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18.7: Transformações lineares fracionais


Exercício ( PageIndex {1} )

Assista ao vídeo “Transformações de Möbius reveladas” por Douglas Arnold e Jonathan Rogness. (Está disponível no YouTube.)

O plano complexo ( mathbb {C} ) estendido por um número ideal ( infty ) é chamado de plano complexo estendido. É denotado por ( hat { mathbb {C}} ), então ( hat { mathbb {C}} = mathbb {C} xícara { infty } )

UMA transformação linear fracionária ou Transformação de Möbius de ( hat { mathbb {C}} ) é uma função de uma variável complexa (z ) que pode ser escrita como

(f (z) = dfrac {a cdot z + b} {c cdot z + d}, )

onde os coeficientes (a ), (b ), (c ), (d ) são números complexos que satisfazem (a cdot d - b cdot c not = 0 ). (Se (a cdot d - b cdot c = 0 ) a função definida acima é uma constante e não é considerada uma transformação linear fracionária.)

No caso (c not = 0 ), assumimos que

(f (-d / c) = infty quad text {e} quad f ( infty) = a / c; )

e se (c = 0 ) assumimos

(f ( infty) = infty. )


Transformações não lineares de idade no diagnóstico, tamanho do tumor e número de linfonodos positivos na previsão do resultado clínico em câncer de mama

Fundo: Os fatores prognósticos no câncer de mama são frequentemente medidos em escala contínua, mas categorizados para a tomada de decisão clínica. O objetivo principal deste estudo foi avaliar se a contabilização dos efeitos não lineares contínuos dos três fatores idade no momento do diagnóstico, tamanho do tumor e número de linfonodos positivos melhora o prognóstico. Esses fatores provavelmente serão incluídos no manejo de pacientes com câncer de mama também no futuro, após uma implementação esperada de perfis de expressão gênica para a tomada de decisão de tratamento adjuvante.

Métodos: Quatro mil quatrocentos e quarenta e sete e 1132 mulheres com câncer de mama primário constituíram o conjunto de derivação e validação, respectivamente. Os potenciais efeitos não lineares sobre o risco log de recorrências à distância dos três fatores foram avaliados durante 10 anos de acompanhamento. Modelos de Cox de complexidade crescente: preditores dicotomizados, preditores categorizados em três ou quatro grupos e preditores transformados usando polinômios fracionários (FPs) ou splines cúbicos restritos (RCS) foram usados. O desempenho preditivo foi avaliado pelo índice C de Harrell.

Resultados: Usando transformações FP, efeitos não lineares foram detectados para o tamanho do tumor e número de linfonodos positivos em análises univariadas. Para a idade, as transformações não lineares, no entanto, não melhoraram o ajuste do modelo significativamente em comparação com a transformação linear de identidade. Como esperado, o índice C aumentou com o aumento da complexidade do modelo para modelos multivariáveis ​​incluindo os três fatores. Ao permitir mais de um ponto de corte por fator, o índice C aumentou de 0,628 para 0,674. O ganho adicional, medido pelo índice C, ao usar as transformações FP ou RCS foi modesto (0,695 e 0,696, respectivamente). Os índices C correspondentes para esses quatro modelos no conjunto de validação, com base nas mesmas transformações e estimativas de parâmetros do conjunto de derivação, foram 0,675, 0,700, 0,706 e 0,701.

Conclusões: A categorização de cada fator em três a quatro grupos foi encontrada para melhorar o prognóstico em comparação com a dicotomização. O ganho adicional ao permitir efeitos não lineares contínuos modelados por FPs ou RCS foi modesto. No entanto, o caráter contínuo dessas transformações tem a vantagem de possibilitar a formação de grupos de risco de qualquer porte.

Palavras-chave: Câncer de mama Categórico Contínuo Polinômios fracionários Prognósticos Splines.

Declaração de conflito de interesse

Aprovação ética e consentimento para participar

O estudo foi aprovado pelo Conselho de Revisão Ética Regional da Universidade de Lund, Lund Suécia (LU 240-01), e realizado de acordo com o código de ética da Associação Médica Mundial.

Uma vez que o estudo lida com material de parafina de arquivo, muitas vezes com várias décadas, não foi possível obter o consentimento informado de todos os pacientes. No entanto, todos os dados foram analisados ​​e apresentados de forma anônima. Além disso, uma nota foi publicada no jornal local, informando todas as pacientes com câncer de mama anteriores sobre a possibilidade de entrar em contato com o grupo de pesquisa se não quiserem que seu tecido tumoral seja usado em estudos científicos. Esse procedimento foi aceito pelo Conselho Regional de Revisão Ética.

Consentimento para publicação

Consulte a seção sobre aprovação e consentimento para participar da ética acima.

Interesses competitivos

Os autores declaram não ter interesses conflitantes.

Nota do editor

A Springer Nature permanece neutra em relação a reivindicações jurisdicionais em mapas publicados e afiliações institucionais.


Prova de que existe uma transformação fracionária linear única que mapeia três pontos distintos para três pontos distintos no plano complexo estendido.

O que se segue é um teorema e uma prova de Variáveis ​​Complexas de Herb Silverman. O negrito são partes que não entendi na prova.

Teorema: dados três pontos distintos, $ z_1, z_2, z_3 $ no plano $ z $ estendido e três pontos distintos $ w_1, w_2, w_3 $ no plano $ w $ estendido, existe uma transformação bilinear única $ w = t (z) $ tal que $ T (z_k) = w_k $ para $ k = 1,2,3 $.

Prova. Primeiro, assumimos que nenhum dos seis pontos é $ infty $. Seja $ w = T (z) = frac$. Queremos resolver $ a, b, c, $ e $ d $ em termos de $ z_1, z_2, z_3, w_1, w_2, $ e $ w_3 $. Isso parece mais complicado do que é. Para $ k = 1,2,3, $ temos $ w-w_k = frac- frac= frac <(ad-bc) (z-z_k)> <(cz + d) (cz_k + d)> (3,9) $

Multiplicando (3.10) por (3.11) temos $ frac <(w-w_1) (w_2-w_3)> <(w-w_3) (w_2-w_1)> = frac <(z-z_1) (z_2-z_3 )> <(z-z_3) (z_2-z_1)> (3,12) $ Resolvendo para $ w $ em termos de $ z $ e os seis pontos, obtém-se a transformação desejada. Se um dos pontos fosse o ponto em $ infty $, digamos $ z_3 = infty $, (3.12) seria modificado considerando o limite de $ z_3 $ se aproximando de $ infty $. Nesse caso, teríamos $ frac <(w-w_1) (w_2-w_3)> <(w-w_3) (w_2-w_1)> = frac (3.13)$

Corolário. Dados três pontos distintos, $ z_1, z_2, z_3 $ no plano $ z $ estendido, existe uma transformação bilinear única $ w = T (z) $ tal que $ T (z_1) = 0, T (z_2) = 1, T (z_3) = infty $ e é dado por $ w = frac <(z-z_1) (z_2-z_3)> <(z-z_3) (z_2-z_1)> $.

Em primeiro lugar, não vejo como obter a transformação desejada. Eu encontrei uma expressão para $ w $ em termos de todas as outras variáveis ​​(o que parece complicado) e encontrei $ T (z_1) = w_1 $ e $ T (z_2) = w_2 $. No entanto, não recebo $ T (z_3) = w_3 $. Na verdade, se olharmos para (3.12) e inserirmos $ z_3 $ no lugar de $ z $, a fração do lado direito nem mesmo é definida, pois o denominador é $. Portanto, não vejo como podemos obter o resultado desejado com essa expressão. Na verdade, não entendo por que o autor se propõe a encontrar uma expressão para $ w $ multiplicando frações. Qual pode ser o raciocínio por trás disso?

Além disso, não entendo a parte em que um dos pontos é $ infty $. Faz sentido considerar o limite como $ z_3 to infty $, mas como isso traz a expressão (3.13)?

Finalmente, para o corolário, novamente isso é semelhante à primeira pergunta, acho que devemos usar (3.12) e simplesmente inserir os valores $ w_k $ apropriados, mas no caso de $ T (z_3) = infty $, a expressão simplesmente não faz sentido para mim. Como $ frac <(w-w_1) (w_2- infty)> <(w- infty) (w_2-w_1)> $ faz sentido?

Eu agradeceria muito se alguém me esclarecesse as questões acima, estou tendo problemas para ler esta página por causa disso.


3 respostas 3

Explicar a motivação de alguém é mais uma questão psicológica do que matemática, mas aqui estão algumas observações. Se escrevermos uma transformação linear na linha projetiva sobre um campo, qualquer campo não necessariamente os números complexos, como uma equação de matriz e, em seguida, puxarmos os pontos projetivos (x: y) e (x ': y') para a linha afim como x / y e x '/ y', temos x '/ y' = (a (x / y) + b) / (c (x / y) + d). A linha projetiva complexa é a mesma que a Plano de Argand, que é o plano euclidiano real com um ponto extra correspondendo ao ponto (1: 0) na linha projetiva. É também o mesmo, por projeção estereográfica, que a superfície da esfera no 3-espaço euclidiano real. Voltando à linha projetiva, essa transformação preserva a razão cruzada, da qual fluem muitos outros resultados. Espero que isso ajude com a motivação!

Para um domínio simplesmente conectado $ Omega $, devido ao teorema de mapeamento de Riemann, ele é biolomórfico (ou conformalmente equivalente) a qualquer um

As transformações lineares fracionárias são os elementos dos grupos de automorfismo $ mathrm( hat < mathbb>) = Bigg < frac : ad-bc neq 0 Bigg > $ $ mathrm( mathbb) = Bigg < : a neq 0 Bigg > $ $ mathrm( mathbb) = Bigg < frac< barz + bar> : | a | ^ 2 - | b | ^ 2 = 1 Bigg > $

Nossos ancestrais matemáticos descobriram que o mapa $ z a 1 / z $ tem uma propriedade interessante: ele preserva a família de linhas e círculos. Como qualquer mapa da forma $ z a az + b $ também possui a mesma propriedade, as composições de tais mapas preservam essa família. Essas composições são precisamente as chamadas transformações lineares fracionárias.


1 resposta 1

Sob a projeção estereográfica, podemos identificar pontos na esfera de Riemman $ hat < mathbb> = mathbb cup < infty > $ com pontos na esfera unitária, $ S ^ 2 $. Se dois pontos $ x, y in hat < mathbb> $ são mapeados para $ p, q in S ^ 2 $ respectivley, a métrica cordal $ d (x, y) = | p-q | $ com a métrica euclidiana usual em $ mathbb^ 3 $ para uma prova você pode olhar para essas ótimas notas (que também explicam e comprovam as fórmulas para a projeção estereográfica, que usarei implicitamente mais tarde).

Denote a projeção estereográfica por $ pi: hat < mathbb> para S ^ 2 $. Como a distância é medida em relação aos pontos em $ S ^ 2 $, a afirmação é equivalente a dizer que, para uma dada transformação mobius $ M: hat < mathbb> to hat < mathbb> $, a função $ pi circ M circ pi ^ <-1> $ é contínua em relação à distância euclidiana. Podemos escrever cada transformação mobius como uma composição de mapas lineares $ z a az $ (denotado $ H_a $), uma inversão $ z a 1 / z $ (denotado $ I $) e uma tradução $ z a z + b $ (Denominado $ M_b $). Então, se soubermos que $ pi circ H_a circ pi ^ <-1> $, $ pi circ M_b circ pi ^ <-1> $, e $ pi circ I circ pi ^ <-1> $ são contínuos em relação à distância euclidiana - podemos terminar, pois temos:

$ pi circ (M circ N) circ pi ^ <-1> = pi circ M circ pi ^ <-1> circ pi circ N circ pi ^ <- 1 > $

E a composição de mapas contínuos é contínua. Portanto, só precisamos verificar qualquer um desses casos. No momento, estou com pouco tempo, então darei apenas o exemplo de $ I $. Espero expandir amanhã sobre como fazer os outros casos, mas eles podem ser feitos da mesma forma. Talvez, também, eu encontre uma maneira com menos cálculos - tenho certeza de que há uma maneira muito mais elegante de fazê-lo.

Portanto, para o caso $ I $ - escreva um ponto em $ S ^ 2 $ como $ (t, u, v) $. Então $ pi ^ <-1> (t, u, v) = frac<1-v>$ . (Ignore now from the point $(0,0,1)$ - the north pole - which is mapped to $infty$ ). Now, $I(pi^<-1>(t,u,v))=frac<1-v>(t-iu) $. Agora, aplicando $ pi $ dá o ponto $ (2 cdot frac <(1-v) t>, -2 cdot frac <(1-v) u>, frac <(1-v) ^ 2 t ^ 2 + (1-v) ^ 2 u ^ 2- (t ^ 2 + u ^ 2) ^ 2> <(1-v) ^ 2 t ^ 2 + (1-v) ^ 2 u ^ 2 + (t ^ 2 + u ^ 2) ^ 2>) = (t, - u, -v) $. Rastreando para onde vai o ponto $ infty $, vemos que $ (0,0,1) $ vai para $ (0,0, -1) $. Este, portanto, é um mapeamento contínuo (é contínuo em qualquer de suas coordenadas - o caso em que nos aproximamos do pólo norte também funciona). Geometricamente, esta é uma rotação em torno do eixo x, portanto, esta é outra maneira de ver que ele é contínuo.

EDIT: Tenho tentado pensar em maneiras de completar os outros casos sem cálculos confusos (o que pode ser feito). Eu vim com uma boa interpretação apenas para tipos especiais de mapas lineares - você pode decompor isso ainda mais, para a multiplicação por um elemento da forma $ z a e ^z $ para $ theta $ real e $ z a az $ para $ a & gt0 $. Se você pensar bem, o primeiro tipo de translação corresponde a rotações em torno do eixo z: se você girar o plano, a projeção apenas girará.


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Mapeando Círculos por uma Transformação Fracionária Linear

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Uma transformação fracionária linear (ou transformação M & # xF6bius) no plano complexo é um mapeamento conforme que tem a forma , Onde , , , e são complexos, com . A transformação transforma os círculos no avião em círculos no plano, onde as linhas retas podem ser consideradas círculos de raio infinito.

Nesta demonstração, o círculo vermelho é transformado no círculo azul do formulário .

Contribuição de: Izidor Hafner & # xA0 (fevereiro de 2016)
Conteúdo aberto licenciado sob CC BY-NC-SA


∑idiota & # 039s Blog

Os únicos LFTs que você & # 8217ll Sempre Precisa

Vamos considerar as transformações fracionárias lineares onde os coeficientes são todos inteiros e. Como multiplicar todos os coeficientes por uma constante não altera a transformação, podemos multiplicar tudo por -1 sempre que quisermos (por exemplo, para tornar positivo um coeficiente escolhido). Lembre-se, também, que escrever a transformação como uma matriz não é uma coisa totalmente irracional de se fazer, já que os compostos de transformações são determinados corretamente pela multiplicação da matriz. Eu estarei falando sobre a sequência dessas matrizes, então deixe minha matriz original ser

Se, então o requisito significa isso, e podemos escolher. Então nossa transformação é simples. Como é um número inteiro, poderíamos escrever isso como.

Se, então existe um para isso. Eu deixarei você verificar o seguinte:

Escrevendo esta matriz mais à direita como, estamos olhando para outra matriz com coeficientes inteiros cujo determinante é 1. Portanto, podemos repetir o processo, encontrando inteiros e LFTs com. O processo deve parar eventualmente, porque todos são inteiros não negativos. Eventualmente, um deles será 0, e já tratamos de transformações como a do parágrafo anterior.

Deixe, e observe isso, que nós usamos antes. Além disso, deixe (você pode notar que é a matriz de identidade). Então nossa relação acima é. Isso é,

A coleção de matrizes com a qual temos trabalhado, matrizes 2 & # 2152 com coeficientes inteiros cujo determinante é 1, tende a ser chamada de grupo modular e acabamos de mostrar isso e podem ser multiplicados juntos para fornecer a você qualquer elemento do grupo. Mais oficialmente, eles & # 8220geram & # 8221 o grupo. Você pode criar confusão e dizer que, tecnicamente, essas matrizes são realmente grupo linear especial , e observe que o grupo modular é realmente o quociente desse grupo onde você diz que duas matrizes são iguais se uma for -1 vezes a outra.

Uma coisa interessante sobre esse processo é que na verdade é apenas o processo pelo qual você passa para encontrar o maior divisor comum de e. O algoritmo padrão (Euclides & # 8217s) é observar que, se, há um inteiro tal que onde. O próximo passo é repetir o processo, escrevendo, com. Iterando, você descobre que, e eventualmente a é 0, e o processo para.

Você pode estar um pouco preocupado (com razão) que esse processo parece apenas olhar para e, saindo e saindo de cena. Se você observar o que fizemos com as matrizes, nosso processo pegou e escreveu como, e o e dependeu de e. Na etapa final do processo, onde o -coeficiente é 0, acabamos com um -coeficiente de 1, mas o -coeficiente será uma função dos valores e, portanto, esses valores aparecem e são usados, eventualmente. Claro, visto que conhecer um ou é suficiente para determinar o outro (assumindo que você conhece e). Você deve estar pensando que e são as variáveis ​​extras que circulam no algoritmo Euclides & # 8217s quando você faz a versão & # 8220estendida & # 8221.

Já falamos sobre tudo isso em termos de matrizes, mas lembre-se de que as matrizes representam transformações fracionárias lineares. A matriz é a transformação e o poder é então. Estas são apenas traduções horizontais. A matriz é a transformação. Com nossas relações entre o acima, vemos que poderíamos escrever

Viva as frações contínuas! Claro, eu sinto que configurei algo ao contrário. Conectar me dará uma fração contínua para, mas eu estava dizendo que vem de pensar sobre o maior divisor comum de e. Ah bem.

[Atualizar 20091203: O erro I & # 8217m preocupado acima deriva de algumas negociações frouxas com o fim do procedimento iterativo. Deixando, chegaremos a algo como onde, ou seja, Então acabamos dizendo. E isso depende do inicial, presumivelmente de uma maneira que a conexão faça sentido.]

O que eu disse é que cada matriz 2 & # 2152 com coeficientes em e determinante 1 pode ser escrita em termos de e. No entanto, você pode querer usar em vez de. Passando essencialmente pelo mesmo processo de antes, com alguns sinais de menos espalhados apropriadamente, pode-se determinar isso e pode ser usado, em vez de e, para gerar qualquer uma das matrizes que estamos considerando. Qual é a vantagem de terminar? Uma maneira de afirmar a vantagem, para a nossa história, é que a aplicação de pontos no meio plano superior os deixa no meio plano superior (e da mesma forma para a metade inferior), ao passo que vira pontos no meio plano superior para o meio plano inferior. Devemos pensar nisso como uma vantagem, porque todos os nossos círculos Ford estão na metade superior do plano. Se você voltar à discussão de ontem & # 8217s, notará que usei na fatoração.

Enfim, e são os únicos LFTs de que você precisa. Você pode verificar isso rapidamente e também (não tão rapidamente) isso. Se você escrever, acho que poderá dizer que o grupo modular é gerado por e, e pode estabelecer um isomorfismo entre o grupo modular e o produto livre do grupo cíclico de ordem 2 com o grupo cíclico de ordem 3. Isso & # 8217s alguma coisa.

LFTs e Ford Circles

Dados 4 números complexos, podemos considerar a transformação linear fracionária (LFT)

Bem, 4 números são suficientes para fazer uma matriz,. Existe alguma razão melhor para relacionar a transformação fracionária linear com esta matriz?

Suponha que você tenha duas matrizes e. Então, o produto é o seguinte:

Se você tomar a composição das duas transformações fracionárias lineares, ou seja,

e, em seguida, simplificar essa expressão por alguns minutos, você obtém o LFT

que é precisamente o LFT correspondente à matriz do produto acima. Então, se nada mais, escrever LFTs como matrizes dessa maneira não nos levará ao erro quando pensarmos em compostos.

Essa ideia tem sua confusão, pelo menos para mim. Geralmente, quando você pensa em uma matriz 2 & # 2152 de valores complexos, está pensando nessa matriz como um mapa linear, o que não é o que estamos fazendo acima. Em vez disso, acho que estamos dizendo que o & # 8220monóide & # 8221 (grupo sem inversos) das matrizes 2 & # 2152,, atua (no sentido técnico) como transformações fracionárias lineares. Meu palpite é que existem maneiras ainda melhores de dizer o que está acontecendo.

Acho que também é importante ter em mente que duas matrizes diferentes podem corresponder ao mesmo LFT. Por exemplo, representa o mesmo LFT que. Mais geralmente, se for qualquer valor complexo (diferente de zero), então representa o mesmo LFT que. Acho que se pode pensar em um espaço vetorial (isomórfico a) e, em seguida, pensar em seu espaço projetivo (o quociente em que dois & # 8220vetores & # 8221 (matrizes aqui) são iguais quando diferem por um múltiplo escalar (complexo) ), que denotarei. Então, acho que estou dizendo que a ação de on é, na verdade, uma ação do quociente,. Não tenho certeza se este é um ponto de vista útil (ou, de fato, correto).

Ontem, quando estava falando sobre como imaginar o que um LFT faz, escrevi uma fatoração do LFT como um composto. Nossa nova notação nos dá outra maneira de escrever essa fatoração (lembre-se, e que tínhamos assumido):

Como costuma ser útil, assumiremos que (na verdade, essa fatoração parece exigir isso & # 8211 acho que & # 8217 estou perdendo algo em algum lugar, alguém está vendo?). Observe que é o determinante da matriz que representa nosso LFT. Podemos então multiplicar todas as entradas em nossa matriz (sem alterar o LFT, como discutido acima) por e obter uma matriz com o determinante 1. Deixe & # 8217s fazer isso, criando.

Ontem, quando estava trabalhando na fatoração acima, só tive uma ideia de para onde estava indo. Acho que hoje consegui o dobro disso, então quero reescrever a fatoração. Deixe-me escrever como

Então, qual é a conexão com os círculos da Ford? Lembre-se de que, para uma fração reduzida, o círculo de Ford associado é o círculo centrado em com o raio. Seguindo Rademacher (e, presumivelmente, outros), digamos que a & # 8220fração & # 8221 também receba um Ford & # 8220circle & # 8221, a linha no avião. Isso não é uma coisa tão desagradável de se fazer, pois tem as propriedades de tangência de que falei ao falar sobre os círculos da Ford. De qualquer forma, pensemos em aplicar nossa transformação, como o composto dado acima, e ver o que acontece com esta linha. Nós iremos assumir que, e todos são números inteiros.

A primeira etapa é a tradução linear. Uma vez que é real (uma vez que são inteiros), esta tradução é um deslocamento horizontal, que não muda.

Em seguida, qual é. Pensando em um ponto da linha, você pode determinar rapidamente quais são suas coordenadas polares. A transformação é o composto de: (1) inversão em relação ao círculo unitário (o ponto torna-se), (2) reflexão através do eixo horizontal (dando) e, finalmente, (3) multiplicação por -1 (dando, uma vez que estes são coordenadas polares). Este último ponto é. Como varia, também varia nesse intervalo, e assim obtemos o gráfico da curva polar. Se você conhece suas curvas polares, sabe como é & # 8230

Assim, as duas primeiras transformações levam a linha ao círculo com centro (0,1 / 2) e raio 1/2. O próximo em nosso composto é a multiplicação por, que é apenas uma escala (desde). Esta escala leva nosso círculo ao círculo com centro e raio. Finalmente, a última transformação é outra translação horizontal, deixando nosso círculo centrado em. Reconhecemos isso como o círculo de Ford para a fração (desde que essa fração seja reduzida).

Não foi divertido? Se você quiser pensar um pouco mais sobre isso, pode se convencer de que qualquer ponto acima da linha será movido para um ponto dentro do círculo de Farey resultante desse processo.

Enfim, chega de mim. Espero que amanhã eu tenha um pouco mais de ideia do que estou falando. No entanto, não conte com isso.


Algoritmo para S-box

Esta seção trata principalmente da estrutura de nosso S-box. Antes de discutirmos o algoritmo constituinte, precisamos examinar alguns fatos fundamentais.

Uma função (f: < mathbb >_<2>^ rightarrow < mathbb > _ <2> ) é chamado de Função booleana. Nós definimos um função booleana vetorial (F: < mathbb >_<2>^ rightarrow < mathbb >_<2>^) Como

onde (x = (x_ <1>, , x_ <2>, ldots, x_) in < mathbb >_<2>^) e cada um de (f_) ’S for (1 le i le m ) é uma função booleana conhecida como função booleana de coordenada. Uma (n vezes n ) S-box é precisamente definida como uma função Booleana vetorial (S: < mathbb >_<2>^ rightarrow < mathbb >_<2>^) .

Neste estágio, parece bastante prático entender as propriedades estruturais do campo de Galois usado para construir uma S-box. Geralmente para qualquer primo p, Campo de Galois (GF (p ^) ) é dado pelo anel de fator (< mathbb >_

[X] / & lt eta (x) & gt ) onde ( eta (x) in < mathbb >_

[X] ) é um polinômio irredutível de grau n.

Para uma (8 vezes 8 ) S-box, usamos (GF (2 ^ <8>) ). Em padrões de criptografia avançados (AES), a construção de (GF (2 ^ <8>) ) é baseada no polinômio irredutível de grau 8 ( eta (x) = x ^ <8> + x ^ <4> + x ^ <3> + x + 1 ). Em Hussain et al. (2013b), ( eta (x) = x ^ <8> + x ^ <4> + x ^ <3> + x ^ <2> + x + 1 ) é usado como o polinômio gerador. Aqui escolhemos ( eta (x) = x ^ <8> + x ^ <6> + x ^ <5> + x ^ <4> +1 ) como o polinômio irredutível que gera o ideal máximo (& lt eta (x) & gt ) do domínio ideal principal (< mathbb > _ <2> [X] ). It is important to note that we may choose any degree 8 irreducible polynomial for constructing (GF(2^<8>)) however the choice of generating polynomial may affect our calculations as the binary operations are carried modulo the used polynomial (see Benvenuto 2012 for details).

Generally the construction of an S-box requires a nonlinear bijective map. In literature many algorithms based on such maps or their compositions are presented to synthesize cryptographically strong S-boxes. We present the construction of S-box based on an invertible nonlinear map known as the fractional linear transformation. It is a function of the form (frac) generally defined on the complex plain (>) such that uma, b, c and (d in >) satisfy the non-degeneracy condition (ad-bc e 0) . The set of these transformations forms a group under the composition. The identity element in this group is the identity map and the the inverse (frac<-cz+a>) of (frac) is assured by the condition (ad-bc e 0) . One can easily observe that the algebraic expression of this map has a combined effect of inversion, dilation, rotation and translation. The nonlinearity and algebraic complexity of the fractional linear transformation motivates the idea to employ this map for byte substitution.

For the proposed S-box we apply fractional linear transformation g on the Galois field discussed above, i.e. (g:GF(2^<8>) ightarrow GF(2^<8>)) given by (g(t)=frac) , where (a,, b,, c) and (din GF(2^<8>)) such that (ad-bc e 0) and t varies from 0 to (255 in GF(2^<8>)) . We may choose any values for parameters uma, b, c e d that satisfy the condition (ad-bc e 0) . Here, for calculations, we take (a=29=00011101,, b=15=00001111,,c=8=00001000) and (d=9=00001001) . One may observe that as we are working on a finite field, g(t) needs to be explicitly defined at (t=47) (at which denominator vanishes), so in order to keep g bijective we may define the transformation as given below

Following the binary operations defined on the Galois field (Benvenuto 2012), we calculate the images of g as shown in Table 1.

Thus the images of the above defined transformation yield the elements of the proposed S-box (see Table 2).

It is important to mention that an (8 imes 8) S-box has 8 constituent Boolean functions. A Boolean function f is balanced if () and () have same cardinality or the Hamming weight HW ((f)=2^). The significance of the balance property is that the higher the magnitude of a function’s imbalance, the more likelihood of a high probability linear approximation being obtained. Thus, the imbalance makes a Boolean function weak in terms of linear cryptanalysis. Furthermore, a function with a large imbalance can easily be approximated by a constant function. All the Boolean functions (f_,,i le i le 8) , involved in the S-box as shown in Table 2 satisfy the balance property. Hence, the proposed S-box is balanced. It might be of interest that in order to choose feasible parameters leading to balanced S-boxes satisfying all other desirable properties (as discussed in the next section), one can use constraint programming, a problem solving strategy which characterises the problem as a set of constraints over a set of variables (Kellen 2014 Ramamoorthy et al. 2011).

An S-box is used to convert the plain data into the encrypted data, it is therefore essential to investigate the comparative performance of the S-box. We, in the next section, analyse the newly designed S-box through various indices to establish the forte of our proposed S-box.


Output feedback control of linear fractional transformation systems subject to actuator saturation

In this paper, the control problem for a class of linear parameter varying (LPV) plant subject to actuator saturation is investigated. For the saturated LPV plant depending on the scheduling parameters in linear fractional transformation (LFT) fashion, a gain-scheduled output feedback controller in the LFT form is designed to guarantee the stability of the closed-loop LPV system and provide optimised disturbance/error attenuation performance. By using the congruent transformation, the synthesis condition is formulated as a convex optimisation problem in terms of a finite number of LMIs for which efficient optimisation techniques are available. The nonlinear inverted pendulum problem is employed to demonstrate the effectiveness of the proposed approach. Moreover, the comparison between our LPV saturated approach with an existing linear saturated method reveals the advantage of the LPV controller when handling nonlinear plants.


Assista o vídeo: Matriz da Transformação Linear. 12. Álgebra Linear. (Outubro 2021).