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2.2: Representando graficamente as funções básicas - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Defina e represente graficamente sete funções básicas.
  • Defina e represente graficamente as funções por partes.
  • Avalie funções definidas por partes.

Habilidades de pré-requisito

Antes de começar, faça este teste de pré-requisitos.

1. Simplifique ((- 3) ^ 2 ) sem usar uma calculadora.

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(9)

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2. Simplifique ((- 3) ^ 3 ) sem usar uma calculadora.

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(-27)

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3. Simplifique (| -3 | ).

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(3)

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4. Simplifique ( sqrt {4} ).

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(2)

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5. Simplifique ( dfrac {1} {1/3} ).

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(3)

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6. Em um pedaço de papel gráfico, plote e rotule estes pontos: A (3, -1), B (-2, -4), C (0, 0), D (-4, 0), E (0 , 3).

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Funções básicas

Nesta seção, representamos graficamente sete funções básicas que serão usadas ao longo deste curso. Cada função é representada graficamente por pontos de plotagem. Lembre-se de que (f (x) = y ) e, portanto, (f (x) ) e (y ) podem ser usados ​​alternadamente.

Qualquer função da forma (f (x) = c ), onde (c ) é qualquer número real, é chamada de constante função43. As funções constantes são lineares e podem ser escritas (f (x) = 0x + c ). Desta forma, fica claro que a inclinação é (0 ) e a interceptação (y ) é ((0, c) ). Avaliar qualquer valor para (x ), como (x = 2 ), resultará em (c ).

O gráfico de uma função constante é uma linha horizontal. O domínio é ((- infty, infty) ) e o intervalo consiste em um único valor ( {c } ).

Em seguida, definimos o identidade função44 (f (x) = x ). Avaliar qualquer valor para (x ) resultará no mesmo valor. Por exemplo, (f (0) = 0 ) e (f (2) = 2 ). A função de identidade é linear, (f (x) = 1x + 0 ), com inclinação (m = 1 ) e (y ) - interceptação ((0, 0) ).

O domínio e o intervalo consistem em todos os números reais, ((- infty, infty) ).

O quadrado função45, definido por (f (x) = x ^ {2} ), é a função obtida ao elevar ao quadrado os valores no domínio. Por exemplo, (f (2) = (2) ^ {2} = 4 ) e (f (−2) = (−2) ^ {2} = 4 ). O resultado do quadrado de valores diferentes de zero em o domínio sempre será positivo.

O gráfico curvo resultante é chamado de parábola46. O domínio é ((- infty, infty) ) e o intervalo é ([0, ∞) ). Veremos as parábolas com mais profundidade na Seção 2.4.

O cubagem função47, definido por (f (x) = x ^ {3} ), eleva todos os valores no domínio à terceira potência. Os resultados podem ser negativos, zero ou positivos. Por exemplo, (f (-1) = (-1) ^ {3} = -1, f (0) = (0) ^ {3} = 0 ) e (f (1) = (1 ) ^ {3} = 1 ).

O domínio e o intervalo consistem em todos os números reais, ((- infty, infty) ).

Observe que as funções constante, identidade, quadrado e cubo são exemplos de funções polinomiais básicas. As próximas três funções básicas não são polinômios.

O valor absoluto função48, definido por (f (x) = | x | ), é uma função onde a saída representa a distância até a origem em uma reta numérica. O resultado da avaliação da função de valor absoluto para qualquer valor diferente de zero de (x ) sempre será positivo. Por exemplo, (f (−2) = | −2 | = 2 ) e (f (2) = | 2 | = 2 ).

Como a parábola, o domínio é ((- infty, infty) ) e o intervalo é ([0, ∞) ).

O raiz quadrada função49, definido por (f (x) = sqrt {x} ), não é definido como um número real se os valores de (x ) - forem negativos. Portanto, o menor valor no domínio é zero. Por exemplo, (f (0) = sqrt {0} = 0 ) e (f (4) = sqrt {4} = 2 ).

O domínio e o intervalo consistem em números reais maiores ou iguais a zero ([0, ∞) ).

O recíproca função50, definido por (f (x) = frac {1} {x} ), é uma função racional com uma restrição no domínio, a saber (x ≠ 0 ). O recíproco de um valor (x ) muito próximo de zero é muito grande. Por exemplo,

( begin {alinhados} f (1/10) & = frac {1} { left ( frac {1} {10} right)} = 1 cdot frac {10} {1} = 10 f (1/100) & = frac {1} { left ( frac {1} {100} right)} = 1 cdot frac {100} {1} = 100 f (1 / 1,000) & = frac {1} { left ( frac {1} {1,000} right)} = 1 cdot frac {1,000} {1} = 1,000 end {alinhado} )

Em outras palavras, conforme os valores de (x ) se aproximam de zero, seus recíprocos tenderão para o infinito positivo ou negativo. Isso descreve um vertical assíntota51 no eixo (y ). Além disso, onde os valores de (x ) - são muito grandes, o resultado da função recíproca é muito pequeno.

( begin {alinhados} f (10) & = frac {1} {10} = 0,1 f (100) & = frac {1} {100} = 0,01 f (1000) & = frac {1} {1,000} = 0,001 end {alinhado} )

Em outras palavras, conforme os valores de (x ) se tornam muito grandes, os valores de (y ) resultantes tendem para zero. Isso descreve um horizontal assíntota52 no eixo (x ). Depois de traçar um número de pontos, a forma geral da função recíproca pode ser determinada.

Tanto o domínio quanto o intervalo da função recíproca consistem em todos os números reais, exceto (0 ) ou ((- ∞, 0) ∪ (0, ∞) ). Veremos a função recíproca com mais profundidade na Seção 2.6.

Em resumo, as funções polinomiais básicas são:

Figura 2.4.8

As funções não polinomiais básicas são:

Funções definidas por partes

UMA por partes função53, ou dividir função54, é uma função cuja definição muda dependendo do valor no domínio. Por exemplo, podemos escrever a função de valor absoluto (f (x) = | x | ) como uma função por partes:

(f (x) = | x | = left { begin {array} {cl} {x} & { text {if} x geq 0} {- x} & { text {if } x <0} end {array} right. )

Neste caso, a definição usada depende do sinal do valor (x ). Se o valor (x ) - for positivo, (x ≥ 0 ), então a função é definida por (f (x) = x ). E se o valor (x ) - for negativo, (x <0 ), então a função é definida por (f (x) = −x ).

A seguir está o gráfico das duas peças no mesmo plano de coordenadas retangular:

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Gráfico: (g (x) = left { begin {array} {ccc} {x ^ {2}} & { text {if}} & {x <0} { sqrt {x} } & { text {if}} & {x geq 0} end {array} right. ).

Solução

Nesse caso, representamos graficamente a função de quadratura sobre valores (x ) negativos e a função de raiz quadrada sobre valores (x ) positivos.

Observe o ponto aberto usado na origem para a função de quadratura e o ponto fechado usado para a função de raiz quadrada. Isso foi determinado pela desigualdade que define o domínio de cada parte da função. A função inteira consiste em cada peça representada graficamente no mesmo plano de coordenadas.

Responder:

Ao avaliar, o valor no domínio determina a definição apropriada a ser usada.

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Dada a função (h (t) = left { begin {array} {ll} {7t + 3} & { text {if} t <0} {−16t ^ {2} + 32t} & { text {if} t geq 0} end {array} right. ), encontre (h (−5), h (0), ) e (h (3) ).

Solução

Use (h (t) = 7t + 3 ) onde (t ) é negativo, conforme indicado por (t <0 ).

( begin {alinhados} h (t) & = 7 t + 5 h ( color {Cerúleo} {- 5} color {Preto} {)} & = 7 ( color {Cerúleo} {- 5 } color {Black} {)} + 3 & = - 35 + 3 & = - 32 end {alinhado} )

Onde (t ) é maior ou igual a zero, use (h (t) = −16t ^ {2} + 32t ).

( begin {alinhados} h ( color {Cerúleo} {0} color {Preto} {)} & = - 16 ( color {Cerúleo} {0} color {Preto} {)} + 32 ( color {Cerúleo} {0} color {Preto} {)} text {e} h ( color {Cerúleo} {3} color {Preto} {)} = 16 ( color {Cerúleo} {3} color {Black} {)} ^ {2} + 32 ( color {Cerulean} {3} color {Black} {)} & = 0 + 0 quad quad quad quad quad : quad = -144 +96 & = 0 quad quad quad quad quad quad quad quad = - 48 end {alinhado} )

Responder:

(h (−5) = −32, h (0) = 0, ) e (h (3) = −48 )

Exercício ( PageIndex {1} )

Gráfico: (f (x) = left { begin {array} {ll} { frac {2} {3} x + 1} & { text {if} x <0} {x ^ {2}} & { text {if} x geq 0} end {array} right. ).

Responder

www.youtube.com/v/0hEUnSN5Blw

A definição de uma função pode ser diferente em vários intervalos no domínio.

Exemplo ( PageIndex {3} ):

Gráfico: (f (x) = left { begin {array} {ll} {x ^ {3}} & { text {if} x <0} {x} & { text {if } 0 leq x leq 4} {6} & { text {if} x> 4} end {array} right. ).

Solução

Neste caso, represente graficamente a função cubing ao longo do intervalo ((- ∞, 0) ). Represente graficamente a função de identidade no intervalo ([0,4] ). Finalmente, represente graficamente a função constante (f (x) = 6 ) no intervalo ((4, ∞) ). E porque (f (x) = 6 ) onde (x> 4 ), usamos um ponto aberto no ponto ((4,6) ). Onde (x = 4 ), usamos (f (x) = x ) e, portanto, ((4,4) ) é um ponto no gráfico indicado por um ponto fechado.

Responder:

Principais vantagens

  • Plote pontos para determinar a forma geral das funções básicas. A forma, bem como o domínio e a extensão, de cada um devem ser memorizados.
  • As funções polinomiais básicas são: (f (x) = c, f (x) = x, f (x) = x ^ {2} ), e (f (x) = x ^ {3} ) .
  • As funções não polinomiais básicas são: (f (x) = | x |, f (x) = sqrt {x} ) e (f (x) = frac {1} {x} ).
  • Uma função cuja definição muda dependendo do valor no domínio é chamada de função por partes. O valor no domínio determina a definição apropriada a ser usada.

Notas de rodapé

43Qualquer função da forma (f (x) = c ) onde (c ) é um número real.

44A função linear definida por (f (x) = x ).

45A função quadrática definida por (f (x) = x ^ {2} ).

46O gráfico curvo formado pela função de quadratura.

47A função cúbica definida por (f (x) = x ^ {3} ).

48A função definida por (f (x) = | x | ).

49A função definida por (f (x) = sqrt {x} ).

50A função definida por (f (x) = frac {1} {x} ).

51Uma linha vertical da qual um gráfico se torna infinitamente próximo.

52Uma linha horizontal para a qual um gráfico se torna infinitamente próximo onde os valores (x ) - tendem para (± ∞ ).

53Uma função cuja definição muda dependendo dos valores no domínio.

54Um termo usado para se referir a uma função por partes.

55A função que atribui qualquer número real (x ) ao maior inteiro menor ou igual a (x ) denotado (f (x) = left [! ! [X] ! ! Right ] ).

56Um termo usado para se referir à função do maior inteiro.


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