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14.7: Problemas de revisão - matemática


1. Vamos (D = begin {pmatrix} lambda_ {1} & 0 0 & lambda_ {2} end {pmatrix} )

a) Escreva (D ) em termos dos vetores (e_ {1} ) e (e_ {2} ), e suas transposições.

b) Suponha que (P = begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix} ) seja invertível. Mostre que (D ) é semelhante a

[M = frac {1} {ad - bc} begin {pmatrix} lambda_ {1} ad - lambda_ {2} bc & - ( lambda_ {1} - lambda_ {2}) ab ( lambda_ {1} - lambda_ {2}) cd & - lambda {1} bc + lambda_ {2} ad end {pmatrix} ]

c) Suponha que os vetores ((a, b) ) e ((c, d) ) sejam ortogonais. O que você pode dizer sobre (M ) neste caso? ( ( textit {Hint:} ) pense sobre a que (M ^ {T} ) é igual.)

2. Suponha que (S = {v_ {1}, ..., v_ {n}} ) seja uma base ( textit {ortogonal} ) (não ortonormal) para ( mathbb {R} ^ { n} ). Então podemos escrever qualquer vetor (v ) como (v = sum_ {i} c ^ {i} v_ {i} ) para algumas constantes (c ^ {i} ). Encontre uma fórmula para as constantes (c ^ {i} ) em termos de (v ) e os vetores em (S ).

3. Sejam (u, v ) vetores linearmente independentes em ( mathbb {R} ^ {3} ), e (P = span {u, v} ) ser o plano medido por (u ) e (v ).

(a) O vetor (v ^ { perp}: = v - frac {u cdot v} {u cdot u} u ) está no plano (P )?

(b) Qual é o (cosseno do) ângulo entre (v ^ { perp} ) e (u ^ { perp} )?

(c) Como você pode encontrar um terceiro vetor perpendicular a (u ) e (v ^ { perp} )?

(d) Construa uma base ortonormal para ( mathbb {R} ^ {3} ) de (u ) e (v ).

(e) Teste sua fórmula abstrata começando com (u = (1,2,0) ) e (v = (0,1,1) ).

4. Encontre uma base ortonormal para ( mathbb {R} ^ {4} ) que inclui ((1,1,1,1) ) usando o seguinte procedimento:

(a) Escolha um vetor perpendicular ao vetor

[v_ {1} = begin {pmatrix} 1 1 1 1 end {pmatrix} ]

do conjunto de solução da equação da matriz

[v_ {1} ^ {T} x = 0. ]

Escolha o vetor (v_ {2} ) obtido do procedimento de eliminação gaussiana padrão que é o coeficiente de (x_ {2} ).

(b) Escolha um vetor perpendicular a (v_ {1} ) e (v_ {2} ) do conjunto de soluções da equação matricial

[ begin {pmatrix} v_ {1} ^ {T} v_ {2} ^ {T} end {pmatrix} x = 0. ]

Escolha o vetor (v_ {3} ) obtido do procedimento de eliminação gaussiana padrão com (x_ {3} ) como o coeficiente.

(c) Escolha um vetor perpendicular a (v_ {1}, v_ {2} ), e (v_ {3} ) do conjunto de solução da equação da matriz

[ begin {pmatrix} v_ {1} ^ {T} v_ {2} ^ {T} v_ {3} ^ {T} end {pmatrix} x = 0.

Escolha o vetor (v_ {4} ) obtido do procedimento de eliminação gaussiana padrão com (x_ {3} ) como o coeficiente.

(d) Normalize os quatro vetores obtidos acima.

5. Use o produto interno

[f cdot g: = int_ {0} ^ {1} f (x) g (x) dx ]

no espaço vetorial (V = span {1, x, x ^ {2}, x ^ {3}} ) para realizar o procedimento de Gram-Schmidt no conjunto de vetores ({1, x, x ^ { 2}, x ^ {3}} )

6. Use o produto interno no espaço vetorial (V = span {sin (x), sin (2x), sin (3x)} ) para realizar o procedimento de Gram-Schmidt no conjunto de vetores ({sin ( x), sin (2x), sin (3x)} ).

O que você suspeita sobre o espaço vetorial (span {sin (nx) | n in N} )?

O que você suspeita sobre o espaço vetorial (span {sin (ax) | a in R} )?

7.

  1. Mostre que se (Q ) é uma matriz ortogonal (n vezes n ) então $$ u cdot v = (Qu) cdot (Qv), $$ para qualquer (u, v in mathbb {R} ^ {n} ). Ou seja, (Q ) preserva o produto interno.
  2. (Q ) preserva o produto externo?
  3. Se ({u_ {1}, ..., u_ {n}} ) é um conjunto ortonormal e ({ lambda_ {1}, ···, lambda_ {n}} ) é um conjunto de números, então quais são os autovalores e autovetores da matriz (M = sum ^ {n} _ {i = 1} lambda_ {i} u_ {i} u ^ {T} _ {i} )?
  4. Como (Q ) muda esta matriz? Como os vetores próprios e os valores próprios mudam?

8. Escreva cuidadosamente o procedimento de Gram-Schmidt para o conjunto de vetores $$ begin {Bmatrix} begin {pmatrix} 1 1 1 end {pmatrix}, begin {pmatrix} 1 - 1 1 end {pmatrix}, begin {pmatrix} 1 1 - 1 end {pmatrix} end {Bmatrix}. $$ Você está livre para redimensionar o segundo vetor obtido no procedimento para um vetor com componentes inteiros?

9.

a) Suponha que (u ) e (v ) sejam linearmente independentes. Mostre que (u ) e (v ^ { perp} ) também são linearmente independentes. Explique porque ({u, v ^ { perp}} ) é uma base para (span {u, v} ).

b) Repita o problema anterior, mas com três vetores independentes (u, v, w ).

10. Encontre a fatoração (QR ) de $$ M = begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 - 1 & 2 & 0 - 1 & -2 & 2 end {pmatrix}. ]

11. Dados quaisquer três vetores (u, v, w ), quando (v ^ { perp} ) ou (w ^ { perp} ) do procedimento de Gram-Schmidt desaparecem?

12. Para (U ) um subespaço de (W ), use o teorema do subespaço para verificar se (U ^ { perp} ) é um subespaço de (W ).

13. Sejam (S_ {n} ) e (A_ {n} ) definir o espaço de (n vezes n ) matrizes simétricas e anti-simétricas, respectivamente. Estes são subespaços do espaço vetorial (M ^ {n} _ {n} ) de todas as matrizes (n vezes n ). O que é (dim M_ {n} ^ {n} ), (dim S_ {n} ) e (dim A_ {n} )? Mostre que (M ^ {n} _ {n} = S_ {n} + A_ {n} ). É (A ^ { perp} _ {n} = S_ {n} )? É (M ^ {n} _ {n} = S_ {n} oplus A_ {n} )?

14. O espaço vetorial (V = span {sin (t), sin (2t), sin (3t)} ) tem um produto interno: $$ f cdot g: = int_ {0} ^ {2 pi} f (t) g (t) dt. $$ Encontre o complemento ortogonal para (U = span {sin (t) + sin (2t)} ) em (V ). Expresse (sin (t) - sin (2t) ) como a soma dos vetores de (U ) e (U ^ {T} ).


Problemas do Prêmio Milênio

O Problemas do Prêmio Milênio foram sete problemas não resolvidos em matemática que foram declarados pelo Clay Mathematics Institute em 24 de maio de 2000. [1] Os problemas são a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, conjectura de Hodge, existência e suavidade de Navier-Stokes, problema P versus NP, Poincaré conjectura, hipótese de Riemann e existência de Yang-Mills e lacuna de massa. Uma solução correta para qualquer um dos problemas resulta em um prêmio de US $ 1 milhão sendo concedido pelo instituto ao (s) descobridor (es).

Até o momento, o único problema do Prêmio do Milênio resolvido é a conjectura de Poincaré, resolvida em 2003 pelo matemático russo Grigori Perelman. Ele recusou o prêmio em dinheiro.


Revisor de solução de problemas de matemática

Direção: Este exame é para testar sua capacidade de pensar em soluções para problemas quantitativos. Leia cada problema com atenção e determine a resposta correta a partir das opções.

91 comentários:

Eu realmente sou péssimo em matemática ... você pode me ensinar como resolver os problemas -_-

por favor me ensine como resolver * olhos de cachorro *

lol. para se tornar proficiente em matemática ... você precisa ter uma grande paixão pelo assunto matemática. Você deve ser fã de números por quantos anos.

Consegui apenas 75%, alguém pode me ajudar a obter a resposta correta nos números 9,10,14,17,18. Preciso de ajuda, por favor. temos nosso vestibular no sábado. tnx

como você consegue a resposta ... por favor, você pode me enviar uma resposta passo a passo ..

ha? Por quê? como você obteve a resposta em não. 18?

sim, conte-nos como você resolveu # 18 ?? MENTIROSO!

17. Um saco de ração para suínos alimentará 18 suínos em 54 dias. por quanto tempo vai alimentar 12 porcos?
18/54 = 12 / n então a multiplicação cruzada você obterá 18n = 648 e então multiplique cada lado por 1/18 de modo que você obterá este n = 648/18 então a resposta é 36

Por que 36? Os 18 porcos consomem mais do que 12? Como vai?

Eu acertei 10, 7 errado e depois o 3 ainda não respondi.

Minha resposta no número 17 é 81 dias.

hahahaha acho que quem fez esse teste é um shawol e exostan / kpopper aqui também / mesmo fandom.

sim eu!! im shawon, exostan, bana e exército.

Sim, isso mesmo, os nomes kpop tornaram isso legal e emocionante de resolver. Faz meu cérebro funcionar.

Hahahahahha eu estava tão feliz e envergonhado ao mesmo tempo e se meu inspetor fosse EXO? lels bababababa

haha 20/04 eu odeio matemática
meu cérebro vai explodir!

eu odeio matemática ! Mas eu quero aprender

Uau. Um fã kpop fez isso! Frio. : D

qual é o meu erro, qual número.

você pode mostrar a solução para cada problema. para entendermos profundamente o problema? ou como fica parecido com aquele blabla.

Acredito que as questões 10, 14 e 18 não tenham respostas corretas.

Só queria postar porque acho isso.
10. Fórmula para área = pi * r ^ 2 então é 3,1416 * 135 (ao quadrado) = 57255,66 sq.km

14. As informações fornecidas são% sem especificar qual porcentagem.

18. 28.000 - (8% de 28.000) = 25.760
então 25.760 - (5% de 25760) = 24.472 é o custo do conjunto.

A maneira mais rápida, porém, é 100% -8% = 92%, então 28.000 * 0,92 = 25760 * 0,95 = 24.472 (custo)

Então, se você obteve 85%, pode ser por isso :)

Só consegui 16 de 20! Estou realmente desapontado. Não respondi 7,8,10 e amp 18 corretamente.
Você pode me mostrar a solução deles?

mesma solução nos dias 10, 14 e 18.

senhor, posso perguntar a sua solução no dia 17?
estou meio confuso. por que a alimentação dos suínos durou 54 dias com 18 porcos, ao invés do menor? enquanto ambos têm os mesmos sacos de ração para porcos

você usará razão e proporção lá. é assim: 18/54 = 12 /? então cruze, multiplique 12 e 54 e depois divida por 18, eu sei que é meio difícil de acreditar que a alimentação durou menos do que com 18 porcos, mas é assim .. :))

eu acho que você entendeu errado, ulquiorra.

é meio irracional que uma oferta durou mais curto quando a demanda diminuiu.

vamos supor que um saco de alimentação suína pesa 1 kg. (por razões de simplicidade do que lógica)
para descobrir a taxa que um porco come todos os dias.
1kg (alimentação) / 54 (dias) = ​​0,0185 kg / dia
0,0185 kg / dia para 18 porcos.
cada porco come 0,0010288 kg / dia

então, 12 porcos consomem 0,012345679 kg / dia

um saco de 1 kg de ração para suínos deve durar 81 dias.

Sim. # 17 é realmente irracional. Como um grupo menor poderia consumir a comida mais rápido? Fiz a mesma solução que fiz com Marc.


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7,7. CAPÍTULO 7 REVER PROBLEMAS

Escreva o seno, cosseno e tangente de cada ângulo. Mantenha quatro casas decimais.

Encontre o ângulo θ em graus decimais, se

Avalie cada expressão. Dê sua resposta em graus.

a = 746 e A = 37,2 ° B = 52,8 ° b = 983 c = 1230

b = 3,72 e A = 28,5 ° B = 61,5 ° a = 2,02 c = 4,23

c = 45,9 e A = 61,4 ° B = 28,6 ° b = 22,0 a = 40,3

Encontre as componentes horizontal e vertical de um vetor que tem magnitude de 885 e faz um ângulo com a horizontal. 356 810

Encontre a magnitude da resultante de dois vetores perpendiculares com magnitudes de 54,8 e 39,4 e encontre o ângulo que a resultante faz com o vetor 54,8. 67,5 35,7 °

Um vetor tem componentes horizontais e verticais de 385 e 275. Encontre a magnitude e a direção desse vetor. 473 35,5 °

Um poste vertical em solo horizontal projeta uma sombra de 13,5 m de comprimento quando o ângulo de elevação do sol é de 15,4 °. Encontre a altura do mastro. 3,72 m

De um ponto 125 pés na frente de uma igreja, os ângulos de elevação do topo e da base de sua torre são 22,5 ° e 19,6 °, respectivamente. Encontre a altura do campanário. 7,27 pés

Um circuito tem uma resistência de 125 Ω, uma impedância de 256 Ω, uma reatância indutiva de 312 Ω e um ângulo de fase positivo. Encontre a reatância capacitiva e a fase.

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GO Math!

Houghton-Mifflin & # 8217s GO Math! é um programa abrangente de matemática do K-8, desenvolvido para apoiar os Padrões Estaduais do Núcleo Comum para Matemática e os Pontos Focais do Currículo do NCTM. O programa enfatiza as questões essenciais e grandes ideias com a profundidade de compreensão como o objetivo.

Como a matemática do dia-a-dia, vá para a matemática! fornece várias maneiras para os alunos resolverem problemas. Ele também é conhecido por sua instrução individualizada e abordagem gamificada.

Os detratores chamam-lhe No-Go Math! As razões variam de falta de profundidade a nenhuma linha de número e entediante por causa de sua repetição. Avalie-o com seus alunos e seu estilo de ensino em mente para determinar se ele se encaixa bem às suas necessidades.


Matemática

Clique no link para acessar as informações. Informações adicionais serão adicionadas ao Math Google Classroom.

6ª Conferência Anual & quotRaise the Bar & quot

RESERVE A DATA:

Janeiro de 2022

Washington High School

2021 Sunshine Math Competition

5 a 14 de abril de 2021

Álgebra 1, Álgebra 2, Geometria

Clique no link acima para calcular o anual

média para uma disciplina com um exame de fim de curso.


Matemática na Austrália

O Centro Internacional de Excelência para a Educação em Matemática (ICE-EM) concluiu recentemente um conjunto completo de livros didáticos de matemática e recursos de ensino relacionados (folhas de trabalho de casa, CD-ROMs, etc.), intitulado & # 8220ICE-EM Mathematics & # 8220, que cobre o período de transição entre a educação primária e secundária na Austrália (ou mais precisamente, do ensino fundamental para o 10º ano). Este pacote foi projetado por matemáticos profissionais (incluindo meu ex-orientador de graduação, Garth Gaudry) em colaboração com professores experientes em matemática primária e secundária, e de acordo com os requisitos curriculares de matemática do estado e território australiano. Mais algumas informações sobre este pacote, incluindo exemplos de capítulos e folhas de trabalho de casa, podem ser encontradas aqui.

Recentemente, recebi uma cópia dos livros didáticos (há seis livros de dois volumes ao todo, um para cada ano de escolaridade) para revisar para o ICE-EM. O pacote inteiro abrange cerca de 5.000 páginas em 12 volumes, minha análise se concentra em três volumes representativos, Transição 1A (que cobre a primeira metade do Ano 5), Secundário 2B (que cobre a segunda metade do Ano 8) e Secundário 4B (que cobre a última metade do ano 10).

Isenção de responsabilidade: Claro, estou revisando esses livros não como um educador de escola primária ou secundária, mas em vez disso como um matemático acadêmico profissional e educador matemático terciário. No entanto, em minha experiência com alunos do nível superior, certamente vi como quaisquer lacunas ou deficiências na educação matemática primária ou secundária podem aparecer para causar dificuldades conceituais significativas no nível superior, e é com essa perspectiva que estou abordando minha revisão desses textos.

Este texto, voltado para o nível do ano 5 (ou seja, idades de 10-11) cobre os fundamentos da aritmética e geometria: ele começa revisando a notação do número do lugar para os números naturais, passa pelas quatro operações aritméticas básicas (adição, subtração, multiplicação, divisão ) para números naturais (com foco em números com dois a quatro dígitos) e, em seguida, aplica essas operações para calcular comprimentos, áreas e volumes. Por fim, o texto apresenta os conceitos de frações e decimais. (O volume 1B segue esses tópicos introduzindo outros conceitos geométricos, como ângulos e coordenadas, bem como como fazer aritmética em frações e decimais.)

Em suma, este texto cobre os tópicos básicos da matemática do ensino fundamental, não a parte mais emocionante do assunto, é verdade, mas um componente fundamental incrivelmente importante, no entanto, tanto para aplicações no mundo real (o aluno típico aqui usará aritmética e geometria básicas na vida adulta com muito mais frequência do que álgebra, trigonometria ou cálculo), mas também para construir uma forte intuição sobre números, medidas e geometria que é absolutamente essencial para evitar que o ensino médio de matemática degenere em uma lista confusa de regras, fórmulas e algoritmos misteriosos. Portanto, é muito importante ensinar esse estágio do assunto de maneira adequada e completa.

O livro didático 1A, em minha opinião, atinge esse objetivo de maneira excelente. É necessária uma abordagem séria, objetiva e prática para esses conceitos básicos - há tópicos colaterais mais leves, como sistemas numéricos além de hindu-arábico (romano, egípcio, maia, binário) ou jogos matemáticos (como o clássico & # 8220fizz buzz & # 8220, que eu mesmo joguei quando criança), mas (como seria de esperar de um livro-texto básico em um assunto fundamental), ele não permite que essas diversões (ou qualquer outra metodologia de ensino excessivamente sofisticada) distraiam a missão básica do texto, que é transmitir os conceitos de número e medição de tal forma que os alunos tenham uma intuição e compreensão desses conceitos, bem como uma variedade de ferramentas para manipular esses conceitos quantitativamente.

Uma coisa que gostei particularmente no texto é que ele enfatizou consistentemente a multiplicidade de abordagens para qualquer problema. Por exemplo, um problema de subtração 34-16 é visto como retirando 16 de 34 ou encontrando o número que, quando adicionado a 16, resulta em 34, e muitas maneiras diferentes de calcular tal subtração são fornecidas, variando do padrão método de empréstimo de dígitos para métodos ad hoc, como subtrair 10 de 34 primeiro e, em seguida, subtrair outro 6, ou subtrair 20 e adicionar 4, etc., ou negociar uma das três dezenas em 34 em dez unidades, etc. Da mesma forma, a notação de posição é expressa usando a notação decimal padrão, mas também usando um ábaco ou sistemas numéricos históricos, geometricamente usando uma reta numérica ou fisicamente usando blocos de base 10 (que me lembro com carinho de minha própria infância como expressando o sistema decimal de uma forma particularmente clara maneiras). No nível superior, tenho visto uma tendência lamentável entre alguns alunos de economizar recursos mentais, lembrando-se de apenas um algoritmo ou método para cada tipo de problema e fechando a mente para todas as outras abordagens, levando assim, eventualmente, a uma compreensão muito frágil de matemática é, portanto, importante reforçar a mensagem de que existem várias abordagens para qualquer problema (e que é necessário realmente pensar a fim de decidir qual estratégia provavelmente será superior em qualquer situação) o mais cedo possível.

Em um espírito semelhante, os problemas no texto têm um sabor distintamente heterogêneo, misturando computação simbólica, problemas de palavras, experimentos e atividades de grupo e questões conceituais (por exemplo, qual é a diferença entre um fator e um múltiplo?) Juntos. Isso evita que o aluno aplique uma técnica memorizada para atacar esses problemas com base em palavras-chave ou padrões discernidos no texto do problema (outro hábito infeliz de alguns alunos do nível superior). Na verdade, a ênfase em todo o texto está na estratégia e conceituação, em vez de memorização, o material se desdobra naturalmente, em vez de ser dividido em uma série de & # 8220Definições & # 8221, & # 8220 Exemplos trabalhados & # 8221 e & # 8220Fatos-chave & # 8221 o que, infelizmente, muitas vezes dá a impressão não intencional de que todo o material entre essas caixas pode ser esquecido com segurança pelo aluno). [Claro, ainda existem definições, exemplos e fórmulas importantes aparecendo no texto, bem como resumos de discussões extensas, mas eles não são destacados a ponto de todas as outras exposições do material sofrerem como consequência.]

As seções sobre medição (de comprimentos, áreas, volumes, etc.) são bem equilibradas entre medição quantitativa (exata) e medição qualitativa (aproximada), é claro, ambos os tipos de medição são de vital importância em aplicações da vida real, e há uma interação saudável entre abordagens visuais, físicas, numéricas e fórmulas para medição em todo o texto. O sistema métrico de medição de comprimento & # 8211 que, é claro, será onipresente na vida adulta de um & # 8217s & # 8211 é abordado completa e claramente.

O texto evita totalmente qualquer uso de calculadoras neste estágio de nível primário, o que eu acho bastante sensato. Nesse estágio, os alunos estão apenas começando a formar uma ampla base de intuição numérica por meio de cálculos diretos, e interromper o desenvolvimento dessa intuição incentivando o uso de calculadoras seria bastante prejudicial. Claro, no nível secundário em que o assunto mudou para tópicos não numéricos, como álgebra, o uso de calculadoras para lidar com os cálculos numéricos agora rotineiros faz mais sentido, embora mesmo aí o texto apenas incentive o uso de calculadoras quando é particularmente necessário (por exemplo, para calcular funções trigonométricas ou exponenciais, ou para manipular decimais).

Como se pode esperar de um texto de matemática escrito em parte por matemáticos profissionais, cada conceito matemático é apresentado de maneira correta e clara. Por exemplo, ao cobrir frações, fica claro (e ilustrado através do dispositivo visual de dobrar uma tira de papel) que frações equivalentes como 1/2 e 3/6 são de fato iguais entre si em valor, embora sejam diferentes de forma notável, tenho visto professores de matemática do ensino médio nos Estados Unidos bastante confusos quanto a esse ponto.

Este texto, voltado para o nível do 8º ano (idades 13-14), está agora bem no currículo de matemática secundária, agora que todos os aspectos da aritmética racional e inteira, bem como da geometria básica foram cobertos em volumes anteriores, o texto agora cobre proporções e álgebra de nível intermediário (por exemplo, fatoração quadrática), apresenta aos alunos gráficos, tabelas, gráficos, estatísticas e probabilidade, e continua a cobertura da geometria com tópicos como congruência e provas em triângulo euclidiano e geometria circular, áreas e volumes de formas como paralelogramos, cilindros e triângulos.

A abordagem do texto é semelhante à do texto de nível primário revisado acima, embora haja necessariamente muito mais fórmulas agora, algumas das quais infelizmente precisam ser memorizadas, sendo difíceis de motivar por outros meios neste nível de matemática entendimento. O texto identifica as fórmulas desse tipo, mas isso é feito com moderação, e grande parte da discussão permanece mais conceitual do que prescritiva. (Por exemplo, a fórmula para a área de um círculo & # 8211 que é uma das poucas fórmulas que se recomenda memorizar & # 8211 é heuristicamente derivada da fórmula para a circunferência desse círculo, cortando e reorganizando o círculo em um quase retângulo, que é um argumento visualmente convincente que pode eventualmente ser tornado perfeitamente rigoroso quando se conhece o conceito mais avançado de limite.)

Como antes, a ênfase está em múltiplas perspectivas e métodos para lidar com qualquer conceito. Por exemplo, o conceito de uma razão é ilustrado por uma variedade de meios usando porcentagens, preços por unidade, taxas de câmbio monetárias, velocidades e outras taxas e escalas, bem como por meio de um conjunto diversificado de problemas (por exemplo, para estimar a altura de um edifício em uma fotografia, com base nas relações entre esse edifício e as pessoas retratadas na fotografia).

A seção de gráficos e estatísticas é bastante completa, com ênfase na interpretação de dados usando todos os tipos de formatos numéricos, tabulares e gráficos, e a explicação de conceitos-chave (como o de um ponto fora da curva em um conjunto de dados, ilustrado pelos tempos de conclusão de um jogo de sudoku) é claro.

Os problemas do tipo prova nas seções sobre geometria euclidiana e triangular são feitos de maneira bastante tradicional, com uma linha organizada de deduções das hipóteses à conclusão, justificadas a cada passo. Obviamente, essa é a maneira clássica pela qual os alunos são expostos pela primeira vez ao pensamento matemático rigoroso & # 8211 Eu mesmo fui ensinado dessa maneira & # 8211, mas às vezes os métodos antigos ainda são os melhores. (No nível terciário, seria necessário lidar com argumentos mais complexos e de forma livre, que muitas vezes são mais bem formulados usando uma mistura de equações matemáticas e sentenças de linguagem natural, em vez da estrutura classicamente elegante de uma prova de geometria euclidiana, exceto o ano 8 currículo de matemática dificilmente é o lugar para lidar com esses exemplos mais sofisticados de raciocínio matemático. Por meio de comparação, provas de qualquer tipo & # 8211 euclidiana ou não & # 8211 estão rapidamente desaparecendo dos currículos do ensino médio nos EUA, ou estão reservadas apenas para cursos avançados.)

Probabilidade é um assunto notoriamente sutil, cheio de armadilhas de raciocínio desleixado ou palavras vagas, mas os autores foram particularmente cuidadosos aqui para tornar o material aqui correto, inequívoco e claro, em particular contando com recursos visuais, como matrizes e árvores para facilitar intuição. (No nível superior, pode-se querer desafiar os alunos com os (muitos) paradoxos de probabilidade e outras sutilezas a fim de testar sua compreensão do assunto, mas deve-se, obviamente, evitar isso para alunos mais novos que estão apenas encontrando o assunto pela primeira vez.)

O texto termina com o início da geometria analítica & # 8211 em particular, mostrando que é possível combinar a manipulação algébrica de equações, como a manipulação geométrica de objetos, como linhas, triângulos e retângulos para obter uma compreensão mais profunda de ambos os assuntos. Este assunto é, obviamente, a porta de entrada para o cálculo e uma grande fração da matemática superior, e a conexão crucial entre álgebra e geometria que é forjada aqui (e persiste até os níveis mais elevados da matemática) é devidamente enfatizada.

Este é o último volume da série, cobrindo a segunda metade do ano 10 (idades 15-16) e lidando com os tópicos pré-cálculo padrão, como combinatória, trigonometria avançada, logaritmos, polinômios, geometria analítica e a teoria geral de funções e variáveis, bem como uma série de outros tópicos, como desvio padrão em estatística e geometria de círculo avançada, bem como alguns tópicos adicionais em probabilidade (como expectativa condicional e independência).

A trigonometria é um assunto particularmente intensivo em fórmulas, mas os autores aqui conseguiram restringir a atenção às fórmulas mais importantes (das quais as outras podem ser facilmente derivadas), bem como fornecer derivações breves mas precisas de cada uma delas. Algumas sutilezas importantes (por exemplo, o fato de que a regra do seno às vezes dá uma resposta ambígua ao reconstruir um triângulo de dois lados e um ângulo lateral) também são cuidadosamente apontadas.

O assunto da combinatória é muitas vezes o primeiro lugar onde os alunos são expostos ao raciocínio matemático conceitual conceitos envolvidos na contagem de vários tipos de combinações e permutações não são difíceis, mas aplicá-los corretamente requer pensamento claro e cuidadoso, e muitas vezes é necessário argumentar a partir dos primeiros princípios em vez de confiar em fórmulas memorizadas. Neste assunto, o papel dos problemas do dever de casa é particularmente importante, e os problemas aqui são cuidadosamente formulados e requerem reflexão real por parte do aluno. Esta seção também se encaixa bem com a seção subsequente sobre probabilidade, onde os problemas são igualmente desafiadores.

O assunto dos polinômios é considerado com alguma profundidade, tanto por si só quanto como uma motivação principal para a teoria mais geral das funções, que é o tópico final do livro e, claro, o ponto de partida para o cálculo. Gostei especialmente de como a divisão de polinômios foi explicada, enfatizando a analogia com a divisão longa de inteiros (evitando o formalismo abstrato da divisão sintética, que pode ser um pouco misteriosa se apresentada de forma abrupta). O tratamento das funções concentra-se em questões fundamentais, como os conceitos de domínio, intervalo e inverso de uma função. Tenho visto muitos estudantes de cálculo se atrapalharem devido a uma compreensão imperfeita desses conceitos básicos, então estou feliz em ver que o texto dedica um pouco de tempo e espaço a esses aspectos mundanos, mas importantes da teoria, na preparação para o material de cálculo nos anos finais do ensino médio.

Os livros didáticos são bem organizados em volumes e entre volumes (embora o texto de cada ano & # 8217s seja em sua maior parte independente, revisando os tópicos do ano anterior & # 8217s quando necessário). Os tópicos são frequentemente introduzidos várias vezes ao longo da série, na primeira vez de uma maneira conceitual e simplificada em que quaisquer sutilezas são cuidadosamente evitadas, com tratamentos mais detalhados ocorrendo em volumes posteriores. Tópicos relacionados tendem a ser agrupados, e os muitos ramos diferentes da matemática do ensino médio (álgebra, geometria, matemática discreta, etc.) permanecem conectados uns aos outros, portanto, cada seção do material reforça outras seções, levando a uma compreensão robusta da matemática como um todo unificado, em vez de uma coleção díspar de tópicos de nicho.

O nível de dificuldade desses textos é moderado: por um lado, existem poucos problemas que são deliberadamente complicados ou excepcionalmente desafiadores (embora os problemas de desafio no final de cada seção sejam certamente não triviais), mas por outro lado, o texto tem não foi & # 8220 entorpecido & # 8221 de forma alguma, e os alunos ainda terão que realmente entender o material, além de pensar sobre estratégia e memorizar algumas fórmulas e métodos chave, a fim de resolver os problemas apresentados.

Os alunos que são particularmente talentosos e interessados ​​em matemática provavelmente precisarão complementar este livro com material mais avançado ou sofisticado; os textos são focados nos fundamentos e nos tópicos matemáticos que serão relevantes para a maioria dos alunos australianos do ensino fundamental e médio. do que insistir em tópicos mais especializados, como conexões com matemática superior, aplicações sofisticadas do mundo real ou quebra-cabeças e paradoxos matemáticos, que eu mesmo teria achado fascinantes, mas talvez não sejam adequados para um texto geral. Em qualquer caso, esses alunos brilhantes podem (e devem) buscar mais informações sobre esses tópicos por conta própria, por exemplo, por meio da biblioteca ou da Internet.

Em resumo, estes são livros sérios e substanciais cujo foco está no conteúdo, conceitos e computação, com & # 8220 sinos e assobios & # 8221 na apresentação sendo definitivamente uma preocupação secundária, particularmente no nível secundário. Mas cobre todos os tópicos centrais importantes no currículo australiano de forma completa, cuidadosa, correta, coerente e eficiente, e um aluno atento certamente será capaz de obter uma base ampla e robusta em matemática do ensino fundamental e médio por meio desta série, o que é uma excelente preparação tanto para a vida cotidiana (e especialmente em qualquer carreira que enfatize o pensamento quantitativo), bem como em qualquer ensino superior de matemática que um aluno possa desejar seguir. Em minha opinião, eles são eminentemente adequados para uso geral nas escolas australianas e eu os endosso para esse propósito.


14.7: Problemas de revisão - matemática

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Your situation: I am a mom of five, ages 7-18.

Why you liked/didn't like the book: I love this program by Les Farmer. With this one program, I could teach a child with Down's Syndrome and a profitient math pupil. Gifted students are encouraged to move ahead while struggling students can move slower and still progress. The idea of printing math lessons only on one side of the paper is genius! The blank facing page is less distracting and it allows for plenty of room to work out the problem. The teacher can then easily see the child's work and know how to help him improve. Ms. Farmer is a Christian math teacher. She sees the value in using the Bible to improve word problem skill and graph-reading skills. The program is as its name suggests, a mastery program. A child could easily advance from this program to pre-Algebra in 7th grade.
The teacher's manual comes with practical, fun manipulatives. These are made from sturdy paper and will need to be cut out. Some require brass fasteners. I loved the multiplication wheels. My friend even borrowed some of our Mastering Mathematics manipulatives to help her own public-schooled children over the summer. Even without the whole program, those simple, easy-to-assemble manipulatives were very helpful. There seems to be few problems on each page, but this is to fool the child into practicing more on longer problems. Even a 1st grade child will soon be doing problems like 2147 + 7520 = ____ and 23 + 93 + 73 + 25 = _____ I wish I had found this when my oldest was in first grade.

I don't consider this a downfall, but this program does not directly teach time, measurement, or geometry. The teacher's guide and some of the simple paper manipulatives that are included in the course do allow for the separate teaching of these skills as the teacher deems needed. I grabbed a time and measurement workbook from WalMart and that worked for all my kids. My kids enjoyed the change in format for a short time and the workbooks were cheap as well as easy to use. Some may find that a downfall, so I will mention it here.

Any other helpful hints: Are you willing to think out of the box? That would help your child use this program as it was originally designed. However, Ms. Farmer has included an more standard scope and sequence as an alternative to her order.

Your situation: Homeschooling 4 children, pre-K through 5th grade.

Why you liked/didn't like the book: I first discovered Mastering Mathematics when looking for a program to tutor my high-school age niece in elementary math. Using the assessements we were able to pinpoint her gaps and fill the holes. Since then I have used Mastering Mathematics as my primary mathematics program for my oldest two children, currently 5th grade and 3rd grade. This year I'll begin another child in the addition level. I only use the workbooks and supplement with our own manipulatives and flash cards. The workbooks are clear, easy to follow, and not overwhelming. The children begin learning how to add large numbers right away, using only 1 and 2 facts, and build upon those facts through the addition book. Once addition is learned, then they move on to learn its opposite subtraction. My oldest daughter actually found it easy to work on multiplication once she finished the addition book. Both my older kids have a great sense of satisfaction when they finish a book and know they can "Add anything" (same with the other operations). My 5th grader has solely used this program, with supplemental worksheets from themathworksheetsite.com when additional practice was needed. Today she is doing what would be 6th grade math. My 3rd grader has a slower time learning and a harder time focuses, the simple pages and the fact everything builds on each other really makes him enjoy math. I look forward to using this program for my younger two children.

Any other helpful hints: - At some point, the bigger numbers in the addition book can be overwhelming for a young student. We found success in putting the book aside and working on another operations (multiplication or subtraction) or using supplemental worksheets from themathworksheetsite.com that focused on facts they still struggled with.

- Sometimes the kids want to learn more about the other operations as well. It's okay to be working in more than workbook at a time. My daughter ususally has two or three going at the same time and she chooses what she wants to work on. It all gets done, but in a way where she feels she has a choice in the outcome.

I have only used this program for my first child for 1st and now 2nd grade. you can buy the whole program with teachers manual and consumable workbooks and homemade flashcards and manipulatives for around 150 i think ( can't remember this so check website if interested). The pros to this program are simple teaching method - start with one type problem, master it then move on. The workbooks are very simple, no bright colorful distractive stuff. It is written to the student so if they read well they can do most on their own although my daughter would rather have me explain everything. she's too impatient to try to understand it on her own! The major drawback so far that I see with this program is the terribly disorganized teachers/parents manual. It jumps all over the place and its hard to find the information you need at times. Also the manipulatives take forever to put together although the games did motivate my daughter at first to enjoy math a little more. For math fact memorization they have you drill with flashcards but I like a written record so we are using calculadder for this. Bottom line on this program is right now I don't see anything better, and even though my daughter does not like drill she likes this program and seems to have a good understandig of math concepts so far. Also I noticed in reviews of Making Math Meaningful no Temp. and Time and measurement stuff is included. This program does have all of that.


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Note: A score of 25 or more on this 4th grade math test is a good indication that most skills taught in 4th grade were mastered.

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