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11.2: Operadores normais


Operadores normais são aqueles que comutam com seu próprio adjunto. Como veremos, isso inclui muitos exemplos importantes de operações.

Definição 11.2.1. Chamamos (T in mathcal {L} (V) ) normal if (TT ^ * = T ^ * T ).

Dado um operador arbitrário (T in mathcal {L} (V) ), temos que (TT ^ * neq T ^ * T ) em geral. No entanto, ambos (TT ^ * ) e (T ^ * T ) são auto-adjuntos e qualquer operador auto-adjunto (T ) é normal. Agora fornecemos uma caracterização diferente para operadores normais em termos de normas.

Proposição 11.2.2. Deixar (V ) ser um espaço de produto interno complexo, e suponha que (T in mathcal {L} (V) ) satisfaz

begin {equation *}
inner {Tv} {v} = 0, quad text {para todos (v in V ).}
end {equação *}
Então (T = 0 ).

Prova. Você deve ser capaz de verificar se
begin {equation *}
begin {split}
inner {Tu} {w} = frac {1} {4} & left { inner {T (u + w)} {u + w} - inner {T (uw)} {uw} certo.
& left. + i inner {T (u + iw)} {u + iw} - i inner {T (u-iw)} {u-iw} right }.
end {split}
end {equação *}
Como cada termo do lado direito tem a forma ( inner {Tv} {v} ), obtemos 0 para cada (u, w in V ).
Portanto, (T = 0 ).

Proposição 11.2.3. Deixar (T in mathcal {L} (V) ). Então (T ) é normal se e somente se

begin {equation *}
norm {Tv} = norm {T ^ * v}, quad text {para todos (v in V ).}
end {equação *}

Prova. Observe que

begin {equation *}
begin {split}
text { (T ) é normal} & Longleftrightarrow T ^ * T-TT ^ * = 0
& Longleftrightarrow inner {(T ^ * T-TT ^ *) v} {v} = 0, quad text {para todos (v in V )}
& Longleftrightarrow inner {TT ^ * v} {v} = inner {T ^ * T v} {v}, quad text {para todos (v in V )}
& Longleftrightarrow norm {Tv} ^ 2 = norm {T ^ * v} ^ 2, quad text {para todos (v in V ).}
end {split}
end {equação *}

Corolário 11.2.4. Deixar (T in mathcal {L} (V) ) ser um operador normal.

  1. ( kernel (T) = kernel (T ^ *) ).
  2. Se ( lambda in mathbb {C} ) é um autovalor de (T ), então ( overline { lambda} ) é um autovalor de (T ^ * ) com o mesmo vetor próprio.
  3. Se ( lambda, mu in mathbb {C} ) são autovalores distintos de (T ) com autovetores associados (v, w in V ), respectivamente, então ( inner {v} {w} = 0 ).
Prova. Observe que a Parte ~ 1 segue da Proposição 11.2.3 e da definição positiva da norma.

Para provar a Parte ~ 2, primeiro verifique se (T ) é normal, então (T- lambda I ) também é normal com ((T- lambda I) ^ * = T ^ * - overline { lambda} I ). Portanto, pela proposição 11.2.3, temos
begin {equation *}
0 = norm {(T- lambda I) v} = norm {(T- lambda I) ^ * v} = norm {(T ^ * - overline { lambda} I) v},
end {equação *}
e assim (v ) é um autovetor de (T ^ * ) com autovalor ( overline { lambda} ).

Usando a Parte ~ 2, observe que

begin {equation *}
( lambda- mu) inner {v} {w} = inner { lambda v} {w} - inner {v} { overline { mu} w}
= inner {Tv} {w} - inner {v} {T ^ * w} = 0.
end {equação *}

Como ( lambda- mu neq 0 ) segue que ( inner {v} {w} = 0 ), provando a Parte ~ 3.


11.2: Álgebra do Operador

  • Contribuição de Marcia Levitus
  • Professor Associado (Biodesign Institute) na Arizonia State University

Deixe & rsquos começar definindo o operador de identidade, geralmente denotado por ( hat E ) ou ( hat I ). O operador de identidade deixa o elemento no qual opera inalterado: ( hat E f (x) = f (x) ). Isso é análogo a multiplicar pelo número 1.

Podemos adicionar operadores da seguinte maneira:

[( hat A + hat B) f = hat A f + hat B f. enhum número]

[( hat x + dfrac) f = hat x f + dfrac= x f + dfrac enhum número]

(lembre-se de que ( hat x ) significa & ldquomultiplicar por (x ) & rdquo).

O produto entre dois operadores é definido como a operação sucessiva dos operadores, com o da direita operando primeiro. Por exemplo, (( hat x dfrac) f = hat x ( dfrac) = x dfrac). Primeiro aplicamos o operador à direita (neste caso & ldquotake a derivada da função em relação a (x ) & rdquo), e então o operador à esquerda (& ldquomultiplique por (x ) o que quer que você tenha primeiro etapa & rdquo). Podemos usar essa definição para calcular o quadrado de um operador. Por exemplo, se definirmos o operador ( hat A ) como ( hat A = dfrac), o operador ( hat A ^ 2 ) é ( hat A hat A = dfrac dfrac = dfrac).

A multiplicação de operadores não é, em geral, comutativa: ( hat A hat B neq hat B hat A ). Em outras palavras, em geral, a ordem das operações é importante. Antes, vimos que (( hat x dfrac) f = x dfrac). Deixe & rsquos reverter a ordem da operação: (( dfrac hat x) f ). Agora, primeiro multiplicamos a função por (x ) e, em seguida, obtemos a derivada do resultado: (( dfrac hat x) f = dfrac(xf) = x dfrac+ f ). Na última etapa, calculamos a derivada do produto usando as regras de diferenciação com as quais estamos familiarizados.

Acabamos de provar que ( hat x dfrac neq dfrac hat x ), ou em outras palavras, a ordem em que aplicamos esses dois operadores importa (ou seja, se primeiro tomamos a derivada e depois multiplicamos por (x ), ou primeiro multiplicamos por (x ) e depois tome a derivada). Se a ordem importa ou não, tem consequências muito importantes na mecânica quântica, por isso é útil definir o chamado comutador, definido como

[etiqueta [ hat A, hat B] = hat A hat B - hat B hat A. ]

Por exemplo, o comutador dos operadores ( hat x ) e ( dfrac), denotado por ([ hat x, dfrac] ), é por definição ( hat x dfrac - dfrac hat x ). Quando ([ hat A, hat B] = 0 ), diz-se que os operadores ( hat A ) e ( hat B ) comutam. Portanto, se os operadores ( hat A ) e ( hat B ) comutarem, então ( hat A hat B = hat B hat A ). Quando os operadores ( hat A ) e ( hat B ) não comutam, ( hat A hat B neq hat B hat A ), e o comutador ([ hat A , hat B] neq 0 ).

Antes de prosseguirmos, é importante reconhecer que o produto de dois operadores também é um operador. Por exemplo, vamos & rsquos considerar o produto ( dfrac hat x ). Este é um operador que, quando aplicado a uma função (f ), dá uma nova função (x dfrac+ f ). Por exemplo, se (f = sin (kx) ), ( dfrac hat x f = kx cos (kx) + sin (kx) ). Além disso, observe que o operador ( dfrac hat x ) pode ser expresso como ( hat E + hat x dfrac), onde ( hat E ) é o operador de identidade. Quando o operador ( hat E + hat x dfrac) opera em uma função (f ), o resultado é a própria função (multiplicada por um) mais (x ) vezes a derivada da função, que é exatamente o que obtemos quando executamos ( dfrac hat x f ).

Da mesma forma, o comutador entre dois operadores também é um operador:

Observe que no exemplo do lado direito da figura, demonstramos que o operador ([ hat x, dfrac] ) é igual ao operador (- hat E ) (& ldquomultiply por -1 & rdquo). Em outras palavras, quando o comutador ([ hat x, dfrac] ) (um operador) opera em uma função (f ), o resultado é (- f ). Porque ([ hat x, dfrac] neq 0 ), os operadores ( hat x ) e ( dfrac) não comuta. Isso está diretamente relacionado ao princípio da incerteza, que (em sua forma mais simples) afirma que quanto mais precisamente a posição de alguma partícula é determinada, menos precisamente seu momento pode ser conhecido. Veremos a conexão entre esta instrução e o comutador em um momento, e você vai discutir isso com muitos detalhes em seus futuros cursos de físico-química.

Lembre-se de que o comutador é um operador, portanto, sua resposta também deve ser um operador (ou seja, não deve conter uma função). Para & lsquosee & rsquo o que o comutador faz (para que possamos escrever o operador equivalente), aplicamos uma função arbitrária:

Lembre-se que quando temos expressões como ( dfrac hat x ^ 2 f ) precisamos ir da direita para a esquerda, ou seja, primeiro multiplicamos por (x ^ 2 ) e só depois obtemos a segunda derivada.

[[ hat x ^ 2, dfrac] = displaystyle < color-4 hat x dfrac-2 hat E> nonumber ]

Novamente, seu resultado deve ser um operador e, portanto, não deve conter a função (f ). Porque ([ hat x ^ 2, dfrac] neq 0 ), os dois operadores não comutam.


Para 1: $ | Tv | ^ 2 = langle Tv, Tv rangle = langle T ^ * Tv, v rangle = langle TT ^ * v, v rangle = | T ^ * v | ^ 2. $

Para 2, o que você diz funcionaria se $ T $ for invertível, mas ninguém está dizendo que é. E você não estaria usando a hipótese de dimensão finita.

Se você observar a decomposição de Schur de $ T $, terá $ T = VXV ^ * $, com $ V $ a unitário e $ X $ triangular superior. A igualdade $ TT ^ * = T ^ 2 $ implica $ XX ^ * = X ^ 2 $.

As entradas diagonais de $ XX ^ * $ não são negativas e concordam com as entradas diagonais de $ X ^ 2 $, que são $ X_^ 2 $ (uma vez que $ X $ é triangular). Então, os números $ X_^ 2 $ não são negativos, o que implica que $ X_$ é real para todos os $ k $. As entradas diagonais de $ X ^ 2 $ são $ X_ <11> ^ 2, X_ <22> ^ 2, ldots, X_^ 2 $ e as entradas diagonais de $ XX ^ * $ são $ X_ <11> ^ 2, | X_ <12> | ^ 2 + X_ <22> ^ 2, | X_ <13> | ^ 2 + | X_ < 23> | ^ 2 + X_ <33> ^ 2, ldots, | X_ <11> | ^ 2 + cdots + | X_ <1, n-1> | ^ 2 + X_^ 2. $ Portanto, a igualdade $ XX ^ * = X ^ 2 $ implica que $ X_= 0 $ se $ j & gtk $. Ou seja, $ X $ é diagonal com diagonal real, portanto, é auto-adjunta. Então $ T $ é selfadjoint.


Ações iterativas de operadores normais ☆

Deixar UMA seja um operador normal em um espaço de Hilbert H, e seja G ⊂ H um conjunto contável de vetores. Nós investigamos as relações entre UMA, G e eu que tornam o sistema de iterações completo, Bessel, uma base ou um quadro para H. O problema é motivado pelo problema de amostragem dinâmica e está conectado a vários tópicos em análise funcional, incluindo, teoria de quadros e teoria espectral. Ele também tem relações com tópicos em análise de harmônicos aplicada, incluindo teoria de wavelet e análise de tempo-frequência.


Conteúdo

Os volumes de certas superfícies quádricas de revolução foram calculados por Arquimedes. [2] O desenvolvimento do cálculo no século XVII proporcionou uma forma mais sistemática de computá-los. [3] A curvatura das superfícies gerais foi estudada pela primeira vez por Euler. Em 1760 [4] ele provou uma fórmula para a curvatura de uma seção plana de uma superfície e em 1771 [5] ele considerou as superfícies representadas de forma paramétrica. Monge estabeleceu as bases de sua teoria em suas memórias clássicas L'application de l'analyse à la géometrie que apareceu em 1795. A contribuição definidora para a teoria das superfícies foi feita por Gauss em dois notáveis ​​artigos escritos em 1825 e 1827. [1] Isso marcou um novo afastamento da tradição porque pela primeira vez Gauss considerou o intrínseco geometria de uma superfície, as propriedades que são determinadas apenas pelas distâncias geodésicas entre pontos na superfície, independentemente da maneira particular como a superfície está localizada no espaço euclidiano ambiente. O resultado final, o Teorema Egregium de Gauss, estabeleceu que a curvatura gaussiana é uma invariante intrínseca, ou seja, invariante sob isometrias locais. Este ponto de vista foi estendido para espaços de dimensões superiores por Riemann e levou ao que é conhecido hoje como geometria Riemanniana. O século XIX foi a idade de ouro para a teoria das superfícies, tanto do ponto de vista topológico quanto do ponto de vista geométrico diferencial, com a maioria dos principais geômetras se dedicando ao estudo. [ citação necessária ] Darboux coletou muitos resultados em seu tratado de quatro volumes Théorie des surface (1887–1896).

É intuitivamente bastante familiar dizer que a folha de uma planta, a superfície de um vidro ou a forma de um rosto são curvadas de certas maneiras, e que todas essas formas, mesmo depois de ignorar quaisquer marcas distintivas, têm certas formas geométricas características que as distinguem umas das outras. A geometria diferencial das superfícies preocupa-se com a compreensão matemática de tais fenômenos. O estudo deste campo, que foi iniciado em sua forma moderna nos anos 1700, levou ao desenvolvimento da geometria de dimensão superior e abstrata, como a geometria Riemanniana e a relatividade geral. [ pesquisa original? ]

O objeto matemático essencial é o de um superfície regular. Embora as convenções variem em sua definição precisa, elas formam uma classe geral de subconjuntos de espaço euclidiano tridimensional (ℝ 3) que capturam parte da noção familiar de "superfície". Ao analisar a classe de curvas que se encontram em tal superfície, e o grau em que as superfícies as forçam a se curvar em ℝ 3, pode-se associar a cada ponto da superfície dois números, chamados de curvaturas principais. Sua média é chamada de curvatura média da superfície, e seu produto é chamado de Curvatura gaussiana.

Existem muitos exemplos clássicos de superfícies regulares, incluindo:

  • exemplos familiares, como planos, cilindros e esferas, que são definidos pela propriedade de que sua curvatura média é zero em todos os pontos. Os exemplos mais conhecidos são catenóides e helicoides, embora muitos mais tenham sido descobertos. Superfícies mínimas também podem ser definidas por propriedades relacionadas à área de superfície, com a consequência de que fornecem um modelo matemático para a forma de filmes de sabão quando esticados em uma estrutura de arame, que são superfícies que têm pelo menos uma linha reta passando por cada ponto exemplos incluem o cilindro e o hiperbolóide de uma folha.

Um resultado surpreendente de Carl Friedrich Gauss, conhecido como theorema egregium, mostrou que a curvatura gaussiana de uma superfície, que por sua definição tem a ver com como as curvas na superfície mudam de direção no espaço tridimensional, pode realmente ser medida pelos comprimentos de curvas que ficam nas superfícies junto com os ângulos feitos quando duas curvas na superfície se cruzam. Terminologicamente, isso diz que a curvatura gaussiana pode ser calculada a partir da primeira forma fundamental (também chamado de tensor métrico) da superfície. O segunda forma fundamental, em contraste, é um objeto que codifica como comprimentos e ângulos de curvas na superfície são distorcidos quando as curvas são empurradas para fora da superfície.

Apesar de medir diferentes aspectos de comprimento e ângulo, a primeira e a segunda formas fundamentais não são independentes uma da outra e satisfazem certas restrições chamadas de Equações de Gauss-Codazzi. Um teorema principal, freqüentemente chamado de teorema fundamental da geometria diferencial das superfícies, afirma que sempre que dois objetos satisfazem as restrições de Gauss-Codazzi, eles surgem como a primeira e a segunda formas fundamentais de uma superfície regular.

Usando a primeira forma fundamental, é possível definir novos objetos em uma superfície regular. Geodésica são curvas na superfície que satisfazem uma certa equação diferencial ordinária de segunda ordem que é especificada pela primeira forma fundamental. Eles estão muito diretamente ligados ao estudo de comprimentos de curvas, uma geodésica de comprimento suficientemente curto será sempre a curva de o mais curto comprimento na superfície que conecta seus dois pontos finais. Assim, geodésicas são fundamentais para o problema de otimização de determinar o caminho mais curto entre dois pontos dados em uma superfície regular.

Também se pode definir transporte paralelo ao longo de qualquer curva, o que dá uma prescrição de como deformar um vetor tangente à superfície em um ponto da curva para vetores tangentes em todos os outros pontos da curva. A prescrição é determinada por uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que é especificada pela primeira forma fundamental.

Os conceitos acima estão essencialmente relacionados ao cálculo multivariável. O Teorema de Gauss-Bonnet é um resultado mais global, que relaciona a curvatura gaussiana de uma superfície com seu tipo topológico. Ele afirma que o valor médio da curvatura gaussiana é completamente determinado pela característica de Euler da superfície juntamente com sua área de superfície.

A noção de Variedade Riemanniana e Superfície de Riemann são duas generalizações das superfícies regulares discutidas acima. Em particular, essencialmente toda a teoria das superfícies regulares conforme discutida aqui tem uma generalização na teoria das variedades Riemannianas. Este não é o caso das superfícies de Riemann, embora toda superfície regular forneça um exemplo de superfície de Riemann.

Edição de Definição

É intuitivamente claro que uma esfera é lisa, enquanto um cone ou uma pirâmide, devido ao seu vértice ou bordas, não. A noção de "superfície regular" é uma formalização da noção de superfície lisa. A definição utiliza a representação local de uma superfície por meio de mapas entre espaços euclidianos. Há uma noção padrão de suavidade para tais mapas: um mapa entre dois subconjuntos abertos do espaço euclidiano é suave se suas derivadas parciais de cada ordem existem em todos os pontos do domínio. [6] [7] [8]

O seguinte fornece três maneiras equivalentes para apresentar a definição, a definição do meio é talvez a mais intuitiva visualmente, pois essencialmente diz que uma superfície regular é um subconjunto de ℝ 3 que é localmente o gráfico de uma função suave (seja sobre uma região no sim avião, o xz avião, ou o xy avião).

  • f, como uma função V → ℝ 3, é infinitamente diferenciável (ou seja, suave)
  • para cada ponto de V, as duas derivadas parciais ∂vocêf e ∂vf são linearmente independentes como elementos de ℝ 3. [9] [10] [11] [12]
  • Svocê = <(h(você, v), você, v) : (você, v) ∈ V >
  • Svocê = <(você, h(você, v), v) : (você, v) ∈ V >
  • Svocê = <(você, v, h(você, v)) : (você, v) ∈ V >.
  • Svocê = <(x, y, z) ∈ você : F(x, y, z) = 0 >
  • em cada ponto de Svocê , pelo menos uma derivada parcial de F é diferente de zero.

Os homeomorfismos que aparecem na primeira definição são conhecidos como parametrizações locais ou sistemas de coordenadas locais ou cartas locais em S. [13] A equivalência das duas primeiras definições afirma que, em torno de qualquer ponto em uma superfície regular, sempre existem parametrizações locais da forma (você, v) ↦ (h(você, v), você, v) , (você, v) ↦ (você, h(você, v), v) , ou (você, v) ↦ (você, v, h(você, v)) , conhecido como Patches Monge . As funções F da terceira definição são chamadas funções de definição local. A equivalência de todas as três definições segue do teorema da função implícita. [14] [15] [16]

Dadas quaisquer duas parametrizações locais f : Vvocê e f ′ : V ′→ você ′ De uma superfície regular, a composição f −1 ∘ f ′ É necessariamente suave como um mapa entre subconjuntos abertos de ℝ 2. [17] Isso mostra que qualquer superfície regular tem naturalmente a estrutura de uma variedade lisa, com um atlas liso sendo dado pelos inversos das parametrizações locais.

Na teoria clássica da geometria diferencial, as superfícies são geralmente estudadas apenas no caso regular. [7] [18] É, entretanto, também comum estudar superfícies não regulares, nas quais as duas derivadas parciais ∂vocêf e ∂vf de uma parametrização local pode falhar em ser linearmente independente. Nesse caso, S pode ter singularidades, como bordas cúspides. Essas superfícies são normalmente estudadas na teoria da singularidade. Outras formas enfraquecidas de superfícies regulares ocorrem em projetos auxiliados por computador, onde uma superfície é quebrada em pedaços disjuntos, com os derivados de parametrizações locais deixando de ser contínuos ao longo dos limites. [ citação necessária ]


Seja um espaço de Hilbert complexo e seja um operador normal. Se for o espectro de, existe uma medida espectral única induzindo um morfismo de álgebra unital

onde estão as medidas escalares associadas.

Estamos especialmente interessados ​​no caso particular de um espaço de Hilbert real e um operador normal, aplicando a discussão anterior ao operador normal, com a medida espectral. Como o espaço de Hilbert real não é necessariamente invariante na medida espectral, tentaremos caracterizar esses subconjuntos de Borel de tal forma.

Para um subconjunto arbitrário, colocamos. Para um uso posterior, designamos pelo encerramento do subconjunto arbitrário.


11.1. e, ou, não ¶

Há três Operadores lógicos: e, ou, e não. A semântica (significado) desses operadores é semelhante ao seu significado em inglês. Por exemplo, x & gt 0 e x & lt 10 são verdadeiros apenas se x for maior que 0 e ao mesmo tempo, x é menor que 10. Como você descreveria isso em palavras? Você diria que x está entre 0 e 10, sem incluir os pontos finais.

n% 2 == 0 ou n% 3 == 0 é verdadeiro se ou das condições é verdadeiro, ou seja, se o número for divisível por 2 ou divisível por 3. Nesse caso, uma ou outra ou ambas as partes precisam ser verdadeiras para que o resultado seja verdadeiro.

Finalmente, o operador not nega uma expressão booleana, então not & # 160 x & gt y é verdadeiro se x & gt y for falso, ou seja, se x for menor ou igual a y.

Há um erro muito comum que ocorre quando os programadores tentam escrever expressões booleanas. Por exemplo, e se tivermos um número variável e quisermos verificar se seu valor é 5,6 ou 7. Em palavras, podemos dizer: “número igual a 5 ou 6 ou 7”. No entanto, se traduzirmos para Python, número == 5 ou 6 ou 7, não estará correto. O operador ou deve unir os resultados de três verificações de igualdade. A maneira correta de escrever isso é número == 5 ou número == 6 ou número == 7. Pode parecer muita digitação, mas é absolutamente necessário. Você não pode pegar um atalho.

11.1.1. Verifique sua compreensão¶

operadores lógicos2: Qual é a expressão correta do Python para verificar se um número armazenado em uma variável x está entre 0 e 5?


11.2: Operadores normais

Uma instância derivada é uma declaração de instância gerada automaticamente em conjunto com uma declaração de dados ou newtype. O corpo de uma declaração de instância derivada é derivado sintaticamente da definição do tipo associado. Instâncias derivadas são possíveis apenas para classes conhecidas pelo compilador: aquelas definidas no Prelude ou em uma biblioteca padrão. Neste capítulo, descrevemos a derivação de classes definidas pelo Prelúdio.

Se T for um tipo de dados algébrico declarado por:

  1. C é um de Eq, Ord, Enum, Bounded, Show ou Read.
  2. Existe um contexto cx & prime tal que cx & prime & # x00A0 & rArr & # x00A0C & # x00A0t eu j vale para cada um dos tipos constituintes t eu j .
  3. Se C for Bounded, o tipo deve ser uma enumeração (todos os construtores devem ser nulos) ou ter apenas um construtor.
  4. Se C for Enum, o tipo deve ser uma enumeração.
  5. Não deve haver nenhuma declaração de instância explícita em outro lugar no programa que torne T & # x00A0u 1 & # x00A0 & hellip & # x00A0u k uma instância de C.
  6. Se a declaração de dados não tem construtores (ou seja, quando n = 0), nenhuma classe é derivável (ou seja, m = 0)

Para fins de instâncias derivadas, uma declaração newtype é tratada como uma declaração de dados com um único construtor.

Se o formulário derivado estiver presente, uma declaração de instância é gerada automaticamente para T & # x00A0u 1 & # x00A0 & hellip & # x00A0u k sobre cada classe C eu . Se a declaração de instância derivada for impossível para qualquer um dos eu em seguida, ocorre um erro estático. Se nenhuma instância derivada for necessária, a forma derivada pode ser omitida ou a forma derivada de & # x00A0 () pode ser usada.

Cada declaração de instância derivada terá o formato: instância & # x00A0 (cx, & # x00A0 cx & prime) & # x00A0 = & # x003E & # x00A0C eu & # x00A0 (T & # x00A0u 1 & # x00A0 & hellip & # x00A0u k ) & # x00A0 onde & # x00A0 <& # x00A0d & # x00A0> onde d é derivado automaticamente dependendo de C eu e a declaração do tipo de dados para T (conforme será descrito no restante desta seção).

O contexto cx & prime é o menor contexto que satisfaz o ponto (2) acima. Para tipos de dados mutuamente recusivos, o compilador pode precisar realizar um cálculo de ponto fixo para computá-lo.

Os detalhes restantes das instâncias derivadas para cada uma das classes deriváveis ​​do Prelude são fornecidos agora. Variáveis ​​livres e construtores usados ​​nessas traduções sempre se referem a entidades definidas pelo Prelúdio.

11.1 Instâncias derivadas de Eq e Ord

Os métodos de classe introduzidos automaticamente por instâncias derivadas de Eq e Ord são (==), (/ =), compare, (& # x003C), (& # x003C =), (& # x003E), (& # x003E =) , máx. e mín. Os últimos sete operadores são definidos de forma a comparar seus argumentos lexicograficamente em relação ao conjunto de construtores dado, com construtores anteriores na declaração de tipo de dados contando como menores do que os posteriores. Por exemplo, para o tipo de dados Bool, temos que (True & # x00A0 & # x003E & # x00A0False) & # x00A0 == & # x00A0True.

As comparações derivadas sempre percorrem os construtores da esquerda para a direita. Esses exemplos ilustram essa propriedade:

Todas as operações derivadas da classe Eq e Ord são estritas em ambos os argumentos. Por exemplo, False & # x00A0 & # x003C = & # x00A0 & perp é & perp, embora False seja o primeiro construtor do tipo Bool.

11.2 Instâncias derivadas de Enum

Declarações de instâncias derivadas para a classe Enum são possíveis apenas para enumerações (tipos de dados com apenas construtores nulos).

Os construtores nulos são considerados numerados da esquerda para a direita com os índices de 0 a n & menos 1. Os operadores succ e pred fornecem o sucessor e o predecessor respectivamente de um valor, sob esse esquema de numeração. É um erro aplicar succ ao elemento máximo ou pred ao elemento mínimo.

Os operadores toEnum e fromEnum mapeiam valores enumerados de e para o tipo Int toEnum gera um erro de tempo de execução se o argumento Int não for o índice de um dos construtores.

As definições dos métodos restantes são

onde firstCon e lastCon são respectivamente o primeiro e o último construtores listados na declaração de dados. Por exemplo, dado o tipo de dados:

11.3 Instâncias derivadas de Bounded

A classe Bounded apresenta os métodos de classe minBound e maxBound, que definem os elementos mínimos e máximos do tipo. Para uma enumeração, o primeiro e o último construtores listados na declaração de dados são os limites. Para um tipo com um único construtor, o construtor é aplicado aos limites dos tipos constituintes. Por exemplo, o seguinte tipo de dados:

geraria a seguinte instância Bounded:

11.4 Instâncias derivadas de Ler e Mostrar

Os métodos de classe introduzidos automaticamente por instâncias derivadas de Read e Show são showsPrec, readPrec, showList e readList. Eles são usados ​​para forçar valores em strings e analisar strings em valores.

A função showsPrec & # x00A0d & # x00A0x & # x00A0r aceita um nível de precedência d (um número de 0 a 11), um valor xe uma string r. Ele retorna uma string que representa x concatenado a r. showsPrec satisfaz a lei: showsPrec & # x00A0d & # x00A0x & # x00A0r & # x00A0 ++ & # x00A0s & # x00A0 & # x00A0 == & # x00A0 & # x00A0showsPrec & # x00A0d & # x00A0x & # x00A (++ & # x00A0 # x00A0s) A representação será colocada entre parênteses se a precedência do construtor de nível superior em x for menor que d. Portanto, se d for 0, o resultado nunca será colocado entre parênteses; se d for 11, ele estará sempre entre parênteses, a menos que seja uma expressão atômica (lembre-se de que a aplicação da função tem precedência 10). O parâmetro extra r é essencial se estruturas semelhantes a árvores devem ser impressas em tempo linear em vez de tempo quadrático no tamanho da árvore.

A função lêPrec & # x00A0d & # x00A0s aceita um nível de precedência d (um número de 0 a 10) e uma string s, e tenta analisar um valor da frente da string, retornando uma lista de (valor analisado, string restante ) pares. Se não houver uma análise bem-sucedida, a lista retornada estará vazia. A análise de uma aplicação de operador infixo sem parênteses é bem-sucedida apenas se a precedência do operador for maior ou igual a d.

Deve ser o caso de

Ou seja, readPrec deve ser capaz de analisar a string produzida por showsPrec e deve entregar o valor com o qual showsPrec começou.

showList e readList permitem que listas de objetos sejam representadas usando denotações não padrão. Isso é especialmente útil para strings (listas de caracteres).

readPrec irá analisar qualquer representação válida dos tipos padrão além de strings, para as quais apenas strings entre aspas são aceitas, e outras listas, para as quais apenas a forma entre colchetes [& hellip] é aceita. Consulte o Capítulo & # x00A09 para obter os detalhes completos.

O resultado de show é uma expressão Haskell sintaticamente correta contendo apenas constantes, dadas as declarações de fixidez em vigor no ponto em que o tipo é declarado. Ele contém apenas os nomes dos construtores definidos no tipo de dados, parênteses e espaços. Quando campos de construtor rotulados são usados, colchetes, vírgulas, nomes de campo e sinais de igual também são usados. Os parênteses são adicionados apenas quando necessário, ignorando a associatividade. Nenhuma quebra de linha é adicionada. O resultado de show é legível por leitura se todos os tipos de componentes forem legíveis. (Isso é verdade para todas as instâncias definidas no Prelúdio, mas pode não ser verdade para instâncias definidas pelo usuário.)

  • Se o construtor for definido para ser um operador infixo, a instância Read derivada analisará apenas os aplicativos infixos do construtor (não a forma de prefixo).
  • A associatividade não é usada para reduzir a ocorrência de parênteses, embora a precedência possa ser. Por exemplo, dado

  • show & # x00A0 (1 & # x00A0: $ & # x00A02 & # x00A0: $ & # x00A0NT) produz a string "1 & # x00A0: $ & # x00A0 (2 & # x00A0: $ & # x00A0NT)".
  • read & # x00A0 "1 & # x00A0: $ & # x00A0 (2 & # x00A0: $ & # x00A0NT)" é bem-sucedido, com o resultado óbvio.
  • leia & # x00A0 "1 & # x00A0: $ & # x00A02 & # x00A0: $ & # x00A0NT" falha.
  • Estruturas circulares não podem ser impressas ou lidas por essas instâncias.
  • A impressora perde a subestrutura compartilhada, a representação impressa de um objeto pode ser muito maior do que o necessário.
  • As técnicas de análise usadas pelo leitor são muito ineficientes. A leitura de uma estrutura grande pode ser bastante lenta.
  • Não há controle do usuário sobre a impressão dos tipos definidos no Prelúdio. Por exemplo, não há como alterar a formatação de números de ponto flutuante.

11.5 Um Exemplo

Como um exemplo completo, considere um tipo de dados de árvore:

A derivação automática de declarações de instância para Bounded e Enum não é possível, pois Tree não é uma enumeração ou tipo de dados de construtor único. As declarações de instância completas para Tree são mostradas na Figura & # x00A011.1, observe o uso implícito de definições de método de classe padrão & # 8212 por exemplo, apenas & # x003C = é definido para Ord, com os outros métodos de classe (& # x003C, & # x003E, & # x003E =, max e min) sendo definidos pelos padrões fornecidos na declaração de classe mostrada na Figura & # x00A06.1.


No Python 3.x, 5/2 retornará 2,5 e 5 // 2 retornará 2. O primeiro é a divisão de ponto flutuante, e o último é divisão do chão, às vezes também chamado divisão inteira.

No Python 2.2 ou posterior na linha 2.x, não há diferença para inteiros, a menos que você execute uma divisão de importação de __future__, o que faz com que o Python 2.x adote o comportamento 3.x.

Independentemente da importação futura, 5.0 // 2 retornará 2.0, pois esse é o resultado da divisão do piso da operação.

Python 2.x Esclarecimento:

Para esclarecer a linha Python 2.x, / não é nem divisão de piso nem divisão verdadeira.

/ é a divisão do piso quando Ambas args são int, mas é divisão verdadeira quando ou dos args são float.

// implementa "divisão de piso", independentemente do seu tipo. Portanto, 1.0 / 2.0 resultará em 0,5, mas ambos 1/2, 1 // 2 e 1.0 // 2.0 resultarão em 0.

/ -> Divisão de ponto flutuante

// -> Divisão de piso

Vamos ver alguns exemplos em Python 2.7 e em Python 3.5.

Python 2.7.10 vs. Python 3.5

Python 2.7.10 vs. Python 3.5

Agora, se quiser ter (no python 2.7) a mesma saída que no python 3.5, você pode fazer o seguinte:

Python 2.7.10

Onde, como não há diferença entre a divisão de piso em ambos python 2.7 e em Python 3.5

Como todos já responderam, // é a divisão do piso.

Por que isso é importante é que // é inequivocamente divisão de piso, em todas as versões Python de 2.2, incluindo versões Python 3.x

O comportamento de / pode mudar dependendo de:

  • Importação __futura__ ativa ou não (módulo-local)
  • Opção de linha de comando Python, -Q antigo ou -Q novo

Python 2.7 e outras versões futuras de python:

Divide o operando da mão esquerda pelo operando da mão direita

A divisão de operandos onde o resultado é o quociente em que os dígitos após a vírgula decimal são removidos. Mas se um dos operandos for negativo, o resultado será reduzido, ou seja, arredondado de zero (em direção ao infinito negativo):

Exemplos: 9 // 2 = 4 e 9,0 // 2,0 = 4,0, -11 // 3 = -4, -11,0 // 3 = -4,0

Tanto a / Divisão quanto a operadora da divisão do andar estão operando de maneira semelhante.

A barra dupla, //, é a divisão do piso:

// é a divisão do piso, sempre fornecerá o piso inteiro do resultado. A outra é a divisão 'regular'.

A resposta da equação é arredondada para o próximo inteiro menor ou flutuante com .0 como ponto decimal.

As respostas acima são boas. Eu quero acrescentar outro ponto. Até alguns valores, ambos resultam no mesmo quociente. After that floor division operator ( // ) works fine but not division ( / ) operator:

  • // is floor division, it will always give you the floor value of the result.
  • And the other one / is the floating-point division.

Followings are the difference between / and // I have run these arithmetic operations in Python 3.7.2

Python 3.x Clarification

Just to complement some previous answers.

It is important to remark that:

É floor division. As in:

Is not int division. As in:

Is not round to 0 float division. As in:

As a consequence, the way of behaving is different when it comes to positives an negatives numbers as in the following example:

Python 3

  1. Also referred to as integer division. The resultant value is a whole integer, though the result’s type is not necessarily int. The result is always rounded towards minus infinity: 1//2 is 0 , (-1)//2 is -1 , 1//(-2) is -1 , and (-1)//(-2) is 0 .

Python 2

Notes:

1. For (plain or long) integer division, the result is an integer. The result is always rounded towards minus infinity: 1/2 is 0, (-1)/2 is -1, 1/(-2) is -1, and (-1)/(-2) is 0. Note that the result is a long integer if either operand is a long integer, regardless of the numeric value.

4. Deprecated since version 2.3: The floor division operator, the modulo operator, and the divmod() function are no longer defined for complex numbers. Instead, convert to a floating point number using the abs() function if appropriate.

5. Also referred to as integer division. The resultant value is a whole integer, though the result’s type is not necessarily int.


11.2: Normal operators

The usual comparison operators are available, as shown in Table 9.1.

Table 9.1. Comparison Operators

Operador Descrição
& lt Menor que
& gt greater than
& lt = menos que ou igual a
& gt = greater than or equal to
= igual
<> or != not equal

The != operator is converted to <> in the parser stage. It is not possible to implement != and <> operators that do different things.

Comparison operators are available for all relevant data types. All comparison operators are binary operators that return values of type boolean expressions like 1 < 2 < 3 are not valid (because there is no < operator to compare a Boolean value with 3 ).

There are also some comparison predicates, as shown in Table 9.2. These behave much like operators, but have special syntax mandated by the SQL standard.

Table 9.2. Comparison Predicates

Predicate Descrição
a BETWEEN x E y between
a NOT BETWEEN x E y not between
a BETWEEN SYMMETRIC x E y between, after sorting the comparison values
a NOT BETWEEN SYMMETRIC x E y not between, after sorting the comparison values
a IS DISTINCT FROM b not equal, treating null like an ordinary value
a IS NOT DISTINCT FROM b equal, treating null like an ordinary value
expression IS NULL is null
expression IS NOT NULL is not null
expression ISNULL is null (nonstandard syntax)
expression NOTNULL is not null (nonstandard syntax)
boolean_expression IS TRUE is true
boolean_expression IS NOT TRUE is false or unknown
boolean_expression IS FALSE is false
boolean_expression IS NOT FALSE is true or unknown
boolean_expression IS UNKNOWN is unknown
boolean_expression IS NOT UNKNOWN is true or false

The BETWEEN predicate simplifies range tests:

Notice that BETWEEN treats the endpoint values as included in the range. NOT BETWEEN does the opposite comparison:

BETWEEN SYMMETRIC is like BETWEEN except there is no requirement that the argument to the left of AND be less than or equal to the argument on the right. If it is not, those two arguments are automatically swapped, so that a nonempty range is always implied.

Ordinary comparison operators yield null (signifying “ unknown ” ), not true or false, when either input is null. For example, 7 = NULL yields null, as does 7 <> NULL . When this behavior is not suitable, use the IS [ NOT ] DISTINCT FROM predicates:

For non-null inputs, IS DISTINCT FROM is the same as the <> operator. However, if both inputs are null it returns false, and if only one input is null it returns true. Similarly, IS NOT DISTINCT FROM is identical to = for non-null inputs, but it returns true when both inputs are null, and false when only one input is null. Thus, these predicates effectively act as though null were a normal data value, rather than “ unknown ” .

To check whether a value is or is not null, use the predicates:

or the equivalent, but nonstandard, predicates:

Fazer não write expression = NULL because NULL is not “ equal to ” NULL . (The null value represents an unknown value, and it is not known whether two unknown values are equal.)

Some applications might expect that expression = NULL returns true if expression evaluates to the null value. It is highly recommended that these applications be modified to comply with the SQL standard. However, if that cannot be done the transform_null_equals configuration variable is available. If it is enabled, PostgreSQL will convert x = NULL clauses to x IS NULL .

Se o expression is row-valued, then IS NULL is true when the row expression itself is null or when all the row's fields are null, while IS NOT NULL is true when the row expression itself is non-null and all the row's fields are non-null. Because of this behavior, IS NULL and IS NOT NULL do not always return inverse results for row-valued expressions in particular, a row-valued expression that contains both null and non-null fields will return false for both tests. In some cases, it may be preferable to write row IS DISTINCT FROM NULL or row IS NOT DISTINCT FROM NULL , which will simply check whether the overall row value is null without any additional tests on the row fields.

Boolean values can also be tested using the predicates

These will always return true or false, never a null value, even when the operand is null. A null input is treated as the logical value “ unknown ” . Notice that IS UNKNOWN and IS NOT UNKNOWN are effectively the same as IS NULL and IS NOT NULL , respectively, except that the input expression must be of Boolean type.

Some comparison-related functions are also available, as shown in Table 9.3.

Table 9.3. Comparison Functions

Function Descrição Exemplo Example Result
num_nonnulls(VARIADIC "any") returns the number of non-null arguments num_nonnulls(1, NULL, 2) 2
num_nulls(VARIADIC "any") returns the number of null arguments num_nulls(1, NULL, 2) 1


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