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5.5: Transformações Um para Um e Sobre Transformações


objetivos de aprendizado

  1. Determine se uma transformação linear é em ou um para um.

Seja (T: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) uma transformação linear. Nós definimos o alcance ou imagem de (T ) como o conjunto de vetores de ( mathbb {R} ^ {m} ) que são da forma (T left ( vec {x} right) ) (equivalentemente, (A vec {x} )) para algum ( vec {x} in mathbb {R} ^ {n} ). É comum escrever (T mathbb {R} ^ {n} ), (T left ( mathbb {R} ^ {n} right) ), ou ( mathrm {Im} esquerda (T direita) ) para denotar esses vetores.

Lemma ( PageIndex {1} ): Intervalo de uma transformação de matriz

Seja (A ) uma matriz (m vezes n ) onde (A_ {1}, cdots, A_ {n} ) denotam as colunas de (A. ) Então, para um vetor ( vec {x} = left [ begin {array} {c} x_ {1} vdots x_ {n} end {array} right] ) in ( mathbb {R} ^ n ),

[A vec {x} = sum_ {k = 1} ^ {n} x_ {k} A_ {k} ]

Portanto, (A left ( mathbb {R} ^ n right) ) é a coleção de todas as combinações lineares desses produtos.

Prova

Isso decorre da definição de multiplicação de matrizes.

Esta seção é dedicada ao estudo de duas caracterizações importantes de transformações lineares, chamadas de um para um e para. Nós os definimos agora.

Definição ( PageIndex {1} ): Um para Um

Suponha que ( vec {x} _1 ) e ( vec {x} _2 ) sejam vetores em ( mathbb {R} ^ n ). Uma transformação linear (T: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) é chamada um a um (frequentemente escrito como (1-1) ) se sempre que ( vec {x} _1 neq vec {x} _2 ) segue que: [T left ( vec {x} _1 right ) neq T left ( vec {x} _2 right) ]

De forma equivalente, se (T left ( vec {x} _1 right) = T left ( vec {x} _2 right), ) então ( vec {x} _1 = vec {x} _2 ). Assim, (T ) é um para um se nunca leva dois vetores diferentes para o mesmo vetor.

A segunda caracterização importante é chamada.

Definição ( PageIndex {2} ): Em

Seja (T: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) uma transformação linear. Então (T ) é chamado para se sempre que ( vec {x} _2 in mathbb {R} ^ {m} ) existir ( vec {x} _1 in mathbb {R} ^ {n} ) tal que ( T left ( vec {x} _1 right) = vec {x} _2. )

Muitas vezes chamamos uma transformação linear que é um-para-um de injeção. Da mesma forma, uma transformação linear que é muitas vezes chamada de sobreposição.

A seguinte proposição é um resultado importante.

Teorema ( PageIndex {1} ): Um para Um

Seja (T: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) uma transformação linear. Então (T ) é um para um se e somente se (T ( vec {x}) = vec {0} ) implica ( vec {x} = vec {0} ).

Prova

Precisamos provar duas coisas aqui. Primeiro, vamos provar que se (T ) é um para um, então (T ( vec {x}) = vec {0} ) implica que ( vec {x} = vec {0 } ). Em segundo lugar, mostraremos que se (T ( vec {x}) = vec {0} ) implica que ( vec {x} = vec {0} ), segue-se que (T ) é um para um. Lembre-se de que uma transformação linear tem a propriedade (T ( vec {0}) = vec {0} ).

Suponha primeiro que (T ) é um para um e considere (T ( vec {0}) ). [T ( vec {0}) = T left ( vec {0} + vec {0} right) = T ( vec {0}) + T ( vec {0}) ] e assim, adicionando o inverso aditivo de (T ( vec {0}) ) a ambos os lados, vê-se que (T ( vec {0}) = vec {0} ). Se (T ( vec {x}) = vec {0} ) deve ser o caso que ( vec {x} = vec {0} ) porque acabou de ser mostrado que (T ( vec {0}) = vec {0} ) e (T ) é assumido como um para um.

Agora suponha que se (T ( vec {x}) = vec {0}, ) então segue que ( vec {x} = vec {0}. ) If (T ( vec {v}) = T ( vec {u}), ) então [T ( vec {v}) - T ( vec {u}) = T left ( vec {v} - vec { u} right) = vec {0} ] que mostra que ( vec {v} - vec {u} = 0 ). Em outras palavras, ( vec {v} = vec {u} ), e (T ) é um para um.

Observe que esta proposição diz que se (A = left [ begin {array} {ccc} A_ {1} & cdots & A_ {n} end {array} right] ) então (A ) é um para um se e somente se sempre que [0 = sum_ {k = 1} ^ {n} c_ {k} A_ {k} ] segue que cada escalar (c_ {k} = 0 ).

Vamos agora dar uma olhada em um exemplo de um para um e na transformação linear.

Exemplo ( PageIndex {1} ): A One to One e Onto Linear Transformation

Suponha que [T left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} {rr} 1 e 1 1 & 2 end { array} right] left [ begin {array} {r} x y end {array} right] ] Então, (T: mathbb {R} ^ {2} rightarrow mathbb { R} ^ {2} ) é uma transformação linear. Está (T ) em? É um para um?

Solução

Lembre-se de que, como (T ) pode ser expresso como multiplicação de matrizes, sabemos que (T ) é uma transformação linear. Começaremos examinando o. Então suponha que ( left [ begin {array} {c} a b end {array} right] in mathbb {R} ^ {2}. ) Existe ( left [ começar {array} {c} x y end {array} right] in mathbb {R} ^ 2 ) de modo que (T left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} {c} a b end {array} right]? ) Se sim, então desde ( left [ begin {array} {c} a b end {array} right] ) é um vetor arbitrário em ( mathbb {R} ^ {2}, ) seguirá que (T ) é sobre.

Esta questão é familiar para você. Ele está perguntando se há uma solução para a equação [ left [ begin {array} {cc} 1 & 1 1 & 2 end {array} right] left [ begin {array} {c } x y end {array} right] = left [ begin {array} {c} a b end {array} right] ] Isso é a mesma coisa que pedir uma solução para o seguinte sistema de equações. [ begin {array} {c} x + y = a x + 2y = b end {array} ] Configure a matriz aumentada e a redução de linha. [ left [ begin {array} {rr | r} 1 & 1 & a 1 & 2 & b end {array} right] rightarrow left [ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & 2a-b 0 & 1 & ba end {array} right] label {ontomatriz} ] Você pode ver a partir deste ponto que o sistema tem uma solução. Portanto, mostramos que para qualquer (a, b ), há um ( left [ begin {array} {c} x y end {array} right] ) tal que ( T left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} {c} a b end {array} right] ) . Assim, (T ) está ligado.

Agora queremos saber se (T ) é um para um. Pela proposição [prop: onetoonematrices] é suficiente mostrar que (A vec {x} = 0 ) implica ( vec {x} = 0 ). Considere o sistema (A vec {x} = 0 ) dado por: [ left [ begin {array} {cc} 1 & 1 1 & 2 end {array} right] esquerda [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} {c} 0 0 end {array} right] ]

Este é o mesmo sistema fornecido por

[ begin {array} {c} x + y = 0 x + 2y = 0 end {array} ]

Precisamos mostrar que a solução para este sistema é (x = 0 ) e (y = 0 ). Configurando a matriz aumentada e a redução de linha, acabamos com [ left [ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 end {array} right] ]

Isso nos diz que (x = 0 ) e (y = 0 ). Voltando ao sistema original, isso diz que se

[ left [ begin {array} {cc} 1 & 1 1 & 2 end {array} right] left [ begin {array} {c} x y end {array } right] = left [ begin {array} {c} 0 0 end {array} right] ]

então [ left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} {c} 0 0 end {array} right] ]

Em outras palavras, (A vec {x} = 0 ) implica que ( vec {x} = 0 ). Pela proposição [prop: onetoonematrices], (A ) é um para um e, portanto, (T ) também é um para um.

Também poderíamos ter visto que (T ) é um para um de nossa solução acima para para. Olhando para a matriz dada por [ontomatriz], você pode ver que há um único solução dada por (x = 2a-b ) e (y = b-a ). Portanto, há apenas um vetor, especificamente ( left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} {c} 2a-b ba end {array} right] ) de modo que (T left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} { c} a b end {array} right] ). Portanto, por definição [def: onetoone], (T ) é um para um.

Exemplo ( PageIndex {2} ): An Onto Transformation

Seja (T: mathbb {R} ^ 4 mapsto mathbb {R} ^ 2 ) uma transformação linear definida por [T left [ begin {array} {c} a b c d end {array} right] = left [ begin {array} {c} a + d b + c end {array} right] mbox {para todos} left [ begin {array} {c} a b c d end {array} right] in mathbb {R} ^ 4 ] Prove que (T ) é sobre, mas não um para um.

Solução

Você pode provar que (T ) é de fato linear.

Para mostrar que (T ) está ligado, seja ( left [ begin {array} {c} x y end {array} right] ) um vetor arbitrário em ( mathbb {R } ^ 2 ). Tomando o vetor ( left [ begin {array} {c} x y 0 0 end {array} right] in mathbb {R} ^ 4 ) temos [T left [ begin {array} {c} x y 0 0 end {array} right] = left [ begin {array} {c} x + 0 y + 0 end {array} right] = left [ begin {array} {c} x y end {array} right] ] Isso mostra que (T ) está ligado.

Pela proposição [prop: onetoonematrices] (T ) é um para um se e somente se (T ( vec {x}) = vec {0} ) implica que ( vec {x} = vec {0} ). Observe que [T left [ begin {array} {r} 1 0 0 -1 end {array} right] = left [ begin {array} {c} 1 + - 1 0 + 0 end {array} right] = left [ begin {array} {c} 0 0 end {array} right] ] Existe um vetor diferente de zero ( vec { x} ) em ( mathbb {R} ^ 4 ) de modo que (T ( vec {x}) = vec {0} ). Segue-se que (T ) não é um para um.

Os exemplos acima demonstram um método para determinar se uma transformação linear (T ) é um para um ou para. Acontece que a matriz (A ) de (T ) pode fornecer essa informação.

Teorema ( PageIndex {2} ): Matriz de um para um ou sobre a transformação

Seja (T: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) uma transformação linear induzida pela matriz (m vezes n ) (A ). Então (T ) é um para um se e somente se a classificação de (A ) for (n ). (T ) é sobre se e somente se a classificação de (A ) é (m ).

Considere o exemplo [exa: ontotransformação]. Acima, mostramos que (T ) foi acertado, mas não um para um. Podemos agora usar este teorema para determinar este fato sobre (T ).

Exemplo ( PageIndex {3} ): An Onto Transformation

Seja (T: mathbb {R} ^ 4 mapsto mathbb {R} ^ 2 ) uma transformação linear definida por [T left [ begin {array} {c} a b c d end {array} right] = left [ begin {array} {c} a + d b + c end {array} right] mbox {para todos} left [ begin {array} {c} a b c d end {array} right] in mathbb {R} ^ 4 ] Prove que (T ) é sobre, mas não um para um.

Solução

Usando o teorema [thm: matrixonetooneonto] podemos mostrar que (T ) é on, mas não um para um da matriz de (T ). Lembre-se de que para encontrar a matriz (A ) de (T ), aplicamos (T ) a cada um dos vetores de base padrão ( vec {e} _i ) de ( mathbb {R} ^ 4 ). O resultado é a matriz A (2 vezes 4 ) dada por [A = left [ begin {array} {rrrr} 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 end { array} right] ] Felizmente, esta matriz já está em forma escalonada de linha reduzida. A classificação de (A ) é (2 ). Portanto, pelo teorema acima (T ) é sobre, mas não um para um.

Lembre-se de que se (S ) e (T ) são transformações lineares, podemos discutir seu composto denotado (S circ T ). O seguinte examina o que acontece se (S ) e (T ) estiverem ativados.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Composto de Transformações

Sejam (T: mathbb {R} ^ k mapsto mathbb {R} ^ n ) e (S: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) transformações lineares. Se (T ) e (S ) estiverem ativados, então (S circ T ) estará ativado.

Solução

Vamos ( vec {z} in mathbb {R} ^ m ). Como (S ) é on, existe um vetor ( vec {y} in mathbb {R} ^ n ) tal que (S ( vec {y}) = vec {z} ) Além disso, como (T ) é on, existe um vetor ( vec {x} in mathbb {R} ^ k ) tal que (T ( vec {x}) = vec {y } ). Assim, [ vec {z} = S ( vec {y}) = S (T ( vec {x})) = (ST) ( vec {x}), ] mostrando que para cada ( vec {z} in mathbb {R} ^ m ) existe e ( vec {x} in mathbb {R} ^ k ) tal que ((ST) ( vec {x}) = vec {z} ). Portanto, (S circ T ) está ligado.

O próximo exemplo mostra o mesmo conceito em relação às transformações um-para-um.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Composto de Transformações Um para Um

Sejam (T: mathbb {R} ^ k mapsto mathbb {R} ^ n ) e (S: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) transformações lineares. Prove que se (T ) e (S ) são um para um, então (S circ T ) é um para um.

Solução

Para provar que (S circ T ) é um para um, precisamos mostrar que se (S (T ( vec {v})) = vec {0} ) segue que ( vec {v} = vec {0} ). Suponha que (S (T ( vec {v})) = vec {0} ). Como (S ) é um para um, segue-se que (T ( vec {v}) = vec {0} ). Da mesma forma, como (T ) é um para um, segue-se que ( vec {v} = vec {0} ). Portanto, (S circ T ) é um para um.


Acho que você será capaz de responder a esta pergunta se alguém estiver disposto a explicar a terminologia:

  • Qual a frase & quotum a um& quot significa.
  • Qual é a grande letra maiúscula $ P $
  • Qual a palavra & quotpara& quot significa.
  • etc.

Qual é a grande letra maiúscula $ P $?

Resposta: $ P $ é o conjunto de todos os polinômios.

O que é um polinômio?

Alguns exemplos de polinômios são mostrados abaixo:

  • $ f (x) = 56,4 * x ^ 9 16,78 * x ^ 4 + x + 99,1 $
  • $ g (x) = 5 * x ^ 3 16,78 * x ^ 2 + x + 1,6 $
  • $ h (x) = pi * x ^ 100 $
  • $ i (x) = pi $
  • $ j (x) = 0 $
  • $ k (x) = x $

Ao contrário da maioria dos matemáticos, acho definição por exemplo para ser muito útil.

Um polinômio é uma função semelhante a $ 5 * x ^ <3> + x + <8> $ (sem funções seno, apenas $ x $ elevado a alguma potência)

Fazer o que Um a um e Para significar?

Suponha que você tenha uma máquina.

Existe um conjunto de entradas válidas para a máquina.

Existe um conjunto de saídas válidas para a máquina.

Suponha que as únicas entradas permitidas na máquina sejam $ -2 $, $ -1 $, $, 1 $ e 2 $

Pegue um pedaço de papel. Gire o papel de lado e desenhe uma linha vertical no meio do papel para que o papel seja cortado em duas metades.

Desenhe cada entrada para a máquina à esquerda da linha.

Desenhe cada saída para a máquina à direita da linha.

Uma máquina de entrada-saída é & quotum a um& quot quando cada ponto de saída tem zero ou uma linha saindo dele.

Se a máquina for $ (x ^ 2) $, então observe que as entradas $ -2 $ e 2 $ têm a mesma saída 4 $. Assim, a máquina $ (x ^ 2) $ é NÃO & quotum a um. & quot

O fraseado & quotum a um& quot vem de uma espécie de suposição implícita de que cada ponto nas entradas tem exatamente uma linha saindo dele. Quando isso é verdade, cada ponto na entrada é correspondido a exatamente um ponto na saída. É uma relação muito pessoal.

Um exemplo de relacionamento um para um seria os casais de uma aldeia, desde que:

  • todo marido tem no máximo uma esposa.
  • toda esposa tem no máximo um marido.
  • todo mundo é casado
    • não há solteiros ou solteirões
    • não há homens ou mulheres solteiros

    O que significa & quot * Onto & quot?

    O diagrama de pontos e linhas é válido se cada ponto à direita tiver pelo menos uma linha saindo dele.

    Uma máquina com entradas e saídas é & quotpara& quot quando, para qualquer saída, há pelo menos uma entrada que produz essa saída.

    Por exemplo, uma máquina de venda automática de estilo antigo pode combinar combinações de números e letras (como 4E) para refrigerante. Suponha que houvesse um refrigerante (por exemplo, Dr. Pepper) sem nenhum código de letra-número (ou botão) que um cliente pudesse inserir para obter aquela marca de refrigerante. isso seria um problema. Ninguém jamais compraria. O refrigerante ficaria dentro da máquina por anos até que eles substituíssem a máquina por uma que tivesse uma interface de tela de toque com imagens em vez de letras e números.

    O derivado

    Em seus comentários, você disse que não fez cálculo.

    Portanto, você provavelmente não sabe o que é uma derivada.

    Observe que o derivado de $ x ^

    $ é $ x ^ <(p-1)> $

    • Multiplique o novo pelo antigo expoente.
    • Subtraia um do expoente antigo para obter o novo expoente.

    Por exemplo, a derivada de $ 2 * x ^ <7> $ é $ 2 * 7x ^ <6> $

    Se você tiver muitas coisas adicionadas, tire a derivada de cada peça e some as peças.

    Anti-Derivados

    O anti-derivado desfaz a obtenção da derivada.

    Existem muitos $ mathtt$ de $ (x ^

    )$ .
    Normalmente, $ left ( dfrac> + c right) $ é a anti-derivada de $ (x ^

    )$ ,
    onde $ c $ é qualquer número antigo, como $ 25 $ ou $ 31,662 $

    A anti-derivada é o oposto da derivada.

    A única exceção é $ p = -1 $. Nesse caso, $ x ^ p = dfrac <1>$

    Se $ p = -1 $, a derivada de $ x ^ p $ é $ log ( vert x vert) $

    Lembrete: Qual foi a sua pergunta para o dever de casa

    Determine se a transformação linear $ T $ é um-para-um, para ou nenhum.

    $ T: P → P $ definido por $ T (p) = p ′ $
    Para qualquer polinômio $ p $, $ T (p) $ é a derivada de $ p $

    Reescrevendo o seu exercício de lição de casa

    A transformação derivada é & quotum a um& quot se (e somente se) não existirem dois polinômios diferentes $ p $ e $ q $ de forma que $ p ′ $ seja a derivada de $ p $ e $ p ^ < prime> $ seja a derivada de $ q $

    É a transformação derivada & quotum a um& quot?

    Dica para & quotum a um& quot:
    A derivada de qualquer constante (por exemplo, $ 1 $, $ 2 $ ou $ pi $) é zero.
    Um anti-derivado de $ é qualquer número constante antigo, como $ 59 $

    Além disso, está sendo questionado se, para qualquer polinômio $ p ^ < prime> $, há pelo menos um polinômio $ p $ tal que a derivada de $ p $ é $ p ^ < prime> $? Se sim, então a transformação derivada é & quotpara& quot


    O que se deve fazer?

    Felizmente vivemos em uma época em que existe uma infinidade de opções para facilitar nosso jogo hoje. Vou abordar alguns dos prós e contras de uma opção que você talvez não tenha pensado muito: jogar com um GM e um único jogador, também conhecido como um para um jogo.

    O jogo um a um parece estar ganhando força nos últimos anos, com o lançamento recente da Pelgrane Press de Cthulhu Confidencial, Sine Nomine Publishing’s Heróis escarlates, e da Expeditious Retreat Press’s 1 em 1 aventuras linha para o Pathfinder RPG vindo à mente.

    Kelly e eu nos envolvemos em jogos um a um regularmente (mentes fora da sarjeta, estamos falando de dados e fichas de personagem aqui) e descobrimos que é uma ótima maneira de desfrutar o tempo um com o outro, mas há algumas armadilhas para ter em mente também.


    Definição (transformações um para um)

    é um a um se, para cada vetor

    Observação

    Outra palavra para um a um é injetivo.

    Aqui estão algumas maneiras equivalentes de dizer que

    Aqui estão algumas maneiras equivalentes de dizer que

    tem mais de um solução

    Exemplo (funções de uma variável)
    Exemplo (uma transformação de palavra real: robótica)
    Teorema (transformações de matriz um-para-um)

    ser a transformação da matriz associada. As seguintes declarações são equivalentes:

    Prova

    As afirmações 1, 2 e 3 são traduções uma da outra. A equivalência de 3 e 4 segue a partir desta observação-chave na Seção 3.1: se

    tem apenas uma solução, então

    também tem apenas uma solução ou é inconsistente. A equivalência de 4, 5 e 6 é uma consequência desta importante nota na Seção 3.2, e a equivalência de 6 e 7 segue do fato de que a classificação de uma matriz é igual ao número de colunas com pivôs.

    Lembre-se disso equivalente significa que, para uma dada matriz, ou todas as afirmações são verdadeiras simultaneamente ou todas são falsas.

    Exemplo (uma transformação de matriz que é um para um)
    Exemplo (uma transformação de matriz que não é um para um)
    Exemplo (uma transformação de matriz que não é um para um)
    Exemplo (uma transformação de matriz que não é um para um)

    Os três exemplos anteriores podem ser resumidos da seguinte forma. Suponha que

    é uma transformação de matriz que é não um a um. Pelo teorema, há uma solução não trivial de

    Isso significa que o espaço nulo de

    não é o espaço zero. Todos os vetores no espaço nulo são soluções para

    Se você calcular um vetor diferente de zero

    no espaço nulo (reduzindo a linha e encontrando a forma paramétrica do conjunto de solução de


    1 resposta 1

    Aparentemente, uma pessoa não pode pertencer a mais de uma empresa. Portanto, você pode tornar Primário um atributo de Pessoa. Reduz a complexidade do modelo: você só precisa da associação um-para-muitos. No entanto, aumenta a complexidade da lógica de negócios: (1) Você precisa obter o contato principal por

    o que não é tão fácil quanto ler uma propriedade de navegação e (2) você precisa de lógica para garantir que apenas uma Pessoa seja a principal.

    Se quiser manter o modelo atual, primeiro salve a empresa e seus contatos e, em seguida, atribua o contato principal em uma segunda transação. Quando você faz isso em uma transação, o EF pode definir as duas chaves estrangeiras geradas ao mesmo tempo. Ele deve criar uma empresa primeiro para o FK in Person, e Person primeiro para o FK in Company.


    5.5: Transformações Um para Um e Sobre Transformações

    Para os pais

    Fornecer uma experiência segura de Internet para nossos alunos é uma das principais prioridades no Distrito Escolar Cinco de Anderson. Os Chromebooks fornecem aos alunos acesso filtrado a uma grande variedade de recursos da Internet. O console de gerenciamento do Chromebook do Google Apps for Education nos permite gerenciar Chromebooks e suas configurações remotamente. Todos os professores do Anderson School District Five têm acesso ao Google Classroom, que permite que os professores acessem facilmente os documentos dos alunos, bem como monitorem as atividades dos alunos durante as aulas, por meio da integração com utilitários de terceiros.

    O console de gerenciamento também nos permite filtrar conteúdo para alunos que levam Chromebooks para casa.

    Use os links a seguir para acessar recursos que podem ser úteis:


    5.5: Transformações Um para Um e Sobre Transformações

    Funções, mapeamentos, mapas, transformações, operadores. Onto, um a um, sobrejetivo, injetivo, bijetivo, identidade, produto, funções inversas. Grupo de transformações em um conjunto. Permutação. Grupo simétrico Sn.

    Def. Definir. Uma coleção finita ou infinita de objetos completamente arbitrários.

    1) O conjunto de números 1, 2,. , n

    2) O conjunto de variáveis ​​independentes x1, x2,. , xn

    3) O conjunto de todos os pontos de um plano

    4) O conjunto de todos os triângulos no plano

    5) O conjunto de todos os rios da China.

    Def. Função (ou mapeamento, mapa, transformação, operador). Suponha que a cada elemento em um conjunto A seja atribuído, de uma maneira ou de outra, um elemento único de um conjunto B. Chamamos tais atribuições de função (ou mapeamento, mapa, transformação, operador). Se deixarmos f denotar essas atribuições, escrevemos

    que lê & # 8220f é uma função de A em B & # 8221. O conjunto A é denominado domínio de f e B é denominado co-domínio de f. Se a função atribui b & # 949 B a & # 949 A, dizemos que b é a imagem de a. A imagem de a é denotada por f (a), onde se lê & # 8220f de a & # 8221. É chamado o valor de f em a ou a imagem de um sob f . O elemento a é chamado de pré-imagem de b. Se P for qualquer subconjunto de A, então f (P) denota o conjunto de imagens dos elementos de P e se Q for qualquer subconjunto de B, então f -1 (Q) denota o conjunto de elementos de A que são mapeados em Q. Chamamos f (P) a imagem de P e f -1 (Q) a imagem inversa ou pré-imagem de Q.

    Syn. mapeamento, mapa, transformação, operador

    Em uma função de um conjunto A em um conjunto B, vários elementos de A podem todos formar a imagem no mesmo elemento em B. Na Fig. 1, os elementos aeb são imagens em 1. Além disso, todo o conjunto B pode não ser coberto. Veja a Figura 1.

    Alcance de uma função. O intervalo de uma função consiste nos elementos do co-domínio para o qual a função é mapeada. O co-domínio consiste em todo o conjunto de elementos que estão sendo mapeados. Na Fig. 1, o intervalo consiste nos elementos 1, 2, 3 e 5, enquanto o co-domínio consiste em todo o conjunto B. O intervalo de

    é denotado por f (A). Observe que f (A) é um subconjunto de B.

    Os objetos dos conjuntos A e B podem ser bastante arbitrários. O conjunto A pode representar inteiros, números reais, números complexos, vetores, matrizes, funções, etc. Da mesma forma para o conjunto B.

    1] A área de um círculo é uma função do raio, o seno de um ângulo é uma função do ângulo, o logaritmo de um número é uma função do número. A expressão y = 3x 2 + 7 define y como uma função de x onde é especificado que o domínio é (por exemplo) o conjunto de números reais.

    2] A equação da matriz y = Ax onde A é uma matriz mxn e xey são vetores de dois espaços vetoriais diferentes define uma função de um espaço vetorial para outro. O domínio consiste no espaço vetorial V e o co-domínio consiste no espaço vetorial W com x em V e y em W. A matriz A representa a função que pode ser vista como um operador & # 8220 & # 8221 que opera em um vetor para produzir outro .

    é uma função que atribui um número real a uma função real f (x) definida no intervalo [0,1].

    Para funcionar. Diz-se que uma função é & # 8220onto & # 8221 se cada elemento no co-domínio B for a imagem de algum elemento no domínio A. Vários elementos de A podem, no entanto, mapear no mesmo elemento de B. Consulte a Figura 2.

    Syn. função sobrejetiva, sobreposição.

    Função um para um. Uma função é considerada & # 8220 um-para-um & # 8221 se cada elemento do domínio A for mapeado para um elemento diferente do co-domínio B. Elementos diferentes são imagem em elementos diferentes. Não há imagem de dois elementos no mesmo elemento. No entanto, todo o conjunto de B pode não ser coberto. Veja a Figura 3

    Syn. função injetiva, injeção.

    Função bijetiva. Uma função que é um para um e para.

    Funções iguais. Se feg são funções definidas no mesmo domínio D e se f (a) = g (a) para todo a D, então as funções feg são iguais e escrevemos f = g.

    Função de identidade. Seja A qualquer conjunto. Seja a função f: A & # 8594 A definida pela fórmula f (x) = x, ou seja, f atribua a cada elemento em A o próprio elemento. Então f é chamada de função de identidade ou transformação de identidade em A. É a função I: A & # 8594 A que deixa todos os pontos de A fixos.

    Função constante. Uma função f de A em B é chamada de função constante se o mesmo elemento b B é atribuído a todos os elementos em A. Em outras palavras, f: A & # 8594 B é uma função constante se o intervalo de f consiste em apenas um elemento. Veja a Figura 4.

    Exemplo . Seja f: R & # 8594 R definido pela fórmula f (x) = 3. Então f é uma função constante, uma vez que 3 é atribuído a todos os elementos do domínio R.

    Função do produto. Seja f uma função de A em B e seja g uma função de B, o co-domínio de f, em C. Veja a Figura 5. Seja a um elemento em A. Então sua imagem f (a) está em B que é o domínio de g. Assim, podemos encontrar a imagem de f (a) sob o mapeamento g, ou seja, podemos encontrar g (f (a)). Assim, temos uma regra que atribui a cada elemento a A um elemento correspondente g (f (a)) C. Em outras palavras, temos uma função de A em C. Esta nova função é chamada de função produto ou função de composição de f e g e é denotado por

    Mais resumidamente, se f: A & # 8594 B e g: B & # 8594 C, então definimos uma função (g f): A & # 8594 C por

    Aqui, & # 8801 é usado para significar igual por definição.

    Associatividade de produtos de funções. Deixe se f: A & # 8594 B, g: B & # 8594 C e h: C & # 8594 D.

    Então, conforme ilustrado na Figura 6, podemos formar a função de produto gf: A & # 8594 C e, em seguida, a função h (gf): A & # 8594 D.

    Da mesma forma, conforme ilustrado na Figura 7, podemos formar a função de produto hg: B & # 8594 D e, em seguida, a função (hg) f: A & # 8594 D.

    Ambos (h (gf) e (hg) f são funções de A em D. Um teorema básico sobre funções afirma que essas funções são iguais.

    & # 160f: A & # 8594 B, g: B & # 8594 C e h: C & # 8594 D. Então

    Assim, a multiplicação de funções obedece à Lei Associativa para multiplicação. Como consequência deste teorema, podemos escrever

    Def. Função inversa . A função que desfaz exatamente o efeito de uma determinada função. Seja f uma função de A em B e g seja uma função de B em A. Então g é o inverso de f se gf = I onde I é a função de identidade. Assim, g desfaz o efeito de f, deixando o conjunto A inalterado. Denotamos o inverso de uma função f por f -1. Assim, se a função f possui uma inversa f -1, então f -1 f = I.

    Existência de funções inversas. Uma função f pode ou não ter uma inversa. Vimos que uma função pode atribuir a mesma imagem em B a vários elementos de A. Consulte a Figura 1 acima. Uma função que faz isso não pode ter um inverso. Não há nenhuma função que & # 8220undo & # 8221 esse tipo de mapeamento. Por definição, as funções têm um valor único. Para que exista uma função inversa para uma determinada função f, o mapeamento deve ser um para um. Além disso, um mapeamento pode não cobrir todo o co-domínio. Isso causa um problema adicional.

    Mapeamentos de um conjunto em si mesmo. Seja G um mapeamento (ou transformação) de um conjunto S em si mesmo. Cada elemento a & # 8712 S é mapeado em algum elemento b & # 8712 S. Vários elementos de S podem ser mapeados no mesmo elemento de S e, além disso, nem todos os elementos de S precisam ser a imagem de algum elemento de S. Pode-se ver que G não é necessariamente on ou one-to-one.

    Exemplos desse tipo de mapeamento são comuns em matemática. Funções como y = 5x 3 ey = sin x representam mapeamentos do conjunto de números reais para o conjunto de números reais.

    Deixe J (S) representar o conjunto de todos os mapeamentos possíveis de G no conjunto finito S = <>1, uma2,. , uman) Então J (S) contém n n elementos, uma vez que cada elemento é umeu & # 8712 S pode ser mapeado em qualquer um dos n elementos a1, uma2,. , uman.

    Todo mapeamento G de um conjunto finito S pode ser dado por meio de uma tabela consistindo de duas linhas com a linha superior consistindo dos nomes dos elementos de S em uma ordem arbitrária e a segunda linha consistindo das imagens dos elementos acima deles . Por exemplo

    denota a transformação do conjunto de números 1, 2, 3, 4 em que os números 1, 2, 3, 4 passam para os números 2, 4, 1, 3, respectivamente. A ordem dos elementos na linha superior é irrelevante, no entanto, e

    Transformações de um para um. Seja G & # 697 um mapeamento direto e um a um. Deixe O (S) representar o conjunto de todos os mapeamentos possíveis de G & # 697 no conjunto S = <>1, uma2,. , uman) Então O (S) é um subconjunto de J (S).

    Teorema 1. O (S) é fechado em relação à multiplicação de transformação.

    Teorema 2. Para uma transformação T & # 8712 O (S),

    onde eu é a transformação da identidade.

    Vamos agora considerar um conceito importante, o conceito de um grupo de transformações. O termo & # 8220transformação & # 8221 significa o mesmo que função. Os termos são usados ​​indistintamente.

    Def. Grupo de transformações em um conjunto S. Qualquer conjunto G de transformações um-para-um (ou seja, funções) de um conjunto S sobre si mesmo que atenda às condições axiomáticas para ser um grupo, ou seja,

    1) Fechamento (se as transformações feg estão em G, o mesmo ocorre com seu produto fg)

    2) A lei associativa é válida, ou seja, f (gh) = (fg) h

    3) Existência de um elemento de identidade

    4) Existência de inversos, ou seja, se a transformação f é em G, então é seu inverso f -1

    Observe que o grupo G pode ser um grupo finito ou infinito. Nenhuma estipulação é feita.

    Agora considere o seguinte conjunto importante: o conjunto de todas as permutações possíveis de um conjunto S de n objetos sobre si mesmo. Ele atende a todos os requisitos axiomáticos de um grupo.

    Def. Permutação. Uma operação que substitui um conjunto de n objetos por um de seus n! permutações.

    Def. Grupo simétrico Sn em n letras. O grupo de todas as permutações possíveis em n objetos.

    & # 160 & # 160 & # 160Lipschutz. Teoria de conjuntos. Indivíduo. 4

    & # 160 & # 160 & # 160Lipchutz. Álgebra Linear. p. 121

    & # 160 & # 160 & # 160James e James. Dicionário de Matemática

    & # 160 & # 160 & # 160Birkhoff, MacLane. A Survey of Modern Algebra. p. 119 - 123


    Conteúdo

    Para um emparelhamento entre X e Y (Onde Y não precisa ser diferente de X) para ser uma bijeção, quatro propriedades devem conter:

    1. cada elemento de X deve ser emparelhado com pelo menos um elemento de Y,
    2. nenhum elemento de X pode ser emparelhado com mais de um elemento de Y,
    3. cada elemento de Y deve ser emparelhado com pelo menos um elemento de X, e
    4. nenhum elemento de Y pode ser emparelhado com mais de um elemento de X.

    Satisfazer as propriedades (1) e (2) significa que um emparelhamento é uma função com domínio X. É mais comum ver as propriedades (1) e (2) escritas como uma única instrução: Cada elemento de X está emparelhado com exatamente um elemento de Y. As funções que satisfazem a propriedade (3) são ditas "para Y "e são chamados de sobreposições (ou funções sobrejetivas) As funções que satisfazem a propriedade (4) são chamadas de "funções um-para-um" e são chamadas de injeções (ou funções injetivas) [3] With this terminology, a bijection is a function which is both a surjection and an injection, or using other words, a bijection is a function which is both "one-to-one" and "onto". [1] [4]

    Batting line-up of a baseball or cricket team Edit

    Consider the batting line-up of a baseball or cricket team (or any list of all the players of any sports team where every player holds a specific spot in a line-up). The set X will be the players on the team (of size nine in the case of baseball) and the set Y will be the positions in the batting order (1st, 2nd, 3rd, etc.) The "pairing" is given by which player is in what position in this order. Property (1) is satisfied since each player is somewhere in the list. Property (2) is satisfied since no player bats in two (or more) positions in the order. Property (3) says that for each position in the order, there is some player batting in that position and property (4) states that two or more players are never batting in the same position in the list.

    Seats and students of a classroom Edit

    In a classroom there are a certain number of seats. A bunch of students enter the room and the instructor asks them to be seated. After a quick look around the room, the instructor declares that there is a bijection between the set of students and the set of seats, where each student is paired with the seat they are sitting in. What the instructor observed in order to reach this conclusion was that:

    1. Every student was in a seat (there was no one standing),
    2. No student was in more than one seat,
    3. Every seat had someone sitting there (there were no empty seats), and
    4. No seat had more than one student in it.

    The instructor was able to conclude that there were just as many seats as there were students, without having to count either set.

    • For any set X, the identity function1X: XX, 1X(x) = x is bijective.
    • A função f: RR, f(x) = 2x + 1 is bijective, since for each y there is a unique x = (y − 1)/2 such that f(x) = y. More generally, any linear function over the reals, f: RR, f(x) = ax + b (where uma is non-zero) is a bijection. Each real number y is obtained from (or paired with) the real number x = (yb)/uma.
    • A função f: R → (−π/2, π/2), given by f(x) = arctan(x) is bijective, since each real number x is paired with exactly one angle y in the interval (−π/2, π/2) so that tan(y) = x (that is, y = arctan(x)). If the codomain (−π/2, π/2) was made larger to include an integer multiple of π/2, then this function would no longer be onto (surjective), since there is no real number which could be paired with the multiple of π/2 by this arctan function.
    • The exponential function, g: RR, g(x) = e x , is not bijective: for instance, there is no x em R de tal modo que g(x) = −1, showing that g is not onto (surjective). However, if the codomain is restricted to the positive real numbers R + ≡ ( 0 , + ∞ ) ^<+>equiv left(0,,+infty ight)> , then g would be bijective its inverse (see below) is the natural logarithm function ln.
    • A função h: RR + , h(x) = x 2 is not bijective: for instance, h(−1) = h(1) = 1, showing that h is not one-to-one (injective). However, if the domain is restricted to R 0 + ≡ [ 0 , + ∞ ) _<0>^<+>equiv left[0,,+infty ight)> , then h would be bijective its inverse is the positive square root function.
    • By Cantor-Bernstein-Schroder theorem, given any two sets X e Y, and two injective functions f: X → Y e g: Y → X, there exists a bijective function h: X → Y.

    A bijection f with domain X (indicated by f: X → Y in functional notation) also defines a converse relation starting in Y and going to X (by turning the arrows around). The process of "turning the arrows around" for an arbitrary function does not, em geral, yield a function, but properties (3) and (4) of a bijection say that this inverse relation is a function with domain Y. Moreover, properties (1) and (2) then say that this inverse function is a surjection and an injection, that is, the inverse function exists and is also a bijection. Functions that have inverse functions are said to be invertible. A function is invertible if and only if it is a bijection.

    Stated in concise mathematical notation, a function f: X → Y is bijective if and only if it satisfies the condition

    for every y em Y there is a unique x em X com y = f(x).

    Continuing with the baseball batting line-up example, the function that is being defined takes as input the name of one of the players and outputs the position of that player in the batting order. Since this function is a bijection, it has an inverse function which takes as input a position in the batting order and outputs the player who will be batting in that position.


    5.5: One-to-One and Onto Transformations

    5 Now when Jesus saw the crowds, he went up on a mountainside and sat down. His disciples came to him, 2 and he began to teach them.

    The Beatitudes (A)

    3 “Blessed are the poor in spirit,
    for theirs is the kingdom of heaven. (B)
    4 Blessed are those who mourn,
    for they will be comforted. (C)
    5 Blessed are the meek,
    for they will inherit the earth. (D)
    6 Blessed are those who hunger and thirst for righteousness,
    for they will be filled. (E)
    7 Blessed are the merciful,
    for they will be shown mercy. (F)
    8 Blessed are the pure in heart, (G)
    for they will see God. (H)
    9 Blessed are the peacemakers, (I)
    for they will be called children of God. (J)
    10 Blessed are those who are persecuted because of righteousness, (K)
    for theirs is the kingdom of heaven. (L)

    11 “Blessed are you when people insult you, (M) persecute you and falsely say all kinds of evil against you because of me. (N) 12 Rejoice and be glad, (O) because great is your reward in heaven, for in the same way they persecuted the prophets who were before you. (P)

    Salt and Light

    13 “You are the salt of the earth. But if the salt loses its saltiness, how can it be made salty again? It is no longer good for anything, except to be thrown out and trampled underfoot. (Q)

    14 “You are the light of the world. (R) A town built on a hill cannot be hidden. 15 Neither do people light a lamp and put it under a bowl. Instead they put it on its stand, and it gives light to everyone in the house. (S) 16 In the same way, let your light shine before others, (T) that they may see your good deeds (U) and glorify (V) your Father in heaven.

    The Fulfillment of the Law

    17 “Do not think that I have come to abolish the Law or the Prophets I have not come to abolish them but to fulfill them. (W) 18 For truly I tell you, until heaven and earth disappear, not the smallest letter, not the least stroke of a pen, will by any means disappear from the Law until everything is accomplished. (X) 19 Therefore anyone who sets aside one of the least of these commands (Y) and teaches others accordingly will be called least in the kingdom of heaven, but whoever practices and teaches these commands will be called great in the kingdom of heaven. 20 For I tell you that unless your righteousness surpasses that of the Pharisees and the teachers of the law, you will certainly not enter the kingdom of heaven. (Z)

    Murder (AA)

    21 “You have heard that it was said to the people long ago, ‘You shall not murder, [a] (AB) and anyone who murders will be subject to judgment.’ 22 But I tell you that anyone who is angry (AC) with a brother or sister [b] [c] will be subject to judgment. (AD) Again, anyone who says to a brother or sister, ‘Raca,’ [d] is answerable to the court. (AE) And anyone who says, ‘You fool!’ will be in danger of the fire of hell. (AF)

    23 “Therefore, if you are offering your gift at the altar and there remember that your brother or sister has something against you, 24 leave your gift there in front of the altar. First go and be reconciled to them then come and offer your gift.

    25 “Settle matters quickly with your adversary who is taking you to court. Do it while you are still together on the way, or your adversary may hand you over to the judge, and the judge may hand you over to the officer, and you may be thrown into prison. 26 Truly I tell you, you will not get out until you have paid the last penny.

    Adultery

    27 “You have heard that it was said, ‘You shall not commit adultery.’ [e] (AG) 28 But I tell you that anyone who looks at a woman lustfully has already committed adultery with her in his heart. (AH) 29 If your right eye causes you to stumble, (AI) gouge it out and throw it away. It is better for you to lose one part of your body than for your whole body to be thrown into hell. 30 And if your right hand causes you to stumble, (AJ) cut it off and throw it away. It is better for you to lose one part of your body than for your whole body to go into hell.

    Divorce

    31 “It has been said, ‘Anyone who divorces his wife must give her a certificate of divorce.’ [f] (AK) 32 But I tell you that anyone who divorces his wife, except for sexual immorality, makes her the victim of adultery, and anyone who marries a divorced woman commits adultery. (AL)

    Oaths

    33 “Again, you have heard that it was said to the people long ago, ‘Do not break your oath, (AM) but fulfill to the Lord the vows you have made.’ (AN) 34 But I tell you, do not swear an oath at all: (AO) either by heaven, for it is God’s throne (AP) 35 or by the earth, for it is his footstool or by Jerusalem, for it is the city of the Great King. (AQ) 36 And do not swear by your head, for you cannot make even one hair white or black. 37 All you need to say is simply ‘Yes’ or ‘No’ (AR) anything beyond this comes from the evil one. [g] (AS)

    Eye for Eye

    38 “You have heard that it was said, ‘Eye for eye, and tooth for tooth.’ [h] (AT) 39 But I tell you, do not resist an evil person. If anyone slaps you on the right cheek, turn to them the other cheek also. (AU) 40 And if anyone wants to sue you and take your shirt, hand over your coat as well. 41 If anyone forces you to go one mile, go with them two miles. 42 Give to the one who asks you, and do not turn away from the one who wants to borrow from you. (AV)

    Love for Enemies

    43 “You have heard that it was said, ‘Love your neighbor [i] (AW) and hate your enemy.’ (AX) 44 But I tell you, love your enemies and pray for those who persecute you, (AY) 45 that you may be children (AZ) of your Father in heaven. He causes his sun to rise on the evil and the good, and sends rain on the righteous and the unrighteous. (BA) 46 If you love those who love you, what reward will you get? (BB) Are not even the tax collectors doing that? 47 And if you greet only your own people, what are you doing more than others? Do not even pagans do that? 48 Be perfect, therefore, as your heavenly Father is perfect. (BC)


    Section 3.6 The Invertible Matrix Theorem ¶ permalink

    This section consists of a single important theorem containing many equivalent conditions for a matrix to be invertible. This is one of the most important theorems in this textbook. We will append two more criteria in Section 5.1.

    Invertible Matrix Theorem

    be the matrix transformation

    The following statements are equivalent:

    has a unique solution for each

    Prova

    pivots if and only if its reduced row echelon form is the identity matrix

    This happens exactly when the procedure in Section 3.5 to compute the inverse succeeds.

    The null space of a matrix is

    if and only if the matrix has no free variables, which means that every column is a pivot column, which means

    These follow from this recipe in Section 2.5 and this theorem in Section 2.3, respectively, since

    pivots if and only if has a pivot in every row/column.

    has at least one solution for every

    if and only if the columns of

    has at most one solution for every

    if and only if the columns of

    are linearly independent by this theorem in Section 3.2. Hence

    has exactly one solution for every

    if and only if its columns are linearly independent and span

    This is the content of this theorem in Section 3.5.

    To reiterate, the invertible matrix theorem means:

    There are two kinds of square matrices:

    For invertible matrices, all of the statements of the invertible matrix theorem are true.

    For non-invertible matrices, all of the statements of the invertible matrix theorem are false.

    The reader should be comfortable translating any of the statements in the invertible matrix theorem into a statement about the pivots of a matrix.

    Other Conditions for Invertibility

    The following conditions are also equivalent to the invertibility of a square matrix

    They are all simple restatements of conditions in the invertible matrix theorem.


    Assista o vídeo: transformando um rifle cano de (Outubro 2021).