Artigos

5.3: Singularidade de uma perpendicular


Teorema ( PageIndex {1} )

Existe uma e apenas uma linha que passa por um determinado ponto (P ) e é perpendicular a uma determinada linha ( ell ).

De acordo com o teorema acima, existe um ponto único (Q in ell ) tal que ((QP) perp ell ). Este ponto (Q ) é chamado de ponto do pé de (P ) em ( ell ).

Prova

Se (P in ell ), então a existência e a singularidade seguem do Axioma III.

Existência para (P não in ell ). Sejam (A ) e (B ) dois pontos distintos de ( ell ). Escolha (P ') de forma que (AP' = AP ) e ( meauredangle BAP ' equiv - Measangle BAP ). De acordo com o Axioma IV, ( triangle AP'B cong triangle APB ). Em particular, (AP = AP ') e (BP = BP' ).

De acordo com o Teorema 5.2.1, (A ) e (B ) encontram-se na bissetriz perpendicular a ([PP '] ). Em particular, ((PP ') perp (AB) = ell ).

Exclusividade para (P não in ell ). De cima, podemos escolher um ponto (P ') de forma que ( ell ) forme a bissetriz perpendicular a ([PP'] ).

Suponha que (m perp ell ) e (P em m ). Então (m ) é uma bissetriz perpendicular a algum segmento ([QQ '] ) de ( ell ); em particular, (PQ = PQ ').

Como ( ell ) é a bissetriz perpendicular a ([PP '] ), obtemos que (PQ = P'Q ) e (PQ' = P'Q '). Portanto,

(P'Q = PQ = PQ '= P'Q' ).

Pelo Teorema 5.2.1, (P ') encontra-se na bissetriz perpendicular a ([QQ'] ), que é (m ). Pelo Axioma II, (m = (PP ') ).


No caso de C é o subespaço de V = R 5 < displaystyle V = mathbb ^ <5>> (com o produto escalar usual) estendido pelas linhas da próxima matriz,

seu complemento ortogonal C ⊥ é medido pelos três vetores-linha de

O fato de que cada vetor na primeira lista é ortogonal a cada vetor na segunda lista pode ser verificado por cálculo direto. O fato de que os spans desses vetores são ortogonais segue-se então pela bilinearidade do produto escalar. Finalmente, o fato de que esses espaços são complementos ortogonais decorre das relações de dimensão fornecidas a seguir.

A definição se estende a uma forma bilinear em um módulo livre sobre um anel comutativo, e a uma forma sesquilinear estendida para incluir qualquer módulo livre sobre um anel comutativo com conjugação. [1]

Editar propriedades

Editar propriedades

O complemento ortogonal é sempre fechado na topologia métrica. Em espaços de dimensão finita, isso é apenas uma instância do fato de que todos os subespaços de um espaço vetorial são fechados. Em espaços de Hilbert de dimensão infinita, alguns subespaços não são fechados, mas todos os complementos ortogonais são fechados. Se W < displaystyle W> é um subespaço vetorial de um espaço de produto interno, o complemento ortogonal do complemento ortogonal de W < displaystyle W> é o fechamento de W, < displaystyle W,> ou seja,

O complemento ortogonal generaliza ao aniquilador e fornece uma conexão de Galois em subconjuntos do espaço do produto interno, com o operador de fechamento associado ao fechamento topológico do vão.

Dimensões finitas Editar

Há um análogo natural dessa noção nos espaços de Banach gerais. Neste caso, define-se o complemento ortogonal de C ser um subespaço do dual de V definido de forma semelhante como o aniquilador

É sempre um subespaço fechado de V ∗. Também existe um análogo da propriedade do complemento duplo. C ⊥⊥ agora é um subespaço de V ∗∗ (que não é idêntico a V) No entanto, os espaços reflexivos têm um isomorfismo natural eu entre V e V ∗∗. Neste caso temos

Esta é uma consequência bastante direta do teorema de Hahn-Banach.

Na relatividade especial, o complemento ortogonal é usado para determinar o hiperplano simultâneo em um ponto de uma linha mundial. A forma bilinear η usada no espaço de Minkowski determina um espaço pseudo-euclidiano de eventos. A origem e todos os eventos no cone de luz são auto-ortogonais. Quando um evento de tempo e um evento de espaço são avaliados para zero na forma bilinear, eles são hiperbólico-ortogonais. Essa terminologia deriva do uso de duas hipérboles conjugadas no plano pseudo-euclidiano: os diâmetros conjugados dessas hipérboles são hiperbólico-ortogonais.


5.3: Singularidade de uma perpendicular

Solução do exercício 2.57.
O valor da obra de Euclides como uma obra-prima da lógica foi grosseiramente exagerado.
Bertrand Russell (1872-1970)


Exercício 2.57.Prove o Teorema 2.12. Dado uma linha e um ponto fora da linha, existe uma única linha perpendicular à linha dada através do ponto dado.

Prova. Deixe eu ser uma linha e P seja um ponto fora da linha eu. Deixar UMA e B ser dois pontos na linha l. Pelo Postulado de Construção do Ângulo, há um raio AQ com Q e P em lados opostos da linha eu e pelo postulado do governante, há um ponto R on-line AQ e do mesmo lado da linha eu Como Q de tal modo que AR = AP. Observe que P e R estão em lados opostos da linha eu. Portanto, pelo Postulado de Separação de Plano, há um ponto C on-line eu de modo que P-C-R. Um dos seguintes é verdadeiro: A-B-C, C = B, A-C-B, C = A, ou C-A-B.

Caso 1. Suponha A-B-C, C = B, ou A-C-B. Uma vez que e temos Conseqüentemente, Assim e são um par linear de ângulos congruentes, uma vez que P-C-R. Uma vez que um par linear de ângulos congruentes são ângulos retos, a linha PR é perpendicular à linha

Caso 2. Suponha C = A. Desde e PAR, e são um par linear de ângulos congruentes. Uma vez que um par linear de ângulos congruentes são ângulos retos, a linha PR é perpendicular à linha

Caso 3. Suponha TÁXI. Então e são um par linear. Além disso, e são um par linear. Portanto, pelo Postulado do Suplemento e pela definição dos ângulos suplementares e, portanto,

Uma vez que e temos Conseqüentemente, Assim e são um par linear de ângulos congruentes, uma vez que P-C-R. Uma vez que um par linear de ângulos congruentes são ângulos retos, a linha PR é perpendicular à linha

Todos os casos mostram que existe uma linha que atravessa P perpendicular à linha l. Precisamos mostrar que a linha é única. Suponha que haja duas linhas P que são perpendiculares à linha eu. Deixar UMA e B ser os pontos na linha eu onde as duas linhas perpendiculares se cruzam com a linha eu. Deixar C ser um ponto na linha l de tal modo que ABC. Então é um ângulo externo de. Pelo Teorema do Ângulo Exterior, Desde a linha PB e linha PA são perpendiculares à linha eu, e são ângulos retos. Portanto, mas, esta é uma contradição. Portanto, a linha que atravessa P que é perpendicular à linha eu é único.//


Existe um número infinito de vetores em 3 dimensões que são perpendiculares a um fixo. Eles só devem satisfazer a seguinte fórmula: $ (3 mathbf+4 mathbf-2 mathbf) cdot v = 0 $

Para encontrar todos eles, basta escolher 2 vetores perpendiculares, como $ v_1 = (4 mathbf-3 mathbf) $ e $ v_2 = (2 mathbf+3 mathbf) $ e qualquer combinação linear deles também é perpendicular ao vetor original: $ v = ((4a + 2b) mathbf-3a mathbf+ 3b mathbf) hspace <10 mm> a, b in mathbb$

Pegue o produto vetorial com qualquer vetor. Você obterá um desses vetores.

Um problema relacionado é construir um algoritmo que encontre um vetor perpendicular diferente de zero sem ramificação. Se o vetor de entrada for N = (a, b, c), então você pode sempre escolher T = (c, c, -a-b), mas T será zero se N = (- 1,1,0). Você sempre pode verificar se T é zero e, em seguida, escolher T = (-b-c, a, a) se for, mas isso requer um teste e um desvio. Não consigo ver como fazer isso sem o teste e o branch.

Você só precisa encontrar algum vetor $ v neq 0 $ tal que $ v cdot (3 mathbf+4 mathbf-2 mathbf) = 0$.

Não existe uma solução única, qualquer um servirá. Para economizar digitação, deixe $ p = 3 mathbf+4 mathbf-2 mathbf$.

Escolha um vetor $ x $, ou seja não na linha através da origem e $ p $. Pegue $ x = 3 mathbf$, por exemplo.

Construa um vetor perpendicular a $ p $ da seguinte maneira: Encontre um valor de $ t $ de forma que $ (x + t p) cdot p = 0 $. Então o vetor $ v = x + t p $ será perpendicular a $ p $.

No meu exemplo, $ (x + t p) = (3 + 3 t) mathbf+4 t mathbf-2t mathbf$ e $ (x + t p) cdot p = 9 + 29 t $. Ao escolher $ t = - frac <9> <29> $, o vetor $ v = x + t p $ agora é perpendicular a $ p $.

Uma solução sugerida sem um branch poderia ser: Construir uma matriz de 2 elementos vetoriais da seguinte maneira:

Se (c, c, -a-b) for zero, selectIndex será 1 e o outro vetor será selecionado.

Para qualquer vetor diferente de zero $ (a, b, c) $, os três de $ (0, c, -b), (- c, 0, a) $ e $ (- b, a, 0) $ são ortogonais a isto.

Para evitar o & quotparalelo & quot, você pode escolher aquele com o maior módulo quadrado, entre $ c ^ 2 + b ^ 2, c ^ 2 + a ^ 2 $ e $ b ^ 2 + a ^ 2 $, ou aquele com os dois maiores componentes absolutos ou simplesmente aquele com o maior componente absoluto. Escolher o maior também otimizará a estabilidade numérica.

O maior módulo ao quadrado também corresponde ao menor componente (absoluto).

Uma maneira de fazer isso é expressar o vetor em termos de um sistema de coordenadas esféricas. Por exemplo

Desde que $ a neq 0 $ ou $ b neq 0 $ então

Claro, qualquer combinação linear diferente de zero desses dois vetores também é ortogonal

$ boldsymbol = cos (t) boldsymbol_1 + sin (t) boldsymbol_2 $

onde $ t $ é um ângulo de rotação sobre o vetor $ boldsymbol$ .

Junte tudo isso para fazer uma família de vetores ortogonais em termos de $ t $ como

Para $ boldsymbol = pmatrix <3 & amp 4 & amp -2> $ o acima dá

$ boldsymbol = pmatrix < frac <6> <4> sin (t) -4 cos (t) 3 cos (t) - frac <8> <5> sin (t) 5 sin (t)> longrightarrow begin boldsymbol = pmatrix <-4 & amp 3 & amp 0> & amp t = 0 boldsymbol = pmatrix < frac <6> <5> & amp frac <8> <5> & amp 5> & amp t = frac < pi> <2> end $

Para o caso em que $ a = 0 $ e $ b = 0 $, então você sabe que pode atribuir a perpendicular um tanto arbitrariamente com

$ boldsymbol = cos (t) boldsymbol_1 + sin (t) boldsymbol_2$

Uma solução geométrica seria a seguinte. O plano $ 3x + 4y-2z = 0 $ é perpendicular ao vetor $ 3i + 4j − 2k $. Qualquer vetor nesse plano é, portanto, perpendicular a esse vetor. Assim, você pode escolher qualquer $ x $, $ y $ e $ z $ que esteja no plano $ 3x + 4y-2z = 0 $ e o $ xi + yj + zk $ resultante será perpendicular a $ 3i + 4j − 2k $,

Os vetores perpendiculares a $ (3,4, -2) $ formam um subespaço bidimensional, o plano $ 3x + 4y-2z = 0 $, através da origem.

Para obter soluções, escolha valores para quaisquer dois de $ x, y $ e $ z $ e, em seguida, use a equação para resolver o terceiro.

O espaço de soluções também pode ser descrito como $ V ^ < perp> $, onde $ V = <(3t, 4t, -2t): t in Bbb R > $ é a linha (ou vetor unidimensional espaço) medido por $ (3,4-2) $.

Resposta curta: o vetor $ (s_z , (z + s_z) - x ^ 2, -x y, -x , (z + s_z)) $ com $ s_z: = text(z) , | (x, y, z) | $ é ortogonal ao vetor $ (x, y, z) $.

Observe que assumimos que $ text(x) $ é definido como 1 $ para $ x ge 0 $ e como $ -1 $ caso contrário.

Seja $ (x, y, z) $ um vetor com norma s e z> -s, então a seguinte matriz é uma base ortogonal onde cada vetor de base tem a norma s:

Existem dois casos notáveis ​​se z = -s:

  1. O vetor é da forma $ (0,0, z) $ com z & lt 0 e podemos simplesmente invertê-lo antes de aplicar a fórmula acima. Conforme mostrado abaixo, isso pode ser explorado para obter uma implementação sem ramificação.
  2. O vetor é o vetor zero $ (0,0,0) $. "perpendicular" não faz muito sentido no caso do vetor nulo. Se você interpretar como "o produto escalar é zero", poderá simplesmente retornar o vetor zero.

Podemos lidar com esses dois problemas da seguinte maneira:

Vejamos o primeiro vetor: $ (s - frac, - frac, -x) $. A singularidade em $ (0,0, -1) $ pode ser evitada invertendo o vetor de entrada e, em seguida, invertendo o resultado que dá: $ (- s - frac, - frac, -x) $.

Seguindo esta ideia, podemos definir $ s_z: = text(z) , s $ e calcular um vetor de base ortogonal para algum vetor não nulo $ (x, y, z) $ como:

Isso leva a uma boa implementação C ++ sem branch para um vetor normalizado:

Verifique a implementação de copysign em sua plataforma para certificar-se de que copysign (1., 0.) retorna 1 e não 0.

Para um vetor arbitrário, não necessariamente normalizado, podemos usar um pequeno truque para obter um vetor ortogonal: escalamos o vetor pelo fator $ z + s_z $ para obter:

$ (s_z , (z + s_z) - x ^ 2, -x y, -x , (z + s_z)) $

Este vetor ainda é ortogonal ao vetor original $ (x, y, z) $, pois foi apenas dimensionado por um fator. Ele também tem norma zero se e somente se a norma do vetor original for 0.


Computando a inércia rotacional sem integração

Ao longo de nosso estudo de mecânica, nosso objetivo foi desenvolver ferramentas de atalho para nos ajudar a lidar com sistemas físicos de maneiras mais simples. Desenvolvemos a energia de trabalho para que pudéssemos resolver problemas que não prestam atenção à direção ou ao tempo, sem nos esforçarmos para cumprir as leis de Newton (como a velocidade em uma determinada altura em um loop-de-loop). Desenvolvemos o impulso-momento para que pudéssemos resolver mais facilmente problemas envolvendo sistemas nos quais as forças internas são complicadas (como colisões). Agora estamos desenvolvendo ferramentas relacionadas às rotações de corpos rígidos para que não tenhamos que rastrear os movimentos lineares de todas as partículas do sistema. Com essa mentalidade muito prática, não é surpreendente que os físicos tenham desenvolvido ferramentas para calcular a inércia rotacional que evita a feiura de sempre ter que realizar integrais. O primeiro atalho é simplesmente uma coleção de inércias rotacionais associadas a geometrias simétricas comuns, como hastes, discos e esferas. Nossa coleção é apresentada no final da seção. Existem duas ferramentas que podemos combinar com nossa coleção de inércias rotacionais que nos permitirão & quotbootstrap & quot nossa maneira de determinar muito mais.

Aditividade em torno de um eixo comum

Suponha que conheçamos as inércias rotacionais de dois objetos separados em torno de um eixo comum. Se esses dois objetos são fixados de modo que girem juntos rigidamente em torno desse eixo comum, a inércia rotacional do objeto combinado é simplesmente a soma de suas inércias rotacionais. Isso é evidente a partir da fórmula para a inércia rotacional: Cada objeto tem sua própria soma de (mx ^ 2 ) termos, e quando os objetos são combinados de forma que seus eixos (x ) sejam comuns, então a nova soma de (mx ^ 2 ) termos é simplesmente a combinação das duas somas individuais. Para resumir:

Use a propriedade aditiva da inércia rotacional e o resultado dado pela Equação 5.3.7 para encontrar a inércia rotacional de uma haste fina e uniforme de massa (M ) e comprimento (L ) em torno de seu centro de massa.

Podemos tratar uma haste girada em torno de um eixo através de seu centro como se fossem duas meias-hastes separadas com metade da massa e metade do comprimento, presas em suas extremidades. O eixo que passa pelo centro da haste passa pelas extremidades dessas duas meias-hastes, e sabemos a inércia rotacional de cada meia-haste. A propriedade de aditividade, então, nos dá a inércia rotacional de toda a haste em torno de seu centro:

Teorema do Eixo Paralelo

Como já vimos várias vezes, apenas mudar o eixo em torno do qual um objeto é girado resultará em uma inércia rotacional diferente. Suponha que calculemos a inércia rotacional de um objeto em torno de um eixo, então deslize esse eixo de forma paralela sobre o objeto e calculemos a nova inércia rotacional, então façamos isso repetidamente, registrando os novos valores a cada vez. Pode-se perguntar: & quotOnde está o eixo (paralelo ao original) para o qual a inércia rotacional é o o menor? & quot Existe alguma maneira de adivinhar onde isso pode estar e é único, ou pode haver vários lugares onde a inércia rotacional atinge um mínimo?

Para responder a esta pergunta, vamos olhar para um objeto unidimensional que se encontra ao longo do eixo (x ) e considerar sua inércia rotacional em torno do eixo (y ). Escrevendo-o como uma soma em vez de uma integral, é:

[I = m_1x_1 ^ 2 + m_2x_2 ^ 2 + dots ]

Agora vamos supor que decidimos mudar onde colocamos a origem, movendo-a uma distância (+ x ) ao longo do eixo (x ). Quando fazemos isso, a distância do eixo à massa (m_1 ) muda de (x_1 ) para (x_1-x ). Além disso, como o eixo original passou pela origem, este novo eixo não é mais o eixo (y ) & ndash agora cruza o eixo (x ) em (x ). A nova inércia rotacional é, portanto:

[I = m_1 esquerda (x_1-x direita) ^ 2 + m_2 esquerda (x_2-x direita) ^ 2 + pontos ]

Podemos considerar isso como uma função de (x ). Ou seja, esta fórmula fornece a inércia rotacional do objeto em torno do eixo localizado em (x ). Agora podemos responder à nossa pergunta sobre onde a inércia rotacional é mínima usando o cálculo. O valor de (x ) para o qual a função (I left (x right) ) é um mínimo satisfaz:

[0 = dfrac = -2m_1 esquerda (x_1-x direita) - 2m_2 esquerda (x_2-x direita) + pontos ]

Resolver para (x ) aqui fornece um resultado familiar:

A inércia rotacional de um objeto para todos os eixos paralelos entre si é mínima para o eixo que passa pelo centro de massa! Na verdade, isso não deveria ser muito surpreendente. A inércia rotacional de um objeto será minimizada em torno de um eixo que está o mais próximo possível do máximo possível da massa do objeto, e o centro de massa é a & quot localização média da massa & quot; portanto, faz sentido que isso seja & cotas perto do máximo possível da massa do objeto. & quot

Dada essa informação, podemos escrever a inércia rotacional de um objeto em torno de um eixo paralelo a um eixo que passa pelo centro de massa, um "ajuste" de valor positivo para a inércia rotacional em torno do centro de massa. Acontece (não provaremos aqui) que este ajuste é bastante simples & ndash é apenas a massa do objeto multiplicada pelo quadrado da distância de deslocamento entre o novo eixo e o eixo que passa pelo centro de massa. Isso é chamado de teorema do eixo paralelo :

onde (d ) é a distância que separa o novo eixo e o centro de massa.

Use o teorema do eixo paralelo e o resultado dado pela Equação 5.3.7 para encontrar a inércia rotacional de uma barra fina e uniforme de massa (M ) e comprimento (L ) em torno de seu centro de massa.

A distância que a extremidade da barra é separada do centro de massa da barra é (d = L / 2 ). Conectar isso ao teorema do eixo paralelo dá nossa resposta, que concorda com o que obtivemos no Exemplo 5.2.2:

[ EU_ = I_ + Md ^ 2 Rightarrow I_ = I_ - Md ^ 2 = frac <1> <3> ML ^ 2 - M left ( dfrac<2> right) ^ 2 = left ( frac <1> <3> - frac <1> <4> right) ML ^ 2 = boxed < frac <1> <12> ML ^ 2 > nonumber ]


Questões

Para as questões de 1 a 6, encontre a inclinação de qualquer linha que seria paralela a cada linha dada.

Para as questões 7 a 12, encontre a inclinação de qualquer linha que seria perpendicular a cada linha dada.

Para as questões 13 a 18, escreva a forma de declive-interceptação da equação de cada linha usando o ponto e a linha fornecidos.

  1. (1, 4) e paralelo a
  2. (5, 2) e perpendicular a
  3. (3, 4) e paralelo a
  4. (1, -1) e perpendicular a
  5. (2, 3) e paralelo a
  6. (-1, 3) e perpendicular a

Para as questões 19 a 24, escreva a forma geral da equação de cada linha usando o ponto e a linha fornecidos.

  1. (1, −5) e paralelo a
  2. (1, −2) e perpendicular a
  3. (5, 2) e paralelo a
  4. (1, 3) e perpendicular a
  5. (4, 2) e paralelo a
  6. (3, −5) e perpendicular a

Para as questões 25 a 36, ​​escreva a equação da linha horizontal ou vertical que passa por cada ponto.

  1. Linha horizontal através (4, −3)
  2. Linha vertical através de (−5, 2)
  3. Linha vertical através (-3,1)
  4. Linha horizontal através (−4, 0)
  5. Linha horizontal através de (−4, −1)
  6. Linha vertical através de (2, 3)
  7. Linha vertical através de (−2, −1)
  8. Linha horizontal através (−5, −4)
  9. Linha horizontal através (4, 3)
  10. Linha vertical através de (−3, −5)
  11. Linha vertical através de (5, 2)
  12. Linha horizontal através de (5, -1)

& lta href = & # 8221 / intermediatealgebraberg / back-matter / answer-key-3-6 / & # 8221 & gtAnswer Key 3.6


Resumo

O comportamento de alinhamento de cisalhamento foi examinado para CA esmética (SCA) fase de poliéster BB-5 (3-Me) de cadeia principal usando um acessório de cone e placa. Na região de temperatura esmética de 100 a 140 ° C, duas orientações distintas foram identificadas por difração de raios-X de grande ângulo. Em temperaturas inferiores a 130 ° C, as camadas esméticas se organizam com unidade normal perpendicular à direção de cisalhamento e paralela à direção do gradiente de velocidade (chamada orientação paralela). O cisalhamento em altas temperaturas perto da temperatura de isotropização leva à orientação de camadas esméticas com unidade normal perpendicular às direções do gradiente de fluxo e velocidade (orientação perpendicular). Nas temperaturas intermediárias, ambas as orientações coexistem. O perfil SR-SAXS da amostra orientada paralela medida com irradiação ao longo da direção de vorticidade inclui um pequeno pico com um espaçamento de cerca de 80 Å na direção do gradiente de velocidade que é paralelo ao eixo da cadeia. O espaçamento longo é aproximadamente 5 vezes maior do que o comprimento da unidade de repetição, ou seja, a espessura da camada esmética (16,4 Å), mostrando a existência de lamelas dobradas em cadeia. A orientação paralela é atribuída ao deslizamento mútuo das lamelas dobradas em cadeia. Já em temperaturas esméticas mais altas, o fluxo das moléculas dentro de uma camada esmética ocorre preferencialmente na lâmina mútua das lamelas, responsável pela orientação perpendicular.

Autor para correspondência: Tel + 81-3-5734-2834 Fax + 81-3-5734-2888 e-mail [email & # 160 protegido]


Conteúdo

Editar equações de Maxwell

Em geral, o campo de desmagnetização é uma função da posição H(r) É derivado das equações magnetostáticas para um corpo sem correntes elétricas. [2] Estas são as leis de Ampère

O campo magnético e a densidade de fluxo são relacionados por [5] [6]

O potencial magnético Editar

A solução geral da primeira equação pode ser expressa como o gradiente de um potencial escalar U (r) :

Dentro do corpo magnético, o potencial U em é determinado substituindo (3) e (4) em (2):

Fora do corpo, onde a magnetização é zero,

Na superfície do ímã, existem dois requisitos de continuidade: [5]

  • O componente de Hparalelo à superfície deve ser contínuo (sem salto de valor na superfície).
  • O componente de Bperpendicular à superfície deve ser contínua.

Isso leva às seguintes condições de contorno na superfície do ímã:

O potencial externo U Fora também deve ser regular no infinito: ambos | r U | e | r 2 U | deve ser limitado conforme r vai para o infinito. Isso garante que a energia magnética seja finita. [10] Suficientemente longe, o campo magnético se parece com o campo de um dipolo magnético com o mesmo momento do corpo finito.

Exclusividade do campo de desmagnetização Editar

Quaisquer dois potenciais que satisfaçam as equações (5), (6) e (7), junto com a regularidade no infinito, são idênticos. O campo desmagnetizador Hd é o gradiente deste potencial (equação 4).

Edição de energia

A energia do campo de desmagnetização é completamente determinada por uma integral sobre o volume V do ímã:

Suponha que haja dois ímãs com magnetizações M1 e M2 . A energia do primeiro ímã no campo de desmagnetização Hd (2) do segundo é

O teorema da reciprocidade afirma que [9]

Carga magnética e o princípio de evitação de pólo Editar

Formalmente, a solução das equações para o potencial é

Onde r′ É a variável a ser integrada sobre o volume do corpo na primeira integral e a superfície na segunda, e ∇ ′ é o gradiente em relação a essa variável. [9]

Qualitativamente, o negativo da divergência da magnetização - ∇ · M (chamado de poste de volume) é análogo a uma carga elétrica no corpo, enquanto n · M (chamado de pólo de superfície) é análogo a uma carga elétrica de superfície ligada. Embora as cargas magnéticas não existam, pode ser útil pensar nelas desta forma. Em particular, o arranjo de magnetização que reduz a energia magnética pode muitas vezes ser entendido em termos de princípio de evitação de pólo, que afirma que a magnetização tenta reduzir os pólos o máximo possível. [9]

Edição de domínio único

Uma maneira de remover os pólos magnéticos de um ferromagneto é uniformizar a magnetização. Isso ocorre em ferromagnetos de domínio único. Isso ainda deixa os pólos superficiais, então a divisão em domínios reduz ainda mais os pólos. No entanto, ferromagnetos muito pequenos são mantidos uniformemente magnetizados pela interação de troca.

A concentração dos pólos depende da direção da magnetização (veja a figura). Se a magnetização estiver ao longo do eixo mais longo, os pólos se espalharão por uma superfície menor, de modo que a energia será menor. Esta é uma forma de anisotropia magnética chamada anisotropia de forma.

Vários domínios Editar

Se o ferromagneto for grande o suficiente, sua magnetização pode se dividir em domínios. É então possível ter a magnetização paralela à superfície. Dentro de cada domínio, a magnetização é uniforme, portanto, não há pólos de volume, mas existem pólos de superfície nas interfaces (paredes de domínio) entre os domínios. No entanto, esses pólos desaparecem se os momentos magnéticos em cada lado da parede do domínio encontram a parede no mesmo ângulo (de modo que os componentes n · M são iguais, mas com sinais opostos). Os domínios configurados desta forma são chamados domínios de fechamento.

Um objeto magnético de formato arbitrário tem um campo magnético total que varia com a localização dentro do objeto e pode ser bastante difícil de calcular. Isso torna muito difícil determinar as propriedades magnéticas de um material, como, por exemplo, como a magnetização de um material varia com o campo magnético. Para uma esfera uniformemente magnetizada em um campo magnético uniforme H0 o campo magnético interno H é uniforme:

Onde M0 é a magnetização da esfera e γ é chamado de fator de desmagnetização e é igual a 4 π / 3 para uma esfera. [5] [6] [11]

Esta equação pode ser generalizada para incluir elipsóides com eixos principais nas direções x, y e z, de modo que cada componente tenha um relacionamento da forma: [6]

Outros exemplos importantes são uma placa infinita (um elipsóide com dois de seus eixos indo ao infinito) que tem γ = 4 π em uma direção normal à placa e zero em caso contrário e um cilindro infinito (um elipsóide com um de seus eixos tendendo para o infinito com os outros dois sendo iguais), que tem γ = 0 ao longo de seu eixo e 2 π perpendiculares a seu eixo. [12] Os fatores de desmagnetização são os principais valores do tensor de despolarização, que fornece os valores internos e externos dos campos induzidos em corpos elipsoidais por campos elétricos ou magnéticos aplicados. [13] [14] [15]


2. Teorema do Triângulo

2.1. Teorema do Triângulo 1 para 1 mesmo comprimento: ASA

Se e e. Observe 2 ângulos em 2 extremidades do lado igual do triângulo.

2.1.1. Prova

Há apenas 1 linha paralela a AB de E, da mesma forma, apenas 1 linha paralela a CA de F.

Portanto, esses 2 triângulos são congruentes devido à propriedade de exclusividade

2.2. Teorema do Triângulo 2 para 2 mesmo comprimento: SAS

Se e. Observe o ângulo formado por 2 lados iguais do triângulo.

2.2.1. Prova

Há apenas 1 linha de D a F para criar este triângulo.

Portanto, esses 2 triângulos são congruentes devido à propriedade de exclusividade

2.3. Teorema do Triângulo 3 para 3 mesmo comprimento: SSS

2.3.1. Prova

Desenhe um círculo em E com raio ED e outro em F com raio FD, eles cortam no único ponto D para criar um único ..


Geometria, Estilo de Núcleo Comum

Esta semana, estou voltando ao Capítulo 3 do texto da Universidade de Chicago, para retomar algumas das lições que pulamos. Mas, mesmo assim, não estou simplesmente fazendo a segunda metade do Capítulo 3 em ordem. Primeiro, ainda estou ignorando a Seção 3-4, pois quero salvar o Postulado dos Ângulos Correspondentes até estar pronto para mostrar o método de Hung-Hsi Wu para derivar essa propriedade - o que pretendo fazer em breve.

Oficialmente, estou fazendo a Seção 3-5 agora, mas, novamente, não realmente. Vamos considerar o conteúdo desta seção específica:

-- A definição de perpendicular já foi coberto. Mudei-o para a Seção 3-2 quando defini os ângulos retos, porque queria colocá-lo antes de pular para o Capítulo 4 sobre reflexos, uma vez que os reflexos são definidos em termos de perpendicular bissetriz.

- O Teorema da Perpendicular aos Paralelos é um caso interessante. Na semana passada, mencionei que existem certos teoremas interessantes e importantes que são derivados de Perpendicular a Paralelos - e estes incluem as propriedades das traduções, bem como alguns dos teoremas de simultaneidade. Eu disse que seria melhor apenas incluir isso como um postulado e usá-lo para provar esses outros teoremas. E conforme penso mais e mais sobre isso, gosto da ideia de incluir isso como um postulado, usá-lo para provar esses outros teoremas, bem como o postulado paralelo de Playfair e, finalmente, usar Playfair para provar as outras consequências paralelas seguindo o Dr. Franklin Mason.

Agora, como insinuei neste post, muito do que escrevo neste blog é derivado de matemáticos como Dr. M e Dr. Wu, que escreveram extensivamente sobre Geometria de Núcleo Comum. Mas meu plano de incluir Perpendicular a Parallels como um postulado parece ser original para mim. Eu pesquisei e ainda não vi nenhum texto ou site que deriva todos os resultados de linhas paralelas de um Postulado de Perpendicular a Paralelo. Então, novamente, o que estou fazendo aqui é, de certa forma, tão antigo quanto Euclides.

Vejamos o postulado paralelo da Playfair novamente:

Através de um ponto fora de uma linha, há no máximo uma linha paralela à linha dada.

Esta é uma tradução direta e fácil de entender de um Postulado Paralelo, e o Dr. M usa esse postulado para derivar suas Consequências Paralelas. Mas vamos dar uma olhada no Quinto Postulado de Euclides, conforme escrito no site de David Joyce:

Que, se uma linha reta caindo em duas linhas retas torna os ângulos internos do mesmo lado menores que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se produzidas indefinidamente, se encontram naquele lado em que os ângulos são menores que os dois ângulos retos.

Nenhum texto moderno de geometria expressaria seu postulado paralelo dessa maneira. Por um lado, embora o uso de graus para medir ângulos remonta aos antigos babilônios, Euclides nunca usa graus em seu Elementos. Portanto, a frase "menos de dois ângulos retos" é na verdade apenas a maneira de Euclides escrever "menos de 180 graus". De fato, na Seção 13-6, o texto da Universidade de Chicago expressa o Quinto Postulado de Euclides como:

Se duas linhas são cortadas por uma transversal e os ângulos internos do mesmo lado da transversal têm uma medida total inferior a 180, então as linhas se cruzam naquele lado da transversal.

Mas vamos voltar ao Teorema da Perpendicular aos Paralelos, conforme indicado na Seção 3-5:

Em um plano, se uma linha é perpendicular a uma das duas linhas paralelas, então ela é perpendicular à outra.

Agora conte o número de ângulos retos mencionados neste teorema. A transversal sendo perpendicular à primeira linha nos dá nosso primeiro ângulo reto, e a conclusão de que a transversal é perpendicular à segunda linha nos dá nosso segundo ângulo reto. Portanto, temos dois ângulos retos - exatamente como Euclides! Portanto, de certa forma, transformar o Teorema Perpendicular aos Paralelos em nosso Postulado Paralelo está tornando nosso postulado mais como o Quinto Postulado de Euclides, não menos.

Claro, se quiséssemos tornar nosso postulado ainda mais parecido com o de Euclides, poderíamos escrever:

Se um plano, se uma transversal é perpendicular a uma linha e forma um ângulo agudo (isto é, menos que a direita) com outra, então essas duas linhas se cruzam no mesmo lado da transversal que o ângulo agudo.

Mas isso nos levaria a muitas provas indiretas, que desejo evitar. Portanto, nosso Postulado de Perpendicular a Paralelo é o mais próximo que podemos chegar de Euclides sem confundir os alunos com provas indiretas.

Então é exatamente isso que pretendo fazer. Já que estamos na Seção 3-5, a seção que tem Perpendicular aos Paralelos fornecida, eu poderia incluí-la aqui - não precisamos nos preocupar em como prová-la, já que quero torná-la um postulado. Mas eu já disse que quero esperar até o Capítulo 5 antes de incluir qualquer tipo de Postulado Paralelo. E assim o novo postulado será dado naquele capítulo.

- O teorema das linhas perpendiculares e inclinações também deve esperar. A geometria de núcleo comum oferece uma maneira interessante de provar esse teorema, mas a prova depende de triângulos semelhantes, que não pretendo cobrir até o segundo semestre.

So that leaves us with only one result to be covered in 3-5: the Two Perpendiculars Theorem:

If two coplanar lines eu e m are each perpendicular to the same line, then they are perpendicular to each other.

This theorem doesn't require any Parallel Postulate to prove. Indeed, even though I just wrote that I don't want to use indirect proof, in some ways this theorem is just begging for an indirect proof:

Indirect Proof:
Assume that lines eu e m are both perpendicular to line n, yet aren't parallel. Then the lines must intersect (as they can't be skew, since we said "coplanar") at some point P. Então eu e m are two lines passing through point P perpendicular to n. But the Uniqueness of Perpendiculars Theorem (stated on this about two weeks ago) states that there is only 1 line passing through point P perpendicular to n, a blatant contradiction. Portanto eu e m must be parallel. QED

But this would be a very light lesson indeed if all I included is this one theorem. Because of this, I decided to include a theorem that I mentioned back in July -- the Line Parallel to Mirror Theorem (companion to the Line Perpendicular to Mirror Theorem mentioned a few weeks ago):

Line Parallel to Mirror Theorem:
If a line eu is reflected over a parallel line m, então eu is parallel to its image l'.

As I mentioned in July, I proved this theorem in the same way that Wu proves for a similar theorem involving 180-degree rotations. In some ways, both are special cases of the following theorem:

Lemma:
Suponha T is a transformation with the following properties:
-- The image of a line is a line.
-- Through every point P in the plane, there exists a line eu passing through P de tal modo que eu is invariant with respect to T -- that is, T maps eu to itself.
Then any line that doesn't contain a fixed point of T must be parallel to its image.

Notice that there are three confusing concepts in this theorem -- fixed point, invariant line, and reflection-symmetric figure. On the surface, all three mean the same thing: image of the point, line, or figure is itself. But there is a key difference -- an invariant line simply means that the image of any point on the line is also somewhere on the line -- but it need not be that point itself. In other words, not every point on an invariant line is a fixed point. Similarly, not every point on a symmetric figure needs to be a fixed point, nor every line on a symmetric figure an invariant line.

Now all Common Core transformations satisfy the first property -- that the image of a line is itself some line. (Forget about that Geogebra "circle reflection" where the image of a line can be a circle, since that's not a Common Core transformation.) As it turns out, there are five types of Common Core transformations that satisfy the second property:

-- Any reflection
-- Any translation
-- Any glide reflection
-- Any dilation
-- A rotation of 180 degrees

So notice that the only Common Core transformations not satisfying the second property are rotations of angles other than 180 degrees.

Here is a proof of the lemma. (By the way, "lemma" means a short theorem that is mainly used to prove another theorem.) Let eu be the original line and l' its image, and let P be any point on eu. Desde eu doesn't contain any fixed points, the image of P can't be P itself -- so instead, it must be some point distinct from P, which we'll call P'. So of course P' lies on l'. Now the point P lies on some invariant line eu -- and by invariant, we mean that P' lies on it. Now through the two points P e P', there is exactly one line, and that line is eu, not eu. Desde P lies on eu, it means that P' can't lie on eu. But this is true for every point P em eu. For every point P em eu, P' is not on eu. Então eu can't intersect its image l', since every point on eu fails to have an image on eu. Em outras palavras, eu and its image l' are parallel. QED

And so to prove the Line Parallel to Mirror Theorem, it suffices to show that any reflection satisfies the hypotheses of the lemma. We know that the reflection image of a line is a line (part of the Reflection Postulate), and we know that through any point P not on the mirror m, there is a line through P perpendicular to m (Uniqueness of Perpendiculars Theorem) -- which matters because the lines perpendicular to the mirror are invariant lines (Line Perpendicular to Mirror Theorem). So the hypotheses of the lemma are satisfied. Any line parallel to the mirror is parallel to its image. QED

This is a valid proof, but it's inappropriate for a high school geometry class. Providing a lemma that works for a wide variety of transformations and then showing that reflections are the correct type of transformation requires a level of abstraction that we don't expect high school students to have. So instead, we must prove the theorem for each of the types of transformations. But doing it in the case of reflections will prepare the students for the proof from Wu, who does it with 180-degree rotations.

But now we ask, is this a good time to provide the Line Parallel to Mirror Theorem? It makes sense that I'm giving it before the Wu proofs, but does it make sense to put it in the same lesson as the Two Perpendiculars Theorem -- especially since neither theorem is used to prove the other? In some ways, these two theorems do have something in common. These two theorems are our first Parallel Tests -- that is, they are used to prove that lines are parallel. They are both of the form "if two lines have some property (such as each being perpendicular to a third line, or one line being the mirror image of another over a parallel third line), then the lines are parallel."

For these proofs, I use the U of Chicago definition of parallel -- that is, two coplanar lines are parallel if and only if they have no points in common, or they are identical. As I mentioned in July, this U of Chicago definition of parallel allows me to avoid indirect proofs. Notice that the following definitions of parallel are equivalent to "Two lines have no points in common or are identical":

-- If two lines have one point in common, then they have every point in common.
-- If two lines have one point not in common, then they have no point in common.

These last two are written in if-then form, and so are convenient to write as the hypothesis (or Given) and conclusion parts of a two-column proof. The first is used in our proof of the Two Perpendiculars Theorem -- we show that if two lines k e eu, both perpendicular to line m, have one point P in common, then they have every point in common. The second is used in our proof of the Line Parallel to Mirror Theorem -- if there is a point P that lies on eu but not on m, then the two lines have no point in common.

These proofs will still likely confuse students. So I begin with a reminder of what it means for two lines to be parallel, using our inclusive definition. Usually, I try to include the Questions from the U of Chicago text, but I changed Lesson 3-5 so radically that I could only include a few of them.


Assista o vídeo: GEOMETRIA: Linhas paralelas e linhas perpendiculares (Outubro 2021).