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6.3: Adicionando e Subtraindo Polinômios - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Adicione polinômios.
  • Subtraia polinômios.
  • Adicionar e subtrair funções polinomiais

Adicionando Polinômios

Lembre-se de que combinamos termos semelhantes, ou termos com a mesma parte variável, como um meio de simplificar as expressões. Para fazer isso, adicione os coeficientes dos termos para obter um único termo com a mesma parte variável. Por exemplo,

[5x ^ {2} + 8x ^ {2} = 13x ^ {2} ]

Observe que a parte variável, (x ^ {2} ), não muda. Isso, além das propriedades comutativas e associativas de adição, nos permite adicionar polinômios.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Adicionar:

(3x + (4x − 5) ).

Solução:

A propriedade (+ (a + b) = a + b ), que foi derivada usando a propriedade distributiva, nos permite remover os parênteses para que possamos adicionar termos semelhantes.

Responder:

(7x-5 )

Exemplo ( PageIndex {2} )

Adicionar:

((3x ^ {2} + 3x + 5) + (2x ^ {2} −x − 2) ).

Solução:

Remova os parênteses e combine os termos semelhantes.

Responder:

(5x ^ {2} + 2x + 3 )

Exemplo ( PageIndex {3} )

Adicionar:

((- 5x ^ {2} y − 2xy ^ {2} + 7xy) + (4x ^ {2} y + 7xy ^ {2} −3xy) ).

Solução:

Lembre-se de que as partes variáveis ​​devem ser exatamente as mesmas antes de podermos adicionar os coeficientes.

( begin {align} & (- 5x ^ {2} y − 2xy ^ {2} + 7xy) + (4x ^ {2} y + 7xy ^ {2} −3xy) & = color {Cerulean } { underline {-5x ^ {2} y}} color {black} {-} color {OliveGreen} { underline { underline {2xy ^ {2}}}} color {black} {+ underline { underline { underline {7xy}}} +} color {Cerulean} { underline {4x ^ {2} y}} color {black} {+} color {OliveGreen} { underline { underline {7xy ^ {2}}}} color {black} {- underline { underline { underline {3xy}}}} & = - x ^ {2} y + 5xy ^ {2} + 4xy fim {alinhado} )

Responder:

(- x ^ {2} y + 5xy ^ {2} + 4xy )

É prática comum apresentar os termos da expressão polinomial simplificada em ordem decrescente com base em seu grau. Em outras palavras, normalmente apresentamos polinômios na forma padrão, com termos em ordem do grau mais alto para o mais baixo.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Adicionar:

((a − 4a ^ {3} + a ^ {5} −8) + (- 9a ^ {5} + a ^ {4} −7a + 5 + a ^ {3}) ).

Solução:

Responder:

(- 8a ^ {5} + a ^ {4} -3a ^ {3} -6a-3 )

Exercício ( PageIndex {1} )

Adicionar:

((6−5x ^ {3} + x ^ {2} −x) + (x ^ {2} + x + 6x ^ {3} −1) ).

Responder

(x ^ {3} + 2x ^ {2} +5 )

Subtraindo Polinômios

Ao subtrair polinômios, vemos que os parênteses se tornam muito importantes. Lembre-se de que a propriedade distributiva nos permitiu derivar o seguinte:

[- (a + b) = - a-b ]

Em outras palavras, ao subtrair uma expressão algébrica, removemos os parênteses subtraindo cada termo.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Subtrair:

(10x− (3x + 5) ).

Solução:

Subtraia cada termo entre parênteses e, a seguir, combine os termos semelhantes.

Responder:

(7x-5 )

Subtrair uma quantidade é equivalente a multiplicá-la por (- 1 ).

Exemplo ( PageIndex {6} )

Subtrair:

((3x ^ {2} + 3x + 5) - (2x ^ {2} −x − 2) ).

Solução:

Distribua o (- 1 ), remova os parênteses e, a seguir, combine os termos semelhantes.

Responder:

(x ^ {2} + 4x + 7 )

Multiplicar os termos de um polinômio por (- 1 ) muda todos os sinais.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Subtrair:

((- 5x ^ {3} −2x ^ {2} +7) - (4x ^ {3} + 7x ^ {2} −3x + 2) ).

Solução:

Distribua o (- 1 ), remova os parênteses e, a seguir, combine os termos semelhantes.

Responder:

(- 9x ^ {3} -9x ^ {2} + 3x + 5 )

Exemplo ( PageIndex {8} )

Subtraia (6x ^ {2} −3x − 1 ) de (2x ^ {2} + 5x − 2 ).

Solução

Visto que a subtração não é comutativa, devemos ter o cuidado de definir a diferença corretamente. Primeiro, escreva a quantidade ((2x ^ {2} + 5x − 2) ); disto, subtraia a quantidade ((6x ^ {2} −3x − 1) ).

Responder:

(- 4x ^ {2} + 8x-1 )

Exemplo ( PageIndex {9} )

Simplificar:

((2x ^ {2} −3x + 5) - (x ^ {2} −3x + 1) + (5x ^ {2} −4x − 8) ).

Solução:

Aplique a propriedade distributiva, remova os parênteses e combine os termos semelhantes.

Responder:

(6x ^ {2} -4x-4 )

Exercício ( PageIndex {2} )

Subtrair:

((8x ^ {2} y − 5xy ^ {2} +6) - (x ^ {2} y + 2xy ^ {2} −1) ).

Responder

(7x ^ {2} y-7xy ^ {2} +7 )

Adicionando e subtraindo funções polinomiais

Usamos notação de função para indicar adição e subtração de funções da seguinte forma:

Adição de funções: ((f + g) (x) = f (x) + g (x) )
Subtração de funções: ((f-g) (x) = f (x) -g (x) )
Tabela ( PageIndex {1} )

Ao usar a notação de função, tenha o cuidado de agrupar a função inteira e adicionar ou subtrair de acordo.

Exemplo ( PageIndex {10} )

Calcular:

((f + g) (x) ), dado (f (x) = - x ^ {2} −3x + 5 ) e (g (x) = 3x ^ {2} + 2x + 1 ).

Solução:

A notação ((f + g) (x) ) indica que você deve adicionar as funções (f (x) + g (x) ) e coletar termos semelhantes.

( begin {alinhados} f (x) + g (x) & = (- x ^ {2} -3x + 5) + (3x ^ {2} + 2x + 1) & = - x ^ { 2} -3x + 5 + 3x ^ {2} + 2x + 1 & = 2x ^ {2} -x + 6 end {alinhado} )

Responder:

((f + g) (x) = 2x ^ {2} -x + 6 )

Exemplo ( PageIndex {11} )

Calcular:

((f − g) (x) ), dado (f (x) = 2x − 3 ) e (g (x) = - 2x ^ {2} + 2x + 5 ).

Solução:

A notação ((f − g) (x) ) indica que você deve subtrair as funções (f (x) −g (x) ):

Responder:

((f-g) (x) = 2x ^ {2} -8 )

Podemos ser solicitados a avaliar a soma ou diferença de duas funções. Temos a opção de primeiro encontrar a soma ou diferença e usar a função resultante para avaliar a variável dada, ou primeiro avaliar cada função e depois encontrar a soma ou diferença.

Exemplo ( PageIndex {12} )

Calcular:

((f − g) (5) ), dado (f (x) = x ^ {2} + x − 7 ) e (g (x) = 4x + 10 ).

Solução:

Primeiro, encontre ((f − g) (x) = f (x) −g (x) ).

Portanto,

((f-g) (x) = x ^ {2} -3x-17 )

Em seguida, substitua (5 ) pela variável (x ).

Responder:

((f-g) (5) = - 7 )

Solução Alternativa:

Como ((f − g) (5) = f (5) −g (5) ), podemos encontrar (f (5) ) e (g (5) ) e então subtrair os resultados.

( begin {array} {c | c} {f (x) = x ^ {2} + x-7} & {g (x) = 4x + 10} {f ( color {OliveGreen} { 5} color {black} {) = (} color {OliveGreen} {5} color {black} {) ^ {2} + (} color {OliveGreen} {5} color {black} {) - 7}} & {g ( color {OliveGreen} {5} color {black} {) = 4 (} color {OliveGreen} {5} color {black} {) + 10}} {= 25 + 5-7} & {= 20 + 10} {= 23} & {= 30} end {array} )

Portanto, temos

Responder:

((f-g) (5) = - 7 )

Principais vantagens

  • Ao adicionar polinômios, remova os parênteses associados e, a seguir, combine os termos semelhantes.
  • Ao subtrair polinômios, distribua o (- 1 ) e subtraia todos os termos antes de remover os parênteses e combinar os termos semelhantes.
  • A notação ((f + g) (x) ) indica que você adiciona as funções.
  • A notação ((f − g) (x) ) indica que você subtrai as funções

Exercício ( PageIndex {3} ) Adição de polinômios

Adicionar.

  1. ((2x + 1) + (- x + 7) )
  2. ((- 6x + 5) + (3x − 1) )
  3. (( frac {2} {3} x + frac {1} {2}) + ( frac {1} {3} x − 2) )
  4. (( frac {1} {3} x− frac {3} {4}) + ( frac {5} {6} x + frac {1} {8}) )
  5. ((2x + 1) + (x − 3) + (5x − 2) )
  6. ((2x − 8) + (- 3x ^ {2} + 7x − 5) )
  7. ((x ^ {2} −3x + 7) + (3x ^ {2} −8x − 5) )
  8. ((- 5x ^ {2} −1 + x) + (- x + 7x ^ {2} −9) )
  9. (( frac {1} {2} x ^ {2} - frac {1} {3} x + frac {1} {6}) + (- frac {3} {2} x ^ {2 } + frac {2} {3} x − 1) )
  10. ((- frac {3} {5} x2 + frac {1} {4} x − 6) + (2x ^ {2} - frac {3} {8} x + frac {5} {2} ) )
  11. ((x ^ {2} +5) + (3x ^ {2} −2x + 1) + (x ^ {2} + x − 3) )
  12. ((a ^ {3} −a ^ {2} + a − 8) + (a ^ {3} + a ^ {2} + 6a − 2) )
  13. ((a ^ {3} −8) + (- 3a ^ {3} + 5a ^ {2} −2) )
  14. ((4a ^ {5} + 5a ^ {3} −a) + (3a ^ {4} −2a ^ {2} +7) )
  15. ((2x ^ {2} + 5x − 12) + (7x − 5) )
  16. ((3x + 5) + (x ^ {2} −x + 1) + (x ^ {3} + 2x ^ {2} −3x + 6) )
  17. ((6x ^ {5} −7x ^ {3} + x ^ {2} −15) + (x ^ {4} + 2x ^ {3} −6x + 12) )
  18. ((1 + 7x − 5x ^ {3} + 4x ^ {4}) + (- 3x ^ {3} + 5 − x ^ {2} + x) )
  19. ((x ^ {2} y ^ {2} −7xy + 7) + (4x ^ {2} y ^ {2} −3xy − 8) )
  20. ((x ^ {2} + xy − y ^ {2}) + (7x ^ {2} −5xy + 2y ^ {2}) )
  21. ((2x ^ {2} + 3xy − 7y ^ {2}) + (- 5x ^ {2} −3xy + 8y ^ {2}) )
  22. ((a ^ {2} b ^ {2} −100) + (2a ^ {2} b ^ {2} −3ab + 20) )
  23. ((ab ^ {2} −3a ^ {2} b + ab − 3) + (- 2a ^ {2} b + ab ^ {2} −7ab − 1) )
  24. ((10a ^ {2} b − 7ab + 8ab ^ {2}) + (6a ^ {2} b − ab + 5ab ^ {2}) )
  25. Encontre a soma de (2x + 8 ) e (7x − 1 ).
  26. Encontre a soma de (13x − 15 ) e (16x + 110 ).
  27. Encontre a soma de (x ^ {2} −10x + 8 ) e (5x ^ {2} −2x − 6 ).
  28. Encontre a soma de (a ^ {2} −5a + 10 ) e (- 9a ^ {2} + 7a − 11 ).
  29. Encontre a soma de (x ^ {2} y ^ {2} −xy + 6 ) e (x ^ {2} y ^ {2} + xy − 7 ).
  30. Encontre a soma de (x ^ {2} −9xy + 7y ^ {2} ) e (- 3x ^ {2} −3xy + 7y ^ {2} ).
Responder

1. (x + 8 )

3. (x− frac {3} {2} )

5. (8x − 4 )

7. (4x ^ {2} −11x + 2 )

9. (- x ^ {2} + frac {1} {3} x− frac {5} {6} )

11. (5x ^ {2} −x + 3 )

13. (- 2a ^ {3} + 5a ^ {2} −10 )

15. (2x ^ {2} + 12x − 17 )

17. (6x ^ {5} + x ^ {4} −5x ^ {3} + x ^ {2} −6x − 3 )

19. (5x ^ {2} y ^ {2} −10xy − 1 )

21. (- 3x ^ {2} + y ^ {2} )

23. (- 5a ^ {2} b + 2ab ^ {2} −6ab − 4 )

25. (9x + 7 )

27. (6x ^ {2} −12x + 2 )

29. (2x ^ {2} y ^ {2} −1 )

Exercício ( PageIndex {4} ) Subtração de polinômios

Subtrair.

  1. ((5x − 3) - (2x − 1) )
  2. ((- 4x + 1) - (7x + 10) )
  3. (( frac {1} {4} x− frac {3} {4}) - ( frac {3} {4} x + frac {1} {8}) )
  4. ((- frac {3} {5} x + frac {3} {7}) - ( frac {2} {5} x− frac {3} {2}) )
  5. ((x ^ {2} + 7x − 5) - (4x ^ {2} −5x + 1) )
  6. ((- 6x ^ {2} + 3x − 12) - (- 6x ^ {2} + 3x − 12) )
  7. ((- 3x ^ {3} + 4x − 8) - (- x ^ {2} + 4x + 10) )
  8. (( frac {1} {2} x ^ {2} + frac {1} {3} x− frac {3} {4}) - ( frac {3} {2} x ^ {2 } - frac {1} {6} x + frac {1} {2}) )
  9. (( frac {5} {9} x ^ {2} + frac {1} {5} x− frac {1} {3}) - ( frac {1} {3} x ^ {2 } + frac {3} {10} x + frac {5} {9}) )
  10. ((a ^ {3} −4a ^ {2} + 3a − 7) - (7a ^ {3} −2a ^ {2} −6a + 9) )
  11. ((3a ^ {3} + 5a ^ {2} −2) - (a ^ {3} −a + 8) )
  12. ((5x ^ {5} + 4x ^ {3} + x ^ {2} −6) - (4x ^ {4} −3x ^ {3} −x + 3) )
  13. ((3−5x − x ^ {3} + 5x ^ {4}) - (- 5x ^ {3} + 2 − x ^ {2} −7x) )
  14. ((x ^ {5} −6x ^ {3} + 9x) - (4x ^ {4} + 2x ^ {2} −5) )
  15. ((2x ^ {2} y ^ {2} −4xy + 9) - (3x ^ {2} y ^ {2} −3xy − 5) )
  16. ((x ^ {2} + xy − y ^ {2}) - (x ^ {2} + xy − y ^ {2}) )
  17. ((2x ^ {2} + 3xy − 7y ^ {2}) - (- 5x ^ {2} −3xy + 8y ^ {2}) )
  18. ((ab ^ {2} −3a ^ {2} b + ab − 3) - (- 2a ^ {2} b + ab ^ {2} −7ab − 1) )
  19. ((10a ^ {2} b − 7ab + 8ab ^ {2}) - (6a ^ {2} b − ab + 5ab ^ {2}) )
  20. ((10a ^ {2} b ^ {2} + 5ab − 6) - (5a ^ {2} b ^ {2} + 5ab − 6) )
  21. Subtraia (3x + 1 ) de (5x − 9 ).
  22. Subtraia (x ^ {2} −5x + 10 ) de (x ^ {2} + 5x − 5 ).
  23. Encontre a diferença de (3x − 7 ) e (8x + 6 ).
  24. Encontre a diferença de (2x ^ {2} + 3x − 5 ) e (x ^ {2} −9 ).
  25. O custo em dólares da produção de canecas personalizadas com o logotipo da empresa é dado pela fórmula (C = 150 + 0,10x ), onde (x ) é o número de xícaras produzidas. A receita da venda dos copos na loja da empresa é dada por (R = 10x − 0,05x ^ {2} ), onde (x ) é o número de unidades vendidas.
    1. Encontre uma fórmula para o lucro. (lucro = receita - custo)
    2. Descubra o lucro da produção e venda de 100 canecas na loja da empresa.
  26. O custo em dólares de produção de moletons é dado pela fórmula (C = 10q + 1200 ), onde (C ) é o custo e (q ) representa a quantidade produzida. A receita gerada pela venda de camisetas por $ (37 ) cada é dada por (R = 37q ), onde (q ) representa a quantidade vendida. Determine o lucro gerado se (125 ) camisetas forem produzidas e vendidas.
  27. O raio externo de uma arruela é (3 ) vezes o raio do furo.

    Figura ( PageIndex {2} )
    uma. Derive uma fórmula para a área da face da máquina de lavar.
    b. Qual é a área da arruela se o orifício tiver um diâmetro de (10 ​​) milímetros?
  28. Derive uma fórmula para a área de superfície do seguinte sólido retangular.

    Figura ( PageIndex {3} )
Responder

1. (3x − 2 )

3. (- frac {1} {2} x− frac {7} {8} )

5. (- 3x ^ {2} + 12x − 6 )

7. (- 3x ^ {3} + x ^ {2} −18 )

9. ( frac {2} {9} x ^ {2} - frac {1} {10} x− frac {8} {9} )

11. (2a ^ {3} + 5a ^ {2} + a − 10 )

13. (5x ^ {4} + 4x ^ {3} + x ^ {2} + 2x + 1 )

15. (- x ^ {2} y ^ {2} −xy + 14 )

17. (7x ^ {2} + 6xy − 15y ^ {2} )

19. (4a ^ {2} b + 3ab ^ {2} −6ab )

21. (2x − 10 )

23. (- 5x − 13 )

25. a. (P = −0,05x ^ {2} + 9,9x − 150 ); b. $ (340 )

27. (A = 8πr ^ {2} ); b. (628,32 ) milímetros quadrados

Exercício ( PageIndex {5} ) Adição e subtração de polinômio

Simplificar.

  1. ((2x + 3) - (5x − 8) + (x − 7) )
  2. ((3x − 5) - (7x − 11) - (5x + 2) )
  3. ((3x − 2) - (4x − 1) + (x + 7) )
  4. ((5x − 3) - (2x + 1) - (x − 1) )
  5. ((5x ^ {2} −3x + 2) - (x ^ {2} + x − 4) + (7x ^ {2} −2x − 6) )
  6. ((- 2x ^ {3} + x ^ {2} −8) - (3x ^ {2} + x − 6) - (2x − 1) )
  7. ((2x − 7) - (x ^ {2} + 3x − 7) + (6x − 1) )
  8. ((6x ^ {2} −10x + 13) + (4x ^ {2} −9) - (9 − x ^ {2}) )
  9. ((a ^ {2} −b ^ {2}) - (2a ^ {2} + 3ab − 4b ^ {2}) + (5ab − 1) )
  10. ((a ^ {2} −3ab + b ^ {2}) - (a ^ {2} + b ^ {2}) - (3ab − 5) )
  11. (( frac {1} {2} x ^ {2} - frac {3} {4} x + frac {1} {4}) - ( frac {3} {2} x− frac { 3} {4}) + ( frac {5} {4} x− frac {1} {2}) )
  12. (( frac {9} {5} x ^ {2} - frac {1} {3} x + 2) - ( frac {3} {10} x ^ {2} - frac {4} {5}) - (x + frac {5} {2}) )
Responder

1. (- 2x + 4 )

3. (6)

5. (11x ^ {2} −6x )

7. (- x ^ {2} + 5x − 1 )

9. (- a ^ {2} + 2ab + 3b ^ {2} −1 )

11. (12x ^ {2} −x + 12 )

Exercício ( PageIndex {6} ) Adição e subtração de funções polinomiais

Encontre ((f + g) (x) ) e ((f − g) (x) ), dadas as seguintes funções.

  1. (f (x) = 4x − 1 ) e (g (x) = - 3x + 1 )
  2. (f (x) = - x + 5 ) e (g (x) = 2x − 3 )
  3. (f (x) = 3x ^ {2} −5x + 7 ) e (g (x) = - 2x ^ {2} + 5x − 1 )
  4. (f (x) = x ^ {3} + 2x ^ {2} −6x + 2 ) e (g (x) = 2x ^ {3} + 2x ^ {2} −5x − 1 )
  5. (f (x) = frac {1} {2} x + frac {1} {3} ) e (g (x) = frac {1} {5} x ^ {2} - frac {3} {2} x + frac {1} {6} )
  6. (f (x) = x ^ {2} −5x + frac {1} {3} ) e (g (x) = frac {2} {3} x ^ {2} −x− frac {1} {2} )
Responder

1. ((f + g) (x) = x ) e ((f − g) (x) = 7x − 2 )

3. ((f + g) (x) = x ^ {2} +6 ) e ((f − g) (x) = 5x ^ {2} −10x + 8 )

5. ((f + g) (x) = frac {1} {5} x ^ {2} −x + frac {1} {2} ) e ((f − g) (x) = - frac {1} {5} x ^ {2} + 2x + frac {1} {6} )

Exercício ( PageIndex {7} ) Adição e subtração de funções polinomiais

Dado (f (x) = 2x − 3 ) e (g (x) = x ^ {2} + 3x − 1 ), encontre o seguinte.

  1. ((f + g) (x) )
  2. ((g + f) (x) )
  3. ((f − g) (x) )
  4. ((g − f) (x) )
  5. ((g + g) (x) )
  6. ((f + g) (3) )
  7. ((f + g) (- 2) )
  8. ((f + g) (0) )
  9. ((f − g) (0) )
  10. ((f − g) (- 2) )
  11. ((g − f) (- 2) )
  12. ((g − f) (12) )
Responder

1. ((f + g) (x) = x ^ {2} + 5x − 4 )

3. ((f − g) (x) = - x ^ {2} −x − 2 )

5. ((g + g) (x) = 2x ^ {2} + 6x − 2 )

7. ((f + g) (- 2) = - 10 )

9. ((f − g) (0) = - 2 )

11. ((g − f) (- 2) = 4 )

Exercício ( PageIndex {8} ) Adição e subtração de funções polinomiais

Dado (f (x) = 5x ^ {2} −3x + 2 ) e (g (x) = 2x ^ {2} + 6x − 4 ), encontre o seguinte.

  1. ((f + g) (x) )
  2. ((g + f) (x) )
  3. ((f − g) (x) )
  4. ((g − f) (x) )
  5. ((f + g) (- 2) )
  6. ((f − g) (- 2) )
  7. ((f + g) (0) )
  8. ((f − g) (0) )
Responder

1. ((f + g) (x) = 7x ^ {2} + 3x − 2 )

3. ((f − g) (x) = 3x ^ {2} −9x + 6 )

5. ((f + g) (- 2) = 20 )

7. ((f + g) (0) = - 2 )


Envolvendo os alunos: adicionando e subtraindo polinômios

Em minha aula fundamental para futuros professores de matemática do ensino médio, peço aos meus alunos que apresentem ideias para noivando seus alunos com diferentes tópicos do currículo de matemática do ensino médio. Em outras palavras, o objetivo da tarefa não era elaborar um plano de aula completo sobre esse tópico. Em vez disso, pedi a meus alunos que pensassem em três maneiras diferentes de fazer com que seus alunos se interessassem pelo tópico em primeiro lugar.

Pretendo compartilhar algumas das melhores dessas ideias neste blog (depois de pedir permissão aos meus alunos & # 8217, é claro).

Esta apresentação do aluno vem do meu ex-aluno Enrique Alegria. Seu tópico, da Álgebra: multiplicando polinômios.

Como este tópico pode ser usado nos cursos futuros de seus alunos em matemática e ciências?

Este tópico pode ser usado em cursos futuros dos alunos em matemática, simplificando as expressões de grau crescente. Em Álgebra II, os alunos devem simplificar polinômios em vários graus à medida que avançam para a multiplicação e divisão de polinômios. A partir daí, determinar os fatores de um polinômio de grau três e grau quatro. Os problemas do mundo real podem ser resolvidos por meio da simplificação de vários termos semelhantes. Cada termo representa uma parte específica do problema. Podemos até comparar a adição e subtração de polinômios à análise de tempo de execução em Ciência da Computação. Medir a mudança no grau e como isso afeta a saída. De certa forma, isso pode se traduzir no tempo de execução de um programa. Por exemplo, uma cadeia de comandos com um tempo constante é executada. Um loop é aninhado em outro loop colocado após as primeiras expressões. Isso mudou o tempo de execução geral do programa de tempo constante para quadrático devido ao grau dos loops aninhados. O tempo geral seria a adição das expressões e seus tempos correspondentes.

Como este tópico amplia o que seus alunos aprenderam em cursos anteriores?

Este tópico se estende desde o conceito inicial, "Combinação de termos semelhantes". Começando com a adição e subtração de itens de agrupamentos semelhantes, como 8 maçãs e 4 maçãs no total, são 12 maçãs. Trazendo os alunos para colocar valor, como adicionar 3 unidades e 2 unidades para adicionar números de vários dígitos. Em seguida, avançamos para a Álgebra, introduzindo expressões e equações. Aprender sobre equações lineares e quadráticas e representá-las graficamente. Os alunos devem ter aprendido sobre monômios em correspondência com coeficientes e expoentes. A partir daí, os alunos se familiarizam com os termos algébricos. Esses são os blocos de construção sobre os quais iremos expandir. Depois que os alunos se familiarizarem com vários termos em uma expressão, eles se concentrarão em adicionar ou subtrair termos semelhantes, concentrando-se no coeficiente, termo e expoentes nas variáveis. Pouco depois, os alunos podem continuar a ser desafiados usando termos como ou para se concentrar nos termos e confirmar se eles são "semelhantes" a serem combinados ou apenas notar o fato de que eles têm algumas variáveis ​​comuns com os mesmos expoentes, mas com um leve diferença diferente do coeficiente, a expressão não pode ser simplificada como se pode pensar.

Como a tecnologia (YouTube, Khan Academy [khanacademy.org], Vi Hart, Geômetro Sketchpad, calculadoras gráficas, etc.) pode ser usada para efetivamente envolver os alunos com este tópico?

Adicionar e subtrair polinômios pode ser atraente para os alunos com a ajuda do Brilliant. Este site começa ajudando os alunos a identificar polinômios e seus graus para ajudar os alunos a entender como descrevê-los. Em seguida, passando para a aritmética de polinômios realizando operações de adição e subtração nos números polinomiais. Essa fonte passa por polinômios por meio de exercícios desafiadores e perspicazes. Por exemplo, um quadrilátero de lados, como,,, e, a partir daí, simplificando a expressão. Os alunos seriam capazes de substituir valores e determinar se um quadrilátero específico foi feito. Posso fazer com que os alunos façam alguns exercícios em classe ou sozinhos e, em seguida, eles podem vir com um problema por conta própria que seria postado para o "público" (que seria apenas sua classe) para que os alunos ser capaz de interagir em sala de aula e crescer à medida que se desafiam. Os alunos podem aplicar este conceito criando uma grande expressão polinomial e, em seguida, simplificando-a e, por último, fazendo um gráfico da equação.


Classificação de polinômios

UMA polinomial é basicamente uma série de aglomerados matemáticos (chamados termos) todos somados. Cada aglomeração individual geralmente consiste em uma ou mais variáveis ​​elevadas a potências exponenciais, geralmente com um coeficiente anexado. Polinômios podem ser tão simples quanto a expressão 4x, ou tão complicado quanto a expressão 4x 3 + 3x 2 - 9x + 6.

Os polinômios são geralmente escritos na forma padrão, o que significa que os termos são listados em ordem do maior valor exponencial ao termo com o menor expoente. Como o termo que contém a variável elevada à maior potência é listado primeiro no formulário padrão, seu coeficiente é chamado de coeficiente de liderança. Um polinômio que não contém uma variável é chamado de constante.

Falar por falar

UMA polinomial consiste na soma de grupos algébricos distintos (chamados termos), cada um consistindo em um número, uma ou mais variáveis ​​elevadas a um expoente, ou ambos. O maior expoente no polinômio é chamado de grau, e o coeficiente da variável elevada a esse expoente é chamado de coeficiente de liderança. O constante em um polinômio não tem nenhuma variável escrita ao lado dele.

Por exemplo, se você fosse escrever o polinômio 2x 3 - 7x 5 + 8x + 1 no formato padrão, ficaria assim: -7x 5 + 2x 3 + 8x + 1. (Observe que a variável de cada termo tem uma potência menor do que o termo à sua esquerda imediata.) grau desse polinômio é 5, seu coeficiente líder é -7 e a constante é 1.

Tecnicamente, a constante em um polinômio faz tem uma variável anexada a ele, mas a variável é elevada à potência 0. Por exemplo, você pode reescrever o polinômio simples 2x + 1 como 2x + 1x 0, mas desde x 0 = 1 (e qualquer coisa multiplicada por 1 é igual a si mesma), não há razão para escrever x 0 no final do polinômio.

Porque existem tantos tipos diferentes de polinômios (52 sabores na última verificação, incluindo pistache), existem duas técnicas que são usadas para classificá-los, uma baseada no número de termos que um polinômio contém (consulte a Tabela 10.1) e outra baseada sobre o grau do polinômio (consulte a Tabela 10.2).

Tabela 10.1 Classificação de um polinômio com base no número de seus termos

Número de termosClassificaçãoExemplo
1monômio19x 2
2binômio3x 3 - 7x 2
3trinômio2x 2 + 5x - 1

Observe que existem apenas classificações especiais para polinômios de acordo com o número de seus termos, se esse número for três ou menos. Polinômios com quatro ou mais termos são classificados de acordo com o grau ou apenas descritos com o rótulo ultra-genérico (e não muito útil) de "polinômio". (É tão específico quanto rotulá-lo de "ser humano".)

Tabela 10.2 Classificação de um polinômio com base em seu grau

GrauClassificaçãoExemplo
0constante2x 0 ou 2
1linear6x 1 + 9 ou 6x + 9
2quadrático4x 2 - 25x + 6
3cúbicox 3 - 1
4quártico2x 4 - 3x 2 + x - 8
5quinto3x 5 - 7x 3 - 2

Ponto crítico

Se você for solicitado a classificar um polinômio como 3x 3 y 2 - 4xy 3 + 6x (que contém mais de um tipo de variável em alguns ou todos os seus termos) de acordo com seu grau, some os expoentes em cada termo. O maior total será o grau. Em 3x 3 y 2 - 4xy 3 + 6x, o grau é 5, uma vez que o maior expoente total vem do primeiro termo, e 3 + 2 = 5.

Existem mais classificações de grau para polinômios, mas aquelas listadas na Tabela 10.2 são de longe as mais comumente usadas.

Ao classificar um polinômio, você não precisa escolher um método ou outro. Na verdade, se você classificar o polinômio dos dois modos ao mesmo tempo, sempre que possível, você pintará um quadro mais descritivo dele.

Você tem problemas

Problema 1: Classifique os seguintes polinômios:

Exemplo 1: Classifique os seguintes polinômios.

  • (a) 3 - 4x - 6x 2
  • Solução: Este polinômio tem três termos, portanto, é um trinômio. Além disso, seu grau é 2, o que o torna quadrático. Então, todos juntos, é um trinômio quadrático. Quando você usa as duas classificações ao mesmo tempo, escreva o classificador de grau primeiro, pois é um adjetivo ("quadrático trinomial" simplesmente não parece certo).
  • (b) 13
  • Solução: Há apenas um termo e não tem nenhuma variável escrita explicitamente, portanto, isso é a mesma coisa que 13x 0 Esta expressão é melhor classificada como um monômio constante.

Extraído de The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004 por W. Michael Kelley. Todos os direitos reservados, incluindo o direito de reprodução total ou parcial sob qualquer forma. Usado por acordo com Livros Alpha, um membro do Penguin Group (USA) Inc.


Adicionando e subtraindo polinômios

Termos semelhantes:

Ao contrário dos termos:

Ex. 1
Simplifique combinando termos semelhantes:
1.

Pode ser útil reescrever o problema colocando seu gosto
termos juntos: . Quando você
combinar termos semelhantes, adicionar / subtrair apenas os coeficientes:
. Esta é a resposta final porque não pode ser
simplificado ainda mais. e
representam a mesma expressão, mas a primeira está em
ordem decrescente. Esta é a maneira aceitável de escrever um
polinomial. Isso significa o termo com maior poder
vai primeiro e os poderes descem daí.

Este é um exemplo de
adição de dois polinômios.
Existem dois métodos que
você pode usar para adicionar estes:
formato horizontal ou vertical
formato.

Com o formato horizontal, basicamente faremos o que fizemos no exemplo 1. Reescreveremos
o problema de colocar os termos semelhantes juntos:
Agora, combinar termos semelhantes nos dá
nossa resposta: . Ao usar o formato vertical, alinhamos da mesma forma
termos em uma coluna e adicione os coeficientes:
.

No próximo exemplo, iremos subtrair polinômios, mas primeiro vamos revisitar a definição de subtração.
Subtração significa adicionar o oposto. Portanto, 3 - 5 é igual a 3 + - 5.

Se a subtração significa adicionar o
oposto, então vou reescrever o
problema em termos de adição.
(Certifique-se de mudar o sinal de cada termo
no segundo polinômio). Agora, este exemplo é semelhante ao exemplo 1. Eu & # 8217 irei usar o
formato vertical: . Observe que há um espaço no segundo
polinômio sob 9y 2 Isso ocorre porque o segundo polinômio não tinha um termo que
era como 9y 2


Polinômios: Adicionando e Subtraindo Polinômios

Este currículo enfatiza uma abordagem multi-representacional para álgebra, com conceitos, resultados e problemas sendo expressos graficamente, analiticamente e verbalmente. Ele desenvolve fluência algébrica, fornecendo aos alunos as habilidades necessárias para resolver equações e realizar manipulações importantes com números, variáveis, equações e desigualdades. Além disso, o curso desenvolve proficiência em operações envolvendo expressões monomiais e polinomiais. Os principais temas unificadores do curso incluem compreensão, redação, resolução e representação gráfica de equações lineares, sistemas de equações lineares e desigualdades, equações quadráticas e equações racionais.

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Notas Guiadas

Depois de revisar o Aquecimento, vou fornecer a cada aluno uma cópia das Notas Guiadas de hoje. Hoje, vou discutir a adição e subtração de polinômios. Meus alunos viram esse conteúdo na 8ª série, então a apresentação é uma revisão, focada em vocabulário e aplicação precisos.

Espero que alguns de meus alunos fiquem confusos ao usar parênteses. Suspeito que simplesmente não os usamos com frequência suficiente. Instruo meus alunos a prestarem atenção ao símbolo entre os parênteses ao lerem inicialmente uma expressão. Então, para pensar cuidadosamente sobre a aplicação do Propriedade distributiva. Nos exemplos apresentados hoje, um valor de +1 ou -1 deve ser distribuído pelo polinômio. Em seguida, pedirei aos alunos que me ajudem a resolver o problema.

A remoção dos parênteses para que termos semelhantes possam ser combinados é um passo importante no problema. Nos problemas de subtração, é útil que os alunos reflitam sobre o fato de que todos os termos entre parênteses estão sendo subtraídos, retirados ou removidos de toda a expressão. Os alunos também devem entender isso como uma distribuição negativa, que altera o sinal de cada termo. No caso de adição, os alunos devem lembrar que cada termo está sendo adicionado, bem como pensar na aplicação da Propriedade Distributiva.


Quando uma fração é igual a zero:

Onde uma fração é igual a zero, seu numerador, a parte que está acima da linha de fração, deve ser igual a zero.

Agora, para se livrar do denominador, Tiger multiplica ambos os lados da equação pelo denominador.

Agora, no lado esquerdo, o 2 cancela o denominador, enquanto, no lado direito, zero vezes qualquer coisa ainda é zero.

A equação agora assume a forma:
-5 • (x-2) = 0

Equações que nunca são verdadeiras:

Esta equação não tem solução.
Uma constante diferente de zero nunca é igual a zero.


Novamente, você pode escolher se deseja usar os métodos horizontal ou vertical para adicionar. Mas, primeiro, você deve reescrever o problema como um problema de adição. Não se esqueça dessa etapa muito importante!

Agora você pode adicionar e subtrair polinômios com sucesso. Agora você está pronto para multiplicar polinômios.

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Distribuir sinais que precedem colchetes em polinômios para remover colchetes

A seguir, usamos colchetes para indicar a multiplicação. () () () ()
Por exemplo (x vezes y quad ) pode ser escrito como ( quad (x) (y) quad ) ou ( quad x (y) quad )
1) Polinômio entre colchetes precedido por nenhum sinal ou o sinal de mais como ((2 x - 5) ) ou (+ (2 x - 5) quad ) são iguais a (+1 (2x - 5) )

Use a lei distributiva: (a (b + c) = ab + ac quad ) para expandir e, portanto, remover os colchetes da seguinte forma
( quad quad (2 x - 5) = color<+1> (2x - 5) = color<+1> (2x) cor<+1> (- 5) = (1) (2) x + (1) (- 5) = 2 x - 5 )

( quad quad + (2 x - 5) = color<+1> (2x - 5) = color<+1> (2x) cor<+1> (- 5) = (1) (2) x + (1) (- 5) = 2 x - 5 )


2) Polinômio entre colchetes precedido pelo sinal de menos, como (- (2 x - 5) quad ) é o mesmo que (-1 (2x - 5) )

Use a lei distributiva: (a (b + c) = ab + ac quad ) para expandir e, portanto, remover os colchetes como segue
( quad quad - (2 x - 5) = color<-1> (2x - 5) = color-1 (2x) cor-1 (- 5) = (-1) (2) x + (- 1) (- 5) = - 2 x + 5 )


Revisão matemática de adição e subtração de polinômios

Adicionar e subtrair polinômios é semelhante a adicionar e subtrair outras expressões. Os termos podem ser combinados usando as propriedades Comutativa e Associativa para adição, então termos semelhantes podem ser adicionados ou subtraídos conforme necessário.

Encontrar termos semelhantes

Lembre-se de que termos semelhantes têm as mesmas variáveis ​​e estão no mesmo grau. Se eles tiverem o mesmo grau, os termos são elevados à mesma potência. Por exemplo, 4x e 2x podem ser adicionados ou subtraídos porque ambos têm a variável x e nenhuma outra. A adição de 4x + 2x é igual a um termo, o monômio 6x. Eles também estão no mesmo grau, porque 4x e 2x têm o mesmo expoente 1. As expressões 3x 2 e 4x têm a variável x, mas não estão no mesmo grau, pois 3x 2 tem grau 2 e 4x tem grau 1. Combiná-los resultará na expressão polinomial 3x 2 + 4x.

Propriedades de uso

Os polinômios podem ser reorganizados usando a propriedade comutativa sem alterar seu valor. Por exemplo, 4x + 2x tem o mesmo significado que 2x + 4x. Isso já foi mostrado no rearranjo de polinômios na forma padrão, de modo que 5x + 6x 3 +109 + 8x 2 pode ser reorganizado para 6x 3 + 8x 2 + 5x + 109. A propriedade associativa também se aplica, de modo que (6x 3 + 8x 2 ) + (5x + 109) é igual a 6x 3 + (8x 2 + 5x + 109). A única coisa a lembrar ao usar qualquer propriedade com polinômios é que o sinal na frente de cada termo deve permanecer com aquele term. Portanto, 8x 2 + 5x -109 + 6x 3 pode ser reorganizado como 6x 3 + 8x 2 + 5x -109.

Adicionando Polinômios

Para adicionar polinômios, primeiro encontre termos semelhantes, reorganize-os usando a propriedade comutativa e combine termos semelhantes usando a propriedade associativa. Por exemplo, (2x 2 -x) + (x 2 + 3x -1) tem os termos semelhantes de 2x 2 + x 2, -x + 3x e a constante -1. Observe que os sinais negativos permanecem com os termos –x e -1. A nova expressão, usando todos os termos, é 2x 2 + x 2 –x + 3x -1. Combinando os termos, (2x 2 + x 2) + (- x + 3x) -1 resulta em uma nova expressão onde (2x 2 + x 2) pode ser substituído por 3x 2, e (-x + 3x) pode ser substituído por 2x, então a expressão simplificada é 3x 2 + 2x -1.

Subtraindo Polinômios

Subtrair é o inverso da adição, então a diferença entre adicionar e subtrair polinômios é que cada termo subtraído tem o sinal oposto. Por exemplo, - (2x 3 + 4x 2 + 12x +42) é -2x 3 -4x 2 -12x -42 e - (2x 2 -12x - 36) é -2x 2 + 12x +36. Portanto, (a 4 -2a) - (3a 4 -3a -1) é o mesmo que adicionar 4 -2a -3a 4 + 3a +1. Termos semelhantes podem ser arranjados, de modo que a 4 -3a 4 -2a + 3a + 1 seja a mesma expressão. Então, termos semelhantes podem ser combinados, como -2a 4 + a +1.

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Assista o vídeo: Divisão de Monômios - Exercícios - Aula 04 Questões de monômios Polinômios (Outubro 2021).