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9.1.1E: Elipses (Exercícios) - Matemática


exercícios da seção 9.1

Nos problemas 1–4, combine cada gráfico com uma das equações A – D.
A. ( dfrac {x ^ 2} {4} + dfrac {y ^ 2} {9} = 1 )

B. ( dfrac {x ^ 2} {9} + dfrac {y ^ 2} {4} = 1 )

C. ( dfrac {x ^ 2} {9} + {y ^ 2} = 1 )

D. ({x ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {9} = 1 )

1. 2. 3. 4.

Nos problemas 5–14, encontre os vértices, os pontos finais do eixo secundário, o comprimento do eixo principal e o comprimento do eixo secundário. Esboce o gráfico. Verifique usando um utilitário gráfico.
5. ( dfrac {x ^ 2} {4} + dfrac {y ^ 2} {25} = 1 )

6. ( dfrac {x ^ 2} {16} + dfrac {y ^ 2} {4} = 1 )

7. ( dfrac {x ^ 2} {4} + y ^ 2 = 1 )

8. (x ^ 2 + dfrac {y ^ 2} {25} = 1 )

9. (x ^ 2 + 25y ^ 2 = 25 )

10. (16x ^ 2 + y ^ 2 = 16 )

11. (16x ^ 2 + 9y ^ 2 = 144 )

12. (16x ^ 2 + 25y ^ 2 = 400 )

13. (9x ^ 2 + y ^ 2 = 18 )

14. (x ^ 2 + 4y ^ 2 = 12 )

Nos problemas 15–16, escreva uma equação para o gráfico.

15. 16.

Nos problemas 17-20, encontre a forma padrão da equação para uma elipse que satisfaça as condições fornecidas.

17. Centro (0,0), comprimento do eixo principal horizontal 64, comprimento do eixo menor 14

18. Centro (0,0), comprimento do eixo principal vertical 36, comprimento do eixo menor 18

19. Centro (0,0), vértice (0,3), (b = 2 )

20. Centro (0,0), vértice (4,0), (b = 3 )

Nos problemas 21–28, combine cada gráfico com as equações A-H.
A. ( dfrac { left ({x - 2} right) ^ 2} {4} + dfrac {{(y - 1)} ^ 2} {9} = 1 )

E. ( dfrac { left ({x + 2} right) ^ 2} {4} + dfrac {{(y + 1)} ^ 2} {9} = 1 )
B. ( dfrac { left ({x - 2} right) ^ 2} {4} + dfrac {{(y - 1)} ^ 2} {16} = 1 )

F. ( dfrac { left ({x + 2} right) ^ 2} {4} + dfrac {{(y + 1)} ^ 2} {16} = 1 )
C. ( dfrac { left ({x - 2} right) ^ 2} {16} + dfrac {{(y - 1)} ^ 2} {4} = 1 )

G. ( dfrac { left ({x + 2} right) ^ 2} {16} + dfrac {{(y + 1)} ^ 2} {4} = 1 )
D. ( dfrac { left ({x - 2} right) ^ 2} {9} + dfrac {{(y - 1)} ^ 2} {4} = 1 )

H. ( dfrac { left ({x + 2} right) ^ 2} {9} + dfrac {{(y + 1)} ^ 2} {4} = 1 )

21. 22. 23. 24.

25.26. 27. 28.

Nos problemas 29–38, encontre os vértices, os pontos finais do eixo menor, o comprimento do eixo maior e o comprimento do eixo menor. Verifique usando um utilitário gráfico.

29. ( dfrac {(x - 1) ^ 2} {25} + dfrac {(y + 2) ^ 2} {4} = 1 )

30. ( dfrac {(x + 5) ^ 2} {16} + dfrac {(y - 3) ^ 2} {36} = 1 )

31. ((x + 2) ^ 2 + dfrac {(y - 3) ^ 2} {25} = 1 )

32. ( dfrac {(x - 1) ^ 2} {25} + (y - 6) ^ 2 = 1 )

33. (4x ^ 2 + 8x + 4 + y ^ 2 = 16 )

34. (x ^ 2 + 4y ^ 2 + 16y + 16 = 36 )

35. (x ^ 2 + 2x + 4y ^ 2 + 16y = - 1 )

36. (4x ^ 2 + 16x + y ^ 2 - 8y = 4 )

37. (9x ^ 2 - 36x + 4y ^ 2 + 8y = 104 )

38. (4x ^ 2 + 8x + 9y ^ 2 + 36y = - 4 )

Nos problemas 39–40, escreva uma equação para o gráfico.

39. 40.

Nos problemas 41–42, encontre a forma padrão da equação para uma elipse que satisfaça as condições fornecidas.

41. Centro (-4, 3), vértice (-4, 8), ponto no gráfico (0, 3)

42. Centro (1, -2), vértice (-5, -2), ponto no gráfico (1, 0)

43. Janela Uma janela em forma de semi-elipse tem 3,6 metros de largura e 1,2 metros de altura. Qual é a altura da janela acima da base a 5 pés do centro?

44. Janela Uma janela em forma de semi-elipse tem 5 metros de largura e 7 metros de altura. Qual é a altura da janela acima da base a 4 pés do centro?

45. Ponte Uma ponte sobre um rio é suportada por um arco semi-elíptico. O rio tem 50 metros de largura. No centro, o arco se eleva 18 metros acima do rio. A estrada fica 5 pés acima do centro do arco. Qual é a distância vertical entre a estrada e o arco a 45 pés do centro?

46. ​​O rio tem 1250 pés de largura. No centro, o arco se eleva a 175 pés acima do rio. A estrada está a 3 pés acima do centro do arco. Qual é a distância vertical entre a estrada e o arco a 180 metros do centro?

47. Pista de Corrida Uma pista elíptica tem 30 metros de comprimento e 30 metros de largura. Qual é a largura da pista de corrida a 6 metros de um vértice do eixo principal?

48. Pista de corrida Uma pista elíptica tem 250 pés de comprimento e 150 pés de largura. Qual é a largura da pista de corrida de 25 pés de um vértice no eixo principal?

Nos problemas 49-52, encontre os focos.

49. ( dfrac {x ^ 2} {19} + dfrac {y ^ 2} {3} = 1 ) 50. ( dfrac {x ^ 2} {2} + dfrac {y ^ 2 } {38} = 1 )

51. ((x + 6) ^ 2 + dfrac {(y - 1) ^ 2} {26} + = 1 ) 52. ( dfrac {(x - 3) ^ 2} {10} + (y + 5) ^ 2 = 1 )

Nos problemas 53-72, encontre a forma padrão da equação para uma elipse que satisfaça as condições fornecidas.

53. Vértices do eixo principal ( ( pm ) 3,0), (c = 2 )

54. Vértices do eixo principal (0, ( pm ) 7), (c = 4 )

55. Focos (0, ( pm ) 5) e comprimento do eixo principal 12

56. Focos ( ( pm ) 3, 0) e comprimento do eixo principal 8

57. Focos ( ( pm ) 5, 0), vértices ( ( pm ) 7, 0)

58. Focos (0, ( pm ) 2), vértices (0, ( pm ) 3)

59. Focos (0, ( pm ) 4) e (x ) - intercepta ( ( pm ) 2, 0)

60. Foci ( ( pm ) 3, 0) e (y ) - intercepta (0, ( pm ) 1)

61. Centro (0, 0), comprimento do eixo principal 8, foco no eixo (x ), passa pelo ponto ( left (2, sqrt 6 right) )

62. Centro (0, 0), comprimento do eixo principal 12, focos no eixo (y ), passa pelo ponto ( left ( sqrt {10}, 4 right) )

63. Centro (-2, 1), vértice (-2, 5), foco (-2, 3)

64. Centro (-1, -3), vértice (-7, -3), foco (-4, -3)

65. Focos (8, 2) e (-2, 2), comprimento do eixo principal 12

66. Focos (-1, 5) e (-1, -3), comprimento do eixo principal 14

67. Vértices (3, 4) e (3, -6), (c = 2 )

68. Vértices (2, 2) e (-4, 2), (c = 2 )

69. Centro (1, 3), foco (0, 3), passa pelo ponto (1, 5)

70. Centro (-1, -2), foco (1, -2), passa pelo ponto (2, -2)

71. Foco (-15, -1), vértices (-19, -1) e (15, -1)

72. Foco (-3, 2), vértices (-3, 4) e (-3, -8)

73. Galeria de sussurros Se uma galeria elíptica sussurrante tiver 25 metros de comprimento e 25 pés de largura, a que distância do centro da sala alguém deve ficar no eixo principal da elipse para sentir o efeito sussurrante? Arredonde para duas casas decimais.

74. Bilhar Algumas mesas de bilhar são elípticas e têm os focos marcados na mesa. Se ele tiver 2,5 metros de comprimento e 1,8 metros de largura, a que distância estão os focos do centro da elipse? Arredonde para duas casas decimais.

75. Órbitas Planetárias As órbitas dos planetas ao redor do Sol são aproximadamente elípticas com o Sol como foco. O afélio é a maior distância de um planeta do sol e o periélio é a mais curta. O comprimento do eixo maior é a soma do afélio e do periélio. O afélio da Terra tem 94,51 milhões de milhas e seu periélio tem 91,40 milhões de milhas. Escreva uma equação para a órbita da Terra.

76. Órbitas de satélite A órbita de um satélite em torno da Terra é elíptica com o centro da Terra como foco. A altura máxima do satélite acima da Terra é de 170 milhas e sua altura mínima acima da Terra é de 90 milhas. Escreva uma equação para a órbita do satélite. Suponha que a Terra seja esférica e tenha um raio de 3.960 milhas.

77. Excentricidade (e ) de uma elipse é a proporção ( dfrac {c} {a} ) onde (c ) é a distância de um foco do centro e a é a distância de um vértice do centro. Escreva uma equação para uma elipse com excentricidade 0,8 e focos em (-4, 0) e (4, 0).

78. Confocal as elipses têm os mesmos focos. Mostre que, para (k> 0 ), todas as elipses da forma ( dfrac {x ^ 2} {6 + k} + dfrac {y ^ 2} {k} = 1 ) são confocais.

79. O latus reto de uma elipse é um segmento de linha com pontos finais na elipse que passa por um foco e é perpendicular ao eixo principal. Mostre que ( dfrac {2b ^ 2} {a} ) é o comprimento do reto latus de ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2 } = 1 ) onde (a> b ).

Responder

1. D

3. B

5. Vértices ((0, pm 5) ), pontos finais do eixo secundário (( pm 2, 0) ), comprimento principal = 10, comprimento menor = 4

7. Vértices (( pm 5, 0) ), pontos finais do eixo secundário ((0, pm 1) ), comprimento principal = 4, comprimento menor = 2

9. Vértices (( pm 5, 0) ), pontos finais do eixo secundário ((0, pm 1) ), comprimento principal = 10, comprimento menor = 2

11. Vértices ((0, pm 4) ), pontos finais do eixo secundário (( pm 3, 0) ), comprimento principal = 8, comprimento menor = 6

13. Vértices ((0, pm 3 sqrt {2}) ), pontos finais do eixo secundário (( pm sqrt {2}, 0) ), comprimento principal = (6 sqrt {2} ), comprimento menor = (2 sqrt {2} )

15. ( dfrac {x ^ 2} {16} + dfrac {y ^ 2} {4} = 1 )

17. ( dfrac {x ^ 2} {1024} + dfrac {y ^ 2} {49} = 1 )

19. ( dfrac {x ^ 2} {4} + dfrac {y ^ 2} {9} = 1 )

21. B

23. C

25. F

27. G

29. Centro (1, -2), vértices (6, -2) e (-4, -2), pontos finais do eixo menor (1, 0) e (1, -4), comprimento principal = 10, comprimento menor = 4

31. Centro (-2, 3), vértices (-2, 8) e (-2, -2), pontos finais do eixo menor (-1, 3) e (-3, 3), comprimento principal = 10, comprimento menor = 2

33. Centro (-1, 0), vértices (-1, 4) e (-1, -4), pontos finais do eixo menor (-1, 0) e (3, 0), comprimento principal = 8, comprimento menor = 4

35. Centro (-1, -2), vértices (3, -2) e (-5, -2), pontos finais do eixo secundário (-1, 0) e (-1, -4), comprimento principal = 8, comprimento menor = 4

37. Centro (2, -1), vértices (2, 5) e (2, -7), pontos finais do eixo menor (6, -1) e (-2, -1), comprimento principal = 12, comprimento menor = 8

39. ((x - 3) ^ 2 + dfrac {(y + 1) ^ 2} {16} = 1 )

41. ( dfrac {(x + 4) ^ 2} {16} + dfrac {(y - 3) ^ 2} {25} = 1 )

43. 2,211083 pés

45,17 pés

47,64 pés

49. (( pm 4, 0) )

51. (-6, 6) e (-6, -4)

53. ( dfrac {x ^ 2} {9} + dfrac {y ^ 2} {5} = 1 )

55. ( dfrac {x ^ 2} {11} + dfrac {y ^ 2} {36} = 1 )

57. ( dfrac {x ^ 2} {49} + dfrac {y ^ 2} {24} = 1 )

59. ( dfrac {x ^ 2} {4} + dfrac {y ^ 2} {20} = 1 )

61. ( dfrac {x ^ 2} {16} + dfrac {y ^ 2} {8} = 1 )

63. ( dfrac {(x + 2) ^ 2} {12} + dfrac {(y - 1) ^ 2} {16} = 1 )

65. ( dfrac {(x - 3) ^ 2} {36} + dfrac {(y - 2) ^ 2} {11} = 1 )

67. ( dfrac {(x - 3) ^ 2} {21} + dfrac {(y + 1) ^ 2} {25} = 1 )

69. ( dfrac {(x - 1) ^ 2} {4} + dfrac {(y - 3) ^ 2} {5} = 1 )

71. ( dfrac {(x + 2) ^ 2} {289} + dfrac {(y + 1) ^ 2} {120} = 1 )

73,31,22 pés

75. ( dfrac {x ^ 2} {8640,632025} + dfrac {y ^ 2} {8638,214} = 1 )

77. ( dfrac {x ^ 2} {25} + dfrac {y ^ 2} {9} = 1 )

79. O centro está em (0, 0). Como (a> b ), a elipse é horizontal. Seja ( (c ), 0) o foco no eixo x positivo. Seja ( (c, h )) o ponto final no Quadrante 1 do latus reto passando por ( (c ), 0).

A distância entre o foco e o ponto final do reto latus pode ser encontrada substituindo ( (c ), 0) e ((c, h) ) na fórmula de distância (h = sqrt {(x_1 - x_2) ^ 2 + (y_1 - y_2) ^ 2} ) que resulta em (h = sqrt {(c - c) ^ 2 + (h - 0) ^ 2} = h ). Portanto, (h ) é a metade da distância latus reto. Substituindo ( (c ), (h )) na equação da elipse para encontrar (h ) resulta ( dfrac {c ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {h ^ 2} {b ^ 2} = 1 ). Resolva os rendimentos de (h ) (h ^ 2 = b ^ 2 (1 - dfrac {c ^ 2} {a ^ 2}) = b ^ 2 ( dfrac {a ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {c ^ 2} {a ^ 2}) = b ^ 2 ( dfrac {a ^ 2 - c ^ 2} {a ^ 2}) = b ^ 2 ( dfrac {b ^ 2} {a ^ 2}) = dfrac {b ^ 4} {a ^ 2} ). então (h = sqrt { dfrac {b ^ 4} {a ^ 2}} = dfrac {b ^ 2} {a} ). A distância do reto latus é (2h = dfrac {2b ^ 2} {a} ).


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