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4.6: Funções Lineares - Cálculos - Matemática


Assim que você entrar em um táxi em Las Vegas, o medidor indicará imediatamente $ 3,50; esta é a carga de “queda” feita quando o taxímetro é ativado. Este capítulo faz parte de Pré-cálculo: Uma Investigação de Funções © Lippman & Rasmussen 2017. Usando variáveis ​​descritivas, escolhemos (m ) para milhas e (C ) para Custo em dólares em função de milhas: (C (m) ).

Sabemos com certeza que (C (0) = 3,50 ), uma vez que a carga de $ 3,50 é avaliada independentemente de quantas milhas são percorridas. Uma vez que $ 2,67 é adicionado para cada milha percorrida, então

[C (1) = 3,50 + 2,67 = 6,17 não numérico ]

Se então dirigíssemos uma segunda milha, outros $ 2,67 seriam adicionados ao custo:

[C (2) = 3,50 + 2,67 + 2,67 = 3,50 + 2,67 (2) = 8,84 não numérico ]

Se dirigíssemos uma terceira milha, outros $ 2,67 seriam adicionados ao custo:

[C (3) = 3,50 + 2,67 + 2,67 + 2,67 = 3,50 + 2,67 (3) = 11,51 não numérico ]

A partir disso, podemos observar o padrão e concluir que, se (m ) milhas forem percorridas,

(C (m) = 3,50 + 2,67m ) porque começamos com uma taxa de entrega de $ 3,50 e, em seguida, para cada aumento de milha, adicionamos $ 2,67.

É bom verificar se as unidades fazem sentido nesta equação. O custo da entrega de $ 3,50 é medido em dólares; a cobrança de $ 2,67 é medida em dólares por milha.

[C (m) = 3.50 text {dollars} + left (2.67 dfrac { text {dollars}} { text {miles}} right) left (m ; text {miles} right) ) enhum número ]

Quando os dólares por milha são multiplicados por um número de milhas, o resultado é um número de dólares, combinando as unidades no 3,50 e combinando as unidades desejadas no C função.

Observe que esta equação (C (m) = 3,50 + 2,67m ) consistia em duas quantidades. A primeira é a cobrança fixa de $ 3,50, que não muda com base no valor da entrada. O segundo é o valor de $ 2,67 dólares por milha, que é um taxa de variação. Na equação, essa taxa de mudança é multiplicada pelo valor de entrada.

Olhando para esse mesmo problema no formato de tabela, também podemos ver as mudanças de custo em $ 2,67 para cada aumento de 1 milha.

(m )0123
(Cm))3.506.178.8411.51

É importante notar aqui que, nesta equação, o taxa de mudança é constante; em qualquer intervalo, a taxa de variação é a mesma.

Representando graficamente esta equação, (C (m) = 3,50 + 2,67m ), vemos que a forma é uma linha, que é como essas funções recebem seu nome: funções lineares.

Quando o número de milhas é zero, o custo é $ 3,50, dando o ponto (0, 3,50) no gráfico. Esta é a interceptação vertical ou (C (m) ). O gráfico está aumentando em linha reta da esquerda para a direita porque, para cada milha, o custo aumenta $ 2,67; esta taxa permanece consistente.

Neste exemplo, você viu o custo do táxi modelado em palavras, uma equação, uma tabela e na forma gráfica. Sempre que possível, certifique-se de conectar essas quatro representações para desenvolver continuamente suas habilidades. É importante observar que nem sempre você será capaz de encontrar todas as 4 representações de um problema e, portanto, ser capaz de trabalhar com todas as 4 formas é muito importante.

Definição: Função Linear

UMA Função linear é uma função cujo gráfico produz uma linha. As funções lineares sempre podem ser escritas na forma

(f (x) = b + mx ) ou (f (x) = mx + b ); eles são equivalentes

Onde

  • (b ) é o valor inicial ou inicial da função (quando a entrada, x = 0), e
  • (m ) é a taxa constante de mudança da função

Muitas pessoas gostam de escrever funções lineares na forma (f (x) = b + mx ) porque corresponde à maneira como tendemos a falar: “A saída começa em (b ) e aumenta a uma taxa de (m ). ”

Por esta razão, usaremos a forma (f (x) = b + mx ) para muitos dos exemplos, mas lembre-se que eles são equivalentes e podem ser escritos corretamente em ambas as formas.

Definição: declive e aumento / diminuição

(m ) é a taxa constante de mudança da função (também chamada declive) Inclinação A inclinação determina se a função é crescente ou decrescente.

(f (x) = b + mx ) é um aumentando função se (m> 0 )

(f (x) = b + mx ) é um decrescente função se (m <0 )

Se (m = 0 ), a taxa de variação é zero e a função (f (x) = b + 0x = b ) é apenas uma linha horizontal passando pelo ponto (0, (b )) , nem aumentando nem diminuindo.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Marcus atualmente possui 200 músicas em sua coleção do iTunes. Todo mês, ele adiciona 15 novas músicas. Escreva uma fórmula para o número de músicas, (N ), em sua coleção do iTunes como uma função do número de meses, (m ). Quantas músicas ele terá em um ano?

Solução

O valor inicial para esta função é 200, já que atualmente ele possui 200 músicas, então (N (0) = 200 ). O número de músicas aumenta em 15 músicas por mês, então a taxa de mudança é de 15 músicas por mês. Com essas informações, podemos escrever a fórmula:

[N (m) = 200 + 15m não numérico ]

(N (m) ) é uma função linear crescente. Com esta fórmula podemos prever quantas músicas ele terá em 1 ano (12 meses):

[N (12) = 200 + 15 (12) = 200 + 180 = 380 não número ] Marcus terá 380 músicas em 12 meses.

Exercício ( PageIndex {1} )

Se você ganha $ 30.000 por ano e gasta $ 29.000 por ano, escreva uma equação para a quantidade de dinheiro que você economiza após y anos, se você começar do nada.

“O mais importante, gaste menos do que ganha! (http://www.thesimpledollar.com/2009/...than-you-earn/)

Responder

(S (y) = 30.000y - 29.000y = 1000y ) $ 1.000 são economizados a cada ano.

Definição: cálculo da taxa de mudança

Dados dois valores para a entrada, (x_ {1} { rm ; e ;} x_ {2} ), e dois valores correspondentes para a saída, (y_ {1} { rm ; e ;} y_ {2} ), ou um conjunto de pontos, ((x_ {1} { rm, ; ;} y_ {1}) ) e ((x_ {2} { rm, ; ;} y_ {2}) ), se desejarmos encontrar uma função linear que contenha ambos os pontos, podemos calcular a taxa de variação, m:

[m = dfrac { rm mudança ; em; output} { rm change ; em; input} = dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]

A taxa de variação de uma função linear também é chamada de declive da linha.

Observe na notação da função, (y_ {1} = f (x_ {1}) ) e (y_ {2} = f (x_ {2}) ), para que possamos escrever de forma equivalente

[m = dfrac {f left (x_ {2} right) -f left (x_ {1} right)} {x_ {2} -x_ {1}} ]

Exemplo ( PageIndex {2} )

A população de uma cidade aumentou de 23.400 para 27.800 entre 2002 e 2006. Encontre a taxa de mudança da população durante esse período.

Solução

A taxa de mudança relacionará a mudança na população à mudança no tempo. A população aumentou em (27800-23400 = 4400 ) pessoas no intervalo de tempo de 4 anos. Para encontrar a taxa de mudança, o número de pessoas por ano, a população mudou por:

[ dfrac {4400 text {people}} {4 text {years}} = 1100 dfrac { text {people}} { text {year}} = 1100 text {people per year} nonumber ]

Observe que sabíamos que a população estava aumentando, então esperaríamos que nosso valor para (m ) fosse positivo. Esta é uma forma rápida de verificar se o seu valor é razoável.

Exemplo ( PageIndex {3} )

A pressão, (P ), em libras por polegada quadrada (PSI) em um mergulhador depende de sua profundidade abaixo da superfície da água, (d ), em pés, seguindo a equação (P (d) = 14,696 + 0,434d ). Interprete os componentes desta função.

Solução

A taxa de mudança, ou inclinação, 0,434 teria unidades ( dfrac { text {output}} { text {input}} = dfrac { text {pressure}} { text {profundidade}} = dfrac { text {PSI}} { text {ft}} ). Isso nos diz que a pressão sobre o mergulhador aumenta em 0,434 PSI para cada pé que sua profundidade aumenta.

O valor inicial, 14,696, terá as mesmas unidades da saída, então isso nos diz que a uma profundidade de 0 pés, a pressão no mergulhador será de 14,696 PSI.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Se (f (x) ) é uma função linear, (f (3) = - 2 ) e (f (8) = 1 ), encontre a taxa de mudança.

Solução

(f (3) = - 2 ) nos diz que a entrada 3 corresponde à saída -2, e (f (8) = 1 ) nos diz que a entrada 8 corresponde à saída 1. Para encontrar o taxa de mudança, dividimos a mudança na saída pela mudança na entrada:

[m = dfrac { text {mudança na saída}} { text {mudança na entrada}} = dfrac {1 - (- 2)} {8-3} = dfrac {3} {5} não numérico ] Se desejar, também podemos escrever como (m = 0,6 )

Observe que não é importante qual par de valores vem primeiro nas subtrações, desde que o primeiro valor de saída usado corresponda ao primeiro valor de entrada usado.

Exercício ( PageIndex {2} )

Dados os dois pontos (2, 3) e (0, 4), encontre a taxa de variação. Esta função está aumentando ou diminuindo?

Responder

(m = dfrac {4-3} {0-2} = dfrac {1} {- 2} = - dfrac {1} {2} ); Diminuindo porque (m <0 )

Agora podemos encontrar a taxa de mudança dados dois pares de entrada-saída e podemos escrever uma equação para uma função linear, uma vez que temos a taxa de mudança e o valor inicial. Se tivermos dois pares de entrada-saída e eles não incluírem o valor inicial da função, teremos que resolvê-lo.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Escreva uma equação para a função linear representada graficamente à direita.

Solução

Olhando para o gráfico, podemos notar que ele passa pelos pontos (0, 7) e (4, 4). A partir do primeiro valor, sabemos que o valor inicial da função é (b = 7 ), portanto, neste caso, precisaremos apenas calcular a taxa de mudança:

[m = dfrac {4-7} {4-0} = dfrac {-3} {4} não numérico ]

Isso nos permite escrever a equação:

[f (x) = 7- dfrac {3} {4} x nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {6} )

Se (f (x) ) é uma função linear, (f (3) = - 2 ) e (f (8) = 1 ), encontre uma equação para a função.

Solução

No exemplo 3, calculamos a taxa de mudança como sendo (m = dfrac {3} {5} ). Neste caso, não sabemos o valor inicial (f (0) ), então teremos que resolvê-lo. Usando a taxa de variação, sabemos que a equação terá a forma (f (x) = b + dfrac {3} {5} x ). Como sabemos o valor da função quando (x = 3 ), podemos avaliar a função em 3.

[f (3) = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] Uma vez que sabemos que (f (3) = - 2 ), podemos substituir no lado esquerdo

[- 2 = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] Isso nos deixa com uma equação que podemos resolver para o valor inicial

[b = -2- dfrac {9} {5} = dfrac {-19} {5} não número ]

Combinando isso com o valor da taxa de variação, podemos agora escrever uma fórmula para esta função:

[f (x) = dfrac {-19} {5} + dfrac {3} {5} x não numérico ]

Exemplo ( PageIndex {7} )

Trabalhando como vendedor de seguros, Ilya ganha um salário base e uma comissão em cada nova apólice, então a renda semanal de Ilya, (I ), depende do número de novas apólices, (n ), ele vende durante a semana. Na semana passada, ele vendeu 3 novas apólices e ganhou $ 760 pela semana. Na semana anterior, ele vendeu 5 novas apólices e ganhou $ 920. Encontre uma equação para (I (n) ) e interprete o significado dos componentes da equação.

Solução

As informações fornecidas nos fornecem dois pares de entrada-saída: (3.760) e (5.920). Começamos encontrando a taxa de mudança.

[m = dfrac {920-760} {5-3} = dfrac {160} {2} = 80 não numérico ]

Manter o controle das unidades pode nos ajudar a interpretar essa quantidade. A receita aumentou em $ 160 quando o número de apólices aumentou em 2, portanto, a taxa de alteração é de $ 80 por apólice; Ilya ganha uma comissão de $ 80 para cada apólice vendida durante a semana.

Podemos então resolver o valor inicial

[I (n) = b + 80n não numérico ] então quando (n = 3 ), (I (3) = 760 ), dando

[760 = b + 80 (3) nonumber ] isso nos permite resolver para (b )

[b = 760-80 (3) = 520 não numérico ]

Este valor é o valor inicial da função. Esta é a receita de Ilya quando (n = 0 ), o que significa que nenhuma nova apólice é vendida. Podemos interpretar isso como o salário base de Ilya para a semana, que não depende do número de apólices vendidas.

Escrevendo a equação final:

[I (n) = 520 + 80n não número ]

Nossa interpretação final é: o salário-base de Ilya é $ 520 por semana e ele ganha uma comissão adicional de $ 80 para cada apólice vendida a cada semana.

flashback

Olhando para o Exemplo 7:

Determine as variáveis ​​independentes e dependentes.

O que é um domínio e intervalo razoáveis?

Esta função é individual?

Responder

(n ) (número de apólices vendidas) é a variável independente

(I (n) ) (renda semanal em função das apólices vendidas) é a variável dependente.

Um domínio razoável é (0, 15) ({} ^ {*} )

Um intervalo razoável é ($ 540, $ 1740) ({} ^ {*} )

({} ^ {*} ) as respostas podem variar conforme o raciocínio é declarado; 15 é um limite superior arbitrário com base na venda de 3 apólices por dia em uma semana de trabalho de 5 dias e $ 1.740 corresponde ao domínio.

Sim, esta função é individual

Exercício ( PageIndex {3} )

O saldo em sua conta de pagamento da faculdade, (C ), é uma função do número de trimestres, (q ), que você frequenta. Interprete a função (C (a) = 20000 - 4000q ) em palavras. Por quantos trimestres de faculdade você pode pagar até que esta conta esteja vazia?

Responder

Sua conta da faculdade começa com $ 20.000 e você retira $ 4.000 a cada trimestre (ou sua conta contém $ 20.000 e diminui em $ 4.000 a cada trimestre.) Resolvendo (C (a) = 0 ) resulta (a = 5 ). Você pode pagar 5 trimestres antes que o dinheiro desta conta acabe.

Exemplo ( PageIndex {8} )

Dada a tabela abaixo, escreva uma equação linear que represente os valores da tabela

(w ), número de semanas0246
(P (w) ), número de ratos1000108011601240

Solução

Podemos ver na tabela que o valor inicial de ratos é 1000, portanto, no formato linear

[P (w) = b + mw, : b = 1000 nonumber ]

Em vez de resolver para (m ), podemos notar na tabela que a população aumenta em 80 a cada 2 semanas que passam. Esta taxa é consistente da semana 0 às semanas 2, 4 e 6. A taxa de variação é de 80 ratos por 2 semanas. Isso pode ser simplificado para 40 ratos por semana e podemos escrever

[P (w) = b + mw text {as} P (w) = 1000 + 40w não numérico ]

Se você não percebeu isso na tabela, ainda pode resolver a inclinação usando quaisquer dois pontos da tabela. Por exemplo, usando (2, 1080) e (6, 1240),

[m = dfrac {1240-1080} {6-2} = dfrac {160} {4} = 40 text {ratos por semana} nonumber ]

Tópicos importantes desta seção

  • Definição de Modelagem
  • Definição de uma função linear
  • Estrutura de uma função linear
  • Aumentando e diminuindo funções
  • Encontrando a interceptação vertical (0, b)
  • Encontrando a inclinação / taxa de mudança, m
  • Interpretando funções lineares


Assista o vídeo: Lineære funksjoner (Outubro 2021).