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3.1: Tangente ao gráfico de uma função


Elementar e muito importante.

Considere uma linha com a equação,

(y = m x + b ).

A inclinação, m, da linha é calculada como o incremento em y dividido pelo incremento em x entre dois pontos da linha, e pode ser chamada a taxa de variação de y em relação a x.

  • Se y medir o tamanho da população bacteriana no tempo x medido em horas, o declive m é o aumento bacteriano por hora, ou taxa de crescimento bacteriano, com dimensões, pop / hora.
  • Se y medir a altura de uma menina em centímetros no ano x, então m é a taxa de crescimento da menina em centímetros por ano.
  • Se y mede uma concentração de morfogênio a uma distância x de sua fonte em um embrião em desenvolvimento, m é a taxa de diminuição da concentração, chamada de gradiente morfogenético, que causa a diferenciação de tipos específicos de células em uma ordem espacial distinta.

A taxa simples de mudança das funções lineares é crucial para entender a taxa de mudança das funções não lineares.

Exemplo 3.1.1 Com que taxa a população de Vibrio natriegens da Seção 1.1 estava crescendo no tempo T = 40 minutos?

Temos dados para a densidade populacional (medida em unidades de absorbância) nos tempos T = 0, T = 16, T = 32, T = 48, T = 64 e T = 80 minutos.

Tempo01632486480
Absorvância0.0220.0360.0600.1010.1690.266

A taxa média de crescimento entre os tempos T = 32 e T = 48 é

[ frac {0,101-0,060} {48-32} = 0,0026 quad frac { text {Unidades de absorção}} { text {minuto}} ]

e é uma estimativa muito boa da taxa de crescimento no tempo T = 40, especialmente porque 40 está no meio do caminho entre 32 e 48.

Na Seção 1.1, deixamos o tempo t indexar em intervalos de 16 minutos e usamos o modelo matemático de que o aumento da população durante o tempo t até t + 1 é proporcional à população no tempo t. Com (B_t ) sendo a população no índice de tempo t, escrevemos

[B_ {t + 1} -B_ {t} = r vezes B_ {t} quad text {para} quad t = 0,1,2,3,4,5 label {3.1} ]

Concluímos que

[B_ {t} = 0,022 left ( frac {5} {3} right) ^ {t}, quad text {for} quad t = 0,1,2,3,4,5 ]

Em termos de T em minutos e B (T) em unidades de absorbância, (Equação 1.1.5)

[B (T) = 0,022 left ( frac {5} {3} right) ^ {T / 16} = 0,022 cdot 1.032 ^ {T} label {3.2} ]

Mostrados na Figura 3.1.1A estão os dados, os cálculos discretos da Equação ref {3.1} e o gráfico da Equação ref {3.2}. Uma ampliação do gráfico perto de T = 40 minutos é mostrada na Figura 3.1.1B junto com uma tangente desenhada em (40, B (40)).

Figura ( PageIndex {1} ): A. Gráfico dos dados de V. natriegens (+), a aproximação discreta da Equação ref {3.1} (círculos a cheio) e o gráfico da Equação ref {3.2}. Uma ampliação próxima a T = 40 minutos é mostrada em B junto com uma tangente ao gráfico de B (T) (Equação ref {3.2}) em (40, B (40)).

Nós definir a taxa de crescimento (instantânea) de uma população descrita por B (T) no tempo T = 40 para ser a inclinação da tangente ao gráfico de B no tempo T = 40. As unidades na inclinação da tangente são

[ frac { text {mudança em} mathrm {y}} { text {mudança em} mathrm {x}} = frac { text {unidades de absorção}} { text {Tempo em segundos}} ]

e são apropriados para a taxa de crescimento da população. Mostrado na Figura 3.1.2 estão a tangente e uma linha secante entre (32, B (32)) e (48, B (48)). A inclinação da secante é

[ frac {B (48) -B (32)} {48-32} = frac {0,10185-0,06111} {16} = 0,002546 ]

Esta é a taxa de crescimento média de B e é ligeiramente diferente da taxa de crescimento média (0,0026) calculada a partir dos dados porque B apenas se aproxima dos dados (muito bem, na verdade) e pode ser calculada com maior precisão do que é possível com os dados.

Podemos calcular uma estimativa mais próxima da inclinação da tangente computando

[ frac {B (45) -B (35)} {45-35} = frac {0,092549-0,067254} {10} = 0,0025295 ]

Seria possível ter dados de absorbância em intervalos de 5 minutos e calcular a taxa média de crescimento entre 35 e 45 minutos, mas existem duas dificuldades. A principal dificuldade é que a absorbância (em nossa máquina) só pode ser medida em três dígitos decimais e a resposta pode ser confiável em apenas 3 dígitos decimais, o primeiro dos quais é 0. Um segundo problema é que a cada leitura, 10 ml de o soro de crescimento é extraído, analisado no espectrofotômetro e descartado. Em 80 minutos, 160 ml de soro seriam descartados, possivelmente mais do que o inicialmente presente.

Figura ( PageIndex {2} ): Gráfico de B (T), a tangente ao gráfico em (40, B (40)) e a secante por meio de (32, B (32)) e (48, B (48)).

Exemplo 3.1.2 A que taxa a população humana mundial estava aumentando em 1980? São mostrados na Figura 3.1.3 os dados do século XX e um gráfico de uma função de aproximação, F. Uma tangente ao gráfico de F em (1980, F (1980)) é desenhada e tem uma inclinação de (0,0781 cdot 10 ^ {9} = 78, 100, 000 ). Agora,

[ text {declive é} quad frac { text {aumento}} { text {run}} = frac { text {mudança na população}} { text {mudança em anos}} aprox frac { text {people}} { text {ano}} ]

As unidades de inclinação, então, são pessoas / ano. Portanto,

[ text {declive} = 78.100.000 frac { text {pessoas}} { text {ano}} ]

A população mundial estava aumentando aproximadamente 78.100.000 pessoas por ano em 1980.

Explorar 3.1.1 A que taxa aproximadamente a população humana mundial estava aumentando em 1920?

Definição 3.1.1 Taxa de variação de uma função em um ponto.

Se o gráfico de uma função, F, tem uma tangente em um ponto (a, F (a)), então a taxa de variação de F em a é a inclinação da tangente a F no ponto (a, F (a )).

Figura ( PageIndex {3} ): Gráfico das estimativas das Nações Unidas da população humana mundial para o século XX, uma curva aproximada e uma tangente à curva. A inclinação da tangente é (0,0781 cdot 10 ^ {9} = 78, 100, 000. )

Figura ( PageIndex {4} ): Em nenhum desses gráficos aceitaremos uma linha como tangente ao gráfico no ponto (2,3)

Para ser útil, a Definição 3.1.1 requer uma definição de tangente a um gráfico que é dada abaixo na Definição 3.1.3. Em alguns casos, não haverá tangente. Em cada gráfico mostrado na Figura 3.1.4 não há tangente no ponto (3,2) do gráfico. Os alunos geralmente concordam que não há tangente nos gráficos A e B, mas às vezes discutem sobre o caso C.

Explorar 3.1.2 Você concorda que não há reta tangente a nenhum dos gráficos da Figura 3.1.4 no ponto (3,2)?

Exemplos de tangentes para gráficos são mostrados na Figura 3.1.5; todos os gráficos têm tangentes no ponto (2, 4). Na Figura 3.1.5C, entretanto, a linha mostrada não é a linha tangente. Os gráficos em B e C são iguais e a tangente em (2, 4) é a linha desenhada em B.

Uma reta tangente ao gráfico de (F ) em um ponto ((a, F (a)) ) contém (a, F (a)), portanto, para encontrar a tangente, precisamos apenas encontrar a inclinação da tangente, que denotamos por (m_a ). Para encontrar (m_a ) consideramos os pontos (b ) no domínio de (F ) que são diferentes de a e calculamos as inclinações,

[ frac {F (b) -F (a)} {b-a} ]

das linhas que contêm ((a, F (a)) ) e ((b, F (b)) ). A linha contendo ((a, F (a)) ) e ((b, F (b)) ) é chamada de secante do gráfico de (F ). A inclinação, ( frac {F (b) - F (a)} {b - a} ), da secante é uma 'boa' aproximação da inclinação da tangente quando b está 'perto de' a. Um gráfico, uma tangente ao gráfico e uma secante ao gráfico são mostrados na Figura 3.1.6. Se pudéssemos animar essa figura, deslizaríamos o ponto ((b, F (b)) ) ao longo da curva em direção a ((a, F (a)) ) e mostraríamos a secante movendo-se em direção à tangente.

Figura ( PageIndex {5} ): Todos esses gráficos têm uma tangente ao gráfico no ponto (2,4). No entanto, a linha desenhada em C não é a tangente.

Figura ( PageIndex {6} ): Um gráfico, uma tangente ao gráfico e uma secante ao gráfico.

Um substituto para essa animação é mostrado na Figura 3.1.7. Três pontos são mostrados, (B_ {1}, B_ {2} ) e (B_3 ) com (B_ {1} = (b_ {1}, F (b_ {1})) ), (B_ {2} = (b_ {2}, F (b_ {2})) ), e (B_ {3} = (b_ {3}, F (b_ {3})) ). Os números (b_ {1}, b_ {2} ), e (b_ {3} ) estão progressivamente mais próximos de (a ), e as inclinações das linhas tracejadas de (B_ {1}, B_ {2} ), e (B_ {3} ) a ((a, F (a)) ) estão progressivamente mais próximos da inclinação da tangente ao gráfico de (F ) em ( (a, F (a)) ). Em seguida, observe a ampliação de (F ) na Figura 3.1.7B. A progressão em direção a a continua com (b_ {3}, b_ {4} ) e (b_ {5} ), e as inclinações de (B_ {3}, B_ {4} ) e (B_ {5} ) para ((a, F (a)) ) mova ainda mais perto da inclinação da tangente.

Explorar 3.1.3 É importante na Figura 3.1.7 que conforme as coordenadas x (b_ {1}, b_ {2}, cdots ) ​​se aproximam dos pontos (B_ {1} = (b_ {1}, F (b_ {1})), B_ {2} = (b_ {2}, F (b_ {2})), cdots ) ​​na aproximação da curva ((a, f (a)) ). Isso seria verdade na Figura 3.1.4B?

Figura ( PageIndex {7} ): A. Um gráfico e tangente ao gráfico em ((a, F (a)) ). Inclinações das retas secantes de (B_ {1}, B_ {2}, ) e (B_3 ) a ((a, F (a)) ) movem-se progressivamente em direção à inclinação da tangente. B. A ampliação de A com a progressão continuou.

Definição 3.1.2

Suponha que (a ) e (b ) sejam dois números e (a

A notação para intervalo aberto é ambígua. (3,5) pode representar todos os números entre 3 e 5 ou pode representar o ponto no plano cujo par de coordenadas é (3,5). O contexto de seu uso deve esclarecer seu significado.

Definição 3.1.3

Suponha que o domínio de uma função (F ) contenha um intervalo aberto que contém um número (a ). Suponha ainda que haja um número (m_a ) tal que para os pontos (b ) no intervalo diferente de (a ),

[ text {as} b text {aproxima} a quad frac {F (b) -F (a)} {b-a} quad text {aproxima} m_a ]

Então (m_a ) é a inclinação da tangente a (F ) em ((a, F (a)) ). O gráfico de (y = F (a) + m_ {a} (x - a) ) é a tangente ao gráfico de (F ) em ((a, F (a)) ).

Estamos progredindo. Agora temos uma definição de tangente a um gráfico e, portanto, atribuímos significado à taxa de variação de uma função. No entanto, devemos entender a frase

[ text {as} b text {aproxima} a quad frac {F (b) -F (a)} {b-a} quad text {aproxima} m_a ]

Esta frase é uma ponte entre a geometria e a computação analítica e é formalmente definida na Definição 3.2.1. Primeiro, nós o usamos de forma intuitiva. Alguns alunos preferem uma declaração alternativa, igualmente intuitiva:

[ text {if} b text {está perto de} a quad frac {F (b) -F (a)} {b-a} quad text {está perto de} m_ {a} ]

Ambas as frases são úteis.

Considere a parábola, mostrada na Figura 3.1.8,

[F (t) = t ^ {2} quad text {para todos} t text {e um ponto} left (a, a ^ {2} right) text {of} F ]

Figura ( PageIndex {8} ): A parábola, (F (t) = t ^ 2 ), uma tangente à parábola em ((a, a ^ {2}) ) e uma secante em ((a, a ^ {2} ) ) e ((b, b ^ {2}) ).

A inclinação da secante é

[ frac {F (b) -F (a)} {ba} = frac {b ^ {2} -a ^ {2}} {ba} = frac {(ba) (b + a)} {ba} = b + a ]

Embora as 'abordagens' não tenham sido definidas cuidadosamente, não deve surpreendê-lo se concluirmos que

[ text {as} b text {aproxima} a quad frac {F (b) -F (a)} {ba} = frac {b ^ {2} -a ^ {2}} {ba } = b + a quad text {abordagens} quad a + a = 2 a. ]

Alternativamente, podemos concluir que

[ [ text {if} b text {é próximo a} a quad frac {F (b) -F (a)} {ba} = frac {b ^ {2} -a ^ {2 }} {ba} = b + a quad text {está perto de} quad a + a = 2 a. ]

Fazemos qualquer uma das conclusões e, junto com ela, concluímos que a inclinação da tangente à parábola (y = x ^ 2 ) no ponto ((a, a ^ {2}) ) é (2a ) . Além disso, a taxa de variação de (F (t) = t ^ 2 ) em (a ) é (2a ). Este é o primeiro de muitos exemplos.

Explore 3.1.4 Faça isso. Use sua intuição para responder às seguintes perguntas. Você não vai responder g. ou h. facilmente, se for o caso, mas pense nisso.

uma. Conforme b se aproxima de 4, qual número (3b ) se aproxima?

b. Conforme b se aproxima de 2, qual número (b ^ 2 ) se aproxima?

c. Se b for próximo de 5, de qual número (3b + b ^ 3 ) será próximo?

d. Conforme b se aproxima de 0, qual número ( frac {b ^ 2} {b} ) se aproxima?

e. Se b for próximo de 0, de qual número (2 ^ b ) será próximo?

f. Conforme b se aproxima de 0, ( frac {2 ^ b} {b} ) se aproxima de um número?

g. Conforme b se aproxima de 0, qual número ( frac { sin {b}} {b} ) se aproxima? Use a medida dos ângulos em radianos.

g *. Se b é próximo de 0, de que número ( frac { sin {b}} {b} ) está próximo? Use a medida dos ângulos em radianos.

h. Conforme b se aproxima de 0, qual número ( frac {2 ^ {b} −1} {b} ) se aproxima?

h *. Se b é próximo de 0, de que número ( frac {2 ^ {b} −1} {b} ) está próximo?

Pode-se procurar uma resposta para c., Por exemplo, escolhendo um número, b, próximo a 5 e computando (3 b + b ^ 3 ). Considere 4,99, que alguns considerariam perto de 5. Então (3 cdot 4,99 + 4,99 ^ {3} ) é 139,22. 4,99999 é ainda mais próximo de 5 e (3 cdot 4,99999 + 4,99999 ^ {3} ) é 139,99922. Pode-se supor que 3b + b 3 está perto de 140 se b está perto de 5. É claro que neste caso (3 b + b ^ 3 ) pode ser avaliado para b = 5 e é 140. As aproximações parecem supérfluas.

Explorar 3.1.5 Item g *. é mais interessante do que o item c porque ( frac { sin b} {b} ) não tem sentido para (b = 0 ). Calcule ( frac { sin b} {b} ) para (b = 0,1, b = 0,01 ) e (b = 0,001 ) (coloque sua calculadora no modo radiano) e responda a questão de g *.

O item h é mais interessante do que g *. Observe os seguintes cálculos.

[ begin {array} {lc}
b = 0,1 & frac {2 ^ {0,1} -1} {0,1} = 0,717734625
b = 0,01 & frac {2 ^ {0,01} -1} {0,01} = 0,69555006
b = 0,001 & frac {2 ^ {0,001} -1} {0,001} = 0,69338746
b = 0,0001 & frac {2 ^ {0,000001} -1} {0,000001} = 0,6931474
end {array} ]

Não está claro a que se aproximam os números da direita e, além disso, o número de dígitos relatados está diminuindo. Isso será explicado quando calcularmos a derivada das funções exponenciais no Capítulo 5

Explorar 3.1.6 Configure sua calculadora para exibir o número máximo de dígitos que ela exibirá. Calcule (2 ^ {0,00001} ) e explique por que o número de dígitos relatados está diminuindo nos cálculos anteriores.

Sua calculadora provavelmente tem um botão marcado como 'LN' ou 'Ln' ou 'ln'. Use esse botão para calcular (ln {2} ) e comparar (ln {2} ) com os cálculos anteriores.

Observação

Nos próximos exemplos, você achará útil lembrar que para os números aeb e n um inteiro positivo,

[b ^ {n} -a ^ {n} = (ba) left (b ^ {n-1} + b ^ {n-2} a + b ^ {n-3} a ^ {2} + cdots + b ^ {2} a ^ {n-3} + ba ^ {n-2} + a ^ {n-1} right) label {3.3} ]

Problema. Encontre a taxa de mudança de

[F (t) = 2 t ^ {4} -3 t quad text {at} quad t = 2 ]

De forma equivalente, encontre a inclinação da tangente ao gráfico de F no ponto (2,26).

Solução. Para (b ) um número diferente de 2,

[ begin {alinhado}
frac {F (b) -F (2)} {b-2} & = frac { left (2 b ^ {4} -3 b right) - left (2 cdot 2 ^ {4} -3 cdot 2 right)} {b-2}
& = 2 frac {b ^ {4} -2 ^ {4}} {b-2} -3 frac {b-2} {b-2}
& = 2 left (b ^ {3} + b ^ {2} cdot 2 + b cdot 2 ^ {2} + 2 ^ {3} right) -3
end {alinhado} ]

Nós afirmamos que

[ text {As} b text {aproxima-se} 2, quad frac {F (b) -F (2)} {b-2} = 2 left (b ^ {3} + b ^ {2 } cdot 2 + b cdot 2 ^ {2} + 2 ^ {3} right) -3 quad text {aproxima-se} 61. ]

Portanto, a inclinação da tangente ao gráfico de F em (2,26) é 61, e a taxa de variação de (F (t) = 2 t ^ {4} -3 t ) em (t = 2 ) é 61. Uma equação da tangente ao gráfico de F em (2,26) é

[ frac {y-26} {t-2} = 61, quad y = 61 t-96 ]

Os gráficos de F e (y = 61t - 96 ) são mostrados na Figura 3.1.9.

Figura ( PageIndex {9} ): Gráficos de (F (t) = 2 t ^ {4} -3 t ) e a reta (y = 61t - 96 ).

Problema. Encontre uma equação da linha tangente ao gráfico de

[F (t) = frac {1} {t ^ {2}} quad text {no ponto} quad (2,1 / 4) ]

Figura ( PageIndex {10} ): A. Gráficos de (F (t) = 1 / t ^ {2} ) e uma secante do gráfico por meio de ( left (b, 1 / b ^ {2} right) ) e (2, 1/4). Gráficos de (F (t) = 1 / t ^ {2} ) e a reta (y = -1 / 4 t + 3/4 ).

Solução. Gráficos de (F (t) = 1 / t ^ 2 ) e uma secante ao gráfico através dos pontos ((b, 1 / b ^ {2}) ) e (2, 1/4) para a número (b ) diferente de 2 são mostrados na Figura 3.1.10A.

A inclinação da secante é

[ begin {alinhado}
frac {F (b) -F (2)} {b-2} & = frac { frac {1} {b ^ {2}} - frac {1} {2 ^ {2}}} { b-2}
& = frac {2 ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2} cdot 2 ^ {2}} frac {1} {b-2}
& = - frac {2 + b} {2 ^ {2} cdot b ^ {2}} quad text {Ver Equação 3.1.19}
end {alinhado} ]

Nós afirmamos que

[ text {As} b text {aproxima-se} 2, quad frac {F (b) -F (2)} {b-2} = - frac {2 + b} {2 ^ {2} cdot b ^ {2}} quad text {abordagens} quad- frac {1} {4} ]

Uma equação da linha contendo (2, 1/4) com inclinação -1/4 é

[ frac {y-1/4} {t-2} = - 1/4, quad y = - frac {1} {4} t + frac {3} {4} ]

Esta é uma equação da reta tangente ao gráfico de [F (t) = 1 / t ^ {2} ] no ponto (2, 1/4). Os gráficos de (F ) e (y = -1 / 4 t + 3/4 ) são mostrados na Figura 3.1.10B.

Explorar 3.1.7 Na Figura 3.1.7 Explore está o gráfico de (y = sqrt [3] {x} ). O gráfico tem uma tangente em (0,0)? Seu voto conta.

Explore a Figura 3.1.7 Gráfico de (y = sqrt [3] {x} )

Problema. A que taxa a função (F (x) = sqrt [3] {x} ) está aumentando em t = 8?

Solução. Para um número b diferente de 8,

[ begin {alinhado}
& frac {F (b) -F (8)} {b-8} = frac { sqrt [3] {b} - sqrt [3] {8}} {b-8}
& = frac { sqrt [3] {b} -2} {( sqrt [3] {b}) ^ {3} -2 ^ {3}} quad text {Lightning Bolt! Veja a Figura 3.1.11}
& = frac {1} {( sqrt [3] {b}) ^ {2} + sqrt [3] {b} cdot 2 + 2 ^ {2}}
end {alinhado} ]

Agora afirmamos que

[ text {as} b text {aproxima-se} 8 quad frac {F (b) -F (8)} {b-8} = frac {1} {( sqrt [3] {b} ) ^ {2} + sqrt [3] {b} cdot 2 + 2 ^ {2}} quad text {aproxima} quad frac {1} {12} ]

Portanto, a taxa de aumento de (F (t) = sqrt [3] {t} ) em t = 8 é 1/12. Um gráfico de (F (t) = sqrt [3] {t} ) e (y = t / 12 + 4/3 ) é mostrado na Figura 3.1.12.

Padrão. Em cada um dos cálculos que mostramos, começamos com uma expressão para

[ frac {F (b) -F (a)} {b-a} ]

isso não fazia sentido para (b = a ) por causa de (b - a ) no denominador. Fizemos alguns rearranjos algébricos que neutralizaram o fator (b - a ) no denominador e obtivemos uma expressão (E (b) ) tal que

  1. ( frac {F (b) -F (a)} {b-a} = E (b) ) para (b neq a ), e
  2. (E (a) ) é definido, e
  3. À medida que (b ) se aproxima de (a ), (E (b) ) se aproxima de (E (a) )

UMA Relâmpago sinaliza uma etapa que é uma surpresa, misteriosa, obscura ou de validade duvidosa, ou a ser provada em capítulos posteriores. Pense em Zeus no topo do Monte Olimpo emitindo proclamações estrondosas em meio à escuridão e relâmpagos.

Figura ( PageIndex {11} ): Figura de Zeus de http://en.wikipedia.org/wiki/Zeus. A imagem é de Sdwelch1031

Figura ( PageIndex {12} ): Gráficos de (F (t) = sqrt [3] {t} ) e da reta (y = t / 12 + 4/3 ).

Em seguida, afirmamos que

[ text {as} b text {aproxima} a quad frac {F (b) -F (a)} {b-a} quad text {aproxima} quad E (a) text {. } ]

Este padrão será útil até que consideremos funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, onde mais do que um rearranjo algébrico é necessário para neutralizar o fator (b - a ) no denominador. O item 3 desta lista geralmente recebe pouca atenção, mas merece sua consideração.

Exercícios da Seção 3.1, Tangente ao gráfico de uma função.

Exercício 3.1.1 Aproxime a taxa de crescimento da população de V. natriegens da Tabela 1.1 no tempo t = 56 minutos.

Exercício 3.1.2 Aproxime a taxa de crescimento de (B (T) = 0,022 ) no tempo a. T = 56 minutos, b. T = 30 minutos, c. T = 0 minutos.

Exercício 3.1.3 A Figura 3.1.3 do exercício mostra o volume ventricular do coração durante um batimento cardíaco normal de 0,8 segundos. Durante a sístole, o ventrículo se contrai e empurra o sangue para a aorta. Encontre aproximadamente a taxa de fluxo em ml / s de sangue na aorta no tempo t = 0,2 segundos. Encontre aproximadamente a taxa de fluxo máxima de sangue na aorta.

Figura para o exercício 3.1.3 Gráfico do volume ventricular durante um batimento cardíaco normal. Padronizado após o gráfico na Figura 9.13.

Exercício 3.1.4 Mostrado no Exercício, a Figura 3.1.4 é um gráfico das densidades do ar em (kg / m ^ 3 ) em função da altitude em metros (US Standard Atmospheres 1976, National Oceanic and Atmospheric Administration, NASA, US Air Force, Washington, DC, outubro de 1976). Você encontrará a taxa de variação da densidade com a altitude. Como a variável independente é a altitude, uma distância, a taxa de mudança é comumente chamada de gradiente.

  1. A que taxa a densidade do ar está mudando com o aumento da altitude na altitude = 2.000 metros? Alternativamente, qual é o gradiente de densidade do ar a 2.000 metros?
  2. Qual é o gradiente de densidade do ar em altitude = 5000 metros?
  3. Qual é o gradiente de densidade do ar em altitude = 8.000 metros?

Figura para o exercício 3.1.4 Gráfico de densidade do ar ((kg / m ^ {3}) ) vs altitude (m)

Exercício 3.1.5 Uma abelha africana Apis mellifera scutellata foi introduzida no Brasil em 1956 por geneticistas que esperavam aumentar a produção de mel com um cruzamento entre a abelha africana nativa dos trópicos e as espécies europeias comumente utilizadas por apicultores na América do Sul e nos Estados Unidos. Vinte e seis rainhas africanas escaparam para a natureza em 1957 e a população selvagem subsequente foi muito agressiva e interrompeu ou eliminou a produção comercial de mel nas áreas onde se espalharam.

Mostrado na Figura 3.1.5 do Exercício está um mapa1 que mostra as regiões ocupadas pelas abelhas africanas nos anos 1957 a 1983, e as projeções das regiões que seriam ocupadas pelas abelhas durante 1985-1995.

  1. A que taxa as abelhas avançaram de 1957 a 1966?
  2. A que taxa as abelhas avançaram durante 1971 a 1975?
  3. A que taxa as abelhas avançaram durante 1980 a 1982?
  4. A que taxa foi assumido que as abelhas avançariam durante 1983-1987?

Figura para o exercício 3.1.5 A propagação da abelha africana do Brasil para a América do Norte. As curvas sólidas com datas representam a propagação observada. As curvas tracejadas e datas são projeções de propagação.

Exercício 3.1.6 Se b se aproxima de 3

  1. (b ) se aproxima de __________.
  2. (2 div b ) se aproxima de __________. Nota: Nem 0,6666 nem 0,6667 é a resposta.
  3. ( pi ) se aproxima de __________.
  4. ( frac {2} { sqrt {b} + sqrt {3}} ) se aproxima de __________. Nota: Nem 0,577 nem 0,57735026919 é a resposta.
  5. (b ^ {3} + b ^ {2} + b ) se aproxima de __________.
  6. ( frac {b} {1 + b} ) se aproxima de __________.
  7. (2 ^ {b} ) se aproxima de __________.
  8. ( log _ {3} b ) se aproxima de __________.

Exercício 3.1.7 Em um estudo clássico2, David Ho e colegas trataram pacientes infectados pelo HIV-1 com ABT-538, um inibidor da protease do HIV-1. A protease do HIV-1 é uma enzima necessária para a replicação viral, de modo que o inibidor interrompe a reprodução viral do HIV. O RNA viral é uma medida da quantidade de vírus no soro. Os dados que mostram a quantidade de RNA viral presente no soro durante duas semanas após a administração do medicamento são mostrados na Tabela Ex. 3.1.7 para um dos pacientes. Antes do tratamento, o RNA viral sérico dos pacientes era aproximadamente constante em 180.000 cópias / ml. No dia 1 do tratamento, a produção viral foi efetivamente eliminada e nenhum novo vírus foi produzido por cerca de 21 dias após o qual um mutante viral que era resistente ao ABT-538 surgiu. A taxa na qual o RNA viral diminuiu no dia 1 do tratamento é uma medida de quão rapidamente o sistema imunológico do paciente eliminou o vírus antes do tratamento.

  1. Calcule uma estimativa da taxa na qual o RNA viral diminuiu no dia 1 do tratamento.
  2. Suponha que o sistema imunológico do paciente tenha eliminado o vírus na mesma taxa antes do tratamento. Qual porcentagem do vírus presente no paciente foi destruída pelo sistema imunológico do paciente a cada dia antes do tratamento?
  3. A que taxa o vírus se reproduz na ausência de ABT-538.

Tabela para o exercício 3.1.7 Cópias de RNA / ml em um paciente durante o tratamento com um inibidor da protease do HIV-1.

Observado

Tempo

Dias

Cópias de RNA / ml

Milhares

180
450
818
119.5
155

Exercício 3.1.8 Mostrado na Figura Ex. 3.1.8 é o gráfico da reta, (y = 0,5 x ) e o ponto (2,1).

  1. Existe uma tangente ao gráfico de (y = 0,5 x ) no ponto (2,1)?
  2. Suponha que (H (t) = 0,5 t ) seja a altura em pés de água acima do estágio de inundação em um rio (t ) horas após a meia-noite. A que taxa a água está subindo no tempo t = 2 da manhã?

Figura para o exercício 3.1.8 Gráfico da reta (y = 0,5x ). Veja o exercício 3.1.8.

Exercício 3.1.9 Veja a Figura Ex. 3.1.9. Seja A o ponto (3,4) do círculo

[x ^ {2} + y ^ {2} = 25 ]

Seja B um ponto do círculo diferente de A. Qual número a inclinação da linha que contém A e B se aproxima quando B se aproxima de A?

Figura para o exercício 3.1.9 Gráfico do círculo (x ^ {2} + y ^ {2} = 25 ) e uma secante a (3,4) e um ponto B. Consulte o Exercício 3.1.9.

Exercício 3.1.10 Tecnologia. Suponha que a concentração de penicilina no plasma em um paciente após a injeção de 1 grama de penicilina seja observada

[P (t) = 200 cdot 2 ^ {- 0,03 t} ]

onde (t ) é o tempo em minutos e (P (t) ) é ( mu g / ml ) da penicilina. Use as etapas a seguir para aproximar a taxa na qual o nível de penicilina está mudando no tempo t = 5 minutos e em t = 0 minutos.

  1. t = 5 minutos. Desenhe o gráfico de (P (t) ) vs (t ) para (4.9 leq t leq 5.1 ). (O gráfico deve parecer uma linha reta neste curto intervalo.)
  2. Complete a tabela à esquerda, calculando as taxas médias de variação do nível de penicilina.
(b ) ( frac {P (b) -P (5)} {b-5} )
4.9-3.7521
4.95
4.99
4.995
5.005
5.01
5.05
5.1-3.744
(b ) ( frac {P (b) -P (0)} {b-0} )
-0.1OMITIR
-0.05OMITIR
-0.01OMITIR
-0.005OMITIR
0.005
0.01
0.05
0.1-4.155
  1. Qual é a sua melhor estimativa da taxa de variação do nível de penicilina no tempo (t = 5 ) minutos? Inclua unidades em sua resposta.
  2. t = 0 minutos. Complete a segunda tabela acima. As entradas OMIT na segunda tabela referem-se ao fato de que o nível de penicilina, (P (t) ), não pode ser dado pela fórmula para valores negativos de tempo, (t ). Qual é a sua melhor estimativa da taxa de variação do nível de penicilina no tempo (t = 0 ) minutos?

Exercício 3.1.11 O paciente no Exercício 3.1.10 tinha nível de penicilina 200 ( mu g / ml ) no tempo t = 0 após uma injeção de 1 grama. Qual é o volume aproximado do pool vascular do paciente? Se você desejasse manter o nível de penicilina do paciente em 200 ( mu g / ml ), com que taxa você infundiria penicilina continuamente no paciente?

Exercício 3.1.12 Encontre as equações das retas tangentes aos gráficos da função F nos pontos indicados.

  1. (F (t) = t ^ {2} ) em (2, 4)
  2. (F (t) = t ^ {2} +2 ) em (2, 6)
  3. (F (t) = t + 1 ) em (2, 3)
  4. (F (t) = 3 t ^ {3} -4 t ^ {2} ) em (1, -1)
  5. (F (t) = 1 / (t + 1) ) em (1, 1/2)
  6. (F (t) = sqrt [4] {t} ) em (1, 1)

Exercício 3.1.13 Encontre as taxas de variação da função F nos pontos indicados.

uma. (F (t) = t ^ {3} ) em (2, 8)
b. (F (t) = 1 / t ) em (2, 1/2)
c. (F (t) = 2 t + t ^ {2} ) em (2,8)
d. (F (t) = sqrt {t} ) em (4, 2)
e. (F (t) = t / (t + 1) ) em (1, 1/2)
f. (F (t) = (t + 1) / t ) em (1, 2)

Figura para o exercício 3.1.14 Uma parábola com vértice em A e uma secante passando por A e um ponto B. Consulte o Exercício 3.1.14.

1 Orley R. Taylor, abelhas africanas: impacto potencial nos Estados Unidos, Bull Ent Soc of America, Winter, 1985, 15-24. Copyright, 1985, The Entomological Society of America.

2 David D. Ho, Avidan U Neumann, Alan S. Perlson, Wen Chen, John M. Leonard, e Martin Markowitz, Rapid turnover of plasma virions and CD4 lymphocytes in HIV-1infection, Natureza 373, 123-126, (1995)


Gráfico da função tangente (tan) - Trigonometria

Para representar graficamente a função tangente, marcamos o ângulo ao longo do eixo x horizontal e, para cada ângulo, colocamos a tangente desse ângulo no eixo y vertical. O resultado, como visto acima, é uma curva bastante irregular que vai para o infinito positivo em uma direção e o infinito negativo na outra.

No diagrama acima, arraste o ponto A em um caminho circular para variar o ângulo CAB. Ao fazer isso, o ponto no gráfico se move para corresponder ao ângulo e sua tangente. (Se você marcar a caixa "modo progressivo", a curva será desenhada conforme você move o ponto A em vez de traçar a curva existente.)


Em eixos separados, desenhe com precisão cada uma das seguintes funções para ( text <0> text <& # 176> leq theta leq text <360> text <& # 176> ):

Para cada função, determine o seguinte:

Funções da forma (y = tan (k theta) ) (EMBHB)


3.1: Tangente ao gráfico de uma função

Derivados em Curve Sketching

Os derivados podem ajudar a representar graficamente muitas funções. A primeira derivada de uma função é a inclinação da reta tangente para qualquer ponto da função! Portanto, ele informa quando a função está aumentando, diminuindo ou onde tem uma tangente horizontal! Considere o seguinte gráfico:

Observe no lado esquerdo, a função está aumentando e a inclinação da reta tangente é positiva. No ponto do vértice da parábola, a tangente é uma reta horizontal, o que significa f '(x) = 0 e no lado direito o gráfico é decrescente e a inclinação da reta tangente é negativa!

Essas observações levam a uma generalização para qualquer função f (x) que tem uma derivada em um intervalo eu :

  • 1) Se f '(x)> 0 em um intervalo I, então o gráfico de f (x) aumenta à medida que x aumenta.
  • 2) Se f '(x)

Aqui estão alguns gráficos de cada uma das observações feitas acima!

Algumas observações sobre os gráficos acima!

1) Para ser um ponto mínimo, o gráfico deve mudar de direção de decrescente para crescente.

2) Para ser um ponto máximo, o gráfico deve mudar de direção de crescente para decrescente.

3) Para ser um ponto de inflexão, o gráfico não muda de direção. No exemplo acima (um no meio), ele está aumentando antes de f '(c) = 0 e ainda está aumentando depois. Você também pode ter um com o gráfico diminuindo em ambos os lados.

    1) Encontre os pontos críticos (pontos máximo, mínimo ou de inflexão) da função f (x) = x 3 + 3x 2 - 4. Em seguida, represente graficamente a função.
      a) Encontre os pontos críticos encontrando f '(x).
          Encontre os zeros resolvendo f '(x) = 0

        Substitua esses valores na função original para encontrar os valores y dos pontos críticos. Os pontos são (0, -4) e (-2, 0)

        b) Use a derivada para descobrir onde o gráfico está aumentando e diminuindo, tomando os valores de x em cada uma das três áreas formadas pelos dois pontos críticos. O gráfico abaixo mostra os resultados

        f '(x)
        x & lt -2 +
        x = -2 0
        -2 & lt x & lt 0 -
        x = 0 0
        x & gt 0 +

        O gráfico mostra que (-2, 0) é um máx. Local e (0, -4) é um min local. Você pode dizer por causa das mudanças de sinal!

        c) Encontre os zeros da função original. Estas são as interceptações x. Você pode usar divisão sintética e fatoração para encontrar os zeros! Eles são (-2, 0) (raiz dupla) e (1, 0)

        d) Encontre a interceptação y. Esta é a constante da função original. (0, -4)

        e) Agora considere o limite, pois x vai para ambos os infinitos da função original.


        Gráfico da Função Tangente - Conceito

        Norm foi 4º no Campeonato Nacional de Halterofilismo dos EUA em 2004! Ele ainda treina e compete ocasionalmente, apesar de sua agenda lotada.

        Para gráfico de função tangente, crie uma tabela de valores e plote-os no plano de coordenadas. Como tan (theta) = y / x, sempre que x = 0 a função tangente é indefinida (dividir por zero é indefinido). Esses pontos, em teta = pi / 2, 3pi / 2 e seus múltiplos inteiros, são representados em um gráfico por assíntotas verticais, ou valores que a função não pode igualar. Por causa da simetria do círculo unitário sobre o eixo y, o período é pi / 2.

        Eu quero representar graficamente a função tangente. Eu tenho uma tabela de valores escrita aqui e a definição da função tangente no círculo unitário aqui. Agora, aqui está o círculo unitário. Quero lembrar a você que outra maneira de ver a função tangente é a inclinação da op lateral do terminal. Por que é que? Bem, é porque você desenhou este pequeno triângulo aqui, a perna vertical do triângulo é y e a perna horizontal é x, onde xey são essas coordenadas. E a inclinação dessa linha seria y sobre x aumento sobre o curso. Portanto, y sobre x é a inclinação de op e isso nos ajuda a ver como a tangente se comporta. Mas a tangente me dá a inclinação desta linha.
        Tudo bem. Vamos começar traçando alguns pontos. Voltarei ao problema da inclinação em um segundo. O primeiro ponto é 0 0, que vai bem aí. E vou usar esses 2 pontos. Pi sobre 4, 1. Pi sobre 4 está a meio caminho entre 0 e pi sobre 2, então aqui mesmo. E eu vou fazer este 1. Então aqui está pi sobre 4, 1. E então pi sobre 3, raiz 3. Raiz 3 é aproximadamente 1,7, então eu & # 39m vou plotar isso como 1,7, e pi sobre 3 é two thirds the way from 0 to pi over 2. So this is pi over 3 right there. OK. If that's 1.5 and that's 2, 1.7 is about here. So there's my point and I draw my curve. It increases very rapidly like that and it actually has a vertical asymptote. It just increases steep more steeply and steeply as x approaches or as theta rather approaches pi over 2. And the reason for that is again it comes back to slope. As this angle gets closer and closer to pi over 2, the slope of this line gets steeper and steeper. It's approaching infinity and that's why the tangent zooms off to infinity.
        So know this graph because in a future episode, we're going to extend this in both directions because tangent's actually defined for all real numbers.


        A: Given, Amount = A = 2130 OMR Rate of interest = r = 8% Time period = t = 2 years We have to fin.

        R: Clique para ver a resposta

        Q: 2. With the help of polar coordinates and the following formula, find the surface area of the parabo.

        A: Given that the paraboloid is z=3x2+3y2 which lies under the plane z=27.

        Q: Determine the area in the second quadrant enclosed by the equation y = 2x + 4 and the x- and y-axes.

        A: Here we have to Determine the area in the second quadrant enclosed by the equation y=2x+4 and the x.

        Q: f(x + h) – f(x) For f(x) = x² – 4x + 7, find h

        R: Clique para ver a resposta

        Q: Express the interval in terms of an inequality involving absolute value. [−2, 2]

        A: The modulus of a number is equal to non-negative number a when the number is one of ±a. The solution.

        Q: . If f(x) = 2x3 - 3x2 + 4x - 1 and g(x) = 2, find (f ∘ g) (x) and (g ∘ f) (x)

        R: Clique para ver a resposta

        Q: What is the derivative of `y=ln x`?

        R: Clique para ver a resposta

        Q: In the given question , consider a particle moving along the x-axis, where x (t) is the position of .


        Tangent Function

        A series of free, online Trigonometry Video Lessons.
        Videos, worksheets, and activities to help Trigonometry students.

        In this lesson, we will learn

        • how to define the tangent function using the unit circle
        • how to evaluate the tangent function
        • how to graph the tangent function
        • how to transform the graph of tangent functions
        • how to find the x-intercepts and vertical asymptotes of the tangent function

        The Tangent Function

        In right triangle trigonometry (for acute angles only), the tangent is defined as the ratio of the opposite side to the adjacent side. The unit circle definition is tan(&theta)=y/x or tan(&theta)=sin(&theta)/cos(&theta). The tangent function is negative whenever sine or cosine, but not both, are negative: the second and fourth quadrants. Tangent is also equal to the slope of the terminal side.

        Evaluating the Tangent Function

        When evaluating the tangent function, to find values of the tangent function at different angles, we first identify the reference angle formed by the terminal side and the x-axis. Then, we find the tangent of this reference angle and, based on which quadrant the terminal side is in, decide if tangent is positive or negative. Tangent is positive in the first and third quadrants, where both sine and cosine are positive and both are negative.

        Graph of the Tangent Function

        For a tangent function graph, create a table of values and plot them on the coordinate plane. Since tan(theta)=y/x, whenever x=0 the tangent function is undefined (dividing by zero is undefined). These points, at theta=pi/2, 3pi/2 and their integer multiples, are represented on a graph by vertical asymptotes, or values the function cannot equal. Because of unit circle symmetry over the y-axis, the period is pi/2.

        Transforming the Tangent Graph

        When graphing a tangent transformation, start by using a theta and tan(theta) t-table for -pi/2 to pi/2. In the case of y = Atan(Bx) or y = Atan(B(x - h)), define Bx or B(x - h) to be equal to theta and solve for x. Now use this equation to create a x and Atan(Bx) or Atan(B(x - h)) table, which will give coordinate pairs to plot.

        Intercepts and Asymptotes of Tangent Functions

        The tangent identity is tan(theta)=sin(theta)/cos(theta), which means that whenever sin(theta)=0, tan(theta)=0, and whenever cos(theta)=0, tan(theta) is undefined (dividing by zero). When the tangent function is zero, it crosses the x-axis. Therefore, to find the intercepts, find when sin(theta)=0. To find the vertical asymptotes determine when cos(theta)=0.

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        How to Find Horizontal Tangent Lines

        Look for places on a graph where the slope (a.k.a. the derivative) is zero. In other words, look for where the slope is horizontal or flat and parallel to the x-axis. If you have a trace function on your calculator, you should be able to pinpoint the exact coordinates. However, if you have a graph on paper or without that “trace” ability, the position of the horizontal tangent line will usually be an estimate. For example, the graph below appears to have a horizontal tangent at y = 3 (at the graph’s low point). However, the tangent line is actually at y = 3.025:


        The Product of Two Linear Functions each of which is Tangent to the Product Function

        This may have been an attempt to write a paper with a longer title than the paper itself. In fact, this "paper" is a discussion of our examining a particular problem that having tools like function graphers available might make possible different approaches.

        This problem was posed by a group of teachers during a workshop in which the use of function graphers was being explored. Our analysis is presented as a sort of stream of consciousness account of how one might explore the problem with the tools at hand. In fact, we came up with two different streams of consciousness and so we have two senarios that are parallel in that they cover alternative approaches to the problem. The senarios represent a composite of several discussions of the problem with teachers, students, and colleagues. Note, the goal here is using this problem context, not only to solve the problem posed, but to understand the concepts and procedures underlying the problem.

        Function graphers are available for almost any computing platform or graphic calculator. Such tools make it possible to look at new topics in the mathematics curriculum or to look at current topics in different ways. This problem has some elements of each. In general it would not be included in the school curriculum, but there is no reason it should not. Further, the use of technological tools to examine visualizations of the functions makes for a different approach to the problem.

        Is it possible to find two linear functions, f(x) = mx + b and g(x) = nx + c, such that the function h(x) = f(x).g(x) is tangent to each. A traditional approach would begin with algebraic manipulation. This is useful because it keeps the students occupied, but what do they learn from it? Clearly, h(x) = (mx + b)(nx + c) is a polynomial of degree 2 and h(x) has two roots. The respective roots are when f(x) = 0 and g(x) = 0. This means the graph of h(x) crosses the x-axis at the same two points as f(x) and g(x). Thus, if there are points of tangency then they must occur at these common points on the x-axis. Experienced students, very bright students, and good problem solvers could whittle this information and a lot more information out of this algebraic analysis. Novice students would be more tentative.

        Senario One

        The graphs on the same set of axes are

        For some novices, seeing the graph of the product h(x) = (3x + 2)(2x+1) and the graphs of the two straight lines from the factors on the same coordinate axes provides a new experience. This particular graph has one of the two lines "close" to being tangent to the product curve but the other one is not close. How could the picture be changed?

        One idea is to spread the two lines so that one has negative slope. Try

        This is better? What can be observed? How can the graph of h(x) be "moved down?" What if the graphs of f(x) and g(x) had smaller y-intercepts? Try

        Still not too good but at least the graph of h(x) was "moved down."

        Try smaller y-intercepts, such as

        These graphs seem close, but clearly the line with negative slope is not tangent to the graph of h(x). Looking back over the sequence of graphs (and perhaps generating some others) the graph of h(x) always has a line of symmetry parallel to the y-axis. It seems that the pair of tangent lines will have to have this same symmetry. Como? Try making the slopes 3 and -3. The functions are

        A zoom to the right hand side of the graph with give

        showing tangency has not been achieved. A zoom to the left hand side shows a similar problem.

        One could try adjusting the y-intercepts. In fact, if the y-intercepts were equal, the y-axis would be the line of symmetry. Try

        The result seems on target. It remains to confirm f(x) and g(x) each share exactly one point in common with h(x). Again the tradition is to do so algebraically, but it might be instructive to look at some graphs of h(x) - f(x) and h(x) - g(x), such as the following:

        Can we immediately generate graphs of other f(x), g(x), and h(x) satisfying the conditions of the problem? Reviewing the graphs and the strategy, its seems that the slopes of the lines can vary, the only condition being that they are m and -m. So, a simpler case might be to let the slopes be 1 and -1, giving

        It is also of interest to see both of the solutions on the same graph:

        Other solutions could be generated by making some other vertical line the axis of symmetry. Indeed substituting

        for which the equations simplify to

        First consider the graphs of f(x) and g(x) and try to sketch in h(x). The graph is

        What do these lines tell you about the parabola? What points do you know the curve will go through? Por quê? What causes it to open the way it does? Now let's add the graph of the parabola and compare it with our sketch.

        How is it like our sketch? How is it different? Is there anything we should notice or consider?

        It appears that all three graphs seem to intersect at 1 on the y axis. Lets zoom for a closer look.

        Maybe changing one of the functions will help with the explanation.
        Considerar

        The three functions no longer intersect at 1 on the y-axis. However, the changed function, f(x), does intersect the curve at its y-intercept.

        When g(x) = 1 the parabola intersects f(x). Is the opposite true? Lets graph and see.

        It seems that if f(x) = 1 then h(x) = g(x) and if g(x) = 1 then h(x) = f(x). Lets test this by trying to generate h(x) from a new f(x) and g(x). Deixar

        Then add the sketch h(x) and compare with . . .

        In this process we seem to have also noticed that the lines and the parabola intersect at the points when the lines cross the x-axis. Why would this be true?

        Now the goal is to get one line tangent to the parabola. The function g(x) is close to being tangent. If we could just get the two points to slid together then they would become one point -- the point of tangency. (If a line intersects a parabola in exactly one point, what is true about the line?)

        Since f(x) takes on a value of 1 when x = 1, then lets try to change g(x) so that g(1) = 0. Lets see we could change the slope or change g(x)'s position up and down.

        To change slope, g(x) = -2x + 2 and test to see if g(1) = -2(1) + 2 = 0

        Or change position, g(x) = -3x + 3 and test g(1) = -3(1) + 3 = 0

        This seems to imply that f(x) and h(x) are tangent at the f(x) and h(x)'s common root, if the function g(x) takes on the value 1 at this root. Or in other words if f(a) = 0 and g(a) = 1 then f(x) is tangent to h(x) at a.

        What would we have to do to get both f and g tangent to h? That would mean that when f(x) = 0, then g(x) = 1 and when g(x) = 0, then f(x) = 1. Lets first start with an easy function for f and then try to generate a g(x) which satisfies what we want. Lets begin with f(x) = x.

        Now when f(x) = 0, then g(x) should take a value of 1. In other words if f(0) = 0, then g(0) = 1. Likewise, when g(x) = 0, f(x) should have a value of 1. Since f(1) = 1 then g(1) = 0. We need a our linear function g(x) to go through (0,1) and (1,0). So our g(x) = -x +1. Lets graph it to check.

        That looks right! Now, add the graph of the product and then test it to see if the curves are tangent.

        That looks good. (What is the coordinates of the vertex?) Lets zoom in at the roots.

        This seems to be a useful direction. Does it work on the previous problem? When we left off, f(x) = x and g(x) = -3x + 3. Can we use our technique to find a different f(x) that works for g(x) to produce h(x) = f(x).g(x) with f(x) and g(x) each tangent to h(x)? We have the following graph.

        Since g(1) = 0, then f(1) = 1 and since g(2/3) = 1 then f(2/3) = 0 will be necessary. So f(x) contains the points (1,1) and (2/3, 0). Try g(x) = -3x - 2.

        Zoom in for a closer look.

        What are the coordinates of the upper vertex of the triangle? What are the coordinates of the vertex of the parabola? Are the lines really tangent to the parabola? How might this be proved? Where else could the function f(x) possibly take on the same value as h(x) if h(x) = f(x).g(x)? And how can we interpret this on the graphs?

        Many issues are hidden in these composite accounts of examination of this problem. We still have the additional problem of writing a concise argument of proof of the demonstration -- that the solution will always have the two lines of slope m and -m crossing on y = 1 and the vertex of the parabola on y = 1/2.

        Each senario presents a somewhat different approach. Which would be most helpful in finding two quadratic functions f(x) and g(x) such that their product function h(x) = f(x).g(x) has each tangent? The following graphs show such functions. How can they be generated?


        3.1: Tangent to the Graph of a Function

        Question from Princess, a student:

        Oi! I'm a college sophomore student and I am taking a Business Calculus class. And I'm having a REALLY hard time trying to figure out this problem: If f ' (x) = 3x^2 +1, find the equation of the tangent line to f(x) = x^3 + x at x= -1.

        The term f &prime (x) refers to the derivative of f(x). The derivative of f(x) is the slope of f(x). The slope of f(x) is the tangent line to f(x) at whatever value of x you are interested in.

        So f &prime (x) is itself the slope of f(x). This means 3x 2 + 1 é the slope of x 3 + x.

        By simply plugging in the value x = -1, you can find the slope of the tangent line. And of course f(x) is the y value corresponding to x, giving you a point on the tangent line (the point of tangency itself).

        The equation of any line, given a point on the line (x0, y0) and a slope m is:

        Since the slope of a function f(x) is f ' (x) and the value y0 = f(x0), the tangent line of algum function f(x) at a particular value of x = x0 é:

        Just substitute x0 = -1 and simplify to complete the question:

        y - f(-1) = f '(-1) (x + 1)
        y - ((-1) 3 + (-1)) = (3(-1) 2 + 1)(x + 1)
        y - (-2) = (4)(x + 1)
        y = 4x + 2.


        Assista o vídeo: FUNÇÃO TANGENTE DOMÍNIO, IMAGEM, PERÍODO E PARIDADE AULA 1624 (Outubro 2021).