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18.13: Scripts de Filme 13-14 - Matemática


G.13 Bases e complementos ortonormais

Todas as bases ortonormais para ( mathbb {R} ^ {2} )

Queremos encontrar todas as bases ortonormais para o espaço ( mathbb {R} ^ {2} ), e elas são ( {e_ {1} ^ { theta}, e_ {2} ^ { theta} } ) até reordenar onde

[ begin {array} {cc} e_ {1} ^ { theta} = begin {pmatriz} cos theta sin theta end {pmatrix}, & e_ {2} ^ { theta } = begin {pmatrix} - sin theta cos theta end {pmatrix}, end {array} ]

para algum ( theta in [0, 2 pi) ). Agora primeiro precisamos mostrar que para um ( theta ) fixo que o par é ortogonal:

[e_ {1} ^ { theta} cdot e_ {2} ^ { theta} = - sin theta cos theta + cos theta sin theta = 0. ]

Também temos

[ norm {e_ {1} ^ { theta}} ^ {2} = norm {e_ {2} ^ { theta}} ^ {2} = sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1, ]

e, portanto, ( {e_ {1} ^ { theta}, e_ {2} ^ { theta} } ) é uma base ortonormal. Para mostrar que toda base ortonormal de ( mathbb {R} ^ {2} ) é ( {e_ {1} ^ { theta}, e_ {2} ^ { theta} } ) para alguns ( theta ), considere uma base ortonormal ( {b_ {1}, b_ {2} } ) e observe que (b_ {1} ) forma um ângulo ( phi ) com o vetor (e_ {1} ) (que é (e_ {1} ^ {0} )). Assim, (b_ {1} = e_ {1} ^ { phi} ) e se (b_ {2} = e_ {2} ^ { phi} ), estamos feitos, caso contrário (b_ {2 } = -e_ {2} ^ { phi} ) e é a versão refletida. No entanto, podemos fazer a mesma coisa, exceto começar com (b_ {2} ) e obter (b_ {2} = e_ {1} ^ { psi} ) e (b_ {1} = e_ {2} ^ { psi} ) visto que acabamos de trocar dois vetores de base que correspondem a uma reflexão que pega um sinal de menos como no determinante.

Exemplo A (4 vezes 4 ) Gram-Schmidt

Vamos fazer um exemplo de como "Gram-Schmidt" alguns vetores em ( mathbb {R} ^ {4} ). Dados os seguintes vetores

[v_ {1} = begin {pmatrix} o 1 0 0 end {pmatrix}, , v_ {2} = begin {pmatrix} 0 1 1 0 end {pmatrix}, , v_ {3} = begin {pmatrix} 3 0 1 0 end {pmatrix}, , text {and} v_ {4} = begin {pmatrix } 1 1 0 2 end {pmatrix}, ]

começamos com (v_ {1} )

[v_ {1} ^ { bot} = v_ {1} = begin {pmatrix} 0 1 0 0 end {pmatrix}. ]

Agora começa o trabalho

begin {eqnarray *} v_ {2} ^ { bot} & = & v_ {2} - frac {(v_ {1} ^ { bot} cdot v_ {2})} { norm {v_ { 1} ^ { bot}} ^ {2}} v_ {1} ^ { bot} & = & begin {pmatrix} 0 1 1 0 end {pmatrix} - frac {1} {1} begin {pmatrix} 0 1 0 0 end {pmatrix} & = & begin {pmatrix} 0 0 1 0 end {pmatrix } end {eqnarray *}

Isso fica um pouco mais longo a cada passo.

begin {eqnarray *} v_ {3} ^ { bot} & = & v_ {3} - frac {(v_ {1} ^ { bot} cdot v_ {3})} { norm {v_ { 1} ^ { bot}} ^ {2}} v_ {1} ^ { bot} - frac {(v_ {2} ^ { bot} cdot v_ {3})} { norm {v_ { 2} ^ { bot}} ^ {2}} v_ {2} ^ { bot} & = & begin {pmatrix} 3 0 1 0 end {pmatrix} - frac {0} {1} begin {pmatrix} 0 1 0 0 end {pmatrix} - frac {1} {1} begin {pmatrix} 0 0 1 0 end {pmatrix} = begin {pmatrix} 3 0 0 0 end {pmatrix} end {eqnarray *}

Este último passo requer a subtração do termo da forma ( frac {u cdot v} {u cdot u} mathbf {u} ) para cada um dos vetores de base definidos anteriormente.

begin {eqnarray *} v_ {4} ^ { bot} & = & v_ {4} - frac {(v_ {1} ^ { bot} cdot v_ {4})} { norm {v_ { 1} ^ { bot}} ^ {2}} v_ {1} ^ { bot} - frac {(v_ {2} ^ { bot} cdot v_ {4})} { norm {v_ { 2} ^ { bot}} ^ {2}} v_ {2} ^ { bot} - frac {(v_ {3} ^ { bot} cdot v_ {4})} { norm {v_ { 3} ^ { bot}} ^ {2}} v_ {3} ^ { bot} & = & begin {pmatrix} 1 1 0 2 end {pmatrix} - frac {1} {1} begin {pmatrix} 0 1 0 0 end {pmatrix} - frac {0} {1} begin {pmatrix} 0 0 1 0 end {pmatriz} - frac {3} {9} begin {pmatrix} 3 0 0 0 end {pmatrix} & = & begin {pmatrix} 0 0 0 2 end {pmatrix} end {eqnarray *}

Agora (v_ {1} ^ { bot} ), (v_ {2} ^ { bot} ), (v_ {3} ^ { bot} ), e (v_ {4} ^ { bot} ) são uma base ortogonal. Observe que mesmo com vetores muito bonitos, acabamos tendo que fazer um pouco de aritmética. Esse é um bom motivo para usar programas como o matlab para verificar seu trabalho.

Outro exemplo de decomposição (QR )

Podemos alternativamente pensar na decomposição (QR ) como realizando o procedimento de Gram-Schmidt no ( textit {espaço da coluna} ), o espaço vetorial dos vetores coluna da matriz, da matriz (M ) A base ortonormal resultante será armazenada em (Q ) e o negativo dos coeficientes será registrado em (R ). Observe que (R ) é triangular superior pela forma como Gram-Schmidt funciona. Aqui faremos explicitamente um exemplo com a matriz

[M = begin {pmatrix} | & | & | m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} | & | & | end {pmatrix} = begin {pmatrix} 1 & 1 & -1 0 & 1 & 2 - 1 & 1 & 1 end {pmatrix}. ]

Primeiro normalizamos (m_ {1} ) para obter (m_ {1} ^ { prime} = frac {m_ {1}} { norm {m_ {1}}} ) onde ( norm {m_ {1}} = r_ {1} ^ {1} = sqrt {2} ) que dá a decomposição

[Q_ {1} = begin {pmatrix} frac {1} { sqrt {2}} & 1 & -1 0 & 1 & 2 - frac {1} { sqrt {2} } & 1 & 1 end {pmatrix}, R_ {1} = begin {pmatrix} sqrt {2} & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}. ]

Em seguida, encontramos

[t_ {2} = m_ {2} - (m_ {1} ^ { prime} cdot m_ {2}) m_ {1} ^ { prime} = m_ {2} - r ^ {1} _ {2} m ^ { prime} _ {1} = m_ {2} - 0 m_ {1} ^ { prime} ]

notar que

[m_ {1} ^ { prime} cdot m_ {1} ^ { prime} = norm {m_ {1} ^ { prime}} ^ {2} = 1 ]

e ( norm {t_ {2}} = r ^ {2} _ {2} = sqrt {3} ), e assim obtemos (m_ {2} ^ { prime} = frac {t_ {2}} { norm {t_ {2}}} ) com a decomposição

[Q_ {2} = begin {pmatrix} frac {1} { sqrt {2}} & frac {1} { sqrt {3}} & -1 0 & frac {1} { sqrt {3}} & 2 - frac {1} { sqrt {2}} & frac {1} { sqrt {3}} & 1 end {pmatrix}, R_ {2} = begin {pmatrix} sqrt {2} & 0 & 0 0 & sqrt {3} & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}. ]

Finalmente calculamos

begin {align *} t_ {3} & = m_ {3} - (m_ {1} ^ { prime} cdot m_ {3}) m_ {1} ^ { prime} - (m_ {2} ^ { prime} cdot m_ {3}) m_ {2} ^ { prime} & = m_ {3} - r ^ {1} _ {3} m_ {1} ^ { prime} - r ^ {2} _ {3} m_ {2} ^ { prime} = m_ {3} + sqrt {2} m_ {1} ^ { prime} - frac {2} { sqrt {3}} m_ {2} ^ { prime}, end {align *}

novamente observando (m_ {2} ^ { prime} cdot m_ {2} ^ { prime} = norm {m_ {2} ^ { prime}} = 1 ), e deixe (m_ {3 } ^ { prime} = frac {t_ {3}} { norm {t_ {3}}} ) onde ( norm {t_ {3}} = r ^ {3} _ {3} = 2 sqrt { frac {2} {3}} ). Assim, obtemos nossa decomposição (M = QR ) final como

[Q = begin {pmatrix} frac {1} { sqrt {2}} & frac {1} { sqrt {3}} & - frac {1} { sqrt {2}} 0 & frac {1} { sqrt {3}} & sqrt { frac {2} {3}} - frac {1} { sqrt {2}} & frac {1} {3 } & - frac {1} { sqrt {6}} end {pmatrix}, R = begin {pmatrix} sqrt {2} & 0 & - sqrt {2} 0 & sqrt {3 } & frac {2} { sqrt {3}} 0 & 0 & 2 sqrt { frac {2} {3}} end {pmatrix}. ]

Visão geral

Este vídeo considera conjuntos de soluções para sistemas lineares com três incógnitas. Estes são freqüentemente chamados de ((x, y, z) ) e pontos de rótulo em ( mathbb {R} ^ {3} ). Vamos trabalhar caso a caso:

  1. Se você não tem nenhuma equação, então qualquer ((x, y, z) ) é uma solução, então o conjunto de solução é todo ( mathbb {R} ^ {3} ). A imagem parece um pouco boba: (Figura 1)
  2. Para uma única equação, a solução é um plano. A imagem fica assim: (Figura 2)
  3. Para duas equações, devemos olhar para dois planos. Eles geralmente se cruzam ao longo de uma linha, então o conjunto de soluções também (geralmente) será uma linha: (Fig3)
  4. Para três equações, na maioria das vezes sua interseção será um único ponto, então a solução será única: (Fig4)
  5. É claro que as coisas podem dar errado. Duas equações de aparência diferente podem determinar o mesmo plano, ou equações piores podem ser inconsistentes. Se as equações forem inconsistentes, não haverá solução alguma. Por exemplo, se você tivesse quatro equações determinando quatro planos paralelos, o conjunto de soluções estaria vazio. Isso se parece com isto: (Fig5)

Fig1: (R ^ {3} )

Fig2: Plano em (R ^ {3} )

Fig3: Dois planos em (R ^ {3} ) Fig4: Três planos em (R ^ {3} )

Fig5: Quatro planos em (R ^ {3} )

Dica para a pergunta de revisão 2

Você deve considerar uma base ortogonal ( {v_ {1}, v_ {2}, ldots v_ {n} } ). Porque esta é uma base, qualquer (v in V ) pode ser exclusivamente expresso como

$$ v = c ^ {1} v_ {1} + c ^ {2} v_ {2} + cdots + v ^ {n} c_ {n} ,, ]

e o número (n = dim V ). Uma vez que esta é uma base ortogonal

$$ v_ {i} cdot v_ {j} = 0 ,, qquad i neq j ,. ]

Portanto, diferentes vetores na base são ortogonais:

No entanto, a base é ( textit {not} ) ortonormal, então não sabemos nada sobre os comprimentos dos vetores de base (exceto que eles não podem desaparecer).

Para completar a dica, vamos usar o produto escalar para calcular uma fórmula para (c ^ {1} ) em termos dos vetores de base e (v ). Considerar

$$ v_ {1} cdot v = c ^ {1} v_ {1} cdot v_ {1} + c ^ {2} v_ {1} cdot v ^ {2} + cdots + c ^ {n } v_ {1} cdot v_ {n} = c ^ {1} v_ {1} cdot v_ {1} ,. ]

Resolvendo para (c ^ {1} ) (lembrando que (v_ {1} cdot v_ {1} neq 0 )) dá

[c ^ {1} = frac {v_ {1} cdot v} {v_ {1} cdot v_ {1}} ,. ]

Isso deve ajudá-lo a começar a solucionar o problema.

Dica para o problema de revisão 3

Vamos trabalhar parte por parte:

  1. O vetor está (v ^ ( bot) = v- frac {u cdot v} {u cdot u} u ) no plano (P )? Lembre-se de que o produto escalar fornece um escalar e não um vetor, então se você pensar sobre esta fórmula ( frac { mathbf {u} cdot mathbf {v}} { mathbf {u} cdot mathbf {u }} ) é um escalar, então esta é uma combinação linear de ( mathbf {v} ) e ( mathbf {u} ). Você acha que está no intervalo?
  2. Qual é o ângulo entre (v ^ { bot} ) e (u )? Esta parte fará mais sentido se você pensar nas fórmulas de produto escalar que provavelmente viu pela primeira vez no cálculo multivariável. Lembre-se de que [ mathbf {u} cdot mathbf {v} = norm { mathbf {u}} norm { mathbf {v}} cos ( theta), ] e em particular se eles forem perpendicular ( theta = frac { pi} {2} ) e ( cos ( frac { pi} {2}) = 0 ) você obterá ( mathbf {u} cdot mathbf {v} = 0 ). Agora tente calcular o produto escalar de (u ) e (v ^ { bot} ) para encontrar ( norm { mathbf {u}} norm { mathbf {v ^ { bot}} } cos ( theta) ) begin {eqnarray *} u cdot v ^ { bot} & = & u cdot left (v - frac {u cdot v} {u cdot u} u direita) & = & u cdot v - u cdot esquerda ( frac {u cdot v} {u cdot u} direita) u & = & u cdot v - esquerda ( frac {u cdot v} {u cdot u} right) u cdot u end {eqnarray *} Agora termine de simplificar e veja se consegue descobrir o que ( theta ) tem que ser .
  3. Dada sua solução para o acima, como você pode encontrar um terceiro vetor perpendicular a (u ) e (v ^ { bot} )? Lembra-se de outras coisas que você aprendeu no cálculo multivariável? Este pode ser um bom momento para se lembrar do que o produto vetorial faz.
  4. Construa uma base ortonormal para ( Re ^ {3} ) de (u ) e (v ). Se você fez a parte (c), provavelmente encontrará 3 vetores ortogonais para fazer uma base ortogonal. Tudo que você precisa fazer para transformar isso em uma base ortonormal é transformá-los em vetores unitários.
  5. Teste suas fórmulas abstratas começando com [u = begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 end {pmatrix} text {e} v = begin {pmatrix} 0 & 1 & 1 end {pmatrix}. ] Experimente e, se ficar preso, tente fazer um esboço dos vetores que possui.

Dica para o Problema de Revisão 10

Este vídeo mostra uma maneira de resolver o problema 10 que é diferente do método descrito na aula. A primeira coisa é pensar em $$ M = begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 -1 & 2 & 0 -1 & 2 & 2 end {pmatrix} $$ como um conjunto de 3 vetores $$ v_ {1} = begin {pmatrix} 0 - 1 - 1 end {pmatrix}, v_ {2} = begin {pmatrix} 0 2 - 2 end {pmatrix} , v_ {3} = begin {pmatrix} 2 0 2 end {pmatrix}. $$ Então você precisa se lembrar que estamos procurando por uma decomposição $$ M = QR ]

onde (Q ) é uma matriz ortogonal. Assim, a matriz triangular superior (R = Q ^ {T} M ) e (Q ^ {T} Q = I ). Além disso, as matrizes ortogonais realizam rotações. Para ver isso, compare o produto interno (u cdot v = u ^ {T} v ) dos vetores (u ) e (v ) com o de (Qu ) e (Qv ) :

[(Qu) cdot (Qv) = (Qu) ^ {T} (Qv) = u ^ {T} Q ^ {T} Qv = u ^ {T} v = u cdot v. ]

Como o produto escalar não muda, aprendemos que (Q ) não muda os ângulos ou comprimentos dos vetores. Agora, aqui está um procedimento interessante: gire (v_ {1}, v_ {2} ) e (v_ {3} ) de modo que (v_ {1} ) esteja ao longo do eixo x, (v_ {2} ) está no plano xy. Então, se você colocá-los em uma matriz, obterá algo na forma

[ begin {pmatrix} a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f end {pmatrix} ]

que é exatamente o que não queremos para (R! )

Além disso, o vetor

[ begin {pmatrix} a 0 0 end {pmatrix} ]

é o (v_ {1} ) girado, então deve ter comprimento (|| v_ {1} || = sqrt {3} ). Portanto, (a = sqrt {3} ). O (v_ {2} ) girado é

[ begin {pmatrix} b d 0 end {pmatrix} ]

e deve ter comprimento (|| v_ {2} || = 2 sqrt {2} ). Também o produto escalar entre

[ begin {pmatrix} a 0 0 end {pmatrix} text {e} begin {pmatrix} b d 0 end {pmatrix} ]

é (ab ) e deve ser igual a (v_ {1} cdot v_ {2} = 0 ). (Que (v_ {1} ) e (v_ {2} ) eram ortogonais é apenas uma coincidência aqui ...). Assim, (b = 0 ). Portanto, agora sabemos a maior parte da matriz (R )

[R = begin {pmatrix} sqrt {3} & 0 & c 0 & 2 sqrt {2} & e 0 & 0 & f end {pmatrix} ]

Você pode trabalhar a última coluna usando as mesmas idéias. Assim, resta apenas calcular (Q ) a partir de

[Q = MR ^ {- 1}. ]

G.14 Matrizes Simétricas Diagonalizantes

(3 vezes 3 ) Exemplo

Vamos diagonalizar a matriz

[M = begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 2 & 1 & 0 0 & 0 & 5 end {pmatrix} ]

Se quisermos diagonalizar essa matriz, devemos ficar felizes em ver que ela é simétrica, pois isso significa que teremos autovalores reais, o que significa que a fatoração não será muito difícil. Como um bônus adicional, se tivermos três autovalores distintos, os autovetores que encontrarmos serão automaticamente ortogonais, o que significa que o inverso da matriz (P ) será fácil de calcular. Podemos começar encontrando os valores próprios deste

begin {eqnarray *} det begin {pmatrix} 1- lambda & 2 & 0 2 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 5- lambda end {pmatrix} & = & ( 1- lambda) begin {vmatrix} 1 - lambda & 0 0 & 5- lambda end {vmatrix} & & - , (2) begin {vmatrix} 2 & 0 0 & 5- lambda end {vmatrix} + 0 begin {vmatrix} 2 & 1 - lambda 0 & 0 end {vmatrix} & = & (1- lambda) (1- lambda) (5- lambda) + (-2) (2) (5- lambda) +0 & = & (1-2 lambda + lambda ^ {2}) (5- lambda) + (-2) (2) (5- lambda) & = & ((1-4) -2 lambda + lambda ^ {2}) (5- lambda) & = & (- 3-2 lambda + lambda ^ {2}) (5- lambda) & = & (1+ lambda) (3- lambda) (5- lambda) end {eqnarray *}

Portanto, obtemos ( lambda = -1, 3, 5 ) como autovetores. Primeiro encontre (v_ {1} ) para ( lambda_ {1} = -1 )

[(M + I) begin {pmatrix} x y z end {pmatrix} = begin {pmatrix} 2 & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 6 end {pmatriz} begin {pmatrix} x y z end {pmatrix} = begin {pmatrix} 0 0 0 end {pmatrix}, ]

implica que (2x + 2y = 0 ) e (6z = 0 ), o que significa qualquer múltiplo de (v_ {1} = begin {pmatrix} 1 - 1 0 end {pmatrix} ) é um autovetor com autovalor ( lambda_ {1} = -1 ). Agora para (v_ {2} ) com ( lambda_ {2} = 3 )

[(M-3I) begin {pmatrix} x y z end {pmatrix} = begin {pmatrix} -2 & 2 & 0 2 & -2 & 0 0 & 0 & 4 end {pmatriz} begin {pmatriz} x y z end {pmatriz} = begin {pmatriz} 0 0 0 end {pmatriz}, ]

e podemos descobrir que (v_ {2} = begin {pmatrix} 1 1 0 end {pmatrix} satisfaria (- 2x + 2y = 0 ), (2x-2y = 0 ) e (4z = 0 ).

Agora para (v_ {3} ) com ( lambda_ {3} = 5 )

[(M-5I) begin {pmatrix} x y z end {pmatrix} = begin {pmatrix} -4 & 2 & 0 2 & -4 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatriz} begin {pmatriz} x y z end {pmatriz} = begin {pmatriz} 0 0 0 end {pmatriz}, ]

Agora queremos que (v_ {3} ) satisfaça (- 4 x + 2y = 0 ) e (2 x-4 y = 0 ), o que implica (x = y = 0 ), mas desde não há restrições na coordenada (z ) que temos (v_ {3} = begin {pmatrix} 0 0 1 end {pmatrix} ).

Observe que os autovetores formam uma base ortogonal. Podemos criar uma base ortonormal redimensionando para torná-los vetores unitários. Isso nos ajudará porque se (P = [v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}] ) for criado a partir de vetores ortonormais, então (P ^ {- 1} = P ^ {T} ) , o que significa que calcular (P ^ {- 1} ) deve ser fácil. Então vamos dizer

[v_ {1} = begin {pmatrix} frac {1} { sqrt {2}} - frac {1} { sqrt {2}} 0 end {pmatrix}, , v_ {2} = begin {pmatrix} frac {1} { sqrt {2}} frac {1} { sqrt {2}} 0 end {pmatrix}, text {e} v_ {3} = begin {pmatrix} 0 0 1 end {pmatrix} ]

então nós temos

[P = begin {pmatrix} frac {1} { sqrt {2}} & frac {1} { sqrt {2}} & 0 - frac {1} { sqrt {2} } & frac {1} { sqrt {2}} & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix} text {e} P ^ {- 1} = begin {pmatrix} frac {1} { sqrt {2}} & - frac {1} { sqrt {2}} & 0 frac {1} { sqrt {2}} & frac {1} { sqrt {2}} & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix} ]

Então, quando calcularmos (D = P ^ {- 1} M P ), obteremos

[ begin {pmatrix} frac {1} { sqrt {2}} & - frac {1} { sqrt {2}} & 0 frac {1} { sqrt {2}} & frac {1} { sqrt {2}} & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix} begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 2 & 5 & 0 0 & 0 & 5 end {pmatrix} begin {pmatrix} frac {1} { sqrt {2}} & frac {1} { sqrt {2}} & 0 - frac {1} { sqrt {2}} & frac {1} { sqrt {2}} & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix} = begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end {pmatrix} ]

Dica para o problema de revisão 1

Para a parte (a), podemos considerar} qualquer número complexo (z ) como sendo um vetor em ( mathbb {R} ^ {2} ) onde a conjugação complexa corresponde à matriz ( begin {pmatrix} 1 e 0 0 e -1 end {pmatrix} ). Você pode descrever (z bar {z} ) em termos de ( norm {z} )? Para a parte (b), pense sobre quais valores (a in mathbb {R} ) pode assumir se (a = -a )? Parte (c), calcule e olhe de volta para a parte (a).

Para a parte (d), observe que (x ^ { dagger} x ) é apenas um número, então podemos dividir por ele. As partes (e) e (f) seguem diretamente das definições. Para a parte (g), primeiro observe que cada vetor linha é a (única) transposta de um vetor coluna, e também pense sobre por que ((AA ^ {T}) ^ {T} = AA ^ {T} ) para qualquer matriz (A ). Além disso, você deve ver que ( overline {x ^ {T}} = x ^ { dagger} ) e mencionar isso. Finalmente, para a parte (h), mostre que

[ frac {x ^ { dagger} M x} {x ^ { dagger} x} = overline { left ( frac {x ^ { dagger} M x} {x ^ { dagger} x } right) ^ {T}} ]

e reduza cada lado separadamente para obter ( lambda = overline { lambda} ).


Para sempre

(música etérea)

- Sim.

(câmera clicando)

(música etérea)

- Tudo bem, senhoras, vamos

mude para o santuário.

- Eu só, me dê um segundo.

(suspira)

(música sombria)

- Preparar?

(suspira)

- Senhor, dê-lhe força.

(música sombria)

(música leve de guitarra)

- Um dois três,

quatro cinco seis,

sete oito nove.

(música etérea)

(crianças rindo)

- 11.

- [Michael] 11.

- 12.

- [Michael] 12.

13, 14,

15, esse é o número após 14, 16.

Tudo bem, pessoal, vocês se saíram bem.

Te vejo na próxima semana, ok?

Bom, saia daqui.

Ben

- [Ben] Boom.

- Boom, baby.

- Sim.

- [Michael] Você vai ajudar

me sair na próxima semana?

- [Ben] Claro.

- [Michael] Tudo bem.

Até logo.

- Bom trabalho, cara, até segunda-feira.

- [Michael] Tenha uma boa semana.

- Você também.

- [Michelle] Eu não sou

exatamente quando era

que me apaixonei por Michael Boyum.

- Olá Michael?

- Sim, você é Michelle,

uh, irmã de Danny.

- [Michelle] Quando nos conhecemos,

Eu não penso em nenhum de nós

realmente sabia o que era o amor verdadeiro.

Eu sabia que ele era fofo.

Não tão fofo quanto ele pensava que era.

Com aqueles olhos azuis deslumbrantes como

Leonardo DiCaprio do Titanic

e havia apenas algo sobre ele

que conectou comigo.

- Pareceu divertido.

- Qualquer pessoa pode aderir se estiver interessado.

- Oh, isso, isso é legal.

Hum, sim, vou pensar sobre isso.

- Você realmente vai pensar sobre isso?

- Eu prometo.

- [Michael] Porque aqueles

os panfletos são caros.

- [Michelle] Oh.

- Você seria incrível nisso.

Nós vamos te dar um GI e

te ensinar alguns movimentos,

você vai ser um ninja

em, tipo, duas semanas.

- Minhas armas são enormes.

Estou apenas brincando.

Ok, vejo você, vejo você na escola.

- OK.

Ei, Michelle?

- Sim?

- Uh, você quer

uh, você quer ir

pega um milkshake comigo?

- Sim.

- [Michael] Sério?

- Sim claro.

- [Michael] Vamos

agora mesmo.

- [Michelle] Ok.

- Vamos.

- [Michelle] É uma coisa boa

Eu não estou ocupado.

- [Michael] Eu sei,

isso teria sido realmente estranho.

- Você sabe o que teria sido estranho?

Se eu sou tipo, oh, eu tenho

na verdade, tenho dever de casa de matemática.

- Você faz?

- [Michelle] Não.

- OK, bom.

- [Michelle] Claro, era apenas amor de cachorro,

mas pensamos que era mais.

Nós dois ficamos tristes por isso.

Você não precisa de seus sapatos?

- [Michael] Eu sou um ninja,

para que preciso de sapatos?

(Michelle ri)

Adoro ver voce sorrindo,

no sol da manhã

Me faz perceber

que você é o único

- Nós vamos encontrar.

- [Michelle] Não, não somos.

A internet diz que está aqui.

Ei, amigo, me dê mais um segundo.

- Ei, pessoal, vocês encontraram

essa coisa de geometria ainda?

- É um geocache, é

valorize aquele povo

colocado em uma caixa de todo o mundo.

- Sim, isso é ótimo, mantenha

indo, continue indo, mais longe.

- Aqui?

- 10 dólares dizem que ele deixa cair.

- 10 dólares dizem que você

jogue-o da ponte.

- Tudo bem.

- Ai!

- [Matt] Não consigo pegar! Lançamento perfeito!

(gritando)

- Ei, uh, mano,

Acho que encontrei seu tesouro bem aqui.

(gritando)

- Michelle, encontre o geocache.

(gritando)

- Então, vocês dois estão oficialmente saindo?

- Sim.

(tosse)

- [Matt] Ladrão de berço.

- Dois anos, idiota, dois anos.

- Muitas garotas namoram garotos mais velhos.

- Eu não sei, alguma coisa

sobre ele, ele é muito bom.

- [Michelle] Muito bom?

- Sim.

Meninos de sua idade têm uma mente limitada.

Essa coisa de cara legal é apenas uma atuação.

- Você poderia apenas deixar

a menina come em paz?

- Eu falei.

- Ooh, um idoso,

Eu sou apenas um aluno do segundo ano,

indefeso ao seu charme de classe alta.

- Eu gosto muito dela, ela é uma menina doce.

E os homens realmente deveriam namorar

mulheres mais jovens do que eles.

- Por que isso?

- Porque as mulheres amadurecem mais rápido que os homens.

A diferença de idade equilibra isso.

Michael Jacob Linn é um jogador profissional de pôquer que ganhou o evento número 49 no World Series of Poker 2010 por $ 609.493. mais e diabos

Enviado em 05 de agosto de 2018

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Os 25 melhores podcasts para crianças

Como as preocupações com o tempo de tela estão aumentando, muitos pais estão recorrendo aos podcasts como uma forma divertida (e muitas vezes educacional) de envolver as crianças - sem a tela. Mas como o conteúdo de áudio infantil inundou as ondas do rádio, pode ser um desafio encontrar o que é bom e apropriado. Felizmente, descobrimos alguns podcasts excelentes para crianças que você e sua família vão adorar ouvir. (Para mais opções de acordo com a idade, experimente estes podcasts para crianças ou estes favoritos para pré-adolescentes e adolescentes.) Se você não está muito familiarizado com como "fazer" podcasts, confira este guia que tem tudo de que você precisa para começar , incluindo uma lista de reprodutores de podcast.

Confira essas 25 opções incríveis para crianças - incluindo histórias perfeitas para dormir, exploração científica, notícias legais e muito mais.

Para toda a família

Mas por quê: um podcast para crianças curiosas
As crianças estão sempre fazendo perguntas aparentemente simples com respostas surpreendentemente complexas, como "Por que o céu é azul?" e "Quem inventou as palavras?" Este lindo programa de rádio / podcast quinzenal assume como respondê-los. Cada episódio apresenta várias perguntas enviadas por crianças, geralmente sobre um único tema e, com a ajuda de especialistas, dá respostas claras e interessantes. Melhor para: Todas as idades

Smash, Boom, Best
Este divertido e rápido spin-off do popular Brains On! podcast é um podcast de debate familiar. Um juiz infantil ouve e avalia os argumentos empolgantes e baseados em fatos de dois competidores. Com episódios como "Dragões versus Unicórnios" e "Pizza versus Tacos", as crianças ficarão fisgadas e nem perceberão que estão aprendendo a defender suas ideias ao longo do caminho. Melhor para: Crianças grandes

Os dois príncipes
Esta encantadora aventura de fantasia terá ouvintes de todas as idades grudados nas caixas de som até o fim. Dois jovens príncipes procuram salvar seus reinos e no processo enfrentam vilania, dragões, romance e uma floresta mágica cheia de perigo. Embora o beijo aconteça, ele é tratado com doçura e humor. Um conto de fadas para nossos tempos, este drama em áudio é uma ótima introdução ao mundo dos podcasts de ficção. Melhor para: Tweens

This American Life
Este popular programa de rádio da NPR é agora também o podcast mais baixado do país. Combina histórias pessoais, jornalismo e até comédia stand-up para uma hora de conteúdo cativante. O apresentador Ira Glass faz um trabalho magistral de atrair ouvintes e entrelaçar vários "atos" ou segmentos sobre um tema grande e identificável. Os adolescentes podem ser facilmente fisgados junto com seus pais, mas tenha em mente que muitos episódios têm conceitos maduros e palavrões frequentes. Melhor para: Adolescentes

Ótimo para aprender

Snacks para orelha
A trilha sonora cativante é a estrela deste podcast delicioso da dupla de música infantil Andrew & amp Polly (o que não é surpreendente, já que os apresentadores criaram canções para Wallykazam! e Sesame Studios) Mas este programa divertido também cobre uma variedade de tópicos, conversando com crianças reais, bem como com especialistas, proporcionando diversão cuidadosa para os mais jovens e seus adultos. Melhor para: Pré-escolares e crianças pequenas

KiDNuZ
As crianças gostam de ser informadas e engajadas, mas conversar com as crianças sobre as novidades pode ser um desafio. Este podcast, criado por mães que são jornalistas de transmissão, oferece aos jovens ouvintes cinco minutos de notícias para crianças (seguidos de um rápido questionário) todos os dias, cinco dias por semana. Perfeitamente cronometrado para acordar, KiDNuz permite que você comece o dia com uma nota mundana. Melhor para: Todas as idades

O Passado e o Curioso
Uma reminiscência do programa de TV História de Bêbado (sem o álcool), este divertido podcast apresenta pessoas contando histórias interessantes e pouco conhecidas da história, com ênfase na diversão e no humor. Embora não seja especificamente um podcast de música, cada episódio contém uma música muitas vezes boba que com certeza vai ficar presa na sua cabeça. Há até um segmento de teste, para que as crianças também aprendam algo. Melhor para: Todas as idades

Clube do Livro para Crianças
Este excelente podcast quinzenal apresenta alunos do ensino médio falando sobre um livro popular do ensino médio ou YA, bem como compartilhando suas recomendações de livros favoritos. A figura da rádio pública Kitty Felde comanda a discussão, e cada episódio inclui uma passagem do livro daquela semana lido por uma celebridade convidada. Melhor para: Pré-adolescentes e adolescentes

Melhores podcasts para dormir

Hora da história
Essas histórias de 10 a 15 minutos são uma maneira perfeita de fazer seu filho dormir. O podcast é atualizado a cada duas semanas, e cada episódio contém uma história para crianças, lida por um narrador reconfortante. Curto e doce, é tão reconfortante quanto ouvir seu livro de imagens favorito lido em voz alta. Melhor para: Pré-escolares e crianças pequenas

Be Calm on Ahway Island
Graças às vozes calmantes dos anfitriões e uma meditação pré-história, seu filho pode adormecer ouvindo este podcast antes mesmo de a história começar. Mas se não, as aventuras suaves na Ilha Ahway também os levarão para a terra dos sonhos. Este podcast ensina práticas de atenção plena para crianças, como "respirações profundas do dragão", que também podem ser levadas à vida desperta. Melhor para: Todas as idades

E se mundo
Com títulos de episódios malucos como "E se Legos estivesse vivo?" e "E se os tubarões tivessem pernas?", esta série pega perguntas ridículas do tipo "e se" enviadas por jovens ouvintes e as transforma em uma nova história a cada duas semanas. O apresentador Eric O'Keefe usa vozes bobas e personagens malucos para capturar a imaginação de jovens ouvintes com uma aleatoriedade parecida com Mad Libs. Melhor para: Crianças

Podcast de histórias
Um dos primeiros podcasts infantis a compreender as capacidades de contar histórias dos podcasts, este podcast ainda está forte com interpretações para crianças de histórias clássicas, contos de fadas e obras originais. Essas histórias mais longas com um vocabulário vívido são ótimas para crianças maiores que já passaram da idade dos livros ilustrados, mas que ainda amam uma boa história para dormir. Melhor para: Crianças grandes

Melhores podcasts para viagens rodoviárias

As aventuras alienígenas de Finn Caspian
Este podcast serializado conta a história de um menino de 8 anos que vive em uma estação espacial interplanetária que explora a galáxia e resolve mistérios com seus amigos. Sem violência ou conteúdo nervoso e com duas temporadas totalizando mais de 13 horas de conteúdo, esta aventura de ficção científica é perfeita para longos passeios de carro. Melhor para: Crianças e adolescentes

Flyest Fables
Na tradição de The NeverEnding Story, esta fábula original centra-se num livro mágico que leva os seus leitores a um mundo onde encontram forças para ultrapassar qualquer obstáculo. A escrita em si é linda e as histórias são envolventes. Os temas podem ser sérios (bullying, sem-teto), mas são tratados com sensibilidade e permanecem apropriados para crianças. Essas histórias poderosas e modernas certamente irão entreter e provocar conversas familiares significativas. Melhor para: Crianças grandes e pré-adolescentes

Eleanor Amplificada
Inspirado em programas de rádio antigos - completos com efeitos sonoros extraordinários - este empolgante podcast em série segue uma jornalista corajosa que embarca em aventuras em busca de seu grande furo. Tweens vão adorar a inteligência e ousadia de Eleanor e podem até mesmo captar algumas mensagens excelentes ao longo do caminho. Há até um episódio de "Road Trip Edition" com toda a primeira temporada em um único arquivo de áudio. Melhor para: Tweens

O inexplicável desaparecimento de Marte Patel
Esta série de mistério com script vencedora do Peabody Award foi chamada de Coisas estranhas para pré-adolescentes. Com um elenco de vozes de verdadeiros alunos do ensino fundamental, um enredo emocionante e cheio de suspense e conexões interativas, esta história sobre um menino de 11 anos procurando por seus amigos desaparecidos vai manter os pré-adolescentes ligados aos alto-falantes por horas - mais de cinco, para ser exato. Melhor para: Tweens

Bem-vindo a Night Vale
Estruturado como um programa de rádio comunitário para a cidade fictícia do deserto de Night Vale, o misterioso é comum e vice-versa nesta série deliciosamente misteriosa. Tanto o conceito inteligente quanto a voz suave do narrador Cecil Baldwin ajudaram o programa a desenvolver uma sequência de culto. É um pouco assustador e escuro para as crianças, mas os ouvintes mais velhos vão achar que é perfeito para um passeio noturno ao longo de uma rodovia deserta. Melhor para: Adolescentes

Melhores podcasts para amantes da ciência

Uau no mundo
O primeiro programa da NPR para crianças é exatamente o tipo de conteúdo envolvente e bem produzido que você esperaria dos líderes em séries de rádio e áudio. Os apresentadores Guy Raz e Mindy Thomas exalam alegria e curiosidade enquanto discutem as últimas notícias em ciência e tecnologia de uma forma agradável para as crianças e informativa para os adultos. Melhor para: Todas as idades

Brains On
Semelhante a But Why, este é outro programa / podcast de rádio que pega perguntas científicas enviadas por crianças e as responde com a ajuda de especialistas. O que torna este diferente é que ele tende a ficar um pouco mais velho, tanto nas perguntas quanto nas respostas, e tem um filho diferente como co-apresentador a cada semana. O resultado é um programa divertido que é tão bobo quanto educativo. Melhor para: Crianças e adolescentes

Queda
Frequentemente comparado a um Radiolab para crianças, este podcast não apenas aborda tópicos fascinantes, mas também tenta promover o amor pela própria ciência entrevistando cientistas sobre seus processos e descobertas. Os anfitriões não presumem que os ouvintes tenham formação científica - mas mesmo as crianças que pensam que não gostam de ciências podem mudar de ideia depois de ouvir este podcast. Melhor para: Crianças e adolescentes

Coisas que você deve saber
From the people behind the award-winning website HowStuffWorks, this frequently updated podcast explains the ins and outs of everyday things from the major ("How Free Speech Works") to the mundane ("How Itching Works"). Longer episodes and occasional adult topics such as alcohol, war, and politics make this a better choice for older listeners, but hosts Josh and Chuck keep things engaging and manage to make even complex topics relatable. And with over 1,000 episodes in its archive, you might never run out of new things to learn. Best for: Teens

Best Podcasts for Music Fans

Saturday Morning Cereal Bowl
Kids' music can be … well, annoying. But "kindie rock" (aka, indie rock for kids) is here to help. This two-hour podcast styled like a DJ radio show features new and old songs that kids will love, many by parents' favorite musicians. Selections are generally high-energy rock, folk, or even punk-inspired songs, but listeners will also hear mellower tunes, as well as bilingual (English/Spanish) songs and hip-hop hits for a well-rounded musical experience. Best for: All ages

Spare the Rock, Spoil the Child
Families can enjoy rock and roll without the downsides with this fun radio show/podcast. Each week there's a new playlist combining kids' music from artists such as They Might Be Giants, with kid-appropriate songs from artists that grown-ups will recognize, such as Elvis Costello, The Ramones, and John Legend. It's a perfect compromise for parents tired of cheesy kids' music. Best for: Kids

All Songs Considered
This weekly podcast from NPR covers the latest and greatest in new music with a particular focus on emerging artists and indie musicians. It covers a wide range of genres and even includes artist interviews and live performances. Some songs contain adult themes and explicit language, but teens will love discovering a new favorite that you've probably never heard of. Best for: Teens

Common Sense Media Editorial Intern Mandie Caroll contributed to this article.


Best Apps for Kids Age 13–17

The best mobile apps for teens can provide an engaging world of entertainment and enrichment. Our app reviews cover a wide range of teen interests, from arcade games and digital-creation apps to music and social networking. Talk with teens about a price limit on their mobile apps and keep an eye on their multiplayer activities. They also need to know what your expectations are for responsible, respectful online behavior. Check out our 15 Great Apps to Play with Tweens and Teens for even more top-rated titles to share with your teen.


In the numpy-stl documentation there is an example called “Creating Mesh objects from a list of vertices and faces”. This example was a perfect starting point for generating a STL file from a list of coordinates. The full example is shown below. It generates a STL file for a cube.

I saved this example code into a file called generate_cube.py. Running the file generates the STL file “cube.stl”. In the gif below, I import the STL file into my slicer, and as you can see, it appears as expected.

Importing the example cube into my slicer, Simplify3D.


Casino Heist - Fingerprint Hack Cheatsheet (+Info on comment)

I wrote a Python script that monitors the Steam screenshots folder for new screenshots, then applies image recognition to identify the 4 correct ones, highlight them in red and display on a second monitor.

Memorising this cheatsheet would probably have been easier :)

lmao the Overkill solution hahahahaha

If you were actually being serious then Iɽ like to have a look at that script lmao

Ah, clever! And yeah, it probably would have been easier to memorize or simply practice, but I doubt it would have been as satisfying.

When you finally know that GTA has better hacking than Watch_Dogs 2

Can I get that script tho?

just run gta v windowed, download the image and cheat

I still see some people (friends and randoms) struggle with the casino heist hacks, so I wanted to share a cheatsheet with the correct choices for the fingerprint hacks.

PS: I know some people upladed similar things before, but i've seen someone thinking that the solutions are the positions instead of the image, so just a cleaner version of the solutions with only the correct choices under each fingerprint.

I made one of the previous ones that were popular and it took me 2 minutes total. This one is way easier to use!

Thanks man much appreciated.

i did the casino past month so much i memorised all fingerprints and when im doing heist with random im not allowing them to hack at all, i dont trust them

Yeah, I also memorized them long ago, but a few friends and crew members couldn't hack properly so I made this for them, and why not share it with everyone else that might need it too

I usually ask randoms if they can hack, and only once I found someone that could, even when I only play with randoms when they are hosting because I use to play it with friends (hosting or helping)

I haven't memorized but i can do the hack in 3-6 sec

This definitely helps, but if you want to unlock doors blazingly fast, you need to remember the patterns in your head. When I had to hack with a picture like this on my phone, I needed 15 seconds per fingerprint (including the animations in the hacking UI) now I only need 7.5 seconds, so it's a 2x speed boost!

To exercise hacking, first try to unlock without help of a cheatsheet like this focus on correctness, not speed. My personal tip: all patterns you should select are on the center, right, or bottom part of the fingerprint.

Even if you can complete the hacking on your own, you can speed up the process further. This sounds crazy at first, but you can attempt to select the matching patterns without looking at the whole fingerprint. This is totally possible because none of the choices for one fingerprint are also candidate patterns for another one. Although some patterns resemble each other, they are differentiable.

Maybe consider spending about $400K purchasing a door security model in your Arcade, or share one with a friend who owns it. This allows you to practice on all the 4 possible fingerprints and offers you opportunity to practice off-mission.


Also go here:









All content is ©2007-21 Allison Shabet unless otherwise specified. Dead Winter is an action-filled modern fantasy/sci-fi horror story about a post-apocalypse living-dead zombie infested present-day world. It isn't really about zombies, though. It's about people. It follows the lives of a rag-tag group of survivors who struggle to further their agendas and live through a lawless, disease-torn reality where everyday job skills take on new uses and nothing ever really goes according to plan.


18.13: Movie Scripts 13-14 - Mathematics

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Geek. Poser. Jock. Beauty Queen. Wannabe. These are the labels that can last a lifetime. With an unforgettable rock score from Tony Award-winning composer, Jason Robert Brown, (Parade, The Last Five Years, Bridges of Madison County) 13 is a musical about fitting in – and standing out!

Evan Goldman is plucked from his fast-paced, preteen New York City life and plopped into a sleepy Indiana town following his parents divorce. Surrounded by an array of simpleminded middle school students, he needs to establish his place in the popularity pecking order. Can he situate himself on a comfortable link of the food chain. or will he dangle at the end with the outcasts.

Composed of a precocious cast, no character in 13 is older than the show's title, making it wonderful for theatre companies that feature young artists. In the Broadway production, even the band was made up of teens, which is a fantastic way to involve a diverse group of artists. The cast is comprised entirely of teenagers, but the stories that come to life here are ageless, the emotions they explore timeless, the laughter and the memories they provide priceless.


Equestria Daily Settings

A long time ago in a magical land called "The Internet", there was one super brony named Alan Back. In the time after season 1, Alan took it upon himself to transcribe scripts for all the different episodes and left them in a castle called Equestria Daily for all the bronies to enjoy and use as a resource. Wrapped in gold and .pdf, these downloads were magnificently useful and cause for much rejoicing.

Now, in this Time of No Pony, he has returned. Clad in a new form called Google Docs, he comes bearing full transcripts for every. Single. Episode. To date. Dear reader, if there are lines you have missed or a scene you need to know which pony said what and when, if you are trying to write a story or win an argument, if you are anywhere at any time in need of a pony and unable to watch. then you should look below this break. Oh, the treasures that await you inside.


Assista o vídeo: FILME MARIA CATARSE - FAZENDO ARTE FILMES - FCNT 2019 (Outubro 2021).