule, all in a single concerted step. Which of these two mechanisms is more consistent with the data? Explain. (b) What do the results suggest about the relative donor ability of the nitrogens of the three ligands toward Ru(III)? (c)Assuming that the complexes are all low spin, how many unpaired electrons are in each?

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Blast Your Shoulders With This 5-Move, Zero-Press Workout

Grow your shoulders free of pain and soreness with this military-press-free once-a-week session.

A pair of three-dimensional, chiseled, boulder shoulders is often the finishing touch on a summer body, and it&rsquos more than that, too. Your shoulders are involved in just about every upper-body exercise you can think of, whether it&rsquos the deltoids acting as key movers in the bench press, or supporting shoulder musculature providing stability during pullups and even biceps curls.

But it&rsquos not always easy to train your shoulders. The most hallowed shoulder exercise of them all, the military press, isn&rsquot always easy on your delts, especially if your shoulder mobility isn&rsquot on point. Overhead presses place unstable shoulders in a compromising position, and if you try to compensate with the wrong body lean or movement, you could even cause lower back issues, too. That&rsquos why plenty of trainers increasingly talk about the idea of &ldquoearning the right&rdquo to do overhead presses and other overhead motions as simple as it may seem to reach for a cabinet overhead, doing so with, say, 30 pounds in hand, isn&rsquot smart or ideal.

The solution: A shoulder workout that lets you smash your delts without relying on military presses. And yes, such a workout is indeed possible. This five-move workout is a good start. You&rsquoll challenge your delts with this workout and build not only shoulder strength but greater shoulder stability and mobility.

And you&rsquoll do it all without every military pressing, keeping you healthy and pain-free while still getting you the shoulder muscle you crave.

Why You Don&rsquot Need To Press

Putting together a solid workout program shouldn&rsquot simply focus on muscles. It should focus on the movements our body does on a daily basis, and movements that protect our body during regular daily actions. And let&rsquos be real: Unless you&rsquore a professional student of the teacher&rsquos pet variety, raising your arms overhead very likely isn&rsquot the dominant motion of your day.

Instead, what are you doing? You&rsquore driving your car, arms outstretched in front of you. You&rsquore typing, with arms out in front of you, and opening doors, and carrying boxes, very likely, in front of you. That means you need to be proficient at doing motions in front of you (think: pushups). You also need to build mid-back strength with movements like rows, adding stability and balance to all the motions you&rsquore doing in front of you.

In addition to all that, you need to be building stability in other planes. All the pushing and driving and typing occurs in what&rsquos called the sagittal plane, when you move forwards and backwards (think: walking, and pushups). But your body is also capable of rotating in multiple directions. Your shoulder can also rotate in multiple directions, too.

You need to train and remind your muscles that such motions are possible, though, and that&rsquos the underrated piece of a good shoulder workout. Get caught up in military presses, and you&rsquore moving in that sagittal plane for the umpteenth time. Broaden your training horizons, and you&rsquore giving your shoulder what it needs for longevity &mdash and for muscle too!

Train With Balance

When you overfocus your program on aesthetics, you&rsquore cruising for a shoulder injury &mdash and often, you&rsquore moving farther from the aesthetics you want, too. Por quê? Because you tend to trai the muscles you can see, meaning lots of chest work and ab work and shoulder work, and not enough work on your back musculature.

This alone predisposes your shoulder to injury, shifting the shoulder capsule further forward and inviting your upper arm bone (the humerus) to get closer to the collarbone (clavicle), limiting the room your rotator cuff tendons have to move. This winds up becoming another reason not to load up on too many overhead presses in your routine: Your shoulder workouts should spend at least some time attacking your rear delts, promoting better overall body balance.

Your Zero-Press Shoulder Workout

That all makes this shoulder workout, free of military presses, your ultimate shoulder-safe ticket to size. It&rsquos also going to take the shoulder through a variety of ranges of motion and positions, training your delts to be not only muscular, but also healthy and functional. Do it once a week, twice tops.

Directions: Warm up with 60 seconds of jumping jacks, a 45-second plank, and 2 sets of 10 pushups. Then do the exercises in order.

1. Face Pull and Farmer&rsquos Walk Superset

Do 4 sets of this superset, starting with the Resistance Band Face Pull-Aparts. Do 15 reps per set. Then pick up weights for the farmer&rsquos carry walk for 30 seconds. Rest 30 seconds. You&rsquore firing up your midback with the pull-aparts, and doing the same on the farmer&rsquos carries while also challenging your core. Essentially, you&rsquore setting yourself up for success on the exercises to follow.


2.1: System Poles and Zeros

  • Contributed by Kamran Iqbal
  • Professor (Systems Engineering) at University of Arkansas at Little Rock

System Poles and Zeros

The transfer function, (G(s)), is a rational function in the Laplace transform variable, (s). It is expressed as the ratio of the numerator and the denominator polynomials, i.e., (G(s)=frac).

Definition: Transfer Function Zeros

The roots of the numerator polynomial, (n(s)), define system zeros, i.e., those frequencies at which the system response is zero. Thus, (z_0) is a zero of the transfer function if (Gleft(z_0 ight)=0.)

Definition: Transfer Function Poles

The roots of the denominator polynomial, (d(s)), define system poles, i.e., those frequencies at which the system response is infinite. Thus, (p_0) is a pole of the transfer function if (Gleft(p_0 ight)=infty .)

The poles and zeros of first and second-order system models are described below.

First-Order System

A first-order system has a generic ODE description: ( au dotleft(t ight)+yleft(t ight)=u(t)), where (uleft(t ight)) and (yleft(t ight)) denote the input and the output, and ( au) is the system time constant. By applying the Laplace transform, a first-order transfer function is obtained as: [G(s)=frac< au s+1>]

The transfer function has no finite zeros and a single pole located at (s=-frac<1>< au >) in the complex plane.

The reduced-order model of a DC motor with voltage input and angular velocity output (Example 1.4.3) is described by the differential equation: ( au dotomega (t) + omega(t) = V_a(t)).

The DC motor has a transfer function: (G(s)=frac< au_m s+1>) where ( au_m) is the motor time constant.

For the following parameter values: (R=1Omega , L=0.01H, J=0.01 kgm^ <2>, b=0.1 frac , and k_ =k_ =0.05), the motor transfer function evaluates as:

The transfer function has a single pole located at: (s=-10.25) with associated time constant of (0.098 sec).

Second-Order System with an Integrator

A first-order system with an integrator is described by the transfer function:

The system has no finite zeros and has two poles located at (s=0) and (s=-frac<1>< au >) in the complex plane.

The DC motor modeled in Example 2.1.1 above is used in a position control system where the objective is to maintain a certain shaft angle ( heta(t)). The motor equation is given as: ( au ddot heta(t) + dot heta(t) = V_a(t)) its transfer function is given as: (Gleft(s ight)=frac).

Using the above parameter values in the reduced-order DC motor model, the system transfer function is given as:

The transfer function has no finite zeros and poles are located at: (s=0,-10.25).

Second-Order System with Real Poles

A second-order system with poles located at (s=-_1, -_2) is described by the transfer function:

From Section 1.4, the DC motor transfer function is described as: [G(s)=frac <(s+1/ au _)(s+1/ au _ )>]

Then, system poles are located at: (s_ <1>=-frac<1> < au _>) and (s_ <2>=-frac<1> < au _>), where ( au_e) and ( au_) represent the electrical and mechanical time constants of the motor.

For the following parameter values: (R=1Omega , L=0.01H, J=0.01 kgm^ <2>, b=0.1 frac , and k_ =k_ =0.05), the transfer function from armature voltage to angular velocity is given as:

The transfer function poles are located at: (s=-10.28, -99.72).

The motor time constants are given as: ( au _ cong frac=10 ms, au _ m cong frac=100 ms).

Second-Order System with Complex Poles

A second-order model with its complex poles located at: (s=-sigma pm jomega) is described by the transfer function:

Equivalently, the second-order transfer function with complex poles is expressed in terms of the damping ratio, (zeta), and the natural frequency, (_n), of the complex poles as:

The transfer function poles are located at: (s_<1,2>=-zeta _npm j_d), where (_d=omega_nsqrt<1-^2>) (Figure 2.1.1).

As seen from the figure, (_n) equals the magnitude of the complex pole, and (zeta =frac<_n>=), where ( heta) is the angle subtended by the complex pole at the origin.

The damping ratio, (zeta), is a dimensionless quantity that characterizes the decay of the oscillations in the system&rsquos natural response. The damping ratio is bounded as: (0<zeta <1).

  1. As (zeta o 0), the complex poles are located close to the imaginary axis at: (scong pm j_n). The resulting impulse response displays persistent oscillations at system&rsquos natural frequency, (_n).
  2. As (zeta o 1), the complex poles are located close to the real axis as (s_<1,2>cong -zeta _n). The resulting impulse response has no oscillations and exponentially decays to zero resembling the response of a first-order system.

A spring&ndashmass&ndashdamper system has a transfer function:

Its characteristic equation is given as: (ms^s+bs+k=0), whose roots are characterized by the sign of the discriminant, (Delta =b^ <2>-4mk).

    For (Delta >0,) the system has real poles, located at:

Next, assume that the mass-spring-damper has the following parameter values: (m=1, b=k=2) then, its transfer function is given as: [G(s)=frac<1>=frac<1>]

The transfer function has complex poles located at: (s=-1pm j1).

Further, the complex poles have an angle: ( heta=45^circ), and (cos45^circ=frac<1>>).

Figure (PageIndex<1>): Second-order transfer function pole locations in the complex plane.


3.6 Zeros of Polynomial Functions

A new bakery offers decorated sheet cakes for children’s birthday parties and other special occasions. The bakery wants the volume of a small cake to be 351 cubic inches. The cake is in the shape of a rectangular solid. They want the length of the cake to be four inches longer than the width of the cake and the height of the cake to be one-third of the width. What should the dimensions of the cake pan be?

This problem can be solved by writing a cubic function and solving a cubic equation for the volume of the cake. In this section, we will discuss a variety of tools for writing polynomial functions and solving polynomial equations.

Evaluating a Polynomial Using the Remainder Theorem

In the last section, we learned how to divide polynomials. We can now use polynomial division to evaluate polynomials using the Remainder Theorem . If the polynomial is divided by x – k , x – k , the remainder may be found quickly by evaluating the polynomial function at k , k , that is, f ( k ) f ( k ) Let’s walk through the proof of the theorem.


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O n-th term of a geometric sequence with initial value uma = uma1 and common ratio r is given by

Such a geometric sequence also follows the recursive relation

Generally, to check whether a given sequence is geometric, one simply checks whether successive entries in the sequence all have the same ratio.

The common ratio of a geometric sequence may be negative, resulting in an alternating sequence, with numbers alternating between positive and negative. For instance

is a geometric sequence with common ratio −3.

The behaviour of a geometric sequence depends on the value of the common ratio.
If the common ratio is:

  • positive, the terms will all be the same sign as the initial term.
  • negative, the terms will alternate between positive and negative.
  • greater than 1, there will be exponential growth towards positive or negative infinity (depending on the sign of the initial term).
  • 1, the progression is a constant sequence.
  • between −1 and 1 but not zero, there will be exponential decay towards zero (→ 0).
  • −1, the absolute value of each term in the sequence is constant and terms alternate in sign.
  • less than −1, for the absolute values there is exponential growth towards (unsigned) infinity, due to the alternating sign.

Geometric sequences (with common ratio not equal to −1, 1 or 0) show exponential growth or exponential decay, as opposed to the linear growth (or decline) of an arithmetic progression such as 4, 15, 26, 37, 48, … (with common difference 11). This result was taken by T.R. Malthus as the mathematical foundation of his Principle of Population. Note that the two kinds of progression are related: exponentiating each term of an arithmetic progression yields a geometric progression, while taking the logarithm of each term in a geometric progression with a positive common ratio yields an arithmetic progression.

An interesting result of the definition of the geometric progression is that any three consecutive terms uma, b e c will satisfy the following equation:

Onde b is considered to be the geometric mean between uma e c.

Computation of the sum 2 + 10 + 50 + 250. The sequence is multiplied term by term by 5, and then subtracted from the original sequence. Two terms remain: the first term, uma, and the term one beyond the last, or ar m . The desired result, 312, is found by subtracting these two terms and dividing by 1 − 5.

UMA geometric series is the sum of the numbers in a geometric progression. For example:

Letting uma be the first term (here 2), n be the number of terms (here 4), and r be the constant that each term is multiplied by to get the next term (here 5), the sum is given by:

In the example above, this gives:

The formula works for any real numbers uma e r (except r = 1, which results in a division by zero). For example:

Since the derivation (below) does not depend on uma e r being real, it holds for complex numbers as well.

Derivation Edit

To derive this formula, first write a general geometric series as:

We can find a simpler formula for this sum by multiplying both sides of the above equation by 1 − r, and we'll see that

since all the other terms cancel. Se r ≠ 1, we can rearrange the above to get the convenient formula for a geometric series that computes the sum of n terms:

Related formulas Edit

If one were to begin the sum not from k=1, but from a different value, say m, then

Differentiating this formula with respect to r allows us to arrive at formulae for sums of the form

For a geometric series containing only even powers of r multiply by 1 − r 2 :

Equivalently, take r 2 as the common ratio and use the standard formulation.

For a series with only odd powers of r

Infinite geometric series Edit

Um infinite geometric series is an infinite series whose successive terms have a common ratio. Such a series converges if and only if the absolute value of the common ratio is less than one (| r | < 1). Its value can then be computed from the finite sum formula

For a series containing only even powers of r ,

In cases where the sum does not start at k = 0,

The formulae given above are valid only for | r | < 1. The latter formula is valid in every Banach algebra, as long as the norm of r is less than one, and also in the field of p-adic numbers if | r |p < 1. As in the case for a finite sum, we can differentiate to calculate formulae for related sums. Por exemplo,

This formula only works for | r | < 1 as well. From this, it follows that, for | r | < 1,

Also, the infinite series 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ is an elementary example of a series that converges absolutely.

It is a geometric series whose first term is 1/2 and whose common ratio is 1/2, so its sum is

The inverse of the above series is 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ is a simple example of an alternating series that converges absolutely.

It is a geometric series whose first term is 1/2 and whose common ratio is −1/2, so its sum is

Complex numbers Edit

The summation formula for geometric series remains valid even when the common ratio is a complex number. In this case the condition that the absolute value of r be less than 1 becomes that the modulus of r be less than 1. It is possible to calculate the sums of some non-obvious geometric series. For example, consider the proposition

The proof of this comes from the fact that

which is a consequence of Euler's formula. Substituting this into the original series gives

This is the difference of two geometric series, and so it is a straightforward application of the formula for infinite geometric series that completes the proof.

The product of a geometric progression is the product of all terms. It can be quickly computed by taking the geometric mean of the progression's first and last individual terms, and raising that mean to the power given by the number of terms. (This is very similar to the formula for the sum of terms of an arithmetic sequence: take the arithmetic mean of the first and last individual terms, and multiply by the number of terms.)

As the geometric mean of two numbers equals the square root of their product, the product of a geometric progression is:

(An interesting aspect of this formula is that, even though it involves taking the square root of a potentially-odd power of a potentially-negative r , it cannot produce a complex result if neither a nor r has an imaginary part. It is possible, should r be negative and n be odd, for the square root to be taken of a negative intermediate result, causing a subsequent intermediate result to be an imaginary number. However, an imaginary intermediate formed in that way will soon afterwards be raised to the power of n + 1 , which must be an even number because n by itself was odd thus, the final result of the calculation may plausibly be an odd number, but it could never be an imaginary one.)

Proof Edit

Let P represent the product. By definition, one calculates it by explicitly multiplying each individual term together. Written out in full,

Carrying out the multiplications and gathering like terms,

The exponent of r is the sum of an arithmetic sequence. Substituting the formula for that calculation,

which enables simplifying the expression to

which concludes the proof.

A clay tablet from the Early Dynastic Period in Mesopotamia, MS 3047, contains a geometric progression with base 3 and multiplier 1/2. It has been suggested to be Sumerian, from the city of Shuruppak. It is the only known record of a geometric progression from before the time of Babylonian mathematics. [2]

Books VIII and IX of Euclid's Elements analyzes geometric progressions (such as the powers of two, see the article for details) and give several of their properties. [3]


Non-restrictive relative clauses

This type of relative clause merely provides extra information. The information may be quite interesting and important to the larger conversation, but it is not essential for precise identification of the noun. “That” cannot be used as a relative pronoun in a non-restrictive relative clause. Commas are always used at the beginning and end of this type of relative clause.

A non-restrictive relative clause can modify a single noun, a noun phrase, or an entire proposition.

“My mother” is already a clearly defined noun, so the second sentence becomes a non-restrictive relative clause set off by commas on both sides.

    My mother , who is an excellent cook , is thinking of opening a restaurant.
    I’m planning to grow roses. I find roses quite beautiful.
    I’m planning to grow roses , which I find quite beautiful.
    (not okay) I’m planning to grow roses, that I find quite beautiful.
    I’m driving across the country with three small children.
    Driving across the country with three small children is going to be stressful.
    I’m driving across the country with three small children , which is going to be stressful.

Third Conditional

for no possibility

The first conditional and second conditionals talk about the future. With the third conditional we talk about the past. We talk about a condition in the past that did não happen. That is why there is no possibility for this condition. The third conditional is also like a dream, but with no possibility of the dream coming true.

Last week you bought a lottery ticket. But you did not win. :-(

if condition result
Past Perfect would have + past participle
Se I had won the lottery, I would have bought a car.


Assista o vídeo: COMPLEXOS: EXERCÍCIOS #1 AULA 614 (Outubro 2021).