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8.3E: Fourier Series II (Exercícios) - Matemática


Em Exercício 8.3.2 gráfico (f ) e algumas somas parciais das séries necessárias.

Q8.3.1

Em Exercícios 8.3.1-8.3.10 encontre a série de cossenos de Fourier.

1. (f (x) = x ^ 2 ); ([0, L] )

2. (f (x) = 1-x ); ([0,1] )

3. (f (x) = x ^ 2-2Lx ); ([0, L] )

4. (f (x) = sin kx ) ( (k ne ) inteiro); ([0, pi] )

5. (f (x) = left { begin {array} {cl} 1, & 0 le x le {L over2} 0, & {L over2}

6. (f (x) = x ^ 2-L ^ 2 ); ([0, L] )

7. (f (x) = (x-1) ^ 2 ); ([0,1] )

8. (f (x) = e ^ x ); ([0, pi] )

9. (f (x) = x (L-x) ); ([0, L] )

10. (f (x) = x (x-2L) ); ([0, L] )

Q8.3.2

Em Exercícios 8.3.11-8.3.17 encontre a série senoidal de Fourier

11. (f (x) = 1 ); ([0, L] )

12. (f (x) = 1-x ); ([0,1] )

13. (f (x) = cos kx ) ( (k ne ) inteiro); ([0, pi] )

14. (f (x) = left { begin {array} {cl} 1, & 0 le x le {L over2} 0, & {L over2}

15. (f (x) = left { begin {array} {cl} x, & 0 le x le {L over2}, Lx, & {L over2} le x le L; end {array} right. ) ([0, L] ).

16. (f (x) = x sin x ); ([0, pi] )

17. (f (x) = e ^ x ); ([0, pi] )

Q8.3.3

Em Exercícios 8.3.18-8.3.24 encontre a série mista de cossenos de Fourier.

18. (f (x) = 1 ); ([0, L] )

19. (f (x) = x ^ 2 ); ([0, L] )

20. (f (x) = x ); ([0,1] )

21. (f (x) = left { begin {array} {cl} 1, & 0 le x le {L over2} 0, & {L over2}

22. (f (x) = cos x ); ([0, pi] )

23. (f (x) = sin x ); ([0, pi] )

24. (f (x) = x (L-x) ); ([0, L] )

Q8.3.4

Em Exercícios 8.3.25-8.3.30 encontre a série senoidal mista de Fourier.

25. (f (x) = 1 ); ([0, L] )

26. (f (x) = x ^ 2 ); ([0, L] )

27. (f (x) = left { begin {array} {cl} 1, & 0 le x le {L over2} 0, & {L over2}

28. (f (x) = cos x ); ([0, pi] )

29. (f (x) = sin x ); ([0, pi] )

30. (f (x) = x (L-x) ); ([0, L] ).

Q8.3.5

Em Exercícios 8.3.31-8.3.34 use o Teorema 8.3.5a para encontrar a série de cossenos de Fourier de (f ) em ([0, L] ).

31. (f (x) = 3x ^ 2 (x ^ 2-2L ^ 2) )

32. (f (x) = x ^ 3 (3x-4L) )

33. (f (x) = x ^ 2 (3x ^ 2-8Lx + 6L ^ 2) )

34. (f (x) = x ^ 2 (x-L) ^ 2 )

Q8.3.6

35.

  1. Prove o Teorema 8.3.5b.
  2. Além das suposições do Teorema 8.3.5b, suponha que (f '' (0) = f '' (L) = 0 ), (f '' ') é contínuo, e (f ^ {( 4)} ) é contínuo por partes em ([0, L] ). Mostre que [b_n = {2L ^ 3 over n ^ 4 pi ^ 4} int_0 ^ L f ^ {(4)} (x) sin {n pi x over L} , dx, quad n ge1. nonumber ]

Q8.3.7

Em Exercícios 8.3.36-8.3.41 use o Teorema 8.3.5b ou, quando aplicável, Exercícios 8.1.35b para encontrar a série senoidal de Fourier de (f ) em ([0, L] ).

36. (f (x) = x (L-x) )

37. (f (x) = x ^ 2 (L-x) )

38. (f (x) = x (L ^ 2-x ^ 2) )

39. (f (x) = x (x ^ 3-2Lx ^ 2 + L ^ 3) )

40. (f (x) = x (3x ^ 4-10L ^ 2x ^ 2 + 7L ^ 4) )

41. (f (x) = x (3x ^ 4-5Lx ^ 3 + 2L ^ 4) )

Q8.3.8

42.

  1. Prove o Teorema 8.3.5c.
  2. Além das suposições do Teorema 8.3.5c, suponha que (f '' (L) = 0 ), (f '' ) seja contínua, e (f '' ') é contínua por partes em ( [0, L] ). Mostre que [c_n = {16L ^ 2 over (2n-1) ^ 3 pi ^ 3} int_0 ^ L f '' '(x) sin {(2n-1) pi x over2L} , dx, quad n ge1. nonumber ]

Q8.3.9

Em Exercícios 8.3.43-8.3.49 use o Teorema 8.3.5c, ou onde aplicável, Exercício 8.1.42b, para encontrar a série mista de cossenos de Fourier de (f ) em ([0, L] ).

43. (f (x) = x ^ 2 (L-x) )

44. (f (x) = L ^ 2-x ^ 2 )

45. (f (x) = L ^ 3-x ^ 3 )

46. ​​ (f (x) = 2x ^ 3 + 3Lx ^ 2-5L ^ 3 )

47. (f (x) = 4x ^ 3 + 3Lx ^ 2-7L ^ 3 )

48. (f (x) = x ^ 4-2Lx ^ 3 + L ^ 4 )

49. (f (x) = x ^ 4-4Lx ^ 3 + 6L ^ 2x ^ 2-3L ^ 4 )

Q8.3.10

50.

  1. Prove o Teorema 8.3.5d.
  2. Além das premissas do Teorema 8.3.5d, suponha que (f '' (0) = 0 ), (f '' ) é contínuo, e (f '' ') é contínuo por partes em ( [0, L] ). Mostre que [d_n = - {16L ^ 2 over (2n-1) ^ 3 pi ^ 3} int_0 ^ L f '' '(x) cos {(2n-1) pi x over2L} , dx, quad n ge1. enhum número]

Q8.3.11

Em Exercícios 8.3.51-8.3.56 use o Teorema 8.3.5d ou, quando aplicável, Exercício 8.3.50b, para encontrar a série sinusoidal de Fourier mista de (f ) em ([0, L] ).

51. (f (x) = x (2L -x) )

52. (f (x) = x ^ 2 (3L-2x) )

53. (f (x) = (x-L) ^ 3 + L ^ 3 )

54. (f (x) = x (x ^ 2-3L ^ 2) )

55. (f (x) = x ^ 3 (3x-4L) )

56. (f (x) = x (x ^ 3-2Lx ^ 2 + 2L ^ 3) )

Q8.3.12

57. Mostre que a série mista de cossenos de Fourier de (f ) em ([0, L] ) é a restrição de ([0, L] ) da série de cossenos de Fourier de

[f_3 (x) = left { begin {array} {cl} f (x), & 0 le x le L, - f (2L-x), & L

em ([0,2L] ). Use isso para provar o Teorema 8.3.3.

58. Mostre que a série senoidal de Fourier mista de (f ) em ([0, L] ) é a restrição a ([0, L] ) da série senoidal de Fourier de

[f_4 (x) = left { begin {array} {cl} f (x), & 0 le x le L, f (2L-x), & L

em ([0,2L] ). Use isso para provar o Teorema 8.3.4.

59. Mostre que a série senoidal de Fourier de (f ) em ([0, L] ) é a restrição a ([0, L] ) da série senoidal de Fourier de

[f_3 (x) = left { begin {array} {cl} f (x), & 0 le x le L, - f (2L-x), & L

em ([0,2L] ).

60. Mostre que a série cosseno de Fourier de (f ) em ([0, L] ) é a restrição a ([0, L] ) da série cosseno de Fourier de

[f_4 (x) = left { begin {array} {cl} f (x), & 0 le x le L, f (2L-x), & L

em ([0,2L] ).


Prefácio

Esta seção é sobre Séries de Fourier e suas propriedades básicas. Discussões adicionais e suas aplicações são apresentadas nas seções a seguir.

Conteúdos [esconder]

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Introdução à Álgebra Linear com Mathematica


Um primeiro olhar para a série de Fourier: um prelúdio para a análise harmônica

Nesta postagem do blog, vou apresentar a série Fourier.

Definição: (funções periódicas)
Se for um número real positivo, então diz-se que uma função é periódico if é válido para cada número real.

Observe que uma função é periódica para alguns se e somente se a função é periódica, portanto, para entender as propriedades das funções periódicas, é suficiente entender essas propriedades para as funções periódicas.

Terminologia: nesta postagem do blog, salvo indicação em contrário, dizendo um periódico função, devemos dizer que é periódica.

Exercício 1:

Se forem funções periódicas, mostre que, para qualquer uma, a função também é periódica.

Assim, o conjunto de todas as funções periódicas forma um espaço vetorial. Consideramos o subespaço linear desse espaço vetorial consistindo nas funções periódicas contínuas que denotamos por. Neste espaço vetorial, definimos um produto interno, definindo

Verificar se (1) realmente define um produto interno é deixado como um exercício para os leitores.

Exercício 2:

Mostre que a função conforme definida em (1) é de fato um produto interno em.

Acontece que uma importante classe de funções periódicas é composta pelas funções exponenciais que definimos a seguir.

Definição (funções exponenciais)
Para cada número inteiro, nós definimos.
Essas funções s (para) são chamadas de funções exponenciais.

Acontece que essas funções são linearmente independentes.

Prova: Temos e para o integrando é a função constante, de modo que para qualquer um conseguimos.

Se então de onde temos e, portanto, segue-se que se.

Agora, suponha que para alguns escalares temos

então, da conclusão derivada acima, segue-se que

e assim colocar obtém-se por linearidade e, portanto, segue-se que as funções são linearmente independentes.

Finalmente, por um argumento inteiramente paralelo, segue-se que se uma função é expressável como

para alguns coeficientes, então para cada um.

Em vista da Proposição 3, pode-se agora desejar obter uma expressão para uma função como uma combinação linear das funções exponenciais. Mas, como se pode ver, isso não deve ser feito para todas as funções, pois pode-se ter funções periódicas contínuas muito mal-comportadas que não podem ser expressas como uma soma finita das funções exponenciais suaves. No entanto, temos um resultado importante que diz que qualquer função pode ser aproximada no sentido por uma sequência de somas parciais de funções exponenciais, e isso nos leva à importante teoria da série de Fourier.

Definição (norma)
Para uma função, definimos sua norma escrita como a ser definida por
.

Exercício 4:

Mostre que, conforme definido em (3), é de fato uma norma ultrapassada.

Mostre que se estende ao espaço de todas as funções periódicas que são integráveis ​​por Riemann, mas que aqui perde sua definição positiva.

Acontece que é mais adequado lidar com a classe maior de funções periódicas integráveis ​​de Riemann.

Definição (coeficientes de Fourier)
Para uma função e um inteiro, definimos o o coeficiente de Fourier para ser a quantidade.

Em primeiro lugar, para que a definição dos coeficientes de Fourier (conforme dada acima) seja válida, devemos garantir que a quantidade realmente existe, e a prova disso é deixada como um exercício para os leitores.

Exercício 5

Mostre isso se então.

A seguir, gostaríamos de mostrar que a seqüência de somas parciais converge para a função na norma. Para isso, precisamos da ferramenta poderosa da desigualdade de Bessel.

Lema 6 (identidade de Bessel)
Let e ​​para qualquer let denotam o ésimo coeficiente de Fourier de. Então, por tudo que temos

e, portanto, a reivindicação segue.

Teorema 7 (desigualdade de Bessel)
Se com os coeficientes de Fourier, então um tem

Prova: O resultado segue de (4), assumindo o lado direito.

convergência

Na seção anterior, já introduzimos a norma de uma função e, conforme observado no Exercício 4, essa norma pode ser estendida a uma pseudo-norma (ou seja, uma função que satisfaça todas as propriedades de uma norma, exceto para o definido-positivo) sobre o espaço de todas as funções periódicas integráveis ​​de Riemann. A convergência em relação a esta (pseudo) norma é denominada convergência. Em um tom mais preciso, temos a seguinte definição.

Definição (convergência)
Dizemos que uma sequência de funções converge em norma para uma função se a distância como

As duas outras noções úteis de convergência são convergência pontual e convergência uniforme. Vamos ver como a convergência está relacionada a esses modos de convergência. Acontece que a convergência e a convergência pontual são, em certo sentido, desconexas, no sentido de que nenhuma delas implica a outra.

Exercício 8:

Let Ser uma seqüência de funções em.

(i.) Mostre que se converge para uma função na norma e para uma função pontualmente, então devemos ter.

(ii.) Construir tal sequência de funções que converge pontualmente para uma função, mas não converge para nenhuma função na norma.

(iii.) Construir tal sequência de funções que converge para uma função na norma, mas não converge para qualquer função pontualmente.

Assim, como vemos no exercício acima, convergência pontual não implica convergência na norma. Mas a noção mais forte de convergência uniforme implica convergência na norma.

Proposição 9
Se uma seqüência de funções converge uniformemente para uma função, então converge para a norma.

Prova: Deixe, então, existir tal que para cada um e cada um tem e, assim, tomar em ambos os lados dá-nos e assim a reivindicação segue.

Agora estamos em posição de apresentar o primeiro teorema principal desta postagem do blog.

Teorema 10
Se então a série de Fourier converge para a norma.

Existem várias maneiras de provar a convergência da série de Fourier aqui, discutimos uma das provas mais elementares do resultado. A fórmula a seguir terá um papel fundamental em nossa prova do Teorema 10.

Exercício 11:

Para mostrar que

Definição (função de etapa de Riemann)
Pois definimos sua função de indicador ou função característica a ser definida por se e de outra forma.
Sejam subintervalos de Uma função degrau de Riemann é uma função da forma de alguns coeficientes reais s.

Exercício 12:

Mostre que se é uma função degrau de Riemann e se nos estendermos definindo de acordo com a equação para cada uma, então mostre que

Assim, podemos agora falar sobre provar o Teorema 10 para a classe especial de funções passo de Riemann.

Lema 13:
Seja tal que seja uma função degrau de Riemann. Então, a série de Fourier converge para a norma.

Na verdade, provar o Teorema 10 para este caso especial é bom o suficiente.

Exercício 13:

Mostre que o Teorema 10 e o Lema 13 são logicamente equivalentes.

Portanto, é suficiente provar o Lema 13. Podemos fazer mais algumas simplificações.

Exercício 14:

Mostre que se a série de Fourier de uma função converge em norma para e a série de Fourier de uma função converge em norma para e são três constantes reais arbitrárias, então o seguinte é verdadeiro:

(i.) A série de Fourier da função converge para na norma.

(ii.) A série de Fourier da função converge para a função na norma.

Assim, é suficiente provar o Lema 13 no caso especial quando é a função característica de um intervalo da forma para alguns, uma vez que qualquer função degrau de Riemann pode ser escrita como uma combinação linear real da função característica de translada de intervalos finitos de a forma .

Prova do lema 13: Basta mostrar isso, graças à identidade de Bessel. Devemos primeiro mostrar isso para o caso especial, quando para alguns

Neste caso, os coeficientes de Fourier de são e

Agora, usando (5) podemos calcular

E um cálculo direto também mostra isso, comprovando assim a afirmação.

A série Fourier tem várias outras propriedades interessantes, mas não as discutiremos aqui, pois esta postagem do blog se destina a uma primeira leitura do assunto.


Séries de Fourier

Esta é uma introdução concisa à série de Fourier que cobre a história, os principais temas, teoremas, exemplos e aplicações. Ele pode ser usado para aprender o assunto e também para complementar, aprimorar e embelezar cursos de graduação em análise matemática. O livro começa com um breve resumo da rica história da série de Fourier ao longo de três séculos. O assunto é apresentado de uma forma que permite ao leitor apreciar como uma teoria matemática se desenvolve em etapas, desde um problema prático (como a condução de calor) até uma teoria abstrata que trata de conceitos como conjuntos, funções, infinito e convergência. A teoria abstrata, então, fornece aplicações imprevistas em diversas áreas. O autor começa com uma descrição do problema que levou Fourier a apresentar sua famosa série. Os problemas matemáticos a que isso leva são discutidos rigorosamente. Exemplos, exercícios e instruções para leitura e pesquisa adicionais são fornecidos, junto com um capítulo que fornece materiais em um nível mais avançado adequado para alunos de pós-graduação. O autor demonstra as aplicações da teoria a uma ampla gama de problemas. Os exercícios de vários níveis de dificuldade que estão espalhados ao longo do livro ajudarão os leitores a testar sua compreensão do material.

Críticas e endossos

Este livro é uma introdução muito legível à série Fourier, adequada para cientistas e engenheiros. Ele é salpicado de dicas sobre desenvolvimentos mais recentes e tem muitos comentários históricos interessantes que irão intrigar os melhores alunos e alunos de matemática. O autor quase fala com os leitores e destaca com habilidade o que é importante. Uma boa parte do material está no extenso conjunto de exercícios. Se este belo texto estivesse disponível quando eu estava ensinando, eu o teria usado para um curso de nível júnior-sênior para especialização em ciências e matemática.


Pesquisa Relevante Anterior

Gueudet e Quéré (2018) levantam a questão de como o ensino de matemática pode responder às necessidades dos cursos de engenharia e quais devem ser as características desse ensino. Flegg et al. (2012) mencionam que existem diferentes visões sobre o grau de rigor e formalidade em matemática de engenharia. Eles argumentam que “sem a conexão explícita entre teoria e prática, o conteúdo matemático dos programas de engenharia pode não ser visto pelos alunos como relevante” (Flegg et al., 2012, p. 718). Eles também afirmam que, nos casos em que os departamentos de matemática ensinam o conteúdo matemático aos alunos de engenharia, os departamentos de engenharia podem ter pouca ideia de qual conteúdo matemático os alunos são expostos.

Biehler, Kortemeyer e Schaper (2015) investigaram um curso de primeiro ano em engenharia elétrica, analisando tarefas que exigiam conhecimentos e recursos cognitivos tanto da matemática quanto da engenharia elétrica. Eles identificaram casos em que havia uma lacuna entre a matemática aprendida, na escola ou na universidade, e a matemática necessária para resolver tarefas de engenharia. Gueudet e Quéré (2018) enfatizam a necessidade de fazer conexões e discutem a conectividade em vários níveis. Aqui, a conectividade no nível micro poderia ser, por exemplo, conexões entre diferentes áreas temáticas, entre diferentes representações semióticas e entre diferentes conceitos.

Recentemente, vários pesquisadores mostraram como o ATD pode ser uma ferramenta útil para investigar a matemática para grupos de usuários, como estudantes de engenharia. Hochmuth, Biehler e Schreiber (2014) discutem e contrastam o uso de ciclos de modelagem com o uso de ATD para estudar relações epistêmicas entre matemática em cursos superiores de matemática e matemática em cursos de engenharia. Eles argumentam que o ATD pode ser uma ferramenta relevante a ser usada, por exemplo, para abordar questões como "[quais] significados são atualizados no contexto de tarefas e situações específicas?" (Hochmuth et al., P. 697). Peters, Hochmuth e Schreiber (2017) usam o que eles chamam de modelo ATD praxeológico estendido para analisar a relação entre diferentes discursos matemáticos em cursos de engenharia, como Sinais e Teoria de Sistemas. Aqui, o modelo 4 T é estendido no sentido de que as técnicas e tecnologias são divididas em dois ramos, dependendo se a justificativa vem do raciocínio eletrotécnico ou físico, ou do raciocínio matemático. Isso é semelhante à minha distinção entre os sistemas didáticos e as praxeologias correspondentes BM e E.

De particular relevância para o meu estudo são vários artigos recentes de González-Martín e Hernandes-Gomes (2017, 2018, 2019a, b). Esses autores compararam apresentações em livros didáticos de Cálculo com apresentações em livros didáticos para cursos de engenharia profissional para ver até que ponto os conceitos e técnicas de Cálculo são necessários para lidar com as tarefas nos tópicos de engenharia. Vou agora dar um breve relato de seu trabalho.

No primeiro da série de artigos (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2017), os autores examinam o uso de integrais em relação aos momentos fletores na engenharia civil e mecânica. Uma parte importante de sua análise é baseada na análise de partes de um livro-texto de Cálculo e partes de um livro-texto em um curso de Força dos Materiais, usado pelos mesmos alunos. Eles descobriram que, embora a noção de integral tenha sido usada para ensinar o tópico de momentos fletores no curso de engenharia, as técnicas se baseavam principalmente em considerações geométricas. Eles descobriram que o livro didático no curso de engenharia evitava usar notações e propriedades institucionalizadas no Cálculo e concluíram que a maneira como as integrais são ensinadas no curso de Cálculo segue praxeologias matemáticas que estão muito distantes da maneira como as integrais são usadas em cursos profissionais. Em dois outros artigos, (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2018, 2019a), os mesmos autores investigam o uso de integrais para computar os primeiros momentos de regiões planas em um curso de engenharia civil. Também neste caso constataram que as tarefas e técnicas desenvolvidas no curso de engenharia não surgiam da matemática, mas de um discurso da engenharia, e que é apenas na tecnologia (θ) que aparecem as integrais (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2019a, p. 283). No artigo mais recente, (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2019b), os autores estenderam suas investigações ao uso de integrais no eletromagnetismo. Parece que os resultados também neste caso apontam na mesma direção que nas investigações anteriores. Os integrais são usados ​​para definir as noções em questão, mas as tarefas podem ser resolvidas usando considerações geométricas, tabelas e fórmulas prontas para uso (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2019b). Conseqüentemente, são os aspectos conceituais da integral que são importantes, não as técnicas de cálculo.

Existem também estudos interessantes que não usam ATD comparando livros didáticos em matemática com livros didáticos usados ​​em áreas de engenharia. Como exemplo, Alpers (2017) investigou dois livros didáticos de estática de engenharia, um dos EUA e um da Alemanha, e comparou a apresentação nesses livros ao que ele descreveu como “o tratamento usual em livros didáticos de matemática” (Alpers, 2017, p. . 137). Isso significa que ele não consultou um livro específico de matemática, mas confiou em sua percepção do que seria o tratamento comum em livros de matemática. Fazendo uma análise documental dos dois livros didáticos de engenharia, ele encontrou diferenças essenciais no que diz respeito ao conceito, construção e notação de vetores, bem como ao uso de diferenciais e ao conceito e notação de deslocamentos virtuais. Ele afirma que as diferenças entre a apresentação nos livros investigados e uma apresentação padrão em matemática contêm potencial para incompatibilidades cognitivas entre a aprendizagem dos alunos em matemática e em estática (Alpers, 2017, p. 140).

O trabalho em engenharia mecânica mencionado acima indica uma lacuna bastante grande entre praxeologias em matemática e partes de engenharia. Acrescentarei à literatura existente comparando praxeologias em matemática e teoria dos sinais.


Análise de Fourier e introdução Capítulo 3 Exercício 17

[Dica: pode-se supor que $ f $ está aumentando e dizer $ | f | le M. $ Primeiro verifique se os coeficientes de Fourier da função caraterística de $ [a, b] $ satisfazem $ O (1 / | n |). $ Agora mostre que uma soma da forma $ sum_^alfa_ chi _ <[a_k, a_k + 1]> (x) $ com $ - pi = a_1 & lta_2 . & lta_N & lta_= pi $ e $ -M le alpha_ <1> le. le alpha_ le M $ tem coeficientes de Fourier que são $ O (1 / | n |) $ uniformemente em $ N $. Somando por partes obtém-se uma soma telescópica $ sum ( alpha_-alfa_) $, que pode ser limitado por $ 2 milhões. $ Agora, aproxime pela função do tipo acima.]

Eu realmente não sei como calcular: $ int _ <- pi> ^ < pi> sum_^alfa_ chi _ <[a_k, a_k + 1]> (x) e ^ <-inx> dx $ Já que não sei qual função caraterística é usada neste caso.


8.3E: Fourier Series II (Exercícios) - Matemática

Métodos Lineares de Matemática Aplicada

Evans M. Harrell II e James V. Herod *

* (c) Copyright 1994,1997,2000 de Evans M. Harrell II e James V. Herod. Todos os direitos reservados.

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4. Calculando a Série de Fourier

Nesta seção, calculamos várias séries de Fourier. Como sabemos, encontrar uma série de Fourier significa simplesmente calcular várias integrais, o que muitas vezes pode ser feito com software ou com tabelas de integrais. Uma vez que realizar integrais não é muito mais interessante na era moderna do que a divisão longa, nossos objetivos nesta seção serão obter uma impressão visual e analítica do que esperar da série de Fourier e compreender o círculo vicioso de simetria nos cálculos. Muitos dos cálculos neste capítulo estão disponíveis em um caderno do Mathematica ou planilha do Maple.

Vamos começar avaliando a série de Fourier para as funções:

O comprimento L foi escolhido como.

Queremos representar essas funções na forma começando com f (x).

Problema do modelo IV.1. Use o software para calcular a série completa de Fourier para a função f (x) conforme definido acima e investigue sua convergência.

Solução. As fórmulas para esses coeficientes foram fornecidas no Capítulo II: (ou seja, a média de f), e para os outros coeficientes:
e
Aqui estão os resultados do cálculo (ver caderno ou planilha): a0 = 1/2
umam = 0 para m = 1, 2,.
bn = (1 - (-1) n) / (n) Um ponto a ponderar: por que todos os am = 0? Certamente isso não é coincidência!

O tipo de expressão que obtivemos para o bn simplifica de uma forma que surge frequentemente na série de Fourier para funções elementares: Se n = 2k for par, b2k = 0. Assim, apenas os termos ímpares sobrevivem, caso em que b2k + 1 = 2 / ((2k + 1)). Podemos plotar a série de Fourier e vê-la convergir para a função original à medida que mais e mais termos são incluídos (consulte o caderno ou planilha para os cálculos):

E assim por diante. Chamamos a atenção para o overshoot sistemático que ocorre nas bordas do salto. Curiosamente, o tamanho deste último overshoot não tende a 0 à medida que incluímos mais termos. (Você pode ver isso em uma animação preparada para nós pelo estudante Ning Wu, da Georgia Tech, o fato de que a função de Ning tem intervalo vertical de -1 a 1 não é significativo para esse propósito.) As saliências próximas ao salto ficam mais finas em vez de mais curtas. Isso é conhecido como fenômeno de Gibbs.

Problema do modelo IV.2. Podemos agora investigar algumas questões sobre a excitação de ressonâncias mecânicas. Suponha que os experimentos de K. Battle no Wiener Staatsoper na Áustria mostrem que uma taça de cristal se estilhaçará se a intensidade do tom na frequência de 1760 Hz (A alto) exceder 0,01. Usamos unidades físicas em que a proporcionalidade entre a potência e o quadrado da amplitude é 1, ou seja, definimos a intensidade simplesmente como I = ak 2 + bk 2 Na Georgia Tech, não um local particularmente musical, podemos gerar um pulso quadrado com amplitude A por 1/704 seg., Depois amplitude 0 pelo mesmo período de tempo, então A, etc., periodicamente com período 1/352.

Pergunta: Qual amplitude A fará com que o vidro se estilhace em nosso laboratório?

Solução. A questão é essencialmente estimar a magnitude do coeficiente de Fourier para nossa função correspondente à frequência de 1760 Hertz.

O mapeamento das funções para seus coeficientes de Fourier é linear. Portanto, os coeficientes podem ser obtidos a partir dos que acabamos de calcular.

Etapa 1. Dimensione a variável independente substituindo x por t e L por 1/352.

Etapa 2. Multiplique todos os coeficientes por A.

O harmônico com frequência 1760 é aquele com n = 5, então os coeficientes de Fourier correspondentes a esta frequência são um5 = 0, e
b5 = 2A / (5) A intensidade é 4 A 2 / (25 2). A amplitude A acima da qual o vidro se estilhaçará é / 4, numericamente cerca de 0,78539816.

Problema do modelo IV.3. Para efeito de comparação, vamos encontrar outra série de Fourier, a saber, aquela para a extensão periódica de g (x) = x, 0 caderno ou a planilha do Maple. Para x entre 1 e 2, a função é (x-r1L), para x entre 2 e 3 é (x-2), etc. Seu gráfico tem a forma de dente de serra:

Como o intervalo tem comprimento 1, as funções de base de Fourier são 1, cos (2n x) e sin (2n x).

Os coeficientes de Fourier são calculados como: a0 = 1/2
umam = 0 para m = 1, 2,.
bn = (-1) / (n) Os coeficientes am são todos zero, novamente. Por quê?

Vamos ter uma impressão de como a série converge, traçando as contribuições dos primeiros dois senos e, em seguida, dos seis senos:

Lembramos também que em um intervalo mais longo, a série de Fourier produz uma função periódica:

A série de Fourier está convergindo bem para a função, exceto nos pontos finais do intervalo, que são lugares onde a função dente de serra periódica completa tem saltos, e vimos algo semelhante com o pulso quadrado. Em ambos os casos, vemos evidências numéricas para o teorema de que a série de Fourier converge para f (x) onde f (x) é contínua, e onde tem um salto, a série de Fourier converge para a média do valor superior e inferior em o pulo.

Vamos tentar um tipo diferente de exemplo, onde precisamos integrar numericamente (veja o caderno).

Problema do modelo IV.4. Encontre a série de Fourier para a função sin (/ x).

Solução. As integrais solicitadas não estão nas tabelas de integrais. De fato, a maioria& # 160 integrais não estão nas tabelas de integrais, mesmo quando eles estão longe de serem tão selvagens quanto esta função (pergunte a si mesmo o que acontece perto de x = 0). Na era da informação, isso não é barreira. Simplesmente chamamos o software para fazer as integrais numericamente. Uma vez que a função sin (/ x) é ímpar em x, os coeficientes associados às funções pares, umm, tudo será zero. Com algumas reclamações sobre a convergência, o software calcula os primeiros seis coeficientes de seno como: Vamos plotar a série de Fourier com esses seis termos e comparar com a própria função:

Observe que a convergência é muito boa longe da singularidade desagradável em x = 0. Com efeito, truncar a série Fourier filtrou as oscilações de alta frequência.

Problema do modelo IV.5. Encontre a série de Fourier para uma função que é quadrada-integrável, mas tem um salto infinito.

Solução. O exemplo que vemos é x -1/3. Como no exemplo anterior, a função é ímpar e haverá apenas contribuições de seno. Os primeiros coeficientes são numericamente: Aqui está uma comparação da função e sua aproximação de Fourier:

Pense no cálculo da série em x = 0 e em x = +/- 1. O que você esperava aconteceu?

Como vimos em cálculos, simetrias podem ser usadas para simplificar o cálculo da série de Fourier. Lembre-se de que uma função é par se f (-x) = f (x) para todo x, e ímpar se f (-x) = -f (x) para todo x. Se f é uma função par periódica, então todos os coeficientes de seno bn = 0: bn é o produto interno de f com uma função seno, mas qualquer função par e qualquer função ímpar são ortogonais no intervalo [-A, A]. (Se f (x) é periódico com período L, então podemos analisá-lo em qualquer intervalo de comprimento L, então mesmo que seja originalmente definido em [0, L], podemos muito bem olhar para ele em [-L / 2, L / 2]. Observe o gráfico de uma função periódica para entender o porquê.) Por razões semelhantes, se f for periódico e ímpar, todos os coeficientes am = 0.

Qualquer função pode ser escrita como a soma de uma função par e de uma função ímpar, e a série de Fourier seleciona as duas partes. Se, por exemplo, quisermos encontrar a série de Fourier de uma função como x - x 2, -, podemos economizar algum trabalho pensando nas simetrias.

Problema do modelo IV.6. Use simetrias para encontrar com eficiência a série de Fourier para a função x - x 2 no intervalo - & lt x & lt.

Solução. Esta função não é nem par nem ímpar quando transformamos x em -x, mas sua "parte ímpar" é x, e sua "parte par" é -x 2. Os coeficientes seno na série de Fourier virão inteiramente da parte ímpar e os coeficientes pares inteiramente da parte par -x 2 é ortogonal a todas as funções cosseno de Fourier e x é ortogonal a todas as funções seno de Fourier. Além disso, a simetria pode ser usada para alterar o intervalo de integração de modo que comece em 0:

Os coeficientes bn são calculados da seguinte forma:
   
O produto de duas funções ímpares é par, então esta integral é:
   
O resultado final foi calculado por software. Em uma aula de cálculo, você provavelmente o teria calculado por integração por partes. O cálculo dos coeficientes e também pode ser simplificado. Primeiro, observe que apenas -x 2 contribui:
   
O valor desta integral é
   

Ao combiná-los, você tem os coeficientes de Fourier para x - x 2 neste intervalo.

Quem quer que fosse o especialista em marketing consultado quando inventou os "números complexos" deveria ser despedido! Números complexos quase sempre tornam as coisas muito mais simples, e isso é verdade em particular para a série de Fourier. A chave para a simplificação é a fórmula de Euler: eix: = exp (ix): = cos (x) + i sin (x), & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 (4.1) É útil conhecer vários casos especiais, especialmente exp (in) = (- 1) n.
e
exp (i (2k + 1) / 2) = (-1) ki, a fórmula de Euler nos permite discutir números complexos não apenas no sistema cartesiano, z = x + iy, mas também no sistema polar: z = r exp (i ), where , the argument of z, is the polar angle in the complex plans, and r = |z| (the modulus of z) is the distance from the origin. One of the truly great things about this formula is that is allows us to replace calculations with trigonometric functions with much easier calculations with exponential functions. As an example, let us think of how to calculate the Fourier series for the function f(x) = x, 0

If you don't have software or integral tables handy, you can do these integrals with integration by parts. Or you can reason as follows:

Model Problem IV.7. Evaluate this integral by a method different from integration by parts.

Solução. We can use the following useful trick:

After the calculation, we set A=2 i m/L. Calling the integral in (4.2) INT, we find

which starts looking nice after we substitute A=2 im/L, which reveals that these exponential terms are both equal to 1:

This is purely imaginary, so all am = 0.

Model Problem IV.8. Evaluate the coefficients bn with a similar method.

Solução. STOP! Don't go back to the beginning of the calculation. We don't have to start all over, since

which is the integral we already did. From (4.3) we see that this imaginary part is just

Actually, we can be much more systematic if we simply replace the complete set of functions (2.8) by (2.9):

These are simply related to the sines and cosines by Euler's formula (4.1) and its easy consequence:

Definition IV.9. The Fourier exponential series is an expansion (for an arbitrary square-integrable function):

Since the exponential functions are an orthonormal set, a familiar kind of calculation shows us that the formula for ck is:

Notice the tricky minus sign - this is a place where the complex conjugate in the inner product is important.

Let's observe how much more convenient this formula is than the one without complex numbers. There is only one sum, not two sums and a constant term. There is only one formula for ck, not separate ones for a0, am, and bn. The constant term c0 fits in with all the others, for instance, and is not put aside as a special case. The Parseval formula (3.4) is now much simpler:

Here, the coefficients for g have the tildes. Em particular,

Notice that the Parseval formula is similar to the Pythagorean theorem, since, other than the normalization factor L, it states that a certain length squared is equal to the sum of the squares of its components in an orthogonal basis. We see here, however, that the space in which f lives is infinite-dimensional.

The important thing to know is that the Fourier exponential series is completely equivalent to the usual "full" Fourier series. We will later look at the Fourier sine and Fourier cosine series, which are truly different series, but the exponential series is not. If we substitute with Euler's formula, the full series becomes the exponential series or vice versa. We can recombine ck with c-k do seguinte modo:


Cerca de

The Laplace transform with applications to solving ordinary differential equations and integral equations. Fourier series and the Fourier transform with applications to solving linear partial differential equations. The Laplace transform with applications to solving ordinary differential equations and integral equations. Numerical methods: Interpolation, differentiation, and integration. Methods for solving linear and non-linear systems of equations. Runge-Kutta methods for solving systems of ordinary differential equations. Difference methods for solving partial differential equations. Introduction to computational tools with examples.

Learning outcome

1. Knowledge. The student is able to recognize, understand and apply concepts and methods from the theory of Fourier series, Fourier transformation, Laplace transformation, ordinary and partial differential equations and numerical solution of systems of equations and differential equations. 2. Skills. The student is able to apply his or her knowledge of Fourier theory, ordinary and partial differential equations and numerical methods to formulate and solve problems in mathematics and the natural sciences/technology, if necessary with the additional aid of mathematical software.

Learning methods and activities

Lectures and compulsory exercises. Grade based on written final examination. Retake of examination may be given as an oral examination. The course may be lectured in English.

Compulsory assignments

Further on evaluation

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Active Learning Resources forMathematical Methods in Engineering and Physics

"The only way a skill is developed—skiing, cooking, writing, critical thinking, or solving thermodynamics problems—is practice: trying something, seeing how well or poorly it works, reflecting on how to do it differently, then trying it again and seeing if it works better."
-Richard Felder

The practice of "active learning" uses student-centered activities in class to encourage them to adopt an engaged and reflective attitude. See www.ncsu.edu/effective_teaching/Student-Centered.html for a general introduction to active learning, and a list of relevant publications.

Research has validated the success of this approach for student understanding and retention, but as an instructor you may have found that supporting students in active learning requires a lot of work. Traditional textbooks and other available resources can be at cross-purposes with active learning and require not just your own creativity but many long hours to rework these materials into an active form. The materials that have been developed to support active learning are mostly at the introductory level.

Thanks to a grant from NSF we have been able to develop a full set of active-learning based "motivating" and "discovery" exercises and computer-based problems for math methods courses for physicists and engineers.

These exercises and computer problems are all incorporated in our math methods textbook. Click here for information about the book.

Exercícios

    A "motivating exercise" sets up the physical motivation for a given mathematical technique. When you are done with the "Taylor Series" motivating exercise you don't know how to build a Taylor series, but you know why you might want one.

All of the individual exercises are listed below, but you can also download the entire set as a zip file.

At home or in class? Alone or in groups?
Mix it up. See what works for you. We sometimes assign them as homework due on the day we are going to cover the material, and sometimes as an in-class exercise to begin the lecture. You can have students do them individually or in groups, or a mix of the two. One professor we spoke to starts them in class, and then has her students finish them at home&mdashan approach we never even thought of. You will probably keep your students' interest better if you vary your approach.

Do I need to assign all the exercises?
No. If you are uncomfortable with the process, you may want to try only one or two. We hope you will find them easy to use and valuable, and over time you will use them more, but you will probably never use them all.

How long do they take?
Some are five minutes or less some are twenty minutes or even more. Very few of them should take the students more than half an hour.

That was all pretty noncommittal. Do you have any solid advice at all?
Actually, we do. First, we hope you will use at least some of the exercises, because we believe they contribute a valuable part of the learning process. Second, exercises should almost always be used before you introduce a particular topic&mdashnot as a follow-up. You can start your lecture by taking questions and finding out where the students got stuck.

The "Linear Algebra" Motivating Exercise (The Three-Spring Problem)

This exercise is very different from the rest. It starts with an Explanation (with nothing for the student to do except read it), and then a set of Problems meant to help the students explore the Explanation. A professor would assign a carefully chosen subset of those Problems, not all of them. In all those senses this is like a typical section of our book, rather than being like an exercise.

But the entire section does not teach the first thing about matrices! It sets up a problem and steps through the solution, leaving holes that will be filled in with matrices. In that sense, it is very much like most of our other motivating exercises.

We find this to be a powerful way to introduce linear algebra and tie together many of the most important topics in that field, but it only makes sense to use this if you keep referring back to it throughout the unit. When you teach them how to use matrices to change bases, have them use that to convert between initial positions and amplitudes of normal modes. When you teach eigenvectors and eigenvalues, have them derive the normal modes of the coupled springs as eigenvectors of the matrix of coefficients. The exercise sets this up by pointing out which linear algebra topics will be used for various parts of the solution.

At the end of the unit you can come back and tie it all together with a section where we revisit the three spring problem, using linear algebra in every step of the solution.

Computer Problems

Computers can be used in a number of ways in math methods courses: to illustrate complicated math problems, to apply techniques to problems too complicated to solve by hand, or to skip tedious algebra steps and focus on the math you're trying to teach. In addition, computer skills may be one of the things you want to teach in your class.

The problems below are all platform independent. The instructions simply tell the students what to do, but the details of how to do it will of course be different if they are using Mathematica, Matlab, Maple, or some other platform.

The computer problems for all of the topics are listed below, but you can also download the entire set as a zip file.


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