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1.5: Funções Exponenciais e Logarítmicas


objetivos de aprendizado

  • Identifique a forma de uma função exponencial.
  • Explique a diferença entre os gráficos de (x ^ {b} ) e (b ^ {x} ).
  • Reconheça a importância do número (e ).
  • Identifique a forma de uma função logarítmica.
  • Explique a relação entre funções exponenciais e logarítmicas.
  • Descreva como calcular um logaritmo para uma base diferente.
  • Identifique as funções hiperbólicas, seus gráficos e identidades básicas.

Nesta seção, examinamos funções exponenciais e logarítmicas. Usamos as propriedades dessas funções para resolver equações envolvendo termos exponenciais ou logarítmicos e estudamos o significado e a importância do número (e ). Também definimos funções hiperbólicas e hiperbólicas inversas, que envolvem combinações de funções exponenciais e logarítmicas. (Observe que apresentamos definições alternativas de funções exponenciais e logarítmicas no capítulo Aplicações de Integrações, e provamos que as funções têm as mesmas propriedades com qualquer uma das definições.)

Funções Exponenciais

Funções exponenciais surgem em muitas aplicações. Um exemplo comum é crescimento populacional. Por exemplo, se uma população começa com (P_0 ) indivíduos e, em seguida, cresce a uma taxa anual de (2 \% ), sua população após 1 ano é

[P (1) = P_0 + 0,02P_0 = P_0 (1 + 0,02) = P_0 (1,02). Não numérico ]

Sua população após 2 anos é

[P (2) = P (1) + 0,02P (1) = P (1) (1,02) = P_0 (1,02) ^ 2. Não numérico ]

Em geral, sua população após (t ) anos é

[P (t) = P_0 (1.02) ^ t, nonumber ]

que é uma função exponencial. Mais geralmente, qualquer função da forma (f (x) = b ^ x ), onde (b> 0 ), (b ≠ 1 ), é uma função exponencial com base (banda expoente (x. ) As funções exponenciais têm bases constantes e expoentes variáveis. Observe que uma função da forma (f (x) = x ^ b ) para alguma constante (b ) não é uma função exponencial, mas uma função de potência.

Para ver a diferença entre uma função exponencial e uma função de potência, comparamos as funções (y = x ^ 2 ) e (y = 2 ^ x ). Na Tabela ( PageIndex {1} ), vemos que (2 ^ x ) e (x ^ 2 ) se aproximam do infinito como (x → ∞ ). Eventualmente, entretanto, (2 ^ x ) se torna maior do que (x ^ 2 ) e cresce mais rapidamente como (x → ∞ ). Na direção oposta, como (x → −∞ ), (x ^ 2 → ∞ ), enquanto (2 ^ x → 0 ). A linha (y = 0 ) é uma assíntota horizontal para (y = 2 ^ x ).

Tabela ( PageIndex {1} )
(x )-3-2-10123456
(x ^ 2 )9410149161536
(2 ^ x )1/81/41/21248163264

Na Figura ( PageIndex {1} ), representamos graficamente (y = x ^ 2 ) e (y = 2 ^ x ) para mostrar como os gráficos diferem.

Avaliação de funções exponenciais

Lembre-se das propriedades dos expoentes: Se (x ) é um número inteiro positivo, então definimos (b ^ x = b⋅b ⋯ b ) (com (x ) fatores de (b )). Se (x ) é um inteiro negativo, então (x = −y ) para algum inteiro positivo (y ), e definimos (b ^ x = b ^ {- y} = 1 / b ^ y ). Além disso, (b ^ 0 ) é definido como (1 ). Se (x ) é um número racional, então (x = p / q ), onde (p ) e (q ) são inteiros e (b ^ x = b ^ {p / q} = sqrt [q] {b ^ p} ). Por exemplo, (9 ^ {3/2} = sqrt {9 ^ 3} = left ( sqrt {9} right) ^ 3 = 27 ). No entanto, como (b ^ x ) é definido se (x ) é um número irracional? Por exemplo, o que queremos dizer com (2 ^ { sqrt {2}} )? Esta é uma questão muito complexa para respondermos totalmente agora; no entanto, podemos fazer uma aproximação.

Tabela ( PageIndex {2} ): Valores de (2 ^ x ) para uma lista de números racionais aproximados ( sqrt {2} )
(x )0.41.411.4141.41421.414211.414213
(2 ^ x )2.6392.657372.664752.6651192.6651382.665143

Na Tabela ( PageIndex {2} ), listamos alguns números racionais que se aproximam de ( sqrt {2} ), e os valores de (2 ^ x ) para cada número racional (x ) são apresentados também. Afirmamos que se escolhermos números racionais (x ) cada vez mais perto de ( sqrt {2} ), os valores de (2 ^ x ) ficam cada vez mais próximos de algum número (L ) . Definimos esse número (L ) como (2 ^ { sqrt {2}} ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Crescimento bacteriano

Suponha que uma determinada população de bactérias duplique de tamanho a cada (4 ) horas. Se uma cultura começa com (1000 ) bactérias, o número de bactérias após (4 ) horas é (n (4) = 1000⋅2 ). O número de bactérias após (8 ) horas é (n (8) = n (4) ⋅2 = 1000⋅2 ^ 2 ). Em geral, o número de bactérias após (4m ) horas é (n (4m) = 1000⋅2 ^ m ). Supondo (t = 4m ), vemos que o número de bactérias após t horas é (n (t) = 1000⋅2 ^ {t / 4} ). Encontre o número de bactérias após (6 ) horas, (10 ​​) horas e (24 ) horas.

Solução

O número de bactérias após 6 horas é dado por

[n (6) = 1000⋅2 ^ {6/4} ≈2828 , text {bactérias}. enhum número]

O número de bactérias após (10 ​​) horas é dado por

[n (10) = 1000⋅2 ^ {10/4} ≈5657 , text {bactérias}. enhum número]

O número de bactérias após (24 ) horas é dado por (n (24) = 1000⋅2 ^ 6 = 64.000 ) bactérias.

Exercício ( PageIndex {1} )

Dada a função exponencial (f (x) = 100⋅3 ^ {x / 2} ), avalie (f (4) ) e (f (10) ).

Responder

(f (4) = 900 )

(f (10) = 24.300 ).

Representando Gráficos de Funções Exponenciais

Para qualquer base (b> 0 ), (b ≠ 1 ), a função exponencial (f (x) = b ^ x ) é definida para todos os números reais (x ) e (b ^ x> 0 ). Portanto, o domínio de (f (x) = b ^ x ) é ((- ∞, ∞) ) e o intervalo é ((0, ∞) ). Para representar graficamente (b ^ x ), notamos que para (b> 1 ), (b ^ x ) está aumentando em ((- ∞, ∞) ) e (b ^ x → ∞ ) como (x → ∞ ), enquanto (b ^ x → 0 ) como (x → −∞ ). Por outro lado, se (0

Observe que as funções exponenciais satisfazem as leis gerais dos expoentes. Para lembrá-lo dessas leis, nós as declaramos como regras.

Leis dos Expoentes

Para quaisquer constantes (a> 0 ), (b> 0 ), e para todas as (x ) e (y, )

  1. [b ^ x⋅b ^ y = b ^ {x + y} ]
  2. [ dfrac {b ^ x} {b ^ y} = b ^ {x − y} ]
  3. [(b ^ x) ^ y = b ^ {xy} ]
  4. [(ab) ^ x = a ^ xb ^ x ]
  5. [ dfrac {a ^ x} {b ^ x} = left ( dfrac {a} {b} right) ^ x ]

Exemplo ( PageIndex {2} ): Usando as Leis dos Expoentes

Use as leis dos expoentes para simplificar cada uma das seguintes expressões.

  1. ( dfrac {(2x ^ {2/3}) ^ 3} {(4x ^ {- 1/3}) ^ 2} )
  2. ( dfrac {(x ^ 3y ^ {- 1}) ^ 2} {(xy ^ 2) ^ {- 2}} )

Soution

uma. Podemos simplificar da seguinte forma:

[ dfrac {(2x ^ {2/3}) ^ 3} {(4x ^ {- 1/3}) ^ 2} = dfrac {2 ^ 3 (x ^ {2/3}) ^ 3} {4 ^ 2 (x ^ {- 1/3}) ^ 2} = dfrac {8x ^ 2} {16x ^ {- 2/3}} = dfrac {x ^ 2x ^ {2/3}} { 2} = dfrac {x ^ {8/3}} {2}. enhum número]

b. Podemos simplificar da seguinte forma:

[ dfrac {(x ^ 3y ^ {- 1}) ^ 2} {(xy ^ 2) ^ {- 2}} = dfrac {(x ^ 3) ^ 2 (y ^ {- 1}) ^ 2} {x ^ {- 2} (y ^ 2) ^ {- 2}} = dfrac {x ^ 6y ^ {- 2}} {x ^ {- 2} y ^ {- 4}} = x ^ 6x ^ 2y ^ {- 2} y ^ 4 = x ^ 8y ^ 2. enhum número ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Use as leis dos expoentes para simplificar ( dfrac {6x ^ {- 3} y ^ 2} {12x ^ {- 4} y ^ 5} ).

Dica

(x ^ a / x ^ b = x ^ {a-b} )

Responder

(x / (2y ^ 3) )

O número e

Um tipo especial de função exponencial aparece com frequência em aplicativos do mundo real. Para descrevê-lo, considere o seguinte exemplo de crescimento exponencial, que surge de juros compostos em uma conta de poupança. Suponha que uma pessoa invista (P ) dólares em uma conta de poupança com uma taxa de juros anual (r ), composta anualmente. A quantidade de dinheiro após 1 ano é

(A (1) = P + rP = P (1 + r) ).

A quantidade de dinheiro após (2 ) anos é

(A (2) = A (1) + rA (1) = P (1 + r) + rP (1 + r) = P (1 + r) ^ 2 ).

Mais geralmente, o valor após (t ) anos é

(A (t) = P (1 + r) ^ t ).

Se o dinheiro for composto 2 vezes por ano, a quantidade de dinheiro depois de meio ano é

(A left ( dfrac {1} {2} right) = P + left ( dfrac {r} {2} right) P = P left (1+ left ( dfrac {r} { 2} right) right) ).

A quantidade de dinheiro após (1 ) ano é

(A (1) = A left ( dfrac {1} {2} right) + left ( dfrac {r} {2} right) A left ( dfrac {1} {2} direita) = P esquerda (1+ dfrac {r} {2} direita) + dfrac {r} {2} esquerda ( esquerda (P (1+ dfrac {r} {2} direita) direita) = P esquerda (1+ dfrac {r} {2} direita) ^ 2. )

Após (t ) anos, a quantidade de dinheiro na conta é

(A (t) = P left (1+ dfrac {r} {2} right) ^ {2t} ).

De forma mais geral, se o dinheiro é composto (n ) vezes por ano, a quantidade de dinheiro na conta após (t ) anos é dada pela função

(A (t) = P left (1+ dfrac {r} {n} right) ^ {nt}. )

O que acontece quando (n → ∞? ) Para responder a esta pergunta, vamos (m = n / r ) e escrever

( left (1+ dfrac {r} {n} right) ^ {nt} = left (1+ dfrac {1} {m} right) ^ {mrt}, )

e examine o comportamento de ((1 + 1 / m) ^ m ) como (m → ∞ ), usando uma tabela de valores (Tabela ( PageIndex {3} )).

Tabela ( PageIndex {3} ): Valores de ( left (1+ dfrac {1} {m} right) ^ m ) como (m → ∞ )
(m )10100100010,000100,0001,000,000
( left (1+ dfrac {1} {m} right) ^ m )2.59372.70482.716922.718152.7182682.718280

Olhando para esta tabela, parece que ((1 + 1 / m) ^ m ) está se aproximando de um número entre (2,7 ) e (2,8 ) como (m → ∞ ). Na verdade, ((1 + 1 / m) ^ m ) se aproxima de algum número como (m → ∞ ). Chamamos esse número de (e ). Até seis casas decimais de precisão,

[e≈2.718282. ]

Leonhard Euler

A letra (e ) foi usada pela primeira vez para representar este número pelo matemático suíço Leonhard Euler durante a década de 1720. Embora Euler não tenha descoberto o número, ele mostrou muitas conexões importantes entre (e ) e funções logarítmicas. Ainda usamos a notação (e ) hoje para homenagear o trabalho de Euler porque ela aparece em muitas áreas da matemática e porque podemos usá-la em muitas aplicações práticas.

Voltando ao nosso exemplo de conta poupança, podemos concluir que se uma pessoa colocar (P ) dólares em uma conta a uma taxa de juros anual (r ), composta continuamente, então (A (t) = Pe ^ {rt } ). Esta função pode ser familiar. Uma vez que funções envolvendo base (e ) surgem frequentemente em aplicações, chamamos a função (f (x) = e ^ x ) o função exponencial natural. Essa função não é apenas interessante por causa da definição do número (e ), mas também, como discutido a seguir, seu gráfico tem uma propriedade importante.

Como (e> 1 ), sabemos que (f (x) = e ^ x ) está aumentando em ((- ∞, ∞) ). Na Figura ( PageIndex {3} ), mostramos um gráfico de (f (x) = e ^ x ) junto com uma linha tangente ao gráfico de (f ) em (x = 0 ) Fornecemos uma definição precisa de linha tangente no próximo capítulo; mas, informalmente, dizemos que uma linha tangente a um gráfico de (f ) em (x = a ) é uma linha que passa pelo ponto ((a, f (a)) ) e tem o mesmo “Declive” como (f ) naquele ponto. A função (f (x) = e ^ x ) é a única função exponencial (b ^ x ) com linha tangente em (x = 0 ) que tem uma inclinação de (1. ) Como nós veja mais adiante no texto, ter essa propriedade torna a função exponencial natural a função exponencial mais simples de usar em muitos casos.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Composição de juros

Suponha que ($ 500 ) seja investido em uma conta a uma taxa de juros anual de (r = 5,5 \% ), composta continuamente.

  1. Seja (t ) o número de anos após o investimento inicial e (A (t) ) a quantidade de dinheiro na conta no momento (t ). Encontre uma fórmula para (A (t) ).
  2. Encontre a quantidade de dinheiro na conta após (10 ​​) anos e após (20 ) anos.

Solução

uma. Se (P ) dólares forem investidos em uma conta a uma taxa de juros anual (r ), composta continuamente, então (A (t) = Pe ^ {rt} ). Aqui (P = $ 500 ) e (r = 0,055 ). Portanto, (A (t) = 500e ^ {0,055t} ).

b. Após (10 ​​) anos, a quantidade de dinheiro na conta é

(A (10) = 500e ^ {0,055⋅10} = 500e ^ {0,55} ≈ $ 866,63 ).

Após (20 ) anos, a quantidade de dinheiro na conta é

(A (20) = 500e ^ {0,055⋅20} = 500e ^ {1,1} ≈ $ 1.502,08 ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Se ($ 750 ) for investido em uma conta a uma taxa de juros anual de (4 \% ), composta continuamente, encontre uma fórmula para a quantidade de dinheiro na conta após (t ) anos. Encontre a quantidade de dinheiro após (30 ) anos.

Dica

(A (t) = Pe ^ {rt} )

Responder

(A (t) = 750e ^ {0,04t} ). Após (30 ) anos, haverá aproximadamente ($ 2.490,09 ).

Funções logarítmicas

Usando nosso entendimento de funções exponenciais, podemos discutir suas inversas, que são as funções logarítmicas. Eles são úteis quando precisamos considerar qualquer fenômeno que varia em uma ampla faixa de valores, como a escala de pH em química ou decibéis em níveis de som.

A função exponencial (f (x) = b ^ x ) é um a um, com domínio ((- ∞, ∞) ) e intervalo ((0, ∞) ). Portanto, possui uma função inversa, chamada de função logarítmica com base (b ). Para qualquer (b> 0, , b ≠ 1 ), a função logarítmica com base (b ), denotada ( log_b ), tem domínio ((0, ∞) ) e intervalo ( (−∞, ∞) ), e satisfaz

[ log_b (x) = y ]

se e somente se (b ^ y = x ).

Por exemplo,

[ log_2 (8) = 3 não numérico ]

uma vez que (2 ^ 3 = 8 ),

[ log_ {10} left ( dfrac {1} {100} right) = - 2 nonumber ]

uma vez que (10 ​​^ {- 2} = dfrac {1} {10 ^ 2} = dfrac {1} {100} ),

[ log_b (1) = 0 não numérico ]

uma vez que (b ^ 0 = 1 ) para qualquer base (b> 0 ).

Além disso, uma vez que (y = log_b (x) ) e (y = b ^ x ) são funções inversas,

[ log_b (b ^ x) = x ]

e

[b ^ { log_b (x)} = x. ]

A função logarítmica mais comumente usada é a função ( log_e ). Uma vez que esta função usa natural (e ) como sua base, ela é chamada de Logaritmo natural. Aqui usamos a notação ( ln (x) ) ou ( ln x ) para significar ( log_e (x) ). Por exemplo,

[ begin {align *} ln (e) & = log_e (e) = 1 [4pt] ln (e ^ 3) & = log_e (e ^ 3) = 3 [4pt] ln (1) & = log_e (1) = 0. end {align *} ]

Uma vez que as funções (f (x) = e ^ x ) e (g (x) = ln (x) ) são inversas uma da outra,

( ln (e ^ x) = x ) e (e ^ { ln x} = x ),

e seus gráficos são simétricos em relação à reta (y = x ) (Figura ( PageIndex {4} )).

Em geral, para qualquer base (b> 0 ), (b ≠ 1 ), a função (g (x) = log_b (x) ) é simétrica em relação à linha (y = x ) com a função (f (x) = b ^ x ). Usando esse fato e os gráficos das funções exponenciais, representamos graficamente as funções ( log_b ) para vários valores de (b> 1 ) (Figura ( PageIndex {5} )).

Antes de resolver algumas equações envolvendo funções exponenciais e logarítmicas, vamos revisar as propriedades básicas dos logaritmos.

Propriedades dos logaritmos

Se (a, , b, , c> 0, , b ≠ 1 ), e (r ) for qualquer número real, então

  • Propriedade do produto

[ log_b (ac) = log_b (a) + log_b (c) label {productprop} ]

  • Propriedade quociente

[ log_b left ( dfrac {a} {c} right) = log_b (a) - log_b (c) label {quotientprop} ]

  • Propriedade de poder

[ log_b (a ^ r) = r log_b (a) label {powerprop} ]

Exemplo ( PageIndex {4} ): Resolvendo Equações Envolvendo Funções Exponenciais

Resolva cada uma das seguintes equações para (x ).

  1. (5 ^ x = 2 )
  2. (e ^ x + 6e ^ {- x} = 5 )

Solução

uma. Aplicando a função de logaritmo natural a ambos os lados da equação, temos

( ln 5 ^ x = ln 2 ).

Usando a propriedade de potência dos logaritmos,

(x ln 5 = ln 2. )

Portanto,

[x = dfrac { ln 2} { ln 5}. Multiplicando ambos os lados da equação por (e ^ x ), chegamos à equação

(e ^ {2x} + 6 = 5e ^ x ).

Reescrevendo esta equação como

(e ^ {2x} −5e ^ x + 6 = 0 ),

podemos então reescrever como uma equação quadrática em (e ^ x ):

((e ^ x) ^ 2−5 (e ^ x) + 6 = 0. )

Agora podemos resolver a equação quadrática. Fatorando esta equação, obtemos

((e ^ x − 3) (e ^ x − 2) = 0. )

Portanto, as soluções satisfazem (e ^ x = 3 ) e (e ^ x = 2 ). Tomando o logaritmo natural de ambos os lados, obtemos as soluções (x = ln 3, ln 2 ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Resolver

[e ^ {2x} / (3 + e ^ {2x}) = 1/2. enhum número]

Dica

Primeiro resolva a equação para (e ^ {2x} )

Responder

(x = dfrac { ln 3} {2} ).

Exemplo ( PageIndex {5} ): Resolvendo Equações Envolvendo Funções Logarítmicas

Resolva cada uma das seguintes equações para (x ).

  1. ( ln left ( dfrac {1} {x} right) = 4 )
  2. ( log_ {10} sqrt {x} + log_ {10} x = 2 )
  3. ( ln (2x) −3 ln (x ^ 2) = 0 )

Solução

uma. Pela definição da função de logaritmo natural,

( ln left ( dfrac {1} {x} right) = 4 )

  • se e somente se (e ^ 4 = dfrac {1} {x} ).

Portanto, a solução é (x = 1 / e ^ 4 ).

b. Usando as propriedades product (Equation ref {productprop}) e power (Equation ref {powerprop}) das funções logarítmicas, reescreva o lado esquerdo da equação como

[ begin {align *} log_ {10} sqrt {x} + log_ {10} x & = log_ {10} x sqrt {x} [4pt] & = log_ {10} x ^ {3/2} [4pt] & = dfrac {3} {2} log_ {10} x. end {align *} ]

Portanto, a equação pode ser reescrita como

( dfrac {3} {2} log_ {10} x = 2 )

ou

( log_ {10} x = dfrac {4} {3} ).

A solução é (x = 10 ^ {4/3} = 10 sqrt [3] {10} ).

c. Usando a propriedade de potência (Equação ref {powerprop}) de funções logarítmicas, podemos reescrever a equação como ( ln (2x) - ln (x ^ 6) = 0 ).

Usando a propriedade quociente (Equação ref {quotientprop}), isso se torna

( ln left ( dfrac {2} {x ^ 5} right) = 0 )

Portanto, (2 / x ^ 5 = 1 ), o que implica (x = sqrt [5] {2} ). Devemos então verificar se há soluções estranhas.

Exercício ( PageIndex {5} )

Resolva ( ln (x ^ 3) −4 ln (x) = 1 ).

Dica

Primeiro use a propriedade de potência e, em seguida, use a propriedade de produto de logaritmos.

Responder

(x = dfrac {1} {e} )

Ao avaliar uma função logarítmica com uma calculadora, você deve ter notado que as únicas opções são ( log_ {10} ) ou ( log ), chamado de logaritmo comum, ou ( ln ), que é o logaritmo natural. No entanto, funções exponenciais e funções logarítmicas podem ser expressas em termos de qualquer base desejada (b ). Se precisar usar uma calculadora para avaliar uma expressão com uma base diferente, você pode aplicar as fórmulas de mudança de base primeiro. Usando essa mudança de base, normalmente escrevemos uma determinada função exponencial ou logarítmica em termos das funções exponencial natural e logarítmica natural.

Regra: Fórmulas de Mudança de Base

Seja (a> 0, , b> 0 ) e (a ≠ 1, , b ≠ 1 ).

1. (a ^ x = b ^ {x log_ba} ) para qualquer número real (x ).

Se (b = e ), esta equação se reduz a (a ^ x = e ^ {x log_ea} = e ^ {x ln a} ).

2. ( log_ax = dfrac { log_bx} { log_ba} ) para qualquer número real (x> 0 ).

Se (b = e ), esta equação se reduz a ( log_ax = dfrac { ln x} { ln a} ).

Prova

Para a primeira fórmula de mudança de base, começamos fazendo uso da propriedade de potência das funções logarítmicas. Sabemos que para qualquer base (b> 0, , b ≠ 1 ), ( log_b (a ^ x) = x log_ba ). Portanto,

(b ^ { log_b (a ^ x)} ) = (b ^ {x log_ba} ).

Além disso, sabemos que (b ^ x ) e ( log_b (x) ) são funções inversas. Portanto,

(b ^ { log_b (a ^ x)} = a ^ x ).

Combinando essas duas últimas igualdades, concluímos que (a ^ x = b ^ {x log_ba} ).

Para provar a segunda propriedade, mostramos que

(( log_ba) ⋅ ( log_ax) = log_bx. )

Vamos (u = log_ba, v = log_ax ) e (w = log_bx ). Mostraremos que (u⋅v = w ). Pela definição de funções logarítmicas, sabemos que (b ^ u = a, , a ^ v = x ) e (b ^ w = x ). A partir das equações anteriores, vemos que

(b ^ {uv} = (b ^ u) ^ v = a ^ v = x = b ^ w. )

Portanto, (b ^ {uv} = b ^ w ). Como as funções exponenciais são um-para-um, podemos concluir que (u⋅v = w ).

(quadrado)

Exemplo ( PageIndex {6} ): Mudança de bases

Use um utilitário de cálculo para avaliar ( log_37 ) com a fórmula de mudança de base apresentada anteriormente.

Solução

Use a segunda equação com (a = 3 ) e (e = 3 ): ( log_37 = dfrac { ln 7} { ln 3} ≈1.77124 ).

Exercício ( PageIndex {6} )

Use a fórmula de mudança de base e um utilitário de cálculo para avaliar ( log_46 ).

Dica

Use a mudança de base para reescrever esta expressão em termos de expressões envolvendo a função de logaritmo natural.

Responder

( log_46 = dfrac { ln 6} { ln 4} aproximadamente 1,29248 )

Exemplo ( PageIndex {7} ): A escala Richter para terremotos

Em 1935, Charles Richter desenvolveu uma escala (agora conhecida como escala Richter) para medir a magnitude de um tremor de terra. A escala é uma escala logarítmica de base 10 e pode ser descrita da seguinte forma: Considere um terremoto com magnitude (R_1 ) na escala Richter e um segundo terremoto com magnitude (R_2 ) na escala Richter. Suponha que (R_1> R_2 ), o que significa que o terremoto de magnitude (R_1 ) é mais forte, mas quão mais forte é do que o outro terremoto?

Uma forma de medir a intensidade de um terremoto é usando um sismógrafo para medir a amplitude das ondas do terremoto. Se (A_1 ) é a amplitude medida para o primeiro terremoto e (A_2 ) é a amplitude medida para o segundo terremoto, então as amplitudes e magnitudes dos dois terremotos satisfazem a seguinte equação:

(R_1-R_2 = log_ {10} left ( dfrac {A1} {A2} right) ).

Considere um terremoto que mede 8 na escala Richter e um terremoto que mede 7 na escala Richter. Então,

(8−7 = log_ {10} left ( dfrac {A1} {A2} right) ).

Portanto,

( log_ {10} left ( dfrac {A1} {A2} right) = 1 ),

o que implica (A_1 / A_2 = 10 ) ou (A_1 = 10A_2 ). Como (A_1 ) tem 10 vezes o tamanho de (A_2 ), dizemos que o primeiro terremoto é 10 vezes mais intenso que o segundo. Por outro lado, se um terremoto mede 8 na escala Richter e outro mede 6, então a intensidade relativa dos dois terremotos satisfaz a equação

( log_ {10} left ( dfrac {A1} {A2} right) = 8−6 = 2 ).

Portanto, (A_1 = 100A_2 ). Ou seja, o primeiro terremoto é 100 vezes mais intenso do que o segundo.

Como podemos usar funções logarítmicas para comparar a gravidade relativa do terremoto de magnitude 9 no Japão em 2011 com o terremoto de magnitude 7,3 no Haiti em 2010?

Solução

Para comparar os terremotos no Japão e no Haiti, podemos usar uma equação apresentada anteriormente:

(9−7,3 = log_ {10} left ( dfrac {A1} {A2} right) ).

Portanto, (A_1 / A_2 = 10 ^ {1.7} ), e concluímos que o terremoto no Japão foi aproximadamente 50 vezes mais intenso do que o terremoto no Haiti.

Exercício ( PageIndex {7} )

Compare a gravidade relativa de um terremoto de magnitude (8,4 ) com um terremoto de magnitude (7,4 ).

Dica

(R_1-R_2 = log_ {10} (A1 / A2) ).

Responder

O terremoto de magnitude (8,4 ) é aproximadamente (10 ​​) vezes mais severo que o terremoto de magnitude (7,4 ).

Funções Hiperbólicas

As funções hiperbólicas são definidas em termos de certas combinações de (e ^ x ) e (e ^ {- x} ). Essas funções surgem naturalmente em várias aplicações de engenharia e física, incluindo o estudo de ondas de água e vibrações de membranas elásticas. Outro uso comum para uma função hiperbólica é a representação de uma corrente ou cabo suspenso, também conhecido como catenária (Figura ( PageIndex {7} )). Se introduzirmos um sistema de coordenadas de modo que o ponto baixo da cadeia fique ao longo do eixo (y ), podemos descrever a altura da cadeia em termos de uma função hiperbólica. Primeiro, definimos o funções hiperbólicas.

Definições: funções hiperbólicas

Cosseno hiperbólico

( cosh x = dfrac {e ^ x + e ^ {- x}} {2} )

Seno hiperbólico

( sinh x = dfrac {e ^ x − e ^ {- x}} {2} )

Tangente hiperbólica

( tanh x = dfrac { sinh x} { cosh x} = dfrac {e ^ x − e ^ {- x}} {e ^ x + e ^ {- x}} )

Cossecante hiperbólica

( operatorname {csch} x = dfrac {1} { sinh x} = dfrac {2} {e ^ x − e ^ {- x}} )

Secante hiperbólica

( operatorname {sech} x = dfrac {1} { cosh x} = dfrac {2} {e ^ x + e ^ {- x}} )

Cotangente hiperbólica

( coth x = dfrac { cosh x} { sinh x} = dfrac {e ^ x + e ^ {- x}} {e ^ x − e ^ {- x}} )

O nome ( cosh ) rima com "gosh", enquanto o nome ( sinh ) é pronunciado "cinch". ( operatorname {Tanh}, , operatorname {sech}, , operatorname {csch}, ) e ( coth ) são pronunciados "tanch", "seech", "coseech" e "cotanch , ”Respectivamente.

Usando a definição de ( cosh (x) ) e os princípios da física, pode-se mostrar que a altura de uma corrente suspensa, como a da Figura ( PageIndex {8} ), pode ser descrita por a função (h (x) = operatorname {arccosh} (x / a) + c ) para certas constantes (a ) e (c ).

Mas por que essas funções são chamadas de funções hiperbólicas? Para responder a esta pergunta, considere a quantidade ( cosh ^ 2 t - sinh ^ 2 t ). Usando a definição de ( cosh ) e ( sinh ), vemos que

[ cosh ^ 2 t - sinh ^ 2 t = dfrac {e ^ {2t} + 2 + e ^ {- 2t}} {4} - dfrac {e ^ {2t} −2 + e ^ { -2t}} {4} = 1. ]

Essa identidade é análoga à identidade trigonométrica ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 ). Aqui, dado um valor (t ), o ponto ((x, y) = ( cosh t, , sinh t) ) encontra-se na hipérbole unitária (x ^ 2 − y ^ 2 = 1 ) (Figura ( PageIndex {8} )).

Gráficos de funções hiperbólicas

Para representar graficamente ( cosh x ) e ( sinh x ), fazemos uso do fato de que ambas as funções se aproximam de ((1/2) e ^ x ) como (x → ∞ ), uma vez que (e ^ {- x} → 0 ) como (x → ∞ ). À medida que (x → −∞, cosh x ) se aproxima de (1 / 2e ^ {- x} ), enquanto ( sinh x ) se aproxima de (- 1 / 2e ^ {- x} ). Portanto, usando os gráficos de (1 / 2e ^ x, 1 / 2e ^ {- x} ) e (- 1 / 2e ^ {- x} ) como guias, traçamos ( cosh x ) e ( sinh x ). Para representar o gráfico ( tanh x ), usamos o fato de que ( tanh (0) = 1 ), (- 1 < tanh (x) <1 ) para todos (x ), ( tanh x → 1 ) como (x → ∞ ), e ( tanh x → −1 ) como (x → −∞ ). Os gráficos das outras três funções hiperbólicas podem ser esboçados usando os gráficos de ( cosh x ), ( sinh x ) e ( tanh x ) (Figura ( PageIndex {9} ) )

Identidades que envolvem funções hiperbólicas

A identidade ( cosh ^ 2 t− sinh ^ 2 t = 1 ), mostrada na Figura ( PageIndex {8} ), é uma das várias identidades envolvendo as funções hiperbólicas, algumas das quais são listadas a seguir. As primeiras quatro propriedades seguem facilmente as definições de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico. Exceto por algumas diferenças nos sinais, a maioria dessas propriedades são análogas às identidades das funções trigonométricas.

Identidades que envolvem funções hiperbólicas

  1. ( cosh (−x) = cosh x )
  2. ( sinh (−x) = - sinh x )
  3. ( cosh x + sinh x = e ^ x )
  4. ( cosh x− sinh x = e ^ {- x} )
  5. ( cosh ^ 2 x− sinh ^ 2 x = 1 )
  6. (1− tanh ^ 2 x = operatorname {sech} ^ 2 x )
  7. ( coth ^ 2 x −1 = operatorname {csch} ^ 2 x )
  8. ( sinh (x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y )
  9. ( cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y )

Exemplo ( PageIndex {8} ): Avaliando funções hiperbólicas

  1. Simplifique ( sinh (5 ln x) ).
  2. Se ( sinh x = 3/4 ), encontre os valores das cinco funções hiperbólicas restantes.

Solução:

uma. Usando a definição da função ( sinh ), escrevemos

( sinh (5 ln x) = dfrac {e ^ {5 ln x} −e ^ {- 5 ln x}} {2} = dfrac {e ^ { ln (x ^ 5) } −e ^ { ln (x ^ {- 5})}} {2} = dfrac {x ^ 5 − x ^ {- 5}} {2}. )

b. Usando a identidade ( cosh ^ 2 x - sinh ^ 2 x = 1 ), vemos que

( cosh ^ 2 x = 1 + left ( frac {3} {4} right) ^ 2 = dfrac {25} {16}. )

Como ( cosh x≥1 ) para todos (x ), devemos ter ( cosh x = 5/4 ). Então, usando as definições para as outras funções hiperbólicas, concluímos que ( tanh x = 3/5, operatorname {csch} x = 4/3, operatorname {sech} x = 4/5 ), e ( coth x = 5/3 ).

Exercício ( PageIndex {8} )

Simplifique ( cosh (2 ln x) ).

Dica

Use a definição da função ( cosh ) e a propriedade de potência das funções de logaritmo.

Responder

((x ^ 2 + x ^ {- 2}) / 2 )

Funções hiperbólicas inversas

A partir dos gráficos das funções hiperbólicas, vemos que todas elas são um-para-um, exceto ( cosh x ) e ( operatorname {sech} x ). Se restringirmos os domínios dessas duas funções ao intervalo ([0, ∞), ), então todas as funções hiperbólicas são um-para-um, e podemos definir o funções hiperbólicas inversas. Uma vez que as próprias funções hiperbólicas envolvem funções exponenciais, as funções hiperbólicas inversas envolvem funções logarítmicas.

Definições: Funções Hiperbólicas Inversas

[ begin {align *} & sinh ^ {- 1} x = operatorname {arcsinh} x = ln left (x + sqrt {x ^ 2 + 1} right) & & cosh ^ {- 1} x = operatorname {arccosh} x = ln left (x + sqrt {x ^ 2−1} right) [4pt]
& tanh ^ {- 1} x = operatorname {arctanh} x = dfrac {1} {2} ln left ( dfrac {1 + x} {1 − x} right) & & coth ^ {−1} x = operatorname {arccot} x = frac {1} {2} ln left ( dfrac {x + 1} {x − 1} right) [4pt]
& operatorname {sech} ^ {- 1} x = operatorname {arcsech} x = ln left ( dfrac {1+ sqrt {1 − x ^ 2}} {x} right) & & operatorname {csch} ^ {- 1} x = operatorname {arccsch} x = ln left ( dfrac {1} {x} + dfrac { sqrt {1 + x ^ 2}} {| x |} direita) end {align *} ]

Vejamos como derivar a primeira equação. Os outros seguem de forma semelhante. Suponha que (y = sinh ^ {- 1} x ). Então, (x = sinh y ) e, pela definição da função seno hiperbólica, (x = dfrac {e ^ y − e ^ {- y}} {2} ). Portanto,

(e ^ y − 2x − e ^ {- y} = 0. )

Multiplicando esta equação por (e ^ y ), obtemos

(e ^ {2y} −2xe ^ y − 1 = 0 ).

Isso pode ser resolvido como uma equação quadrática, com a solução

(e ^ y = dfrac {2x ± sqrt {4x ^ 2 + 4}} {2} = x ± sqrt {x ^ 2 + 1} ).

Como (e ^ y> 0 ), a única solução é aquela com o sinal positivo. Aplicando o logaritmo natural a ambos os lados da equação, concluímos que

(y = ln (x + sqrt {x ^ 2 + 1}). )

Exemplo ( PageIndex {9} ): Avaliando funções hiperbólicas inversas

Avalie cada uma das seguintes expressões.

( sinh ^ {- 1} (2) )

( tanh ^ {- 1} (1/4) )

Solução:

[ sinh ^ {- 1} (2) = ln (2+ sqrt {2 ^ 2 + 1}) = ln (2+ sqrt {5}) ≈1,4436 nonumber ]

[ tanh ^ {- 1} (1/4) = frac {1} {2} ln left ( dfrac {1 + 1/4} {1−1 / 4} right) = frac {1} {2} ln left ( dfrac {5/4} {3/4} right) = frac {1} {2} ln left ( dfrac {5} {3} right ) ≈0,2554 nonumber ]

Exercício ( PageIndex {9} )

Avalie ( tanh ^ {- 1} (1/2) ).

Dica

Use a definição de ( tanh ^ {- 1} x ) e simplifique.

Responder

( dfrac {1} {2} ln (3) ≈0,5493 ).

Conceitos chave

  • A função exponencial (y = b ^ x ) está aumentando se (b> 1 ) e diminuindo se (0
  • A função logarítmica (y = log_b (x) ) é o inverso de (y = b ^ x ). Seu domínio é ((0, ∞) ) e seu intervalo é ((- ∞, ∞). )
  • A função exponencial natural é (y = e ^ x ) e a função logarítmica natural é (y = ln x = log_ex. )
  • Dada uma função exponencial ou função logarítmica na base (a ), podemos fazer uma mudança de base para converter esta função em qualquer base (b> 0 ), (b ≠ 1. ) Normalmente convertemos para a base (e ).
  • As funções hiperbólicas envolvem combinações das funções exponenciais (e ^ x ) e (e ^ {- x}. ) Como resultado, as funções hiperbólicas inversas envolvem o logaritmo natural.

Glossário

base
o número (b ) na função exponencial (f (x) = b ^ x ) e a função logarítmica (f (x) = log_bx )
expoente
o valor (x ) na expressão (b ^ x )
funções hiperbólicas
as funções denotadas ( sinh, , cosh, , operatorname {tanh}, , operatorname {csch}, , operatorname {sech}, ) e ( coth ), que envolvem certos combinações de (e ^ x ) e (e ^ {- x} )
funções hiperbólicas inversas
os inversos das funções hiperbólicas onde ( cosh ) e ( operatorname {sech} ) são restritos ao domínio ([0, ∞) ); cada uma dessas funções pode ser expressa em termos de uma composição da função logaritmo natural e uma função algébrica
função exponencial natural
a função (f (x) = e ^ x )
Logaritmo natural
a função ( ln x = log_ex )
numero e
conforme (m ) fica maior, a quantidade ((1+ (1 / m) ^ m ) se aproxima de algum número real; definimos esse número real como (e; ) o valor de ( e ) é aproximadamente (2.718282 )

Calcular exp () e log () sem multiplicações

Esta página descreve alguns algoritmos para calcular o registro de funções matemáticas elementares (x) (logaritmo para a base e) e exp (x) (e ao poder x) Os algoritmos evitam operações de multiplicação e divisão e, portanto, são adequados para implementação em software em processadores que não possuem tais instruções (ou onde as instruções são lentas) ou em hardware em um dispositivo lógico programável ou chip dedicado.

Os métodos são particularmente adequados para uso quando a mudança é barata: por exemplo, no código do assembler ARM, onde uma mudança pode frequentemente ser obtida gratuitamente como parte de outra instrução. Podemos calcular essas funções em apenas alguns ciclos por bit de resultado usando o código assembler ARM. Para maior clareza, daremos exemplos de código em C.

As idéias explicadas aqui podem ser estendidas para implementar outras funções elementares, como sin (x) ou arctan (x) os algoritmos resultantes são semelhantes aos métodos CORDIC (computador digital de rotação coordenada - sim, realmente), cujas descrições podem ser encontradas em muitos lugares.

Princípios

Existem algumas constantes pelas quais é fácil multiplicar. Por exemplo, multiplicando por 2 n , Onde n é um número inteiro positivo ou negativo, pode ser alcançado simplesmente mudando um número n locais. A mudança será para a esquerda se n é positivo, para a direita se n é negativo.

É quase tão fácil multiplicar por números da forma & plusmn2 n & plusmn1. Isso envolve simplesmente um acréscimo ou uma subtração e uma mudança. Por exemplo, em C a = a + (a & lt & lt 1) irá (ignorando o estouro etc.) se multiplicar uma por 3. Da mesma forma, a = a + (a & gt & gt 4) vai se multiplicar uma por 1 + 2 -4 = 17/16.

Vamos ligar para números que são fáceis de multiplicar por bons números.

Em contraste, adicionar ou subtrair algum número arbitrário como 41256845 geralmente não é mais lento do que adicionar um número especial, como 1. Geralmente, adicionar números arbitrários é uma das operações mais rápidas que uma CPU pode fazer.

Veremos agora como podemos usar essa distinção entre adição e multiplicação para calcular as funções exp () e log () de forma eficiente.

Calculando exp ()

Vamos supor que queremos calcular y= exp (x) Como exemplo, usaremos x= 4. O algoritmo irá gerar uma sequência de valores para x e y, e vamos garantir que para cada par

Uma expressão como esta, cujo valor permanece constante por meio de um algoritmo, apesar das mudanças nas variáveis ​​envolvidas, é chamada de invariante. Devemos escrever cada par em uma linha em uma tabela, que começará assim:

Observe que y& middotexp (x) = 1 & middotexp (4) = exp (4) conforme necessário. Se pudermos obter x to 0 while maintaining the invariant, then y would be given by

and so we will have calculated the desired result in y.

Suppose we subtract some value k a partir de x. Then, to maintain the invariant, the new y valor y&prime will have to satisfy

In other words, if we subtract k a partir de x, we have to multiply y by exp(k) All we have to do now is make sure that exp(k) is a nice number, so we can multiply by it easily, and the rest is straightforward. Observe que k itself does not have to be nice, as we are only subtracting that, not multiplying by it. Here are some nice values of exp(k) and the corresponding (not necessarily nice) values of k.

kexp(k)
5.5452256
2.772616
1.38634
0.69312
0.40553/2
0.22315/4
0.11789/8
0.060617/16
0.030833/32
0.015565/64
0.0078129/128

Now let&rsquos try it out. At each step in the algorithm we shall subtract from x the biggest k in the above table that we can without sending x negative, and then multiply y by the corresponding exp(k).

Step 0. x=4, the biggest k we can subtract is 2.7726, and we will have to multiply y by 16. Results so far:

xy
41
4-2.7726=1.22741·16=16

Step 1. x=1.2274, the biggest k we can subtract is 0.6931, and we will have to multiply y by 2. Results so far:

xy
41
1.227416
1.2274-0.6931=0.534316·2=32

Step 2. x=0.5343, the biggest k we can subtract is 0.4055, and we will have to multiply y by 3/2. Results so far:

xy
41
1.227416
0.534332
0.5343-0.4055=0.128832·3/2=48

Step 3. x=0.1288, the biggest k we can subtract is 0.1178, and we will have to multiply y by 9/8. Results so far:

xy
41
1.227416
0.534332
0.128848
0.1288-0.1178=0.011048·9/8=54

Step 4. x=0.0110, the biggest k we can subtract is 0.0078, and we will have to multiply y by 129/128. Results so far:

xy
41
1.227416
0.534332
0.128848
0.011054
0.0110-0.0078=0.003254·129/128=54.42

With more entries in our table of k we could continue but the result is already pretty accurate: the correct value of exp(4) is 54.598.

Example C code

Here is a sample C function to compute exp() using the above algorithm. The code assumes integers are at least 32 bits long. The (non-negative) argument and the result of the function are both expressed as fixed-point values with 16 fractional bits. Notice that after 11 steps of the algorithm the constants involved become such that the code is simply doing a multiplication: this is explained in the note below.

The extension to negative arguments is left as an exercise.

Note that the constants involved in the trial subtractions reduce by a factor of less than or equal to 2 at each step. This means that it is never necessary to test the same constant twice.

A note on the residual error

The error in the final answer depends on the residual value in x in fact, the relative error is exp(x) Since for small x, exp(x) is approximately 1+x, it is possible to correct the final answer by multiplying it by 1+x. In the example above, 54.42·(1+0.0032)=54.594, which is about as accurate as can be expected given the rounding of our intermediate results to 4 decimal places. The advantage of applying the correction is that it roughly doubles the number of digits of accuracy in the answer the disadvantage is that it requires a general multiplication. In a software implementation, whether this is worthwhile will depend on the relative speed of this algorithm and the multiply instruction. It is unlikely to be worthwhile in a hardware implementation.

Calculating log()

Now let us try calculating y=log(x) As an example we will use x=54. (Since we know from above that exp(4)=54.598, the answer we are expecting is very slightly less than 4.) As for exp(), the algorithm generates a sequence of values for x e y. This time our invariant is

In this case our table starts like this:

Observe que y=log(54/x)=log(1)=0 as required. Our aim is to get x to 1 while maintaining the invariant. Então y will be given by

Suppose we multiply x by some number k. Then to maintain the invariant, the new the invariant, the new y valor y&prime will have to satisfy

In other words, if we multiply x de k, we have to add -log(k) to y. We make sure that k is a nice number, so we can multiply by it easily. log(1/k) does not have to be nice as it is only involved in an addition. Here are some nice values of k and the corresponding, not necessarily nice, values of log(k) this is simply the same table as before, but with the columns exchanged.

kregistro(k)
162.7726
41.3863
20.6931
3/20.4055
5/40.2231
9/80.1178
17/160.0606
33/320.0308
65/640.0155
129/1280.0078

Todos k values in this table are greater than 1. We will therefore have to start with x less than 1, so we begin by multiplying x by 1/256 (other nice numbers would work too) and, to maintain the invariant, adding -log(1/256)=5.5452 to y this is really just a scaling of the input and an initialisation of y. After this preparatory step our table looks like this:

xy
540
54/256=0.21095.5452

Step 0. x=0.2109, the biggest k we can multiply by is 4 (keeping x<1), and we will have to add -1.3863 to y. Results so far:

xy
0.21095.5452
0.2109*4=0.84365.5452-1.3863=4.1589

Step 1. x=0.8436, the biggest k we can multiply by is 9/8, and we will have to add -0.1178 to y. Results so far:

xy
0.21095.5452
0.84364.1589
0.8436*9/8=0.94914.1589-0.1178=4.0411

Step 2. x=0.9491, the biggest k we can multiply by is 33/32, and we will have to add -0.0308 to y. Results so far:

xy
0.21095.5452
0.84364.1589
0.94914.0411
0.9491*33/32=0.97884.0411-0.0308=4.0103

Step 3. x=0.9788, the biggest k we can multiply by is 65/64, and we will have to add -0.0155 to y. Results so far:

xy
0.21095.5452
0.84364.1589
0.94914.0411
0.97884.0103
0.9788*65/64=0.99414.0103-0.0155=3.9948

The true answer is 3.9890. The absolute error in the answer is the log of the residual in x, in this case log(0.9941). For small x, log(1-x) is approximately equal to -x, and so the absolute error in this case is approximately 1-0.9941=0.0059. Subtract this from the final y value, and we get 3.9889: pretty good!

Notice that because we obtained the absolute error in the answer, this final correction, which roughly doubles the number of digits of accuracy in the result, does not involve a multiplication.

Example C code

Here is a sample C function to compute log() using the above algorithm. The code assumes integers are at least 32 bits long. The (positive) argument and the result of the function are both expressed as fixed-point values with 16 fractional bits, although intermediates are kept with 31 bits of precision to avoid loss of accuracy during shifts. After 12 steps of the algorithm the correction described above is applied.

Implementation issues

The C code examples here are given for any use with no warranty whatsoever. They will need to be modified to suit your application. You may need to extend them if you want greater accuracy conversely, if you want greater speed at the expense of accuracy, you may wish to remove some of the steps. You should also check that the function covers the full range of possible input values you will encounter the examples do not include any checking of this kind at all.

You will probably find that as a result of rounding, implementations of these algorithms tend to exhibit systematic error. You may be able to get better overall accuracy by adding a small positive or negative constant to the argument of the exp() function or the result of the log() function, though possibly at the cost of no longer getting exact results for log(1) and exp(0).

ARM assembler implementations of these algorithms are particularly elegant. Each line in the C code above translates into about 3 or 4 instructions this means that the log() algorithm produces one result bit about every two cycles. Please contact me at the e-mail address on the home page if you are interested in tested ARM assembler implementations of these algorithms for a particular application.

This page most recently updated Sat 22 May 10:34:35 BST 2021


Graphing Logarithmic Functions

The function y = log b x is the inverse function of y = b x . So, it is the reflection of that graph across the diagonal line y = x .

When no base is written, assume that the log is base 10 .

x 1 1000 1 100 1 10 1 10 100 1000
y = log x &minus 3 &minus 2 &minus 1 0 1 2 3

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1.5: Exponential and Logarithmic Functions

Exponential Functions: Introduction (page 1 of 5)

Exponential functions look somewhat similar to functions you have seen before, in that they involve exponents, but there is a big difference, in that the variable is now the power, rather than the base. Previously, you have dealt with such functions as f(x) = x 2 , where the variable x was the base and the number 2 was the power. In the case of exponentials, however, you will be dealing with functions such as g(x) = 2 x , where the base is the fixed number, and the power is the variable.

Let's look more closely at the function g(x) = 2 x . To evaluate this function, we operate as usual, picking values of x , plugging them in, and simplifying for the answers. But to evaluate 2 x , we need to remember how exponents work. In particular, we need to remember that negative exponents mean "put the base on the other side of the fraction line".

So, while positive x -values give us values like these:

. negativo x -values give us values like these:

Copyright Elizabeth Stapel 2002-2011 All Rights Reserved

Putting together the "reasonable" (nicely graphable) points, this is our T-chart:

You should expect exponentials to look like this. That is, they start small very small, so small that they're practically indistinguishable from " y = 0 ", which is the x -axis and then, once they start growing, they grow faster and faster, so fast that they shoot right up through the top of your graph.

You should also expect that your T-chart will not have many useful plot points. For instance, for x = 4 and x = 5 , the y -values were too big, and for just about all the negative x -values, the y -values were too small to see, so you would just draw the line right along the top of the x -eixo.

Note also that my axis scales do not match. The scale on the x -axis is much wider than the scale on the y -axis the scale on the y -axis is compressed, compared with that of the x -eixo. You will probably find this technique useful when graphing exponentials, because of the way that they grow so quickly. You will find a few T-chart points, and then, with your knowledge of the general appearance of exponentials, you'll do your graph, with the left-hand portion of the graph usually running right along the x -eixo.

You may have heard of the term "exponential growth". This "starting slow, but then growing faster and faster all the time" growth is what they are referring to. Specifically, our function g(x) above doubled each time we incremented x . That is, when x was increased by 1 over what it had been, y increased to twice what it had been. This is the definition of exponential growth: that there is a consistent fixed period over which the function will double (or triple, or quadruple, etc the point is that the change is always a fixed proportion). So if you hear somebody claiming that the world population is doubling every thirty years, you know he is claiming exponential growth.

Exponential growth is "bigger" and "faster" than polynomial growth. This means that, no matter what the degree is on a given polynomial, a given exponential function will eventually be bigger than the polynomial. Even though the exponential function may start out really, really small, it will eventually overtake the growth of the polynomial, since it doubles all the time.

Por exemplo, x 10 seems much "bigger" than 10 x , and initially it is:


But eventually 10 x (in blue below) catches up and overtakes x 10 (at the red circle below, where x is ten and y is ten billion), and it's "bigger" than x 10 forever after:

Exponential functions always have some positive number other than 1 as the base. If you think about it, having a negative number (such as 2 ) as the base wouldn't be very useful, since the even powers would give you positive answers (such as " ( 2) 2 = 4 ") and the odd powers would give you negative answers (such as " ( 2) 3 = 8 "), and what would you even do with the powers that aren't whole numbers? Also, having 0 or 1 as the base would be kind of dumb, since 0 and 1 to any power are just 0 and 1 , respectively what would be the point? This is why exponentials always have something positive and other than 1 as the base.


1.5: Exponential and Logarithmic Functions

When true , r some rational number, and x some expression, %e^(r*log(x)) will be simplified into x^r . It should be noted that the radcan command also does this transformation, and more complicated transformations of this ilk as well. The logcontract command "contracts" expressions containing log .

Option variable: %emode

When %emode is true , %e^(%pi %i x) is simplified as follows.

%e^(%pi %i x) simplifies to cos (%pi x) + %i sin (%pi x) if x is a floating point number, an integer, or a multiple of 1/2, 1/3, 1/4, or 1/6, and then further simplified.

For other numerical x , %e^(%pi %i x) simplifies to %e^(%pi %i y) where y is x - 2 k for some integer k such that abs(y) < 1 .

When %emode is false , no special simplification of %e^(%pi %i x) is carried out.

Option variable: %enumer

When %enumer is true , %e is replaced by its numeric value 2.718&hellip whenever numer is true .

When %enumer is false , this substitution is carried out only if the exponent in %e^x evaluates to a number.

Function: exp ( x )

Represents the exponential function. Instances of exp ( x ) in input are simplified to %e^ x exp does not appear in simplified expressions.

demoivre if true causes %e^(a + b %i) to simplify to %e^(a (cos(b) + %i sin(b))) if b is free of %i . See demoivre .

%emode , when true , causes %e^(%pi %i x) to be simplified. See %emode .

%enumer , when true causes %e to be replaced by 2.718&hellip whenever numer is true . See %enumer .

Function: li [ s ] ( z )

Represents the polylogarithm function of order s and argument z , defined by the infinite series

li [1] is - log (1 - z) . li [2] and li [3] are the dilogarithm and trilogarithm functions, respectively.

When the order is 1, the polylogarithm simplifies to - log (1 - z) , which in turn simplifies to a numerical value if z is a real or complex floating point number or the numer evaluation flag is present.

When the order is 2 or 3, the polylogarithm simplifies to a numerical value if z is a real floating point number or the numer evaluation flag is present.

Function: registro ( x )

Represents the natural (base e) logarithm of x .

Maxima does not have a built-in function for the base 10 logarithm or other bases. log10(x) := log(x) / log(10) is an useful definition.

Simplification and evaluation of logarithms is governed by several global flags:

causes log(a^b) to become b*log(a) . If it is set to all , log(a*b) will also simplify to log(a)+log(b) . If it is set to super , then log(a/b) will also simplify to log(a)-log(b) for rational numbers a/b , a#1 . ( log(1/b) , for b integer, always simplifies.) If it is set to false , all of these simplifications will be turned off.

if false then no simplification of %e to a power containing log &rsquos is done.

if true implements the rule log(-n) -> log(n)+%i*%pi for n a positive integer.

when true , r some rational number, and x some expression, the expression %e^(r*log(x)) will be simplified into x^r . It should be noted that the radcan command also does this transformation, and more complicated transformations of this as well. The logcontract command "contracts" expressions containing log .

Option variable: logabs

When doing indefinite integration where logs are generated, e.g. integrate(1/x,x) , the answer is given in terms of log(abs(. )) if logabs is true , but in terms of log(. ) if logabs is false . For definite integration, the logabs:true setting is used, because here "evaluation" of the indefinite integral at the endpoints is often needed.

Function: logarc ( expr )

The function logarc( expr ) carries out the replacement of inverse circular and hyperbolic functions with equivalent logarithmic functions for an expression expr without setting the global variable logarc .

Option variable: logarc

When the global variable logarc is true , inverse circular and hyperbolic functions are replaced by equivalent logarithmic functions. The default value of logarc is false .

Option variable: logconcoeffp

Controls which coefficients are contracted when using logcontract . It may be set to the name of a predicate function of one argument. Por exemplo. if you like to generate SQRTs, you can do logconcoeffp:'logconfun$ logconfun(m):=featurep(m,integer) or ratnump(m)$ . Then logcontract(1/2*log(x)) will give log(sqrt(x)) .

Function: logcontract ( expr )

Recursively scans the expression expr , transforming subexpressions of the form a1*log(b1) + a2*log(b2) + c into log(ratsimp(b1^a1 * b2^a2)) + c

The declaration declare(n,integer) causes logcontract(2*a*n*log(x)) to simplify to a*log(x^(2*n)) . The coefficients that "contract" in this manner are those such as the 2 and the n here which satisfy featurep(coeff,integer) . The user can control which coefficients are contracted by setting the option logconcoeffp to the name of a predicate function of one argument. Por exemplo. if you like to generate SQRTs, you can do logconcoeffp:'logconfun$ logconfun(m):=featurep(m,integer) or ratnump(m)$ . Then logcontract(1/2*log(x)) will give log(sqrt(x)) .

Option variable: logexpand

If true , that is the default value, causes log(a^b) to become b*log(a) . If it is set to all , log(a*b) will also simplify to log(a)+log(b) . If it is set to super , then log(a/b) will also simplify to log(a)-log(b) for rational numbers a/b , a#1 . ( log(1/b) , for integer b , always simplifies.) If it is set to false , all of these simplifications will be turned off.

When logexpand is set to all or super , the logarithm of a product expression simplifies to a summation of logarithms.

When logexpand is true , log(a^b) simplifies to b*log(a) .

When logexpand is all , log(a*b) simplifies to log(a)+log(b) .

When logexpand is super , log(a/b) simplifies to log(a)-log(b) for rational numbers a/b with a#1 .

When logexpand is set to all or super , the logarithm of a product expression simplifies to a summation of logarithms.

When logexpand is false , these simplifications are disabled.

Option variable: lognegint

If true implements the rule log(-n) -> log(n)+%i*%pi for n a positive integer.

Option variable: logsimp

If false then no simplification of %e to a power containing log &rsquos is done.

Function: plog ( x )

Represents the principal branch of the complex-valued natural logarithm with -%pi < carg( x ) <= +%pi .

Function: sqrt ( x )

The square root of x . It is represented internally by x ^(1/2) . See also rootscontract and radexpand .


1.5: Exponential and Logarithmic Functions

The number e has been called one of the most important numbers in all of mathematics. However, it is important to remember that e is just a number. Calculated to nine decimal places,

e can be extended to countless decimal places and no patterns have ever been discovered in its digits. In this sense e, is very similar to pi.

Look at these two graphs. The first is the graph of y = e^x and the second is y= e^-x

Notice in the first graph, to the left of the y-axis, e^x increase very slowly, it crosses the axis at y = 1, and to the right of the axis, it grows at a faster and faster rate.

The second graph is just the opposite. For negative x's, the graph decays in smaller and smaller amounts. It crosses the y-axis at y = 1, and then decays at slower and slower rates.

The Natural Log

The natural log is the logarithm whose base is e. The two functions, the natural log and the exponential e, are inverses of each other. In other words, saying y = Ln[x] is the same as e^y = x.
Look at the plot of y = Ln[x].


The logarithm grows fast at first, then gradually slows. It also crosses the x-axis at 1 and can only be found for x > 0. Therefore, Log[1] = 0, Ln[0 y = a e^(b x)

where a and b are constants. The curve that we use to fit data sets is in this form so it is important to understand what happens when a and b are changed.

Recall that any number or variable when raised to the 0 power is 1. In this case if b or x is 0 then, e^0 = 1. So at the y-intercept or x = 0, the function becomes y = a * 1 or y = a. Therefore, the constant a is the y-intercept of the curve.

The other parameter in our equation is b. If b is very small and greater than 0 , the function flattens out. The curve increases at a slower rate then for large b's. On the contrary, for large b's the curve increases quickly.

Look at these two plots. The first is for an equation with a large b, and the second is for a small b. Notice the scales of the plots.

For, b's less than 0 , the same occurs except the plots look like the plot of e^-x from above.

Exercícios


1.) Simplify the following expressions.


3.) Sketch the following curves on the same axes. Identify the domains of each equation in terms of x.


Application of Exponentials


4.) If you invest A dollars at a fixed annual interest rate, r and interest is compounded continuously to your account, the amount of money, Ao, you will have at the end of t years is,

Compounded continuously means that the money in your account is continuously being added interest. It can almost be said that the interest is being added every second, day or night.

a.) You deposit $621 in an account that pays 10% interest. How much money will you have after 8 years? after 10 years?

b.) How long will it take you to double your money if you invest $500 at an interest rate 6%?


1.5: Exponential and Logarithmic Functions

The composition of a function with its inverse returns the starting value, x.

This concept will be used to solve equations involving exponentials and logarithms.

Now that we have a basic idea of a logarithmic function, let's take a closer look at its graph.

Let's examine the function:

The value of b (the 2) is referred to as the base of the logarithm.

Notice that x must be positive.

Observação: In a linear graph, the " rate of change " remains the same across the entire graph.
In a logarithmic graph, the "rate of change" increases (or decreases) across the graph.

For help with logarithms on
your calculator,
Clique aqui.

For "other bases" use the following "change of base" conversion:


Or use logBASE( template at MATH &rarr arrow down to A:logBASE(.

The graphs of functions of the form have certain characteristics in common.

• graph crosses the x-axis at (1,0)

• when b > 1, the graph increases

• when 0 < b < 1, the graph decreases

• the domain is all positive real numbers (never zero)

• the range is all real numbers

• graph passes the vertical line test for functions

• graph passes the horizontal line test for functional inverse.

• graph is asymptotic to the y-axis - gets very, very close to the y-axis but, in this case, does not touch it or cross it.

We know that transformations have the ability to move functions by sliding them, reflecting them, stretching them, and shrinking them. Let's see how these changes will affect the logarithmic function:

Parent function:

Translation y = registrob(x - h) + k
horizontal by h: vertical by k:


Domínio: x > h
Range: x &isin Real numbers

Tudo 3 transformations combined: y = a registrob(x - h) + k

By examining the nature of the logarithmic graph, we have seen that the parent function will stay to the right of the x-axis, unless acted upon by a transformation.
• The parent function , y = registrob x, will always have an x-intercept of one , occurring at the ordered pair of (1,0).
no y-intercept with the parent function since it is asymptotic to the y-axis (approaches the y-axis but does not touch or cross it).

• The transformed parent function of the form y = aregistrob x, will also always have a x-intercept of 1 , occurring at the ordered pair of (1, 0). Note that the value of uma may be positive or negative.
Like the parent function, this transformation will be asymptotic to the y-axis, and will have no y-intercept.


• If the transformed parent function includes a vertical or horizontal shift , all bets are off. The horizontal shift will affect the possibility of a y-intercept and the vertical shift will affect the x-intercept. In this situation, you will need to examine the graph carefully to determine what is happening.

• The end behavior of a transformed parent function is not always consistent, but is dependent upon the nature of the transformation. Consider this example:

For the transformed equation

the horizontal shift of +5 will push the
asymptote line to the left five units.
Thus the end behavior will be:

O y-intercept, where x = 0, is
y =registro 2 (0 + 5) + 4 &asymp 6.321928095.
O x-intercept, Onde y = 0, is
approximately -4.94 (from the graph's table) .



Don't confuse log graphs
with square root graphs.
At fist glance, these two graphs appear to be similar. But the square root graph is actually ending, while the log graph is not.


1.5: Exponential and Logarithmic Functions

log computes logarithms, by default natural logarithms, log10 computes common (i.e., base 10) logarithms, and log2 computes binary (i.e., base 2) logarithms. The general form log(x, base) computes logarithms with base base .

log1p(x) computes log(1+x) accurately also for |x| << 1.

exp computes the exponential function.

expm1(x) computes exp(x) - 1 accurately also for |x| << 1.

Usage

Arguments

a numeric or complex vector.

a positive or complex number: the base with respect to which logarithms are computed. Defaults to e= exp(1) .

Detalhes

All except logb are generic functions: methods can be defined for them individually or via the Math group generic.

log10 and log2 are only convenience wrappers, but logs to bases 10 and 2 (whether computed através da log or the wrappers) will be computed more efficiently and accurately where supported by the OS. Methods can be set for them individually (and otherwise methods for log will be used).

logb is a wrapper for log for compatibility with S. If (S3 or S4) methods are set for log they will be dispatched. Do not set S4 methods on logb itself.

All except log are primitive functions.

Value

A vector of the same length as x containing the transformed values. log(0) gives -Inf , and log(x) for negative values of x is NaN . exp(-Inf) is 0 .

For complex inputs to the log functions, the value is a complex number with imaginary part in the range [-pi, pi]: which end of the range is used might be platform-specific.

S4 methods

exp , expm1 , log , log10 , log2 and log1p are S4 generic and are members of the Math group generic.

Note that this means that the S4 generic for log has a signature with only one argument, x , but that base can be passed to methods (but will not be used for method selection). On the other hand, if you only set a method for the Math group generic then base argument of log will be ignored for your class.

Fonte

log1p and expm1 may be taken from the operating system, but if not available there then they are based on the Fortran subroutine dlnrel by W. Fullerton of Los Alamos Scientific Laboratory (see https://www.netlib.org/slatec/fnlib/dlnrel.f) and (for small x) a single Newton step for the solution of log1p(y) = x respectively.

Referências

Becker, R. A., Chambers, J. M. and Wilks, A. R. (1988) The New S Language. Wadsworth & Brooks/Cole. (for log , log10 and exp .)

Chambers, J. M. (1998) Programming with Data. A Guide to the S Language. Springer. (for logb .)


1.5: Exponential and Logarithmic Functions

Logarithmic Functions

Algebraic Representation

Like an exponential, a logarithm's essential features can be described with just two parameters.

Like an exponential, the parameter b é chamado de base.

Unlike an exponential, the parameter uma is not the y-intercept! Indeed, members of this basic family of logarithms have no y-intercepts. To discover the meaning of a , we must consider more closely the inverso nature of exponentials and logarithms.

Recall that if we write (or We use the same notation for any base. Thus, if we write

More on log notation :

Exponentials and logarithms are just different ways of expressing this relationship. The function asks for the value y that results when b is raised to the exponent x . The function asks for the exponent y for which results in The difference is: Which of x and y are you given and which do you wish to find? Which is the input and which is the output?

This explains the "mirror image" relationship between exponentials and logarithms with the same base. If (x, y) is an input-output pair for one function, then (y, x) is an input-output pair for the other.

It also helps us to explain the meaning of the parameter a . Since That is, The parameter a is the output when the input is the base. Nice, but not terribly useful.

It is better to think of uma as a scaling factor, adjusting the outputs of log b (x) up or down as a increases or decreases, respectively.

Because the base of a logarithm is really the base of an exponential in disguise, we carry over the restriction given for exponentials:

For exponentials, this condition assured that outputs from were always positive. For logarithms, this is a restriction that says the inputs must always be positive. Logarithms live entirely to the right of the y-axis. We say that they have a limited domain.


Algebra II

In this module, students synthesize and generalize what they have learned about a variety of function families. They extend the domain of exponential functions to the entire real line (N-RN.A.1) and then extend their work with these functions to include solving exponential equations with logarithms (F-LE.A.4). They explore (with appropriate tools) the effects of transformations on graphs of exponential and logarithmic functions. They notice that the transformations on a graph of a logarithmic function relate to the logarithmic properties (F-BF.B.3). Students identify appropriate types of functions to model a situation. They adjust parameters to improve the model, and they compare models by analyzing appropriateness of fit and making judgments about the domain over which a model is a good fit. The description of modeling as, “the process of choosing and using mathematics and statistics to analyze empirical situations, to understand them better, and to make decisions,” is at the heart of this module. In particular, through repeated opportunities in working through the modeling cycle (see page 61 of the CCLS), students acquire the insight that the same mathematical or statistical structure can sometimes model seemingly different situations.

The student materials consist of the student pages for each lesson in Module 3.

The copy ready materials are a collection of the module assessments, lesson exit tickets and fluency exercises from the teacher materials.

Water Tank Demo Video for Lesson 6
The following are links to the instructional video used in lesson 6:

This video can also be downloaded from the "Downloadable Resources" section on the Algebra II Module 3 Lesson 6 page.


Assista o vídeo: Logarytmy - najważniejsze wiadomości (Outubro 2021).