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6.3: Operadores diferenciais lineares


Sua aula de cálculo ficou muito mais fácil quando você parou de usar a definição de limite da derivada, aprendeu a regra de potência e começou a usar a linearidade do operador derivado.

Exemplo 64

Seja (V ) o espaço vetorial de polinômios de grau 2 ou menos com adição padrão e multiplicação escalar.

[V = {a_ {0} cdot1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} | a_ {0}, a_ {1}, a_ {2} in Re } nonumber ]

Seja ( frac {d} {dx} dois pontos V rightarrow V ) o operador derivado. As três equações a seguir, junto com a linearidade do operador derivado, permitem tirar a derivada de qualquer polinômio de 2º grau:

[
frac {d} {dx} 1 = 0, ~ frac {d} {dx} x = 1, ~ frac {d} {dx} x ^ {2} = 2x ,. enhum número
]

Em particular

[
frac {d} {dx} (a_ {0} cdot1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2}) =
a_ {0} frac {d} {dx} cdot1 + a_ {1} frac {d} {dx} x + a_ {2} frac {d} {dx} x ^ {2}
= 0 + a_ {1} + 2a_ {2}. Não número
]

Assim, a derivada atuando em qualquer um dos infinitos polinômios de segunda ordem é determinada por sua ação para apenas três entradas.


Assista o vídeo: Como identificar equações diferenciais lineares e equações diferenciais não lineares (Outubro 2021).