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1.2: Encontros e Uniões - Matemática


Como dissemos, uma pré-encomenda é um conjunto P dotado de uma ordem ≤ relacionando os elementos. Com relação a esta ordem, certos elementos de P pode ter caracterizações distintas, seja de forma absoluta ou em relação a outros elementos. Já discutimos as junções antes, mas vamos discuti-las novamente agora que construímos algum formalismo.

Definição e exemplos básicos

Considere a pré-ordem ( ( mathbb {R} ), ≤) de números reais ordenados da maneira usual. O subconjunto ( mathbb {N} ) ( subseteq ) ( mathbb {R} ) tem muitos limites inferiores, ou seja, -1,5 é um limite inferior: cada elemento de N é maior que -1,5. Mas dentro de todos os limites inferiores para ( mathbb {N} ) ( subseteq ) ( mathbb {R} ), um é distinto: a maior limite inferior também chamado de Conheçer a saber, 0. É um limite inferior, e não há limite inferior para ( mathbb {N} ) que está acima dele. No entanto, o conjunto ( mathbb {N} ) ( subseteq ) ( mathbb {R} ) não tem limite superior, e certamente nenhum limite superior que seria chamado de Junte. Por outro lado, o conjunto

( left { frac {1} {n + 1} mid n in mathbb {N} right } subseteq mathbb {R} )

tem um maior limite inferior (encontro), a saber 0, e um limite mínimo superior (junção), a saber 1. Essas noções terão correlatos na teoria das categorias, chamados de limites e colimites, que discutiremos no Capítulo 3. De maneira mais geral, dizemos que essas caracterizações distintas são propriedades universais, uma vez que, por exemplo, um maior limite inferior é o maior entre tudo limites inferiores. Por enquanto, no entanto, queremos apenas tornar precisa a definição dos maiores limites inferiores e mínimos superiores, chamados de encontros e junções.

Exercício 1.80.

  1. Por que 0 é um limite inferior para ( left { frac {1} {n + 1} mid n in mathbb {N} right } subseteq mathbb {R} )
  2. Por que 0 é o melhor limite inferior (atender)?

Definição: 1,81.

Deixar (P, ≤) ser uma encomenda e deixar UMA ( subseteq ) P ser um subconjunto. Dizemos que um elemento p (em) P é um Conheçer do UMA E se

  1. para todos uma (em) UMA, temos p uma, e
  2. para todos q de tal modo que q uma para todos uma (em) UMA, nós temos isso q p.

Nós escrevemos p = ( bigwedge )UMA, p = ( bigwedge_ {a in A} )uma, ou, se a variável dummy uma é claro no contexto, apenas p = ( bigwedge_ {A} )uma.

Se UMA consiste apenas em dois elementos, digamos UMA = {uma, b}, podemos denotar ( bigwedge )UMA simplesmente por uma ( erra) b.

Da mesma forma, dizemos que p é um Junte do UMA E se

  1. para todos uma (em) UMA temos uma p, e
  2. para todos q de tal modo que uma q para todos uma (em) UMA, nós temos isso p q.

Nós escrevemos p = ( begin {equation} V A end {equation} ) ou p = (V_ {a in A} a )uma, ou quando UMA = {uma, b} podemos simplesmente escrever p = uma ( lor ) b.

Observação 1.82. Na Definição 1.81, cometemos um abuso aparentemente flagrante de notação. Veremos a seguir no Exemplo 1.84 que pode haver dois encontros diferentes de A ( subseteq ) P, digamos p = ( bigwedge A ) eq = ( bigwedge ) A com p ( neq ) q, o que não faz sentido se p ( neq ) q!

Mas, na verdade, como usamos o símbolo ( bigwedge ) A, esse abuso não importa porque quaisquer dois encontram p, q são automaticamente isomórficos: a própria definição de encontrar forças p ≤ q e q ≤ p, e assim, temos p ( cong ) q. Portanto, para qualquer x ( in ) P, temos p ≤ x sse q ≤ x e x ≤ p sse x ≤ q. Assim, enquanto estamos apenas interessados ​​em elementos de P com base em suas relações com outros elementos (e na teoria das categorias, este é o caso: devemos apenas nos preocupar com as coisas com base em como elas interagem com outras coisas, ao invés de algum tipo de “essência interna”), a distinção entre peq nunca fará diferença.

Isso prenuncia um tema importante, bem como o abuso padrão da notação na teoria das categorias, onde quaisquer duas coisas definidas pela mesma propriedade universal são automaticamente equivalentes de uma forma conhecida como 'único até isomorfismo único'; isso significa que geralmente não teremos problemas se fingirmos que eles são iguais. Retornaremos ao tema ‘the’ vs ‘a’ novamente na observação 3.85.

Exemplo 1.83 (Atende ou junta pode não existir).

Observe que, em uma pré-encomenda arbitrária (P, ≤), um subconjunto UMA não precisa ter um encontro ou um ingresso. Considere o conjunto de três elementos P = {p, q, r} com a ordenação discreta. O conjunto UMA = {p, q} não tem adesão P porque se x foi uma junção, nós precisaríamos p x e q x, e não existe tal elemento x.

Exemplo 1.84 (Podem existir vários encontros ou junções).

Também pode ser o caso de um subconjunto UMA tem mais de um encontro ou adesão. Aqui está um exemplo.

Deixar UMA seja o subconjunto {uma, b} na pré-encomenda especificada por este diagrama de Hasse. Então ambos c e d são encontros de UMA: qualquer elemento menor que ambos uma e b também é menor que c, e também menos do que d. Observe que, como na observação 1.82, c d e d c, assim c ( cong ) d. Esse sempre será o caso quando houver mais de um encontro: quaisquer dois encontros do mesmo subconjunto serão isomórficos.

Exercício 1.85.

Seja (P, ≤) uma pré-ordem e p ( in ) P um elemento. Considere o conjunto A = {p} com um elemento.

  1. Mostre que ( bigwedge )UMA ( cong ) p.
  2. Mostre que se P é na verdade uma ordem parcial, então ( bigwedge )UMA = p.
  3. Os fatos análogos são verdadeiros quando ( bigwedge ) é substituído por (V )?

Exemplo 1.86.

Em qualquer ordem parcial P, temos p ( lor ) p = p ( erra)p = p. A razão é que nossa notação diz p ( lor ) p significa (V ) {p, p} Mas {p, p} = {p} (consulte a Seção 1.2.1), então p ( lor ) p = p pelo Exercício 1.85.

Exemplo 1.87.

Em um conjunto de potência P (X), o encontro de uma coleção de subconjuntos, digamos UMA, B ( subseteq ) X é o cruzamento deles UMA ( erra) B = UMA (oné) B, enquanto a junção é a união deles, UMA ( lor ) B = UMA (copo) B.

Talvez isso justifique a terminologia: a junção de dois conjuntos é sua união, o encontro de dois conjuntos é sua interseção.

Exemplo 1.88.

Nos booleanos ( mathbb {B} ) = {false, true} (Exemplo 1.34), o encontro de quaisquer dois elementos é dado por AND e a junção de quaisquer dois elementos é dada por OR (lembre-se do Exercício 1.7).

Exemplo 1.89.

Em uma ordem total, o encontro de um conjunto é seu ínfimo, enquanto a junção de um conjunto é seu supremo. Observe que ( mathbb {B} ) é uma ordem total e isso generaliza o Exemplo 1.88.

Exercício 1.90.

Lembre-se da ordem da divisão em N do Exemplo 1.45: nós escrevemos n|m E se n divide-se perfeitamente em m. O encontro de quaisquer dois números nesta encomenda tem um nome comum, que você pode ter aprendido quando tinha cerca de 10 anos; O que é isso? Da mesma forma, a junção de quaisquer dois números tem um nome comum; O que é isso? ♦

Proposição 1.91.

Suponha (P, ≤) é uma encomenda e UMA ( subseteq ) B ( subseteq ) P são subconjuntos que possuem encontros. Então ( bigwedge )B ≤ ( bigwedge )UMA. Da mesma forma, se UMA e B tem junções, então (V )UMA ≤ (V )B.

Prova. Sejam m = ( bigwedge ) A e n = ( bigwedge ) B. Então, para qualquer a ( in ) A, também temos a ( in ) B, então n ≤ a porque n é um limite inferior para B. Portanto, n também é um limite inferior para A e, portanto, n ≤ m , porque m é o maior limite inferior de A. A segunda afirmação é provada de forma semelhante. ♦

Voltar para observações e efeitos generativos

Na tese [Ada17], Adam pensa em mapas monótonos como observações. Um mapa monótono Φ: P → Q é um fenômeno (podemos dizer "característica") de P conforme observado por Q. Ele define o efeito generativo de tal mapa Φ como sua falha em preservar junções (ou mais geralmente, para categorias , sua falha em preservar os colimites).

Definição: 1,92.

Dizemos que um mapa monótono f : P Q conserva encontra E se f (uma ( erra) b) ( cong ) f (uma) ( erra) f (b) para todos uma, b (em) P. Nós igualmente dizemos f preserva junções E se f (uma ( lor ) b) ( cong ) f (uma) ( lor ) f (b) para todos uma, b (em) P.

Definição: 1,93.

Dizemos que um mapa monótono f : P Q tem um efeito gerador se existem elementos uma, b (em) P de tal modo que

f(uma) ( lor ) f(b) ( cong ) f(uma ( lor ) b).

Na Definição 1.93, se pensarmos em Φ como uma observação ou medição dos sistemas a e b, então o lado esquerdo f (a) ( lor ) f (b) pode ser interpretado como a combinação da observação de a com a observação de b. Por outro lado, o lado direito f (a ( lor ) b) é a observação do sistema combinado a ( lor ) b. A desigualdade implica que vemos algo quando observamos o sistema combinado que não poderíamos esperar meramente combinando nossas observações das peças. Ou seja, que existem efeitos generativos da interconexão dos dois sistemas.

Exercício 1.94.

Na Definição 1.93, definimos a generatividade de f como a desigualdade f (a ( lor ) b) ( neq ) f (a) ( lor ) f (b), mas no texto subsequente nós parecia implicar que não haveria apenas uma diferença, mas mais coisas em f (a ( lor ) b) do que em f (a) ( lor ) f (b). Prove que para qualquer mapa monótono f: P → Q, se a, b ( in ) P tem uma junção ef (a), f (b) ( in ) Q tem uma junção, então de fato f (a) ( lor ) f (b) ≤ f (a ( lor ) b). ♦

Em seu trabalho sobre efeitos generativos, Adam restringe sua atenção aos mapas generativos que preservam encontros (mas não preservam junções). A preservação de encontros implica que o mapa Φ se comporte bem ao se restringir a subsistemas, embora possa gerar surpresas ao unir sistemas.

Essa discussão naturalmente leva às conexões de Galois, que são pares de mapas monótonos entre as pré-ordens, uma das quais preserva todas as junções e a outra preserva todas as junções.


1.2: Encontros e Uniões - Matemática

Considere as duas tabelas abaixo:

Curso de Aluno

    JUNÇÃO INTERNA: A palavra-chave INNER JOIN seleciona todas as linhas de ambas as tabelas, desde que a condição seja satisfeita. Esta palavra-chave criará o conjunto de resultados combinando todas as linhas de ambas as tabelas onde a condição satisfaz, ou seja, o valor do campo comum será o mesmo.
    Sintaxe:

Observação: Também podemos escrever JOIN em vez de INNER JOIN. JOIN é igual a INNER JOIN.

    Esta consulta mostrará os nomes e idades dos alunos matriculados em diferentes cursos.

Observação: Também podemos usar LEFT OUTER JOIN em vez de LEFT JOIN, ambos são iguais.

Consultas de exemplo (LEFT JOIN):

Observação: Também podemos usar RIGHT OUTER JOIN em vez de RIGHT JOIN, ambos são iguais.

Consultas de exemplo (RIGHT JOIN):

Consultas de exemplo (FULL JOIN):


Left JOIN (Vídeo)
JOIN à direita (vídeo)
JOIN completo (vídeo)
SQL | JOIN (junção cartesiana, auto-junção)

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Conteúdo

Talvez a versão mais simples seja algum conjunto pode ser um universo, desde que o objeto de estudo esteja confinado a esse conjunto particular. Se o objeto de estudo é formado por números reais, então a reta real R, que é o conjunto de números reais, pode ser o universo em consideração. Implicitamente, esse é o universo que Georg Cantor estava usando quando desenvolveu pela primeira vez a teoria dos conjuntos ingênua e moderna e a cardinalidade nas décadas de 1870 e 1880 em aplicações para análise real. Os únicos conjuntos nos quais Cantor estava originalmente interessado eram subconjuntos de R.

Este conceito de universo se reflete no uso de diagramas de Venn. Em um diagrama de Venn, a ação tradicionalmente ocorre dentro de um grande retângulo que representa o universo você. Geralmente diz-se que os conjuntos são representados por círculos, mas esses conjuntos só podem ser subconjuntos de você. O complemento de um conjunto UMA é então dado por aquela porção do retângulo fora de UMA'círculo s. Estritamente falando, este é o complemento relativo você UMA do UMA relativo a você mas em um contexto onde você é o universo, pode ser considerado como o complemento absoluto UMA C de UMA. Da mesma forma, há uma noção de interseção nula, que é a interseção de conjuntos de zero (significando nenhum conjunto, não conjuntos nulos).

Sem um universo, a interseção nula seria o conjunto de absolutamente tudo, o que geralmente é considerado impossível, mas com o universo em mente, a interseção nula pode ser tratada como o conjunto de tudo em consideração, que é simplesmente você. Essas convenções são bastante úteis na abordagem algébrica da teoria de conjuntos básica, com base em redes booleanas. Exceto em algumas formas não padronizadas de teoria de conjuntos axiomática (como New Foundations), a classe de todos os conjuntos não é uma rede booleana (é apenas uma rede relativamente complementada).

Em contraste, a classe de todos os subconjuntos de você, chamado de conjunto de potência de você, é uma rede booleana. O complemento absoluto descrito acima é a operação de complemento na rede Booleana e você, como a interseção nula, serve como o elemento superior (ou encontro nulo) na rede booleana. Então, as leis de De Morgan, que tratam de complementos de encontros e junções (que são uniões na teoria dos conjuntos), se aplicam e se aplicam até mesmo à reunião nula e à junção nula (que é o conjunto vazio).

No entanto, uma vez que os subconjuntos de um determinado conjunto X (no caso de Cantor, X = R) são considerados, o universo pode precisar ser um conjunto de subconjuntos de X. (Por exemplo, uma topologia em X é um conjunto de subconjuntos de X.) Os vários conjuntos de subconjuntos de X não serão eles próprios subconjuntos de X mas, em vez disso, serão subconjuntos de PX, o conjunto de poder de X. Isso pode ser continuado, o objeto de estudo pode consistir em conjuntos de subconjuntos de X, e assim por diante, caso em que o universo será P(PX) Em outra direção, as relações binárias em X (subconjuntos do produto cartesiano X × X) podem ser considerados, ou funções de X para si mesmo, exigindo universos como P(X × X) ou X X .

Assim, mesmo que o interesse principal seja X, o universo pode precisar ser consideravelmente maior do que X. Seguindo as idéias acima, pode-se querer que o superestrutura sobre X como o universo. Isso pode ser definido por recursão estrutural da seguinte forma:

  • Deixar S0X ser X em si.
  • Deixar S1X seja a união de X e PX.
  • Deixar S2X seja a união de S1X e P(S1X).
  • Em geral, vamos Sn+1X seja a união de SnX e P(SnX).

Então a superestrutura acabou X, escrito SX, é a união de S0X, S1X, S2Xe assim por diante ou

Não importa o conjunto X é o ponto de partida, o conjunto vazio <> pertencerá a S1X. O conjunto vazio é o ordinal de von Neumann [0]. Então <[0]>, o conjunto cujo único elemento é o conjunto vazio, pertencerá a S2X este é o ordinal de von Neumann [1]. Da mesma forma, <[1]> pertencerá a S3X, e assim será <[0], [1]>, como a união de <[0]> e <[1]> este é o ordinal de von Neumann [2]. Continuando esse processo, cada número natural é representado na superestrutura por seu ordinal de von Neumann. A seguir, se x e y pertence à superestrutura, então também <<x>,<x,y>>, que representa o par ordenado (x,y) Assim, a superestrutura conterá os vários produtos cartesianos desejados. Então, a superestrutura também contém funções e relações, uma vez que podem ser representadas como subconjuntos de produtos cartesianos. O processo também dá ordens n-tuplas, representadas como funções cujo domínio é o ordinal de von Neumann [n], e assim por diante.

Então, se o ponto de partida é apenas X = <>, uma grande parte dos conjuntos necessários para a matemática aparecem como elementos da superestrutura sobre <>. Mas cada um dos elementos de S<> será um conjunto finito. Cada um dos números naturais pertence a ele, mas o conjunto N do tudo números naturais não (embora seja um subconjunto do S<>). Na verdade, a superestrutura sobre <> consiste em todos os conjuntos hereditariamente finitos. Como tal, pode ser considerado o universo da matemática finitista. Falando anacronicamente, pode-se sugerir que o finitista do século 19 Leopold Kronecker estava trabalhando neste universo, ele acreditava que cada número natural existia, mas que o conjunto N (um "infinito completo") não.

No entanto, S<> é insatisfatório para matemáticos comuns (que não são finitistas), porque mesmo que N pode estar disponível como um subconjunto de S<>, ainda é o conjunto de potência de N não é. Em particular, conjuntos arbitrários de números reais não estão disponíveis. Portanto, pode ser necessário iniciar o processo tudo de novo e formar S(S<>). No entanto, para manter as coisas simples, pode-se pegar o conjunto N de números naturais como dados e forma SN, a superestrutura acabou N. Isso é frequentemente considerado o universo da matemática comum. A ideia é que toda a matemática normalmente estudada se refere a elementos deste universo. Por exemplo, qualquer uma das construções usuais dos números reais (digamos por cortes de Dedekind) pertence a SN. Mesmo a análise não padrão pode ser feita na superestrutura sobre um modelo não padrão dos números naturais.

Há uma ligeira mudança na filosofia da seção anterior, onde o universo era qualquer conjunto você de interesse. Lá, os conjuntos em estudo foram subconjuntos do universo agora, eles são membros Do universo. Assim embora P(SX) é uma rede booleana, o que é relevante é que SX em si não é. Conseqüentemente, é raro aplicar as noções de redes booleanas e diagramas de Venn diretamente ao universo da superestrutura como o foram aos universos com conjuntos de potência da seção anterior. Em vez disso, pode-se trabalhar com as redes booleanas individuais PUMA, Onde UMA é qualquer conjunto relevante pertencente a SX então PUMA é um subconjunto de SX (e de fato pertence a SX) No caso de Cantor X = R em particular, conjuntos arbitrários de números reais não estão disponíveis, então pode ser necessário reiniciar o processo.

É possível dar um significado preciso à afirmação de que SN é o universo da matemática comum é um modelo da teoria dos conjuntos de Zermelo, a teoria dos conjuntos axiomática originalmente desenvolvida por Ernst Zermelo em 1908. A teoria dos conjuntos de Zermelo foi bem-sucedida precisamente porque era capaz de axiomatizar a matemática "comum", cumprindo o programa iniciado por Cantor mais de 30 anos antes. Mas a teoria dos conjuntos de Zermelo se mostrou insuficiente para o desenvolvimento posterior da teoria dos conjuntos axiomática e outros trabalhos sobre os fundamentos da matemática, especialmente a teoria dos modelos.

Para um exemplo dramático, a descrição do processo de superestrutura acima não pode ser realizada na teoria dos conjuntos de Zermelo. A etapa final, formando S como uma união infinitária, requer o axioma da substituição, que foi adicionado à teoria dos conjuntos de Zermelo em 1922 para formar a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o conjunto de axiomas mais amplamente aceito hoje. Então, embora a matemática comum possa ser feita em SN, discussão do SN vai além do "comum", para a metamatemática.

Mas se a teoria dos conjuntos de alta potência for introduzida, o processo de superestrutura acima se revelará apenas o começo de uma recursão transfinita. Retornando para X = <>, o conjunto vazio, e introduzindo a notação (padrão) Veu para Seu<>, V0 = <>, V1 = P<>, e assim por diante, como antes. Mas o que costumava ser chamado de "superestrutura" agora é apenas o próximo item da lista: Vω, onde ω é o primeiro número ordinal infinito. Isso pode ser estendido para números ordinais arbitrários:

define Veu para algum número ordinal eu. A união de todos os Veu é o universo de von Neumann V:

Cada indivíduo Veu é um conjunto, mas sua união V é uma aula adequada. O axioma da fundação, que foi adicionado à teoria dos conjuntos ZF quase ao mesmo tempo que o axioma da substituição, diz que cada conjunto pertence a V.

O universo construtível de Kurt Gödel eu e o axioma da construtibilidade Cardeais inacessíveis geram modelos de ZF e, às vezes, axiomas adicionais, e são equivalentes à existência do conjunto de universo de Grothendieck

Em uma interpretação da lógica de primeira ordem, o universo (ou domínio do discurso) é o conjunto de indivíduos (constantes individuais) sobre os quais os quantificadores variam. Uma proposição como ∀x (x 2 ≠ 2) é ambíguo, se nenhum domínio de discurso foi identificado. Em uma interpretação, o domínio do discurso poderia ser o conjunto de números reais em outra interpretação, poderia ser o conjunto de números naturais. Se o domínio do discurso é o conjunto de números reais, a proposição é falsa, com x = √ 2 como contra-exemplo se o domínio for o conjunto de naturais, a proposição é verdadeira, visto que 2 não é o quadrado de nenhum número natural.

Há outra abordagem dos universos que está historicamente ligada à teoria das categorias. Essa é a ideia de um universo Grothendieck. A grosso modo, um universo de Grothendieck é um conjunto dentro do qual todas as operações usuais da teoria dos conjuntos podem ser realizadas. Esta versão de um universo é definida como qualquer conjunto para o qual os seguintes axiomas são válidos: [1]

A vantagem de um universo Grothendieck é que ele é, na verdade, um definir, e nunca uma aula adequada. A desvantagem é que, se alguém tentar bastante, poderá sair de um universo Grothendieck. [ citação necessária ]

O uso mais comum de um universo Grothendieck você é pegar você como uma substituição para a categoria de todos os conjuntos. Diz-se que um conjunto S é você-pequeno E se Svocê, e você-ampla de outra forma. A categoria você-Definir de tudo você-pequenos conjuntos têm como objetos todos você-pequenos conjuntos e como morfismos todas as funções entre esses conjuntos. Tanto o conjunto de objetos quanto o conjunto de morfismo são conjuntos, portanto, torna-se possível discutir a categoria de "todos" os conjuntos sem invocar as classes adequadas. Então, é possível definir outras categorias em termos dessa nova categoria. Por exemplo, a categoria de todos você- pequenas categorias é a categoria de todas as categorias cujo conjunto de objetos e cujo conjunto de morfismo estão em você. Então, os argumentos usuais da teoria dos conjuntos são aplicáveis ​​à categoria de todas as categorias, e ninguém precisa se preocupar em falar acidentalmente sobre classes adequadas. Como os universos de Grothendieck são extremamente grandes, isso é suficiente em quase todas as aplicações.

Freqüentemente, ao trabalhar com universos de Grothendieck, os matemáticos assumem o Axioma dos Universos: "Para qualquer conjunto x, existe um universo você de tal modo que xvocê. "O ponto deste axioma é que qualquer conjunto que encontramos é então você-pequeno para alguns você, então qualquer argumento feito em um universo Grothendieck geral pode ser aplicado. Este axioma está intimamente relacionado à existência de cardeais fortemente inacessíveis.

Em algumas teorias de tipo, especialmente em sistemas com tipos dependentes, os próprios tipos podem ser considerados termos. Existe um tipo chamado universo (geralmente denotado por U < displaystyle < mathcal >>) que tem tipos como seus elementos. Para evitar paradoxos como o paradoxo de Girard (um análogo do paradoxo de Russell para a teoria dos tipos), as teorias dos tipos são frequentemente equipadas com uma hierarquia infinita contável de tais universos, com cada universo sendo um termo do próximo.

Existem pelo menos dois tipos de universos que podem ser considerados na teoria dos tipos: Universos ao estilo Russell (em homenagem a Bertrand Russell) e Universos ao estilo Tarski (em homenagem a Alfred Tarski). [2] [3] [4] Um universo no estilo Russell é um tipo cujos termos são tipos. [2] Um universo no estilo Tarski é um tipo junto com uma operação de interpretação que nos permite considerar seus termos como tipos. [2]


Aqui está um exemplo concreto. Seja $ A $ $ langle Bbb R, le rangle $, e seja $ B $ $ langle [0,1) cup <2 >, le rangle $. Então $ bigvee ^ A [0,1) = 1 $, mas $ bigvee ^ B [0,1) = 2 $. (É claro que em ambas as redes, o join e o meet são simplesmente $ max $ e $ min $.)

Se um subconjunto $ B $ de uma rede $ A $ for uma sub-rede, então, por definição, todas as junções em $ B $ são as mesmas, sejam elas tomadas em $ B $ ou $ A $. Uma sub-rede é a mesma coisa que um homomorfismo injetivo que preserva o encontro e a junção. É verdade, porém, que encontros e associações arbitrárias podem não ser preservados.

Se considerarmos um subconjunto arbitrário que é uma rede com encontro e junção possivelmente diferentes, a junção em $ B $ sempre será maior do que a junção em $ A $ porque a junção em $ A $ é, por definição, menor ou igual a cada elemento que é maior ou igual a todos os elementos na junção. Isso também se aplica a redes infinitas. A junção é o menor elemento que domina todos os elementos fornecidos.

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1 resposta 1

Você está correto que, para o seu poset $ P $, o subconjunto $ A = $ não tem uma reunião e que o conjunto $ M_A $ é o conjunto vazio.

É exatamente aqui que ocorre o problema: seu poset não tem todas as junções porque isso não tem uma junção do conjunto vazio. Se você verificar na definição o que uma junção do conjunto vazio deve significar, trabalhando com as condições vazias, você verá que uma junção do conjunto vazio é um elemento inferior. Que o poset $ P $ não tem.

Portanto, não há contradição em não haver encontro de $ $, porque o poset não tem todas as junções.


Uma relação homogênea R no conjunto X é um relação transitiva se, [1]

para todos uma, b, cX , E se a R b e b R c , então a R c .

∀ a, b, c ∈ X: (a R b ∧ b R c) ⇒ a R c,

Onde a R b é a notação infixa para (uma, b) ∈ R .

Como um exemplo não matemático, a relação "é um ancestral de" é transitiva. Por exemplo, se Amy é ancestral de Becky e Becky é ancestral de Carrie, então Amy também é ancestral de Carrie.

Por outro lado, "é o progenitor biológico de" não é uma relação transitiva, porque se Alice é a progenitora biológica de Brenda e Brenda é a progenitora biológica de Claire, então Alice não é a progenitora biológica de Claire. Além disso, é antitransitivo: Alice pode nunca seja o pai biológico de Claire.

"É maior que", "é pelo menos tão grande quanto" e "é igual a" (igualdade) são relações transitivas em vários conjuntos, por exemplo, o conjunto de números reais ou o conjunto de números naturais:

sempre que x & gt y e y & gt z, então também x & gt z sempre que xy e yz, então também xz sempre que x = y e y = z, então também x = z.

Mais exemplos de relações transitivas:

  • "é um subconjunto de" (inclusão de conjunto, uma relação em conjuntos)
  • "divide" (divisibilidade, uma relação em números naturais)
  • "implica" (implicação, simbolizado por "⇒", uma relação sobre proposições)

Exemplos de relações não transitivas:

  • "é o sucessor de" (uma relação em números naturais)
  • "é um membro do conjunto" (simbolizado como "∈") [2]
  • "é perpendicular a" (uma relação nas linhas na geometria euclidiana)

Propriedades de fechamento Editar

  • O inverso (inverso) de uma relação transitiva é sempre transitivo. Por exemplo, sabendo que "é um subconjunto de" é transitivo e "é um superconjunto de" é seu inverso, pode-se concluir que o último também é transitivo.
  • A intersecção de duas relações transitivas é sempre transitiva. Por exemplo, sabendo que "nasceu antes" e "tem o mesmo nome que" são transitivos, pode-se concluir que "nasceu antes e também tem o mesmo nome que" também é transitivo.
  • A união de duas relações transitivas não precisa ser transitiva. Por exemplo, "nasceu antes ou tem o mesmo nome que" não é uma relação transitiva, uma vez que, por exemplo, Herbert Hoover é parente de Franklin D. Roosevelt, que por sua vez é parente de Franklin Pierce, enquanto Hoover não é parente de Franklin Pierce.
  • O complemento de uma relação transitiva não precisa ser transitiva. Por exemplo, enquanto "igual a" é transitivo, "diferente de" só é transitivo em conjuntos com no máximo um elemento.

Outras propriedades Editar

Uma relação transitiva é assimétrica se e somente se for irreflexiva. [5]

Uma relação transitiva não precisa ser reflexiva. Quando é, é chamado de pedido antecipado. Por exemplo, no set X = <1,2,3>:

  • R = <(1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,2)> é reflexo, mas não transitivo, pois o par (1,2) está ausente,
  • R = <(1,1), (2,2), (3,3), (1,3)> é reflexivo, bem como transitivo, por isso é uma pré-encomenda,
  • R = <(1,1), (2,2), (3,3)> é reflexivo, bem como transitivo, outra pré-encomenda.

Seja R uma relação binária no conjunto X. O extensão transitiva de R, denotado R1 , é a menor relação binária em X tal que R1 contém R, e se (uma, b) ∈ R e (b, c) ∈ R então (uma, c) ∈ R1 . [6] Por exemplo, suponha que X seja um conjunto de cidades, algumas das quais são conectadas por estradas. Seja R a relação nas cidades onde (UMA, B) ∈ R se houver uma estrada que liga diretamente as cidades A e B. Essa relação não precisa ser transitiva. A extensão transitiva desta relação pode ser definida por (UMA, C) ∈ R1 se você pode viajar entre as cidades A e C usando no máximo duas estradas.

Se uma relação é transitiva, então sua extensão transitiva é ela mesma, ou seja, se R é uma relação transitiva, então R1 = R .

A extensão transitiva de R1 seria denotado por R2 , e continuando assim, em geral, a extensão transitiva de Reu seria Reu + 1 . O fechamento transitivo de R, denotado por R* ou R ∞ é a união do conjunto de R, R1 , R2 , . . [7]

O fechamento transitivo de uma relação é uma relação transitiva. [7]

A relação "é o pai biológico de" em um conjunto de pessoas não é uma relação transitiva. No entanto, em biologia, muitas vezes surge a necessidade de considerar a paternidade de nascimento ao longo de um número arbitrário de gerações: a relação "é um ancestral de nascimento de" é uma relação transitiva e é o fechamento transitivo da relação "é o pai de nascimento de".

Para o exemplo de cidades e estradas acima, (UMA, C) ∈ R* desde que você possa viajar entre as cidades A e C usando qualquer número de estradas.

    - uma relação reflexiva e transitiva - uma pré-ordem antissimétrica - uma pré-ordem conectada (anteriormente chamada de total) - uma pré-ordem simétrica - uma ordem parcial estrita na qual a incomparabilidade é uma relação de equivalência - uma relação conectada (total), antissimétrica e transitiva

Nenhuma fórmula geral que conta o número de relações transitivas em um conjunto finito (sequência A006905 no OEIS) é conhecida. [8] No entanto, existe uma fórmula para encontrar o número de relações que são simultaneamente reflexivas, simétricas e transitivas - em outras palavras, relações de equivalência - (sequência A000110 no OEIS), aquelas que são simétricas e transitivas, aquelas que são simétricos, transitivos e antissimétricos e aqueles que são totais, transitivos e antissimétricos. Pfeiffer [9] fez alguns progressos nessa direção, expressando relações com combinações dessas propriedades em termos umas das outras, mas ainda assim calcular qualquer uma é difícil. Veja também. [10]

Número de n- relações binárias de elementos de diferentes tipos
Elementos Algum Transitivo Reflexivo Pedido antecipado Pedido parcial Pré-encomenda total Ordem total Relação de equivalência
0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 1 1 1 1
2 16 13 4 4 3 3 2 2
3 512 171 64 29 19 13 6 5
4 65,536 3,994 4,096 355 219 75 24 15
n 2 n 2 2 n 2 −n n
k=0 k! S(n, k)
n! n
k=0 S(n, k)
OEIS A002416 A006905 A053763 A000798 A001035 A000670 A000142 A000110

Uma relação R é chamado intransitivo se não for transitivo, isto é, se xRy e yRz, mas não xRz, para alguns x, y, z. Em contraste, uma relação R é chamado antitransitivo E se xRy e yRz sempre implica que xRz não segura. Por exemplo, a relação definida por xRy E se xy é um número par é intransitivo, [11] mas não antitransitivo. [12] A relação definida por xRy E se x é par e y é ímpar é transitivo e antitransitivo. [13] A relação definida por xRy E se x é o número sucessor de y é intransitivo [14] e antitransitivo. [15] Exemplos inesperados de intransitividade surgem em situações como questões políticas ou preferências de grupo. [16]

Generalizado para versões estocásticas (transitividade estocástica), o estudo da transitividade encontra aplicações na teoria da decisão, psicometria e modelos de utilidade. [17]

UMA relação quase transitiva é outra generalização, ele deve ser transitivo apenas em sua parte não simétrica. Essas relações são usadas na teoria da escolha social ou microeconomia. [18]


Distância entre dois pontos e o ponto médio

A fórmula da distância é uma expressão algébrica usada para determinar a distância entre dois pontos com as coordenadas (x1, y1) e (x2, y2).

Encontre a distância entre (-1, 1) e (3, 4).

Este problema é resolvido simplesmente inserindo nossos valores xey na fórmula de distância:

Às vezes, você precisa encontrar o ponto que está exatamente entre dois outros pontos. Este ponto médio é denominado "ponto médio". Por definição, um ponto médio de um segmento de linha é o ponto nesse segmento de linha que divide o segmento em dois segmentos congruentes.

Se os pontos finais de um segmento de linha forem (x1, y1) e (x2, y2) então o ponto médio do segmento de linha tem as coordenadas:


O gráfico mostra duas linhas, A e B. Um gráfico é mostrado com os eixos xey rotulados de 0 a 6 em incrementos de 1. Uma linha reta rotulada A une o par ordenado 2, 6 com o par ordenado 5, 0 .Outra linha reta rotulada B une o par ordenado 0, 2 com o par ordenado 6, 6. Parte A: Quantas soluções o par de equações para as linhas A e B tem? Explique sua resposta. (5 pontos)

Explicação passo a passo: haverá uma solução porque as linhas se cruzam em exatamente um conjunto de pontos.

P.S. Tenho certeza que o outro cara está bêbado XD

Eu fiz o teste e acertei

Clique no botão de coração se acertou! :)

O ponto dado é (3, −6), precisamos encontrar o gráfico que mostra um par de retas que representa as equações com a solução (3, −6).

No ponto (3, -6), a coordenada x é positiva e a coordenada y é negativa.

Isso significa que um par de linhas é mostrado se cruzando no par ordenado 3 unidades à direita e 6 unidades abaixo.

Portanto, a opção correta é 4.

. (1)

. (2)

Substitua o valor de m da equação (2) na equação (1).

Substitua n = 3 na equação (2).

A solução para o conjunto de equações na forma (m, n) é (1,3).

Portanto, a opção correta é 1.

Se uma linha passa por dois pontos e , então a equação da linha é

É dado que a primeira linha passa pelos pontos (3,0) e (0,6). Então, a equação da linha é

It is given that first line passes through the points (0,0) and (5,5). So, the equation of line is

Two equation are e . Find the values of both function at x=0 adn x=2.

e .

e .

(0,6) is the solution to line A but not to line B.

(2, 2) is the solution to both lines A and B.

Therefore, the correct option is 3.

A: There is only one solution since the two lines meet up. If it was parallel or the two lines where on top of each other there would be either an infinite amount of solutions or zero.

C(2, 2) is the solution to both lines A and B.

A straight line labeled A joins the ordered pair 3, 0 and the ordered pair 0, 6.

We know that the equation of a line passing through (a,b) and (c,d) is calculated as:

Hence, the equation of line is:

Hence, equation of line A is:

Similarly B is a line passing through (0,0) and (5,5).

Hence, the equation of line B is:

So, from the graph we observe that, the point of intersection of the two lines is (2,2).


1.2: Meets and Joins - Mathematics

Question from yaz, a student:

Find the equation of the line joining A(-1,-9) to B(6,120.

Hi Yaz. Here's how I would solve this kind of three-part, three-step problem.

A line joins A(-7, 1) to B(3, -4). Another line passes through C(1, 7) and meets AB at right angles at point D. Find the equations of both lines and calculate the coordinates of point D.

Passo 1: You have two points and want the equation of the line AB. Remember that line equations can be written as

but m is the slope, which is the rise (difference of the y coordinates) over the run (difference of the x coordinates). So we can replace m and we have this:

and now we can substitute in the values for (xUMA, yUMA) and (xB, yB) and solve for y:

y - 1 = [ (1 - (-4) ) / (-7 - 3) ] (x - (-7) )
y = [5 / (-10)] (x + 7) + 1
y = (-1/2) (x + 7) + 1

y = (-1/2)x - 5/2.

This is the equation of the first line. It has slope -½ and y-intercept of -5/2.

Passo 2: You know that lines at right angles are perpendicular, which means their slopes are the negative reciprocals of each other. So the slope of the second line is -1/(-½) = 2. Now you know a slope and a point C on the second line. You can use the point-slope form (that's the first equation I wrote at the top) to find the equation:

This second equation is a line with slope +2 and y-intercept of +5.

etapa 3: Given two lines with different slopes, you can calculate the intersection point using either the substitution or the elimination method of solving simultaneous equations. I'll use the substitution method in my example:

At the intersection point, the same value of (x, y) works for both equations. So y = 2x + 5 at the same time that y = (-1/2)x - 5/2. If y equals two different expressions, then the two different expressions equal each other, so:

So at the intersection point D, x is -3. Now since there is only one value of y for this value of x, I can choose either equation to calculate y:


When is $I(c) = int^1_0 2^ dx$ largest?

On the next three pairs of axes (A), (B), (C) are graphs of [y = f(-x), quad f(x-1), quad -f(x)] in some order. Say which axes correspond to which graphs.

(A) (B) (C)

Graph (A) is (-f(x)) , since the graph has been reflected in the (x) -axis.

Graph (B) is (f(-x)) , since the graph has been reflected in the (y) -axis.

Graph (C) is (f(x-1)) , since the graph has been translated (one unit) to the right.

  1. Sketch graphs of both of the following functions [y = 2^ <-x^2>quad ext quad y = 2^<2x - x^2>.] Carefully label any stationary points.

We sketch (y = 2^<-x^2>) by noticing that it must be symmetrical about the (y) -axis. It takes its largest value of (1) at (x = 0) , and decreases to zero as the magnitude of (x) increases.

For the second graph, we note that [y = 2^ <2x - x^2>= 2^ <1-1 + 2x - x^2>= 2^<1-(x-1)^2>= 2 imes 2^<-(x-1)^2>,] and so this graph is (y = 2^<-x^2>) translated to the right by one unit and stretched vertically by a factor of two.

State the value(s) of (c) for which (I(c)) is largest. Briefly explain your reasoning. [Note you are not being asked to calculate this maximum value.]

The graph of (2^<-(x-c)^2>) is the graph of (2^<-x^2>) translated (c) units to the right.

The integral (I(c)) corresponds to the area under that graph within the range (0 le x le 1) .

To maximise this, we should choose (c) so that the highest point of the graph is in the middle of this range, at (x = dfrac<1><2>) , which occurs when (c = dfrac<1><2>) .

Oxford University Mathematics Aptitude Test, 2008, Q3

Question reproduced by kind permission of The University of Oxford. The question remains Copyright The University of Oxford, All rights reserved.


Assista o vídeo: Questão 08 Lista 1 - Diagramas Lógicos (Outubro 2021).