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5: Extensão e Bases - Matemática


A intuição provavelmente lhe diz que o plano ( mathbb {R} ^ 2 ) é de dimensão dois e que o espaço em que vivemos ( mathbb {R} ^ 3 ) é de dimensão três. Você provavelmente também aprendeu na física que o espaço-tempo tem dimensão quatro e que as teorias das cordas são modelos que podem viver em dez dimensões. Neste capítulo, daremos uma definição matemática da dimensão de um espaço vetorial. Para isso, primeiro precisaremos das noções de extensão linear, independência linear e a base de um espaço vetorial.

  • 5.1: Span Linear
    A extensão linear (ou apenas extensão) de um conjunto de vetores em um espaço vetorial é a interseção de todos os subespaços que contêm esse conjunto. A extensão linear de um conjunto de vetores é, portanto, um espaço vetorial.
  • 5.2: Independência Linear
    Vamos agora definir a noção de independência linear de uma lista de vetores. Este conceito será extremamente importante nas seções a seguir e, especialmente, quando introduzirmos as bases e a dimensão de um espaço vetorial.
  • 5.3: Bases
    A base de um espaço vetorial de dimensão finita é uma lista de abrangência que também é linearmente independente. Veremos que todas as bases para espaços vetoriais de dimensão finita têm o mesmo comprimento. Esse comprimento será então chamado de dimensão do nosso espaço vetorial.
  • 5.4: Dimensão
    Agora chegamos à importante definição da dimensão de um espaço vetorial de dimensão finita.
  • 5.E: Exercícios para o Capítulo 5


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