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4.7E: Exercícios - Aplicações Exponenciais - Matemática


Origens:
[a] Abramson 6.8 Modelos Exponenciais e Logarítmicos, 6.9 Ajustando Modelos Exponenciais aos Dados - Estantes / Álgebra / Álgebra e Trigonometria (OpenStax) / 6: Funções Exponenciais e Logarítmicas CC.BY
[m] Marecek 10.6 Solve Exponential and Logarithmic Equations - Bookshelves / Algebra / Intermediate Algebra (OpenStax) / 10: Exponential and Logarithmic Functions CC.BY
[r] Aplicativos do Redden 7.6 - Bookshelves / Algebra / Advanced Algebra (Redden) / 7: Funções exponenciais e logarítmicas CC.BY.NC.SA
[n] Arnold 8.7 Crescimento exponencial e estantes de decadência / Álgebra / Álgebra intermediária (Arnold) / 8: Funções exponenciais e logarítmicas CC.BY.NC.SA
[S&H] Strang e Herman 1.5 Funções exponenciais e logarítmicas - Estantes / Cálculo / Exercícios: Cálculo (OpenStax) /1.E Funções e gráficos (exercícios) CC.BY.NC.SA

R: Conceitos

Exercício ( PageIndex {A} ): Conceitos

1) Com que tipo de modelo exponencial seria meia-vida ser associado? Qual é o papel da meia-vida nesses modelos?

2) O que é datação por carbono? Por que isso funciona? Dê um exemplo em que a datação por carbono seria útil.

3) Com que tipo de modelo exponencial seria tempo de duplicação ser associado? Qual é o papel da duplicação do tempo nesses modelos?

4) Definir a lei de resfriamento de Newton. Em seguida, cite pelo menos três situações do mundo real onde a Lei do Resfriamento de Newton seria aplicada.

5) O que é uma ordem de magnitude? Por que as ordens de magnitude são úteis? Dê um exemplo para explicar.

Para o exercício seguinte, escolha a opção de resposta correta.

7) Um médico injeta em um paciente (13 ) miligramas de corante radioativo que se decompõe exponencialmente. Após (12 ) minutos, há (4,75 ) miligramas de corante restantes no sistema do paciente. Qual é o modelo adequado para esta situação?

    9) Quais situações são melhor modeladas por uma equação logística? Dê um exemplo e explique por que o exemplo se encaixa bem.

    10) O que é uma capacidade de carga? Que tipo de modelo tem capacidade de carga embutida em sua fórmula? Por que isso faz sentido?

    Respostas 1-9:

    1. A meia-vida é uma medida de decaimento e, portanto, está associada a modelos de decaimento exponencial. A meia-vida de uma substância ou quantidade é o tempo que a metade da quantidade inicial dessa substância ou quantidade leva para se decompor.

    3. O tempo de duplicação é uma medida de crescimento e, portanto, está associado a modelos de crescimento exponencial. O tempo de duplicação de uma substância ou quantidade é a quantidade de tempo que leva para a quantidade inicial dessa substância ou quantidade dobrar de tamanho.

    5. Uma ordem de magnitude é a potência de dez mais próxima pela qual uma quantidade cresce exponencialmente. É também uma posição aproximada em uma escala logarítmica; Resposta de amostra: As ordens de magnitude são úteis ao fazer comparações entre números que diferem muito. Por exemplo, a massa de Saturno é (95 ) vezes maior do que a massa da Terra. Isso é o mesmo que dizer que a massa de Saturno é cerca de (10 ​​^ 2 ) vezes, ou (2 ) ordens de magnitude maior do que a massa da Terra.

    7. C

    9. Os modelos logísticos são mais bem usados ​​para situações com valores limitados. Por exemplo, as populações não podem crescer indefinidamente, uma vez que recursos como alimentos, água e espaço são limitados, portanto, um modelo logístico descreve melhor as populações.

    ( grande estrela )

    B: Juros Compostos

    Exercício ( PageIndex {B} ): Juros compostos

    1. Jill investiu $ (1.450 ) em uma conta que rendeu (4 frac {5} {8} )% de juros anuais compostos mensalmente.
      1. Quanto estará na conta após (6 ) anos?
      2. Quanto tempo a conta levará para crescer para $ (2.200 )?
    2. James investiu $ (825 ) em uma conta que ganha (5 frac {2} {5} )% de juros anuais compostos mensalmente.
      1. Quanto estará na conta após (4 ) anos?
      2. Quanto tempo a conta levará para crescer para $ (1.500 )?
    3. Raul investiu $ (8.500 ) em um fundo do mercado monetário online que ganha (4,8 )% de juros anuais compostos continuamente.
      1. Quanto estará na conta após (2 ) anos?
      2. Quanto tempo a conta levará para crescer para $ (10.000 )?
    4. Ian depositou $ (500 ) em uma conta que ganha (3,9 )% de juros anuais compostos continuamente.
      1. Quanto estará na conta após (3 ) anos?
      2. Quanto tempo a conta levará para crescer para $ (1.500 )?
    5. Bill quer aumentar sua herança de $ (75.000 ) para $ (100.000 ) antes de gastá-la. Quanto tempo isso levará se o banco estiver oferecendo (5,2 )% de juros anuais compostos trimestralmente?
    6. Mary precisa de $ (25.000 ) para o pagamento de uma nova casa. Se ela investir suas economias de $ (21.350 ) em uma conta que recebe (4,6 )% de juros anuais compostos semestralmente, quanto tempo levará para atingir o valor de que ela precisa?
    7. Joe investiu sua economia de $ (8.700 ) em uma conta que rendeu (6 frac {3} {4} )% de juros anuais compostos continuamente. Quanto tempo levará para ganhar $ (300 ) de juros?
    8. Miriam investiu $ (12.800 ) em uma conta que ganha (5 frac {1} {4} )% de juros anuais compostos mensalmente. Quanto tempo levará para ganhar $ (1.200 ) de juros?
    9. Dado que o banco está oferecendo (4,2 )% de juros anuais compostos mensalmente, qual principal é necessário para ganhar $ (25.000 ) de juros por um ano?
    10. Dado que o banco está oferecendo (3,5 )% de juros anuais compostos continuamente, qual principal é necessário para ganhar $ (12.000 ) de juros por um ano?
    11. José investiu seu bônus de $ (3.500 ) em uma conta que ganha (5 frac {1} {2} )% de juros anuais compostos trimestralmente. Quanto tempo vai demorar para dobrar seu investimento?
    12. Maria investiu sua economia de $ (4.200 ) em uma conta que rendeu (6 frac {3} {4} )% de juros anuais compostos semestralmente. Quanto tempo vai demorar para dobrar suas economias?
    13. Se o dinheiro for investido em uma conta que recebe (3,85 )% de juros anuais compostos continuamente, quanto tempo levará para que o valor dobre?
    14. Se o dinheiro for investido em uma conta que rende (6,82 )% de juros anuais compostos continuamente, quanto tempo levará para o valor dobrar?
    15. Encontre a taxa de juros anual na qual uma conta que recebe juros compostos continuamente tem um tempo de duplicação de (9 ) anos.
    16. Encontre a taxa de juros anual na qual uma conta que recebe juros compostos mensalmente tem um tempo de duplicação de (10 ​​) anos.
    17. Alice investiu suas economias de $ (7.000 ) em uma conta que ganha (4,5 )% de juros anuais compostos mensalmente. Quanto tempo levará para a conta triplicar de valor?
    18. Mary investiu seu bônus de $ (42.000 ) em uma conta que ganha (7,2 )% de juros anuais compostos continuamente. Quanto tempo levará para a conta triplicar de valor?
    19. Calcule o tempo de duplicação de um investimento feito a (7 )% de juros anuais compostos:
      1. por mês
      2. continuamente
    20. Calcule o tempo de duplicação de um investimento que está gerando juros compostos continuamente a uma taxa de juros anual de:
      1. (4)%
      2. (6)%
    21. O avô de Billy investiu em um título de capitalização que rendeu (5,5 )% de juros anuais compostos anualmente. Atualmente, (30 ) anos depois, o título de capitalização está avaliado em $ (10.000 ). Determine qual foi o investimento inicial.
    22. Em 1935, Frank abriu uma conta ganhando (3,8 )% de juros anuais que eram compostos trimestralmente. Ele redescobriu essa conta enquanto limpava sua garagem em 2005. Se a conta agora vale $ (11.294,30 ), quanto foi seu depósito inicial em 1935?
    23. Alice investe $ (15.000 ) aos (30 ) anos do bônus de assinatura de seu novo emprego. Ela espera que os investimentos valham $ (30.000 ) quando ela completar (40 ). Se o interesse aumentar continuamente, aproximadamente de que taxa de crescimento ela precisará para atingir seu objetivo?
    24. Sung Lee investe $ (5.000 ) aos (18 ). Ele espera que os investimentos valham $ (10.000 ) quando ele completar (25 ). Se os juros aumentam continuamente, aproximadamente de que taxa de crescimento ele precisará para atingir seu objetivo? Essa é uma expectativa razoável?
    25. Simone investe $ (8.000 ) em uma conta que acumula juros trimestralmente e ganha (5 )%. Quanto tempo vai demorar para seu dinheiro dobrar?
    26. Coralee investe $ (5.000 ) em uma conta que acumula juros mensalmente e ganha (7 )%. Quanto tempo vai demorar para o dinheiro dela dobrar?
    27. O valor A de um investimento de $ 100.000 pago continuamente e composto por t anos é dado por (A (t) = 100.000⋅e ^ {0,055t} ). Encontre a quantidade A acumulada em 5 anos.
    28. Um investimento é composto mensal, trimestral ou anual e é dado pela função (A = P (1+ frac {j} {n}) ^ {nt} ), onde (A ) é o valor de o investimento no tempo (t ), (P ) é o princípio inicial que foi investido, (j ) é a taxa de juros anual e n é o número de vezes que os juros são compostos por ano. Dada uma taxa de juros anual de 3,5% e um princípio inicial de $ 100.000, encontre o valor (A ) acumulado em 5 anos para os juros compostos a. diariamente, b., mensalmente, c. trimestralmente e d. anual.
    29. n / D
    30. 40) [S&H T] O montante A acumulado após 1000 dólares é investido por t anos a uma taxa de juros de 4% é modelado pela função (A (t) = 1000 (1,04) ^ t ).
    31. uma. Encontre o valor acumulado após 5 e 10 anos.
    32. b. Determine quanto tempo leva para o investimento original triplicar.
    Respostas 11-37

    11. (a) $ (1.912,73 ) (b) (9 ) anos

    13. (a) $ (9.356,45 ) (b) (3,4 ) anos

    15. (5,6 ) anos

    17. ( frac {1} {2} ) ano

    19. $(583,867)

    21. (12,7 ) anos

    23. (18 ) anos

    25. (7.7)%

    27. (24,5 ) anos

    29. (a) (9,93 ) anos (b) (9,90 ) anos

    31. $(2,006.44)

    33. (6.9)%

    35. (13,9 ) anos

    37. Aproximadamente $ 131.653

    ( grande estrela )

    C: Crescimento Exponencial

    Exercício ( PageIndex {C} ): Crescimento Exponencial

    41) Um estudante de pesquisa está trabalhando com uma cultura de bactérias que dobra de tamanho a cada vinte minutos. A contagem inicial da população era de (1350 ) bactérias. Arredondando para cinco dígitos significativos, escreva uma equação exponencial representando esta situação. Para o número inteiro mais próximo, qual é o tamanho da população após (3 ) horas?

    Para os seguintes exercícios 42-43, use este cenário: Um biólogo registrou uma contagem de (360 ) bactérias presentes em uma cultura após (5 ) minutos e (1000 ) bactérias presentes após (20 ) minutos .43 resposta

    42) Para o número inteiro mais próximo, qual era a população inicial na cultura?

    43) Arredondando para seis dígitos significativos, escreva uma equação exponencial representando esta situação. No minuto seguinte, quanto tempo a população levou para dobrar?

    44) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 5%. Se a população atual é de 2.000, quantos anos levará para dobrar? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    45) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 6%. Se a população atualmente é 5, 000, quanto será em 7 anos? Arredonde sua resposta para o número inteiro mais próximo.

    46) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 7%. Se a população é atualmente de 8.000, quantos anos levará para chegar a 18.000? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    47) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 8%. Se a população é atualmente de 4.000, quantos anos levará para dobrar? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    48) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 7%. Se a população crescer para 2, 000 em 7 anos, qual era a população original? Arredonde sua resposta para o número inteiro mais próximo.

    49) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 3%. Se a população é atualmente de 3.000, quantos anos levará para dobrar? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    50) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 2%. Se a população crescer para 9, 000 em 4 anos, qual era a população original? Arredonde sua resposta para o número inteiro mais próximo.

    51) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 2%. Se a população é atualmente de 7.000, quantos anos levará para dobrar? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    52) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 8%. Se a população é atualmente de 8.000, quantos anos levará para chegar a 18.000? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    53) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 8%. Se a população for atualmente 6, 000, quanto será daqui a 5 anos? Arredonde sua resposta para o número inteiro mais próximo.

    54) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 5%. Se a população crescer para 6, 000 em 3 anos, qual era a população original? Arredonde sua resposta para o número inteiro mais próximo.

    55) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 9%. Se a população crescer para 7, 000 em 5 anos, qual era a população original? Arredonde sua resposta para o número inteiro mais próximo.

    56) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 4%. Se a população atual é de 7.000, quantos anos levará para chegar a 17.000? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    57) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 8%. Se a população atual é de 2.000, quantos anos levará para chegar a 7.000? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    58) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 4%. Se a população for atualmente 1, 000, quanto será em 3 anos? Arredonde sua resposta para o número inteiro mais próximo.

    59) Suponha que a população de uma determinada cidade cresça a uma taxa anual de 6%. Se a população atualmente é 7, 000, quanto será em 7 anos? Arredonde sua resposta para o número inteiro mais próximo.

    60) A população de coelhos em uma reserva de caça dobra a cada 6 meses. Suponha que inicialmente houvesse 120 coelhos.

    uma. Use a função exponencial (P = P_0a ^ t ) para determinar a constante da taxa de crescimento (a ). Arredonde para quatro casas decimais.

    b. Use a função da parte a. para determinar aproximadamente quanto tempo leva para a população de coelhos atingir 3.500.

    61) O número de bactérias N em uma cultura após t dias pode ser modelado pela função (N (t) = 1300⋅ (2) ^ {t / 4} ). Encontre o número de bactérias presentes após 15 dias.

    62) n / a

    63) De acordo com o Banco Mundial, no final de 2013 ((t = 0) ) a população dos EUA era de 316 milhões e estava aumentando de acordo com o seguinte modelo abaixo onde P é medido em milhões de pessoas e t é medido em anos após 2013.

    (P (t) = 316e ^ {0,0074t} ),

    uma. Com base nesse modelo, qual será a população dos Estados Unidos em 2020?

    b. Determine quando a população dos EUA será o dobro do que é em 2013.

    64) n / a

    65) Sabe-se que uma colônia bacteriana cultivada em um laboratório duplica de número em 12 horas. Suponha, inicialmente, que haja 1.000 bactérias presentes.

    uma. Use a função exponencial (Q = Q_0e ^ {kt} ) para determinar o valor (k ), que é a taxa de crescimento da bactéria. Determine aproximadamente quanto tempo leva para que 200.000 bactérias cresçam.

    Respostas 41-65

    41. (f (t) = 1350e ^ {(0,03466t)} );
    depois de 3 horas:

    43. (f (t) = 256e ^ {(0,068110t)} );
    tempo de duplicação: cerca de (10 ​​) minutos

    45. 7610 pessoas

    47. 8.66 anos

    49. 23.10 anos

    51. 34.66 anos

    53. 8, 951 pessoas

    55. 8, 951 pessoas

    57. 15.66 anos

    59. 10, 654 pessoas

    61. Solução: (~ 17.491 )

    63. Solução: a. (~ 333 ) milhões
    b. 94 anos a partir de 2013, ou em 2107

    65. (k≈0,0578 )
    b. ≈ (92 ) horas

    ( grande estrela )

    D: Decaimento Exponencial

    Exercício ( PageIndex {D} ): Decaimento Exponencial

    Para os seguintes exercícios 66-68, use este cenário: Um médico prescreve (125 ) miligramas de uma droga terapêutica que decai cerca de (30 \% ) a cada hora.

    66) Até a hora mais próxima, qual é a meia-vida da droga?

    67) Escreva um modelo exponencial representando a quantidade de droga remanescente no sistema do paciente após (t ) horas. Em seguida, use a fórmula para encontrar a quantidade da droga que permaneceria no sistema do paciente após (3 ) horas. Arredonde para o miligrama mais próximo.

    68) Usando o modelo encontrado no exercício anterior, encontre (f (10 ) e interprete o resultado. Arredonde para o centésimo mais próximo.

    Para os seguintes exercícios 69-70, use este cenário: Um tumor é injetado com (0,5 ) gramas de Iodo-125, que tem uma taxa de decomposição de (1,15 \% ) por dia.

    69) Até o dia seguinte, quanto tempo levará para metade do Iodo-125 se decompor?

    70) Escreva um modelo exponencial representando a quantidade de Iodo-125 remanescente no tumor após (t ) dias. Em seguida, use a fórmula para encontrar a quantidade de Iodo-125 que permaneceria no tumor após (60 ) dias. Arredonde para o décimo de grama mais próximo.

    71) Um cientista começa com (250 ) gramas de uma substância radioativa. Após (250 ) minutos, a amostra decaiu para (32 ) gramas. No minuto seguinte, qual é a meia-vida dessa substância?

    72) A meia-vida do Rádio-226 é de (1590 ) anos. Qual é a taxa de deterioração anual? Expresse o resultado decimal com quatro dígitos significativos e a porcentagem com dois dígitos significativos.

    73) A meia-vida do Erbium-165 é de (10,4 ) horas. Qual é a taxa de degradação por hora? Expresse o resultado decimal com quatro dígitos significativos e a porcentagem com dois dígitos significativos.

    74) Um artefato de madeira de uma escavação arqueológica contém (60 ) por cento do carbono-14 que está presente nas árvores vivas. Para o ano mais próximo, cerca de quantos anos tem o artefato? (A meia-vida do carbono-14 é de (5730 ) anos.)

    75) Uma substância tem meia-vida de (2.045 ) minutos. Se a quantidade inicial da substância era (132,8 ) gramas, quantas meias-vidas terão se passado antes que a substância se decomponha para (8,3 ) gramas? Qual é o tempo total de decadência?

    76 Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 6,8%. Quantos anos leva para uma amostra de 399 gramas decair para 157 gramas? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    77) Suponha que um determinado isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 7,2%. Quantos anos leva para uma amostra de 227 gramas decair para 93 gramas? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    78. Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 19,2%. Começando com uma amostra de 443 gramas, quantos gramas sobrarão após 9 anos? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    79 Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 17,4%. Qual é a meia-vida (em anos) do isótopo? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    80 Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 12,5%. Começando com uma amostra de 127 gramas, quantos gramas sobrarão após 6 anos? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    81. Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 17,3%. Começando com uma amostra de 214 gramas, quantos gramas sobrarão após 5 anos? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    82 Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 5,3%. Quantos anos levará para uma amostra de 217 gramas decair para 84 gramas? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    83. Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 13,1%. Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 13,1%

    84. Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 15,8%. Qual é a meia-vida (em anos) do isótopo? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    85. Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 18,7%. Quantos anos leva para uma amostra de 324 gramas decair para 163 gramas? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    86. Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 18,6%. Se uma amostra particular decai para 41 gramas após 3 anos, quão grande (em gramas) era a amostra original? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    87. Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 2,3%. Se uma amostra particular decai para 25 gramas após 8 anos, quão grande (em gramas) era a amostra original? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    88. Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 6,5%. Qual é a meia-vida (em anos) do isótopo? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    89. Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 9,8%. Se uma amostra particular decai para 11 gramas após 6 anos, quão grande (em gramas) era a amostra original? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    90. Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 3,7%. Se uma amostra particular decai para 47 gramas após 8 anos, quão grande (em gramas) era a amostra original? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    91. Suponha que um certo isótopo radioativo tenha uma taxa de decaimento anual de 5,2%. Qual é a meia-vida (em anos) do isótopo? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

    Nos Exercícios 92-99, use o fato de que a taxa de decaimento do carbono-14 é 0,012%. Arredonde sua resposta para o ano mais próximo.

    92. Suponha que apenas 5,2% da quantidade normal de carbono-14 permaneça em um fragmento de osso. Qual a idade do osso?

    93. Suponha que apenas 8,6% da quantidade normal de carbono-14 permaneça em um fragmento de osso. Qual a idade do osso?

    94. Suponha que 83,6% da quantidade normal de carbono-14 permaneça em um pedaço de tecido. Qual a idade do pano?

    95. Suponha que 90,1% da quantidade normal de carbono-14 permaneça em um pedaço de madeira. Quantos anos tem a madeira?

    96. Suponha que apenas 1,3% da quantidade normal de carbono-14 permaneça em um fragmento de osso. Qual a idade do osso?

    97. Suponha que apenas 6,2% da quantidade normal de carbono-14 permaneça em um fragmento de osso. Qual a idade do osso?

    98. Suponha que 84,9% da quantidade normal de carbono-14 permaneça em um pedaço de madeira. Quantos anos tem a madeira?

    99. Suponha que 96,7% da quantidade normal de carbono-14 permaneça em um pedaço de tecido. Qual a idade do pano?

    100. Iodo-131 é uma substância radioativa que decai de acordo com a função (Q (t) = Q_0⋅e ^ {- 0,08664t} ), onde (Q_0 ) é a quantidade inicial de uma amostra da substância e t está em dias. Determine quanto tempo leva (até o dia mais próximo) para que 95% de uma quantidade decaia.

    Respostas 67-99

    67. (A = 125e ^ {(- 0,3567t)} );
    (A aproximadamente 43 ) mg

    69. cerca de (60 ) dias

    71. (f (t) = 250e ^ {(- 0,00914t)} );
    meia-vida: cerca de (76 ) minutos

    73. (r approx -0,0667 ),
    Portanto, a taxa de degradação por hora é ( aproximadamente 6,67 \% )

    75. (4 ) meias-vidas; (8,18 ) minutos

    77. 12.39 anos

    79. 3.98 anos

    81. 90.11g

    83. 141.10g

    85. 3.67 anos

    87. 30.05g

    89. 19.80g

    91. 13.33 anos

    93. 20445 anos

    95,869 anos

    97,23172 anos

    99,280 anos

    ( grande estrela )

    E: Crescimento exponencial e decadência

    Exercício ( PageIndex {E} ): Crescimento exponencial e decadência

    101. Espera-se que a população de uma pequena cidade de (24.000 ) pessoas cresça exponencialmente a uma taxa de (1,6 )% ao ano. Construir um modelo de crescimento exponencial e usá-lo para:

    uma. Estime a população em (3 ) anos.

    b. Faça uma estimativa do tempo que a população levará para atingir (30.000 ) pessoas.

    102. Durante a fase de crescimento exponencial, certas bactérias podem crescer a uma taxa de (4,1 )% por hora. Se (10.000 ) células estiverem inicialmente presentes em uma amostra, construa um modelo de crescimento exponencial e use-o para:

    uma. Estime a população em (5 ) horas.

    b. Faça uma estimativa do tempo que a população levará para atingir (25.000 ) células.

    103. Em 2000, a população mundial foi estimada em (6,115 ) bilhões de pessoas e em 2010 a estimativa era de (6,909 ) bilhões de pessoas. Se a população mundial continuar a crescer exponencialmente, estime a população mundial total em 2020.

    104. Em 2000, a população dos Estados Unidos foi estimada em (282 ) milhões de pessoas e em 2010 a estimativa era de (309 ) milhões de pessoas. Se a população dos Estados Unidos crescer exponencialmente, estime a população em 2020.

    105. Um automóvel foi comprado novo por $ (42.500 ) e (2 ) anos depois foi avaliado em $ (33.400 ). Estime o valor do automóvel em (5 ) anos se continuar a diminuir exponencialmente.

    106. Um novo PC foi comprado por $ (1.200 ) e em (1,5 ) anos valeu $ (520 ). Suponha que o valor esteja diminuindo exponencialmente e estime o valor do PC quatro anos após sua compra.

    106. A população do centro da cidade de uma determinada cidade diminuiu de (12.500 ) pessoas para (10.200 ) pessoas em dois anos. Se a população continuar a diminuir exponencialmente nessa taxa, o que esperaríamos da população em mais dois anos?

    108. Um novo MP3 player foi comprado por $ (320 ) e em (1 ) ano ele estava sendo usado online por $ (210 ). Se o valor continuar a diminuir exponencialmente nessa taxa, determine o valor do MP3 player (3 ) anos após sua compra.

    109. A meia-vida do rádio-226 é de cerca de (1.600 ) anos. Quanto tempo uma amostra de (5 ) miligrama de rádio-226 leva para decair para (1 ) miligrama?

    110. A meia-vida do plutônio-239 é de cerca de (24.000 ) anos. Quanto tempo uma amostra de (5 ) - miligrama de plutônio-239 leva para decair para (1 ) miligrama?

    111. A meia-vida do iodo-131 radioativo é de cerca de (8 ) dias. Quanto tempo uma amostra inicial de (28 ) gramas de iodo-131 levará para decair para (12 ) gramas?

    112. A meia-vida do césio-137 é de cerca de (30 ) anos. Quanto tempo levará uma amostra de (15 ) - miligramas de césio-137 para decair para (5 ) miligramas?

    113. O papiro matemático Rhind é considerado o melhor exemplo da matemática egípcia encontrada até hoje. Este papiro antigo foi encontrado para conter (64 )% do carbono-14 normalmente encontrado em papiro. Dado que o carbono-14 tem meia-vida de (5.730 ) anos, estime a idade do papiro.

    114. Descobriu-se que um artefato de tigela de madeira esculpido em carvalho continha (55 )% do carbono-14 normalmente encontrado no carvalho. Dado que o carbono-14 tem meia-vida de (5.730 ) anos, estime a idade da tigela.

    115. Quanto tempo uma amostra de iodo-131 levará para se decompor em (10 ​​)% da quantidade original?

    116. Quanto tempo uma amostra de césio-137 levará para se decompor em (25 )% da quantidade original?

    117. Que porcentagem de uma amostra inicial permanecerá em (100 ) anos?

    118. Que porcentagem de uma amostra inicial permanecerá em (30 ) dias?

    119. Se um osso tem (100 ) anos de idade, que porcentagem de sua quantidade original de carbono-14 esperamos encontrar nele?

    120. Que porcentagem de uma amostra inicial permanecerá em (1.000 ) anos?

    121. Encontre o tempo que levará para (10 ​​)% de uma amostra inicial de plutônio-239 se decompor. (Dica: se (10 ​​)% decair, então (90 )% permanecerá.)

    122. Encontre o tempo que levará para (10 ​​)% de uma amostra inicial de carbono-14 se decompor.

    123. Os pesquisadores registraram que uma determinada população de bactérias diminuiu de (800.000 ) para (500.000 ) em (6 ) horas após a administração da medicação. Nessa taxa de decomposição, quantas bactérias haverá em (24 ) horas?

    124 Os pesquisadores registraram que uma determinada população de bactérias diminuiu de (100.000 ) para (100 ) em (24 ) horas. Nessa taxa de decomposição, quantas bactérias haverá em (16 ) horas?

    125. Uma bactéria dobra sua população original em (24 ) horas ( left (A = 2 A_ {0} right) ). Qual será o tamanho de sua população em (72 ) horas?

    126. Um vírus leva (6 ) dias para dobrar sua população original ( left (A = 2 A_ {0} right) ). Quanto tempo vai demorar para triplicar sua população?

    127. O tecnécio-99m radioativo é frequentemente usado em medicina diagnóstica, pois tem meia-vida relativamente curta, mas dura o suficiente para que os exames necessários sejam feitos no paciente. Se sua meia-vida é de (6 ) horas, quanto do material radioativo de uma injeção de (0,5 ) ml estará no corpo em (24 ) horas?

    128. O carbono-14 é usado para datação arqueológica de carbono. Sua meia-vida é de (5.730 ) anos. Quanto de uma amostra de (100 ) gramas de Carbono-14 restará em (1000 ) anos?

    Respostas 101-127

    101. (a) Sobre (25.180 ) pessoas
    (b) Cerca de (14 ) anos

    103. Cerca de (7,806 ) bilhões de pessoas

    105. Cerca de $ (23.269,27 )

    107. (8.323 ) pessoas

    109. (3.715 ) anos

    111. (9,8 ) dias

    113. Cerca de (3.689 ) anos de idade

    115. (26,6 ) dias

    117. (9.9)%

    119. (98.8)%

    121. (3.648 ) anos

    123. (122.070 ) bactérias

    125. (8 ) vezes maior que a população original

    127. (0,03 ) mL

    ( grande estrela )

    F: Lei de Newton de Aquecimento e Resfriamento

    Exercício ( PageIndex {F} ): Lei de Aquecimento e Resfriamento de Newton

    129) A temperatura de um objeto em graus Fahrenheit após (t ) minutos é representada pela equação (T (t) = 68e ^ {- 0,0174t} +72 ). No grau mais próximo, qual é a temperatura do objeto após uma hora e meia?

    Para os seguintes exercícios 130-132, use este cenário: Uma panela de sopa fervente com uma temperatura interna de (100 ^ { circ} ) Fahrenheit foi retirada do fogão para esfriar em um (69 ^ { circ} ) Sala F. Após quinze minutos, a temperatura interna da sopa era de (95 ^ { circ} ) F.

    130) Use a Lei do Resfriamento de Newton para escrever uma fórmula que modele esta situação.

    131) Até o minuto seguinte, quanto tempo a sopa levará para esfriar até (80 ^ { circ} ) F?

    132) No grau mais próximo, qual será a temperatura após (2 ) horas e meia?

    Para os seguintes exercícios 133-135, use este cenário: Um peru é retirado do forno com uma temperatura interna de (165 ^ { circ} ) F e pode esfriar em um (75 ^ { circ } ) Sala F. Depois de meia hora, a temperatura interna do peru é (145 ^ { circ} ) F.

    133) Escreva uma fórmula que modele esta situação.

    134) No grau mais próximo, qual estará a temperatura após (50 ) minutos?

    135) Até o minuto mais próximo, quanto tempo o peru levará para esfriar até (110 ^ { circ} ) F?

    Respostas 129-135
    129. cerca de (86,2 ^ { circ} ) F131. cerca de (88 ) minutos133. (T (t) = 90e ^ {(- 0,008377t)} + 75 ), onde (t ) é em minutos.135. cerca de (113 ) minutos
    ( grande estrela )

    G: Crescimento Logístico

    Exercício ( PageIndex {G} ): Crescimento Logístico

    Para os exercícios seguintes 140-144, a população de uma fazenda de peixes em (t ) anos é modelada pela equação (P (t) = dfrac {1000} {1 + 9e ^ {- 0,6t}} ). O gráfico da função está à direita.

    136) Qual é a população inicial de peixes?

    137) Até o décimo mais próximo, qual é o tempo de duplicação para a população de peixes?

    138) Para o número inteiro mais próximo, qual será a população de peixes após (2 ) anos?

    139) Até o décimo mais próximo, quanto tempo levará para a população atingir (900 )?

    140) Qual é a capacidade de suporte para a população de peixes? Justifique sua resposta usando o gráfico de (P ).

    141) Qual é a interceptação (y ) - do modelo de crescimento logístico (y = dfrac {c} {1 + ae ^ {- rx}} )? Mostre as etapas de cálculo. O que esse ponto nos diz sobre a população?

    Para os seguintes exercícios 137-139, use o modelo de crescimento logístico

    143) Encontre e interprete (f (0) ).Arredonde para o décimo mais próximo.

    144) Encontre e interprete (f (4) ). Arredonde para o décimo mais próximo.

    145) Encontre a capacidade de carga.

    Para os seguintes exercícios 146-148, use este cenário: A equação (N (t) = dfrac {500} {1 + 49e ^ {- 0,7t}} ) modela o número de pessoas em uma cidade que ouviram um boato após (t ) dias.

    146) Quantas pessoas começaram o boato?

    147) Para o número inteiro mais próximo, quantas pessoas terão ouvido o boato após (3 ) dias?

    148) À medida que (t ) aumenta sem limite, qual valor (N (t) ) se aproxima? Interprete sua resposta.

    149) Para o número inteiro mais próximo, qual é o valor inicial de uma população modelada pela equação logística (P (t) = dfrac {175} {1 + 6,995e ^ {- 0,68t}} )? Qual é a capacidade de carga?

    150) Um modelo logístico é dado pela equação (P (t) = dfrac {90} {1 + 5e ^ {- 0,42t}} ) Até o centésimo mais próximo, para qual valor de (t ) faz (P (t) = 45 )

    151) Qual é a interceptação (y ) - no gráfico do modelo logístico dado no exercício anterior?

    152. O número de células em uma determinada amostra de bactéria é aproximado pelo modelo de crescimento logístico (N (t) = frac {1,2 vezes 10 ^ {5}} {1 + 9 e ^ {- 0,32t}} ), onde (t ) representa o tempo em horas. Determine o tempo que leva para a amostra crescer até (24.000 ) células.

    Para os exercícios a seguir 153-155, use este cenário: A população (P ) de um habitat de espécie em extinção para lobos é modelada pela função (P (x) = dfrac {558} {1 + 54,8e ^ { -0,462x}} ) onde (x ) é dado em anos.

    153) Qual foi a população inicial de lobos transportada para o habitat?

    154) Quantos lobos o habitat terá depois de (3 ) anos?

    155) Quantos anos vai demorar antes que haja (100 ) lobos no habitat?

    Respostas 137-155

    137. cerca de (1,4 ) anos

    139. cerca de (7,3 ) anos

    141. ( dfrac {c} {1 + a} );
    tamanho inicial da população

    143. (f (0) aproximadamente 16,7 ); Quantidade
    inicialmente presente é cerca de (16,7 ) unidades.

    145. (150)

    147. (N (3) aproximadamente 71 )

    149. (P (0) = 22 ); (175 )

    151. (y ) - interceptar: ((0,15) )

    153. (10 ​​) lobos

    155. cerca de (5,4 ) anos

    ( grande estrela )

    ( Estrela )


    Distribuição Exponencial

    The exponential distribution is a continuous distribution that is commonly used to measure the expected time for an event to occur. For example, in physics it is often used to measure radioactive decay, in engineering it is used to measure the time associated with receiving a defective part on an assembly line, and in finance it is often used to measure the likelihood of the next default for a portfolio of financial assets. It can also be used to measure the likelihood of incurring a specified number of defaults within a specified time period.

    Exponential Distribution Statistics 1

    Notação Exponential ( λ )
    Parameter λ > 0
    Distribution x > 0
    Pdf λ e − λ x
    Cdf 1 − e − λ x
    Mean 1 / λ
    Variance 1 / λ 2
    Skewness2
    Kurtosis6

    Exponential Distribution Graph


    4.7E: Exercises - Exponential Applications - Mathematics

    6. Solve the following equation.

    Show All Steps Hide All Steps

    For this equation there is no way to easily get both sides with the same base. Therefore, we’ll need to take the logarithm of both sides.

    We can use any logarithm and the natural logarithm and common logarithm are usually good choices since most calculators can handle them. In this case there really isn’t any reason to use one or the other so we’ll use the natural logarithm (it’s easier to write two letters – ln versus three letters – log after all…).

    Taking the logarithm (using the natural logarithm) of both sides gives,

    Now we can use the logarithm property that says,

    to move the exponents out of each of the logarithms. Fazer isso dá,

    [left( <1 - x> ight)ln 7 = left( <3x + 1> ight)ln 4] Show Step 3

    Finally, all we need to do is solve for (x). Recall that the equations at this step tend to look messier than we are used to dealing with. However, the logarithms in the equations at this point are just numbers and so we treat them as we treat all numbers with these kinds of equations. The work will be messier than we are used to but just keep in mind that the logarithms are just numbers!

    Here is the rest of the work for this problem.

    [começarleft( <1 - x> ight)ln 7 & = left( <3x + 1> ight)ln 4 ln 7 - xln 7 & = 3xln 4 + ln 4 ln 7 - ln 4 & = 3xln 4 + xln 7 ln 7 - ln 4 & = left( <3ln 4 + ln 7> ight)x x & = frac<><<3ln 4 + ln 7>> = frac<<1.945910149 - 1.386294361>> <<3left( <1.386294361> ight) + 1.945910149>> = equire box[2pt,border:1px solid black]<<0.091668262>>end]

    Again, the work is messier than we are used to but it is not really different from work we’ve done previously in solving equations. The answer is also going to be “messier” in the sense that it is a decimal and is liable to almost always be a decimal for most of these types of problems so don’t worry about that.


    Elementary Mathematical Models: An Accessible Development without Calculus, Second Edition

    Elementary Mathematical Models offers instructors an alternative to standard college algebra, quantitative literacy, and liberal arts mathematics courses. Presuming only a background of exposure to high school algebra, the text introduces students to the methodology of mathematical modeling, which plays a role in nearly all real applications of mathematics. A course based on this text would have as its primary goal preparing students to be competent consumers of mathematical modeling in their future studies. Such a course would also provide students with an understanding of the modeling process and a facility with much of the standard, non-trigonometric, content of college algebra and precalculus.

    This book builds, successively, a series of growth models defined in terms of simple recursive patterns of change corresponding to arithmetic, quadratic, geometric, and logistic growth. Students discover and come to understand linear, polynomial, exponential, and logarithmic functions in the context of analyzing these models of intrinsically&mdashand scientifically&mdashinteresting phenomena including polar ice extent, antibiotic resistance, and viral internet videos. Students gain a deep appreciation for the power and limitations of mathematical modeling in the physical, life, and social sciences as questions of modeling methodology are carefully and constantly addressed. Realistic examples are used consistently throughout the text, and every topic is illustrated with models that are constructed from and compared to real data.

    The text is extremely attractive and the exposition is extraordinarily clear. The lead author of this text is the recipient of nine MAA awards for expository writing including the Ford, Evans, Pólya, and Allendoerfer awards and the Beckenbach Book prize. Great care has been taken by accomplished expositors to make the book readable by students. Those students will also benefit from more than 1,000 carefully crafted exercises.

    The following additional resources are available for instructors who have adopted Elementary Mathematical Models for a course: (1) An instructor's guide (2) A collection of 'clicker questions,' and (3) A solutions manual for exercises in the text.

    To access these resources, please send email to [email protected] for more information.

    Leitores

    Undergraduate students interested in modeling with precalculus mathematics.

    Críticas e endossos

    With a focus on real-world applications and an emphasis on using algebra as a means to an end, the book offers a very accessible course for students wishing to improve their quantitative literacy. Those students wishing to start making connections between algebraic concepts and the real world will surely find them in this textbook.

    -- Andrew Lee, US Military Academy

    'Elementary Mathematical Models' offers instructors an alternative to standard college algebra, quantitative literacy, and liberal arts mathematics courses. This book builds, successively, a series of growth models defined in terms of simple recursive patterns of change corresponding to arithmetic, quadratic, geometric, and logistic growth.


    Exponential Notation



    Examples, videos, and solutions to help Grade 8 students learn about exponential notation.

    New York State Common Core Math Grade 8, Module 1, Lesson 1.

    Students know what it means for a number to be raised to a power and how to represent the repeated multiplication symbolically.

    Students know the reason for some bases requiring parentheses.

    Without solving, what is another way to rewrite:
    3 + 3 + 3 + 3 + 3 =

    How would we rewrite:
    3 × 3 × 3 × 3 × 3 =

    You have seen this kind of notation before, it is called exponential notation. In general, for any number x and any positive integer n,

    The number x n is called x raised to the n-th power, n is the exponent of in x n and x is the base of x n .

    The number x n is called x raised to the n-th power, n is the exponent of x in x n and x is the base of x n .

    x 2 is called the square of x, and x 3 is its cube.

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    How to solve exponential equations. Exercises solved step by step.

    Now I’m going to explain step by step how to solve exponential equations, with exercises solved step by step.

    The best way to learn to solve exponential equations is with practice, so I’m going to explain how to solve the exponential equations at the same time that I’m solving several examples, which will gradually increase their level of difficulty.

    We factored 243 and it’s left:

    We already have the same base, so we equal the exponents:

    This time we have a very simple first-degree equation to solve, whose solution is:

    Exponential Equation 4

    We begin by factoring 16 so that we have only one base:

    Having a elevated power to another power, the base is maintained and exponents are multiplied:

    Now, in the first member we have a multiplication of powers with the same base. Therefore, the base is maintained and the exponents are added:

    We simplify the exponent by grouping terms:

    And we can now match the exponents, which we have a first-degree equation, which we can solve:

    Exponential Equation 5

    We match exponents. On this occasion we are left with a second degree equation:

    Exponential Equation 6

    This type of equations, in which we have sums of powers, are solved by making a change of variable. Let’s see how:

    In the first place, when we have in the exponent an addition or a subtraction, it is equivalent to the multiplication of two powers with the same base, whose exponents have been added or subtracted.

    Therefore, we can put each power as a multiplication of powers:

    Now, negative exponents are converted to positive by passing them to the denominator:

    And now we solve the powers of the denominators:

    At this point, we perform the following variable change:

    Now we have a first-degree equation, where the unknown is t, that we have to solve:

    Once we have reached the solution of t, we undo the variable change:

    And now we must solve this logarithmic equation which is like the one in the first example. We factor 2:

    Exponential Equation 7

    This is another case in which we will have to make a change of variable.

    We already have a 5 elevated to x in the second term and the first term we can arrange it so that another one also appears.

    In the first place we factor 25:

    Having a high power to another power, the base is maintained and exponents are multiplied, and we can also exchange the order of exponents, as it does not alter the result:

    Therefore now, in the first term also appears a 5 elevated to x:

    At this point, we make the following variable change:

    We are left with a complete second degree equation, whose solutions are:

    Therefore, for each of these solutions, we must undo the change.

    It is not possible to indicate 81 as powers of 5, so it is resolved by taking logarithms in the two members, as we have done in the section of the “exponential equation 2”:


    4.7E: Exercises - Exponential Applications - Mathematics

    This quiz tests the work covered in Lecture 2 and corresponds to Section 1.2 of the text Calculus: Single and Multivariable (Hughes-Hallett, Gleason, McCallum et al.).
    There is no web quiz from Wiley for this section.
    There are two sections of economics quiz site that would be useful, Exponential Graphs and Exponential Functions.

    The Learning Hub (Mathematics) has a booklet on Introduction to Exponents and Logarithms and tutors who can help you with the concepts.

    There are some animations available at http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/0/exp˙log.5/. The Java applet doesn’t require any plugins and is very useful.

    1. Falso Try again, the t values are evenly spaces but the ratios are not fixed.
    2. Verdadeiro Note that the t values are equally spaced and the ratios 3 0 0 1 4 7 = 1 4 7 7 2 . 0 3 = … = 1 7 . 2 9 4 4 8 . 4 7 2 6 ≈ 2 . 0 4 are fixed so the function is exponential.
    3. Falso Try again, although the ratios are fixed the t values are not evenly spaced.
    4. Falso Try again, the t values are evenly spaces but the ratios are not fixed.
    5. Verdadeiro Note that the t values are equally spaced and the ratios 2 0 2 4 = 2 4 2 8 . 8 = … = 4 1 . 4 7 2 4 9 . 7 6 6 4 ≈ 8 . 3 3 3 are fixed so the function is exponential.
    1. Verdadeiro This curveis y = e x and it is concave up.
    2. Falso Try again, this curve is concave down.
    3. Verdadeiro Thiscurve is a quadratic and is concave up.
    4. Verdadeiro This curve is y = e − x and is concave up.

    Exponents

    Videos and solutions to help Grade 6 students learn what are exponents and how to use exponents.

    New York State Common Core Math Module 4, Grade 6, Lesson 5

    Lesson 5 Student Outcomes

    Students discover that 3x = x + x + x is not the same thing as x 3 which is x &bull x &bull x.

    Students understand that a base number can be represented with a positive whole number, positive fraction, or positive decimal and that for any number b, we define b m to be m factors of b where b is the base and m is called the exponent or power of b.

    As you evaluate these expressions, pay attention to how you arrive at your answers.

    4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 +4 + 4 + 4
    9 + 9 + 9 + 9 + 9
    10 + 10 + 10 + 10 + 10

    Multiplication is a faster way to add numbers when the addends are the same.

    When we add five groups of 10, we use an abbreviation and a different notation, called multiplication.
    10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 10 × 5 = 50.

    If multiplication is a more efficient way to represent addition problems involving the repeated addition of the same addend, do you think there might be a more efficient way to represent the repeated multiplication of the same factor, as in 10 x 10 x 10 x 10 x 10.

    When we add 5 groups of 10, we write 5 × 10, but when we multiply 5 copies of 10, we write 10 5 . So, multiplication by 5 in the context of addition corresponds exactly to the exponent in the context of multiplication.

    The repeated factor is called the base and the exponent is also called the power .

    There is a special name for numbers raised to the second power. When a number is raised to the second power, it is called squared .

    There is also a special name for numbers raised to the third power. When a number is raised to the third power, it is called cubed .

    Examples
    Write each expression in exponential form.
    1. 5 × 5 × 5 × 5 × 5
    2. 2 × 2 × 2 × 2
    Write each expression in expanded form.
    3. 8 3
    4. 10 6
    5. g 3

    What is the difference between 3g and g 3 ?

    The base number can be written in decimal or fraction form.
    (3.8) 4
    (2/3) 2

    1. Fill in the missing expressions for each row. For whole number and decimal bases, use a calculator to find the standard form of the number. For fraction bases, leave your answer as a fraction.

    2. Write &ldquofive cubed&rdquo in all three forms: exponential form, written as a series of products, standard form.

    3. Write &ldquofourteen and seven tenths squared&rdquo in all three forms.

    4. One student thought two to the third power was equal to six. What mistake do you think they made and how would you help them fix their mistake?

    Exponential Notation for Whole Number Exponents : Let be a non-zero whole number. For any number b, the expression b m is the product of m factors of b.

    The number b is called the base, and m is called the exponent or power of b.

    When m is 1, &ldquothe product of one factor of &rdquo just means b, i.e. b 1 = b. Raising any non-zero number to the power of 0 is defined to be 1, i.e., b 0 = 1 for all b &ne 0.


    Lesson 5 Examples and Exercises

    Examples 1 - 5
    Go back to Examples 1ִ and use a calculator to evaluate the expressions.

    The base number can also be a fraction. Convert the decimals to fractions in Examples 7 and 8 and evaluate. Leave your answer as a fraction.

    2. Write 10 3 as a multiplication expression having repeated factors.

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    The mathematics of exponentials

    Using the notation of calculus (which describes how things change, see here for more) the equation is:

    Where t is time, and dx/dt means the rate of change of x as time changes. O x can stand for anything you want – number of bugs, or radioactive nuclei, or whatever*. That’s the beauty of maths, it generalises, while keeping the behaviour specific.

    If you followed the calculus discussion, you’ll know that the dx/dt thing is the derivative of x em relação a t, and that if x depends on time like some power of time (x = t, t², t³…) the rule is that you multiply by the power then knock one off it. So the derivative of é 2t. And that of é 3t². E assim por diante.

    This would seem to make it tricky to write down some way x can depend on t that would be just the same after you had taken the derivative, but that is what we need.

    To start, I could take a dumb guess at, say, x = 1. It doesn’t work, of course, because 1 is t to the power zero. So I multiply by 0 … which gives me 0. So dx/dt = 0. Rubbish. I need dx/dt = x remember.

    Next try x = 1 + t then. Isto dá dx/dt = 0 + 1 = 1 so the first bit (the 1) is ok, but I am missing the t.

    Actually if I think about this, to get an t in the answer, I need a in the guess, because knocking one of the power of 2 will give me t. So try x = 1 + t + t². Isto dá dx/dt = 0 + 1 + 2t.

    There are two problems with this. The 1 is ok, but there is this factor of 2 in front of the t, so I had better divide that by 2 to get rid of it. And the other problem is that I have no piece in the answer. Damn. To get a in the derivative, I’ll need a in the guess.

    So I can try x = 1 + t + t²/2 + t³. Agora dx/dt = 1 + t + 3t². The first two terms are ok, but then, argh! I have to divide the de six to get the t²/2 bit back. I also need to add a t⁴ term.

    Perhaps you can see where this is going. If I guess at x = 1 + t + t²/2 + t³/6 + t⁴ I will be forced to add a t⁵ term, and also to divide the t⁴ term by 24 to make things come out right. E assim por diante. There is a pattern here, and maths (and science) are often about spotting patterns. The two things to note are:

    1) every higher power I add in my guess means my next guess has to add the next higher one. So this is going to go on for ever.

    2) Every time I add a higher power, I have to divide it by a bigger number to get rid of all the times I multiply by the power when I differentiate. The first factor I have to divide by is 1 (which of course makes no difference). The next is 1 x 2 = 2. The next is 1 x 2 x 3 = 6, then 1 x 2 x 3 x 4 = 24, and so on. This is a series of numbers called “factorials”. The factorial of 10 is 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3628800. Actually factorials grow a lot faster than exponentials. The factorial of a number is indicated by a an exclamation mark in maths, perhaps because they grow so remarkably fast. Try evaluating the factorial of 100 on a calculator…

    So now. A really good guess at the answer would be an infinite series of bits where you have an increasingly high power of a number, and divide by its factorial. That is, this:

    x = 1 + t + t²/2! + t³/3! + t⁴/4! … and so on forever.

    Each time we take the derivative, we move everything down the line (to the left) by one place. The 1 vanishes, the t becomes 1, the t²/2! becomes t, and so on. Try it, it works.

    So the claim is that this infinite series of bits adds up to a finite number, and it is true because the factorial bit we divide by grows faster that the power on the top, whatever number we choose for x. We can also learn more about this weird series of number by trying some examples.


    More Questions with Answers


    1. 3 x + 2 3 x + 2 3 x + 1
      = 3 x + 2 3 x + 2 3 x 3
      = 3 x + 2 3 x + 6 3 x
      = 3 x (1 + 2 + 6)
      = 9 3 x = 3 2 3 x = 3 x + 2

    2. f(1) = A e k = 3 and f(2) = A e 2 k = 9
      A e 2 k = 9 can be written as
      A e k e k = 9 and we also know that A e k = 3 hence
      3 e k = 9
      which simplifies to
      e k = 3
      Take ln of both sides to solve for k and obtain
      k = ln(3)
      Substitute k by ln(3) in the equation A e k = 3 and simplify to obtain
      A = 1.

    3. Find t such that
      120 e 0.011 t = 125 e 0.007 t
      e 0.011 t - 0.007 t = 125 / 120
      Simplify and take ln of both sides
      0.004 t = ln (125 / 120)
      t = 10.2 years
      The two populations were equal in 2004 + 10 = 2014
      The population of each city in 2014 was
      120 e 0.011 10 = 134 thousands.

    4. Solve for r the equation
      UMA 0 e 20 r = A 0 / 2
      Simplify
      e 20 r = 1/2
      Take ln of both sides
      20 r = ln(1/2)
      r = - 0.035