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2.3.6E: Exercícios - Matemática


A prática leva à perfeição

Use a propriedade de produto zero

Nos exercícios a seguir, resolva.

1. ((3a − 10) (2a − 7) = 0 )

Responder

(a = frac {10} {3}, ; a = frac {7} {2} )

2. ((5b + 1) (6b + 1) = 0 )

3. (6m (12m − 5) = 0 )

Responder

(m = 0, ; m = frac {5} {12} )

4. (2x (6x − 3) = 0 )

5. ((2x − 1) ^ 2 = 0 )

Responder

(x = frac {1} {2} )

6. ((3y + 5) ^ 2 = 0 )

Resolva equações quadráticas por fatoração

Nos exercícios a seguir, resolva.

7. (5a ^ 2−26a = 24 )

Responder

(a = - frac {5} {4}, ; a = 6 )

8. (4b ^ 2 + 7b = −3 )

9. (4m ^ 2 = 17m − 15 )

Responder

(m = frac {5} {4}, ; m = 3 )

10. (n ^ 2 = 5−6n )

11. (7a ^ 2 + 14a = 7a )

Responder

(a = −1, ; a = 0 )

12. (12b ^ 2−15b = −9b )

13. (49m ^ 2 = 144 )

Responder

(m = frac {12} {7}, ; m = - frac {12} {7} )

14. (625 = x ^ 2 )

15. (16y ^ 2 = 81 )

Responder

(y = - frac {9} {4}, ; y = frac {9} {4} )

16. (64p ^ 2 = 225 )

17. (121n ^ 2 = 36 )

Responder

(n = - frac {6} {11}, ; n = frac {6} {11} )

18. (100y ^ 2 = 9 )

19. ((x + 6) (x − 3) = - 8 )

Responder

(x = 2, ; x = −5 )

20. ((p − 5) (p + 3) = - 7 )

21. ((2x + 1) (x − 3) = - 4x )

Responder

(x = frac {3} {2}, ; x = −1 )

22. ((y − 3) (y + 2) = 4y )

23. ((3x − 2) (x + 4) = 12x )

Responder

(x = frac {3} {2}, ; x = −1 )

24. ((2y − 3) (3y − 1) = 8y )

25. (20x ^ 2−60x = −45 )

Responder

(x = - frac {2} {3} )

26. (3y ^ 2−18y = −27 )

27. (15x ^ 2−10x = 40 )

Responder

(x = 2, ; x = - frac {4} {3} )

28. (14y ^ 2−77y = −35 )

29. (18x ^ 2−9 = −21x )

Responder

(x = - frac {3} {2}, ; x = frac {1} {3} )

30. (16y ^ 2 + 12 = −32y )

31. (16p ^ 3 = 24p ^ 2 + 9p )

Responder

(p = 0, ; p = frac {3} {4} )

32. (m ^ 3−2m ^ 2 = −m )

33. (2x ^ 3 + 72x = 24x ^ 2 )

Responder

(x = 0, espaço x = 6 )

34. (3y ^ 3 + 48y = 24y ^ 2 )

35. (36x ^ 3 + 24x ^ 2 = −4x )

Responder

(x = 0, espaço x = frac {1} {3} )

36. (2y ^ 3 + 2y ^ 2 = 12y )

Resolva Equações com Funções Polinomiais

Nos exercícios a seguir, resolva.

37. Para a função, (f (x) = x ^ 2−8x + 8 ), ⓐ encontre quando (f (x) = - 4 ) ⓑ Use esta informação para encontrar dois pontos que estão no gráfico da função.

Responder

Ⓐ (x = 2 ) ou (x = 6 ) ⓑ ((2, −4) ) ((6, −4) )

38. Para a função, (f (x) = x ^ 2 + 11x + 20 ), ⓐ encontre quando (f (x) = - 8 ) ⓑ Use esta informação para encontrar dois pontos que estão no gráfico da função.

39. Para a função, (f (x) = 8x ^ 2−18x + 5 ), ⓐ encontre quando (f (x) = - 4 ) ⓑ Use esta informação para encontrar dois pontos que estão no gráfico da função.

Responder

Ⓐ (x = frac {3} {2} ) ou (x = frac {3} {4} )
Ⓑ (( frac {3} {2}, - 4) ) (( frac {3} {4}, - 4) )

40. Para a função, (f (x) = 18x ^ 2 + 15x − 10 ), ⓐ encontre quando (f (x) = 15 ) ⓑ Use esta informação para encontrar dois pontos que se encontram no gráfico de a função.

Nos exercícios a seguir, para cada função, encontre: ⓐ os zeros da função ⓑ o (x ) - interceptações do gráfico da função ⓒ a (y ) - interceptação do gráfico da função.

41. (f (x) = 9x ^ 2−4 )

Responder

Ⓐ (x = frac {2} {3} ) ou (x = - frac {2} {3} )
Ⓑ (( frac {2} {3}, 0) ), ((- frac {2} {3}, 0) )
ⓒ ((0,−4))

42. (f (x) = 25x ^ 2−49 )

43. (f (x) = 6x ^ 2−7x − 5 )

Responder

Ⓐ (x = frac {5} {3} ) ou (x = - frac {1} {2} )
Ⓑ (( frac {5} {3}, 0) ), ((- frac {1} {2}, 0) )
ⓒ ((0,−5))

44. (f (x) = 12x ^ 2−11x + 2 )

Resolva aplicativos modelados por equações quadráticas

Nos exercícios a seguir, resolva.

45. O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é (143 ). Encontre os inteiros.

Responder

(- 13, espaço −11 ) e (11, espaço 13 )

46. ​​O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é (195 ). Encontre os inteiros.

47. O produto de dois inteiros pares consecutivos é (168 ). Encontre os inteiros.

Responder

(- 14, espaço −12 ) e (12, espaço 14 )

48. O produto de dois inteiros pares consecutivos é (288 ). Encontre os inteiros.

49. A área de um tapete retangular é de 30 metros quadrados. O comprimento é um metro a mais que a largura. Encontre o comprimento e a largura do tapete.

Responder

(- 4 ) e (7 )

50. Um muro de arrimo retangular tem uma área de 15 pés quadrados. A altura da parede é 60 centímetros menor que seu comprimento. Encontre a altura e o comprimento da parede.

51. A área de um quadro de avisos é de 12,5 metros quadrados. O comprimento é quatro pés menos do que três vezes a largura. Encontre o comprimento e a largura de um quadro de avisos.

Responder

(5, espaço 11 )

52. Uma garagem retangular tem uma área de (150 ) pés quadrados. A altura da garagem é um metro e meio a menos que o dobro de seu comprimento. Encontre a altura e o comprimento da garagem.

53. Uma flâmula tem a forma de um triângulo retângulo, com hipotenusa (10 ​​) pés. O comprimento de um lado da flâmula é 60 cm a mais do que o comprimento do outro lado. Encontre o comprimento dos dois lados da flâmula.

Responder

(6, espaço 8 )

54. Uma janela de vitral tem a forma de um triângulo retângulo. A hipotenusa é (15 ) pés. Uma perna é três a mais que a outra. Encontre os comprimentos das pernas.

55. Um espelho d'água tem a forma de um triângulo retângulo, com uma perna ao longo da parede de um edifício. A hipotenusa é (9 ) pés mais comprida do que a lateral ao longo do edifício. O terceiro lado é (7 ) pés mais comprido do que o lado ao longo do edifício. Encontre os comprimentos de todos os três lados do espelho d'água.

Responder

(8, espaço 15, espaço 17 )

56. Um cercado de cabra tem a forma de um triângulo retângulo. Uma perna do gabinete é construída contra a lateral do celeiro. A outra perna está 4 pés a mais do que a perna contra o celeiro. A hipotenusa é (8 ) pés a mais do que a perna ao longo do celeiro. Encontre os três lados do recinto das cabras.

57. Juli vai lançar um foguete modelo em seu quintal. Quando ela lança o foguete, a função (h (t) = - 16t ^ 2 + 32t ) modela a altura, (h ), do foguete acima do solo em função do tempo, (t ) . Encontrar:

Ⓐ os zeros desta função que nos diz quando o foguete vai atingir o solo. Ⓑ o tempo que o foguete estará (16 ) pés acima do solo.

Responder

ⓐ 0, 2 ⓑ 1

58. Gianna vai jogar uma bola do último andar de sua escola. Quando ela joga a bola de (48 ) pés acima do solo, a função (h (t) = - 16t ^ 2 + 32t + 48 ) modela a altura, (h ), da bola acima do chão em função do tempo, (t ). Encontrar:

Ⓐ os zeros desta função que nos dizem quando a bola vai atingir o solo. Ⓑ o (s) tempo (s) em que a bola estará (48 ) pés acima do solo. Ⓒ a altura da bola estará em (t = 1 ) segundos, que é quando a bola estará em seu ponto mais alto.

Exercícios de escrita

59. Explique como você resolve uma equação quadrática. Quantas respostas você espera obter para uma equação quadrática?

Responder

As respostas vão variar.

60. Dê um exemplo de uma equação quadrática que tenha um GCF e nenhuma das soluções para a equação seja zero.

Auto-verificação

Ⓐ Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

Ⓑ De modo geral, depois de examinar a lista de verificação, você acha que está bem preparado para a próxima seção? Por que ou por que não?


2.3.6E: Exercícios - Matemática

Montessori é uma pedagogia educacional que se concentra na criança individualmente e em suas necessidades. Os conceitos da pedagogia foram consolidados pela Dra. Maria Montessori no início do século XX. Seus conceitos no que diz respeito ao ensino de crianças com base em suas necessidades e interesses pessoais conduzem ao método educacional Montessori de hoje. Existem quatro áreas de aprendizagem em uma classe Montessori 3-6:

Vida prática
Nesta seção de trabalho, a criança encontra materiais e exercícios de sua vida cotidiana, desde despejar água de uma jarra em um copo, ou aprender a amarrar um cadarço. Essas atividades ajudam a criança a cuidar adequadamente de si mesma, de modo que ela possa se sentir independente e não precisar depender de um adulto para suas necessidades básicas.

Sensorial
As atividades nesta seção permitem que a criança aprimore cada um de seus sentidos. Ele se tornará uma criança que pode apreciar as diferenças de cor ou textura, organizar seus pensamentos e objetos em seu ambiente e que tem um senso de altura refinado a partir da música que pode ouvir ao seu redor.

Língua
A língua é ensinada à criança por meio de uma progressão específica de aulas, nas quais ela primeiro toma consciência dos diferentes sons de uma palavra. A criança, então, aprende a língua foneticamente até o ponto em que aprende os diferentes & ldquorules & rdquo em uma determinada língua e as exceções a essas regras que ela precisará saber para soletrar e ler fluentemente.

Matemática
A criança primeiro aprende a contar de 1 a 10 por meio da compreensão do conceito de que esses números representam uma quantidade específica. Através de cada material, a criança aprenderá adição, subtração, multiplicação e divisão e compreenderá verdadeiramente o que cada um significa em seu sentido mais profundo. Através deste método de ensino, Montessori oferece à criança uma base forte e sólida na compreensão da matemática.

No geral, o que torna este método de aprendizagem tão diferente em comparação com a forma convencional de educação que temos hoje, é que o professor não fica na frente da classe e ensina a cada criança a mesma lição de uma vez. Cada criança pode aprender em seu próprio ritmo, de uma maneira que sinta que, de fato, não está aprendendo ou sendo ensinada.

Montessori chamou essa forma de ensinar & ldquopreparar a criança para o sucesso & rdquo. O professor está lá para orientar a criança através de pequenos exercícios nos quais a criança terá sucesso. Com o tempo, os Exercícios vão aumentando em dificuldade, mas como a progressão é tão bem pensada, a criança nunca sente que aprender é uma luta.


2.3.6E: Exercícios - Matemática

Um conjunto deve ser bem definido, ou seja, para qualquer objeto dado, deve ser inequívoco se o objeto é ou não um elemento do conjunto. Por exemplo, se um conjunto contém todas as cadeiras em uma sala designada, qualquer cadeira pode ser determinada como estando ou não no conjunto. Se não houvesse cadeiras na sala, o conjunto seria denominado conjunto vazio ou nulo, ou seja, um conjunto sem elementos. Um conjunto é geralmente designado por uma letra maiúscula. Se UMA é o conjunto de números pares entre 1 e 9, então UMA= <2, 4, 6, 8>. As chaves, <>, são comumente usadas para incluir os elementos listados de um conjunto. Os elementos de um conjunto podem ser descritos sem realmente serem listados. Se B é o conjunto de números reais que são soluções da equação x 2 = 9, então o conjunto pode ser escrito como B=<x:x 2 = 9> ou B=<x|x 2 = 9>, ambos lidos: B é o conjunto de todos x de tal modo que x 2 = 9 portanto B é o conjunto <3, & menos3>.

A associação em um conjunto é indicada pelo símbolo & isin e a não associação por & # 8713, portanto, x&é emUMA significa aquele elemento x é um membro do conjunto UMA (leia simplesmente como "x é um membro de UMA") e yUMA meios y não é um membro de UMA. Os símbolos & # 8834 e & # 8835 são usados ​​para indicar aquele conjunto UMA está contido em ou contém outro conjunto B UMAB significa que UMA está contido em, ou é um subconjunto de, B e UMAB significa que UMA contém, ou é um superconjunto de, B.

Operações em conjuntos

Existem três operações básicas de conjunto: intersecção, união e complementação. A interseção de dois conjuntos é o conjunto que contém os elementos comuns aos dois conjuntos e é denotada pelo símbolo & # 8745. A união de dois conjuntos é o conjunto que contém todos os elementos pertencentes a um dos conjuntos ou a ambos, denotados pelo símbolo & # 8746. Portanto, se C= <1, 2, 3, 4> e D= <3, 4, 5>, então CD= <3, 4> e CD= <1, 2, 3, 4, 5>. Cada uma dessas duas operações obedece à lei associativa lei associativa,
em matemática, a lei sustenta que para uma dada operação combinando três quantidades, duas de cada vez, o emparelhamento inicial é arbitrário, por exemplo, usando a operação de adição, os números 2, 3 e 4 podem ser combinados (2 + 3) +4 = 5 + 4 = 9 ou 2+ (3 + 4) = 2 + 7 = 9.
. Clique no link para mais informações. e a lei comutativa Lei comutativa,
em matemática, a lei sustenta que para uma dada operação binária (combinando duas quantidades) a ordem das quantidades é arbitrária, por exemplo, além disso, os números 2 e 5 podem ser combinados como 2 + 5 = 7 ou como 5 + 2 = 7.
. Clique no link para mais informações. , e juntos eles obedecem à lei distributiva lei distributiva.
Em matemática, dadas quaisquer duas operações, simbolizadas por * e +, a primeira operação, *, é distributiva sobre a segunda, +, se uma*(b+c)=(uma*b)+(uma*c) para todas as opções possíveis de a, b, e c.
. Clique no link para mais informações. .

Em qualquer discussão, o conjunto de todos os elementos em consideração deve ser especificado e é chamado de conjunto universal. Se o conjunto universal é você= <1, 2, 3, 4, 5> e UMA= <1, 2, 3>, então o complemento de UMA (escrito A & prime) é o conjunto de todos os elementos do conjunto universal que não estão em UMA, ou A & prime= <4, 5>. A interseção de um conjunto e seu complemento é o conjunto vazio (denotado por & # 8709), ou UMAA & prime= & # 8709 a união de um conjunto e seu complemento é o conjunto universal, ou UMAA & prime=VOCÊ. Veja também lógica simbólica lógica simbólica
ou lógica matemática,
sistema formalizado de lógica dedutiva, empregando símbolos abstratos para os vários aspectos da linguagem natural. A lógica simbólica baseia-se nos conceitos e técnicas da matemática, principalmente na teoria dos conjuntos, e por sua vez, contribuiu para
. Clique no link para mais informações. .

uma planta jovem cultivada para posterior plantio em um jardim, parque ou local semelhante. Os conjuntos de fruteiras são obtidos em viveiros de frutas e geralmente são produzidos a partir de mudas enxertadas (estoques). Os conjuntos de safras de frutas silvestres (groselha, groselha) são plantas não trabalhadas com um ano de idade. Os sugadores de raízes das plantas de framboesa são usados ​​como conjuntos. Na silvicultura, conjuntos são árvores jovens que foram cultivadas a partir de sementes ou estacas.

(também Seth), na mitologia e religião egípcia antiga, um deus inicialmente venerado na cidade de Ombos e cujo culto então aparentemente se espalhou por todo o Alto Egito e a parte noroeste do Delta do Nilo. Set era considerado um deus do deserto e de outros países. De acordo com a mitologia egípcia, ele era irmão e assassino de Osíris e posteriormente foi derrotado por Hórus, filho de Osíris. Ele foi retratado na forma de um animal não identificável.


Cada estado define seus próprios padrões curriculares e os detalhes são geralmente definidos por cada distrito escolar local. Embora não existam padrões federais, desde 2015 a maioria dos estados tem baseado seus currículos nos Padrões Estaduais de Núcleo Comum em matemática. O Conselho Nacional de Professores de Matemática publicou recomendações educacionais em educação matemática em 1991 e 2000, que foram altamente influentes, descrevendo conhecimentos matemáticos, habilidades e ênfases pedagógicas desde o jardim de infância até o ensino médio. Os Pontos Focais do Currículo do NCTM de 2006 também foram influentes por suas recomendações dos tópicos matemáticos mais importantes para cada série até a 8ª série.

Nos Estados Unidos, o currículo de matemática no ensino fundamental e médio é integrado, enquanto no ensino médio é tradicionalmente separado por tópicos, como Álgebra I, Geometria, Álgebra II, cada tópico geralmente durando todo o ano letivo. (Alguns estados e localidades seguem um currículo integrado, como outros países fazem.)

Álgebra I, também conhecido como álgebra elementar ou começando álgebra, é o primeiro curso que os alunos fazem em álgebra. Historicamente, essa classe tem sido um curso de nível médio, muitas vezes oferecido já na sétima série, mas mais tradicionalmente na oitava ou nona série. O curso também é oferecido em faculdades comunitárias como um curso de habilidades básicas ou corretivo.

Geometria geralmente é feito no 2º ano do ensino médio. O curso apresenta conceitos como trigonometria básica, ângulos de elevação e depressão e métodos de prova de congruência de triângulos.

Álgebra II, álgebra avançada ou álgebra intermediária tem um pré-requisito de Álgebra I. Historicamente, álgebra intermediária é um curso de nível médio.

Os padrões matemáticos do Common Core reconhecem tanto a abordagem sequencial quanto integrada para o ensino de matemática no ensino médio, o que resultou no aumento da adoção de programas integrados de matemática para o ensino médio. Assim, as organizações que oferecem ensino superior atualizaram seus requisitos de matrícula. Por exemplo, a Universidade da Califórnia requer três anos de "matemática preparatória para a faculdade que incluem os tópicos abordados em álgebra elementar e avançada e geometria bidimensional e tridimensional" [1] para ser admitida. Depois que o Departamento de Educação da Califórnia adotou o Common Core, a Universidade da Califórnia esclareceu que "cursos integrados de matemática aprovados podem ser usados ​​para cumprir parte ou a totalidade" [1] deste requisito de admissão.

A sequência de três cursos acima é seguida por um curso frequentemente chamado pré-cálculo para alunos com destino à faculdade. O pré-cálculo geralmente combina álgebra avançada (ou "Álgebra III") e geometria com trigonometria.

Dependendo do distrito escolar, vários cursos podem ser compactados e combinados dentro de um ano escolar, seja estudado sequencialmente ou simultaneamente. Sem essa aceleração, pode não ser possível fazer aulas mais avançadas, como cálculo no ensino médio.

Faculdade álgebra é oferecido em muitas faculdades comunitárias e geralmente tem um pré-requisito de álgebra intermediária.

Cálculo às vezes é feito no 12º ano do ensino médio ou no primeiro ano dos estudos universitários, mas ocasionalmente pode ser feito já no 10º ano. Um curso de cálculo em nível de faculdade concluído com êxito, como aquele oferecido por meio do programa Advanced Placement, é um curso de nível de transferência - ou seja, pode ser aceito por uma faculdade como um crédito para os requisitos de graduação. Outros cursos opcionais de matemática podem ser oferecidos, como Estatisticas ou matemática empresarial.

Perto do final do século 20, ideias diversas e mutantes sobre os objetivos e métodos da educação matemática levaram à ampla adoção de padrões baseados em reformas e currículos financiados pelo governo federal dos Estados Unidos e também adotados por outros padrões curriculares nacionais. Estes foram baseados em pesquisas que enfatizaram a importância da aprendizagem conceitual, métodos de aprendizagem centrados no aluno e equidade em matemática como peças centrais do movimento de reforma educacional baseada em padrões.

As metas para educadores na década de 1990 expandiram-se no contexto de reformas educacionais baseadas em padrões sistêmicos nos Estados Unidos e em outras nações para promover maior aprendizado para todos os alunos. É uma meta alcançar equidade e sucesso para todos os grupos da sociedade, visto que não é mais aceitável para muitos na comunidade educacional que alguns foram historicamente excluídos de toda a gama de oportunidades que estão abertas para aqueles que têm acesso a mais matemática avançada.

Com a adoção de padrões de reforma e o desenvolvimento de currículos financiados pelo governo federal durante a década de 1990, a educação matemática tornou-se um assunto muito debatido. O movimento de reforma encontrou oposição de tradicionalistas fora da arena de pesquisa em educação matemática, pedindo um retorno ao ensino direto tradicional de métodos aritméticos padrão. Como resultado, após a adoção inicial de currículos baseados em padrões, algumas escolas e distritos complementaram ou substituíram currículos baseados em padrões no final dos anos 1990 e início dos anos 2000.

O movimento de reforma teve suas origens na década de 1980, quando a pesquisa começou a apoiar a ênfase na resolução de problemas, raciocínio matemático, compreensão conceitual e aprendizagem centrada no aluno. Quase ao mesmo tempo que o desenvolvimento de uma série de padrões controversos em leitura, ciência e história, o NCTM produziu os Padrões de Currículo e Avaliação para Matemática Escolar em 1989. Esses padrões incluíam novos objetivos, como equidade e compreensão conceitual e encorajou uma redução da ênfase na aprendizagem mecânica. No entanto, apesar da adoção generalizada de currículos baseados em padrões, pesquisas indicam que as práticas de ensino dos professores mudaram muito pouco nos Estados Unidos durante a década de 1990. [2]

Na reforma educacional baseada em padrões, todos os alunos, não apenas os que vão para a faculdade, devem estudar matemática substantiva. Em alguns grandes distritos escolares, isso passou a significar a necessidade de alguma álgebra de todos os alunos até a nona série, em comparação com a tradição de rastrear apenas os alunos que pretendem estudar álgebra e os mais avançados do ensino fundamental.

Um desafio com a implementação do Currículo e dos Padrões de Avaliação foi que nenhum material curricular na época foi projetado para atender ao objetivo dos Padrões. Na década de 1990, a National Science Foundation financiou o desenvolvimento de currículos como o Core-Plus Mathematics Project. No final dos anos 1990 e no início dos anos 2000, as chamadas guerras da matemática eclodiram em comunidades que se opunham a algumas das mudanças mais radicais no ensino da matemática. Alguns alunos reclamaram que seus novos cursos de matemática os colocaram em matemática de recuperação na faculdade. [3] No entanto, os dados fornecidos pelo registrador da Universidade de Michigan na mesma época indicam que em cursos universitários de matemática na Universidade de Michigan, os graduados do Core-Plus se saíram tão bem ou melhor do que os graduados de um currículo de matemática tradicional e os alunos os cursos tradicionais também foram colocados em cursos corretivos de matemática. [4]

Em 2001 e 2009, o NCTM lançou os Princípios e Padrões para Matemática Escolar (PSSM) e os Pontos Focais do Currículo que expandiram o trabalho dos documentos de padrões anteriores. Particularmente, o PSSM reiterou os padrões de 1989, mas de forma mais equilibrada, enquanto os Pontos Focais sugeriram três áreas de ênfase para cada série. Refutando relatórios e editoriais [5] de que estava repudiando os padrões anteriores, o NCTM afirmou que os Pontos Focais estavam em grande parte reenfatizando a necessidade de instrução que constrói habilidades e aprofunda a compreensão matemática do aluno. Os porta-vozes do NCTM sustentaram que ele fornecia mais especificidade de faixa de notas em áreas-chave de estudo para o desenvolvimento coerente e consistente da compreensão e habilidade matemática. Esses documentos repetiam a crítica de que os currículos de matemática americanos têm "uma milha de largura e uma polegada de profundidade" em comparação com a matemática da maioria das outras nações, uma descoberta do Segundo e Terceiro Estudos Internacionais de Matemática e Ciências.

A partir de 2011, a maioria dos estados adotou os Padrões Básicos Comuns para matemática, que foram parcialmente baseados no trabalho anterior do NCTM. A controvérsia ainda continua, pois os críticos apontam que os padrões do Common Core não preparam totalmente os alunos para a faculdade e alguns pais continuam a reclamar que não entendem a matemática que seus filhos estão aprendendo.

Outro problema com a educação matemática é a integração com o ensino de ciências. Isso é difícil para as escolas públicas porque as ciências e a matemática são ensinadas independentemente. O valor da integração é que a ciência pode fornecer contextos autênticos para os conceitos matemáticos ensinados e, além disso, se a matemática for ensinada em sincronia com as ciências, os alunos se beneficiam dessa correlação. [6]

O Programa de Avaliação Internacional de Alunos (PISA) conduziu o teste de avaliação de 2015, realizado a cada três anos para alunos de 15 anos em todo o mundo. [7] Em 2012, os Estados Unidos obtiveram notas médias em ciências e leitura. Ele teve um desempenho melhor do que outras nações progressistas na classificação matemática em 36º lugar entre 65 outros países. A avaliação do PISA examinou a compreensão dos alunos em matemática, bem como sua abordagem a esse assunto e as respostas. Estes indicaram três abordagens de aprendizagem. Alguns dos alunos dependiam principalmente da memorização. Outros foram mais reflexivos sobre os conceitos mais novos. Outro grupo concentrou-se mais em princípios que ainda não foram estudados. Os EUA tiveram uma alta proporção de memorizadores em comparação com outros países desenvolvidos. [8] Durante o último teste, os Estados Unidos não conseguiram chegar ao top 10 em todas as categorias, incluindo matemática. Mais de 540.000 adolescentes de 72 países fizeram o exame. Sua pontuação média em matemática diminuiu 11 pontos. [9]

Pesquisas em educação matemática e conferências de praticantes incluem: NCTM's Conferência e Exposição Regional e Reunião Anual e Exposição A conferência anual do Capítulo Norte-americano de Psicologia da Educação Matemática e várias conferências regionais menores.


Como você exercita os músculos do pescoço?

Os exercícios que podem melhorar a resistência dos músculos do pescoço também tornarão as flexões que aumentam a resistência dos músculos abdominais mais fáceis e eficazes.

Exercício # 3 - alongamento do pescoço

  • Os exercícios devem ser feitos na posição sentada, com os pés firmemente plantados no chão.
  • Não mova nem a cabeça nem o pescoço durante todo o exercício.
  • Coloque a língua no céu da boca, atrás dos dentes da frente.
  • Coloque as mãos na testa e empurre para trás, resistindo a qualquer movimento da cabeça e do pescoço.
  • Mantenha esta posição isométrica por 5 a 7 segundos e, em seguida, relaxe.
  • Repita este exercício até 5 vezes.
  • Coloque a mão na têmpora e empurre para o lado, resistindo a qualquer movimento da cabeça e do pescoço.
  • Mantenha essa posição isométrica por 5 a 7 segundos e depois relaxe.
  • Repita este exercício até 5 vezes.
  • Troque de mãos e tente empurrar sua cabeça para o outro lado enquanto resiste a esse movimento ao mesmo tempo.
  • Coloque as mãos na nuca e empurre para a frente, resistindo a qualquer movimento da cabeça e do pescoço.
  • Mantenha essa posição isométrica por 5 a 7 segundos e depois relaxe.
  • Repita este exercício até 5 vezes.

Fácil como 1-2-3

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Os recursos de "cantar e dançar" não levam a um entendimento conceitual profundo. A pedagogia testada pelo tempo e a pesquisa fazem. O Happy Numbers baseia-se nessa visão & mdash capacitado pela tecnologia mais recente e moldado por meio de nosso trabalho com professores reais em todo o país.

PK e mdash5 Math Story conectado

Matemática, por sua própria natureza, é um assunto interconectado que se desenvolve em si mesmo, assim como os Happy Numbers. É uma história matemática PK & mdash5 coerente, não uma lista de compras de regras e processos autônomos. A progressão cuidadosamente projetada de habilidades, conceitos, conexões e ferramentas que os alunos adquirem por meio do Happy Numbers garante uma base sólida para o ensino médio e além.

Significado por trás da matemática com cada toque

Dominar a matemática é mais do que apenas obter a resposta certa. Os alunos precisam entender o raciocínio por trás de suas ações, tendo a flexibilidade para responder aos desafios ao longo do caminho.

A tecnologia da Happy Numbers permite a modelagem prática com uma ampla gama de manipuláveis. Por meio de múltiplas representações (linha numérica, gráfico de cem, blocos de base 10, etc.), os alunos abordam a matemática de diferentes ângulos e passam do pensamento concreto para o abstrato. Novos conceitos são introduzidos estrategicamente e os alunos adquirem novos aprendizados enquanto reforçam o conhecimento anterior e estabelecem conexões entre os dois. Consulte Mais informação.

Com o Happy Numbers, os alunos aprendem a "pensar matemática" e a obter fluência processual. Leia menos

Andaime individualizado e feedback

Happy Numbers constrói um diálogo matemático individualizado e responde aos alunos da mesma maneira que você faria: desdobrando conceitos passo a passo, estruturando o aprendizado e fornecendo feedback imediato com base nas contribuições dos alunos.

O ritmo individualizado significa que aqueles que demonstram domínio progridem mais rapidamente, e aqueles que precisam de mais instruções o recebem. Como resultado, os alunos passam a maior parte do tempo no modo de luta produtiva (também conhecido como Zona de Desenvolvimento Proximal), o que leva aos maiores ganhos de aprendizagem. E para garantir que os alunos nunca fiquem presos, o feedback direcionado os ajuda a corrigir qualquer erro e os alunos experimentam os erros como oportunidades de aprendizagem! Consulte Mais informação. Leia menos


2.3.6E: Exercícios - Matemática

Vamos denotar por R o conjunto de todos os números da roleta. Qualquer colocação para uma aposta é um subconjunto de R, ou um elemento de P (R) Denote por A o conjunto dos grupos de números de R permitido para uma aposta feita através de uma colocação única. A tem 154 elementos.

Por exemplo, A (aposta direta), A (aposta dividida), A (aposta de canto), A (aposta ímpar), A (os números 0 e 19 não podem ser cobertos por uma colocação única permitida).

Podemos definir uma aposta simples como sendo um par (UMA, S), onde A e S é um número real.

UMA é a colocação (o conjunto de números cobertos pela aposta) e S é a aposta básica (a quantia em dinheiro em chi ps). Como cada aposta simples tem um pagamento definido pelas regras da roleta, também podemos olhar para uma aposta simples como uma tripla, onde é um número natural (o coeficiente de multiplicação da aposta em caso de vitória), que é determinado exclusivamente de UMA. Temos isso, de acordo com as regras da roleta.

A probabilidade de ganhar uma aposta simples torna-se, onde significa a cardinalidade do conjunto UMA. Claro, pode ser 38 ou 37, dependendo do tipo de roleta (americana ou europeia, respectivamente).

Para uma determinada aposta simples B, podemos definir a seguinte função:

R, , Onde R é o conjunto de números reais e é a função característica de um conjunto:

A função é chamada de lucro de aposta B, aplicando a convenção de que o lucro também pode ser negativo (uma perda).

A variável e é o resultado do giro. Se (o jogador ganha a aposta B), então o jogador obtém o lucro positivo, e se (o jogador perde a aposta B), então o jogador obtém um lucro negativo de S (perdendo uma quantia igual a S como resultado dessa aposta).

Definição: Chamamos um aposta complexa qualquer família finita de pares com A e números reais, para cada (eu é um conjunto finito de índices consecutivos começando em 1). Denote por B o conjunto de todas as apostas complexas.

Definição: A aposta complexa B é dito ser desarticulado se os conjuntos forem mutuamente exclusivos.

Definição: Deixe ser uma aposta complexa. A função R, é chamado de lucro de aposta B.

Definição: Uma aposta complexa B é dito ser contraditório se para cada. Isso significa que essa aposta resultará em perda, independentemente do resultado do giro.

Definição: As apostas B e B'é dito ser equivalente if functions e, como funções de escada, assumem os mesmos valores respectivamente em conjuntos de igual comprimento. Nós escrevemos B

B'. Esta definição também se aplica a apostas simples.

Estas são as definições básicas que constituem a base do modelo matemático de apostas na roleta. Tudo sobre as apostas complexas, a função de lucro, a equivalência entre as apostas e todas as suas propriedades podem ser encontradas no livro intitulado & quotROULETTE ODDS AND LUCITS: The Mathematics of Complex Bets & quot.

Aqui estão algumas das propriedades da equivalência entre apostas complexas:

Declaração 4: Duas apostas complexas desconexas e para as quais para cada são equivalentes.

Declaração 5: Seja uma aposta simples e deixe A de tal forma que formem uma partição de (e). Então:

se e apenas se S = T + R e (é o pagamento de).

Declaração 6: Deixe ser uma aposta complexa. Se é uma partição de com A e se

Declaração 8: Se as apostas e forem equivalentes, então.

Declaração 10: Os lucros de duas apostas equivalentes têm a mesma expectativa matemática.

As provas destas afirmações e outros resultados importantes com aplicação direta na criação e gestão dos sistemas de apostas na roleta encontram-se no livro, juntamente com exemplos e aplicações. Esta partição em classes de equivalência do conjunto B de apostas complexas e toda a teoria matemática levam ao apostas melhoradas. A more precise definition for an improved bet is a bet obtained through a transformation upon an initial bet related to its stakes and/or placements, according to personal objective and/or subjective strategic criteria. A transformation is an act of choice over the equivalence classes of B or within a certain equivalence class. The mathematical theory of complex bets helps to restrain the area of choice and select the improved bets that fit a certain personal strategy.

Categories of improved bets:

Betting on a colour and on numbers of the opposite colour

This complex bet consists of a colour bet (payout 1 to 1) and several straight-up bets (payout 35 to 1) on numbers of the opposite colour. Let us denote by S the amount bet on each number, by cS the amount bet on the colour and by n the number of bets placed on single numbers (the number of straight-up bets). S is a positive real number (measurable in any currency), the coefficient c is also a positive real number and n is a non-negative natural number (between 1 and 18 because there are 18 numbers of one colour). The possible events after the spin are: UMA winning the bet on colour, B winning a bet on a number and C not winning any bet. These events are mutually exclusive and exhaustive, so:

Now let us find the probability of each event and the profit or loss in each case:

UMA. The probability of a number of a certain colour winning is P(UMA) = 18/38 = 9/19 = 47.368%. In the case of winning the colour bet, the player wins cS nS = (c n)S, using the convention that if this amount is negative, that will be called a loss.

B. The probability of one of n specific numbers winning is P(B) = n/38. In the case of winning a straight-up bet, the player wins 35S (n 1)S cS = (36 n c)S, using the same convention from event UMA.

C. The probability of not winning any bet is . In the case of not winning any bet, the player loses cS + nS = (c + n)S.

The overall winning probability is .

With this formula, increasing the probability of winning would be done by increasing n. But this increase should be done under the constraint of the bet being non-contradictory. Of course, this reverts to a constraint on the coefficients c. It is natural to put the condition of a positive profit in both cases UMA e B, which results in: n < c < 36 n. This condition gives a relation between parameters n e c and restrains the number of subcases to be studied.

These formulas return the next tables of values, in which n increases from 1 to 17 and c increases by increments of 0.5. S is left as a variable for players to replace with any basic stake according to their own betting behaviors and strategies.


The second derivative is what you get when you differentiate the derivative. Remember that the derivative of y with respect to x is written dy/dx. The second derivative is written d 2 y/dx 2 , pronounced "dee two y by d x squared".

Stationary Points

The second derivative can be used as an easier way of determining the nature of stationary points (whether they are maximum points, minimum points or points of inflection).

A stationary point on a curve occurs when dy/dx = 0. Once you have established where there is a stationary point, the type of stationary point (maximum, minimum or point of inflexion) can be determined using the second derivative.

Se d 2 y é positive, then it is a minimum point
dx 2
Se d 2 y é negative, then it is a maximum point
dx 2
Se d 2 y = zero, then it could be a maximum, minimum or point of inflexion
dx 2

If d 2 y/dx 2 = 0, you must test the values of dy/dx either side of the stationary point, as before in the stationary points section.

Find the stationary points on the curve y = x 3 - 27x and determine the nature of the points:

At stationary points, dy/dx = 0
dy/dx = 3x 2 - 27

If this is equal to zero, 3x 2 - 27 = 0
Hence x 2 - 9 = 0 (dividing by 3)
So (x + 3)(x - 3) = 0
So x = 3 or -3

d 2 y/dx 2 = 6x
When x = 3, d 2 y/dx 2 = 18, which is positive.
When x = -3, d 2 y/dx 2 = -18, which is negative.

Hence there is a minimum point at x = 3 and a maximum point at x = -3.


Maybe, this will help. Let's suppose the samples are taking from a normal distribution. Then using the fact that $frac<(n-1)S^2>$ is a chi squared random variable with $(n-1)$ degrees of freedom, we get $egin ext

where we have used that fact that $ ext

Here's a general derivation that does not assume normality.

Let's rewrite the sample variance $S^2$ as an average over all pairs of indices: $S^2=<1over>sum_<> <1over2>(X_i-X_j)^2.$ Since $mathbb[(X_i-X_j)^2/2]=sigma^2$, we see that $S^2$ is an unbiased estimator for $sigma^2$.

The variance of $S^2$ is the expected value of $left(<1over>sum_<> left[<1over2>(X_i-X_j)^2-sigma^2 ight] ight)^2.$

When you expand the outer square, there are 3 types of cross product terms $left[<1over2>(X_i-X_j)^2-sigma^2 ight] left[<1over2>(X_k-X_ell)^2-sigma^2 ight]$ depending on the size of the intersection $cap$.

When this intersection is empty, the factors are independent and the expected cross product is zero.

There are $n(n-1)(n-2)$ terms where $|cap|=1$ and each has an expected cross product of $(mu_4-sigma^4)/4$.

There are $$ terms where $|cap|=2$ and each has an expected cross product of $(mu_4+sigma^4)/2$.

Putting it all together shows that $mbox(S^2)=-.$ Here $mu_4=mathbb[(X-mu)^4]$ is the fourth central moment of $X$.

There can be some confusion in defining the sample variance . 1/n vs 1/(n-1). The OP here is, I take it, using the sample variance with 1/(n-1) . namely the unbiased estimator of the population variance, otherwise known as the second h-statistic:

These sorts of problems can now be solved by computer. Here is the solution using the mathStatica add-on to Mathematica. In particular, we seek the Var[h2], where the variance is just the 2nd central moment, and express the answer in terms of central moments of the population:

We could just as easily find, say, the 4th central moment of the sample variance, as:

Showing the derivation of $E(left[<1over2>(X-Y)^2-sigma^2 ight]^2) = (mu_4+sigma^4)/2$ of user940:

$E(left[<1over2>(X-Y)^2-sigma^2 ight]^2) = E(frac<1><4>(X-Y)^4 - (X-Y)^2 sigma^2 + sigma^4) = E(frac<1><4>(X-Y)^4) - 2sigma^2sigma^2 + sigma^4 = E(frac<1><4>(X-Y)^4) - sigma^4 = frac<1><4>E(X^4 -4X^3Y +6X^2Y^2 -4XY^3 + Y^4) -sigma^4 = frac<1><4>(2E(X^4) -8E(X)E(X^3) +6 E(X^2)(X^2)) - sigma^4 = frac<1><2>(E(X^4)-4E(X)E(X^3) +3 E(X^2)(X^2) - 2sigma^4)$

I use the fact that $E((x-y)^2) = 2sigma^2$ here.

$ equire (mu_4+sigma^4)/2 = frac<1><2>(E((X-mu)^4) + sigma^4) = frac<1><2>(E((X-E(X))^4) + sigma^4) = frac<1><2>(E(X^4 -4X^3E(X) + 6X^2E(X)^2 -4XE(X)^3 + E(X)^4) + sigma^4) = frac<1><2>(E(X^4 -4X^3E(X) + 6X^2E(X^2) - 6X^2sigma^2 -4XE(X)(E(X^2)-sigma^2) + (E(X^2)-sigma^2)^2) + sigma^4) = frac<1><2>(E(X^4) -4E(X)^3E(X) + 6E(X)^2E(X^2) - 6E(X)^2sigma^2 -4E(X)^2(E(X^2)-sigma^2) + (E(X^2)-sigma^2)^2 + sigma^4) = frac<1><2>(E(X^4) -4E(X)^3E(X) + 6E(X)^2E(X^2) - cancel <6E(X)^2sigma^2>-4E(X^2)E(X^2) +cancel <4E(X^2)sigma^2 +4E(X^2)sigma^2>- 4sigma^4 + E(X^2)^2-cancel <2E(X^2)sigma^2>+ sigma^4 + sigma^4) = frac<1><2>(E(X^4) -4E(X)^3E(X) + 3E(X)^2E(X^2) - 2sigma^4)$


Assista o vídeo: Exercícios Resolvidos - Múltiplos e Divisores MMC e MDC - Prof. Gui (Outubro 2021).