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5.8: Resolva Aplicações de Equações Quadráticas


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Resolva aplicativos modelados por equações quadráticas

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. A soma de dois números ímpares consecutivos é (- 100 ). Encontre os números.
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 2.18.
  2. Resolva: ( frac {2} {x + 1} + frac {1} {x-1} = frac {1} {x ^ {2} -1} ).
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 7.35.
  3. Encontre o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo com pernas de (5 ) polegadas e (12 ) polegadas.
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 2.34.

Resolva aplicativos modelados por equações quadráticas

Resolvemos algumas aplicações que são modeladas por equações quadráticas anteriormente, quando o único método que tínhamos para resolvê-las era a fatoração. Agora que temos mais métodos para resolver equações quadráticas, daremos outra olhada nos aplicativos.

Vamos primeiro resumir os métodos que agora temos para resolver equações quadráticas.

Métodos para resolver equações quadráticas

  1. Factoring
  2. Propriedade de Raiz Quadrada
  3. Completando o quadrado
  4. Fórmula quadrática

Ao resolver cada equação, escolha o método mais conveniente para trabalhar o problema. Como um lembrete, copiaremos nossa estratégia usual de solução de problemas aqui para que possamos seguir as etapas.

Use uma estratégia de resolução de problemas

  1. Ler o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
  2. Identificar o que nós estamos procurando.
  3. Nome o que nós estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
  4. Traduzir em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação algébrica.
  5. Resolver a equação usando técnicas de álgebra.
  6. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
  7. Responder a pergunta com uma frase completa.

Resolvemos aplicações de números que envolviam inteiros pares e ímpares consecutivos, modelando a situação com equações lineares. Lembre-se, notamos que cada número inteiro par é (2 ) maior que o número que o precede. Se chamarmos o primeiro de (n ), o próximo será (n + 2 ). O próximo seria (n + 2 + 2 ) ou (n + 4 ). Isso também é verdade quando usamos números inteiros ímpares. Um conjunto de inteiros pares e um conjunto de inteiros ímpares são mostrados abaixo.

( begin {array} {cl} {} & { text {Inteiros pares consecutivos}} {} & {64,66,68} {n} & {1 ^ { text {st}} text {inteiro par consecutivo}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} text {inteiro par consecutivo}} {n + 4} & {3 ^ { text {rd} } text {inteiro par consecutivo}} end {array} )

( begin {array} {cl} {} & { text {Inteiros ímpares consecutivos}} {} & {77,79,81} {n} & {1 ^ { text {st}} text {inteiro ímpar}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} text {inteiro ímpar consecutivo}} {n + 4} & {3 ^ { text {rd} } text {inteiro ímpar consecutivo}} end {array} )

Algumas aplicações de números inteiros pares ou ímpares consecutivos são modeladas por equações quadráticas. A notação acima será útil ao nomear as variáveis.

Exemplo ( PageIndex {1} )

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é (195 ). Encontre os inteiros.

Solução:

Passo 1: Ler o problema

Passo 2: Identificar o que nós estamos procurando.

Procuramos dois inteiros ímpares consecutivos.

etapa 3: Nome o que nós estamos procurando.

Seja (n = ) o primeiro inteiro ímpar.

(n + 2 = ) o próximo inteiro ímpar.

Passo 4: Traduzir em uma equação. Declare o problema em uma frase.

“O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é (195 ).” O produto do primeiro inteiro ímpar e do segundo inteiro ímpar é (195 ).

Traduza para uma equação.

(n (n + 2) = 195 )

Etapa 5: Resolver a equação. Distribuir.

(n ^ {2} +2 n = 195 )

Escreva a equação no formato padrão.

(n ^ {2} +2 n-195 = 0 )

Fator.

((n + 15) (n-13) = 0 )

Use a propriedade Zero Product.

(n + 15 = 0 quad n-13 = 0 )

Resolva cada equação.

(n = -15, quad n = 13 )

Existem dois valores de (n ) que são soluções. Isso nos dará dois pares de inteiros ímpares consecutivos para nossa solução.

( begin {array} {cc} { text {Primeiro inteiro ímpar} n = 13} & { text {Primeiro inteiro ímpar} n = -15} { text {próximo inteiro ímpar} n + 2} & { text {próximo inteiro ímpar} n + 2} {13 + 2} & {-15 + 2} {15} & {-13} end {array} )

Etapa 6: Verificar a resposta.

Esses pares funcionam? Eles são inteiros ímpares consecutivos?

( begin {alinhado} 13,15 & text {sim} - 13, -15 & text {sim} end {alinhado} )

É o produto deles (195 )?

( begin {alinhados} 13 cdot 15 & = 195 & text {yes} - 13 (-15) & = 195 & text {yes} end {alinhados} )

Etapa 7: Responder a questão.

Dois inteiros ímpares consecutivos cujo produto é (195 ) são (13,15 ) e (- 13, -15 ).

Exercício ( PageIndex {1} )

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é (99 ). Encontre os inteiros.

Responder

Os dois inteiros ímpares consecutivos cujo produto é (99 ) são (9, 11 ) e (- 9, −11 ).

Exercício ( PageIndex {2} )

O produto de dois inteiros pares consecutivos é (168 ). Encontre os inteiros.

Responder

Os dois inteiros pares consecutivos cujo produto é (128 ) são (12, 14 ) e (- 12, −14 ).

Usaremos a fórmula para a área de um triângulo para resolver o próximo exemplo.

Definição ( PageIndex {1} )

Área de um Triângulo

Para um triângulo com base, (b ) e altura, (h ), a área, (A ), é dada pela fórmula (A = frac {1} {2} bh ) .

Lembre-se de que, quando resolvemos aplicações geométricas, é útil desenhar a figura.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Um arquiteto está projetando a entrada de um restaurante. Ela quer colocar uma janela triangular acima da porta. Devido a restrições de energia, a janela só pode ter uma área de (120 ) pés quadrados e o arquiteto quer que a base tenha (4 ) pés a mais do que o dobro da altura. Encontre a base e a altura da janela.

Solução:

Passo 1: Ler o problema. Desenhe uma imagem.
Passo 2: Identificar o que nós estamos procurando.Procuramos a base e a altura.
etapa 3: Nome o que nós estamos procurando.

Seja (h = ) a altura do triângulo.

(2h + 4 = ) a base do triângulo.

Passo 4: Traduzir em uma equação.

Conhecemos a área. Escreva a fórmula para a área de um triângulo.

(A = frac {1} {2} b h )
Etapa 5: Resolver a equação. Substitua nos valores. (120 = frac {1} {2} (2 h + 4) h )
Distribuir. (120 = h ^ {2} +2 h )
Esta é uma equação quadrática, reescreva-a na forma padrão. (h ^ {2} +2 h-120 = 0 )
Fator. ((h-10) (h + 12) = 0 )
Use a propriedade Zero Product. (h-10 = 0 quad h + 12 = 0 )
Simplificar. (h = 10, quad cancel {h = -12} )
Como (h ) é a altura de uma janela, um valor de (h = -12 ) não faz sentido.
A altura do triângulo (h = 10 ).

A base do triângulo (2h + 4 ).

(2 cdot 10 + 4 )

(24)

Etapa 6: Verificar a resposta.

Um triângulo com altura (10 ​​) e base (24 ) tem área (120 )? sim.

Etapa 7: Responder a questão.A altura da janela triangular é de (10 ​​) pés e a base é de (24 ) pés.
Tabela 9.5.1

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre a base e a altura de um triângulo cuja base seja dezoito centímetros maior que seis vezes sua altura e tenha uma área de (456 ) polegadas quadradas.

Responder

A altura do triângulo é de (12 ) polegadas e a base é de (76 ) polegadas.

Exercício ( PageIndex {4} )

Se um triângulo que tem uma área de (110 ) pés quadrados tem uma base que é dois pés menos que o dobro da altura, qual é o comprimento de sua base e altura?

Responder

A altura do triângulo é de (11 ) pés e a base é de (20 ) pés.

Nos dois exemplos anteriores, o número no radical no Quadrático Fórmula era um quadrado perfeito e, portanto, as soluções eram números racionais. Se obtivermos um número irracional como solução para um problema de aplicativo, usaremos uma calculadora para obter um valor aproximado.

Usaremos a fórmula para a área de um retângulo para resolver o próximo exemplo.

Definição ( PageIndex {2} )

Área de um Retângulo

Para um retângulo com comprimento, (L ), e largura, (W ), a área, (A ), é dada pela fórmula (A = LW ).

Exemplo ( PageIndex {3} )

Mike quer colocar (150 ) pés quadrados de grama artificial em seu jardim da frente. Esta é a área máxima de relva artificial permitida pela associação de proprietários. Ele quer uma área retangular de grama com comprimento 30 cm a menos que (3 ) vezes a largura. Encontre o comprimento e a largura. Arredonde para o décimo de pé mais próximo.

Solução:

Passo 1: Ler o problema. Desenhe uma imagem.
Passo 2: Identificar o que nós estamos procurando.Procuramos o comprimento e a largura.
etapa 3: Nome o que nós estamos procurando.

Seja (w = ) a largura do retângulo.

(3w-1 = ) o comprimento do retângulo

Passo 4: Traduzir em uma equação. Conhecemos a área. Escreva a fórmula para a área de um retângulo.
Etapa 5: Resolver a equação. Substitua nos valores.
Distribuir.

Esta é uma equação quadrática; reescrevê-lo na forma padrão.

Resolva a equação usando a Fórmula Quadrática.

Identifique os valores (a, b, c ).
Escreva a Fórmula Quadrática.
Em seguida, substitua nos valores de (a, b, c ).
Simplificar.
Reescreva para mostrar duas soluções.

Faça uma estimativa das respostas usando uma calculadora.

Eliminamos a solução negativa para a largura.

Etapa 6: Verificar a resposta. Certifique-se de que as respostas façam sentido. Como as respostas são aproximadas, a área não sairá exatamente para (150 ).
Etapa 7: Responder a questão.A largura do retângulo é de aproximadamente (7,2 ) pés e o comprimento é de aproximadamente (20,6 ) pés.
Tabela 9.5.2

Exercício ( PageIndex {5} )

O comprimento de uma horta retangular de 200 pés quadrados é quatro pés menos do que o dobro da largura. Encontre o comprimento e a largura do jardim, até o décimo de pé mais próximo.

Responder

O comprimento do jardim é de aproximadamente (18 ) pés e a largura (11 ) pés.

Exercício ( PageIndex {6} )

Uma toalha de mesa retangular tem uma área de 30 metros quadrados. A largura é (5 ) pés mais curta que o comprimento. Qual é o comprimento e a largura da toalha de mesa com precisão de um décimo de pé?

Responder

O comprimento da toalha de mesa é de aproximadamente (11,8 ) pés e a largura de (6,8 ) pés.

O Teorema de Pitágoras dá a relação entre as pernas e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Usaremos o Teorema de Pitágoras para resolver o próximo exemplo.

Definição ( PageIndex {3} )

Teorema de Pitágoras

Em qualquer triângulo retângulo, onde (a ) e (b ) são os comprimentos das pernas, e (c ) é o comprimento da hipotenusa, (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ).

Exemplo ( PageIndex {4} )

Rene está configurando uma exibição de luz de feriado. Ele quer fazer uma "árvore" na forma de dois triângulos retângulos, como mostrado abaixo, e tem duas fileiras de luzes de (10 ​​) pés para usar nas laterais. Ele vai prender as luzes no topo de um poste e em duas estacas no chão. Ele quer que a altura do mastro seja igual à distância da base do mastro a cada estaca. Qual deve ser a altura do mastro?

Solução:

Passo 1: Ler o problema. Desenhe uma imagem.
Passo 2: Identificar o que nós estamos procurando.Estamos procurando a altura do mastro.
etapa 3: Nome o que nós estamos procurando.

A distância da base do mastro a qualquer uma das estacas é a mesma que a altura do mastro.

Seja (x = ) a altura do mastro.
(x = ) a distância do poste à estaca

Cada lado é um triângulo retângulo. Fazemos um desenho de um deles.

Passo 4: Traduzir em uma equação.

Podemos usar o Teorema de Pitágoras para resolver para (x ).
Escreva o Teorema de Pitágoras.

(a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} )
Etapa 5: Resolver a equação. Substituto. (x ^ {2} + x ^ {2} = 10 ^ {2} )
Simplificar. (2 x ^ {2} = 100 )
Divida por (2 ) para isolar a variável. ( frac {2 x ^ {2}} {2} = frac {100} {2} )
Simplificar. (x ^ {2} = 50 )
Use a propriedade de raiz quadrada. (x = pm sqrt {50} )
Simplifique o radical. (x = pm 5 sqrt {2} )
Reescreva para mostrar duas soluções.
Se aproximarmos esse número para o décimo mais próximo com uma calculadora, encontraremos (x≈7,1 ).
Etapa 6: Verificar a resposta. Verifique você mesmo no Teorema de Pitágoras.
Etapa 7: Responder a questão.O mastro deve ter cerca de 30 metros de altura.
Tabela 9.5.3

Exercício ( PageIndex {7} )

O sol lança uma sombra de um mastro de bandeira. A altura do mastro da bandeira é três vezes o comprimento de sua sombra. A distância entre o fim da sombra e o topo do mastro da bandeira é de (20 ) pés. Encontre o comprimento da sombra e o comprimento do mastro da bandeira. Arredonde para o décimo mais próximo.

Responder

O comprimento da sombra do mastro é de aproximadamente (6,3 ) pés e a altura do mastro é de (18,9 ) pés.

Exercício ( PageIndex {8} )

A distância entre os cantos opostos de um campo retangular é quatro a mais que a largura do campo. O comprimento do campo é o dobro de sua largura. Encontre a distância entre os cantos opostos. Arredonde para o décimo mais próximo.

Responder

A distância entre os cantos opostos é de aproximadamente (7,2) pés.

A altura de um projétil disparado do solo é modelada por uma equação quadrática. A velocidade inicial, (v_ {0} ), impulsiona o objeto para cima até que a gravidade faça com que o objeto caia de volta.

Definição ( PageIndex {4} )

A altura em pés, (h ), de um objeto disparado para cima no ar com velocidade inicial, (v_ {0} ), após (t ) segundos é dada pela fórmula

Podemos usar essa fórmula para descobrir quantos segundos um fogo de artifício levará para atingir uma altura específica.

Exercício ( PageIndex {9} )

Uma flecha é atirada do solo para o ar a uma velocidade inicial de (108 ) pés / s. Use a fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) para determinar quando a seta estará a (180 ) pés do solo. Arredonde o décimo mais próximo.

Responder

A seta alcançará (180 ) pés no seu caminho para cima após (3 ) segundos e novamente no seu caminho para baixo após aproximadamente (3.8 ) segundos.

Exercício ( PageIndex {10} )

Um homem joga uma bola para o ar com uma velocidade de (96 ) pés / s. Use a fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) para determinar quando a altura da bola será de (48 ) pés. Arredonde para o décimo mais próximo.

Responder

A bola alcançará (48 ) pés no seu caminho para cima após aproximadamente (. 6 ) segundos e novamente no seu caminho para baixo após aproximadamente (5,4 ) segundos.

Resolvemos problemas de movimento uniforme usando a fórmula (D = rt ) nos capítulos anteriores. Utilizamos uma tabela como a seguinte para organizar as informações e nos conduzir à equação.

A fórmula (D = rt ) assume que sabemos (r ) e (t ) e os usamos para encontrar (D ). Se sabemos (D ) e (r ) e precisamos encontrar (t ), resolveríamos a equação para (t ) e obteríamos a fórmula (t = frac {D} {r } ).

Alguns problemas de movimento uniforme também são modelados por equações quadráticas.

Exemplo ( PageIndex {6} )

O professor Smith acabou de voltar de uma conferência que ficava a (2.000 ) milhas a leste de sua casa. Seu tempo total no avião para a viagem de ida e volta foi de (9 ) horas. Se o avião estava voando a uma taxa de (450 ) milhas por hora, qual era a velocidade do jato?

Solução:

Esta é uma situação de movimento uniforme. Um diagrama nos ajudará a visualizar a situação.

Preenchemos o quadro para organizar as informações.

Estamos procurando a velocidade do jato. Seja (r = ) a velocidade do jato.

Quando o avião voa com o vento, o vento aumenta sua velocidade e, portanto, a taxa é (450 + r ).

Quando o avião voa contra o vento, o vento diminui sua velocidade e a taxa é (450 - r ).

Escreva nas taxas.
Escreva nas distâncias.
Uma vez que (D = r ), resolvemos para
(t ) e obtenha (t = frac {D} {r} ).
Dividimos a distância por
a taxa em cada linha, e
coloque a expressão no
coluna de tempo.
Sabemos que os tempos somam (9 )
e assim escrevemos nossa equação.
( frac {2000} {450-r} + frac {2000} {450 + r} = 9 )
Multiplicamos ambos os lados pelo LCD. ((450-r) (450 + r) left ( frac {2000} {450-r} + frac {2000} {450 + r} right) = 9 (450-r) (450 + r ) )
Simplificar. (2000 (450 + r) +2000 (450-r) = 9 (450-r) (450 + r) )
Fatore o (2.000 ). (2000 (450 + r + 450-r) = 9 left (450 ^ {2} -r ^ {2} right) )
Resolver. (2000 (900) = 9 left (450 ^ {2} -r ^ {2} right) )
Divida por (9 ). (2000 (100) = 450 ^ {2} -r ^ {2} )
Simplificar.

( begin {alinhado} 200000 & = 202500-r ^ {2} -2500 & = - r ^ {2} 50 & = r end {alinhado} )

A velocidade do jato é de (50 ) mph.

Verificar:

É (50 ) mph uma velocidade razoável para o jato? sim.

Se o avião estiver viajando a (450 ) mph e o vento estiver a (50 ) mph,

Tailwind

(450 + 50 = 500 mathrm {mph} quad frac {2000} {500} = 4 ) horas

Vento contrário

(450-50 = 400 mathrm {mph} quad frac {2000} {400} = 5 ) horas

Os tempos somam (9 ) horas, por isso verifica.

Tabela 9.5.5

A velocidade do jato era de (50 ) mph.

Exercício ( PageIndex {11} )

MaryAnne acabou de voltar de uma visita com seus netos no leste. A viagem era de (2.400 ) milhas de sua casa e seu tempo total no avião para a viagem de ida e volta era de (10 ​​) horas. Se o avião estava voando a uma taxa de (500 ) milhas por hora, qual era a velocidade do jato?

Responder

A velocidade do jato era de (100 ) mph.

Exercício ( PageIndex {12} )

Gerry acabou de voltar de uma viagem cross country. A viagem foi de (3.000 ) milhas de sua casa e seu tempo total no avião para a viagem de ida e volta foi de (11 ) horas. Se o avião estava voando a uma taxa de (550 ) milhas por hora, qual era a velocidade do jato?

Responder

A velocidade do jato era de (50 ) mph.

As aplicações de trabalho também podem ser modeladas por equações quadráticas. Iremos configurá-los usando os mesmos métodos que usamos quando os resolvemos com equações racionais. Usaremos um cenário semelhante agora.

Exercício ( PageIndex {13} )

A revista de notícias semanais tem uma grande história nomeando a Pessoa do Ano e o editor quer que a revista seja impressa o mais rápido possível.Ela pediu à impressora para operar uma impressora extra para fazer a impressão mais rapidamente. Pressionar # 1 leva (6 ) horas a mais do que pressionar # 2 para fazer o trabalho e quando ambas as impressoras estão funcionando, elas podem imprimir o trabalho em (4 ) horas. Quanto tempo leva para cada impressora imprimir o trabalho sozinha?

Responder

A tecla # 1 levaria (12 ) horas e a tecla # 2 levaria (6 ) horas para fazer o trabalho sozinho.

Exercício ( PageIndex {14} )

Erlinda está dando uma festa e quer encher sua banheira de hidromassagem. Se ela usar apenas a mangueira vermelha, levará (3 ) horas a mais do que se ela usar apenas a mangueira verde. Se ela usar as duas mangueiras juntas, a banheira de hidromassagem enche em (2 ) horas. Quanto tempo leva para cada mangueira encher a banheira de hidromassagem?

Responder

A mangueira vermelha leva (6 ) horas e a mangueira verde leva (3 ) horas sozinha.

Acesse esses recursos online para obter instruções e práticas adicionais com a solução de aplicativos modelados por equações quadráticas.

  • Problemas de palavras envolvendo equações quadráticas
  • Problemas com palavras de equação quadrática
  • Aplicando a Fórmula Quadrática

Conceitos chave

  • Métodos para resolver equações quadráticas
    • Factoring
    • Propriedade de Raiz Quadrada
    • Completando o quadrado
    • Fórmula quadrática
  • Como usar uma estratégia de solução de problemas.
    1. Ler o problema. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação de álgebra.
    2. Resolver a equação usando boas técnicas de álgebra.
    3. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
    4. Responder a pergunta com uma frase completa.
  • Área de um Triângulo
    • Para um triângulo com base, (b ) e altura, (h ), a área, (A ), é dada pela fórmula (A = frac {1} {2} bh ) .
  • Área de um Retângulo
    • Para um retângulo com comprimento, (L ), e largura, (W ), a área, (A ), é dada pela fórmula (A = LW ).
  • Teorema de Pitágoras
    • Em qualquer triângulo retângulo, onde (a ) e (b ) são os comprimentos das pernas, e (c ) é o comprimento da hipotenusa, (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ).
  • Movimento do projétil
    • A altura em pés, (h ), de um objeto disparado para cima no ar com velocidade inicial, (v_ {0} ), após (t ) segundos é dada pela fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ).

Vamos começar

Vamos aprender as etapas para resolver uma equação quadrática fatorando, completando o quadrado e usando a fórmula quadrática. Você será capaz de resolver problemas usando todos os três métodos.

Padrões da TEKS e expectativas dos alunos

A (8) Funções e equações quadráticas. O aluno aplica os padrões de processos matemáticos para resolver, com e sem tecnologia, equações quadráticas e avaliar a razoabilidade de suas soluções. O aluno formula relações estatísticas e avalia sua razoabilidade com base em dados do mundo real. O aluno deve:

A (8) (A) resolver equações quadráticas tendo soluções reais por fatoração, tomando raízes quadradas, completando o quadrado e aplicando a fórmula quadrática

Objetivo (s) do recurso

Dada uma equação quadrática, o aluno resolverá a equação fatorando, completando o quadrado ou usando a fórmula quadrática.

Questões Essenciais

Por que a fatoração nos ajuda a resolver uma equação quadrática?

Quando usamos o preenchimento do quadrado para resolver uma equação?

Qual é a função quadrática? E como você sabe os valores de a, b e c?


Problemas de geometria

Ao trabalhar com problemas de geometria, é útil fazer um desenho. Abaixo estão algumas fórmulas de área que você deve saber. (Lembre-se disso π ≈ 3,14.)

Área de um retângulo A = l w, onde eu representa o comprimento e C representa a largura. :

Área de um quadrado A = s 2, onde s representa o comprimento de cada lado. :

Área de um triângulo A = 1 2 b h, onde b representa o comprimento da base e h representa a altura. :

Área de um círculo A = π r 2, onde r representa o raio e a constante π ≈ 3,14. :

Exemplo 4: O piso de uma sala retangular tem um comprimento de 1,2 m a mais do que o dobro de sua largura. Se a área total do piso for de 240 pés quadrados, encontre as dimensões do piso.

Use a fórmula A = l ⋅ we o fato de que a área é de 240 pés quadrados para configurar uma equação algébrica.

Neste ponto, temos duas possibilidades para a largura do retângulo. No entanto, uma vez que uma largura negativa não é definida, escolha a solução positiva, w = 10. Substitua as costas para encontrar o comprimento.

Resposta: A largura é de 10 pés e o comprimento é de 24 pés.

É importante incluir as unidades corretas na apresentação final da resposta. No exemplo anterior, não faria muito sentido dizer que a largura é 10. Certifique-se de indicar que a largura é 10 pés.

Exemplo 5: A altura de um triângulo é 3 polegadas menos do que o dobro do comprimento de sua base. Se a área total do triângulo for de 7 polegadas quadradas, encontre os comprimentos da base e a altura.

Use a fórmula A = 1 2 b he o fato de que a área é de 7 polegadas quadradas para configurar uma equação algébrica.

Para evitar coeficientes fracionários, multiplique ambos os lados por 2 e reescreva a equação quadrática na forma padrão.

Fatore e defina cada fator igual a zero.

Neste caso, desconsidere a resposta negativa o comprimento da base é 7/2 polegadas de comprimento. Use 2 b - 3 para determinar a altura do triângulo.

Resposta: A base mede 7/2 = 3½ polegadas e a altura é de 4 polegadas.

Experimente isso! A base de um triângulo tem 5 unidades menos que o dobro da altura. Se a área é de 75 unidades quadradas, qual é o comprimento da base e a altura?

Resposta: A altura é 10 unidades e a base é 15 unidades.

Solução de Vídeo

Lembre-se de que um triângulo retângulo é um triângulo onde um dos ângulos mede 90 °. O lado oposto do ângulo reto é o lado mais longo do triângulo e é chamado de hipotenusa. O teorema de Pitágoras Dado qualquer triângulo retângulo com pernas medindo uma e b unidades e medição de hipotenusa c unidades, então a 2 + b 2 = c 2. nos dá uma relação entre as pernas e a hipotenusa de qualquer triângulo retângulo, onde uma e b são os comprimentos das pernas e c é o comprimento da hipotenusa:

Dadas certas relações, usamos este teorema ao determinar os comprimentos dos lados de triângulos retângulos.

Exemplo 6: A hipotenusa de um triângulo retângulo tem 25 centímetros. Se a perna curta for 5 cm menor que a perna longa, encontre o comprimento das pernas.

Dado que a hipotenusa mede 10 polegadas, substitua seu valor no teorema de Pitágoras e obtenha uma equação quadrática em termos de x.

Multiplique e reescreva a equação na forma padrão.

Quando estiver na forma padrão, fatorar e definir cada fator de variável igual a zero.

Como os comprimentos não podem ser negativos, desconsidere a resposta negativa. Nesse caso, a perna longa mede 20 centímetros. Use x - 2 para determinar o comprimento da perna curta.

Resposta: A perna curta mede 6 polegadas e a perna longa mede 8 polegadas.

Exemplo 7: Uma perna de um triângulo retângulo mede 3 centímetros. A hipotenusa do triângulo retângulo mede 3 centímetros menos que o dobro do comprimento da perna desconhecida. Encontre a medida de todos os lados do triângulo.

Para configurar uma equação algébrica, usamos o teorema de Pitágoras.

Desconsidere 0. O comprimento da perna desconhecida é de 4 centímetros. Use 2 x - 3 para determinar o comprimento da hipotenusa.

Resposta: Os lados do triângulo medem 3 centímetros, 4 centímetros e 5 centímetros.

Experimente isso! A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 13 unidades. Se uma perna for 2 unidades a mais que o dobro da outra, encontre o comprimento de cada perna.

Resposta: As duas pernas medem 5 unidades e 12 unidades.

Solução de Vídeo


Relação quadrática, parábolas: traduções e aplicações

Os gráficos das relações quadráticas são chamados de parábolas. A relação quadrática mais simples da forma y = ax ^ 2 + bx + c é y = x ^ 2, com a = 1, b = 0 e c = 0, então essa relação é representada graficamente primeiro.

Exemplo 1 GRAFICANDO A RELAÇÃO QUADRÁTICA MAIS SIMPLES

Gráfico y = x ^ 2
Defina x igual a 0 em y = x ^ 2 para obter y = 0, o que mostra que a única interceptação está na origem. Traçando outros pontos selecionados, conforme mostrado na tabela que acompanha a Figura 3.16, obtemos o gráfico. O domínio é (-inf, inf) e o intervalo é [0, inf]

NOTA O domínio e o alcance de uma parábola com eixo vertical, como o da Figura 3.16, podem ser determinados olhando para o gráfico. Como o gráfico se estende indefinidamente para a direita e para a esquerda, vemos que o domínio é (-inf, inf), como o ponto mais baixo do gráfico é (0,0), o valor mínimo do intervalo (valor y) é 0 O gráfico se estende para cima indefinidamente, indicando que não há um valor máximo de y e, portanto, o intervalo é [0, inf]. (Domínios e intervalos de outros tipos de relações também podem ser determinados observando seus gráficos.)

Observe na Figura 3.16 que a parte do gráfico no quadrante II é uma & ldquomirror image & rdquo da parte no quadrante I. Dizemos que este gráfico é simétrico em relação ao eixo y. (Falaremos mais sobre simetria na próxima seção.) A linha de simetria de uma parábola é o eixo da parábola. O ponto mais baixo dessa parábola, o ponto (0,0), é chamado de vértice da parábola.

Começando com y = x ^ 2, existem várias maneiras possíveis de obter uma visão mais geral
expressão:
y = ax ^ 2 Multiplique por um coeficiente positivo ou negativo.
y = x ^ 2 + k constante positiva ou negativa
y = (x-h) ^ 2 Substitua x por x-h, onde ele é uma constante
y = a (x-h) ^ 2 + k Execute todas as alternativas anteriores.
O gráfico de cada uma dessas relações ainda é uma parábola, mas é modificado daquele de y = x ^ 2. Os próximos exemplos mostram como essas mudanças modificam a parábola. O primeiro exemplo mostra o resultado da alteração de y = x ^ 2 para y = ax ^ 2.

Exemplo 2 RELAÇÕES DE GRÁFICO DA FORMA y = ax ^ 2

Uma tabela de pares ordenados selecionados é fornecida com o gráfico da Figura 3.17. Os valores de y dos pares ordenados desta relação são duas vezes maiores que os valores de y correspondentes para o gráfico de y = x ^ 2. Isso faz o gráfico subir mais rapidamente, de modo que a parábola é mais estreita do que a parábola para y = x ^ 2, como pode ser visto na figura.3.17

Vamos & rsquos ver como nosso solucionador gera um gráfico deste e de problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

(b) y = -1 / 2x ^ 2
O coeficiente -1/2 faz com que os valores y estejam mais próximos do eixo x do que para y = x ^ 2, tornando o gráfico mais amplo do que o de y = x ^ 2. Como os valores y são negativos para cada valor x diferente de zero, este gráfico abre para baixo. Novamente o eixo é a reta x = 0, e o vértice, o ponto mais alto do gráfico, é (0,0). O domínio é (-inf, inf) e o intervalo é (-inf, 0). Veja a Figura 3.18.

Vamos & rsquos ver como nosso solucionador gera um gráfico deste e de problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

Como sugere o Exemplo 2, | a | em y = ax ^ 2 determina a largura de uma parábola, de forma que seja mais estreita do que o gráfico de y = x ^ 2. quando | a | & gt1 e mais amplo que o gráfico de y = x ^ 2 quando | a | & lt1.

Os próximos dois exemplos mostram como alterar y = x ^ 2 para y = x ^ 2 + k ou para
y = (x-h) ^ 2, respectivamente, afeta o gráfico de uma parábola.

GRAFICANDO UMA RELAÇÃO DE y = x ^ 2 + k

Gráfico y = x ^ 2-4
Cada valor de y será 4 menor que o valor correspondente de y = x ^ 2. Isso significa que y = x ^ 2-4 tem a mesma forma que y = x ^ 2, mas é deslocado 4 unidades para baixo. Veja a Figura 3.19. O vértice da parábola (nesta parábola, o ponto mais baixo) está em (0, -4). O eixo da parábola é a linha vertical x = 0. Quando o vértice de uma parábola é deslocado verticalmente, as interceptações geralmente são boas escolhas para pontos adicionais a serem plotados. Aqui,

a interceptação y é -4, que é o valor y do vértice. Os interceptos x são encontrados definindo y = 0:

Os interceptos x são 2 e -2.

O deslocamento vertical do gráfico no Exemplo 3 é chamado de tradução. O exemplo 4 abaixo mostra uma translação horizontal, que é um deslocamento para a direita ou esquerda.

Exemplo 4 GRAFICANDO UMA RELAÇÃO DA FORMA y =^2

Gráfico y = (x-4) ^ 2
Comparar as duas tabelas de pares ordenados mostradas na Figura 3.20, para y = x ^ 2 ey = (x-4) ^ 2, indica que esta parábola é transladada 4 unidades para a direita em comparação com o gráfico de y = x ^ 2 Por exemplo, o vértice é (4, 0) em vez de (0,0) e x = -2 em y = x ^ 2 corresponde ao mesmo valor de y que x = 2 em y = (x-4) ^ 2, uma diferença de 2 - (- 2) = 4 unidades. O eixo de y = (x-4) ^ 2 é a linha vertical
x = 4. Veja a Figura 3.20.

CUIDADO - Os erros ocorrem frequentemente quando as traduções horizontais estão envolvidas. Para determinar a direção e a magnitude das translações horizontais, encontre o valor que faria com que a expressão x-h fosse igual a 0. Por exemplo, o gráfico de y = (x-5) ^ 2 seria deslocado 5 unidades para a direita, porque +5 faria com que x-5 fosse igual a 0. Por outro lado, o gráfico de y = (x + 4) ^ 2 seria deslocado 4 unidades para a esquerda, porque -4 faria com que (x + 4) fosse igual a 0.

Uma combinação de todas as transformações ilustradas nos Exemplos 2, 3 e 4 é mostrada no próximo exemplo.

GRÁFICANDO UMA RELAÇÃO DO FORMULÁRIO y = a (x-h) ^ 2 + k

Esta parábola é traduzida 3 unidades para a esquerda e 1 unidade para cima. Por causa do sinal negativo, ele abre para baixo, de modo que o vértice, o ponto (-3,1), é o ponto mais alto do gráfico. O eixo é a linha x = -3. A interceptação de y é y = - (0 + 3) ^ 2 + 1 = -8. Por simetria em relação ao eixo x = -3, o ponto (-6, -8) também está no gráfico. Os interceptos x são encontrados resolvendo a equação

0 = - (x ^ 2 + 6x + 9) +1 Quadratura do binômio.

0 = -x ^ 2-6x-9 + 1 propriedade distributiva

0 = -x ^ 2-6x-8
0 = x ^ 2 + 6x + 8 Multiplique por & mdash1.
0 = (x + 2) (x + 4). Fator.

a partir do qual x = -2 ou x = -4. O gráfico é mostrado na Figura 3.21. Observe no gráfico que o domínio é (-inf, inf) e o intervalo é (-inf, 1). O valor y do vértice determina o intervalo.

Os exemplos 2 a 5 sugerem as seguintes generalizações.

Vamos & rsquos ver como nosso solucionador gera o gráfico deste e de problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

GRÁFICO DE UM PARABOLA

O gráfico de y = a (x-h) ^ 2 + k, onde a! = 0,
(a) é uma parábola com vértice (h, k), e a linha vertical x = h como eixo
(b) abre para cima se & gt 0 e para baixo se & lt 0
(c) é mais amplo do que y = x ^ 2 se 0 & lt | a | & lt 1 e mais estreito do que y = x ^ 2 se | a | & gt 1.
Dada a relação y = ax ^ 2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a! = 0, o processo de completar o quadrado (discutido no Capítulo 2) pode ser usado para alterar ax ^ 2 + bx + c para a forma a (xh) ^ 2 + k para que o vértice e o eixo possam ser identificados. Siga as etapas fornecidas no próximo exemplo.

GRÁFICANDO PARABOLA COMPLETANDO O QUADRADO

Gráfico y = -3x ^ 2-2x + 1.
A Nosso objetivo é escrever a equação na forma y = a (x-h) ^ 2 + k. Podemos começar dividindo ambos os lados por -3 para obter
y / -3 = x ^ 2 + 2 / 3x-1/3
Agora conclua o procedimento, conforme explicado na Seção 2.4.
y / -3 + 1/3 = x ^ 2 + 2 / 3x Adicione 1/3 a ambos os lados.

& emsp & emsp y / -3 + 1/3 + 1/9 = x ^ 2 + 2 / 3x + 1/9 [1/2 (2/3)] ^ 2 = 1/9, portanto, adicione 1/9 a ambos os lados .
y / -3 + 4/9 = (x + 1/3) ^ 2 Combine os termos à esquerda, Fator à direita.

& emsp & emsp & emsp & emsp

& emsp & emspAgora a equação da parábola é escrita na forma y = a (x - h) ^ 2 + k, e esta equação reescrita mostra que o eixo da parábola é a linha vertical x = -1 / 3 e que o vértice é (-1 / 3,4 / 3). Use esses resultados, juntamente com as interceptações e pares ordenados adicionais, conforme necessário, para obter o gráfico da Figura 3.22. A partir do gráfico, o domínio da relação é (- & infin, & infin) e o intervalo é (- & infin, 4/3).

Vamos & rsquos ver como nosso solucionador gera um gráfico deste e de problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

& emsp & emspA fórmula para o vértice do gráfico da relação quadrática y = ax + bx + c pode ser encontrada completando o quadrado para a forma geral da equação.

& emsp & emsp y / a + (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2) = (x + b / (2a)) ^ 2 & emsp & emspTermos combinados à esquerda e fator à direita.

& emsp & emsp y / a = (x + b / (2a)) ^ 2- (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2) & emsp & emspGet y termo sozinho à esquerda.

& emsp & emsp

& emsp & emspA equação final mostra que o vértice (h, k) pode ser expresso em termos de a, be c. No entanto, não é necessário memorizar a expressão para k. uma vez que pode ser obtido substituindo x por -b / (2a).

& emsp & emspVERTEXO DE UM PARABOLA (Y = ax ^ 2 + bx + c)

& emsp & emspO valor x do vértice da parábola y = ax ^ 2 + bx + c, onde a! = 0, é -b / (2a).

& emsp & emspUse a fórmula acima para encontrar o vértice de Lhe parábola y = 2x ^ 2-4x + 3.

& emsp & emsp Nesta equação, a = 2, b = -4 e c = 3. Pela fórmula dada acima, o valor x do vértice da parábola é & emsp

& emsp & emspO valor de y é encontrado substituindo 1 por x na equação y = 2x ^ 2-4x + 3 para obter y = 2 (1) ^ 2 - 4 (1) + 3 = 1, então o vértice é (1, 1).

& emsp & emspAPLICAÇÃO DE RELAÇÕES QUADRÁTICAS As relações quadráticas podem ser aplicadas em situações conforme ilustrado no próximo exemplo.

& emsp & emspO fato de que o vértice de uma parábola vertical é o ponto mais alto ou mais baixo no gráfico torna as equações da forma y = ax ^ 2 + bx + c importantes em problemas onde o valor máximo ou mínimo de alguma quantidade deve ser encontrado. Quando a & lt 0, o valor y do vértice fornece o valor máximo de y e o valor x indica onde isso ocorre. Da mesma forma, quando a & gt0, o valor y do vértice fornece o valor y mínimo.

ENCONTRANDO O VÉRTEX EM UM APLICATIVO

& emsp & emspMs. Whitney possui e opera a Tia Emma & lsquos Pie Shop. Ela contratou um consultor para analisar suas operações comerciais. O consultor diz a ela que seu lucro P em dólares é dado por

& emsp & emsp onde x é o número de unidades de tortas que ela faz. Quantas unidades de tortas devem ser feitas para maximizar o lucro? Qual é o lucro máximo possível?

& emsp & emspA relação de lucro P pode ser reescrita como

& emsp & emspwith a = -1, b = 120 e c = 0. O gráfico desta relação será uma parábola abrindo para baixo, de forma que o vértice, da forma (x, P). será o ponto mais alto do gráfico. Para encontrar o vértice, use o fato de que x = -b / (2a):

& emsp & emspLet x = 60 na equação para encontrar o valor de P no vértice.

& emsp & emspO vértice é (60, 3600). A Figura 3.23 mostra a parte do gráfico de lucro localizada no quadrante . (Por que é quadrante o único de interesse aqui?) O lucro máximo de $ 3600 ocorre quando 60 unidades de tortas são feitas. Nesse caso, o lucro aumenta à medida que mais e mais tortas são feitas até 60 unidades e, em seguida, diminui à medida que mais tortas são feitas após esse ponto.

& emsp & emsp

& emsp & emspNesta seção, começamos por definir uma relação quadrática y = ax ^ 2 + bx + ce, por plotagem de pontos, encontramos o gráfico, que chamamos de parábola. É possível começar com uma parábola. um conjunto de pontos no plano e encontre a relação correspondente, usando a definição geométrica formal de uma parábola.

& emsp & emspDEFINIÇÃO GEOMÉTRICA DE UM PARABOLA Geometricamente, uma parábola é definida como o conjunto de todos os pontos em um plano que estão igualmente distantes de um ponto fixo e de uma linha fixa que não contém o ponto. O ponto é chamado de foco e a linha é a diretriz. A linha que passa pelo foco e perpendicular à diretriz é o eixo da parábola. O ponto no eixo que está igualmente distante do foco e da diretriz é o vértice da parábola.

& emsp & emsp

& emsp & emspA parábola na Figura 3.24 tem o ponto (0, p) como foco e a linha y = -p como diretriz. O vértice é (0,0). Seja (x, y) qualquer ponto da parábola. A distância de (x, y) à diretriz é | y - (-p) | , enquanto a distância de (x, y) a (0, p) é raiz ((x-0) ^ 2 + (y-p) ^ 2). Uma vez que (x, y) está igualmente distante da diretriz e do foco,

& emsp & emspSquare em ambos os lados, obtendo

& emsp & emspta equação da parábola com foco (0, p) e diretriz y = -p. Resolver 4py = x ^ 2 para y dá

& emsp & emsp

& emsp & emspde modo que 1 / (4p) = a quando a equação é escrita na forma y = ax ^ 2 + bx + c.

& emsp & emsp Este resultado pode ser estendido para uma parábola com vértice em (h, k), unidades de foco p acima (h, k) e unidades diretriz p abaixo (h, k), ou para uma parábola com vértice em (h, k) , focalize p unidades abaixo (h, k) e diretriz p unidades acima (h, k).

& emsp & emspAs propriedades geométricas das parábolas levam a muitas aplicações práticas. Por exemplo, se uma fonte de luz é colocada no foco de um refletor parabólico, como na Figura 3.25, os raios de luz refletem paralelamente ao eixo, formando um holofote ou flash. O processo também funciona ao contrário. Os raios de luz de uma fonte distante vêm em paralelo ao eixo e são refletidos em um ponto no foco. (Se esse refletor estiver voltado para o sol, uma temperatura de vários milhares de graus pode ser obtida.) Esse uso de reflexão parabólica é visto nas antenas parabólicas usadas para captar sinais de satélites de comunicações.

& emsp & emspHORIZONTAL PARABOLAS A diretriz de uma parábola pode ser a linha vertical x = -p, onde p & gt 0. com foco no eixo x em (p, 0), produzindo uma abertura de parábola à direita. Esta parábola é o gráfico da relação y ^ 2 = 4px ou x = [l / (4p)] y ^ 2. Os próximos exemplos mostram os gráficos de parábolas horizontais com equações da forma x = ay ^ 2 + por + c.

GRÁFICANDO UMA PARABOLA HORIZONTAL

& emsp & emsp

& emsp & emspA equação x = y ^ 2 pode ser obtida de y = x ^ 2 trocando x e y. Escolher os valores de y e encontrar os valores correspondentes de x dá a parábola na Figura 3.26. O gráfico de x = y ^ 2, mostrado em vermelho, é simétrico em relação à linha y = 0 e tem vértice em (0,0). Para comparação. o gráfico de y = x ^ 2 é mostrado em azul. Esses gráficos são imagens espelhadas um do outro em relação à linha y = x. No gráfico, o domínio de x = y ^ 2 é (0, & infin) e o intervalo é (- & infin, & infin).

O domínio e o intervalo de uma parábola horizontal, como x = y ^ 2 na Figura 3.26, podem ser determinados olhando para o gráfico. Visto que o vértice (0,0) tem o menor valor x x de qualquer ponto no gráfico, o gráfico se estende indefinidamente para a direita. o domínio é (0, & infin). Como o gráfico se estende para cima e para baixo indefinidamente, o intervalo é (- & infin, & infin).

EXEMPLO 10
COMPLETANDO O QUADRADO PARA GRÁFICAR UMA PARABOLA HORIZONTAL
& emsp & emspGraph x = 2y ^ 2 + 6y + 5.

& emsp & emspPara escrever esta equação na forma x = a (y-k) ^ 2 + h, complete o quadrado em y da seguinte forma:

& emsp & emspAs este resultado mostra. o vértice da parábola é o ponto (1/2, -3/2). O eixo é a linha horizontal

& emsp & emsp

& emsp & emspNão há interceptação de y, uma vez que o vértice está à direita do eixo y e o gráfico abre à direita. No entanto, o intercepto x é

& emsp & emspUsando o vértice. o eixo de simetria e o intercepto x, e a plotagem de alguns pontos adicionais dá o gráfico na Figura 3.27. O domínio é (1/2, & infin) e o intervalo é (- & infin, & infin).

& emsp & emspO vértice de uma parábola horizontal também pode ser encontrado usando os valores de aeb em x = ay ^ 2 + por +0.

Vamos & rsquos ver como nosso solucionador gera um gráfico deste e de problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

VERTEXO DE UM PARABOLA (x = ay ^ 2 + por + c)

& emsp & emspO valor y do vértice da parábola

& emsp & emspis -b / (2a) O valor x é encontrado pela substituição de -b / (2a) por y.

CUIDADO e emsp & emspTenha cuidado ao usar as duas fórmulas de vértices desta seção. É essencial que você reconheça se a parábola é uma parábola vertical ou horizontal, para que você possa decidir se -b / (2a) representa a coordenada x - ou y do vértice. (Ele sempre representa a coordenada da variável ao quadrado.)


Equações Polinomiais

    Resolver:

Gastamos um tempo considerável aprendendo como fatorar polinômios. Vamos agora olhar para as equações polinomiais e resolvê-las usando fatoração, se possível.

Uma equação polinomial é uma equação que contém uma expressão polinomial. O grau da equação polinomial é o grau do polinômio.

UMA equação polinomial é uma equação que contém uma expressão polinomial.

O grau da equação polinomial é o grau do polinômio.

Já resolvemos equações polinomiais de grau um. As equações polinomiais de grau um são equações lineares da forma

Agora vamos resolver equações polinomiais de grau dois. Uma equação polinomial de grau dois é chamada de equação quadrática. Listados abaixo estão alguns exemplos de equações quadráticas:

A última equação não parece ter a variável ao quadrado, mas quando simplificarmos a expressão à esquerda, obteremos

A forma geral de uma equação quadrática é com (Se então e ficamos sem nenhum termo quadrático.)

Uma equação da forma é chamada de equação quadrática.

Para resolver equações quadráticas, precisamos de métodos diferentes daqueles que usamos para resolver equações lineares. Veremos um método aqui e depois vários outros em um capítulo posterior.

Use a propriedade de produto zero

Iremos primeiro resolver algumas equações quadráticas usando a propriedade de produto zero. A Propriedade de Produto Zero diz que se o produto de duas quantidades é zero, então pelo menos uma das quantidades é zero. A única maneira de obter um produto igual a zero é multiplicar pelo próprio zero.

Se qualquer então ou ou ambos.

Agora usaremos a propriedade do produto zero para resolver uma equação quadrática.

Resolver:

Resolver:

Resolver:

Resolva equações quadráticas por fatoração

A propriedade Zero Product funciona muito bem para resolver equações quadráticas. A equação quadrática deve ser fatorada, com zero isolado em um lado. Portanto, temos a certeza de começar com a equação quadrática na forma padrão, Em seguida, fatoramos a expressão à esquerda.

Resolver:

Resolver:

Resolver:

  1. Escreva a equação quadrática na forma padrão,
  2. Fatore a expressão quadrática.
  3. Use a propriedade Zero Product.
  4. Resolva as equações lineares.
  5. Verificar. Substitua cada solução separadamente na equação original.

Antes de fatorar, devemos ter certeza de que a equação quadrática está na forma padrão.

Resolver equações quadráticas por fatoração fará uso de todas as técnicas de fatoração que você aprendeu neste capítulo! Você reconhece o padrão especial do produto no próximo exemplo?

Resolver:

Deixamos o cheque para você.

Resolver:

Resolver:

No próximo exemplo, o lado esquerdo da equação é fatorado, mas o lado direito não é zero. Para usar a Propriedade do Produto Zero, um lado da equação deve ser zero. Vamos multiplicar os fatores e, em seguida, escrever a equação no formato padrão.

Resolver:

Resolver:

Resolver:

No próximo exemplo, quando fatoramos a equação quadrática, obteremos três fatores. No entanto, o primeiro fator é uma constante. Sabemos que o fator não pode ser igual a 0.

Resolver:

Resolver:

Resolver:

A Propriedade de Produto Zero também se aplica ao produto de três ou mais fatores. Se o produto for zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Podemos resolver algumas equações de grau maior que dois usando a Propriedade do Produto Zero, assim como resolvemos equações quadráticas.

Resolver:

Resolver:

Resolver:

Resolva Equações com Funções Polinomiais

Conforme nosso estudo de funções polinomiais continua, muitas vezes será importante saber quando a função terá um determinado valor ou quais pontos estão no gráfico da função. Nosso trabalho com a Propriedade do Produto Zero nos ajudará a encontrar essas respostas.

Para a função

Ⓐ encontrar x quando

Ⓑ encontre dois pontos que se encontram no gráfico da função.

Ⓑ Desde e os pontos e mentir no gráfico da função.

Para a função

Ⓐ encontrar x quando

Ⓑ Encontre dois pontos que estão no gráfico da função.

ou

Para a função

Ⓐ encontrar x quando

Ⓑ Encontre dois pontos que estão no gráfico da função.

ou

A propriedade Zero Product também nos ajuda a determinar onde a função é zero. Um valor de x onde a função é 0, é chamado de zero da função.

Para qualquer função f, E se então x é um zero da função.

Quando o ponto é um ponto no gráfico. Este ponto é um x-intercepto do gráfico. Freqüentemente, é importante saber onde o gráfico de uma função cruza os eixos. Veremos alguns exemplos mais tarde.

Para a função encontrar

Ⓐ os zeros da função,

Ⓑ qualquer x-interceptos do gráfico da função

Ⓒ qualquer y-interceptos do gráfico da função

Ⓐ Para encontrar os zeros da função, precisamos encontrar quando o valor da função é 0.

Ⓑ Um x-intercept ocorre quando Desde e os pontos e mentir no gráfico. Esses pontos são x-interceptações da função.

Ⓒ A y-intercept ocorre quando Para encontrar o y-interceptações que precisamos encontrar

Desde o ponto encontra-se no gráfico. Este ponto é o y-interceptação da função.

Para a função encontrar

Ⓐ os zeros da função

Ⓑ qualquer x-interceptos do gráfico da função

Ⓒ qualquer y-interceptações do gráfico da função.

ou

Para a função encontrar

Ⓐ os zeros da função

Ⓑ qualquer x-interceptos do gráfico da função

Ⓒ qualquer y-interceptações do gráfico da função.

ou

Resolva aplicativos modelados por equações polinomiais

A estratégia de solução de problemas que usamos anteriormente para aplicativos que se traduzem em equações lineares funcionará tão bem para aplicativos que se traduzem em equações polinomiais. Copiaremos a estratégia de solução de problemas aqui para que possamos usá-la como referência.

  1. Ler o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
  2. Identificar o que nós estamos procurando.
  3. Nome o que nós estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
  4. Traduzir em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação algébrica.
  5. Resolver a equação usando técnicas de álgebra apropriadas.
  6. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
  7. Responder a pergunta com uma frase completa.

Começaremos com um problema de número para praticar a tradução de palavras em uma equação polinomial.

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 323. Encontre os inteiros.

Existem dois valores para n que são soluções para este problema. Portanto, há dois conjuntos de inteiros ímpares consecutivos que funcionarão.

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 255. Encontre os inteiros.

e 15, 17

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 483 Encontre os inteiros.

e 21, 23

Você ficou surpreso com o par de inteiros negativos que é uma das soluções do exemplo anterior? O produto dos dois inteiros positivos e o produto dos dois inteiros negativos fornecem resultados positivos.

Em algumas aplicações, soluções negativas resultarão da álgebra, mas não serão realistas para a situação.

Um quarto retangular tem uma área de 117 pés quadrados. O comprimento do quarto é mais de um metro a mais do que a largura. Encontre o comprimento e a largura do quarto.

figuras geométricas, um esboço pode ajudá-lo a visualizar

A resposta faz sentido?

Um sinal retangular tem área de 30 pés quadrados. O comprimento da placa é 30 cm a mais que a largura. Encontre o comprimento e a largura do sinal.

A largura é de 5 pés e o comprimento é de 6 pés.

Um pátio retangular tem área de 180 metros quadrados. A largura do pátio é de um metro a menos que o comprimento. Encontre o comprimento e a largura do pátio.

O comprimento do pátio é de 3,6 metros e a largura de 4,5 metros.

No próximo exemplo, usaremos o Teorema de Pitágoras Esta fórmula fornece a relação entre as pernas e a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Usaremos essa fórmula no próximo exemplo.

A vela de um barco tem a forma de um triângulo retângulo, conforme mostrado. A hipotenusa terá 5 metros de comprimento. O comprimento de um lado será 7 pés menor do que o comprimento do outro lado. Encontre os comprimentos dos lados da vela.

Etapa 1. Leia o problema
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. Estamos procurando os comprimentos do

Esses números fazem sentido?

Justine quer colocar um deck no canto de seu quintal em forma de triângulo retângulo. O comprimento de um lado do convés é de 7 pés a mais do que o outro lado. A hipotenusa é 13. Encontre os comprimentos dos dois lados do baralho.

Um jardim de meditação tem a forma de um triângulo retângulo, com uma perna de 2,10 metros. O comprimento da hipotenusa é um a mais que o comprimento da outra perna. Encontre os comprimentos da hipotenusa e da outra perna.

O próximo exemplo usa a função que fornece a altura de um objeto em função do tempo quando ele é lançado de 80 pés acima do solo.

Dennis vai jogar sua bola de borracha para cima do topo de um prédio do campus. Quando ele joga a bola de borracha de 80 pés acima do solo, a função modela a altura, h, da bola acima do solo em função do tempo, t. Encontrar:

Ⓐ os zeros desta função que nos dizem quando a bola atinge o solo

Ⓑ quando a bola estiver a 80 pés acima do solo

Ⓒ a altura da bola em segundos.

Ⓐ Os zeros desta função são encontrados resolvendo Isso nos dirá quando a bola atingirá o solo.

O resultado nos diz que a bola vai atingir o solo 5 segundos depois de ser lançada. Como o tempo não pode ser negativo, o resultado é descartado.

Ⓑ A bola estará a 80 pés acima do solo quando

Ⓒ Para encontrar a bola de altura em segundos encontramos

Genevieve vai jogar uma pedra do topo de uma trilha com vista para o oceano. Quando ela joga a pedra para cima a partir de 160 pés acima do oceano, a função modela a altura, h, da rocha acima do oceano em função do tempo, t. Encontrar:

Ⓐ os zeros desta função que nos dizem quando a rocha vai atingir o oceano

Ⓑ quando a rocha estiver 160 pés acima do oceano.

Ⓒ a altura da rocha em segundos.

Calib vai jogar sua moeda da sorte de sua varanda em um navio de cruzeiro. Quando ele joga a moeda para cima de 128 pés acima do solo, a função modela a altura, h, do centavo acima do oceano em função do tempo, t. Encontrar:

Ⓐ os zeros desta função que é quando a moeda vai atingir o oceano

Ⓑ quando a moeda estará a 128 pés acima do oceano.

Ⓒ a altura em que o centavo estará segundos que é quando o centavo estará em seu ponto mais alto.

Acesse este recurso online para obter instruções adicionais e prática com equações quadráticas.

Conceitos chave

  • Equação polinomial: Uma equação polinomial é uma equação que contém uma expressão polinomial. O grau da equação polinomial é o grau do polinômio.
  • Equação quadrática: Uma equação da forma é chamada de equação quadrática.

  1. Ler o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
  2. Identificar o que nós estamos procurando.
  3. Nome o que nós estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
  4. Traduzir em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação algébrica.
  5. Resolver a equação usando técnicas de álgebra apropriadas.
  6. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
  7. Responder a pergunta com uma frase completa.

Exercícios de seção

A prática leva à perfeição

Use a propriedade de produto zero

Nos exercícios a seguir, resolva.

Resolva equações quadráticas por fatoração

Nos exercícios a seguir, resolva.

Resolva Equações com Funções Polinomiais

Nos exercícios a seguir, resolva.

Para a função, Ⓐ encontrar quando Ⓑ Use esta informação para encontrar dois pontos que estão no gráfico da função.

ou

Para a função, Ⓐ encontrar quando Ⓑ Use esta informação para encontrar dois pontos que estão no gráfico da função.

Para a função, Ⓐ encontrar quando Ⓑ Use esta informação para encontrar dois pontos que estão no gráfico da função.

ou

Para a função, Ⓐ encontrar quando Ⓑ Use esta informação para encontrar dois pontos que estão no gráfico da função.

Nos exercícios a seguir, para cada função, encontre: ⓐ os zeros da função ⓑ o x-interceptos do gráfico da função ⓒ o y-intercepto do gráfico da função.

ou

,

ou

,

Resolva aplicativos modelados por equações quadráticas

Nos exercícios a seguir, resolva.

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 143. Encontre os inteiros.

e 11, 13

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 195. Encontre os inteiros.

O produto de dois inteiros pares consecutivos é 168. Encontre os inteiros.

e 12, 14

O produto de dois inteiros pares consecutivos é 288. Encontre os inteiros.

A área de um tapete retangular é de 28 pés quadrados. O comprimento é um metro a mais que a largura. Encontre o comprimento e a largura do tapete.

e 7

Um muro de contenção retangular tem área de 15 pés quadrados. A altura da parede é 60 centímetros menor que seu comprimento. Encontre a altura e o comprimento da parede.

A área de um quadro de avisos é de 55 pés quadrados. O comprimento é quatro pés menos do que três vezes a largura. Encontre o comprimento e a largura de um quadro de avisos.

Uma garagem retangular tem área de 150 pés quadrados. A altura da garagem é um metro e meio a menos que o dobro de seu comprimento. Encontre a altura e o comprimento da garagem.

Uma flâmula tem a forma de um triângulo retângulo, com hipotenusa de 3 metros. O comprimento de um lado da flâmula é 60 cm a mais do que o comprimento do outro lado. Encontre o comprimento dos dois lados da flâmula.

Uma janela de vitral tem a forma de um triângulo retângulo. A hipotenusa tem 15 pés. Uma perna é três a mais que a outra. Encontre os comprimentos das pernas.

Um espelho d'água tem a forma de um triângulo retângulo, com uma perna ao longo da parede de um edifício. A hipotenusa é 9 pés mais comprida do que a lateral ao longo do edifício. O terceiro lado é 7 pés mais comprido do que o lado ao longo do edifício. Encontre os comprimentos de todos os três lados do espelho d'água.

Um recinto de cabra tem a forma de um triângulo retângulo. Uma perna do gabinete é construída contra a lateral do celeiro. A outra perna tem mais 1 metro do que a perna contra o celeiro. A hipotenusa tem 2,5 metros a mais que a perna ao longo do celeiro. Encontre os três lados do recinto das cabras.

Juli vai lançar um foguete modelo em seu quintal. Quando ela lança o foguete, a função modela a altura, h, do foguete acima do solo em função do tempo, t. Encontrar:

Ⓐ os zeros desta função que nos diz quando o foguete vai atingir o solo. Ⓑ o tempo em que o foguete estará 16 pés acima do solo.

Gianna vai jogar uma bola do último andar de sua escola. Quando ela joga a bola de 48 pés acima do solo, a função modela a altura, h, da bola acima do solo em função do tempo, t. Encontrar:

Ⓐ os zeros desta função que nos dizem quando a bola vai atingir o solo. Ⓑ o (s) tempo (s) em que a bola estará a 48 pés acima do solo. Ⓒ a altura em que a bola estará segundos que é quando a bola estará em seu ponto mais alto.

Exercícios de escrita

Explique como você resolve uma equação quadrática. Quantas respostas você espera obter para uma equação quadrática?

Dê um exemplo de uma equação quadrática que tenha um GCF e nenhuma das soluções para a equação seja zero.

Auto-verificação

Ⓐ Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

Ⓑ De modo geral, depois de examinar a lista de verificação, você acha que está bem preparado para a próxima seção? Por que ou por que não?

Exercícios de revisão de capítulo

Maior Fator Comum e Fator por Agrupamento

Encontre o maior fator comum de duas ou mais expressões

Nos exercícios a seguir, encontre o maior fator comum.

Fator o maior fator comum de um polinômio

Nos exercícios a seguir, fatorar o maior fator comum de cada polinômio.

Fator por agrupamento

Nos exercícios a seguir, fator por agrupamento.

Fator Trinomials

Fator trinômios da forma

Nos exercícios a seguir, fatorar cada trinômio da forma

Nos exemplos a seguir, fatorar cada trinômio da forma

Fator trinômios da forma Usando tentativa e erro

Nos exercícios a seguir, fatorar completamente usando tentativa e erro.

Fator trinômios da forma usando o método 'ac'

Nos exercícios a seguir, fator.

Fator usando substituição

Nos exercícios a seguir, fatorar usando substituição.

Fator Produtos Especiais

Factor Perfect Square Trinomials

Nos exercícios a seguir, fatorar completamente usando o padrão de trinômios quadrados perfeitos.

Diferenças de fator de quadrados

Nos exercícios a seguir, fatorar completamente usando o padrão de diferença de quadrados, se possível.

Soma de fatores e diferenças de cubos

Nos exercícios a seguir, fatorar completamente usando as somas e diferenças do padrão de cubos, se possível.

Estratégia geral para polinômios de fatoração

Reconhecer e usar o método apropriado para fatorar um polinômio completamente

Nos exercícios a seguir, calcule completamente.

Equações Polinomiais

Use a propriedade de produto zero

Nos exercícios a seguir, resolva.

Resolva equações quadráticas por fatoração

Nos exercícios a seguir, resolva.

Resolva Equações com Funções Polinomiais

Nos exercícios a seguir, resolva.

Para a função, Ⓐ encontrar quando Ⓑ Use esta informação para encontrar dois pontos que estão no gráfico da função.

ou

Para a função, Ⓐ encontrar quando Ⓑ Use esta informação para encontrar dois pontos que estão no gráfico da função.

Em cada função, encontre: ⓐ os zeros da função ⓑ o x-interceptos do gráfico da função ⓒ o y-intercepto do gráfico da função.

ou

Resolva aplicativos modelados por equações quadráticas

Nos exercícios a seguir, resolva.

O produto de dois números consecutivos é 399. Encontre os números.

Os números são e ou 19 e 21.

A área de um pátio de forma retangular 432 pés quadrados. O comprimento do pátio é de 6 pés a mais que sua largura. Encontre o comprimento e a largura.

Uma escada está encostada na parede de um edifício. O comprimento da escada é 9 pés mais longo do que a distância da parte inferior da escada do edifício. A distância do topo da escada atinge a lateral do prédio é 7 pés maior do que a distância da base da escada do prédio. Encontre os comprimentos de todos os três lados do triângulo formado pela escada encostada no prédio.

Os comprimentos são 8, 15 e 17 pés.

Shruti vai jogar uma bola do topo de um penhasco. Quando ela joga a bola de 80 pés acima do solo, a função modela a altura, h, da bola acima do solo em função do tempo, t. Encontre: ⓐ os zeros desta função que nos diz quando a bola vai atingir o solo. Ⓑ o (s) tempo (s) em que a bola estará a 80 pés acima do solo. Ⓒ a altura em que a bola estará segundos que é quando a bola estará em seu ponto mais alto.

Teste de Prática do Capítulo

Nos exercícios a seguir, calcule completamente.

Nos exercícios a seguir, resolva

O produto de dois inteiros consecutivos é 156. Encontre os inteiros.

A área de um jogo americano retangular é de 168 polegadas quadradas. Seu comprimento é cinco centímetros maior que a largura. Encontre o comprimento e a largura do jogo americano.

A largura é de 12 polegadas e o comprimento é de 14 polegadas.

Jing vai jogar uma bola da varanda de seu condomínio. Quando ela joga a bola de 80 pés acima do solo, a função modela a altura, h, da bola acima do solo em função do tempo, t. Encontre: ⓐ os zeros desta função que nos diz quando a bola vai atingir o solo. Ⓑ o (s) tempo (s) em que a bola estará a 128 pés acima do solo. Ⓒ a altura em que a bola estará segundos.

Para a função, Ⓐ encontrar quando Ⓑ Use esta informação para encontrar dois pontos que estão no gráfico da função.

ou

Para a função encontrar: ⓐ os zeros da função ⓑ o x-interceptos do gráfico da função ⓒ o y-intercepto do gráfico da função.

Glossário

grau da equação polinomial O grau da equação polinomial é o grau do polinômio. equação polinomial Uma equação polinomial é uma equação que contém uma expressão polinomial. equação quadrática As equações polinomiais de grau dois são chamadas de equações quadráticas. zero da função Um valor de onde a função é 0, é chamado de zero da função. Propriedade de produto zero A propriedade de produto zero diz que se o produto de duas quantidades for zero, então pelo menos uma das quantidades é zero.

Fatoração de equações quadráticas - tentativa e erro



Existem várias técnicas que podem ser usadas para fatorar equações quadráticas.
Nesta lição, aprenderemos como fatorar equações quadráticas, onde o coeficiente de x 2 é 1, usando o método de tentativa e erro. Neste método, precisaremos experimentar diferentes possibilidades para obter os fatores corretos para a equação quadrática fornecida.

Se o coeficiente de x 2 é 1

Para fatorar equações quadráticas da forma: x 2 + bx + c, você precisará encontrar dois números cujo produto é c e cuja soma é b.

Exemplo 1: (b e c são ambos positivos)

Resolva a equação quadrática: x 2 + 7x + 10 = 0

Etapa 1: Liste os fatores de 10:

Etapa 2: Encontre os fatores cuja soma seja 7:

Passo 3: Escreva os fatores e verifique usando a propriedade distributiva.

Etapa 4: Voltando à equação quadrática original

x 2 + 7x + 10 = 0 Fatorar o lado esquerdo da equação quadrática
(x + 2) (x + 5) = 0

Temos dois valores para x.

Exemplo 2: (b é positivo ec é negativo)

Etapa 1: Liste os fatores de & ndash 5:

Etapa 2: Encontre os fatores cuja soma seja 4:

Passo 3: Escreva os fatores e verifique usando a propriedade distributiva.

Etapa 4: Voltando à equação quadrática original

x 2 + 4x & ndash 5 = 0 Fatorar o lado esquerdo da equação
(x & ndash 1) (x + 5) = 0

Temos dois valores para x.

Exemplo 3: (b e c são ambos negativos)

Etapa 1: Liste os fatores de & ndash 6:

Etapa 2: Encontre os fatores cuja soma é & ndash5:

Passo 3: Escreva os fatores e verifique usando a propriedade distributiva.

Etapa 4: Voltando à equação quadrática original

x 2 & ndash 5x & ndash 6 = 0 Factorize o lado esquerdo da equação
(x + 1) (x & ndash 6) = 0

Temos dois valores para x.

Exemplo 4: (b é negativo ec é positivo)

Etapa 1: Liste os fatores de 8:

Precisamos obter os fatores negativos de 8 para obter uma soma negativa.
& ndash1 & times & ndash 8, & ndash2 & times & ndash4

Etapa 2: Encontre os fatores cuja soma é & ndash 6:

Passo 3: Escreva os fatores e verifique usando a propriedade distributiva.

Etapa 4: Voltando à equação quadrática original

x 2 & ndash 6x + 8 = 0 Fatorar o lado esquerdo da equação
(x & ndash 2) (x & ndash 4) = 0

Temos dois valores para x.

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Como resolver equações quadráticas

Em algumas equações matemáticas, temos que calcular dois valores diferentes de uma única variável. Essas equações são chamadas de Equações Quadráticas e geralmente são representadas na forma ax ² + bx + c (onde a ≠ 0). Na equação, podemos ver que o 'x' é uma variável e a, b e c são constantes. Como a variável 'x' tem potência '2', esta é outra razão para ter dois valores de 'x'. Existem alguns métodos para resolver equações quadráticas e alguns dos mais comuns usados ​​em escolas incluem o método de fatoração, o método do quadrado completo, o método gráfico e a fórmula quadrática. Se você tiver algum problema para resolver equações quadráticas, os próximos minutos o farão mudar de ideia.

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Instruções

O Método de Fatoração

Considere a equação x ² - 7x + 12 = 0

A equação acima é formada pela multiplicação de dois fatores ou equações lineares. Resolvendo a equação acima, simplesmente dividimos a equação nas duas equações lineares originais e obtemos os dois valores de 'x'. A seguir está a maneira como o fazemos:

Multiplique o coeficiente de x2 com a constante 12. A resposta será, claro, 12. Agora venha com esses dois fatores de número 12 que lhe dão '-7' quando somados ou subtraídos. Ao calcular, você obterá:

x ² - 3x - 4x + 12 = 0 (adicionar 3 e 4 resulta em 7)
x (x - 3) - 4 (x - 3) = 0 (x - 3 é um fator comum)
(x - 3) (x - 4) = 0

Qualquer um x - 3 = 0
Ou x - 4 = 0

Completando o Método do Quadrado

Este método envolve o conceito das seguintes fórmulas algébricas:

(a + b) ² = a2 + 2ab + b2
(a - b) ² = a2 - 2ab + b2
a² - b² = (a + b) (a - b)

Para uma equação quadrática da forma x² + 8x + 16, em vez de usar fatores, vemos se a equação pode ser convertida ou dividida em qualquer um dos três quadrados perfeitos acima. Resolvendo, obtemos:

A equação acima pode ser escrita como:

Portanto, a equação acima satisfaz a fórmula (a + b) ² = a² + 2ab + b². É assim que resolvemos uma Equação Quadrática de acordo com o Método do Quadrado Perfeito.

O Método Gráfico
Considere a equação quadrática x² - 7x + 12 = 0. Quando devemos resolver a mesma equação usando gráficos, ela é escrita como:

Mantendo a equação acima, traçamos uma tabela de valores tomando valores para x de nossa própria escolha.

Como traçaremos um gráfico tomando 1cm para representar 1 unidade nos eixos xey, teremos uma curva que cruzará o eixo x em x = 3 e x = 4. Esses dois valores serão a solução de nossa Equação quadrática. Além disso, outra indicação é que para ambos os valores o valor de y é zero.

A Fórmula Quadrática
Às vezes, quando não encontramos 2 valores separados de uma variável aplicando qualquer um dos métodos acima, usamos outra técnica conhecida como fórmula quadrática. É uma fórmula simples que está representada na imagem à direita.

Antes de aplicar a fórmula, temos que garantir que o valor de √b² - 4ac não seja negativo. Assim que tivermos certeza de que não é negativo, resolvendo a fórmula quadrática, podemos encontrar os dois valores diferentes de 'X'.


Usando o Discriminante para Determinar Tipos de Soluções

Agora, o que está sob o radical na Equação Quadrática, que é ( displaystyle <^ <2>> -4ac ), passa a ser muito importante tão importante, que é dado o nome “o discriminante. ” Recebeu esse nome, pois nos ajuda a discriminar entre os modelo e número de ( boldsymbol)intercepta, ou "raízes reais"Que obteremos dessa equação.


Assista o vídeo: Rozwiązywanie równań kwadratowych korzystając z delty #5 Równania kwadratowe i postać iloczynowa (Outubro 2021).