Artigos

12.3: Indução Matemática - Matemática


Suponha que um seja apresentado com a seguinte sequência de equações: begin {align *} 1 & = 1 1 + 3 & = 4 1 + 3 + 5 & = 9 1 + 3 + 5 + 7 & = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 & = 25 end {align *} É claro que existe um padrão. Os números no lado direito das equações são os quadrados $ 1 ^ {2} $, $ 2 ^ {2} $, $ 3 ^ {2} $, $ 4 ^ {2} $, e $ 5 ^ {2} $ e, em a equação com $ n ^ {2} $ no lado direito, o lado esquerdo é a soma dos primeiros $ n $ números ímpares. Os números ímpares são begin {align *} 1 & = 2 cdot 1 -1 3 & = 2 cdot 2 -1 5 & = 2 cdot 3 -1 7 & = 2 cdot 4 -1 9 & = 2 cdot 5 -1 end {align *} e disso é claro que o $ n $ th número ímpar é $ 2n - 1 $. Portanto, pelo menos para $ n = 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $ ou $ 5 $, o seguinte é verdadeiro: begin {equation} label {eq: induction} 1 + 3 + cdots + (2n -1) = n ^ 2 tag {$ S_n $} end {equation} A questão que surge é se a afirmação ref {eq: indução} é verdadeira para textit {every} $ n $. Não há esperança de separadamente verificar todas essas afirmações porque existem infinitas delas. Uma abordagem mais sutil é necessária. A idéia é a seguinte: Suponha que seja verificado que a afirmação $ S_ {n + 1} $ será verdadeira sempre que $ S_ {n} $ for verdadeira. Isto é, suponha que provemos que, textit {if} $ S_ {n} $ é verdadeiro, então segue necessariamente que $ S_ {n + 1} $ também é verdadeiro. Então, se podemos mostrar que $ S_ {1} $ é verdadeiro, segue-se que $ S_ {2} $ é verdadeiro, e disso $ S_ {3} $ é verdadeiro, portanto $ S_ {4} $ é verdadeiro, e assim por diante. Este é o princípio da indução. Para expressá-lo de forma mais compacta, é útil ter uma maneira curta de expressar a asserção `` Se $ S_ {n} $ é verdadeiro, então $ S_ {n + 1} $ é verdadeiro. '' Como no Apêndice ref {cap: appbproofs}, escrevemos esta afirmação como begin {equation *} S_n Rightarrow S_ {n + 1} end {equation *} e lemos como `` $ S_ {n} $ implica $ S_ {n + 1} $ . '' Agora podemos declarar o princípio da indução matemática. Newpage begin {teorema *} {O Princípio da Indução Matemática} {034881} Suponha que $ S_ {n} $ seja uma declaração sobre o número natural $ n $ para cada $ n = 1, 2, 3, dots $. index {indução! indução matemática} index {indução matemática} Suponha ainda que: begin {enumerate} item $ S_ {1} $ is true. item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $ para cada $ n geq 1 $. End {enumerate} Então $ S_ {n} $ é verdadeiro para cada $ n geq 1 $. End {teorema * } noindent Esta é uma das técnicas mais úteis em toda a matemática. Ele se aplica a uma ampla variedade de situações, conforme ilustram os exemplos a seguir. Begin {example} {} {034897} Mostre que $ 1 + 2 + dots + n = frac {1} {2} n (n + 1) $ para $ n geq 1 $. begin {solution} Seja $ S_ {n} $ a declaração: $ 1 + 2 + dots + n = frac {1} {2} n (n + 1) $ para $ n geq 1 $. Aplicamos indução. Begin {enumerate} item $ S_ {1} $ is true. A afirmação $ S_ {1} $ é $ 1 = frac {1} {2} 1 (1 + 1) $, que é verdadeira. Item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $. Nós textit {assumimos} que $ S_ {n} $ é verdadeiro para algum $ n geq 1 $ --- isto é, que begin {equation *} 1+ 2 + cdots + n = frac {1} {2} n (n + 1) end {equation *} end {enumerate} Devemos provar que a declaração begin {equation *} S_ {n + 1}: 1 + 2 + cdots + (n + 1 ) = frac {1} {2} (n + 1) (n + 2) end {equation *} também é verdadeiro, e temos o direito de usar $ S_ {n} $ para fazê-lo. Agora, o lado esquerdo de $ S_ {n + 1} $ é a soma dos primeiros $ n + 1 $ inteiros positivos. Portanto, o penúltimo termo é $ n $, então podemos escrever begin {align *} 1 + 2 + cdots + (n + 1) & = (1 + 2+ cdots + n) + (n +1) & = frac {1} {2} n (n + 1) + (n + 1) quad mbox {usando} S_n & = frac {1} {2} (n + 1) (n + 2) end {align *} Isso mostra que $ S_ {n + 1} $ é verdadeiro e assim completa a indução. End {solução} end {exemplo} Na verificação que $ S_ {n } Rightarrow S_ {n + 1} $, textit {assume} que $ S_ {n} $ é verdadeiro e o usamos para deduzir que $ S_ {n + 1} $ é verdadeiro. A suposição de que $ S_ {n} $ é verdadeira às vezes é chamada de textbf {hipótese de indução} index {hipótese de indução}. Begin {exemplo} {} {034928} Se $ x $ é qualquer número tal que $ x neq 1 $, mostre que $ 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ n = frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} $ para $ n geq 1 $. begin {solução} Seja $ S_ {n} $ a declaração: $ 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ n = frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} $. begin {enumerate} item $ S_ {1} $ é verdadeiro. $ S_ {1} $ lê $ 1 + x = frac {x ^ 2 -1} {x-1} $, o que é verdade porque $ x ^ {2} - 1 = (x - 1) (x + 1 ) $. item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $. Assuma a verdade de $ S_ {n} $: $ 1 + x + x ^ {2} + dots + x ^ n = frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} $. End {enumerar} Devemos textit {deduzir} disso a verdade de $ S_ {n + 1} $: $ 1 + x + x ^ {2} + cdot + x ^ {n + 1} = frac {x ^ {n + 2} -1} {x-1} $. Começando com o lado esquerdo de $ S_ {n + 1} $ e usando a hipótese de indução, encontramos begin {align *} 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ {n + 1} & = (1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ n) + x ^ {n + 1} & = frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} + x ^ {n + 1} & = frac {x ^ {n + 1} -1 + x ^ {n + 1} (x-1)} {x-1} & = frac {x ^ {n + 2 } -1} {x-1} end {align *} Isso mostra que $ S_ {n + 1} $ é verdadeiro e assim completa a indução. End {solução} end {exemplo} Ambos os exemplos envolvem fórmulas para uma certa soma, e muitas vezes é conveniente usar a notação de soma. Por exemplo, $ sum_ {k = 1} ^ {n} (2k-1) $ significa que na expressão $ (2k - 1) $, $ k $ deve receber os valores $ k = 1, k = 2, k = 3, dots, k = n $, e então os $ n $ números resultantes devem ser adicionados. O mesmo se aplica a outras expressões envolvendo $ k $. Por exemplo, begin {align *} sum_ {k = 1} ^ {n} k ^ 3 & = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + cdots + n ^ 3 sum_ {k = 1} ^ { 5} (3k-1) & = (3 cdot 1 -1) + (3 cdot 2 - 1) + (3 cdot 3 - 1) + (3 cdot 4 - 1) + (3 cdot 5 - 1) end {align *} O próximo exemplo envolve esta notação. Begin {example} {} {034966} Mostre que $ sum_ {k = 1} ^ {n} (3k ^ 2-k) = n ^ 2 (n + 1) $ para cada $ n geq 1 $. Begin {solution} Seja $ S_ {n} $ a declaração: $ sum_ {k = 1} ^ {n} (3k ^ 2-k ) = n ^ 2 (n + 1) $. begin {enumerate} item $ S_ {1} $ is true. $ S_ {1} $ lê $ (3 cdot 1 ^ 2 - 1) = 1 ^ {2} (1 + 1) $, o que é verdade. Item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $. Suponha que $ S_ {n} $ seja verdadeiro. Devemos provar $ S_ {n + 1} $: begin {align *} sum_ {k = 1} ^ {n + 1} (3k ^ 2-k) & = sum_ {k = 1} ^ {n } (3k ^ 2-k) + [3 (n + 1) ^ 2 - (n + 1)] & = n ^ 2 (n + 1) + (n + 1) [3 (n + 1) -1] tag {usando $ S_n $} & = (n + 1) [n ^ 2 + 3n + 2] & = (n + 1) [(n + 1) (n + 2)] & = (n + 1) ^ 2 (n + 2) end {alinhar *} end {enumerar} Isso prova que $ S_ {n + 1} $ é verdadeiro. end {solução} end {exemplo } noindent Agora nos voltamos para exemplos em que a indução é usada para provar proposições que não envolvem somas. begin {example} {} {034992} Mostre que $ 7 ^ n + 2 $ é um múltiplo de $ 3 $ para todos os $ n geq 1 $. begin {solution} begin {enumerate} item $ S_ {1} $ is true: $ 7 ^ 1 + 2 = 9 $ é um múltiplo de $ 3 $. item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $. Suponha que $ 7 ^ n + 2 $ seja um múltiplo de $ 3 $ para algum $ n geq 1 $; digamos, $ 7 ^ n + 2 = 3m $ para algum inteiro $ m $. Então begin {equation *} 7 ^ {n + 1} +2 = 7 (7 ^ n) +2 = 7 (3m-2) +2 = 21m-12 = 3 (7m-4) end {equation * } então $ 7 ^ {n + 1} + 2 $ também é um múltiplo de $ 3 $. Isso prova que $ S_ {n + 1} $ é verdadeiro. End {enumerar} end {solução} end {exemplo} Em todos os exemplos anteriores, usamos o princípio de indução começando em $ 1 $; isto é, verificamos que $ S_ {1} $ é verdadeiro e que $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $ para cada $ n geq 1 $, e então concluímos que $ S_ {n } $ é verdadeiro para cada $ n geq 1 $. Mas não há nada de especial sobre $ 1 $ aqui. Se $ m $ é algum número inteiro fixo e verificamos que begin {enumerate} item $ S_ {m} $ é verdadeiro. Item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $ para cada $ n geq m $. end {enumerate} noindent então segue que $ S_ {n} $ é verdadeiro para cada $ n geq m $. Este princípio de indução `` extendido '' é tão plausível quanto o princípio de indução e pode, em fato, ser provado por indução. O próximo exemplo irá ilustrar isso. Lembre-se de que se $ n $ é um inteiro positivo, o número $ n! $ (Que é lido `` $ n $ -fatorial '') é o produto begin {equation *} n! = n (n-1) (n-2) cdots 3 cdot 2 cdot 1 end {equação *} de todos os números de $ n $ a $ 1 $. Portanto, $ 2! = 2 $, $ 3! = 6 $ e assim por diante. Begin {example} {} {035027} Mostre que $ 2 ^ n <2 ^ {n} $ end {ex} begin {ex} Para qualquer inteiro $ m> 0 $, $ m! n! <(m + n)! $ end {ex} begin {ex} $ frac {1} { sqrt {1}} + frac {1} { sqrt {2}} + cdots + frac {1} { sqrt {n}} leq 2 sqrt {n} -1 $ begin {sol} $ 2 sqrt {n} - 1 + frac {1} { sqrt {n + 1}} = frac {2 sqrt {n ^ 2 + n} +1} { sqrt {n + 1}} - 1 < frac {2 (n + 1)} { sqrt {n + 1}} - 1 = 2 sqrt {n + 1} -1 $ end {sol} end {ex} begin {ex} $ frac {1} { sqrt {1}} + frac {1} { sqrt {2 }} + cdots + frac {1} { sqrt {n}} geq sqrt {n} $ end {ex} begin {ex} $ n ^ {3} + (n + 1) ^ { 3} + (n + 2) ^ {3} $ é um múltiplo de $ 9 $. End {ex} begin {ex} $ 5n + 3 $ é um múltiplo de $ 4 $. End {ex} begin { ex} $ n ^ {3} - n $ é um múltiplo de $ 3 $. begin {sol} Se $ n ^ {3} -n = 3k $, então $ (n + 1) ^ {3} - (n + 1) = 3k + 3n ^ {2} + 3n = 3 (k + n ^ {2} + n) $ end {sol} end {ex} begin {ex} $ 3 ^ {2n + 1} + 2 ^ {n + 2} $ é um múltiplo de $ 7 $. End {ex} begin {ex} Seja $ B_ {n} = 1 cdot 1! + 2 cdot 2! + 3 cdot 3! + dots + n cdot n $! Encontre uma fórmula para $ B_ {n} $ e prove. Begin {sol} $ B_ {n} = (n + 1)! - 1 $ end {sol} end {ex} begin {ex} Let begin {equation *} A_n = (1- frac {1} {2}) (1- frac {1} {3} ) (1- frac {1} {4}) cdots (1- frac {1} {n}) end {equation *} Encontre uma fórmula para $ A_n $ e prove. End {ex} begin {ex} Suponha que $ S_ {n} $ seja uma declaração sobre $ n $ para cada $ n geq 1 $. Explique o que deve ser feito para provar que $ S_ {n} $ é verdadeiro para todos os $ n geq 1 $ se for sabido que: begin {enumerate} [label = { alph *.}] Item $ S_ { n} Rightarrow S_ {n + 2} $ para cada $ n geq 1 $. item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 8} $ para cada $ n geq 1 $. item $ S_ { n} Rightarrow S_ {n + 1} $ para cada $ n geq 10 $. item $ S_ {n} $ e $ S_ {n + 1} Rightarrow S_ {n + 2} $ para cada $ n geq 1 $. end {enumerate} begin {sol} begin {enumerate} [label = { alph *.}] setcounter {enumi} {1} item Verifique cada um dos $ S_ {1}, S_ {2}, dots, S_ {8} $. End {enumerate} end {sol} end {ex} begin {ex} Se $ S_ {n} $ é uma declaração para cada $ n geq 1 $, argumente que $ S_ {n} $ é verdadeiro para todos $ n geq 1 $ se for sabido que as seguintes duas condições são válidas: begin {enumerate} item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n-1 } $ para cada $ n geq 2 $. item $ S_ {n} $ é verdadeiro para infinitamente muitos valores de $ n $. end {enumerar} end {ex} begin {ex} Suponha uma seqüência $ a_ {1}, a_ {2}, dots $ de números é dado que satisfaz: begin {enumerate} item $ a_ {1} = 2 $. Item $ a_ {n + 1} = 2a_ {n} $ para cada $ n geq 1 $ .Formule um teorema dando $ a_ {n} $ em termos de $ n $, e prove seu resultado por indução. End {enumerar} end {ex} begin {ex} Suponha uma seqüência $ a_ {1}, a_ {2}, dots $ de números são dados que satisfazem: begin {enumerate} item $ a_ {1} = b $. Item $ a_ {n + 1} = ca_ {n} + b $ para $ n = 1, 2, 3, dots $ .Formule um teorema dando $ a_ {n} $ em termos de $ n $, e prove seu resultado por indução. End {enumerate} end {ex} begin {ex} begin {enumerate} [label = { alph *.}] item Mostre que $ n ^ {2} leq 2 ^ {n} $ para todos $ n geq 4 $. item Mostre que $ n ^ { 3} leq 2 ^ {n} $ para todos $ n geq 10 $. End {enumerar} end {ex} end {multicols}

Provas Indutivas

Provar uma teoria pode ser um processo assustador. Não importa quantas vezes você tente algo com o mesmo resultado, como você pode ser certo que vai sempre tem o mesmo resultado, não importa o quê?

Por exemplo, se você visse alguém encher um balão de água com água gelada e segurá-lo pela janela, provavelmente se encolheria de medo da gritaria abaixo ou observaria ansiosamente, dependendo da situação. Em qualquer caso, sua resposta seria baseada no fato de que você seria certo que um balão de água iria estourar na cabeça de alguém se cair da janela em cima dele. Sua certeza seria baseada em sua experiência anterior com balões d'água e calçadas, e muito provavelmente você estaria correto, mas até que o balão realmente atinja o alvo, não há como ter certeza absoluta de que ele se quebrará.

Em matemática, situações como essa ocorrem muito. Com base na experiência repetida, você pode desenvolver uma regra ou atalho para economizar tempo ou esforço ao fazer cálculos. No entanto, você pode estar preocupado com o uso de tais atalhos em um exame importante. Afinal, como você pode ser certo que o atalho funciona em todas as situações?


Este curso é para alunos do 12º ano em Matemática Especializada & # 8211 ou uma unidade de matemática de alto nível, que desejam se destacar em exames de matemática e otimizar seu ATAR. Instituições de ensino e professores individuais também vão encontrar neste curso uma excelente ferramenta de ensino e aprendizagem.

O curso de Especialista em Matemática do 12º ano inclui palestras e tutoriais que fornecem conteúdo e conceitos teóricos, bem como demonstra trabalhos detalhados que você precisa para resolver uma variedade de problemas & # 8211 variando de simples familiar a complexo desconhecido, na Unidade 3 e Unidade 4 assunto áreas. Onde for útil ou necessário, o curso demonstra como usar a calculadora gráfica para solucionar problemas.


Etapas de indução matemática de prova

11x1 T10 08 Indução Matemática 1

Prova de indução matemática discreta para pilha de matemática de soma

Exemplos de Etapas de Prova por Indução Study Com

Prova Por Indução Matemática Como Fazer Matemática

Resolvido fazer uma prova por indução matemática usando o 4 S

Tutorial de indução matemática

Etapa 2 da indução matemática N N Matemática Stack Exchange

Prova por indução, exemplo 1, Youtube

5 1 Indução

Vídeo de exemplos de indução matemática de prova de divisibilidade

Princípio da indução matemática 5 exemplos surpreendentes

Tópicos de indução matemática no pré-cálculo

Prova por indução

Escrita à prova de perguntas fáceis Como escrever uma indução clara

5 1 Indução

Apresentação Online de Indução Matemática

Codesearch

Resolvido Parte I Indução 10 Pt Prove Cada Um dos Seguintes

Prova de indução matemática por etapas de exemplos de indução

Apresentação de PowerPoint de indução e recursão de Ppt grátis

Uma amostra de prova usando indução matemática brincando com látex

Slides de princípios de indução matemática

Fatoração simples na prova por indução Matemática Stack Exchange

Download online do vídeo do Cont Ppt de indução matemática

Pdf de exemplos de indução matemática

Indução matemática

Resolvido Use indução matemática para provar o seguinte

Download online do vídeo Ppt de indução matemática

Um exemplo de uma prova por indução matemática

Indução matemática

Provando o Teorema Binomial Usando Indução Matemática Três

Etapa indutiva de provar uma identidade com o Youtube de indução

Prova por contra-exemplo de indução matemática

Prova de Fórmula de Série Aritmética Finita por Vídeo de Indução

Indução matemática Wikipedia

Http Condor Depaul Edu Ntomuro Cursos 400 Bookslides Eppdm4 05 02 Pdf

Explicação da prova ajuda a entender a indução forte

Prova Pdf por Prática Profissional de Indução Matemática para

Resolvido, preciso de ajuda com o problema C usando Mathematical Indu

Indução matemática Wikipedia

Indução matemática é um método de prova matemática normalmente

3 Pdf de indução matemática Download grátis

Indução matemática com vídeos, planilhas e atividades de jogos

Hipótese indutiva Discrete Mathematics Lecture Slides Docsity

Indução matemática O princípio da indução matemática

6 Prova por indução Ppt Matemática

Exemplos de provas de indução matemática para as discussões

Apresentação em PowerPoint de indução matemática gratuita

Princípio da prova de indução matemática

Resolvido fazer uma prova por indução matemática usando o 4 S

Divisibilidade Propriedade Discreta Matemática Slides de Aula

11x1 T14 09 Indução Matemática 2 2010

Prova de perguntas por indução Matemática em uma etapa Stack Exchange

Https Www Studocu Com En Us Documento Rutgers University Discretematics Aula Notas 24 Indução Matemática 3183802 Visualização

5 etapas Resumo do modelo de indução matemática A Nível H2 Matemática

Indução matemática Wikipedia

Csc175 Matemática para Ciência da Computação Semana 3 Indutiva Dedutiva

Indução matemática Indução matemática Este é um poderoso

Aula de Matemática Discreta 5 1 Indução Matemática Studocu

Demonstração Fatorial de Prova por Indução A Sala do Aluno

Semana 29 Indução Matemática 77 neurônios Projeto Perelman A

Matemática 120 Notas sobre indução matemática

3 9 Prova por indução matemática I Matemática 280 Estratégias de

Aula 2 Indução Matemática e Definições Recursivas

Um exemplo de uma prova pelo segundo princípio da matemática

Exemplos de Etapas de Prova por Indução Study Com

Prova de que todos no mundo têm a mesma idade Você consegue identificar o

Seção 3 3 Indução matemática Indução matemática é A

Verdadeira Matemática de Cingapura de Cingapura 2018

Ppt Capítulo 4 Sequências e Indução Matemática Powerpoint

Planilha de indução matemática, planilhas para impressão e

Doc Indução Matemática Anuj Giri Academia Edu

Calculadora Matemática de Indução

Youtube de indução matemática

Resolvidas as seguintes questões Indução matemática Q3a Dê uma prova

Prove Usando Indução N 2 7n 12 Geq 0 Onde N Geq 3

2

Misc 12 Se Ab Ba, então prove por indução que Abn Bna

Seção 1 6 Prova por indução matemática Pdf Download grátis

Como fazer provas de indução 13 etapas com imagens Wikihow

Indução Matemática Provando Gauss Sum Formula Right Steemit

3 9 Prova por indução matemática I 2 Matemática 280 Estratégias de

Https Nptel Ac In Content Storage2 Nptel Data3 Html Mhrd Ict Text 111106086 Lec15 Pdf

Avaliação de professores de matemática de alunos prova um complexo

Prova por indução matemática Pdf Google Drive

Qual é o princípio da indução matemática Quora

Resolvido usando indução matemática provar que Forn21 1

Indução e recursão de PDF

Matemática Discreta e suas Aplicações 7ª Edição Por Robert

9789814368940 Trecho 002 Pdf Teorema Prova Matemática

Veja o Guia de Ensino Teach Together Community For Shs

Definição de indução matemática resolveu problemas de exemplo

Matemática Ppt Video Online Download

A Use a indução matemática para provar que Sqrt 1 Sqrt

Https Www Studocu Com En Ca Documento University Of Winnipeg Matemática Discreta Notas da Aula Indução Matemática Notas da Aula Completa 4055541 Ver

Matemática Hl Indução matemática, alguém gentilmente pode explicar isso

Prova por dedução

Https Www Cs Duke Edu Courses Summer13 Compsci230 Palestras restritas L09 10 Pdf

11 4 Indução Matemática

Como fazer provas de indução 13 etapas com imagens Wikihow

Https Home Adelphi Edu Siegfried Cs344 344l1 Pdf

A indução matemática usa provas transcrição da lição em vídeo

Https Nptel Ac In Content Storage2 Nptel Data3 Html Mhrd Ict Text 111106086 Lec18 Pdf


Melhores livros para preparação de indução matemática: -

Primeiro, termine todos os conceitos, exemplos e questões dados no livro NCERT Maths. Você deve ser minucioso com a teoria do NCERT. Então você pode consultar o livro Cengage Mathematics Algebra. A indução matemática é explicada muito bem neste livro e há uma grande quantidade de perguntas com conceitos claros como cristal. Você também pode consultar o livro Arihant Algebra de SK Goyal ou RD Sharma. Mas, novamente, a escolha do livro de referência depende de pessoa para pessoa, encontre o livro que melhor se adapta a você, dependendo de quão bem você é claro com os conceitos e a dificuldade das perguntas que você precisa.


PROBLEMAS DE DIVISIBILIDADE DE INDUÇÃO MATEMÁTICA

Seja & # xa0 P (n) = n 3 & # xa0– 7n + 3 é divisível por 3, para todos os números naturais n.

Agora & # xa0 P (l): (l) 3 & # xa0– 7 (1) + 3 = -3, que é divisível por 3.

Vamos supor que P (n) seja verdadeiro para algum número natural n = k. & # Xa0

P (k) = K 3 & # xa0– 7k + 3 é divisível por 3

Agora, temos que provar que P (k + 1) é verdadeiro.

& # xa0 = & # xa0 3 [m + (k (k + 1) - 2)], que é divisível por 3

Assim, P (k + 1) é verdadeiro sempre que P (k) é verdadeiro.

Portanto, pelo princípio da indução matemática, P (n) é verdadeiro para todos os números naturais n.

Use a indução para provar que 10 n + 3 × 4 n + 2 + 5 é divisível por 9, para todos os números naturais n.

P (1) 10 + 3 & # xa0 ⋅ & # xa064 + 5 = 207 = 9 & # xa0 ⋅ & # xa023

Para n = k, suponha que P (k) seja verdadeiro.

Então, P (k): 10 k + 3,4 k + 2 + 5 é divisível por 9.

Temos que provar que P (k + 1) é divisível por 9 para

= & # xa0 10 (9m - 3,4 k + 2 - 5) + 3,4 k + 2 .4+ 5 & # xa0

Conseqüentemente, pelo Princípio da indução matemática, P (n) é verdadeiro para todo n∈N.

Além do material fornecido acima, se você precisar de qualquer outro material em matemática, use nossa busca personalizada do google aqui.

Se você tiver algum comentário sobre nosso conteúdo de matemática, envie-nos um e-mail: & # xa0

Sempre apreciamos seus comentários. & # Xa0

Você também pode visitar as seguintes páginas da web sobre diferentes assuntos em matemática. & # Xa0


Este curso é para alunos do 12º ano em Matemática Especializada & # 8211 ou uma unidade de matemática de alto nível, que desejam se destacar em exames de matemática e otimizar seu ATAR. Instituições de ensino e professores individuais também vão encontrar neste curso uma excelente ferramenta de ensino e aprendizagem.

O curso Specialist Mathematics Unit 3 inclui palestras e tutoriais que fornecem conteúdo teórico e conceitos, bem como demonstra trabalhos detalhados que você precisa para resolver uma variedade de problemas & # 8211 variando de simples familiares a complexos não familiares, nas áreas de assunto da unidade. Onde for útil ou necessário, o curso demonstra como usar a calculadora gráfica para solucionar problemas.


Desigualdade de indução matemática usando diferenças

Prove (n ^ 2 lt 2 ^ n ) para (n ge 5 ) por indução matemática.

É freqüentemente usado para provar (A> B ) por (A-B> 0 ).

Etapa 1: mostrar que é verdadeiro para (n = 5 ).
LHS (= 5 ^ 2 = 25 )
RHS (= 2 ^ 5 = 32 )
LHS ( lt ) RHS
É verdade para (n = 5 ).
Etapa 2: Suponha que seja verdadeiro para (n = k ).
Ou seja, (k ^ 2 lt 2 ^ k ).
Etapa 3: Mostre que é verdadeiro para (n = k + 1 ).
Ou seja, ((k + 1) ^ 2 lt 2 ^. )
( começar displaystyle require
exto & # 8211 text & amp = 2 ^ & # 8211 (k + 1) ^ 2
& amp = 2 vezes 2 ^ k & # 8211 (k ^ 2 + 2k + 1)
& amp gt 2 vezes k ^ 2 & # 8211 (k ^ 2 + 2k + 1) & amp color text
& amp = k ^ 2 -2k -1
& amp = (k-1) ^ 2 -2
& amp gt 0 & amp color exto k ge 5 text (k-1) ^ 2 ge 16
2^ & # 8211 (k + 1) ^ 2 & amp gt 0
(k + 1) ^ 2 & amp lt 2 ^ \
fim )
Portanto, é verdadeiro para (n = k + 1 ) assumindo que seja verdadeiro para (n = k ).
Portanto, é verdadeiro para (n = k + 1 ) é verdadeiro para (n ge 5 ).


CAPÍTULO V: TIPOS DE RELACIONAMENTOS

Grande parte da filosofia da matemática se preocupa com relações, e muitos tipos diferentes de relações têm diferentes tipos de uso. Muitas vezes acontece que uma propriedade que pertence a todas as relações só é importante no que diz respeito às relações de certos tipos, nesses casos, o leitor não verá o sentido da proposição que afirma tal propriedade, a menos que tenha em mente os tipos de relações para as quais ela é. útil. Por razões desta descrição, bem como pelo interesse intrínseco do assunto, é bom ter em nossas mentes uma lista aproximada das variedades de relações mais matematicamente úteis.

Lidamos no capítulo anterior com uma classe supremamente importante, a saber, relações seriais. Cada uma das três propriedades que combinamos na definição de série & mdashnamely, assimetria, transitividade e conexidade & mdash tem sua própria importância. Começaremos dizendo algo sobre cada um desses três.

A assimetria, ou seja, a propriedade de ser incompatível com o inverso, é uma característica do maior interesse e importância. Para desenvolver suas funções, consideraremos vários exemplos. A relação marido é assimétrica, assim como a relação esposa, ou seja, se a for marido de b, b não pode ser marido de a, e da mesma forma no caso da esposa. Por outro lado, a relação & ldquospouse & rdquo é simétrica: se a é cônjuge de b, então b é cônjuge de a. Suponha agora que recebemos a relação cônjuge e desejamos derivar a relação marido. Marido é o mesmo que cônjuge masculino ou cônjuge de uma mulher, portanto, a relação marido pode ser derivada do cônjuge, seja limitando o domínio aos homens ou limitando o domínio inverso às mulheres. Vemos deste exemplo que, quando uma relação simétrica é dada, às vezes é possível, sem a ajuda de qualquer outra relação, separá-la em duas relações assimétricas. Mas os casos em que isso é possível são raros e excepcionais: são casos em que existem duas classes mutuamente exclusivas, digamos & alpha e & beta, de modo que sempre que a relação se mantém entre dois termos, um dos termos é membro de & alpha e o outro é membro de & beta & mdashas, ​​no caso de cônjuge, um termo da relação pertence à classe dos homens e o outro à classe das mulheres. Nesse caso, a relação com seu domínio confinado a & alfa será assimétrica, e o mesmo ocorrerá com a relação com seu domínio confinado a & beta. Mas tais casos não são do tipo que ocorre quando estamos lidando com séries de mais de dois termos em uma série, todos os termos, exceto o primeiro e o último (se existirem), pertencem ao domínio e ao domínio inverso da relação geradora, de modo que uma relação como marido, onde o domínio e o domínio inverso não se sobrepõem, é excluída.

A questão de como construir relações com alguma propriedade útil por meio de operações sobre relações que têm apenas rudimentos da propriedade é de considerável importância. Transitividade e conexidade são facilmente construídas em muitos casos em que a relação originalmente dada não as possui: por exemplo, se R é qualquer relação, a relação ancestral derivada de R por indução generalizada é transitiva e se R é uma relação muitos-um, a relação ancestral estará conectada se confinada à posteridade de um determinado termo. Mas a assimetria é uma propriedade muito mais difícil de garantir por construção. O método pelo qual derivamos marido de cônjuge, como vimos, não está disponível nos casos mais importantes, como maior, antes, à direita de, onde o domínio e o domínio inverso se sobrepõem. Em todos esses casos, podemos obviamente obter uma relação simétrica somando a relação dada e seu inverso, mas não podemos voltar dessa relação simétrica para a relação assimétrica original, exceto com a ajuda de alguma relação assimétrica [página 44]. Tomemos, por exemplo, a relação maior: a relação maior ou menor & mdashi.e. desigual & mdashis simétrico, mas não há nada nesta relação para mostrar que é a soma de duas relações assimétricas. Considere uma relação como & ldquodiffering in shape. & Rdquo Esta não é a soma de uma relação assimétrica e seu inverso, uma vez que as formas não formam uma única série, mas não há nada que mostre que difere de & ldquodiffering em magnitude & rdquo se já não soubéssemos que as magnitudes têm relações de maior e menor. Isso ilustra o caráter fundamental da assimetria como uma propriedade das relações.

Do ponto de vista da classificação das relações, ser assimétrico é uma característica muito mais importante do que implicar diversidade. Relações assimétricas implicam diversidade, mas o inverso não é o caso. & ldquoUnequal & rdquo, por exemplo, implica diversidade, mas é simétrico. Em termos gerais, podemos dizer que, se quiséssemos, na medida do possível, dispensar as proposições relacionais e substituí-las por predicados atribuídos aos sujeitos, poderíamos ter sucesso nisso, contanto que nos confinássemos a relações simétricas: aquelas que não implicam diversidade, se forem transitivas, podem ser consideradas como afirmando um predicado comum, enquanto aquelas que implicam diversidade podem ser consideradas como afirmando predicados incompatíveis. Por exemplo, considere a relação de similaridade entre classes, por meio da qual definimos números. Essa relação é simétrica e transitiva e não implica diversidade. Seria possível, embora menos simples do que o procedimento que adotamos, considerar o número de uma coleção como um predicado da coleção: então duas classes semelhantes serão duas que têm o mesmo predicado numérico, enquanto duas que não são semelhantes serão dois que têm diferentes predicados numéricos. Tal método de substituir relações por predicados é formalmente possível (embora muitas vezes muito inconveniente), desde que as relações em questão sejam simétricas, mas é formalmente impossível quando as relações são assimétricas, porque tanto a igualdade quanto a diferença de predicados são simétricas. As relações assimétricas são, podemos dizer, as relações mais caracteristicamente relacionais, e as mais importantes para o filósofo que deseja estudar a natureza lógica última das relações.

Outra classe de relações de maior utilidade é a classe das relações um-muitos, ou seja, relações que no máximo um termo pode ter com um determinado termo. Esses são pai, mãe, marido (exceto no Tibete), quadrado de, seno de e assim por diante. Mas pai, raiz quadrada e assim por diante, não são um-muitos. É possível, formalmente, substituir todas as relações por relações um-muitos por meio de um dispositivo. Pegue (digamos) a relação menor entre os números indutivos. Dado qualquer número n maior que 1, não haverá apenas um número com relação menor a n, mas podemos formar toda a classe de números que são menores que n. Esta é uma classe e sua relação com n não é compartilhada por nenhuma outra classe. Podemos chamar a classe de números que são menores do que n a & ldquoproper ancestral & rdquo de n, no sentido em que falamos de ancestralidade e posteridade em conexão com a indução matemática. Então, & ldquoproper ancestry & rdquo é uma relação um-muitos (um-muitos sempre será usado para incluir um-um), uma vez que cada número determina uma única classe de números como constituindo sua própria ancestralidade. Assim, a relação menor que pode ser substituída por ser um membro da própria ancestralidade de. Desse modo, uma relação um-muitos na qual o um é uma classe, junto com a pertença a essa classe, pode sempre substituir formalmente uma relação que não é um-muitos. Peano, que por alguma razão sempre concebe instintivamente uma relação como um-muitos, lida dessa forma com aquelas que naturalmente não o são. A redução a relações um-muitos por este método, no entanto, embora possível por uma questão de forma, não representa uma simplificação técnica, e há todas as razões para pensar que não representa uma análise filosófica, pelo menos porque as classes devem ser consideradas como “ficções quológicas”. Portanto, continuaremos a considerar as relações um-muitos como um tipo especial de relações.

As relações um-muitos estão envolvidas em todas as frases da forma & ldquothe fulano de tal e tal. & Rdquo & ldquoO rei da Inglaterra, & rdquo [página 46] & ldquothe esposa de Sócrates, & rdquo & ldquothe pai de John Stuart Mill & rdquo e assim por diante, todos descrevem alguma pessoa por meio de uma relação um-muitos com um determinado termo. Uma pessoa não pode ter mais de um pai, portanto & ldquothe pai de John Stuart Mill & rdquo descreveu uma pessoa, mesmo que não soubéssemos quem. Há muito a dizer sobre o assunto das descrições, mas, por enquanto, é com as relações que estamos preocupados, e as descrições só são relevantes quando exemplificam os usos das relações um-muitos. Deve-se observar que todas as funções matemáticas resultam de relações um-muitos: o logaritmo de x, o cosseno de x, etc., são, como o pai de x, termos descritos por meio de uma relação um-muitos (logaritmo, cosseno , etc.) a um determinado termo (x). A noção de função não precisa ser confinada a números, ou aos usos aos quais os matemáticos nos acostumaram, ela pode ser estendida a todos os casos de relações um-muitos, e & ldquothe pai de x & rdquo é tão legitimamente uma função da qual x is the argument as is &ldquothe logarithm of x .&rdquo Functions in this sense are descriptive functions. As we shall see later, there are functions of a still more general and more fundamental sort, namely, propositional functions but for the present we shall confine our attention to descriptive functions, i.e. &ldquothe term having the relation R to x ,&rdquo or, for short, &ldquothe R of x ,&rdquo where R is any one-many relation.

It will be observed that if &ldquothe R of x &rdquo is to describe a definite term, x must be a term to which something has the relation R, and there must not be more than one term having the relation R to x , since &ldquothe,&rdquo correctly used, must imply uniqueness. Thus we may speak of &ldquothe father of x &rdquo if x is any human being except Adam and Eve but we cannot speak of &ldquothe father of x &rdquo if x is a table or a chair or anything else that does not have a father. We shall say that the R of x &ldquoexists&rdquo when there is just one term, and no more, having the relation R to x . Thus if R is a one-many relation, the R of x exists whenever x belongs to the converse domain of R, and not otherwise. Regarding &ldquothe R of x &rdquo as a function in the mathematical [page 47] sense, we say that x is the &ldquoargument&rdquo of the function, and if y is the term which has the relation R to x , i.e. if y is the R of x , then y is the &ldquovalue&rdquo of the function for the argument x . If R is a one-many relation, the range of possible arguments to the function is the converse domain of R, and the range of values is the domain. Thus the range of possible arguments to the function &ldquothe father of x &rdquo is all who have fathers, i.e. the converse domain of the relation father , while the range of possible values for the function is all fathers, i.e. the domain of the relation.

Many of the most important notions in the logic of relations are descriptive functions, for example: converse , domain , converse domain , field . Other examples will occur as we proceed.

Among one-many relations, one-one relations are a specially important class. We have already had occasion to speak of one-one relations in connection with the definition of number, but it is necessary to be familiar with them, and not merely to know their formal definition. Their formal definition may be derived from that of one-many relations: they may be defined as one-many relations which are also the converses of one-many relations, i.e. as relations which are both one-many and many-one. One-many relations may be defined as relations such that, if x has the relation in question to y , there is no other term x' which also has the relation to y . Or, again, they may be defined as follows: Given two terms x and x' , the terms to which x has the given relation and those to which x' has it have no member in common. Or, again, they may be defined as relations such that the relative product of one of them and its converse implies identity, where the &ldquorelative product&rdquo of two relations R and S is that relation which holds between x and z when there is an intermediate term y , such that x has the relation R to y and y has the relation S to z . Thus, for example, if R is the relation of father to son, the relative product of R and its converse will be the relation which holds between x and a man z when there is a person y , such that x is the father of y and y is the son of z . It is obvious that x and z must be [page 48] the same person. If, on the other hand, we take the relation of parent and child, which is not one-many, we can no longer argue that, if x is a parent of y and y is a child of z , x and z must be the same person, because one may be the father of y and the other the mother. This illustrates that it is characteristic of one-many relations when the relative product of a relation and its converse implies identity. In the case of one-one relations this happens, and also the relative product of the converse and the relation implies identity. Given a relation R, it is convenient, if x has the relation R to y , to think of y as being reached from x by an &ldquoR-step&rdquo or an &ldquoR-vector.&rdquo In the same case x will be reached from y by a &ldquobackward R-step.&rdquo Thus we may state the characteristic of one-many relations with which we have been dealing by saying that an R-step followed by a backward R-step must bring us back to our starting-point. With other relations, this is by no means the case for example, if R is the relation of child to parent, the relative product of R and its converse is the relation &ldquoself or brother or sister,&rdquo and if R is the relation of grandchild to grandparent, the relative product of R and its converse is &ldquoself or brother or sister or first cousin.&rdquo It will be observed that the relative product of two relations is not in general commutative, i.e. the relative product of R and S is not in general the same relation as the relative product of S and R. E.g. the relative product of parent and brother is uncle, but the relative product of brother and parent is parent.

One-one relations give a correlation of two classes, term for term, so that each term in either class has its correlate in the other. Such correlations are simplest to grasp when the two classes have no members in common, like the class of husbands and the class of wives for in that case we know at once whether a term is to be considered as one from which the correlating relation R goes, or as one para which it goes. It is convenient to use the word referent for the term from which the relation goes, and the term relatum for the term to which it goes. Thus if x e y are husband and wife, then, with respect to the relation [page 49] &ldquohusband,&rdquo x is referent and y relatum, but with respect to the relation &ldquowife,&rdquo y is referent and x relatum. We say that a relation and its converse have opposite &ldquosenses&rdquo thus the &ldquosense&rdquo of a relation that goes from x to y is the opposite of that of the corresponding relation from y to x . The fact that a relation has a &ldquosense&rdquo is fundamental, and is part of the reason why order can be generated by suitable relations. It will be observed that the class of all possible referents to a given relation is its domain, and the class of all possible relata is its converse domain.

But it very often happens that the domain and converse domain of a one-one relation overlap. Take, for example, the first ten integers (excluding 0), and add 1 to each thus instead of the first ten integers we now have the integers

These are the same as those we had before, except that 1 has been cut off at the beginning and 11 has been joined on at the end. There are still ten integers: they are correlated with the previous ten by the relation of n to n +1, which is a one-one relation. Or, again, instead of adding 1 to each of our original ten integers, we could have doubled each of them, thus obtaining the integers

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Here we still have five of our previous set of integers, namely, 2, 4, 6, 8, 10. The correlating relation in this case is the relation of a number to its double, which is again a one-one relation. Or we might have replaced each number by its square, thus obtaining the set

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

On this occasion only three of our original set are left, namely, 1, 4, 9. Such processes of correlation may be varied endlessly.

The most interesting case of the above kind is the case where our one-one relation has a converse domain which is part, but [page 50] not the whole, of the domain. If, instead of confining the domain to the first ten integers, we had considered the whole of the inductive numbers, the above instances would have illustrated this case. We may place the numbers concerned in two rows, putting the correlate directly under the number whose correlate it is. Thus when the correlator is the relation of n to n +1, we have the two rows:

When the correlator is the relation of a number to its double, we have the two rows:


Credential Requirements

Course List
Code Título Units
Foundation Courses
TESP 501Art of Teaching I: Foundations of Teaching 1 3
TESP 511Art of Teaching II: Pedagogy and Instructional Design 1 3
TESP 502Science of Teaching I: How Students Learn 1 3
TESP 512Science of Teaching II: Effective Assessment Strategies for All Learners 1 3
TESP 503The Soul of Teaching: Tapestry of American Education3
TESP 504Schools and Educational Systems3
Specialization Courses
TEP 531Methods of Teaching Reading and Writing (7-12)3
TEP 532Secondary Pedagogy I: Teaching in Secondary Schools (7-12)2
TEP 533The Differentiated Classroom: Maximizing Capacity of Each Learner (7-12)3
TEP 534Secondary Pedagogy II: Content-Specific Strategies, Teaching, and Assessment (7-12)2
TEP 561Clinical Practice I: Single Subject Credential2
TEP 562Clinical Practice II: Single Subject Credential2
Total Units32
1

Must be completed prior to beginning clinical practice.

The following courses meet the undergraduate General Education requirements within the Integrated Bachelor’s/Credential Program:


Assista o vídeo: Prova por Princípio de Indução finita. 17. Introdução ao Pensamento Matemático. (Outubro 2021).