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6.5: A fórmula da dimensão


O próximo teorema é o resultado-chave deste capítulo. Relaciona a dimensão do kernel e o alcance de um mapa linear.

Teorema 6.5.1. Deixar (V ) ser um espaço vetorial de dimensão finita e (T: V para W ) ser um mapa linear. Então ( range (T) ) é um subespaço de dimensão finita de (W ) e
[ begin {equation} label {eq: dim formula}
dim (V) = dim ( kernel (T)) + dim ( range (T)). tag {6.5.1}
end {equation} ]

Prova.

Seja (V ) um espaço vetorial de dimensão finita e (T in mathcal {L} (V, W) ). Como ( kernel (T) ) é um subespaço de (V ), sabemos que ( kernel (T) ) tem uma base ((u_1, ldots, u_m) ). Isso implica que ( dim ( kernel (T)) = m ). Pelo Teorema de extensão de base, segue-se que ((u_1, ldots, u_m) ) pode ser estendido a uma base de (V ), digamos ((u_1, ldots, u_m, v_1, ldots, v_n) ), de modo que ( dim (V) = m + n ).

O teorema seguirá mostrando que ((Tv_1, ldots, Tv_n) ) é uma base de ( range (T) ) uma vez que isso implicaria que ( range (T) ) é finito-dimensional e ( dim ( range (T)) = n ), provando a Equação 6.5.1.

Uma vez que ((u_1, ldots, u_m, v_1, ldots, v_n) ) se estende (V ), todo (v em V ) pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores; ou seja,

begin {equation *}
v = a_1 u_1 + cdots + a_m u_m + b_1 v_1 + cdots + b_n v_n,
end {equação *}
onde (a_i, b_j in mathbb {F} ). Aplicando (T ) a (v ), obtemos
begin {equation *}
Tv = b_1 T v_1 + cdots + b_n T v_n,
end {equação *}

onde os termos (Tu_i ) desapareceram desde (u_i in kernel (T) ). Isso mostra que ((Tv_1, ldots, Tv_n) ) realmente se estende por ( range (T) ).

Para mostrar que ((Tv_1, ldots, Tv_n) ) é uma base de ( range (T) ), resta mostrar que esta lista é linearmente independente. Suponha que (c_1, ldots, c_n in mathbb {F} ) sejam tais que

[c_1 T v_1 + cdots + c_n T v_n = 0. ]

Por linearidade de (T ), isso implica que

[T (c_1 v_1 + cdots + c_n v_n) = 0, ]

e então (c_1 v_1 + cdots + c_n v_n in kernel (T) ). Uma vez que ((u_1, ldots, u_m) ) é uma base de ( kernel (T) ), deve haver escalares (d_1, ldots, d_m in mathbb {F} ) de modo que

begin {equation *}
c_1 v_1 + cdots + c_n v_n = d_1 u_1 + cdots + d_m u_m.
end {equação *}

No entanto, pela independência linear de ((u_1, ldots, u_m, v_1, ldots, v_n) ), isso implica que todos os coeficientes (c_1 = cdots = c_n = d_1 = cdots = d_m = 0 ) Portanto, ((Tv_1, ldots, Tv_n) ) é linearmente independente e pronto.

Exemplo 6.5.2. Lembre-se de que o mapa linear (T: mathbb {R} ^ 2 to mathbb {R} ^ 2 ) definido por (T (x, y) = (x-2y, 3x + y) ) tem ( kernel (T) = {0 } ) e ( range (T) = mathbb {R} ^ 2 ). Segue que

[ dim ( mathbb {R} ^ 2) = 2 = 0 + 2 = dim ( kernel (T)) + dim ( range (T)). ]

Corolário 6.5.3. Deixar (T ) em ( mathcal {L} (V, W) ).

  1. Se ( dim (V)> dim (W) ), então (T ) não é injetivo.
  2. Se ( dim (V) < dim (W) ), então (T ) não é sobrejetora.

Prova.

Pelo Teorema 6.5.1, temos que

begin {equation *}
begin {split}
dim ( kernel (T)) & = dim (V) - dim ( range (T))
& ge dim (V) - dim (W)> 0.
end {split}
end {equação *}
Uma vez que (T ) é injetivo se e somente se ( dim ( kernel (T)) = 0 ), (T ) não pode ser injetivo.
Similarmente,
begin {equation *}
begin {split}
dim ( range (T)) & = dim (V) - dim ( kernel (T))
& le dim (V) < dim (W),
end {split}
end {equação *}
e, portanto, ( range (T) ) não pode ser igual a (W ). Conseqüentemente, (T ) não pode ser sobrejetora.


6.5 - Aplicações de Matrizes e Determinantes

Considere um triângulo com vértices em (x1, y1), (x2, y2), e (x3, y3) Se o triângulo fosse um triângulo retângulo, seria muito fácil calcular a área do triângulo encontrando a metade do produto da base e a altura.

No entanto, quando o triângulo não é um triângulo retângulo, há algumas outras maneiras de localizar a área.

Fórmula de Heron

Se você conhece os comprimentos dos três lados do triângulo, pode usar a Fórmula de Heron para encontrar a área do triângulo.

Na fórmula de Heron, s é o semiperímetro (metade do perímetro do triângulo).

s = 1/2 (a + b + c)
Área = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c))

Considere o triângulo com vértices em (-2,2), (1,5) e (6,1).

Usando as fórmulas de distância, podemos descobrir que os comprimentos dos lados (atribuindo arbitrariamente a, b e c) são a = 3 sqrt (2), b = sqrt (61) e c = sqrt (73).

Usar esses valores nos dá.

s = 1/2 (3 sqrt (2) + sqrt (61) + sqrt (73))
s - a = 1/2 (- 3 sqrt (2) + sqrt (61) + sqrt (73))
s - b = 1/2 (3 sqrt (2) - sqrt (61) + sqrt (73))
s - c = 1/2 (3 sqrt (2) + sqrt (61) - sqrt (73))

s (s - a) (s - b) (s - c) = 1089/4

Quando você tira a raiz quadrada disso, obtém 33/2, então a área desse triângulo é 16,5.

Os problemas com a fórmula de Heron incluem

  • Deve saber os comprimentos dos lados do triângulo. Caso contrário, você terá que usar a fórmula da distância para encontrar os comprimentos dos lados do triângulo.
  • Você tem que calcular o semiperímetro, então é provável que você tenha frações para trabalhar.
  • Muitas raízes quadradas estão envolvidas. Para os comprimentos dos lados do triângulo e para a área do triângulo.
  • Não é a coisa mais fácil do mundo de se trabalhar.

Técnica Geométrica

O triângulo pode ser colocado em um retângulo. Os vértices do triângulo cruzarão o retângulo em três lugares, formando três triângulos retângulos. Esses triângulos são denotados A, B e C na imagem.

A área do triângulo que desejamos será a área do retângulo menos as áreas dos três triângulos.

As pernas dos três triângulos podem ser encontradas por simples subtração de coordenadas e então usadas para encontrar a área, já que a área de um triângulo é a metade da base vezes a altura.

Área do triângulo A = 3 (3) / 2 = 9/2.
Área do triângulo B = 5 (6) / 2 = 15.
Área do triângulo C = 8 (3) / 2 = 12.

A soma das áreas dos triângulos é 9/2 + 15 + 12 = 63/2 ou 31,5.

A área de um retângulo é a base vezes a altura, então o retângulo delimitador tem área = 8 (6) = 48.

A área do triângulo no meio é a diferença entre o retângulo e a soma das áreas dos três triângulos externos.

Área do triângulo = 48 - 31,5 = 16,5.

Determinantes

Acontece que a área de um triângulo também pode ser encontrada usando determinantes. A derivação da fórmula é meio longa e a maioria de vocês não se importa em vê-la, então está em uma página separada.

O que você faz é formar um determinante 3 & times3 onde a primeira coluna são os x para todos os pontos, a segunda coluna são os y para todos os pontos e a última coluna são todos os uns.

x y 1
ponto 1 -2 2 1
ponto 2 1 5 1
ponto 3 6 -1 1

Avalie esse determinante. Vou expandir na coluna 1.

-2 2 1
1 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 1
6 -1 1 -1 1 -1 1 5 1

= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33.

É possível que você obtenha um determinante negativo, como fizemos aqui. Não se preocupe com isso. O sinal é determinado pela ordem em que você coloca os pontos e pode ser facilmente alterado apenas trocando duas linhas do determinante. A área, por outro lado, não pode ser negativa, então se você obtiver uma negativa, apenas abaixe o sinal e torne-o positivo. Finalmente, divida por 2 para encontrar a área.

| -33 | = 33
33/2 = 16,5, que era a área.

Fórmula para a área de um triângulo usando determinantes

O sinal de mais / menos, neste caso, deve receber qualquer sinal necessário, de modo que a resposta seja positiva (não negativa). Não diga que a área é positiva e negativa.

Por que não usar valor absoluto, você pergunta? Bem, pense em como seria confuso ter o valor absoluto de um determinante.


Programação de rede neural - Aprendizado profundo com PyTorch

Vídeo

Fórmula de tamanho de saída CNN - Transformações de tensor

Bem-vindo a esta série de programação de rede neural com PyTorch. Neste episódio, veremos como um tensor de entrada é transformado à medida que flui por uma CNN.

Sem mais delongas, vamos começar.

Visão geral de alto nível de nosso processo

Visão geral de nossa rede

A CNN que usaremos é aquela com a qual trabalhamos nas últimas postagens, com seis camadas.

  1. Camada de entrada
  2. Camada de conversão oculta
  3. Camada de conversão oculta
  4. Camada linear oculta
  5. Camada linear oculta
  6. Camada de saída

Construímos esta rede usando a classe nn.Module de PyTorch, e a definição da classe Network é a seguinte:

Passando um lote de tamanho um (uma única imagem)

Em um episódio anterior, vimos como podemos passar uma única imagem adicionando uma dimensão de lote usando o método unsqueeze () de PyTorch. Vamos passar esse tensor para a rede novamente, mas desta vez vamos passar pelo método forward () usando o depurador. Isso nos permitirá inspecionar nosso tensor conforme as transformações são realizadas.

Camada de entrada nº 1

Quando o tensor entra na camada de entrada, temos:

Este valor em cada uma dessas dimensões representa os seguintes valores:

Como a camada de entrada é apenas a função de identidade, a forma de saída não muda.

# 2 Camada convolucional (1)

Quando o tensor entra nesta camada, temos:

Após a primeira operação de convolução self.conv1, temos:

O tamanho do lote ainda é 1. Isso faz sentido porque não esperaríamos que o tamanho do nosso lote mudasse, e esse será o caso durante toda a passagem para frente.

O número de canais de cores aumentou de 1 para 6. Depois de avançarmos além da primeira camada convolucional, não pensamos mais nos canais como canais de cores. Nós apenas pensamos neles como canais de saída. A razão de termos 6 canais de saída é devido ao número de out_channels que especificamos quando self.conv1 foi criado.

Operações de convolução usam filtros

Como vimos, esse número 6 é arbitrário. O parâmetro out_channels instrui a classe de camada nn.Conv2d a gerar seis filtros, também conhecidos como kernels, com formato 5 por 5 com valores inicializados aleatoriamente. Esses filtros são usados ​​para gerar os seis canais de saída.

Os filtros são tensores e são usados ​​para convolver o tensor de entrada quando o tensor é passado para a instância de camada, self.conv1. Os valores aleatórios dentro dos tensores do filtro são os pesos da camada convolucional. Lembre-se, porém, de que não temos seis tensores distintos. Todos os seis filtros são empacotados em um único tensor de peso com altura e largura de cinco.

Depois que os tensores de peso (filtros) são usados ​​para convolver o tensor de entrada, o resultado são os canais de saída.

Outro nome para canais de saída é mapas de recursos. Os termos aqui são intercambiáveis. Isso se deve ao fato de que a detecção de padrões que surge à medida que os pesos são atualizados representam recursos como bordas e outros padrões mais sofisticados.

  1. Canais de cores são passados.
  2. As convoluções são realizadas usando o tensor de peso (filtros).
  3. Os mapas de características são produzidos e transmitidos.

Conceitualmente, podemos pensar nos tensores de peso como sendo distintos. No entanto, o que realmente temos no código é um único tensor de peso que tem uma dimensão out_channels (filtros). Podemos ver isso verificando a forma do tensor de peso:

A forma deste tensor é dada por:

A função de ativação relu ()

A chamada para a função relu () remove quaisquer valores negativos e os substitui por zeros. Podemos verificar isso verificando o min () do tensor antes e depois da chamada.

A função relu () pode ser expressa matematicamente como

A operação máxima de pooling

A operação de agrupamento reduz a forma de nosso tensor ainda mais, extraindo o valor máximo de cada localização 2x2 em nosso tensor.

Resumo da camada de convolução

As formas da entrada e saída do tensor da camada convolucional são dadas por:

Resumo de cada operação que ocorre:

  1. A camada de convolução convolve o tensor de entrada usando seis filtros 5x5 inicializados aleatoriamente.
    • Isso reduz as dimensões de altura e largura em quatro.
  2. A operação da função de ativação relu mapeia todos os valores negativos para 0.
    • Isso significa que todos os valores no tensor agora são positivos.
  3. A operação de agrupamento máximo extrai o valor máximo de cada seção 2x2 dos seis mapas de recursos que foram criados pelas convoluções.
    • Isso reduziu as dimensões de altura e largura em doze.

Fórmula de tamanho de saída CNN

Vamos dar uma olhada na fórmula para calcular o tamanho de saída do tensor depois de realizar operações convolucionais e de pooling.

Fórmula de tamanho de saída CNN (quadrado)

  • Suponha que temos uma entrada (n vezes n ).
  • Suponha que temos um filtro (f vezes f ).
  • Suponha que temos um preenchimento de (p ) e uma distância de (s ).

O tamanho da saída (O ) é dado por esta fórmula:

Este valor será a altura e largura da saída. No entanto, se a entrada ou o filtro não for um quadrado, esta fórmula deve ser aplicada duas vezes, uma para a largura e outra para a altura.

Fórmula de tamanho de saída da CNN (não quadrada)

  • Suponha que temos um (n_ vezes n_) entrada.
  • Suponha que temos um (f_ times f_) filtro.
  • Suponha que temos um preenchimento de (p ) e uma distância de (s ).

A altura do tamanho de saída (O_) é dado por esta fórmula:

A largura do tamanho de saída (O_) é dado por esta fórmula:

# 3 Camada convolucional (2)

A segunda camada convolucional oculta self.conv2 transforma o tensor da mesma forma que self.conv1 e reduz ainda mais as dimensões de altura e largura. Antes de executarmos essas transformações, vamos verificar a forma do tensor de peso para self.conv2:

Desta vez, nosso tensor de peso tem doze filtros de altura de cinco e largura de cinco, mas em vez de ter um único canal de entrada, o número de canais está chegando a seis, o que dá aos filtros uma profundidade. Isso representa os seis canais de saída da primeira camada convolucional. A saída resultante terá doze canais.

Vamos executar essas operações agora.

A forma da saída resultante de self.conv2 nos permite ver por que remodelamos o tensor usando 12 * 4 * 4 antes de passar o tensor para a primeira camada linear, self.fc1.

Como vimos no passado, esta remodelação particular é chamada achatamento o tensor. A operação de nivelamento coloca todos os elementos do tensor em uma única dimensão.

A forma resultante é 1x192. O 1 neste caso representa o tamanho do lote e o 192 é o número de elementos no tensor que agora estão na mesma dimensão.

# 4 # 5 # 6 Camadas lineares

Agora, temos apenas uma série de camadas lineares seguidas por função de ativação não linear até chegarmos à camada de saída.

Esta tabela resume as operações de mudança de forma e a forma resultante de cada uma:

Operação Forma de saída
Função de identidade torch.Size ([1, 1, 28, 28])
Convolução (5 x 5) torch.Size ([1, 6, 24, 24])
Pooling máximo (2 x 2) torch.Size ([1, 6, 12, 12])
Convolução (5 x 5) torch.Size ([1, 12, 8, 8])
Pooling máximo (2 x 2) torch.Size ([1, 12, 4, 4])
Achatar (remodelar) torch.Size ([1, 192])
Transformação linear torch.Size ([1, 120])
Transformação linear torch.Size ([1, 60])
Transformação linear torch.Size ([1, 10])

Treinar a CNN é o próximo

Agora devemos ter um bom entendimento de como os tensores de entrada são transformados por redes neurais convolucionais, como depurar redes neurais em PyTorch e como inspecionar os tensores de peso de todas as camadas.

No próximo episódio, começaremos a treinar nossa rede, o que levará os valores em nosso tensor de peso a serem atualizados para fazer com que o método direto de nossa rede mapeie as entradas para as classes de saída corretas. Te vejo no próximo!


Etapa 1: considere suas variáveis ​​de tamanho de amostra

Antes de calcular o tamanho da amostra, você precisa determinar algumas coisas sobre a população-alvo e o nível de precisão de que você precisa:

1. Tamanho da população

De quantas pessoas você está falando no total? Para descobrir isso, você precisa ser claro sobre quem se encaixa e quem não se encaixa em seu grupo. Por exemplo, se você quiser saber sobre donos de cães, incluirá todos que já tiveram pelo menos um cachorro. (Você pode incluir ou excluir aqueles que já tiveram um cachorro no passado, dependendo de seus objetivos de pesquisa.) Não se preocupe se você não conseguir calcular o número exato. É comum ter um número desconhecido ou um intervalo estimado.

2. Margem de erro (intervalo de confiança)

Os erros são inevitáveis ​​- a questão é quantos erros você permitirá. A margem de erro, também conhecido como intervalo de confiança, é expressa em termos de números médios. Você pode definir quanta diferença permitirá entre o número médio de sua amostra e o número médio de sua população. Se você já viu uma pesquisa política sobre as notícias, viu um intervalo de confiança e como ele é expresso. Será mais ou menos assim: “68% dos eleitores disseram sim à Proposta Z, com uma margem de erro de +/- 5%.”

3. Nível de confiança

Esta é uma etapa separada do intervalo de confiança denominado de forma semelhante na etapa 2. Ela trata do grau de confiança que você deseja ter de que a média real esteja dentro da sua margem de erro. Os intervalos de confiança mais comuns são 90% confiante, 95% confiante e 99% confiante.

4. Desvio padrão

Esta etapa pede que você estime quanto as respostas que você receberá variam entre si e em relação ao número médio. Um desvio padrão baixo significa que todos os valores serão agrupados em torno do número médio, ao passo que um desvio padrão alto significa que eles estão espalhados por uma faixa muito mais ampla, com números periféricos muito pequenos e muito grandes. Como você ainda não realizou sua pesquisa, uma escolha segura é um desvio padrão de 0,5, que ajudará a garantir que o tamanho da sua amostra seja grande o suficiente.


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Um consultor podólogo & # 8217s observação sobre a anatomia do pé

Suplente explica que a habilidade de usar salto alto tem a ver com um osso do pé chamado “tálus”.

“A medição se baseia na flexibilidade do tálus, o único osso que conecta o pé e a perna”, afirma Suplente. “O tálus é um osso estranhamente curvo colocado no topo e na frente do pé, e a maneira como ele se move determina a altura do salto que você deve usar.”

Supple explica: “Se o tálus se inclina para baixo quando você mantém a perna esticada e relaxa o pé, então você tem muita mobilidade e pode usar salto alto com facilidade. Seu pé pode se mover para cima e para baixo muito mais. Mas se seu talo não inclinar, você ficará mais confortável e muito mais feliz com sapatos baixos. Sapatos mais baixos dão um ângulo reto em relação ao solo e não exigem tanto movimento do pé. ”

“Algumas mulheres são construídas simplesmente para usar saltos altíssimos, enquanto outras se sentem desconfortáveis ​​com qualquer tamanho de salto. Algumas mulheres acham saltos indescritivelmente desconfortáveis, e não há nada que elas possam fazer sobre isso. "

Além disso, a Supple menciona que seu PHH é a altura do calcanhar para a qual seu pé se sente mais confortável com base na anatomia do pé.


4.5 Engrenagens de Parafuso

Engrenagens de parafuso incluem vários tipos de engrenagens usadas para acionar eixos não paralelos e não interseccionais, onde os dentes de um ou de ambos os membros do par são em forma de parafuso. A Figura 4.14 mostra o engrenamento das engrenagens dos parafusos. Duas engrenagens de parafuso podem engrenar-se unicamente nas condições em que os módulos normais (mn1) e (mn2) e os ângulos de pressão normais (αn1, αn2) são iguais.

Fig.4.14 Engrenagens de parafuso de eixos não paralelos e não interseccionais

Deixe um par de engrenagens de parafuso ter o ângulo do eixo Σ e os ângulos de hélice β1 e β2:

Se as engrenagens do parafuso fossem mudadas de perfil, a engrenagem se tornaria um pouco mais complexa. Seja βw1, βw2 representar o cilindro de workpitch

A Tabela 4.21 apresenta as equações para um par de engrenagem helicoidal deslocada de perfil. Quando os coeficientes de deslocamento do perfil normal xn1 = xn2 = 0, as equações e cálculos são iguais aos das engrenagens padrão.

Tabela 4.21 As equações para um par de engrenagens de parafuso em eixos não paralelos e sem intersecção no sistema normal

As engrenagens de parafuso padrão têm as seguintes relações:

Apêndice - O que é engrenagem de parafuso?

Este artigo é reproduzido com permissão.
Masao Kubota,Haguruma Nyumon, Tóquio: Ohmsha, Ltd., 1963.

A engrenagem do parafuso (ou engrenagem helicoidal cruzada) na figura 5.1 é um tipo de engrenagem cujos dois eixos não são paralelos nem cruzados (engrenagens inclinadas), e cuja superfície de passo consiste em duas superfícies cilíndricas circunscrevendo em um ponto na menor distância entre os dois eixos . A engrenagem do parafuso é uma engrenagem de ponto de contato que consiste em engrenagens helicoidais de malha oblíqua cuja soma ou diferença do ângulo de torção dos traços dos dentes é igual ao ângulo incluído dos dois eixos.


Pic 5.1 Engrenagem de parafuso

Antecedentes da engrenagem do parafuso

Na Figura 5.2, o ponto P em um ponto na distância mais curta entre dois eixos é chamadoponto de inclinação, onde dois cilindros com raio R1 ou R2 cujos eixos I e II constituem a distância central A e o ângulo incluído circunscreve no ponto P.

Supondo que os dois cilindros sejam superfícies curvas de referência para fazer dentes de engrenagem e que as engrenagens se encaixem no ponto de afinação P e em sua vizinhança. Para que ambos os flancos dos dentes façam contato no ponto P para transmitir o movimento, eles precisam compartilhar a linha normal, e o componente de velocidade de ambas as engrenagens na direção da linha normal dos flancos do dente precisa ser igual. Portanto, no ponto P, a direção dos traços do dente deve ser a mesma, e o componente de velocidade de ambas as engrenagens em ângulo reto com os traços do dente deve ser igual. Mais especificamente, como na Fig. 5.2, a direção da linha vertical do ponto P em direção às direções dos vetores da velocidade da engrenagem V1 e V2 no ponto P é igual ao componente de velocidade de ambas as engrenagens (Vn), e o ângulo reto (TT) para esta direção no ponto P torna-se a direção do traço do dente no ponto P. Os componentes de velocidade de V1 e V2 não são iguais na direção TT. Ou seja, há um deslizamento na direção do traço dentário.


Pic 5.2 Fundo da engrenagem do parafuso

Supondo que haja uma cremalheira helicoidal, que tem o traço do dente na direção TT e seu plano tangencial de ambos os cilindros de passo no ponto P é o plano de passo. Quando ele se move com uma velocidade de Vn, a curva formada em cada engrenagem como uma superfície de envelope do flanco do dente da cremalheira torna-se o flanco do dente de ambas as engrenagens. Quando o flanco do dente da cremalheira helicoidal é plano, o flanco do dente de ambas as engrenagens torna-se um helicoide involuto. É uma engrenagem de parafuso involuto, e sua seção normal é um perfil de dente involuto.

A linha de contato simultânea do flanco do dente de cada engrenagem e cremalheira é o traço de um pé de uma perpendicular do ponto arbitrário em cada barramento do cilindro até a superfície do dente da cremalheira através do ponto P (torna-se uma linha reta para a engrenagem do parafuso involuto) . Ambos os traços se cruzam no sopé de uma perpendicular do ponto de passo P até o perfil do dente da cremalheira. (Ver Fig 5.3 (a) NUMA e nB) Portanto, ambos os perfis de dente apontam para aquele ponto.

O traço do ponto de contato é geralmente a curva através do ponto de passo P. Quanto à engrenagem do parafuso envolvente, o traço do ponto de contato torna-se uma linha reta W que passa pelo ponto de passo P, porque o plano do perfil do dente traseiro se move paralelamente . A linha é chamadalinha de ação (ver Fig. 5.3), a linha de cruzamento dos planos tangenciais dos cilindros básicos das engrenagens, e também os contatos da linha fixa com ambos os cilindros básicos. Igual às engrenagens normais, a relação da velocidade angular é igual à relação recíproca do número de dentes e o módulo do plano normal deve ser igual para ambas as engrenagens.

Pic 5.3 Malha de engrenagem parafuso envolvente
Imagem à esquerda - Contato do flanco da engrenagem do parafuso
(1) Linha de ação
Imagem direita - relação dos cilindros básicos, linha de ação, plano tangencial, traço do dente da engrenagem do parafuso
(2) Cilindro base da engrenagem I
(3) Linha do parafuso ortogonal ao traço do dente
(4) Linha de ação
(5) Cilindro base da engrenagem II
(6) Linha do parafuso ortogonal ao traço do dente

Suponha que o ângulo helicoidal do traço do dente seja β1 e β2, o módulo plano normal da cremalheira helicoidal é mn, e o número de dentes de cada engrenagem é z1 e z2, o raio dos cilindros de passo R1 e R2 está :

Portanto, 2A / mn= z1 / cosβ1 + z2 / cos (β - β1)

Por exemplo, quando A, β, z1, z2 e mn são dados, β1 e β2 são definidos pela fórmula anterior. No entanto, β1> 0, β2> 0 na figura anterior. Β1 e β2 podem ser 0 ou um número negativo. Na verdade, β = 90 ° em muitos casos. Quando β = 90 °, para minimizar a distância central, definadA / dβ1 = 0 e obtenha

Aplicação de engrenagem de parafuso

Como as engrenagens dos parafusos são de ponto de contato, a tensão de contato no ponto de contato é grande e o filme lubrificante é fácil de se tornar mais fino e, como resultado, as engrenagens se desgastam facilmente. Portanto, as engrenagens do parafuso não são adequadas para transmitir grandes potências. Por outro lado, as engrenagens engrenam suavemente e são fáceis de fazer o ajuste de corte, tão freqüentemente usado para mecanismo de transmissão entre eixos inclinados cuja distância central está no meio. Além disso, é bem conhecido que a relação de engrenamento do cortador e da engrenagem usinada no corte da engrenagem é semelhante às engrenagens de parafuso. A relação de engrenamento da placa e das engrenagens a serem cortadas também é semelhante às engrenagens de parafuso.

Quando uma das engrenagens de parafuso (engrenagem acionada) é uma engrenagem de cremalheira, elas podem entrar em contato com a linha e transmitir cargas pesadas. Eles podem ser usados ​​para o acionamento da mesa de uma máquina de planejamento. O cortador de barbear tipo rack também pode ser usado.

Apenas a curva que vai em cada flanco do dente diagonalmente através do ponto de passo é útil para engrenar o flanco do dente das engrenagens do parafuso e, portanto, a largura da face de trabalho é limitada. No entanto, aumentar um pouco a largura da face e permitir que as engrenagens se movam em direção ao eixo evitará o desgaste local excessivo e aumentará a vida útil de toda a engrenagem.


As fórmulas a seguir mostram como calcular metros quadrados para várias formas. As fórmulas para encontrar as medidas da área em jardas e em pés são fornecidas para simplificar a conversão.

Retângulo

Borda Retangular

l = comprimento externo
w = largura externa
b = largura da borda

Círculo

Se você sabe o diâmetro do círculo, pode encontrar o raio dividindo o diâmetro pela metade.

Triângulo

a = borda a
b = borda b
c = borda c

Nossa calculadora de área tem fórmulas para muitas outras formas.


Escrevendo fórmulas para compostos iônicos contendo íons poliatômicos

Escrever uma fórmula para compostos iônicos contendo íons poliatômicos também envolve as mesmas etapas de um composto iônico binário. Escreva o símbolo e a carga do cátion seguido pelo símbolo e a carga do ânion.

Exemplo ( PageIndex <4> ): Nitrato de cálcio

Escreva a fórmula para o nitrato de cálcio.

Escreva a fórmula química para um composto iônico composto do íon potássio e do íon sulfato

Explicação Responder
Os íons de potássio têm uma carga de 1+, enquanto os íons de sulfato têm uma carga de 2 e menos. Precisaremos de dois íons de potássio para equilibrar a carga do íon sulfato, então a fórmula química adequada é K2ASSIM4. (K_2SO_4 )

Escreva a fórmula química de um composto iônico composto de cada par de íons.


Fatos relacionados

Exemplos ilustrativos

Por exemplo, considere com a partição . Existem quatro 3s, três 2s e cinco 1s. Um exemplo de elemento com este tipo de ciclo é dado pela decomposição do ciclo:

O tamanho da classe de conjugação correspondente a esta partição é:

Aqui está outro exemplo: . Há um 5 e dois 4s, e obtemos:

Quando um particular tem (ou seja, ocorre apenas uma vez na partição), então o termo correspondente dividido é , então o acima pode ser escrito de forma mais resumida:

Da mesma forma, considere . Nós temos:

Tratamento abrangente de pequenos graus

Nos links da coluna certa na tabela abaixo, você pode ver as informações tabuladas sobre os tamanhos das classes de conjugação, bem como a forma como a fórmula é aplicada aos tamanhos dos ciclos para calcular cada tamanho específico. Os casos estão embutidos abaixo.


Assista o vídeo: Clase 5, Primero B (Outubro 2021).