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5.4: Resolva Equações Quadráticas na Forma Quadrática


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Resolva equações na forma quadrática

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Fator por substituição: (y ^ {4} -y ^ {2} -20 ).
  2. Fator por substituição: ((y-4) ^ {2} +8 (y-4) +15 ).
  3. Simplificar
    1. (x ^ { frac {1} {2}} cdot x ^ { frac {1} {4}} )
    2. ( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {2} )
    3. ( left (x ^ {- 1} right) ^ {2} )

Resolva equações na forma quadrática

Às vezes, quando fatoramos os trinômios, o trinômio não parecia estar na forma (ax ^ {2} + bx + c ). Assim, fatoramos por substituição, permitindo-nos fazê-lo caber na forma (ax ^ {2} + bx + c ). Usamos o padrão (u ) para a substituição.

Para fatorar a expressão (x ^ {4} -4 x ^ {2} -5 ), notamos que a parte variável do termo do meio é (x ^ {2} ) e seu quadrado, (x ^ {4} ), é a parte variável do primeiro termo. (Sabemos ( left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ).) Portanto, deixamos (u = x ^ {2} ) e fatorado.

( left ( color {red} x ^ 2 color {black} right) ^ {2} -4 left ( color {red} x ^ {2} color {black} right) -5 )
Deixe (u = x ^ {2} ) e substitua.
Fatore o trinômio. ((u + 1) (u-5) )
Substitua (u ) por (x ^ {2} ). ( left ( color {red} x ^ {2} color {black} + 1 right) left ( color {red} x ^ 2 color {black} -5 right) )

Da mesma forma, às vezes uma equação não está na forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), mas se parece muito com uma equação quadrática. Então, muitas vezes podemos fazer uma substituição cuidadosa que nos permitirá ajustá-la à forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ). Se pudermos ajustá-lo à forma, poderemos usar todos os nossos métodos para resolver equações quadráticas.

Observe que na equação quadrática (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), o termo do meio tem uma variável, (x ), e seu quadrado, (x ^ {2} ), é a parte variável do primeiro termo. Procure essa relação ao tentar encontrar uma substituição.

Novamente, usaremos o padrão (u ) para fazer uma substituição que colocará a equação na forma quadrática. Se a substituição nos der uma equação da forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), dizemos que a equação original era de forma quadrática.

O próximo exemplo mostra as etapas para resolver uma equação na forma quadrática.

Exemplo ( PageIndex {1} ) Como resolver equações na forma quadrática

Resolva: (6 x ^ {4} -7 x ^ {2} + 2 = 0 )

Solução:

Passo 1: Identifique uma substituição que colocará a equação na forma quadrática.Como ( left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ), deixamos (u = x ^ {2} ).
Passo 2: Reescreva a equação com a substituição para colocá-la na forma quadrática.

Reescreva para se preparar para a substituição.

Substitua (u = x ^ {2} ).

etapa 3: Resolva a equação quadrática para (u ).

Podemos resolver por fatoração.

Use a propriedade Zero Product.

( begin {alinhado} (2 u-1) (3 u-2) & = 0 2 u-1 = 0, 3 u-2 & = 0 2 u = 1,3 u & = 2 u = frac {1} {2} u & = frac {2} {3} end {alinhado} )
Passo 4: Substitua a variável original de volta nos resultados, usando a substituição.Substitua (u ) por (x ^ {2} ). (x ^ {2} = frac {1} {2} quad x ^ {2} = frac {2} {3} )
Etapa 5: Resolva para a variável original.Resolva para (x ), usando a propriedade de raiz quadrada.

( begin {array} {ll} {x = pm sqrt { frac {1} {2}}} & {x = pm sqrt { frac {2} {3}}} { x = pm frac { sqrt {2}} {2}} & {x = pm frac { sqrt {6}} {3}} end {array} )

Existem quatro soluções.

( begin {array} {ll} {x = frac { sqrt {2}} {2}} & {x = frac { sqrt {6}} {3}} {x = - frac { sqrt {2}} {2}} & {x = - frac { sqrt {6}} {3}} end {array} )

Etapa 6: Verifique as soluções.Verifique todas as quatro soluções. Mostraremos um cheque aqui.

Deixamos os outros cheques para você!

Exercício ( PageIndex {1} )

Resolva: (x ^ {4} -6 x ^ {2} + 8 = 0 ).

Responder

(x = sqrt {2}, x = - sqrt {2}, x = 2, x = -2 )

Exercício ( PageIndex {2} )

Resolva: (x ^ {4} -11 x ^ {2} + 28 = 0 ).

Responder

(x = sqrt {7}, x = - sqrt {7}, x = 2, x = -2 )

Resumimos as etapas para resolver uma equação na forma quadrática.

Resolva equações na forma quadrática

  1. Identifique uma substituição que colocará a equação na forma quadrática.
  2. Reescreva a equação com a substituição para colocá-la na forma quadrática.
  3. Resolva a equação quadrática para (u ).
  4. Substitua a variável original de volta nos resultados, usando a substituição.
  5. Resolva para a variável original.
  6. Verifique as soluções.

No próximo exemplo, o binômio no termo do meio, ((x-2) ) é elevado ao quadrado no primeiro termo. Se deixarmos (u = x-2 ) e substituirmos, nosso trinômio estará na forma (a x ^ {2} + b x + c ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Resolva: ((x-5) ^ {2} +6 (x-5) + 8 = 0 ).

Responder

(x = 3, x = 1 )

Exercício ( PageIndex {4} )

Resolva: ((y-4) ^ {2} +8 (y-4) + 15 = 0 ).

Responder

(y = -1, y = 1 )

No próximo exemplo, notamos que (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). Além disso, lembre-se de que, quando elevamos ao quadrado os dois lados de uma equação, podemos introduzir raízes estranhas. Certifique-se de verificar suas respostas!

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolva: (x-3 sqrt {x} + 2 = 0 ).

Solução:

O ( sqrt {x} ) no meio termo, é elevado ao quadrado no primeiro termo (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). Se deixarmos (u = sqrt {x} ) e substituirmos, nosso trinômio estará na forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Reescreva o trinômio para se preparar para a substituição.
Deixe (u = sqrt {x} ) e substitua.
Resolva por fatoração.
Substitua (u ) por ( sqrt {x} ).
Resolva para (x ), elevando ao quadrado ambos os lados.

Verificar:

Exercício ( PageIndex {5} )

Resolva: (x-7 sqrt {x} + 12 = 0 ).

Responder

(x = 9, x = 16 )

Exercício ( PageIndex {6} )

Resolva: (x-6 sqrt {x} + 8 = 0 ).

Responder

(x = 4, x = 16 )

As substituições de expoentes racionais também podem nos ajudar a resolver uma equação na forma quadrática. Pense nas propriedades dos expoentes ao começar o próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva: (x ^ { frac {2} {3}} - 2 x ^ { frac {1} {3}} - 24 = 0 ).

Solução:

O (x ^ { frac {1} {3}} ) no termo do meio é elevado ao quadrado no primeiro termo ( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {2 } = x ^ { frac {2} {3}} ). Se deixarmos (u = x ^ { frac {1} {3}} ) e substituirmos, nosso trinômio estará na forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Reescreva o trinômio para se preparar para a substituição.
Vamos (u = x ^ { frac {1} {3}} )
Resolva por fatoração.

((u-6) (u + 4) = 0 )

(u-6 = 0, quad u + 4 = 0 )

(u = 6, quad u = -4 )

Substitua (u ) por (x ^ { frac {1} {3}} ).

(x ^ { frac {1} {3}} = 6, quad x ^ { frac {1} {3}} = - 4 )

Resolva para (x ) dividindo os dois lados ao cubo.

( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {3} = (6) ^ {3}, quad left (x ^ { frac {1} {3}} direita) ^ {3} = (- 4) ^ {3} )

(x = 216, quad x = -64 )

Verificar:

Exercício ( PageIndex {7} )

Resolva: (x ^ { frac {2} {3}} - 5 x ^ { frac {1} {3}} - 14 = 0 ).

Responder

(x = -8, x = 343 )

Exercício ( PageIndex {8} )

Resolva: (x ^ { frac {1} {2}} + 8 x ^ { frac {1} {4}} + 15 = 0 ).

Responder

(x = 81, x = 625 )

No próximo exemplo, precisamos ter em mente a definição de um expoente negativo, bem como as propriedades dos expoentes.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Resolva: (3 x ^ {- 2} -7 x ^ {- 1} + 2 = 0 ).

Solução:

O (x ^ {- 1} ) no termo do meio é elevado ao quadrado no primeiro termo ( left (x ^ {- 1} right) ^ {2} = x ^ {- 2} ). Se deixarmos (u = x ^ {- 1} ) e substituirmos, nosso trinômio estará na forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Reescreva o trinômio para se preparar para a substituição.
Deixe (u = x ^ {- 1} ) e substitua.
Resolva por fatoração. ((3 u-1) (u-2) = 0 )
(3 u-1 = 0, quad u-2 = 0 )
Substitua (u ) por (x ^ {- 1} ).
Resolva para (x ) tomando o recíproco, pois (x ^ {- 1} = frac {1} {x} ).

Verificar:

Exercício ( PageIndex {9} )

Resolva: (8 x ^ {- 2} -10 x ^ {- 1} + 3 = 0 ).

Responder

(x = frac {4} {3}, x = 2 )

Exercício ( PageIndex {10} )

Resolva: (6 x ^ {- 2} -23 x ^ {- 1} + 20 = 0 ).

Responder

(x = frac {2} {5}, x = frac {3} {4} )

Acesse este recurso online para obter instruções adicionais e prática com a resolução de equações quadráticas.

  • Resolvendo Equações na Forma Quadrática

Conceitos chave

  • Como resolver equações na forma quadrática.
    1. Identifique uma substituição que colocará a equação na forma quadrática.
    2. Reescreva a equação com a substituição para colocá-la na forma quadrática.
    3. Resolva a equação quadrática para (u ).
    4. Substitua a variável original de volta nos resultados, usando a substituição.
    5. Resolva para a variável original.
    6. Verifique as soluções.

MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS

Na equação quadrática fornecida, o coeficiente de x 2 & # xa0 é 1.

Decomponha o termo constante -24 em dois fatores, de modo que o produto dos dois fatores seja igual a -24 e a adição de dois fatores seja igual ao coeficiente de x, ou seja, 5. & # Xa0

Então, os dois fatores de -24 são & # xa0

Fatore a equação quadrática fornecida usando +3 e -8 e resolva para x.

Resolva a equação quadrática por fatoração:

Na equação quadrática fornecida, o coeficiente de x 2 & # xa0 não é 1.

Então, m ultiplique o coeficiente de x 2 & # xa0 e o termo constante "-12". & # xa0

Decomponha -36 em dois fatores, de modo que o produto de dois fatores seja igual a -36 e a adição de dois fatores seja igual ao coeficiente de x, ou seja, -5.

Então, os dois fatores de -36 são & # xa0

Agora temos que dividir os dois fatores 4 e -3 pelo coeficiente de & # xa0x 2, que é 3.

Agora, fatorar a equação quadrática fornecida e resolver para x como mostrado abaixo. & # Xa0

Resolva a equação quadrática usando a fórmula quadrática:

A equação quadrática fornecida está na forma de & # xa0

Substitua os valores acima de a, b e c na fórmula quadrática. & # Xa0

Portanto, a solução é

Resolva a seguinte equação quadrática completando o método do quadrado.

Na equação quadrática fornecida 9x 2 & # xa0- 12x + 4 = 0, divida a equação completa por 9 (coeficiente de x 2). & # Xa0

Subtraia 4/9 de cada lado. & # Xa0

No resultado da etapa 2, escreva o termo "x" como um múltiplo de 2. & # Xa0

Agora adicione (2/3) 2 & # xa0 a cada lado para completar o quadrado do lado esquerdo da equação. & # Xa0 & # xa0

Obtenha raiz quadrada em ambos os lados. & # Xa0

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Sempre apreciamos seus comentários. & # Xa0

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5.4: Resolva Equações Quadráticas na Forma Quadrática

Nesta seção, veremos as equações que são chamadas quadrático na forma ou redutível a quadrático na forma. O que isso significa é que estaremos olhando para as equações que, se as olharmos da maneira correta, podemos fazer com que se pareçam com equações quadráticas. Nesse ponto, podemos usar as técnicas que desenvolvemos para equações quadráticas para nos ajudar com a solução da equação real.

Normalmente, é melhor mostrar o processo com um exemplo, então vamos fazer isso.

Agora, vamos começar aqui observando que

Em outras palavras, podemos notar aqui que a parte variável do primeiro termo (ou seja, ignorar o coeficiente) nada mais é do que a parte variável do segundo termo ao quadrado. Observe também que tudo o que realmente precisamos notar aqui é que o expoente no primeiro termo foi duas vezes o expoente no segundo termo.

Isso, junto com o fato de que o terceiro termo é uma constante, significa que essa equação é redutível a quadrática na forma. Vamos resolver isso definindo primeiro,

Portanto, podemos escrever a equação em termos de (u ) ’s em vez de (x )’ s como segue,

[ - 7 + 12 = 0 hspace <0,5in> Rightarrow hspace <0,5in> - 7u + 12 = 0 ]

A nova equação (aquela com os (u ) ’s) é uma equação quadrática e podemos resolver isso. Na verdade, esta equação é fatorável, então a solução é,

[ - 7u + 12 = left ( direita esquerda( right) = 0 hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> u = 3, , , u = 4 ]

Então, temos as duas soluções mostradas acima. Estas não são as soluções que procuramos. Queremos valores de (x ), não valores de (u ). Isso não é realmente um problema, uma vez que lembramos que definimos

Para obter valores de (x ) para a solução, tudo o que precisamos fazer é inserir (u ) nesta equação e resolver para (x ). Vamos fazer isso.

[começaru = 3: & hspace <0,25in> 3 = hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = pm sqrt 3 u = 4: & hspace <0.25in> 4 = hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = pm sqrt 4 = pm 2 end]

Portanto, temos quatro soluções para a equação original, (x = pm 2 ) e (x = pm sqrt 3 ).

Portanto, o processo básico é verificar se a equação é redutível a quadrática na forma e fazer uma substituição rápida para transformá-la em uma equação quadrática. Resolvemos a nova equação para (u ), a variável da substituição, e então usamos essas soluções e a definição de substituição para obter as soluções para a equação que realmente queremos.

Na maioria dos casos, para verificar se ele é redutível a quadrático na forma, tudo o que realmente precisamos fazer é verificar se um dos expoentes é o dobro do outro. Há uma exceção a isso que veremos aqui, uma vez que entrarmos em um conjunto de exemplos.

Além disso, uma vez que você se torna "bom" nisso, você geralmente não precisa fazer a substituição também. Faremos isso para garantir que o trabalho seja claro. No entanto, esses problemas podem ser resolvidos sem a substituição em muitos casos.

Ok, neste caso, podemos ver que,

e então um dos expoentes é duas vezes o outro, então parece que temos uma equação que é redutível a quadrática na forma. A substituição será então,

Substituir isso na equação dá,

[começar - 2u - 15 & = 0 left ( direita esquerda( right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> u = - 3, , , , u = 5 end]

Agora que obtivemos as soluções para (u ), podemos encontrar os valores de (x ).

Portanto, temos duas soluções aqui (x = - 27 ) e (x = 125 ).

Para esta parte, observe que,

e, portanto, temos uma equação que pode ser reduzida à forma quadrática. A substituição é,

[começar - 9u + 8 & = 0 left ( direita esquerda( direita) & = 0 hspace <0,5in> u = 1, , , u = 8 end]

Agora, voltar para (y ) 's vai dar um pouco mais de trabalho aqui, mas não deve ser tão ruim.

As duas soluções para esta equação são (y = 1 ) e (y = frac <1> <2> ).

Este é um pouco mais complicado de ver que é quadrático na forma, mas é. Para ver isso, lembre-se de que o expoente na raiz quadrada é a metade, então podemos notar que o expoente no primeiro termo é duas vezes o expoente no segundo termo. Portanto, essa equação é de fato redutível a quadrática na forma.

A equação então se torna,

[começar - 9u + 14 & = 0 left ( direita esquerda( right) & = 0 hspace <0.25in> u = 2, , , u = 7 end]

[começaru = 2: & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> sqrt z = 2 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> z = < left (2 right) ^ 2 > = 4 u = 7: & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> sqrt z = 7 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> z = < left (7 direita) ^ 2> = 49 fim]

As duas soluções para esta equação são (z = 4 ) e (z = 49 )

Agora, esta parte é a exceção à regra que temos usado para identificar equações que são redutíveis a quadráticas na forma. Existe apenas um termo com um (t ) nele. No entanto, observe que podemos escrever a equação como,

Então, se usarmos a substituição,

e, portanto, é redutível na forma quadrática.

Agora, podemos resolver isso usando a propriedade da raiz quadrada. Fazer isso dá,

Agora, voltando para (t ) 's nos dá,

[começaru = 2: & hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> = 2 hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> t = pm sqrt 2 u = - 2: & hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> = - 2 hspace <0,5in> Rightarrow hspace <0,25in> t = pm sqrt <- 2> = pm sqrt 2 , , i end]

Neste caso, temos quatro soluções e duas delas são soluções complexas. A obtenção de soluções complexas a partir deles é realmente mais comum do que este conjunto de exemplos pode sugerir. O problema é que para obter algumas das soluções complexas é necessário um conhecimento que não abordamos (e não abordaremos neste curso). Então, eles não aparecem com tanta frequência.

Todos os exemplos até este ponto deram equações quadráticas que eram fatoráveis ​​ou, no caso da última parte do exemplo anterior, era uma equação na qual poderíamos usar a propriedade da raiz quadrada. No entanto, nem sempre é esse o caso. É mais do que possível que precisássemos da fórmula quadrática para fazer alguns desses. Devemos fazer um exemplo de um desses apenas para deixar o ponto.

Neste caso, podemos reduzir isso para quadrático na forma usando a substituição,

Usando esta substituição, a equação se torna,

Isso não leva em consideração e, portanto, precisaremos usar a fórmula quadrática nele. A partir da fórmula quadrática, as soluções são,

Agora, a fim de voltar para (x ) 's, vamos precisar de valores decimais para estes, então,

Agora, usando a substituição para voltar para (x ) 's dá o seguinte,

Tivemos que usar uma calculadora para obter a resposta final para essas questões. Esta é uma das razões pelas quais você não tende a ver muitos desses feitos em uma aula de álgebra. O trabalho e / ou as respostas tendem a ser um pouco confusos.


5.4: Resolva Equações Quadráticas na Forma Quadrática

Equações quadráticas ocorrem em quase todos os lugares em nossa vida real. Por exemplo, mesmo o problema de projetar um playground pode ser formulado como uma equação quadrática. Quando tantas situações dão origem a equações quadráticas, surge um interesse genuíno na busca por suas soluções. Vamos dizer que Q (x) = 0 é uma equação quadrática. As soluções para uma equação quadrática representam os pontos em que esta equação é satisfeita que é Q (x) = 0. As soluções também são chamadas de raízes / zeros da equação quadrática. Vejamos algumas abordagens para resolver as equações quadráticas.

Equação quadrática

Uma equação quadrática é um polinômio de segundo grau. Sua forma geral é dada por,

a, bec são números reais enquanto a ≠ 0. Sua forma é uma parábola que se abre para cima ou para baixo dependendo do valor de & # 8220a & # 8221.

Sua solução é o ponto onde a equação é satisfeita. Existem vários métodos para descobrir uma solução para a equação quadrática dada a seguir:

Factoring

Tentamos fatorar a equação de modo a obtermos a equação na forma do produto de dois termos. Então, ao igualar esses dois termos a zero, obtemos as raízes.

  1. Todos os termos devem estar em um lado da equação, LHS ou RHS deixando zero do outro lado.
  2. Fatorar a equação
  3. Defina os fatores iguais a zero para encontrar as raízes uma por uma.

Vejamos esse método em mais detalhes usando os exemplos abaixo:

Questão 1: Fatorar a seguinte equação e encontrar suas raízes: 2x 2 & # 8211 x & # 8211 1 = 0


⇒ (2x + 1) (x & # 8211 1) = 0

Para esta equação, dois são zero, um desses ou ambos os termos devem ser zero.

Portanto, podemos descobrir as raízes igualando esses termos a zero.

2x + 1 = 0

x = />

x & # 8211 1 = 0

⇒ x = 1

Portanto, obtemos duas raízes na equação.

x = 1 e />

Questão 2: Fatorar a seguinte equação e encontrar suas raízes: x 2 + x & # 8211 12 = 0

x 2 + x & # 8211 12 = 0

⇒ x 2 + 4x & # 8211 3x & # 8211 12 = 0

⇒ x (x + 4) -3 (x + 4) = 0

⇒ (x & # 8211 3) (x + 4) = 0

Equacionando esses dois termos com zero.

x & # 8211 3 = 0 e x & # 8211 4 = 0

x = 3 e 4

Completando o quadrado

Tentamos trazer a equação na forma de quadrados inteiros, por exemplo: (x & # 8211 a) 2 & # 8211 b 2 = 0.

Passos para descobrir as raízes completando o método do quadrado:

Passo 1: Traga a equação na forma ax 2 + bx = -c.

Passo 2: Precisamos ter certeza de que a = 1 (se a ≠ 1, multiplique pela equação por antes de ir para a próxima etapa.)

Etapa 3: Use o valor de b desta nova equação e em ambos os lados da equação para formar um quadrado perfeito no lado esquerdo da equação.

Passo 4: Encontre a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

Etapa 5: Resolva o resultado para obter as raízes.

Vejamos alguns exemplos a respeito disso,

Pergunta 1: Encontre as raízes da seguinte equação, completando o método do quadrado & # 8217s.

4x 2 + 12x + 9 = 0.


⇒ (2x) 2 + 2 (3) (2) x + 3 2 = 0

Podemos ver que esta equação é um quadrado perfeito,

⇒ (2x + 3) 2 = 0

Para descobrir os zeros nesta equação,

2x + 3 = 0

x = />

Esta equação tem raiz repetida, que é x = />

A pergunta acima tinha uma equação que era um quadrado perfeito, mas pode não ser o caso todas as vezes. Nesses casos, traremos a equação na forma fornecida acima usando as etapas que são mencionadas.

Questão 2: Encontre as raízes da equação completando o método do quadrado & # 8217s.

9x 2 + 24x + 3 = 0

9x 2 + 24x + 3 = 0

Esta equação pode ser reescrita como,

⇒ 9x 2 + 24x + 16 & # 8211 13 = 0

⇒ (3x) 2 + 24x + 4 2 -13 = 0

⇒ (3x + 4) 2 -13 = 0

⇒ (3x + 4) 2 - (√13) 2 = 0

⇒ (3x + 4) 2 = (√13) 2

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

3x + 4 = √13 ou 3x + 4 = -√13



Obtemos nossas raízes resolvendo essas duas equações,

3x + 4 = √13

x =

Similarmente,

3x + 4 = & # 8211 √13

x =

Fórmula quadrática

Todas as equações quadráticas podem ser resolvidas usando a fórmula quadrática.

Para uma equação da forma,

ax 2 + bx + c = 0,

Onde a, bec são números reais e a ≠ 0.

As raízes desta equação são dadas por,

x =

Dado que b 2 & # 8211 4ac é maior ou igual a zero.

Pergunta 1: Descubra as raízes da equação usando a Fórmula Quadrática,

4x 2 + 10x + 3 = 0

4x 2 + 10x + 3 = 0

Usando a Fórmula Quadrática para resolver isso,

a = 4, b = 10 e c = 3

Antes de inserir os valores, precisamos verificar o discriminador



b 2 e # 8211 4ac

⇒ 10 2 – 4(4)(3)

⇒ 100 – 48

⇒ 52

Isso é maior que zero, então agora podemos aplicar a fórmula quadrática.

Conectando os valores na equação quadrática,

Pergunta 2: Descubra as raízes da equação usando a fórmula quadrática,

5x 2 + 9x + 4 = 0

5x 2 + 9x + 4 = 0

Usando a Fórmula Quadrática,

a = 5, b = 9 e c = 4.

Antes de inserir os valores, precisamos verificar o discriminador

b 2 e # 8211 4ac

⇒ 9 2 – 4(5)(4)

⇒ 81 – 80

⇒ 1

Isso é maior que zero, então a fórmula quadrática pode ser aplicada. Conectando os valores na fórmula,


Teoria - raízes de um produto:

3.1 Um produto de vários termos é igual a zero.

Quando um produto de dois ou mais termos é igual a zero, pelo menos um dos termos deve ser zero.

Devemos agora resolver cada termo = 0 separadamente

Em outras palavras, vamos resolver tantas equações quantos forem os termos do produto

Qualquer solução de term = 0 resolve product = 0 também.

Resolvendo uma Equação de Variável Única:

(x + 5) 2 representa, com efeito, um produto de 2 termos que é igual a zero

Para que o produto seja zero, pelo menos um desses termos deve ser zero. Uma vez que todos esses termos são iguais entre si, na verdade significa: x + 5 = 0

Subtraia 5 de ambos os lados da equação:
x = -5

Resolvendo uma Equação de Variável Única:

Subtraia 7 de ambos os lados da equação:
x = -7

Resolvendo uma Equação de Variável Única:

Subtraia 3 de ambos os lados da equação:
x = -3

Suplemento: Resolvendo Equação Quadrática Diretamente

Anteriormente, fatoramos esse polinômio dividindo o termo do meio. vamos agora resolver a equação completando o quadrado e usando a fórmula quadrática

Parábola, encontrando o vértice:

4.1 Encontre o vértice de y = x 2 + 10x + 21

As parábolas têm um ponto mais alto ou mais baixo denominado Vértice. Nossa parábola se abre e, portanto, tem um ponto mais baixo (também conhecido como mínimo absoluto). Sabemos disso antes mesmo de traçar "y" porque o coeficiente do primeiro termo, 1, é positivo (maior que zero).

Cada parábola possui uma linha vertical de simetria que passa por seu vértice. Por causa dessa simetria, a linha de simetria passaria, por exemplo, pelo ponto médio dos dois interceptos x (raízes ou soluções) da parábola. Ou seja, se a parábola tiver de fato duas soluções reais.

As parábolas podem modelar muitas situações da vida real, como a altura acima do solo, de um objeto jogado para cima, após algum período de tempo. O vértice da parábola pode nos fornecer informações, como a altura máxima que o objeto, lançado para cima, pode atingir. Por esta razão, queremos ser capazes de encontrar as coordenadas do vértice.

Para qualquer parábola, Ax 2 + Bx + C, a coordenada x do vértice é dada por -B / (2A). No nosso caso, a coordenada x é -5,0000

Conectando-se à fórmula da parábola -5,0000 para x, podemos calcular a coordenada y:
y = 1,0 * -5,00 * -5,00 + 10,0 * -5,00 + 21,0
ou y = -4.000

Parábola, vértice gráfico e interceptações X:

Gráfico raiz para: y = x 2 + 10x + 21
Eixo de simetria (tracejado) = <-5.00>
Vértice em = <-5.00,-4.00>
x -Intercepts (Roots):
Root 1 em = <-7.00, 0.00>
Root 2 em =

Resolva a equação quadrática completando o quadrado

4.2 Resolvendo x 2 + 10x + 21 = 0 completando o quadrado.

Subtraia 21 de ambos os lados da equação:
x 2 + 10x = -21

Agora a parte mais inteligente: pegue o coeficiente de x, que é 10, divida por dois, dando 5 e, finalmente, eleve ao quadrado, dando 25

Adicione 25 a ambos os lados da equação:
No lado direito, temos:
-21 + 25 ou, (-21/1) + (25/1)
O denominador comum das duas frações é 1 Somando (-21/1) + (25/1) dá 4/1
Assim, adicionando os dois lados, finalmente obtemos:
x 2 + 10x + 25 = 4

Adicionar 25 completou o lado esquerdo em um quadrado perfeito:
x 2 + 10x + 25 =
(x + 5) • (x + 5) =
(x + 5) 2
Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais umas às outras. Desde
x 2 + 10x + 25 = 4 e
x 2 + 10x + 25 = (x + 5) 2
então, de acordo com a lei da transitividade,
(x + 5) 2 = 4

Vamos nos referir a esta equação como Eq. # 4.2.1

O Princípio da Raiz Quadrada diz que quando duas coisas são iguais, suas raízes quadradas são iguais.

Observe que a raiz quadrada de
(x + 5) 2 é
(x + 5) 2/2 =
(x + 5) 1 =
x + 5

Agora, aplicando o princípio da raiz quadrada à Eq. # 4.2.1 obtemos:
x + 5 = √ 4

Subtraia 5 de ambos os lados para obter:
x = -5 + √ 4

Uma vez que uma raiz quadrada tem dois valores, um positivo e outro negativo
x 2 + 10x + 21 = 0
tem duas soluções:
x = -5 + √ 4
ou
x = -5 - √ 4

Resolva a equação quadrática usando a fórmula quadrática

4.3 Resolvendo x 2 + 10x + 21 = 0 pela Fórmula Quadrática.

De acordo com a Fórmula Quadrática, x, a solução para Ax 2 + Bx + C = 0, onde A, B e C são números, muitas vezes chamados de coeficientes, é dada por:

- B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A


Resolvendo Quadrática em Equações de Formulário

Uma equação quadrática na forma é uma equação que pode ser convertida na forma quadrática fazendo uma substituição. Por exemplo, a equação x 4 − 14 x 2 + 49 = 0 pode ser convertido em uma equação quadrática fazendo a substituição y = x ².

x 4 − 14 x 2 + 49 = 0 torna-se y ² − 14 y + 49 = 0

Uma vez que a equação é convertida para a forma quadrática, a equação pode ser resolvida fatorando, completando o quadrado ou usando a Fórmula Quadrática.

y ² − 14 y + 49 = 0 pode ser fatorado em ( y − 7)² = 0

Isso dá a solução para y : y = 7

Agora, podemos substituir de volta para obter solução (ões) para x . Lembre-se disso y = x ².

y = 7 torna-se x ² = 7

Resolva para x aplicando a propriedade de raiz quadrada.

Exemplo 1. Resolva a equação ( x − 2) 2/3 + ( x − 2) 1/3 − 2 = 0.

Esta equação pode ser convertida em uma equação quadrática, fazendo a substituição y = ( x − 2) 1/3 .

[( x − 2) 1/3 ] 2 + ( x - 2) 1/3 - 2 = 0 torna-se y ² + y − 2 = 0

Esta equação pode ser resolvida por fatoração.

y ² + y - 2 = 0 pode ser fatorado em ( y − 1)( y + 2) = 0

Defina os fatores iguais a zero e resolva:

Substituto reverso para obter solução (ões) para x . Lembre-se disso y = ( x − 2) 1/3 .

y = 1 torna-se ( x - 2) 1/3 = 1 e y = -2 torna-se ( x − 2) 1/3 = −2

Resolva para x reduzindo ao cubo cada lado de cada equação e, em seguida, adicionando 2.

Faça um cubo de cada lado da equação:

Faça um cubo de cada lado da equação:

Para equações que incluem raízes diferentes da raiz quadrada, você deseja remover as raízes (1) isolando o termo raiz em um lado da equação e (2) elevando ambos os lados da equação à potência apropriada.


Resolvendo Equação Quadrática

não se esqueça de ± sinal

& # 8226 Soluções são

& # 8226 Simplifique e escreva como 2 números separados se & # 8722 k / a for um quadrado perfeito

2. A equação não está na forma acima.

& # 8226 Se a equação não estiver na forma ax ^ 2 + bx + c = 0, traga todos os termos em um
lado de & # 8220 = & # 8221, foil (se necessário) e simplifique para ax ^ 2 + bx + c = 0
Parábola ou função quadrática correspondente: y = ax ^ 2 + bx + c
As soluções são interceptos x desta parábola

& # 8226 A solução é

Simplifique e escreva como 2 números separados se b ^ 2 & # 8722 4ac for um quadrado perfeito

Função quadrática de representação gráfica: parábola vertical

1. A função está na forma y = a (x & # 8722 h) ^ 2 + k
& # 8226 Trace os pontos (h, k), (h + 1, k + a) e (h & # 8722 1, k + a)
& # 8226 Desenhe a parábola por meio desses pontos.

2. A função está na forma y = ax ^ 2 + bx + c

& # 8226 Trace os pontos:
interceptação y - (0, c), Ponto de simetria(ou
conecte x = & # 8722 b / 2a em y = ax ^ 2 + bx + c para obter a coordenada y do vértice)

& # 8226 Desenhe a parábola por meio desses pontos.

& # 8226 a & gt 0 - a parábola abre (sorriso) com mínimo no vértice
& # 8226 a & lt 0 - a parábola abre para baixo (frownie) com máximo no vértice

y = a (x & # 8722 h) ^ 2 + k y = ax ^ 2 + bx + c
vértice (h, k)
eixo x = h
pontos simétricos * (h + 1, k + a) e (h & # 8722 1, k + a) (0, c) e
interceptar y (0, ah ^ 2 + k) (0, c)
interceptar x
Nenhum se k & gt 0 se b ^ 2 & lt 4ac
1 se k = 0 então (h, 0) se b ^ 2 = 4ac então
dois se k & lt 0 então se b ^ 2 & gt 4ac, então

* Esses pontos estão em lados opostos do eixo, a uma distância igual do eixo e estão em
a mesma altura, ou seja, eles têm a mesma coordenada y.

Para parábola horizontal:

x = a (y & # 8722 k) ^ 2 + h - plot (h, k), (h + a, k + 1) e (h + a, k & # 8722 1) e desenhe a parábola
x = ay ^ 2 + por + c - plot (c, 0),e desenhe a parábola
a & gt 0 - a parábola abre à direita, a & lt 0 - a parábola abre à esquerda


5.4: Resolva Equações Quadráticas na Forma Quadrática

Sou muito exigente quanto às necessidades acadêmicas do meu filho e mantenho uma vigilância constante. Recentemente, descobri que ele está tendo problemas para entender as equações da álgebra. Não pude dedicar muito tempo a ele por causa de minha agenda lotada. Então, este software veio como um presente de Deus. A maneira simples de explicar conceitos difíceis fez meu filho entender o assunto rapidamente. Eu recomendo este software para todos.
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James Grinols, MN

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Dr. Stephen Wordell, KA


Uma equação quadrática é qualquer equação com a forma ax² + bx + c = 0 onde x representa uma incógnita e a, b e c são apenas números conhecidos, eles são chamados de 'coeficientes numéricos'. 0 não é permitido para o valor de a porque se a = 0, então a equação será linear, não quadrática. O coeficiente 'a' é o coeficiente quadrático, 'b' o coeficiente linear e 'c' a constante ou termo livre.

Uma maneira de resolver equações quadráticas é fazer uso desta fórmula

A parte (b² - 4ac) é chamada de “discriminante”, pois pode “discriminar” entre os possíveis tipos de resposta. Se for positivo, você obterá duas soluções reais, se for zero você obterá apenas UMA solução, e se for negativo você obterá soluções complexas. O 'discriminante' é representado por D ou pela letra grega Delta (Δ):

Para que a fórmula quadrática funcione, você deve organizar a equação na forma 'ax² + bx + c = 0' conhecida como 'Forma padrão'. Exemplos de como encontrar os coeficientes:

  • 1) x² + 2x - 3 = 0, a = 1, b = 2 e c = 1
  • 2) -x² + 2x + 4 = 0, a = -1, b = 2 e c = -4
  • 3) x² - x + 2-√ 8 = 0, a = 1, b = -1 e c = 2-√ 8
  • 4) x² + π = 0, a = 1, b = 0 e c = π
  • 5) x² - x = 0, a = 1, b = -1 e c = 0

Exemplo 1:

Vamos resolver a equação x² - 5x + 6 = 0:

x = 5 ± √ 1 2 (solução geral)

Como Δ & gt 0, obteremos duas raízes reais, x₁ e x₂.

x₁ = 5 + √ 1 2 = 5 + 1 2 = 6 2 = 3

x₂ = 5 - √ 1 2 = 5 - 1 2 = 4 2 = 2

Exemplo 2:

Δ = 0, o que significa que x₁ = x₂ = x.


Assista o vídeo: Funkcja kwadratowa 5 - równania kwadratowe (Outubro 2021).