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2.7: Compreendendo a inclinação de uma linha


objetivos de aprendizado

  • Ao final desta seção, você será capaz de:
  • Use geoboards para modelar declive
  • Use (m = frac { text {rise}} { text {run}} ) para encontrar a inclinação de uma linha de seu gráfico
  • Encontre a inclinação das linhas horizontais e verticais
  • Use a fórmula de inclinação para encontrar a inclinação de uma linha entre dois pontos
  • Represente graficamente uma linha, dado um ponto e a inclinação
  • Resolva aplicações de declive

Observação

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Simplifique: ( frac {1 - 4} {8 - 2} ).
    Se você não percebeu este problema, revise o Exercício 1.6.31
  2. Divide: ( frac {0} {4}, frac {4} {0} ).
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exercício 1.10.16.
  3. Simplifique: ( frac {15} {- 3}, frac {-15} {3}, frac {-15} {- 3} ).
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exercício 1.6.4.

Ao representar graficamente as equações lineares, você pode notar que algumas linhas se inclinam para cima conforme vão da esquerda para a direita e algumas linhas se inclinam para baixo. O que determina se uma linha se inclina para cima ou para baixo, se é íngreme ou plana?

Em matemática, a 'inclinação' de uma linha é chamada de declive da linha. O conceito de inclinação tem muitas aplicações no mundo real. A inclinação de um telhado, o grau de uma rodovia e uma rampa para uma cadeira de rodas são alguns exemplos em que você literalmente vê declives. E quando você anda de bicicleta, você sente a inclinação conforme você bombeia morro acima ou desce a costa.

Nesta seção, exploraremos o conceito de inclinação.

Use Geoboards para modelar declive

UMA geoboard é um tabuleiro com uma grade de pinos. O uso de elásticos em um geoboard nos dá uma maneira concreta de modelar linhas em uma grade de coordenadas. Ao esticar um elástico entre duas estacas em um geoboard, podemos descobrir como encontrar a inclinação de uma linha.

Fazer a atividade de Matemática Manipulativa “Explorando Inclinação” ajudará você a desenvolver uma melhor compreensão da inclinação de uma linha. (Papel milimetrado pode ser usado em vez de um geoboard, se necessário.)

Começaremos esticando um elástico entre duas cavilhas, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1} ).

Não parece uma linha?

Agora, esticamos uma parte do elástico diretamente para cima a partir da cavilha esquerda e em torno de uma terceira cavilha para fazer os lados de um triângulo retângulo, como mostrado na Figura ( PageIndex {2} )

Fazemos cuidadosamente um ângulo de 90º em torno do terceiro pino, de forma que uma das linhas recém-formadas fique na vertical e a outra na horizontal.

Para encontrar a inclinação da linha, medimos a distância ao longo dos lados vertical e horizontal do triângulo. A distância vertical é chamada de elevação e a distância horizontal é chamada de corre, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {3} ).

Se nosso geoboard e o elástico se parece com o mostrado na Figura ( PageIndex {4} ), o aumento é 2. O elástico sobe 2 unidades. (Cada espaço é uma unidade.)

O aumento neste geoboard é 2, já que o elástico sobe duas unidades.

Qual é a corrida?

O elástico passa por 3 unidades. A execução é 3 (consulte a Figura ( PageIndex {4} )).

A inclinação de uma linha é a razão entre a elevação e a corrida. Em matemática, é sempre referido com a letra m.

INCLINAÇÃO DE UMA LINHA

O inclinação de uma linha de uma linha é (m = frac { text {rise}} { text {run}} ).

O elevação mede a mudança vertical e o corre mede a mudança horizontal entre dois pontos na linha.

Qual é a inclinação da linha no geoboard na Figura ( PageIndex {4} )?

[ begin {alinhados} m & = frac { text {rise}} { text {run}} m & = frac {2} {3} end {alinhados} ]

A linha tem inclinação ( frac {2} {3} ). Isso significa que a linha aumenta 2 unidades para cada 3 unidades de execução.

Quando trabalhamos com geoboards, é uma boa ideia adquirir o hábito de começar em uma estaca à esquerda e conectar a uma estaca à direita. Se a subida for positiva, se descer, será negativo. A corrida irá da esquerda para a direita e será positiva.

Exercício ( PageIndex {1} )

Qual é a inclinação da linha no geoboard mostrado?

Responder

Use a definição de declive: (m = frac { text {rise}} { text {run}} ).

Comece na estaca esquerda e conte os espaços para cima e para a direita para alcançar a segunda estaca.

[ begin {array} {ll} { text {A elevação é} 3.} & {m = frac {3} { operatorname {rnn}}} { text {A corrida é 4.} } & {m = frac {3} {4}} {} & { text {A inclinação é} frac {3} {4} text {. }} end {array} ]

Isso significa que a linha aumenta 3 unidades para cada 4 unidades de execução.

Exercício ( PageIndex {2} )

Qual é a inclinação da linha no geoboard mostrado?

Responder

( frac {4} {3} )

Exercício ( PageIndex {3} )

Qual é a inclinação da linha no geoboard mostrado?

Responder

( frac {1} {4} )

Exercício ( PageIndex {4} )

Qual é a inclinação da linha no geoboard mostrado?

Responder

Use a definição de declive: (m = frac { text {rise}} { text {run}} ).

Comece na estaca esquerda e conte as unidades para baixo e para a direita para alcançar a segunda estaca.

[ begin {array} {ll} { text {A ascensão é} -1.} & {m = frac {-1} { operatorname {run}}} { text {The run is} 3.} & {M = frac {-1} {3}} {} & {m = - frac {1} {3}} {} & { text {A inclinação é} - frac {1} {3}} end {array} ]

Isso significa que a linha cai 1 unidade para cada 3 unidades de execução.

Exercício ( PageIndex {5} )

Qual é a inclinação da linha no geoboard?

Responder

(- frac {2} {3} )

Exercício ( PageIndex {6} )

Qual é a inclinação da linha no geoboard?

Responder

(- frac {4} {3} )

Observe que no Exercício ( PageIndex {1} ) a inclinação é positiva e no Exercício ( PageIndex {4} ) a inclinação é negativa. Você percebe alguma diferença nas duas linhas mostradas em Figura(a) e Figura(b)?

Nós ‘lemos’ uma linha da esquerda para a direita assim como lemos palavras em inglês. Conforme você lê da esquerda para a direita, a linha Figura(a) está subindo; tem inclinação positiva. A linha em Figura(b) está caindo; tem inclinação negativa.

INCLINAÇÕES POSITIVAS E NEGATIVAS

Exercício ( PageIndex {7} )

Use um geoboard para modelar uma linha com inclinação ( frac {1} {2} ).

Responder

Para modelar uma linha em um geoboard, precisamos da ascensão e do funcionamento.

( begin {array} {ll} { text {Use a fórmula de inclinação.}} & {m = frac { text {rise}} { text {run}}} { text {Substituir} m text {with} frac {1} {2} text {.}} & { frac {1} {2} = frac { text {rise}} { text {run}}} { text {Portanto, a elevação é} 1 text {e a extensão é} 2 text {.}} { text {Comece em um pino no canto inferior esquerdo do geoboard.}} { text {Estique o elástico para cima} 1 text {unidade, e depois à direita} 2 text {unidades.}} end {array} )

A hipotenusa do triângulo retângulo formado pelo elástico representa uma linha cuja inclinação é ( frac {1} {2} ).

Exercício ( PageIndex {8} )

Modele a inclinação (m = frac {1} {3} ). Faça um desenho para mostrar seus resultados.

Responder

Exercício ( PageIndex {9} )

Modele a inclinação (m = frac {3} {2} ). Faça um desenho para mostrar seus resultados.

Responder

Exercício ( PageIndex {10} )

Use um geoboard para modelar uma linha com inclinação ( frac {-1} {4} ).

Responder

( begin {array} {ll} { text {Use a fórmula de inclinação.}} & {m = frac { text {rise}} { text {run}}} { text {Substituir} m text {with} frac {-1} {4} text {.}} & { frac {-1} {4} = frac { text {rise}} { text {run}}} { text {Então, a subida é} -1 text {e a corrida é} 4 text {.}} { text {Uma vez que a subida é negativa, escolhemos um pino inicial no canto superior esquerdo isso nos dará espaço para a contagem regressiva.}} { text {Esticamos o elástico para baixo} 1 text {unidade e, em seguida, à direita} 4 text {unidades.}} end {array} )

A hipotenusa do triângulo retângulo formado pelo elástico representa uma linha cuja inclinação é ( frac {-1} {4} ).

Exercício ( PageIndex {11} )

Modele a inclinação (m = frac {-2} {3} ). Faça um desenho para mostrar seus resultados.

Responder

Exercício ( PageIndex {12} )

Modele a inclinação (m = frac {-1} {3} ). Faça um desenho para mostrar seus resultados.

Responder

Use (m = frac { text {rise}} { text {run}} ) para encontrar a inclinação de uma linha de seu gráfico

Agora, veremos alguns gráficos no plano da coordenada xy e veremos como encontrar suas inclinações. O método será muito semelhante ao que acabamos de modelar em nossos geoboards.

Para encontrar a inclinação, devemos contar a subida e a corrida. Mas por onde começamos?

Localizamos dois pontos na linha cujas coordenadas são inteiros. Em seguida, começamos com o ponto à esquerda e esboçamos um triângulo direito, para que possamos contar a subida e correr.

Exercício ( PageIndex {13} ):

Encontre a inclinação da linha mostrada.

Responder

Exercício ( PageIndex {14} )

Encontre a inclinação da linha mostrada.

Responder

( frac {2} {5} )

Exercício ( PageIndex {15} )

Encontre a inclinação da linha mostrada.

Responder

( frac {3} {4} )

ENCONTRE A INCLINAÇÃO DE UMA LINHA DE SEU GRÁFICO

  1. Localize dois pontos na linha cujas coordenadas são inteiros.
  2. Começando com o ponto à esquerda, esboce um triângulo direito, indo do primeiro ponto ao segundo ponto.
  3. Conte a subida e a corrida nas pernas do triângulo.
  4. Pegue a razão de subida para correr para encontrar a inclinação, (m = frac { text {rise}} { text {run}} ).

Exercício ( PageIndex {16} )

Encontre a inclinação da linha mostrada.

Responder
Localize dois pontos no gráfico cujas coordenadas são inteiros.(0,5) e (3,3)
Qual ponto está à esquerda?(0,5)
Começando em (0,5), esboce um triângulo retângulo até (3,3).
Conte o aumento - é negativo.O aumento é -2.
Conte a corrida.A corrida é de 3.
Use a fórmula de inclinação. (m = frac { text {rise}} { text {run}} )
Substitua os valores da ascensão e execução. (m = frac {-2} {3} )
Simplificar. (m = - frac {2} {3} )
A inclinação da linha é (- frac {2} {3} ).

Portanto, y aumenta em 3 unidades enquanto xx diminui em 2 unidades.

E se usássemos os pontos (−3,7) e (6,1) para encontrar a inclinação da reta?

O aumento seria −6 e a corrida seria 9. Então (m = frac {-6} {9} ), e isso simplifica para (m = - frac {2} {3} ). Lembre-se de que não importa quais pontos você usa - a inclinação da linha é sempre a mesma.

Exercício ( PageIndex {17} )

Encontre a inclinação da linha mostrada.

Responder

(- frac {4} {3} )

Exercício ( PageIndex {18} )

Encontre a inclinação da linha mostrada.

Responder

(- frac {3} {5} )

Nos últimos dois exemplos, as linhas tinham y-intercepta com valores inteiros, por isso foi conveniente usar o y-intercepte como um dos pontos para encontrar a inclinação. No próximo exemplo, o y-intercept é uma fração. Em vez de usar esse ponto, procuraremos dois outros pontos cujas coordenadas são inteiros. Isso tornará os cálculos de inclinação mais fáceis.

Exercício ( PageIndex {19} )

Encontre a inclinação da linha mostrada.

Responder
Localize dois pontos no gráfico cujas coordenadas são inteiros.(2,3) e (7,6)
Qual ponto está à esquerda?(2,3)
Começando em (2,3), esboce um triângulo retângulo para (7,6).
Conte o aumento.O aumento é de 3.
Conte a corrida.A corrida é 5.
Use a fórmula de inclinação. (m = frac { text {rise}} { text {run}} )
Substitua os valores da ascensão e execução. (m = frac {3} {5} )
A inclinação da linha é ( frac {3} {5} ).

Isso significa que y aumenta 5 unidades à medida que x aumenta 3 unidades.

Quando usamos geoboards para introduzir o conceito de declive, dissemos que sempre começaríamos com o ponto à esquerda e contaríamos a subida e a corrida para chegar ao ponto à direita. Dessa forma, a corrida era sempre positiva e a subida determinava se a inclinação era positiva ou negativa.

O que aconteceria se começássemos com o ponto à direita?

Vamos usar os pontos (2,3) e (7,6) novamente, mas agora começaremos em (7,6).

( begin {array} {ll} { text {Conte a subida.}} & { text {A subida é -3.}} { text {Conte a corrida. Vai da direita para a esquerda, então}} & { text {A corrida é − 5.}} { text {é negativa.}} & {} { text {Use a fórmula de inclinação.}} & {m = frac { text {ascensão}} { text {corrida}}} { text {Substitua os valores da ascensão e corra.}} & {m = frac {-3} {- 5}} { } & { text {A inclinação da linha é} frac {3} {5}} end {array} )
Não importa onde você começa - a inclinação da linha é sempre a mesma.

Exercício ( PageIndex {20} )

Encontre a inclinação da linha mostrada.

Responder

( frac {5} {4} )

Exercício ( PageIndex {21} )

Encontre a inclinação da linha mostrada.

Responder

( frac {3} {2} )

Encontre a inclinação das linhas horizontais e verticais

Você se lembra do que havia de especial nas linhas horizontais e verticais? Suas equações tinham apenas uma variável.

[ begin {array} {ll} { textbf {Linha horizontal} y = b} & { textbf {Linha vertical} x = a} {y text {-coordenadas são iguais. }} e {x text {-coordenadas são iguais. }} end {array} ]

Então, como encontramos a inclinação da linha horizontal y = 4y = 4? Uma abordagem seria representar graficamente a linha horizontal, encontrar dois pontos nela e contar a subida e a corrida. Vamos ver o que acontece quando fazemos isso.

( begin {array} {ll} { text {Qual é a elevação?}} & { text {A elevação é 0.}} { text {Qual é a corrida?}} & { text {A corrida é 3.}} {} & {m = frac { text {rise}} { text {run}}} {} & {m = frac {0} {3}} { text {Qual é a inclinação?}} & {m = 0} {} & { text {A inclinação da linha horizontal y = 4 é 0.}} end {array} )

Todas as linhas horizontais têm inclinação 0. Quando o y-coordenadas são as mesmas, o aumento é 0.

INCLINAÇÃO DE UMA LINHA HORIZONTAL

A inclinação de uma linha horizontal, y = b, é 0.

O piso do seu quarto é horizontal. Sua inclinação é 0. Se você colocasse cuidadosamente uma bola no chão, ela não rolaria.

Agora, vamos considerar uma linha vertical, a linha.

( begin {array} {ll} { text {Qual é a elevação?}} & { text {A elevação é 2.}} { text {Qual é a corrida?}} & { text {A corrida é 0.}} {} & {m = frac { text {ascensão}} { text {corrida}}} { text {Qual é a inclinação?}} & {M = frac {2} {0}} end {array} )

Mas não podemos dividir por 0. A divisão por 0 não está definida. Portanto, dizemos que a inclinação da reta vertical x = 3x = 3 é indefinida.

A inclinação de qualquer linha vertical é indefinida. Quando o x-coordenadas de uma linha são todas iguais, a corrida é 0.

INCLINAÇÃO DE UMA LINHA VERTICAL

A inclinação de uma linha vertical, x = a, é indefinida.

Exercício ( PageIndex {22} )

Encontre a inclinação de cada linha:

Ⓐ x = 8 ⓑ y = −5.

Responder

Ⓐ x = 8
Esta é uma linha vertical.
Sua inclinação é indefinida.

Ⓑ y = −5
Esta é uma linha horizontal.
Possui inclinação 0.

Exercício ( PageIndex {23} )

Encontre a inclinação da linha: x = −4.

Responder

Indefinido

Exercício ( PageIndex {24} )

Encontre a inclinação da linha: y = 7.

Responder

0

GUIA RÁPIDO PARA AS INCLINAÇÕES DE LINHAS

Lembre-se, nós ‘lemos’ uma linha da esquerda para a direita, assim como lemos palavras escritas em inglês.

Use a fórmula de inclinação para encontrar a inclinação de uma linha entre dois pontos

Fazer a atividade de matemática manipulativa “Inclinação das linhas entre dois pontos” ajudará você a desenvolver uma melhor compreensão de como encontrar a inclinação de uma linha entre dois pontos.

Às vezes, precisamos encontrar a inclinação de uma linha entre dois pontos quando não temos um gráfico para contar a subida e a corrida. Poderíamos plotar os pontos em um papel quadriculado e, em seguida, contar a subida e a corrida, mas, como veremos, existe uma maneira de encontrar a inclinação sem representar graficamente. Antes de chegarmos a isso, precisamos apresentar algumas notações algébricas.

Vimos que um par ordenado (x, y) fornece as coordenadas de um ponto. Mas quando trabalhamos com inclinações, usamos dois pontos. Como pode o mesmo símbolo (x, y) ser usado para representar dois pontos diferentes? Os matemáticos usam subscritos para distinguir os pontos.

[ begin {array} {ll} { left (x_ {1}, y_ {1} right)} & { text {leia} ^ {'} x text {sub} 1, y text { sub} 1 ^ {'}} { left (x_ {2}, y_ {2} right)} & { text {ler} ^ {'} x text {sub} 2, y text { sub} 2 ^ {'}} end {array} ]

O uso de subscritos em matemática é muito parecido com o uso das iniciais do sobrenome no ensino fundamental. Talvez você se lembre de Laura C. e Laura M. em sua classe da terceira série?

Usaremos ( left (x_ {1}, y_ {1} right) ) para identificar o primeiro ponto e ( left (x_ {2}, y_ {2} right) ) para identificar o segundo ponto.

Se tivéssemos mais de dois pontos, poderíamos usar ( left (x_ {3}, y_ {3} right) ), ( left (x_ {4}, y_ {4} right) ) , e assim por diante.

Vamos ver como a subida e a corrida se relacionam com as coordenadas dos dois pontos, dando uma outra olhada na inclinação da linha entre os pontos (2,3) e (7,6).

Como temos dois pontos, usaremos a notação subscrito, ( left ( begin {array} {c} {x_ {1}, y_ {1}} {2,3} end {array} right ) left ( begin {array} {c} {x_ {2}, y_ {2}} {7,6} end {array} right) ).

No gráfico, contamos o aumento de 3 e a sequência de 5.

Observe que o aumento de 3 pode ser encontrado subtraindo o y-coordenadas 6 e 3.

[3=6-3]

E a corrida de 5 pode ser encontrada subtraindo o x-coordenadas 7 e 2.

[5 = 7 - 2]

Sabemos (m = frac { text {rise}} { text {run}} ). Portanto, (m = frac {3} {5} ).

Reescrevemos a subida e corremos colocando as coordenadas (m = frac {6-3} {7-2} )

Mas 6 é y2, o y-coordenada do segundo ponto e 3 é y1, o y-coordenada do primeiro ponto.

Portanto, podemos reescrever a inclinação usando a notação subscrita. (m = frac {y2-y1} {7-2} )

Além disso, 7 é x2, o x-coordenada do segundo ponto e 2 é x1, o x-coordenada do primeiro ponto.

Portanto, novamente, reescrevemos a inclinação usando a notação subscrita. (m = frac {y2-y1} {x2-x1} )

Mostramos que (m = frac {y2-y1} {x2-x1} ) é realmente outra versão de (m = frac { text {rise}} { text {run}} ) . Podemos usar esta fórmula para encontrar a inclinação de uma linha quando temos dois pontos na linha.

FÓRMULA DE INCLINAÇÃO

A inclinação da linha entre dois pontos ( left (x_ {1}, y_ {1} right) ) e ( left (x_ {2}, y_ {2} right) ) é

[m = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]

Isto é o fórmula de inclinação.

A inclinação é:

[ begin {array} {c} {y text {do segundo ponto menos} y text {do primeiro ponto}} { text {over}} {x text {do segundo ponto menos} x text {do primeiro ponto. }} end {array} ]

Exercício ( PageIndex {25} )

Use o fórmula de inclinação para encontrar a inclinação da linha entre os pontos (1,2) e (4,5).

Responder

( begin {array} {ll} { text {Chamaremos (1,2) ponto # 1 e (4,5) ponto # 2.}} & { left ( begin {array} {c } {x_ {1}, y_ {1}} {1,2} end {array} right) left ( begin {array} {c} {x_ {2}, y_ {2}} {4,5} end {array} right)} { text {Use a fórmula de inclinação.}} & {M = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} { text {Substitua os valores.}} & {} { text {y do segundo ponto menos y do primeiro ponto}} & {m = frac {5- 2} {x_ {2} -x_ {1}}} { text {x do segundo ponto menos x do primeiro ponto}} & {m = frac {5-2} {4-1}} { text {Simplifique o numerador e o denominador.}} & {m = frac {3} {3}} { text {Simplifique.}} & {m = 1} end {array} )

Vamos confirmar isso contando a inclinação em um gráfico usando (m = frac { text {rise}} { text {run}} ).

Não importa qual ponto você chama de ponto # 1 e qual deles você chama de ponto # 2. A inclinação será a mesma. Experimente o cálculo você mesmo.

Exercício ( PageIndex {26} )

Use a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação da reta através dos pontos: (8,5) e (6,3).

Responder

1

Exercício ( PageIndex {27} )

Use a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação da reta através dos pontos: (1,5) e (5,9).

Responder

1

Exercício ( PageIndex {28} )

Use a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação da reta através dos pontos (−2, −3) e (−7,4).

Responder

( begin {array} {ll} { text {Chamaremos (-2, -3) ponto # 1 e (-7,4) ponto # 2.}} & { left ( begin {array } {c} {x_ {1}, y_ {1}} {-2, -3} end {array} right) left ( begin {array} {c} {x_ {2}, y_ {2}} {-7,4} end {array} right)} { text {Use a fórmula de inclinação.}} & {M = frac {y_ {2} -y_ {1} } {x_ {2} -x_ {1}}} { text {Substitua os valores.}} & {} { text {y do segundo ponto menos y do primeiro ponto}} & {m = frac {4 - (- 3)} {x_ {2} -x_ {1}}} { text {x do segundo ponto menos x do primeiro ponto}} & {m = frac {4 - (- 3)} {- 7 - (- 2)}} { text {Simplifique o numerador e o denominador.}} & {M = frac {7} {- 5}} { text {Simplifique.}} & {M = - frac {7} {5}} end {array} )

Vamos verificar essa inclinação no gráfico mostrado.

[ begin {align} m & = frac { text {rise}} { text {run}} m & = frac {-7} {5} m & = - frac {7 } {5} end {alinhado} ]

Exercício ( PageIndex {29} )

Use a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação da reta através dos pontos: (−3,4) e (2, −1).

Responder

-1

Exercício ( PageIndex {30} )

Use a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação da reta através do par de pontos: (−2,6) e (−3, −4).

Responder

10

Represente graficamente uma linha dada um ponto e a inclinação

Até agora, neste capítulo, representamos linhas graficamente traçando pontos, usando interceptações e reconhecendo linhas horizontais e verticais.

Um outro método que podemos usar para traçar linhas é chamado de método ponto-inclinação. Usaremos esse método quando soubermos um ponto e a inclinação da linha. Começaremos traçando o ponto e então usaremos a definição de inclinação para desenhar o gráfico da reta.

Exercício ( PageIndex {31} )

Represente graficamente a linha que passa pelo ponto (1, −1) cuja inclinação é (m = frac {3} {4} ).

Responder

Exercício ( PageIndex {32} )

Represente graficamente a linha que passa pelo ponto (2, −2) com a inclinação (m = frac {4} {3} ).

Responder

Exercício ( PageIndex {33} )

Represente graficamente a linha que passa pelo ponto (−2,3) com a inclinação (m = frac {1} {4} ).

Responder

GRÁFICO UMA LINHA DADA UM PONTO E A INCLINAÇÃO.

  1. Trace o ponto dado.
  2. Use a fórmula de inclinação (m = frac { text {subida}} { text {subida}} ) para identificar a subida e a corrida.
  3. Começando no ponto determinado, conte a subida e corra para marcar o segundo ponto.
  4. Conecte os pontos com uma linha.

Exercício ( PageIndex {34} )

Represente graficamente a linha com y-intercepte 2 cuja inclinação é (m = - frac {2} {3} ).

Responder

Trace o ponto dado, o y-intercept, (0,2).

( begin {array} {ll} { text {Identifique a ascensão e a corrida.}} & {m = - frac {2} {3}} {} & { frac { text {ascensão }} { text {run}} = frac {-2} {3}} {} & { text {rise} = -2} {} & { text {run} = 3} fim {array} )

Conte a subida e a corrida. Marque o segundo ponto.

Conecte os dois pontos com uma linha.

Você pode verificar seu trabalho encontrando um terceiro ponto. Como a inclinação é (m = - frac {2} {3} ), ela pode ser escrita como (m = frac {2} {- 3} ). Volte para (0,2) e conte a subida, 2, e a corrida, −3.

Exercício ( PageIndex {35} )

Represente graficamente a linha com o y-intercepto 4 e inclinação (m = - frac {5} {2} ).

Responder

Exercício ( PageIndex {36} )

Represente graficamente a linha com o x-intercept −3 e inclinação (m = - frac {3} {4} ).

Responder

Exercício ( PageIndex {37} )

Represente graficamente a linha que passa pelo ponto (−1, −3) cuja inclinação é m = 4.

Responder

Trace o ponto dado.

( begin {array} {ll} { text {Identifique a subida e a corrida.}} & { text {m = 4}} { text {Escreva 4 como uma fração.}} & { frac { text {rise}} { text {run}} = frac {4} {1}} {} & { text {rise} = 4 quad text {run} = 3} end {variedade})

Conte a subida e corra e marque o segundo ponto.

Conecte os dois pontos com uma linha.

Você pode verificar seu trabalho encontrando um terceiro ponto. Como a inclinação é m = 4, ela pode ser escrita como (m = frac {-4} {- 1} ). Volte para (−1, −3) e conte o aumento, −4, e a corrida, −1.

Exercício ( PageIndex {38} )

Represente graficamente a reta com o ponto (−2,1) e a inclinação m = 3.

Responder

Exercício ( PageIndex {39} )

Represente graficamente a reta com o ponto (4, −2) e a inclinação m = −2.

Responder

Resolver aplicações de declive

No início desta seção, dissemos que existem muitas aplicações de inclinação no mundo real. Vejamos alguns agora.

Exercício ( PageIndex {40} )

A 'inclinação' do telhado de um edifício é a inclinação do telhado. Saber o campo é importante em climas onde há fortes nevascas. Se o telhado for muito plano, o peso da neve pode fazer com que desmorone. Qual é a inclinação do telhado mostrado?

Responder

( begin {array} {ll} { text {Use a fórmula de inclinação.}} & {m = frac { text {rise}} { text {rise}}} { text {Substitua o valores para subir e correr.}} & {m = frac {9} {18}} { text {Simplifique.}} & {m = frac {1} {2}} { text { A inclinação do telhado é} frac {1} {2}.} & {} {} & { text {O telhado sobe 1 pé para cada 2 pés de}} {} & { text { execução horizontal.}} end {array} )

Exercício ( PageIndex {41} )

Use Exercício ( PageIndex {40} ), substituindo aumento = 14 e execução = 24.

Responder

( frac {7} {12} )

Exercício ( PageIndex {42} )

Use Exercício ( PageIndex {40} ), substituindo aumento = 15 e execução = 36.

Responder

( frac {5} {12} )

Exercício ( PageIndex {43} )

Já pensou nos canos de esgoto que vão da sua casa para a rua? Eles devem se inclinar para baixo ( frac {1} {4} ) polegada por pé para drenar corretamente. Qual é a inclinação necessária?

Responder

( begin {array} {ll} { text {Use a fórmula de inclinação.}} & {m = frac { text {rise}} { text {run}}} {} & {m = frac {- frac {1} {4} mathrm {inch}} {1 text {foot}}} {} & {m = frac {- frac {1} {4} text { polegada}} {12 text {polegadas}}} { text {Simplifique.}} & {m = - frac {1} {48}} {} & { text {A inclinação do cano é} - frac {1} {48}} end {array} )

O tubo cai 1 polegada para cada 48 polegadas de extensão horizontal.

Exercício ( PageIndex {44} )

Encontre a inclinação de um tubo que desce ( frac {1} {3} ) polegada por pé.

Responder

(- frac {1} {36} )

Exercício ( PageIndex {45} )

Encontre a inclinação de um tubo que desce ( frac {3} {4} ) polegada por jarda.

Responder

(- frac {1} {48} )

Conceitos chave

  • Encontre a inclinação de uma linha de seu gráfico usando (m = frac { text {rise}} { text {run}} )
    1. Localize dois pontos na linha cujas coordenadas são inteiros.
    2. Começando com o ponto à esquerda, esboce um triângulo direito, indo do primeiro ponto ao segundo ponto.
    3. Conte a subida e a corrida nas pernas do triângulo.
    4. Pegue a proporção de subida para correr para encontrar a inclinação.
  • Represente graficamente uma linha dada um ponto e a inclinação
    1. Trace o ponto dado.
    2. Use a fórmula de inclinação (m = frac { text {subida}} { text {corrida}} ) para identificar a subida e a corrida.
    3. Começando no ponto determinado, conte a subida e corra para marcar o segundo ponto.
    4. Conecte os pontos com uma linha.
  • Inclinação de uma linha horizontal
    • A inclinação de uma linha horizontal, y = b, é 0.
  • Inclinação de uma linha vertical
    • A inclinação de uma linha vertical, x = a, é indefinida

11.4 Compreender a inclinação de uma linha

Como estivemos fazendo gráficos de equações lineares, vimos que algumas linhas se inclinam para cima conforme vão da esquerda para a direita e algumas linhas se inclinam para baixo. Algumas linhas são muito íngremes e algumas linhas são mais planas. O que determina se uma linha se inclina para cima ou para baixo e se sua inclinação é íngreme ou plana?

A inclinação da inclinação de uma linha é chamada de inclinação da linha. O conceito de inclinação tem muitas aplicações no mundo real. A inclinação de um telhado e a inclinação de uma rodovia ou rampa para cadeiras de rodas são apenas alguns exemplos em que você literalmente vê declives. E quando você anda de bicicleta, você sente a inclinação conforme você bombeia morro acima ou desce a costa.

Use Geoboards para modelar declive

Nesta seção, exploraremos os conceitos de inclinação.

O uso de elásticos em um geoboard fornece uma maneira concreta de modelar linhas em uma grade de coordenadas. Ao esticar um elástico entre duas estacas em um geoboard, podemos descobrir como encontrar a inclinação de uma linha. E quando você anda de bicicleta, você sentir a inclinação conforme você bombeia colina acima ou desce.

Matemática Manipulativa

Começaremos esticando um elástico entre dois pinos para fazer uma linha, conforme mostrado na Figura 11.17.

Agora esticamos uma parte do elástico diretamente para cima a partir da cavilha esquerda e em torno de uma terceira cavilha para fazer os lados de um triângulo retângulo, conforme mostrado na Figura 11.18. Fazemos cuidadosamente um ângulo de 90 ° 90 ° em torno da terceira cavilha, de modo que um lado fique vertical e o outro horizontal.

Para encontrar a inclinação da linha, medimos a distância ao longo das pernas vertical e horizontal do triângulo. A distância vertical é chamada de elevação e a distância horizontal é chamada de corre , conforme mostrado na Figura 11.19.

Para ajudar a lembrar os termos, pode ajudar pensar nas imagens mostradas na Figura 11.20.

Qual é a corrida? Certifique-se de contar os espaços entre os pinos em vez dos próprios pinos! O elástico passa por 3 3 espaços na perna horizontal, então a corrida é 3 3 unidades.

A inclinação de uma linha é a razão entre a elevação e a corrida. Portanto, a inclinação da nossa linha é 2 3. 2 3. Em matemática, a inclinação é sempre representada pela letra m. m.

Inclinação de uma linha

A inclinação de uma linha é m = curso de subida. m = corrida de subida.

O aumento mede a mudança vertical e a corrida mede a mudança horizontal.

Qual é a inclinação da linha no geoboard na Figura 11.21?

Quando trabalhamos com geoboards, é uma boa ideia adquirir o hábito de começar em uma estaca à esquerda e conectar a uma estaca à direita. Em seguida, esticamos o elástico para formar um triângulo retângulo.

Se começarmos subindo, a subida será positiva, e se formos para baixo, a subida será negativa. Contaremos a corrida da esquerda para a direita, assim como você leu este parágrafo, então a corrida será positiva.

Uma vez que a fórmula da inclinação foi aumentada sobre a corrida, pode ser mais fácil contar sempre a elevação primeiro e depois a corrida.

Exemplo 11.30

Qual é a inclinação da linha no geoboard mostrado?

Solução

Use a definição de declive.

Comece na estaca esquerda e faça um triângulo retângulo esticando o elástico para cima e para a direita para alcançar a segunda estaca.

Conte a subida e a corrida conforme mostrado.

O aumento é de 3 unidades. m = 3 corrida A corrida é de 4 unidades. m = 3 4 A inclinação é 3 4. O aumento é de 3 unidades. m = 3 corrida A corrida é de 4 unidades. m = 3 4 A inclinação é 3 4.


Vídeo: Abordagem geométrica para programação linear

Ao assistir a este vídeo, você verá linhas de iso-lucro com diferentes inclinações, varrendo a região viável, começando na origem e indo o mais longe possível antes de deixar a região viável. Quanto mais longe a linha se move da origem, maior se torna o lucro.

Assista ao vídeo e preste muita atenção onde ocorre o valor máximo da função objetivo e a inclinação das bordas da região viável.

Aqui estão alguns pontos que você deve tirar do vídeo. Eles são narrados no vídeo, mas você pode não conseguir ouvi-los.

  • O valor da função objetivo aumenta à medida que a linha de iso-lucro se move através da região viável.
  • O último ponto de canto atingido antes de sair da região viável é onde ocorre o valor máximo.
  • A inclinação da linha de iso-lucro determina qual ponto de canto será o último a ser alcançado.
  • Um caso especial é quando a inclinação da função objetivo é igual à inclinação de um dos limites da região viável. Nesse caso, essa borda da região viável será a solução máxima.

Como você escreve uma equação de uma reta dado ponto (3,7) e inclinação 2/7?

# "a equação de uma linha na forma" cor (azul) "declive-interceptação" # é.

# • cor (branco) (x) y = mx + b #

# "onde m é a inclinação eb a interceptação y" #

# "aqui" m = 2/7 #

# rArry = 2 / 7x + blarrcolor (azul) "é a equação parcial" #

# "para encontrar o substituto de b" (3,7) "na equação parcial" #

# 7 = 6/7 + brArrb = 49 / 7-6 / 7 = 43/7 #

# rArry = 2 / 7x + 43 / 7larrcolor (vermelho) "equação da linha" #

#y = (2x) / 7 + 43/7 # (forma: y = mx + c)

# 2x - 7y + 43 = 0 # (forma: ax + by + c = 0)

Ambas as respostas são aceitáveis. Seu professor pode preferir uma determinada forma.

Explicação:

Pela forma de inclinação de ponto, (que, a propósito, é um método de calcular a equação de uma linha dada sua inclinação e um ponto sobre ela):

# (y - y_1) = m (x - x_1) # onde # m # é a inclinação e # (x_1, y_1) # são as coordenadas do ponto dado.
# (y - 7) = 2/7 (x- 3) #
# (y - 7) = (2x) / 7 - 6/7 #
# y = (2x) / 7 + 43/7 #


COMO ENCONTRAR A INCLINAÇÃO DE UMA LINHA DE TANGENTE EM UM PONTO

Podemos obter a inclinação da tangente encontrando a primeira derivada da equação da curva & # xa0.

Se y & # xa0 = & # xa0 f (x) é a equação da curva, então f '(x) será sua inclinação.

Então, a inclinação da tangente é & # xa0

Vejamos alguns exemplos para entender o conceito acima.

Encontre a equação da inclinação da tangente à parábola y 2 = 12x no ponto (3, 6)

A equação da curva dada é & # xa0 y 2 & # xa0 = 12x

Inclinação da tangente em (3, 6) é

Portanto, a inclinação da linha tangente no ponto dado é 1.

Encontre a equação da tangente à parábola & # xa0 x 2 + x - 2y + 2 = 0 em (1, 2)

Equação da curva dada x 2 & # xa0 + x - 2y + 2 = 0

Portanto, a inclinação da tangente no ponto dado (1, 2) é 3/2.

Encontre a equação da tangente à hipérbole 9x 2 - 5y 2 = 31 & # xa0 em (2, -1)

A equação da curva dada é 9x 2 - 5y 2 & # xa0 = 31 & # xa0

Inclinação da tangente no ponto (2, -1)

Portanto, a inclinação da tangente no ponto dado é -18/5.

Além do material fornecido acima, se você precisar de qualquer outro material em matemática, use nossa pesquisa personalizada do Google aqui.

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Função SLOPE no Excel

A função SLOPE no Excel é categorizada como funções estatísticas no Excel. Em termos matemáticos, o SLOPE retorna a inclinação de uma linha entre determinados pontos de dados em valores y conhecidos e valores x & # 8217s conhecidos. A inclinação de uma linha de regressão linear é a distância vertical / a distância horizontal entre qualquer um dos dois pontos nesta linha.

Fórmula SLOPE no Excel

SLOPE tem dois parâmetros obrigatórios, ou seja, know_y’s e conhecidos_xs.

Parâmetro obrigatório:

  • know_y’s: é uma matriz de valores y conhecidos.
  • know_x’s: é uma matriz de valores x conhecidos

Aqui, o comprimento da matriz de dados known_x & # 8217s deve ter o mesmo comprimento da matriz de dados known_y & # 8217s e o valor da variação dos valores conhecidos de x & # 8217s não deve ser 0.

A equação SLOPE para descobrir a inclinação da linha de regressão linear é a seguinte:

Onde e são as médias da amostra e calculadas pela média (valores x) e média (valores y).

Como usar a função SLOPE no Excel?

É muito simples e fácil de usar. Vamos entender o funcionamento da função SLOPE em alguns exemplos. Ele pode ser usado como uma função de planilha e como uma função VBA.

Exemplo 1

No primeiro exemplo, temos dois conjuntos de dados com os valores de y e valores de x conhecidos.

Agora calcule a inclinação a partir desses dados = SLOPE (A3: A22, B3: B22) e a saída será 2,7, conforme mostrado na tabela abaixo.

O resultado será:

Exemplo # 2

No segundo exemplo, temos dados mensais de valor de y conhecido e valor de x conhecido.

Portanto, aqui podemos aplicar a fórmula SLOPE no excel como usamos no primeiro exemplo = SLOPE (E3: E22, F3: F22)

E a saída será 0,11, conforme mostrado na tabela abaixo.

SLOPE no Excel VBA

Suponha que temos os valores de X localizados na planilha do excel de A1 a A10 e os valores de Y localizados na planilha do Excel fornecida de B1 a B10, então podemos calcular o SLOPE aqui usando as funções VBA abaixo

Sub SLOPEcal () // inicia o escopo da função de inclinação

Dim x, y como intervalo // declara o intervalo x e y

set x = Range(“A10:A10”) //set known x’s values to range x.
set y = Range(“B10:B10”)//set known y’s values to range y.
slope = Application.WorksheetFunction.Slope(y, x) set

MsgBox slope // print the slope value in message box.

End sub // End the slope function

Things to Remember

  • SLOPE function through the #N/A! Error when the given array of known_x’s and array of known_y’s are of different lengths.

SLOPE Formula =SLOPE(A3:A12,B3:B15)

  • SLOPE function through the #DIV/0! error when:
    • The variance of the given known_x’s evaluates to zero or
    • Any of the given arrays (known_x’s or known_y’s) are empty.

    • In the SLOPE function, if an array or reference argument contains text, logical values, or empty cells, the values are ignored however, cells with the value zero are included.

    • In the SLOPE function, the parameters must be numbers or names, arrays, or references that contain numbers.

    SLOPE Function in Excel Video

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    This has been a guide to SLOPE Function in Excel. Here we discuss the SLOPE Formula in excel and how to use the SLOPE function along with excel example and downloadable excel templates. You may also look at these useful functions in excel –


    Exemplo

    Exemplo 1

    Compute the correlation coefficient for the following data:

    Use the following table to organize the information:

    The table of values for this example.
    N X Y XY X 2 Y 2
    1 &minus 5 6 &minus 30 25 36
    2 1 5 5 1 25
    3 3 &minus 1 &minus 3 9 1
    4 9 1 9 81 1
    Sum 8 11 &minus 19 116 63

    Substituting these values into the formula, we get:


    The point slope form can be calculated by using the above formula. You will be needing the slope of the line and coordinated for X and Y to find the point slope form. To calculate the slope of the line, you can also use our slope calculator. Follow the steps below to calculate the point slope intercept form.

    1. Identify the coordinates for both X e Y.
    2. Identify the slope of the line.
    3. Enter the values in the point slope formula to get the equation of point slope form.

    Exemplo:

    Step 1: Identify the coordinates. Here we have:

    Step 2: Identify the slope of line.

    Step 3: Place all values in the point slope form equation.


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    Write an equation of the line passing through the point (13,-40) and parallel to the line passing the points (1,3) and (7,13). Write your answer in slope-intercept form.

    Slope(algebra 1)

    i know that slope is rise over run, but how do i find the slope of a line with data points with a positive correlation that vary on the line? because there are points that the line doesn't go through. the data points represent

    i have more than one question so if u no any of the answers please tell me 1.) write the point-slope form of the equation of the line with slope -2 passing through the point ( -5, -9). 2.) write the point-slope form of an equation

    Stuck on this one: find the slope of the line passing through each pair of points or stat that the slope is undefined. assume that all variables represent positive real numbers. then indicate whether the line through the points


    2.7: Understanding the Slope of a Line

    Finding the Slope of a Line

    · Find the slope of a line from a graph.

    · Find the slope of a line given two points.

    · Find the slope of the lines x = uma e y = b.

    The idea of slope is something you encounter often in everyday life. Think about rolling a cart down a ramp or climbing a set of stairs. Both the ramp and the stairs have a slope. You can describe the slope, or steepness, of the ramp and stairs by considering horizontal and vertical movement along them. In conversation, you use words like “gradual” or “steep” to describe slope. Along a gradual slope, most of the movement is horizontal. Along a steep slope, the vertical movement is greater.

    The mathematical definition of declive is very similar to our everyday one. In math, slope is used to describe the steepness and direction of lines. By just looking at the graph of a line, you can learn some things about its slope, especially relative to other lines graphed on the same coordinate plane. Consider the graphs of the three lines shown below:

    First, let’s look at lines A and B. If you imagined these lines to be hills, you would say that line B is steeper than line A. Line B has a greater slope than line A.

    Next, notice that lines A and B slant up as you move from left to right. We say these two lines have a positive slope. Line C slants down from left to right. Line C has a negative slope. Using two of the points on the line, you can find the slope of the line by finding the rise and the run. The vertical change between two points is called the rise, and the horizontal change is called the corre. The slope equals the rise divided by the run: .

    Finding the Slope of a Line from a Graph

    You can determine the slope of a line from its graph by looking at the rise and run. One characteristic of a line is that its slope is constant all the way along it. So, you can choose any 2 points along the graph of the line to figure out the slope. Let’s look at an example.

    Use the graph to find the slope of the line.

    Start from a point on the line, such as (2, 1) and move vertically until in line with another point on the line, such as (6, 3). The rise is 2 units. It is positive as you moved up.

    Next, move horizontally to the point (6, 3). Count the number of units. The run is 4 units. It is positive as you moved to the right.

    This line will have a slope of no matter which two points you pick on the line. Try measuring the slope from the origin, (0, 0), to the point (6, 3). You will find that the rise = 3 and the run = 6. The slope is . It is the same!

    Let’s look at another example.

    Use the graph to find the slope of the two lines.

    Notice that both of these lines have positive slopes, so you expect your answers to be positive.

    Start with the blue line, going from point (-2, 1) to point (-1, 5). This line has a rise of 4 units up, so it is positive.

    Run is 1 unit to the right, so it is positive.

    Substitute the values for the rise and run in the formula Slope = .

    The red line, going from point (-1, -2) to point (3, -1) has a rise of 1 unit.

    The red line has a run of 4 units.

    Substitute the values for the rise and run into the formula Slope = .

    The slope of the blue line is 4 and the slope of the red line is .

    When you look at the two lines, you can see that the blue line is steeper than the red line. It makes sense the value of the slope of the blue line, 4, is greater than the value of the slope of the red line, . The greater the slope, the steeper the line.

    The next example shows a line with a negative slope.

    Find the slope of the line graphed below.

    Start at Point A, (0, 4) and rise − 3. This means moving 3 units in a negative direction.

    From there, run 2 units in a positive direction to Point B (2, 1).

    Direction is important when it comes to determining slope. It’s important to pay attention to whether you are moving up, down, left, or right that is, if you are moving in a positive or negative direction. If you go up to get to your second point, the rise is positive. If you go down to get to your second point, the rise is negative. If you go right to get to your second point, the run is positive. If you go left to get to your second point, the run is negative. In the example above, you could have found the slope by starting at point B, running − 2, and then rising +3 to arrive at point A. The result is still a slope of .

    Find the slope of the line graphed below.

    Start at (-3, -0.25) and rise 4.5 . This means moving 4.5 units in a positive direction.

    From there, run 6 units in a positive direction to (3, 4.25).

    The slope of the line is 0.75.

    The slope of a line can sometimes be quickly determined from its equation. Let’s consider the line whose equation is y = 5x. You can create a table of values to find 3 points on the line.

    Plotting these points, create the graph of the line and determine the slope.

    As you move from the point (-1, -5) to the point (2, 10), the line has a rise of 15 and a run of 3, so the slope of the line is . Notice that the number 5 also appears in the equation: y = 5x.

    Whenever the equation of a line is written in the form y = mx + b, it is called the slope-intercept form of the equation. O m is the slope of the line. E b é o b in the point that is the y-intercept (0, b).

    For example, for the equation y = 3x – 7, the slope is 3, and the y-intercept is (0, −7).

    What if the equation is written as 2y = 5x + 1? Then you must rewrite the equation in the form y = mx + b. Solve for y.

    y = d ivide both sides of the equation by 2.

    The slope is , and the y-intercept is (0, ).

    What is the slope of the line whose equation is y = −2x + 7?

    Incorreta. The slope for a line written in y = mx + b is given by the coefficient of x. The correct answer is −2.

    Incorreta. The slope for a line written in y = mx + b is given by the coefficient of x. The coefficient is −2. The correct answer is −2.

    Correct. The slope for a line written in y = mx + b is given by the coefficient of x. For this line the coefficient, or m, the slope, is −2.

    Incorreta. The slope for a line written in y = mx + b is given by the coefficient of x. The coefficient is −2. The correct answer is −2.

    Finding the Slope of a Line Given Two Points

    You’ve seen that you can find the slope of a line on a graph by measuring the rise and the run. You can also find the slope of a straight line without its graph if you know the coordinates of any two points on that line. Every point has a set of coordinates: an x-value and a y-value, written as an ordered pair (x, y) O x value tells you where a point is horizontally. O y value tells you where the point is vertically.

    Consider two points on a line—Point 1 and Point 2. Point 1 has coordinates (x1, y1) and Point 2 has coordinates (x2, y2).

    The rise is the vertical distance between the two points, which is the difference between their y-coordenadas. That makes the rise y2y1. The run between these two points is the difference in the x-coordinates, or x2x1.

    In the example below, you’ll see that the line has two points each indicated as an ordered pair. The point (0, 2) is indicated as Point 1, and (−2, 6) as Point 2. So you are going to move from Point 1 to Point 2. A triangle is drawn in above the line to help illustrate the rise and run.

    You can see from the graph that the rise going from Point 1 to Point 2 is 4, because you are moving 4 units in a positive direction (up). The run is −2, because you are then moving in a negative direction (left) 2 units. Using the slope formula, .

    You do not need the graph to find the slope. You can just use the coordinates, keeping careful track of which is Point 1 and which is Point 2. Let’s organize the information about the two points: