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11.7: Decomposição de valor singular


A decomposição de valores singulares generaliza a noção de diagonalização. Diagonalizar unitariamente (T in mathcal {L} (V) ) significa encontrar uma base ortonormal (e ) tal que (T ) seja diagonal em relação a esta base, ou seja,

[M (T; e, e) = [T] _e = begin {bmatrix} lambda_1 && 0 & ddots & 0 && lambda_n end {bmatrix}, ]

onde a notação (M (T; e, e) ) indica que a base (e ) é usada tanto para o domínio quanto para o codomínio de (T ). O Teorema Espectral nos diz que a diagonalização unitária só pode ser feita para operadores normais. Em geral, podemos encontrar duas bases ortonormais (e ) e (f ) tais que

[M (T; e, f) = begin {bmatrix} s_1 && 0 & ddots & 0 && s_n end {bmatrix}, ]

o que significa que (Te_i = s_i f_i ) mesmo se (T ) não for normal. Os escalares (s_i ) são chamados valores singulares de (T ). Se (T ) for diagonalizável, então esses são os valores absolutos dos autovalores.

Teorema 11.7.1

Tudo (T in mathcal {L} (V) ) têm uma decomposição de valor singular. Ou seja, existem bases ortonormais (e = (e_1, ldots, e_n) ) e (f = (f_1, ldots, f_n) ) de tal modo que

[Tv = s_1 interno {v} {e_1} f_1 + cdots + s_n interno {v} {e_n} f_n, ]

Onde (si) são os valores singulares de (T ).

Prova

Como (| T | ge 0 ), também é auto-adjunta. Assim, pelo Teorema Espectral, existe uma base ortonormal (e = (e_1, ldots, e_n) ) para (V ) tal que (| T | e_i = s_i e_i ). Seja (U ) a matriz unitária na decomposição polar de (T ). Uma vez que (e ) é ortonormal, podemos escrever qualquer vetor (v in V ) como

begin {equation *}
v = interior {v} {e_1} e_1 + cdots + interior {v} {e_n} e_n,
end {equação *}

e, portanto

begin {equation *}
Tv = U | T | v = s_1 interno {v} {e_1} Ue_1 + cdots + s_n interno {v} {e_n} Ue_n.
end {equação *}

Agora defina (f_i = U e_i ) para todos (1 le i le n ). Como (U ) é unitário, ((f_1, ldots, f_n) ) também é uma base ortonormal, comprovando o teorema.

(quadrado)


Valor Singular

2.3 Decomposição de valor singular

SVD é uma técnica de decomposição de matriz ideal, que é útil em muitas aplicações práticas, incluindo problemas de mínimos quadrados e análise multivariada. Recentemente, o SVD tem sido usado em aplicativos de processamento de imagem, como marca d'água digital, codificação de imagem, reconhecimento e hash de multimídia. Em contraste, SVD desempenha um papel importante na geração de várias funções hash.

Matematicamente, o SVD [30] de uma matriz UMA do tamanho m × n pode ser expresso como:

onde U e V são matrizes ortogonais de tamanho m × m e n × n, respectivamente. Além disso, as matrizes U e V representam uma rotação e reflexão em m- e nsubespaço dimensional. Além disso, Σ é uma matriz diagonal de tamanho m × n com classificação r, onde r = min (m, n) e os elementos diagonais iniciais representam os valores singulares. Em particular, os valores singulares representam o brilho de uma imagem e um vetor singular correspondente descreve as características geométricas da imagem.


11.7: Decomposição de valor singular

A relação (A.5.1) pode ser manipulada usando ortogonalidade para revelar que

Em muitas aplicações, é iterado no cálculo de alguns (digamos k) dos maiores valores singulares e vetores correspondentes. If, denota as k -colunas principais de e respectivamente, e if denota a submatriz principal principal de then

é a melhor aproximação de classificação-k para a norma 2 e a norma de Frobenius. Muitas vezes, um k muito pequeno será suficiente para aproximar características importantes do original ou para resolver aproximadamente problemas de quadrados mínimos envolvendo

Este SVD parcial pode ser calculado de forma eficiente usando a sub-rotina ARPACK _saupd no modo = 1 com o qual = 'LA' e tomando

Claro, a ação de deve ser calculada com as etapas 1. Multiplicação do vetor-matriz 2. Multiplicação do vetor-matriz Além disso, observe que se a matriz é enorme e deve ser armazenada em um dispositivo periférico, então pode ser lida por blocos para alcançar a ação de usar o fato de que

onde obter o loop mostrado na Figura A.2.

Os drivers ilustram como calcular os k termos principais do SVD conforme descrito. Os vetores singulares à esquerda são recuperados & # 160 dos vetores singulares à direita. Desde que os maiores valores singulares não sejam múltiplos ou fortemente agrupados, não deve haver problema em obter vetores singulares esquerdos numericamente ortogonais a partir dos vetores singulares direitos computados. No entanto, existe uma maneira de obter os vetores singulares esquerdo e direito diretamente. Isso é para definir

e utilizar o fato de que

para extrair as colunas de dos primeiros m componentes dos autovetores convergentes de OP e as colunas de dos n componentes restantes. Se este esquema for usado, é importante definir which = 'LA' porque a matriz bloqueada OP terá ambos e como autovalores para.

Nós fornecemos apenas a primeira abordagem nos drivers ARPACK. Também devemos mencionar que, caso você tenha uma matriz com m & lt n, substitua por na discussão acima e inverta os papéis de e.


2. Métodos e resultados

Arquitetura CNN do UNMIX-ME (Figura 1 ) foi elaborado de forma que a extração de informações temporais fosse priorizada enquanto mitigava a carga computacional associada ao processamento simultâneo de 16 canais espectrais de dados TPSF. Dado que o uso de operações convolucionais 3D (Conv3D) é notoriamente caro em termos computacionais, apenas duas camadas Conv3D empregando grandes passadas foram incluídas - permitindo uma redução significativa no tamanho paramétrico dentro das camadas iniciais. A saída dessas camadas foi transformada em 2D e seguida por convoluções separáveis ​​2D [9] com tamanho de kernel 1 × 1 como uma alternativa mais amigável computacionalmente para extração de características espectrais e temporais espacialmente independentes. Além disso, operações "XceptionBlock" [10] (ou seja, blocos residuais com convoluções separáveis ​​1 × 1) foram incluídas para garantir que nosso modelo colheria os benefícios obtidos por meio de aprendizagem residual [11], mantendo o foco no objetivo principal - espacialmente independente extração de características temporais e espectrais. UNMIX-ME apresenta o conceito de "CoefficientBlocks", ramos individuais compostos por um conjunto de convoluções 2D interceptadas por camadas de normalização e ativação de lote, com cada ramo destinado a focar em recursos relevantes para a recuperação do coeficiente de abundância específico do fluoróforo. Esses blocos facilitam a modificação contínua da arquitetura para a recuperação do número N de fluoróforos direcionados.

Figura 1. Arquitetura do modelo UNMIX-ME. Entrada HMFLI mapeada para valores de coeficientes de fluorescência não misturados espacialmente independentes (a) “XceptionBlock” [10] composto de 1 × 1 convoluções separáveis ​​[9]. (b) Estrutura “CoefficientBlock”.

Como Figura 2 ilustra, o fluxo de trabalho de geração de dados para um treinamento eficiente, mas abrangente, empregado neste trabalho segue parcialmente o esquema de nosso trabalho anterior [8,12]. Em resumo, um conjunto de dados de números manuscritos binários EMNIST foi usado para atribuição de variáveis ​​aleatórias espacialmente independentes de TPSF (Γ(t)) conforme fornecido na Eq. (1). Essas variáveis ​​incluem os valores de vida das espécies fluorescentes envolvidas ($ < tau _n> $), coeficientes de abundância relativa associados ($$) e escalar de intensidade (eu, expresso em contagens de fótons). Observe que esses coeficientes de abundância são a recuperação de saída do UNMIX-ME (ou seja, $$ , $$ e $$ no caso de uma aplicação tri-exponencial, Eq. (2)) [1]). Além disso, a função de resposta do instrumento, $ IR(t) $, é considerado nas simulações para replicar o mais próximo possível das configurações experimentais (exemplo para três espécies moleculares):

Figura 2. Fluxo de trabalho de simulação de dados. Uma imagem binária MNIST é atribuída a valores de vida dentro de três limites (c-e). Usando esses valores, junto com espectros espacialmente únicos (média dada em b) para reunir multiplicadores de intensidade, 16 TPSFs são criados em cada pixel espacial diferente de zero (a). Os coeficientes são calculados logo após (f-h).

Figura 2 (a) ilustra um caso de exemplo de não mistura de três espécies no caso desafiador de dois fluoróforos que possuem o mesmo perfil espectral de emissão - um fenômeno inerente às imagens endógenas e FRET. De fato, o fenômeno FRET, que é o principal foco experimental deste trabalho, ocorre quando um par de fluoróforos, denominado fluoróforos doador e aceitador (correspondendo a comprimentos de onda inferior e superior, respectivamente), satisfazem duas condições: 1) os espectros de emissão da espécie doadora se sobrepõem aos espectros de excitação do aceitador, 2) ambos os fluoróforos são orientados de uma maneira particular um em relação ao outro e estão em estreita proximidade (dentro de & lt 10 nm) [13]. A recuperação precisa dos coeficientes de abundância de espécies fluorescentes que possuem perfis de emissão semelhantes requer protocolos de imagem complexos e altamente restritivos ou pipelines analíticos demorados baseados em ajustes iterativos. Para garantir que UNMIX-ME era sensível ao sangramento espectral, cada localização espacial que não possuía todas as três espécies foi feita para mapear todos os valores de coeficientes não presentes para zero. Maiores detalhes sobre o fluxo de trabalho de simulação estão contidos no Apêndice: Seção 1 e repositório GitHub [14]. Assim, cada conjunto de dados 4D simulado tinha tamanho 16 × 16 × 256 × 16 (x, y, pontos de tempo, canais de comprimento de onda). O modelo de rede apresentado foi construído usando Tensorflow com Keras backend em Pitão. O treinamento foi realizado em aproximadamente 100 épocas usando um número total de 2.500 conjuntos de dados (80% -20% de validação de treinamento) e perda de erro quadrático médio (MSE). O tempo total para simulação de dados e treinamento foi de 40 minutos e 15 minutos, respectivamente (GPU NVIDIA Titan). Mais detalhes das curvas de treinamento por número de espécies e visualizações Stochastic Neighbour Embedding (t-SNE) dos diferentes intervalos de coeficientes de treinamento em toda a rede são explicados em Apêndice: Seção 3 .

Em primeiro lugar, 250 dados de TPSF espectrais tri-espécies (dois espectros, três vidas) foram simulados para ilustrar como tanto o nosso DNN quanto a não-linear mistura espectral acoplada ao ajuste de vida útil bi-exponencial de mínimo quadrado (LSQ + F) funcionam em comparação com a verdade fundamental durante a desmistura tri-espectral em sílico (Fig. 3). Dois perfis gaussianos sobrepostos (Fig. 3 (uma)) foram usados ​​para imitar

Fig. 3. Desmistura espectral de três coeficientes em sílico. Os espectros médios usados ​​para a simulação (a) são fornecidos. (b-d) Os valores da verdade básica são ilustrados, bem como os coeficientes recuperados por meio de unmixing DNN vitalício (e-g) e ajuste LSQ + F convencional (h-j). tabela 1 fornece valores de MSE de média e desvio padrão calculados em 100 amostras de teste para quantificação de desempenho adicional.

Tabela 1. Erro quadrático médio calculado para todos os três valores de coeficiente por meio de ambas as técnicas (complemento para Fig. 3).

Espectro de emissão de 16 canais. Além disso, os parâmetros vitalícios foram atribuídos aleatoriamente entre três limites definidos: ($ < tau _1> $, $ < tau _2> $, $ < tau _3> $) ∈ [0,95-1,1, 0,3-0,45, 0,55- 0,7] ns. 2.500 dados separados foram gerados para o treinamento do modelo. Figura 3 (por exemplo) ilustra alta concordância espacial com relação a todos os três coeficientes, o que é confirmado pelos altos valores de SSIM listados na Fig. 3 (k). Embora altos valores de SSIM sejam observados por meio da recuperação LSQ + F de $$, uma queda na precisão é observada para ambos os coeficientes restantes. Esta queda na precisão não é surpreendente, dado que $$ e $$ possuem o mesmo perfil de emissão e dependem de ajuste de tempo de vida iterativo, freqüentemente sujeito a erros, para corrigir o valor do coeficiente obtido através da decomposição espectral.

Para validação experimental, os valores foram obtidos a partir da reconstrução do domínio de tempo HMFLI de uma placa de poço NIR-FRET com frações volumétricas variáveis ​​de corante AF700 e AF750 conjugado com Transferrina (Tf), como ilustrado na Fig. 4. O conjunto de dados de entrada 4D tinha o tamanho 64 × 64 × 256 × 16. O processo de reconstrução do domínio do tempo é mais explicado em Apêndice: Seção 2 . Förster Resonance Energy Transfer (FRET) unmixing é um problema unicamente complexo de dois espectros e três espécies, dada a sub e superestimação da contribuição fluorescente do doador e do aceitador devido à extinção, respectivamente [15,16]. Porém, este efeito foi facilmente levado em consideração durante a simulação de dados (detalhado em Apêndice: Seção 1 ) [16].

Fig. 4. HMFLI-FRET em vitro. Os resultados da decomposição espectral iterativa não linear combinada com ajuste vitalício (LSQ + F) (a-j) e UNMIX-ME (k-t) são dados. Os boxplots dos valores dos coeficientes recuperados em cada ROI (rotulados pela razão aceitador / doador) são fornecidos por reconstrução. As razões de aceitante / doador são rotuladas por poço em (a).

A estrutura UNMIX-ME permitiu a recuperação dos valores totais dos coeficientes Tf-AF700 e Tf-AF750 aderindo muito mais aos valores esperados Fig. 4 (p-t) em comparação com LSQ + F convencional, Fig. 4 (f-j). Todos os poços contendo Tf-AF700 (aqui referidos como total $$ ou $<>>> $) foram preparados com volume constante e, portanto, a tendência decrescente observada através do LSQ + F (Fig. 4 (h)) é muito maior do que o ilustrado pelo UNMIX-ME (Fig. 4 (r)) Além disso, a segunda e a terceira linhas foram preparadas com os mesmos volumes crescentes de AF750 ($$) e, portanto, o $$ tendência observada deve ser idêntica. Figura 4 (eu) ilustra uma superestimação de Tf-AF750 na segunda linha via LSQ + F - um resultado esperado dada a superestimação da concentração de aceitador no caso de FRET. Em contraste com isso, UNMIX-ME fornece $$ quantificação com sobreposição significativamente maior (Fig. 4 (s)) Além disso, embora a quantificação de FRET (FD (%), isto é, fração de doador de FRET) por meio de UNMIX-ME (Fig. 4 (t)) e LSQ + F (Fig. 4 (j)) foram relativamente semelhantes para os casos de 1: 1 a 3: 1, o poço de uma única espécie (0: 1) foi superestimado por meio de ajuste iterativo, enquanto o UNMIX-ME estimou corretamente os valores de zero em todo o poço. O doador extinto ($^ ast $) abundância estimada através do UNMIX-ME (Fig. 4 (q)) fornece uma tendência de aumento muito mais facilmente distinguível de poço a poço (como esperado) e valores atribuídos corretamente de zero na ROI de 0: 1 do que ao usar LSQ + F (Fig. 4 (g)).

Finalmente, UNMIX-ME foi usado para dois casos complexos de imagem HMFLI-FRET na Vivo. MFLI permite relatar quantitativamente a interação alvo-receptor via na Vivo FRET baseada na vida e quantificação adicional de FD (%) [17,18]. Em primeiro lugar, os dados de HMFLI adquiridos de um camundongo nu atímico 6 horas após a injeção com par AF700 e AF750 FRET conjugado com Tf (em uma proporção de aceitador para doador de 2: 1) não foram misturados por meio de ambos os métodos para comparação. O envolvimento dos receptores da transferrina (Tf) no fígado resulta em uma mudança na vida e na DF (%) em comparação com órgãos de excreção como a bexiga, permitindo, portanto, uma classificação posterior dos órgãos [19]. Para esta tarefa e como mostrado anteriormente para em vitro amostras, o FD (%) será resolvido para ambos os métodos a partir dos coeficientes de abundância não misturados resultantes do doador não extinto e extinto ($$ e $^ ast $ respectivamente). Idealmente, ($$ / $<>>> $) as razões correspondem estreitamente com o aceitador injetado de 2: 1 para a concentração do doador. Além disso, os coeficientes resolvidos devem refletir a diferença ao longo da vida e FRET entre o fígado e os órgãos da bexiga. Para resumir, os resultados deste experimento são ilustrados e discutidos em Apêndice: Seção 4 . UNMIX-ME exibiu a capacidade de resolver melhor a mudança na vida e FD (%) sobre o doador recuperado ($<>>> $) e aceitante ($$) coeficientes em comparação com LSQ (+ F). O UNMIX-ME descreveu melhor a extinção esperada do doador no fígado, que contém um alto volume de receptores de Tf, mas não na bexiga. Ao mesmo tempo, o injetado 2 ($$) para 1 ($<>>> $) concentração de aceitador para doador foi melhor descrita pelos coeficientes de abundância relativa não misturados de UNMIX-ME.

A segunda e última na Vivo caso, cujos resultados são exibidos na Fig. 5 /6, envolve dados de 76 horas pós-injeção adquiridos de um camundongo nu atímico portando um xenoenxerto de tumor e injetado com o par de Trastuzumabe AF700 e AF750 FRET de HER2 (em uma proporção de aceitador para doador de 2: 1). O TZM é usado para tratar câncer de mama metastático na clínica e foi recentemente proposto para imagens de fluorescência ao longo da vida [20]. O envolvimento com os receptores HER2 presentes na região do tumor resultará em uma diminuição no tempo de vida e aumento na interação FRET (FD (%)). Essas mudanças esperadas também devem ser refletidas no aceitador não misturado, coeficientes de doador resgatados / não extintos recuperados. Quanto ao FRET anterior na Vivo experimento, o FD (%) será recuperado via LSQ (+ F) e UNMIX-ME. Os dados HMFLI foram reconstruídos para uma resolução de 128 × 128 e adquiridos ao longo de 6 minutos para 16 comprimentos de onda de detecção (canais) por meio de alta compressão de dados, conforme destacado em outro lugar [7]. O tri-componente (doador não saciado + doador extinto ($<>>> $) e aceitante ($$) a desmistura do tempo de vida espectral foi recuperada usando LSQ + F Fig. 5 (d-f) e UNMIX-ME na Fig. 5 (a-c). A quantificação para essas regiões é exibida na Fig. 5 (g-i). Na Vivo Os resultados de desmistura espectral ilustrados na Fig. 5 foram obtidos por limiar de contagem de fótons para focar somente na região do xenoenxerto. A quantificação FRET-FD (%) obtida por ambos os métodos está em alta concordância - resultado observado anteriormente em níveis mais elevados de FRET em vitro (Fig. 4 (j, t)) No entanto, a comparação dos resultados do aceitador $$ na Fig. 5 (h) ao doador $<>>> $ na Fig. 5 (g) ilustrar que $$ / $<>>> $ razões (resultados calculados por divisão de $ reconstruído$ por aquele de $> $ seguido pela recuperação da média e do desvio padrão de todos os pixels dentro da ROI do xenoenxerto - Fig. 6) obtidos por meio de UNMIX-ME correspondem muito mais de perto com o aceitador injetado 2: 1 para concentração do doador do que aqueles obtidos por meio de LSQ + F.

Fig. 5. Imagem HMFLI-FRET de xenoenxerto de tumor na Vivo. Xenoenxerto de camundongo com imagem de 76 horas após a injeção de Trastuzumab (mistura de AF700 e conjugados de amp AF750 com A: D 2: 1). Resultados de UNMIX-ME (a-c) e LSQ + F (d-f). Os boxplots são fornecidos para maior clareza quantitativa (g-i).

Fig. 6. Informações adicionais fornecidas para complementar o na Vivo quantificação espectral de vida realizada em Fig. 5 . O histograma fornece todas as razões aceitadores / doadores obtidas para cada localização espacial na ROI do tumor. A tabela fornece valores médios e de desvio padrão para ambos os coeficientes e os valores FRET% obtidos por meio de ambos os métodos.


11.7: Decomposição de valor singular

Exemplos de LAPACK da Biblioteca Intel® oneAPI Math Kernel

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* & # 160 & # 160 na escrita.
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*/
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& # 160 & # 160 & # 160ZGESDD Exemplo.
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& # 160 & # 160 & # 160 O programa calcula a decomposição de valor singular de um geral
& # 160 & # 160 & # 160 matriz complexa retangular A usando um método de divisão e conquista, onde A é:

& # 160 & # 160 & # 160A rotina calcula a decomposição de valor singular (SVD) de um complexo
& # 160 & # 160 & # 160m por n matriz A, opcionalmente computando o singular esquerdo e / ou direito
& # 160 & # 160 & # 160vetores. Se vetores singulares são desejados, ele usa uma divisão para conquistar
& # 160 & # 160 & # 160algoritmo. O SVD é escrito como

& # 160 & # 160 & # 160 onde SIGMA é uma matriz m-por-n que é zero, exceto por seu min (m, n)
& # 160 & # 160 & # 160 elementos diagonais, U é uma matriz unitária m por m e VH (conjugado V
& # 160 & # 160 & # 160transposed) é uma matriz unitária n por n. Os elementos diagonais do SIGMA
& # 160 & # 160 & # 160 são os valores singulares de A, eles são reais e não negativos, e são
& # 160 & # 160 & # 160 retornou em ordem decrescente. As primeiras colunas min (m, n) de U e V são
& # 160 & # 160 & # 160 os vetores singulares esquerdo e direito de A.

& # 160 & # 160 & # 160 Observe que a rotina retorna VH, não V.

& # 160ZGESDD Exemplo de resultados do programa

/ * & # 160Complex datatype * /
struct & # 160_dcomplex
typedef & # 160 struct & # 160_dcomplex dcomplex

/ * & # 160ZGESDD prototype * /
extern & # 160 void & # 160zgesdd (char * jobz, int * m, int * n, dcomplex * a,
& # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 int * lda, double * s, dcomplex * u, int * ldu, dcomplex * vt, int * ldvt,
& # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160dcomplex * work, int * lwork, double * rwork, int * iwork, int * info)
/ * & # 160Auxiliary routines prototypes * /
extern & # 160 void & # 160print_matrix (char * desc, int & # 160m, int & # 160n, dcomplex * a, int & # 160lda)
extern & # 160 void & # 160print_rmatrix (char * desc, int & # 160m, int & # 160n, double * a, int & # 160lda)

/ * & # 160Parameters * /
#define M 3
#define N 4
#define LDA M
#define LDU M
# define LDVT N


13.6 SVD para compressão de dados

Se acreditássemos que os primeiros vetores singulares esquerdo e direito, chamados de u1 e v1, capturaram todas as variações nos dados, então poderíamos aproximar a matriz de dados original com

Assim, reduziríamos 400 números na matriz original para 40 + 10 = 50 números na matriz compactada, uma redução de quase 90% nas informações. Veja como seriam os dados originais e a aproximação.

Figura 5.8: Aproximando uma matriz

Obviamente, as duas matrizes não são idênticas, mas a aproximação parece razoável neste caso. Isso não é surpreendente, visto que havia apenas uma característica real nos dados originais.


11.7: Decomposição de valor singular

A tem posto 2. As duas colunas de U são os vetores normalizados A.v1 e A.v2.

Verifique a decomposição de valor singular, A == U. & Sigma. .

Compare com a decomposição de valores singulares do Mathematica.

Resultado numérico do Mathematica.

Nosso resultado numérico.
Esses dois resultados concordam com uma mudança de sinal em algumas linhas e colunas.

Os Quatro Subespaços Fundamentais

Considere a matriz do exemplo anterior,.

. e sua decomposição em valor singular, A == U. & Sigma. .

a é uma matriz mxn com classificação r.

A decomposição de valor singular de a exibe bases ortogonais para os quatro subespaços fundamentais de a como segue:
(Ver Lay 7.4, p479)

As soluções inversas e de mínimos quadrados de Moore-Penrose

Considere a matriz do exemplo anterior,.

. e sua decomposição em valor singular, A == U. & Sigma. .

a é uma matriz mxn com classificação r.

O inverso de Moore-Penrose, A +, ou pseudoinverso de A é calculado a partir de sua decomposição de valor singular, A == U. & Sigma. , do seguinte modo:
(Ver Lay 7.4, p479)

Suponha que desejamos resolver o problema de mínimos quadrados A.x == b.

onde bHat é a projeção ortogonal de b na Col A == Col Ur.
Portanto, xHat é uma solução de mínimos quadrados de A.x == b.

Pode ser mostrado que este xHat, obtido através do inverso de Moore-Penrose de A,
é a solução de mínimos quadrados mais curta de A.x == b
(Ver Lay 7.4, p480)


Cronograma de Leituras

Leituras do curso.
LEC # TÓPICOS DA PALESTRA LEITURAS
1 Introdução a sistemas dinâmicos e controle, álgebra matricial Capítulo 1
2 Soluções de erros de mínimos quadrados de sistemas sobredeterminados / subdeterminados Capítulos 2 e 3
3 Normas de matriz, SVD, perturbações de matriz Capítulo 4
4 Perturbações de matriz capítulo 5
5 Modelos de espaço de estado, linearidade e invariância no tempo Capítulos 6 e ndash8
6 Soluções de modelos de espaço de estado Capítulos 10 e 11
7 Transformações de similaridade, modos de sistemas LTI, transformada de Laplace, funções de transferência Capítulo 12
8 Estabilidade, métodos de Lyapunov Capítulos 13 e 14
9 Estabilidade de E / S externa, funções de armazenamento Capítulo 15
10 Sistemas interconectados, feedback, estabilidade de E / S Capítulos 15 e 17
11 Normas do sistema Capítulo 16
12 Medidas de desempenho no controle de feedback Capítulo 18
13 Teorema de pequeno ganho, robustez da estabilidade Capítulo 19
14 Robustez da estabilidade (MIMO) Capítulos 20 e 21
15 Acessibilidade Capítulo 22
16 Acessibilidade: formulários padrão e canônicos, testes modais Capítulo 23
17 Observabilidade Capítulo 24
18 Minimalidade, realização, decomposição de Kalman, redução do modelo Capítulo 25
19 Feedback de estado, observadores, feedback de saída, pólos e zeros MIMO Capítulos 26 e ndash29
20 Minimalidade de interconexões, cancelamentos de pólo / zero Capítulo 30
21 Parametrização de todos os controladores de estabilização
22 Síntese de controle ideal: configuração do problema
23 H2 otimização
24 H& infin otimização

11.7: Decomposição de valor singular

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Os artigos de destaque representam a pesquisa mais avançada com potencial significativo de alto impacto no campo. Artigos de destaque são submetidos a convite individual ou recomendação dos editores científicos e passam por revisão por pares antes da publicação.

O artigo de referência pode ser um artigo de pesquisa original, um estudo de pesquisa substancial novo que frequentemente envolve várias técnicas ou abordagens, ou um artigo de revisão abrangente com atualizações concisas e precisas sobre os últimos avanços no campo que revisa sistematicamente os avanços mais interessantes na área científica literatura. Este tipo de papel fornece uma perspectiva sobre as futuras direções de pesquisa ou possíveis aplicações.

Os artigos do Editor’s Choice são baseados em recomendações de editores científicos de periódicos MDPI de todo o mundo. Os editores selecionam um pequeno número de artigos publicados recentemente na revista que eles acreditam ser particularmente interessantes para os autores ou importantes neste campo. O objetivo é fornecer um instantâneo de alguns dos trabalhos mais interessantes publicados nas várias áreas de pesquisa da revista.