Artigos

9: Espaços de produtos internos


A definição abstrata de um espaço vetorial leva em consideração apenas as propriedades algébricas para a adição e multiplicação escalar de vetores. Também abstrairemos o conceito de ângulo por meio de uma condição chamada ortogonalidade.


9.B Operadores em espaços de produtos internos reais

1. Suponha que seja uma isometria. Prove que existe um vetor diferente de zero tal que.

Solução: Como é uma dimensão ímpar, o espaço vetorial real tem um autovalor. Let Ser um autovetor associado a. Observe que (porque é uma isometria), então.

2. Prove que toda isometria em um espaço de produto interno real de dimensão ímpar tem ou tem um autovalor.

Solução: Se for uma isometria, então cada autovalor de tem valor absoluto. Em um espaço de produto interno real de dimensão ímpar, sempre existe um autovalor, de modo que toda isometria em um espaço de produto interno real de dimensão ímpar tem ou como um valor próprio.

3. Suponha que seja um espaço de produto interno real. Mostre que:

para define um produto interno complexo em.

Homogeneidade no primeiro slot:

4. Suponha que seja um espaço de produto interno real e autoadjunto. Mostre que é um operador auto-adjunto no espaço interno do produto definido pelo exercício anterior.

Solução: Seja uma base ortonormal de. Observe isso, então. Desde então:

7. Suponha que e tenha uma matriz diagonal de bloco em relação a alguma base de. Pois seja o operador em cuja matriz em relação à mesma base é uma matriz de bloco diagonal com blocos do mesmo tamanho que na matriz acima, com no ésimo bloco, e com todos os outros blocos na diagonal iguais às matrizes de identidade ( do tamanho apropriado). Prove isso.

Solução: Let e ​​os vetores da base tais que as entradas diferentes de zero das colunas que definem formam a matriz.

Deixe, observe isso. Além disso, para todos (porque e para todos e) usando isso fica claro que (a última igualdade segue da definição de).

Como o resultado é verdadeiro para todos os vetores da base, é verdadeiro para todos os vetores do espaço.

8. Suponha que seja o operador de diferenciação no espaço vetorial no Exercício da Seção .A. Encontre uma base ortonormal de tal forma que a matriz do operador normal tenha a forma prometida por.


Produto interno em espaços Fock

Estou tentando entender os espaços Fock por conta própria e por isso tenho algumas dúvidas básicas que gostaria de esclarecer com você. Vamos $ mathcal$ seja um espaço de Hilbert e $ mathcal( mathcal): = bigoplus_^ < infty> mathcal^ < otimes n> $ seu espaço Fock associado. Aqui, $ mathcal^ < otimes n> $ é o produto tensorial $ n $ -fold $ mathcal^ < otimes n>: = mathcal otimes cdots otimes mathcal$. Agora, estou mais interessado em espaços Fock bosônicos / fermiônicos. Deixe $ wedge ^ mathcal$ para ser o subespaço de todos os tensores anti-simétricos de $ mathcal^ < otimes n> $. Então, o espaço Fock fermiônico é $ mathcal_( mathcal): = bigoplus_^ < infty> wedge ^ mathcal$. Se tudo isso está sendo dito, deixe-me perguntar:

(1) Pelo que entendi, a soma direta $ bigoplus_^ < infty> mathcal^ < otimes n> $ simplesmente significa o espaço de todas as sequências $ (x_ <0>, x_ <1>.) $ com quase todas as entradas diferentes de zero, com $ x_ in mathcal^ < otimes n> $. Assim, parece natural definir um produto interno $ langle cdot, cdot rangle $ em $ mathcal( mathcal) $ configurando: $ langle x, y rangle: = sum_^ < infty> langle x_, y_ rangle _ < mathcal^ < otimes n >> $ Com este produto interno, acredito que $ mathcal( mathcal) $ torna-se um espaço de Hilbert. Este raciocínio está correto?

(2) Relacionado à questão acima, alguns textos que conheço realmente definem a mesma noção de produto interno que defini acima, mas diretamente para espaços Fock fermiônicos e bosônicos. Isso também parece bom para mim, mas parece mais natural para mim definir o produto interno em $ mathcal_( mathcal) $ e, em seguida, restringi-lo a cada subespaço. Essas construções são equivalentes?

(3) Alguns textos definem o espaço Fock como o espaço de todas as sequências $ x = (x_ <0>, x_ <1>.) $ Com $ x_ in mathcal^ < otimes n> $ satisfazendo $ || x || ^ <2>: = sum_^ < infty> || x_|| ^ <2> _ < mathcal^ < otimes n >> & lt + infty $. Se o raciocínio da minha primeira pergunta estiver correto, parece que esta definição é apenas uma consequência do meu produto interno em $ mathcal( mathcal) $, certo?


Espaços de Hilbert

Conjuntos convexos e a propriedade do ponto mais próximo

& gt Propriedade do ponto mais próximo (teorema da distância mínima)

Seja (H ) um espaço de Hilbert, e (M subconjunto H ) um subconjunto não vazio, fechado e convexo de (H ). Para qualquer (x_0 em H ), existe um elemento único (y_0 em M ) tal que [ | x_0 - y_0 | = inf_ | x_0 - y |. ] N.b. O número ( inf_ | x_0 - y | ) é o distância de (x_0 ) para (M ), denotado ( mathrm(x_0, M) ).

Uma sequência de minimização: Desde (M neq emptyset ), o número (d: = inf_ | x_0 - y | ) é finito e não negativo, e pela definição de infinito, existe uma sequência de minimização (_ subset M ) de modo que [ lim_ | x_0 - y_j | = d. ]

(_) é Cauchy: Pela lei do paralelogramo aplicada a (x_0 - y_n ), (x_0 - y_m ), temos [ | 2 x_0 - (y_m + y_n) | ^ 2 + | y_m - y_n | ^ 2 = 2 | x_0 - y_m | ^ 2 + 2 | x_0 - y_n | ^ 2 a 4 d ^ 2, qquad m, n a infty. ] Tendo em vista que (M ) é convexo e (d ) mínimo, também temos que [ | 2 x_0 - (y_m + y_n) | ^ 2 = 4 Grande | x_0 - frac<2> Big | ^ 2 geq 4d ^ 2. ] Consequentemente, [ | y_m - y_n | ^ 2 a 0 quad text quad m, n a infty. ] Como (M subconjunto H ) está fechado e (H ) está completo, existe [y_0 = lim_ y_j em M quad text quad | x_0 - y_0 | = lim_ | x_0 - y_j | = d. ]

Singularidade: Suponha que (z_0 in M ​​) satisfaça ( | x_0 - z_0 | = d ). Então ( frac <2> em M ) e a lei do paralelogramo (aplicada a (x_0 - y_0 ), (x_0 - z_0 )) resulta que [ | y_0 - z_0 | ^ 2 = 2 | x_0 - y_0 | ^ 2 + 2 | x_0 - z_0 | ^ 2 -4 Grande | x_0 - frac<2> Big | ^ 2 leq 2d ^ 2 + 2d ^ 2 - 4d ^ 2 = 0, ] de modo que (z_0 = y_0 ).

© Mats Ehrnström. Este material é gratuito para uso privado. Compartilhamento público, publicação online e impressão para venda ou distribuição são proibidos.


9: Espaços de produtos internos

Notas sobre computação gráfica on-line

Propriedades dos espaços internos de produto

Um espaço de produto interno é um espaço linear (vetorial) com uma função que serve a um propósito muito semelhante ao produto escalar em um espaço bidimensional e tridimensional. Com este produto interno, podemos definir um norma no espaço que o torna um espaço linear normatizado. Nessas notas, revisamos as propriedades que definem esses espaços.

Definição de um Espaço Interno de Produto

  • para qualquer escalar c
  • Como consequência dessas propriedades, também temos
    • E se p é o elemento zero do espaço linear para todos.

    Definimos uma norma para o espaço interno do produto

    Se definirmos a norma de um elemento p em ser

    A desigualdade de Schwartz  

    Para um espaço de dois elementos e de um produto interno, a desigualdade

    detém. A igualdade é válida apenas se.

    o conteúdo do colchete é zero e

    Onde estamos assumindo que não é o elemento zero do espaço vetorial (em caso afirmativo, então a identidade claramente se mantém). Esta equação então se traduz em

    e é claro que a igualdade só acontece quando é o elemento zero no espaço linear.

    A Desigualdade do Triângulo

    Para quaisquer dois elementos e de um espaço de produto interno, a desigualdade

    detém. A igualdade só existe quando um elemento é o elemento zero do espaço linear, ou.

    Para ver isso, observe que se for o elemento zero do espaço vetorial, o resultado é trivial. Se não for zero, então

    onde a última substituição é via Desigualdade de Schwartz. A desigualdade do triângulo segue dividindo ambos os lados da equação por.

    Uma vez que a desigualdade do triângulo vale para a norma, isso implica que todo espaço de produto interno é um espaço linear normatizado

    A Equação do Paralelogramo

    Quaisquer dois elementos e de um espaço de produto interno satisfazem o equação do paralelogramo

    Isso é fácil de mostrar porque

    Se e são interpretados como estando no espaço do produto interno de todos os vetores no espaço bidimensional, então a equação do paralelogramo expressa o fato de que em um paralelogramo, a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados.

    Espaços lineares normados são quase espaços de produto interno

    Quase podemos definir um produto interno em um espaço linear normatizado. Definimos este produto interno da seguinte forma: Suponha que seja um espaço linear normalizado e que e sejam membros, então podemos definir

    Isso é quase um produto interno para um espaço linear normalizado. Na verdade é um produto interno se a equação do paralelogramo se mantém no espaço

    Todos os conteúdos copyright (c) 1996, 1997
    Departamento de Ciência da Computação,
    Universidade da Califórnia, Davis
    Todos os direitos reservados.


    3 respostas 3

    O produto interno é determinado pela norma por meio da identidade de polarização.

    Portanto, $ langle f, h rangle = <1 over 4> ( int g cdot (f + h) ^ 2 - int g cdot (fh) ^ 2) = int g cdot f cdot h $.

    Você não deve usar $ g $ como o símbolo para duas funções, uma o peso do produto interno e a outra um argumento do produto interno.

    Em vez disso, queremos $ langle f, , h rangle = int_0 ^ 1g (x) f ^ ast (x) h (x) dx $ no caso complexo, ou $ langle f, , h rangle = int_0 ^ 1g (x) f (x) h (x) dx $ no caso real.

    Isso recupera a norma desejada como um caso especial. Além disso, é único pela identidade de polarização, que @copperhat já deu no caso real. (No caso complexo, é $ 4 langle f, , h rangle = sum_^ 3i ^ <-n> Vert f + i ^ nh Vert_g $.)


    Produtos internos e espaços de produtos internos

    Existe uma propriedade de linearidade semelhante para o segundo componente dos produtos internos que é comprovada na proposição abaixo.

    Proposta 1: Seja $ X $ um espaço linear e seja $ langle cdot, cdot rangle $ um produto interno de $ X $. Então, para todos os $ x, y, z in X $ e para todos os $ lambda in mathbb$ nós temos isso:
    a) $ langle x, y + z rangle = langle x, y rangle + langle x, z rangle $.
    b) $ langle x, lambda y rangle = overline < lambda> langle x, y rangle $.

    Se $ X $ é um espaço linear sobre $ mathbb$ the (b) é substituído por $ langle x, lambda y rangle = lambda langle x, y rangle $ para todos $ lambda in mathbb$ .

    Definição: Um Espaço interno do produto é um espaço linear $ H $ emparelhado com um produto interno $ langle cdot, cdot rangle: H times H to mathbb$ em $ H $.

    Mais tarde, veremos que todo espaço interno de produto é um espaço normatizado com a norma definida em $ H $ como $ | x | = langle x, x rangle ^ <1/2> $.

    Um dos exemplos mais simples de um espaço interno de produto é $ mathbb^ n $ com o produto escalar euclidiano usual definido para todos $ x = (x_1, x_2,. x_n), y = (y_1, y_2,. y_n) in mathbb^ n $ por:

    E da mesma forma, $ mathbb^ n $ com o produto escalar euclidiano usual definido para todos $ x = (x_1, x_2,. x_n), y = (y_1, y_2,. y_n) in mathbb^ n $ por:

    Para outro exemplo, seja $ (X, mathfrak T, mu) $ um espaço de medida. Então, o espaço de Lebesgue $ L ^ 2 (X, mathfrak T, mu) $ é um espaço de produto interno com produto interno definido para todos $ f, g em L ^ 2 (X, mathfrak T, mu) $ de:


    Espaços de produtos internos

    Definição. Seja V um espaço vetorial sobre F, onde ou . Um produto interno em V é uma função que satisfaz:

    (a) (Linearidade) , para , .

    (b) (Simetria) ,para . (& quot & quot denota o conjugado complexo de x.)

    (c) (Definitividade positiva) Se , então e .

    Um espaço vetorial com um produto interno é um espaço interno do produto. Se , Visto verdadeiro espaço interno do produto E se , V é um espaço de produto interno complexo.

    Notação. Existem várias notações para produtos internos. Você pode ver & quot & quot ou & quot & quot ou & quot & quot, por exemplo. Alguns produtos internos específicos vêm com notação estabelecida. Por exemplo, o produto escalar, que discutirei abaixo, é denominado & quot & quot.

    Proposição. Seja V um espaço de produto interno sobre F, onde ou . Deixar , e deixar .

    (uma) e .

    (b) .

    Em particular, se , então .

    (c) Se , então .

    Por simetria, também.

    Se , então , e entao .

    (c) Como na prova de (b), eu tenho , assim

    Observações. Por que incluir conjugação complexa no axioma da simetria? Suponha que o axioma de simetria tenha lido

    Isso contradiz . Ou seja, não posso ter Ambas simetria pura e definição positiva.

    Exemplo. Suponha que u, vew são vetores em um espaço de produto interno real V. Suponha

    (a) Calcular .

    (b) Calcular .

    (a) Usando as propriedades de linearidade e simetria, eu tenho

    Observe que isso & quot se parece com & quot a multiplicação polinomial que você aprendeu na álgebra básica:

    Exemplo. Deixar . O produto escalar em É dado por

    É fácil verificar se os axiomas de um produto interno se mantêm. Por exemplo, suponha . Então, pelo menos um de , . é diferente de zero, então

    Isso prova que o produto escalar é definitivo.

    Posso usar um produto interno para definir comprimentos e ângulos. Assim, um produto interno introduz geometria (métrica) em espaços vetoriais.

    Definição. Seja V um espaço de produto interno e deixe.

    (a) O comprimento de x é .

    (b) o distância entre xey é.

    (c) O ângulo entre xey é o menor número real positivo que satisfaz

    Observação. A definição do ângulo entre xey não faria sentido se a expressão era maior que 1 ou menor que -1, pois estou afirmando que é o cosseno de um ângulo.

    Na verdade, o Desigualdade de Cauchy-Schwarz (que provarei abaixo) mostrará que

    Proposição. Seja V um verdadeiro espaço interno de produto, , .

    (uma) .

    (b) . (& quot & quot denota o valor absoluto de a.)

    (c) se e apenas se .

    (d) ( Desigualdade de Cauchy-Schwarz) .

    (e) ( Desigualdade triangular) .

    Prova. (a) Quadratura .

    (b) Desde ,

    (c) implica , e, portanto . Por outro lado, se , então , assim .

    (d) Se , então

    Por isso, . O mesmo é verdade se .

    Assim, posso supor que e .

    A maior parte da prova vem a seguir e envolve um truque. Não se sinta mal se você não tivesse pensado nisso: tente acompanhar e entender as etapas.

    Se, então, por definição positiva e linearidade,

    O truque é escolher os valores & quot agradáveis ​​& cotados para a e b. Vou definir e . (A justificativa para isso é que eu quero a expressão aparecer na desigualdade.)

    Desde e , Eu tenho e . Posso dividir a desigualdade por obter

    Na última desigualdade, x e y são vetores arbitrários. Portanto, a desigualdade ainda é verdadeira se x for substituído por . Se eu substituir x por , então e , e a desigualdade se torna

    Desde é maior ou igual a ambos e , Eu tenho

    Por isso, .

    Exemplo. é um espaço de produto interno usando o produto escalar padrão de vetores. O cosseno do ângulo entre e é

    Exemplo. Deixar denotam o espaço vetorial real de funções contínuas no intervalo . Defina um produto interno em de

    Observe que é integrável, pois é contínuo em um intervalo fechado.

    A verificação de que isso dá um produto interno se baseia nas propriedades padrão dos integrais de Riemann. Por exemplo, se,

    Dado que este é um produto interno real, posso aplicar a proposição anterior para produzir alguns resultados úteis. Por exemplo, a desigualdade de Cauchy-Schwarz diz que

    Definição. Um conjunto de vetores S em um espaço de produto interno V é ortogonal E se para , .

    Um conjunto ortogonal S é ortonormal E se para todos .

    Se você viu produtos escalares em um curso de cálculo multivariável, sabe que os vetores em cujo produto escalar é 0 são perpendiculares. Com esta interpretação, os vetores em um conjunto ortogonal são mutuamente perpendiculares. Os vetores em um conjunto ortonormal são mutuamente perpendiculares unidade vetores.

    Notação. Se I for um conjunto de índice, o delta de Kronecker (ou ) é definido por

    Com esta notação, um conjunto é ortonormal se

    Observe que o matriz de quem -º componente é é o matriz de identidade.

    Exemplo. A base padrão para é

    É claro que em relação ao produto escalar em , cada um desses vetores com comprimento 1, e cada par de vetores tem produto escalar 0. Portanto, a base padrão é um conjunto ortonormal em relação ao produto escalar em .

    Exemplo. Considere o seguinte conjunto de vetores em:

    Segue-se que o conjunto é ortonormal em relação ao produto escalar em .

    Exemplo. Deixar denotar o de valor complexo funções contínuas em . Defina um produto interno por

    Deixar . Então

    Conclui-se que o seguinte conjunto é ortonormal em relação a este produto interno:

    Proposição. Deixar ser um conjunto ortogonal de vetores, para todos i. Então é independente.

    Pegue o produto interno de ambos os lados com :

    Desde é ortogonal,

    Mas por definição positiva, uma vez que . Portanto, .

    Da mesma forma, tomando o produto interno de ambos os lados da equação original com , . shows para todos j. Portanto, é independente.

    Um conjunto ortonormal consiste em vetores de comprimento 1, então os vetores são obviamente diferentes de zero. Conseqüentemente, um conjunto ortonormal é independente e forma uma base para o subespaço que abrange. Uma base que é um conjunto ortonormal é chamada de base ortonormal.

    É muito fácil encontrar os componentes de um vetor em relação a uma base ortonormal.

    Proposição. Deixar seja uma base ortonormal para V, e deixe . Então

    Observação: Na verdade, a soma acima é uma soma finita - ou seja, apenas um número finito de termos é diferente de zero.

    Prova. Desde é uma base, existem elementos e de tal modo que

    Pegue o produto interno de ambos os lados com . Então

    Como na prova da última proposição, todos os termos do produto interno à direita desaparecem, exceto que por ortonormalidade. Desse modo,

    Tomando o produto interno de ambos os lados da equação original com , . shows

    Exemplo. Aqui está uma base ortonormal para:

    Para expressar em termos dessa base, pegue o produto escalar do vetor com cada elemento da base:

    Exemplo. Deixar denotam o espaço de produto interno complexo de funções contínuas de valor complexo em , onde o produto interno é definido por

    Observei anteriormente que o seguinte conjunto é ortonormal:

    Suponha que eu tente calcular os & quotcomponentes & quot de em relação a este conjunto ortonormal tomando produtos internos - isto é, usando a abordagem do exemplo anterior.

    Para ,

    Suponha. Então

    Existem infinitos componentes diferentes de zero! Claro, a razão pela qual isso não contradiz o resultado anterior é que pode não estar no intervalo de S. S é ortonormal, portanto, independente, mas não é uma base para .

    Na verdade, desde , uma combinação linear finita de elementos de S deve ser periódica.

    Ainda é razoável perguntar se (ou em que sentido) pode ser representado pela soma infinita

    Por exemplo, é razoável perguntar se a série converge uniformemente para f em cada ponto de . As respostas a esses tipos de perguntas exigiriam uma excursão à teoria de Séries de Fourier.

    Como é tão fácil encontrar os componentes de um vetor em relação a uma base ortonormal, é interessante ter um algoritmo que converte uma determinada base em uma ortonormal.

    O Algoritmo de Gram-Schmidt converte uma base em uma base ortonormal por "aclarar" os vetores um por um.

    A imagem mostra a primeira etapa do processo de endireitamento. Vetores dados e , Eu quero substituir com um vetor perpendicular a . Posso fazer isso pegando o componente de perpendicular a , qual é

    Lema. ( Algoritmo de Gram-Schmidt) Deixar ser um conjunto de vetores diferentes de zero em um espaço de produto interno V. Suponha , . são ortogonais aos pares. Deixar

    Então é ortogonal a , . .

    Prova. Deixar . Então

    Agora para porque o conjunto é ortogonal. Portanto, o lado direito se fecha para

    Suponha que eu comece com um conjunto independente . Aplique o procedimento de Gram-Schmidt ao conjunto, começando com . Isso produz um conjunto ortogonal . Na verdade, é um diferente de zero conjunto ortogonal, portanto, também é independente.

    Para ver que cada um é diferente de zero, suponha

    Isso contradiz a independência de , Porque é expresso como a combinação linear de , . .

    Em geral, se o algoritmo for aplicado iterativamente a um conjunto de vetores, a amplitude é preservada em cada estado. Isso é,

    Isso é verdade no início, desde então. Assuma indutivamente que

    Expressa como uma combinação linear de . Por isso, .

    Segue que , assim , por indução.

    Para resumir: se você aplicar Gram-Schmidt a um conjunto de vetores, o algoritmo produz um novo conjunto de vetores com a mesma extensão do antigo conjunto. Se o conjunto original era independente, o novo conjunto também é independente (e ortogonal).

    Então, por exemplo, se Gram-Schmidt for aplicado a um base para um espaço de produto interno, ele produzirá um base ortogonal para o espaço.

    Finalmente, você sempre pode produzir ortonormal conjunto de um conjunto ortogonal (de vetores diferentes de zero) --- simplesmente divida cada vetor no conjunto ortogonal por seu comprimento.

    Exemplo. ( Gram-Schmidt) Aplique Gram-Schmidt ao seguinte conjunto de vetores em (em relação ao produto escalar usual):

    (Um erro comum aqui é projetar em , ,. . Eu preciso projetar nos vetores que têm já foi ortogonalizado. É por isso que projetei em e ao invés de e .)

    O algoritmo produziu o seguinte conjunto ortogonal:

    Os comprimentos desses vetores são 5, 5 e 9. Por exemplo

    O conjunto ortonormal correspondente é

    Exemplo. ( Gram-Schmidt) Encontre uma base ortonormal (em relação ao produto escalar usual) para o subespaço de medido pelos vetores

    Vou usar , , para denotar a base ortonormal.

    Para simplificar os cálculos, você deve corrigir os vetores para que sejam mutuamente perpendiculares primeiro. Em seguida, você pode dividir cada um por seu comprimento para obter vetores de comprimento 1.

    Você pode verificar isso, então os dois primeiros são perpendiculares.

    Se em qualquer ponto você acabar com um vetor com frações, é uma boa ideia limpar as frações antes de continuar. Como a multiplicação de um vetor por um número não muda sua direção, ele permanece perpendicular aos vetores já construídos.

    Assim, vou multiplicar o último vetor por 9 e usar

    Então, o ortogonal conjunto é

    Os comprimentos desses vetores são 3, 9 e . A divisão dos vetores por seus comprimentos dá uma base ortonormal:

    Lembre-se de que quando um vetor n-dimensional é interpretado como uma matriz, ele é considerado uma matriz: ou seja, um vetor de coluna n-dimensional

    Se eu precisar de um n-dimensional fileira vetor, vou fazer a transposição. Desse modo,

    Lema. Seja A um invertível matriz com entradas em . Deixar

    Então define um produto interno em .

    Prova. Tenho que verificar a linearidade, simetria e definição positiva.

    Primeiro, se, então

    Isso prova que a função é linear no primeiro slot.

    A segunda igualdade vem do fato de que para matrizes. A terceira desigualdade vem do fato de que é um matriz, então é igual a sua transposta.

    Isso prova que a função é simétrica.

    Agora é um vetor --- Vou rotular seus componentes desta forma:

    Ou seja, o produto interno de um vetor consigo mesmo é um número não negativo. Tudo o que resta é mostrar que se o produto interno de um vetor com ele mesmo é 0, então o vetor é .

    Usando a notação acima, suponha

    Então, porque um u diferente de zero produziria um número positivo no lado direito da equação.

    Finalmente, usarei o fato de que A é invertível:

    Isso prova que a função é definida positivamente, portanto, é um produto interno.

    Exemplo. O lema anterior fornece muitos exemplos de produtos internos em além do produto escalar usual. Tudo o que tenho que fazer é pegar uma matriz invertível A e formar , definindo o produto interno como acima.

    Por exemplo, esta matriz real é invertível:

    (Observe que sempre será simétrico.) O produto interno definido por esta matriz é

    Por exemplo, neste produto interno,

    Definição. Uma matriz A em é ortogonal E se .

    Proposição. Seja A uma matriz ortogonal.

    (uma) .

    (b) --- em outras palavras, .

    (c) As linhas de A formam um conjunto ortonormal. As colunas de A formam um conjunto ortonormal.

    (d) A preserva produtos escalares --- e, portanto, comprimentos e ângulos --- no sentido de que

    Prova. (a) Se A for ortogonal,

    Portanto, .

    (b) Uma vez que o determinante é certamente diferente de zero, então A é invertível. Por isso,

    Mas , assim também.

    (c) A equação implica que as linhas de A formam um conjunto ortonormal de vetores. Da mesma forma, mostra que o mesmo é verdadeiro para as colunas de A.

    (d) O produto escalar comum de vetores e pode ser escrito como uma multiplicação de matriz:

    (Lembre-se da convenção de que os vetores são coluna vetores.)

    Suponha que A seja ortogonal. Então

    Em outras palavras, as matrizes ortogonais preservam os produtos escalares. Conclui-se que as matrizes ortogonais também preservarão comprimentos de vetores e ângulos entre vetores, porque eles são definidos em termos de produtos escalares.

    Exemplo. Encontre os números reais aeb de modo que a seguinte matriz seja ortogonal:

    Uma vez que as colunas de A devem formar um conjunto ortonormal, devo ter

    (Observe que já.) A primeira equação dá

    A maneira fácil de obter uma solução é trocar 0,6 e 0,8 e negar um deles, assim, e .

    Desde , Terminei. (Se o aeb que eu escolhi tivessem feito , então eu simplesmente dividiria por seu comprimento.)

    Exemplo. Matrizes ortogonais representam rotações do plano sobre a origem ou reflexos através de uma linha através da origem.

    As rotações são representadas por matrizes

    Você pode verificar se isso funciona considerando o efeito da multiplicação dos vetores de base padrão e por esta matriz.

    Multiplicar um vetor pelo seguinte produto de matriz reflete o vetor através da linha L que faz um ângulo com o eixo x:

    Lendo da direita para a esquerda, a primeira matriz gira tudo por radianos, então L coincide com o eixo x. A segunda matriz reflete tudo no eixo x. A terceira matriz gira tudo por radianos. Portanto, um determinado vetor é girado por e refletido no eixo x, após o qual o vetor refletido é girado por . O efeito líquido é refletir em L.

    Muitos problemas de transformação podem ser facilmente realizados fazendo transformações para reduzir um problema geral a um caso especial.


    Um dos exemplos mais importantes de produto interno é o produto escalar entre dois vetores de coluna com entradas reais.

    Let Ser o espaço de todos os vetores reais (no campo real).

    O produto escalar entre dois vetores reais (que já foi apresentado na aula sobre multiplicação de matrizes) é onde é a transposta de, são as entradas de e são as entradas de.

    Exemplo de definição então

    Precisamos verificar se o produto escalar assim definido satisfaz as cinco propriedades de um produto interno.

    Positividade e definição são satisfeitas porque onde a igualdade se mantém se e somente se.

    A aditividade é satisfeita porque

    O produto escalar é homogêneo no primeiro argumento porque

    Finalmente, a simetria (conjugada) se mantém porque


    Ofertas especiais e promoções de produtos

    Análise

    “Os espaços de Produto Interno Parcial (PIP) generalizam e sintetizam muitos espaços que aparecem na análise funcional, como espaços de Hilbert manipulados, escalas de espaços de Hilbert ou Banach, etc.… o livro também será de interesse para pesquisadores interessados ​​em espaços funcionais quanto aos interessados ​​em aplicações em física teórica e processamento de sinais. ” (Stefan Cobzaş, Zentralblatt MATH, Vol. 1195, 2010)

    “O tema deste livro são os chamados espaços PIP (produto interno parcial), que são espaços vetoriais com uma relação simétrica em pares de elementos…. De modo geral, o livro oferece uma oportunidade única para os pesquisadores que trabalham no campo da análise terem uma nova perspectiva sobre famílias mais ou menos conhecidas de espaços funcionais ou operadores e as características analíticas funcionais comuns a todas essas famílias, analisadas de forma muito sistemática caminho. … Muitos leitores vão gostar de estudar os conceitos propostos. ” (Hans G. Feichtinger, Mathematical Reviews, Issue 2011 i)


    Assista o vídeo: Podróż w głąb ciała (Outubro 2021).