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5.2: Introdução aos Polinômios - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Identifique um polinômio e determine seu grau.
  • Avalie um polinômio para determinados valores das variáveis.
  • Avalie um polinômio usando notação de função.

Definições

Um polinômio é uma expressão algébrica especial com termos que consistem em coeficientes de número real e fatores variáveis ​​com expoentes de número inteiro.

( color {Cerúleo} {Exemplos : de : polinômios:} )

(3x ^ {2} quad 7xy + 5 quad frac {3} {2} x ^ {3} + 3x ^ {2} - frac {1} {2} x + 1 quad 6x ^ { 2} y-4xy ^ {3} -4xy ^ {3} +7 )

Os polinômios não possuem variáveis ​​no denominador de nenhum termo.

( color {Cerúleo} {Exemplos : que : são : não : polinômios:} )

( frac {2x ^ {2}} {y} quad 5 sqrt {x} +5 quad 5x ^ {2} + 3x ^ {- 2} +7 quad frac {2} {x} - frac {5} {y} = 3 )

O grau de um termo em um polinômio é definido como o expoente da variável, ou se houver mais de uma variável no termo, o grau é a soma de seus expoentes. Lembre-se de que (x ^ {0} = 1 ); qualquer termo constante pode ser escrito como um produto de (x ^ {0} ) e ele mesmo. Portanto, o grau de um termo constante é (0 ).

PrazoGrau
(3x ^ {2} )(2)
(6x ^ {2} y )(2+1=3)
(7a ^ {2} b ^ {3} )(2+3=5)
(8) (0 ), uma vez que (8 = 8x ^ {0} )
(2x ) (1 ), uma vez que (x = x ^ {1} )
Tabela ( PageIndex {1} )

O grau de um polinômio é o maior grau de todos os seus termos.

PolinomialGrau
(4x ^ {5} -3x ^ {3} + 2x-1 )(5)
(6x ^ {2} y-5xy ^ {3} +7 ) (4 ), porque (5xy ^ {3} ) tem grau (4 ).
(12x + 54 ) (1 ), porque (x = x ^ {1} )
Tabela ( PageIndex {2} )

Classificamos os polinômios pelo número de termos e o grau da seguinte forma:

ExpressãoClassificaçãoGrau
(5x ^ {7} )Monomial (um termo)(7)
(8x ^ {6} -1 )Binomial (dois termos)(6)
(- 3x ^ {2} + x-1 )Trinomial (três termos)(2)
(5x ^ {3} -2x ^ {2} + 3x-6 )Polinomial (muitos termos)(3)
Tabela ( PageIndex {3} )

Neste texto, chamaremos polinômios com quatro ou mais termos simplesmente polinômios.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Classifique e declare o grau:

(7x ^ {2} −4x ^ {5} −1 ).

Solução:

Aqui existem três termos. O maior expoente da variável é (5 ). Portanto, este é um trinômio de grau (5 ).

Responder:

Trinômio; grau (5 )

Exemplo ( PageIndex {2} )

Classifique e declare o grau:

(12a ^ {5} bc ^ {3} ).

Solução:

Uma vez que a expressão consiste em apenas multiplicação, é um termo, um monômio. A parte variável pode ser escrita como (a ^ {5} b ^ {1} c ^ {3} ); portanto, seu grau é (5 + 1 + 3 = 9 ).

Responder:

Monômio; grau (9 )

Exemplo ( PageIndex {3} )

Classifique e declare o grau:

(4x ^ {2} y − 6xy ^ {4} + 5x ^ {3} y ^ {3} +4 ).

Solução:

O termo (4x ^ {2} y ) tem grau (3 ); (- 6xy ^ {4} ) tem grau (5; 5x ^ {3} y ^ {3} ) tem grau (6 ); e o termo constante (4 ) tem grau (0 ). Portanto, o polinômio tem (4 ) termos com grau (6 ).

Responder:

Polinomial; grau (6 )

De particular interesse são os polinômios com uma variável, onde cada termo tem a forma (a_ {n} x ^ {n} ). Aqui (a_ {n} ) é qualquer número real e (n ) é qualquer número inteiro. Esses polinômios têm a forma padrão

[a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + ... + a_ {1} x + a_ {0} ]

Normalmente, organizamos os termos dos polinômios em ordem decrescente com base no grau de cada termo. O coeficiente líder é o coeficiente da variável com o maior poder, neste caso, (a_ {n} ).

Exemplo ( PageIndex {4} )

Escreva no formulário padrão:

(3x − 4x ^ {2} + 5x ^ {3} + 7−2x ^ {4} ).

Solução:

Como os termos são separados por adição, escreva o seguinte:

( begin {alinhados} & 3x-4x ^ {2} + 5x ^ {3} + 7-2x ^ {4} & = 3x + (- 4x ^ {2}) + 5x ^ {3} +7 + (- 2x ^ {4}) end {alinhado} )

Desta forma, podemos ver que a subtração no original corresponde a coeficientes negativos. Como a adição é comutativa, podemos escrever os termos em ordem decrescente com base no grau de cada termo da seguinte forma:

( begin {alinhados} & = (- 2x ^ {4}) + 5x ^ {3} + (- 4x ^ {2}) + 3x + 7 & = - 2x ^ {4} + 5x ^ { 3} -4x ^ {2} + 3x + 7 end {alinhado} )

Responder:

(- 2x ^ {4} + 5x ^ {3} -4x ^ {2} + 3x + 7 )

Podemos ainda classificar polinômios com uma variável por seu grau da seguinte forma:

PolinomialNome
(5)Constante (grau (0 ))
(2x + 1 )Linear (grau (1 ))
(3x ^ {2} + 5x-3 )Quadrático (grau (2 ))
(x ^ {3} + x ^ {2} + x + 1 )Cúbico (grau (3 ))
(7x ^ {4} + 3x ^ {3} -7x + 8 )Polinômio de quarto grau
Tabela ( PageIndex {4} )

Neste texto, chamamos qualquer polinômio de grau (n≥4 ) de polinômio de (n ) º grau. Em outras palavras, se o grau é (4 ), chamamos o polinômio de polinômio de quarto grau. Se o grau for (5 ), o chamaremos de polinômio de quinto grau e assim por diante.

Avaliando Polinômios

Dados os valores das variáveis ​​em um polinômio, podemos substituir e simplificar usando a ordem das operações.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Avalie:

(3x − 1 ), onde (x = - frac {3} {2} ).

Solução:

Primeiro, substitua a variável por parênteses e, em seguida, substitua o valor fornecido.

Responder:

(- frac {11} {2} )

Exemplo ( PageIndex {6} )

Avalie:

(3x ^ {2} + 2x − 1 ), onde (x = −1 ).

Solução:

Responder:

(0)

Exemplo ( PageIndex {7} )

Avalie:

(- 2a ^ {2} b + ab ^ {2} −7 ), onde (a = 3 ) e (b = −2 ).

Solução:

Responder:

(41)

Exemplo ( PageIndex {8} )

O volume de uma esfera em unidades cúbicas é dado pela fórmula (V = frac {4} {3} πr ^ {3} ), onde (r ) é o raio. Calcule o volume de uma esfera com raio (r = frac {3} {2} ) metros.

Solução:

( begin {alinhados} V & = frac {4} {3} pi r ^ {3} & = frac {4} {3} pi left ( frac {3} {2} direita) ^ {3} & = frac {4} {3} pi frac {3 ^ {3}} {2 ^ {3}} & = frac { color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ cancel { color {black} {4}}}}} { color {Cerulean} { stackrel { cancel { color {black} {3}}} {1}}} pi frac { color {Cerulean} { stackrel {9} { cancel { color {black} {27}}}}} { color {Cerulean} { stackrel { cancel { color {black} {8 }}} {2}}} & = frac {9} {2} pi end {alinhado} )

Responder:

( frac {9} {2} pi ) metros cúbicos

Exercício ( PageIndex {1} )

Avalie:

(x ^ {3} −x ^ {2} + 4x − 2 ), onde (x = −3 ).

Responder

(-50)

Funções Polinomiais

Funções polinomiais com uma variável são funções que podem ser escritas na forma

[f (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + ... + a_ {0} ],

onde (a_ {n} ) é qualquer número real e (n ) é qualquer número inteiro. Alguns exemplos das diferentes classes de funções polinomiais estão listados abaixo:

Função polinomialNome
(f (x) = 5 )Função constante (grau (0 ))
(f (x) = - 2x + 1 )Função linear (grau (1 ))
(f (x) = 5x ^ {2} + 4x-3 )Função quadrática (grau (2 ))
(f (x) = x ^ {3} -1 )Função cúbica (grau (3 ))
(f (x) = 4x ^ {5} + 3x ^ {4} -7 )Função polinomial
Tabela ( PageIndex {5} )

Como não há restrições aos valores de (x ), o domínio de qualquer função polinomial consiste em todos os números reais.

Exemplo ( PageIndex {9} )

Calcular:

(f (5) ), dado (f (x) = - 2x ^ {2} + 5x + 10 ).

Solução:

Lembre-se de que a notação da função (f (5) ) indica que devemos avaliar a função quando (x = 5 ). Substitua cada instância da variável (x ) pelo valor (5 ).

Responder:

(f (5) = - 15 )

Exemplo ( PageIndex {10} )

Calcular:

(f (−1) ), dado (f (x) = - x ^ {3} + 2x ^ {2} −4x + 1 ).

Solução:

Substitua a variável (x ) por (- 1 ).

( begin {align} f ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} & = - ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {) ^ {3} +2 (} color {OliveGreen} {- 1} color {black} {) ^ {2} -4 (} color {OliveGreen} {- 1} color {black} {) + 1} & = - (- 1) +2 cdot 1 + 4 + 1 & = 1 + 2 + 4 + 1 & = 8 end {alinhado} )

Responder:

(f (-1) = 8 )

Exercício ( PageIndex {2} )

Dado (g (x) = x ^ {3} −2x ^ {2} −x − 4 ), calcule (g (−1) ).

Responder

(g (−1) = - 6 )

Principais vantagens

  • Polinômios são expressões algébricas especiais em que os termos são produtos de números reais e variáveis ​​com expoentes de número inteiro.
  • O grau de um polinômio com uma variável é o maior expoente da variável encontrado em qualquer termo.
  • Os termos de um polinômio são normalmente organizados em ordem decrescente com base no grau de cada termo.
  • Ao avaliar um polinômio, é uma boa prática substituir todas as variáveis ​​por parênteses e, em seguida, substituir os valores apropriados.
  • Todos os polinômios são funções.

Exercício ( PageIndex {3} ) Definições

Classifique o polinômio fornecido como linear, quadrático ou cúbico.

  1. (2x + 1 )
  2. (x ^ {2} + 7x + 2 )
  3. (2−3x ^ {2} + x )
  4. (4x )
  5. (x ^ {2} −x ^ {3} + x + 1 )
  6. (5−10x ^ {3} )
Responder

1. Linear

3. Quadrático

5. cúbico

Exercício ( PageIndex {4} ) Definições

Classifique o polinômio fornecido como monomial, binomial ou trinomial e indique o grau.

  1. (x ^ {3} −1 )
  2. (x ^ {2} y ^ {2} )
  3. (x − x ^ {5} +1 )
  4. (x ^ {2} + 3x − 1 )
  5. (5ab ^ {4} )
  6. (13x − 12 )
  7. (- 5x ^ {3} + 2x + 1 )
  8. (8x ^ {2} −9 )
  9. (4x ^ {5} −5x ^ {3} + 6x )
  10. (8x ^ {4} −x ^ {5} + 2x − 3 )
  11. (9x + 7 )
  12. (x ^ {5} + x ^ {4} + x ^ {3} + x ^ {2} −x + 1 )
  13. (6x − 1 + 5x ^ {4} −8 )
  14. (4x − 3x ^ {2} +3 )
  15. (7)
  16. (x ^ {2} )
  17. (4x ^ {2} y − 3x ^ {3} y ^ {3} + xy ^ {3} )
  18. (a ^ {3} b ^ {2} −6ab )
  19. (a ^ {3} b ^ {3} )
  20. (x ^ {2} y − y ^ {2} x )
  21. (xy − 3 )
  22. (a ^ {5} bc ^ {2} + 3a ^ {9} −5a ^ {4} b ^ {3} c )
  23. (- 3x ^ {10} y ^ {2} z − xy ^ {12} z + 9x ^ {13} +30 )
  24. (7x ^ {0} )
Responder

1. Binomial; grau (3 )

3. Trinomial; grau (5 )

5. Monomial; grau (5 )

7. Trinomial; grau (3 )

9. Trinomial; grau (5 )

11. Binomial; grau (1 )

13. Não é um polinômio

15. Monomial; grau (0 )

17. Trinomial; grau (6 )

19. Monomial; grau (6 )

21. Binomial; grau (2 )

23. Polinomial; grau (14 )

Exercício ( PageIndex {5} ) Definições

Escreva os polinômios a seguir no formato padrão.

  1. (1−6x + 7x ^ {2} )
  2. (x − 9x ^ {2} −8 )
  3. (7 − x ^ {3} + x ^ {7} −x ^ {2} + x − 5x ^ {5} )
  4. (a ^ {3} −a ^ {9} + 6a ^ {5} −a + 3 − a ^ {4} )
Responder

1. (7x ^ {2} −6x + 1 )

3. (x ^ {7} −5x ^ {5} −x ^ {3} −x ^ {2} + x + 7 )

Exercício ( PageIndex {6} ) Avaliação de polinômios

  1. Preencha a seguinte tabela:

    Figura ( PageIndex {2} )
  2. Preencha a seguinte tabela:

    Figura ( PageIndex {3} )
Responder

1.

Exercício ( PageIndex {7} ) Avaliação de polinômios

Avalie.

  1. (2x − 3 ), onde (x = 3 )
  2. (x ^ {2} −3x + 5 ), onde (x = −2 )
  3. (- 12x + 13 ), onde (x = −13 )
  4. (- x ^ {2} + 5x − 1 ), onde (x = −12 )
  5. (- 2x ^ {2} + 3x − 5 ), onde (x = 0 )
  6. (8x ^ {5} −27x ^ {3} + 81x − 17 ), onde (x = 0 )
  7. (y ^ {3} −2y + 1 ), onde (y = −2 )
  8. (y ^ {4} + 2y ^ {2} −32 ), onde (y = 2 )
  9. (a ^ {3} + 2a ^ {2} + a − 3 ), onde (a = −3 )
  10. (x ^ {3} −x ^ {2} ), onde (x = 5 )
  11. (34x ^ {2} −12x + 36 ), onde (x = −23 )
  12. (58x ^ {2} −14x + 12 ), onde (x = 4 )
  13. (x ^ {2} y + xy ^ {2} ), onde (x = 2 ) e (y = −3 )
  14. (2a ^ {5} b − ab ^ {4} + a ^ {2} b ^ {2} ), onde (a = −1 ) e (b = −2 )
  15. (a ^ {2} −b ^ {2} ), onde (a = 5 ) e (b = −6 )
  16. (a ^ {2} −b ^ {2} ), onde (a = 34 ) e (b = −14 )
  17. (a ^ {3} −b ^ {3} ), onde (a = −2 ) e (b = 3 )
  18. (a ^ {3} + b ^ {3} ), onde (a = 5 ) e (b = −5 )
Responder

1. (3)

3. ( frac {1} {2} )

5. (−5)

7. (−3)

9. (−15)

11. ( frac {7} {6} )

13. (6)

15. (−11)

17. (−35)

Exercício ( PageIndex {8} ) Avaliação de polinômios

Para cada problema, avalie (b ^ {2} −4ac ), dados os seguintes valores.

  1. (a = −1, b = 2 ) e (c = −1 )
  2. (a = 2, b = −2 ) e (c = 12 )
  3. (a = 3, b = −5, c = 0 )
  4. (a = 1, b = 0 ) e (c = −4 )
  5. (a = 14, b = −4 ) e (c = 2 )
  6. (a = 1, b = 5 ) e (c = 6 )
Responder

1. (0)

3. (25)

5. (14)

Exercício ( PageIndex {9} ) Avaliação de polinômios

O volume de uma esfera em unidades cúbicas é dado pela fórmula (V = frac {4} {3} πr ^ {3} ), onde (r ) é o raio. Para cada problema, calcule o volume de uma esfera dados os raios a seguir.

  1. (r = 3 ) centímetros
  2. (r = 1 ) centímetro
  3. (r = frac {1} {2} ) pés
  4. (r = frac {3} {2} ) pés
  5. (r = 0,15 ) pol.
  6. (r = 1,3 ) polegadas
Responder

1. (36π ) centímetros cúbicos

3. ( frac {π} {6} ) pés cúbicos

5. (0,014 ) polegadas cúbicas

Exercício ( PageIndex {10} ) Avaliação de polinômios

A altura em pés de um projétil lançado verticalmente do solo com uma velocidade inicial (v_ {0} ) em pés por segundo é dada pela fórmula (h = −16t ^ {2} + v_ {0} t ), onde (t ) representa o tempo em segundos. Para cada problema, calcule a altura do projétil com a seguinte velocidade inicial e tempos.

  1. (v_ {0} = 64 ) pés / segundo, às vezes (t = 0, 1, 2, 3, 4 ) segundos
  2. (v_ {0} = 80 ) pés / segundo, às vezes (t = 0, 1, 2, 2,5, 3, 4, 5 ) segundos
Responder

1.

TempoAltura
(t = 0 ) segundos (h = 0 ) pés
(t = 1 ) segundo (h = 48 ) pés
(t = 2 ) segundos (h = 64 ) pés
(t = 3 ) segundos (h = 48 ) pés
(t = 4 ) segundos (h = 0 ) pés
Tabela ( PageIndex {6} )

Exercício ( PageIndex {11} ) Avaliação de polinômios

A distância de parada de um carro, levando em consideração um tempo médio de reação, pode ser estimada com a fórmula (d = 0,05v ^ {2} +1,5 ), onde (d ) está em pés e (v ) é a velocidade em milhas por hora. Para cada problema, calcule a distância de parada de um carro viajando nas velocidades fornecidas.

  1. (20 ) milhas por hora
  2. (40 ) milhas por hora
  3. (80 ) milhas por hora
  4. (100 ) milhas por hora
Responder

1. (21,5 ) pés

3. (321,5 ) pés

Exercício ( PageIndex {12} ) Funções Polinomiais

Dada a função linear (f (x) = frac {2} {3} x + 6 ), avalie cada um dos seguintes.

  1. (f (−6) )
  2. (f (−3) )
  3. (f (0) )
  4. (f (3) )
  5. Encontre (x ) quando (f (x) = 10 ).
  6. Encontre (x ) quando (f (x) = - 4 ).
Responder

1. (2)

3. (6)

5. (x = 6 )

Exercício ( PageIndex {13} ) Funções Polinomiais

Dada a função quadrática (f (x) = 2x ^ {2} −3x + 5 ), avalie cada um dos seguintes.

  1. (f (−2) )
  2. (f (−1) )
  3. (f (0) )
  4. (f (2) )
Responder

1. (19)

3. (5)

Exercício ( PageIndex {14} ) Funções Polinomiais

Dada a função cúbica (g (x) = x ^ {3} −x ^ {2} + x − 1 ), avalie cada um dos seguintes.

  1. (g (−2) )
  2. (g (−1) )
  3. (g (0) )
  4. (g (1) )
Responder

1. (-15)

3. (-1)

Exercício ( PageIndex {15} ) Funções Polinomiais

A altura em pés de um projétil lançado verticalmente do solo com uma velocidade inicial de (128 ) pés por segundo é dada pela função (h (t) = - 16t ^ {2} + 128t ), onde (t ) está em segundos. Calcule e interprete o seguinte.

  1. (h (0) )
  2. (h (12) )
  3. (h (1) )
  4. (h (3) )
  5. (h (4) )
  6. (h (5) )
  7. (h (7) )
  8. (h (8) )
Responder

1. O projétil é lançado do solo.

3. O projétil está a (112 ) pés acima do solo (1 ) segundo após o lançamento.

5. O projétil está a (256 ) pés acima do solo (4 ) segundos após o lançamento.

7. O projétil está a (112 ) pés acima do solo (7 ) segundos após o lançamento.

Exercício ( PageIndex {16} ) Tópicos do quadro de discussão

  1. Encontre e compartilhe alguns gráficos de funções polinomiais.
  2. Explique como converter pés por segundo em milhas por hora.
  3. Encontre e compartilhe os nomes de polinômios de quarto grau, quinto grau e polinômios superiores.
Responder

1. As respostas podem variar

3. As respostas podem variar


5.2: Introdução aos Polinômios - Matemática

Earl está construindo uma casinha de cachorro cuja frente tem a forma de um quadrado com um triângulo no topo. Haverá uma porta retangular pela qual o cão pode entrar e sair da casa. Earl quer encontrar a área da frente da casa do cachorro para comprar a quantidade correta de tinta. Usando as medidas da frente da casa mostradas na Figura 1 abaixo, podemos criar uma expressão que combina vários termos de variáveis ​​que nos permite resolver este problema e outros semelhantes.

Primeiro, encontre a área do quadrado em pés quadrados.

Em seguida, encontre a área do triângulo em pés quadrados.

Em seguida, encontre a área da porta retangular em pés quadrados.

A área da frente da casa do cachorro pode ser encontrada somando as áreas do quadrado e do triângulo e, em seguida, subtraindo a área do retângulo. Quando fazemos isso, obtemos

[látex] 4^ <2> + frac <3> <2> x-x [/ latex] ft 2 ou [latex] 4^ <2> + frac <1> <2> x [/ latex] ft 2.

Neste módulo, examinaremos expressões como esta, que combinam vários termos variáveis.


  1. Polinomial é usado em economia para representar funções de custo que são usadas para interpretar e prever tendências de mercado.
  2. O polinômio também é usado em meteorologia para criar modelos matemáticos para representar padrões climáticos.
  3. O designer da montanha-russa usa o polinômio para descrever as curvas em seus passeios.
  4. Polinômio é usado em construção ou planejamento de materiais.
  5. Polinômio é usado em eletrônica, química, física, etc.

Polinomial é uma combinação de termos separados pelo operador. O seguinte não está incluído no polinômio:

  1. As variáveis ​​não podem ter o expoente negativo ou fracionário. ()
  2. Variável no denominador. ()
  3. Variáveis ​​dentro de um radical. ()

Exemplo: Avalie o seguinte como polinomial ou não

Solução: 1. = Este não é um polinômio porque a variável tem um expoente negativo.

2. = Este é um termo polinomial.

3. = Não é um termo polinomial porque a variável é um radical.

4. 5 = Este é um polinômio porque um termo é permitido.

5. = Não é um termo polinomial porque a divisão por uma variável não é permitida.


O uso de variáveis ​​e constantes juntas em expressões nos dá maneiras de representar uma gama de números, um para cada valor da variável. Por exemplo, conhecemos a expressão 2 p r , representa a circunferência de um círculo de raio r. Como nós variamos r, digamos, 1 cm, 4 cm, 9 cm etc., obtemos círculos cada vez maiores de circunferência 2 p, 8 p, 18 p etc.

A única expressão 2 p r é uma descrição curta e compacta da circunferência de todos esses círculos. Podemos usar operações aritméticas para combinar expressões algébricas e obter uma linguagem rica de funções e números. As letras usadas para representar números reais desconhecidos chamados de variáveis ​​são x, y, a, b e assim por diante.


5.2: Introdução aos Polinômios - Matemática

Álgebra intermediária
Tutorial 25: Polinômios e funções polinomiais

  1. Identifique um termo, coeficiente, termo constante e polinômio.
  2. Diga a diferença entre um monomial, binomial e trinomial.
  3. Encontre o grau de um termo e polinômio.
  4. Avalie uma função polinomial.
  5. Combine termos semelhantes.
  6. Adicionar e subtrair polinômios

Neste tutorial, veremos os diferentes componentes dos polinômios. Em seguida, iremos avaliar as funções polinomiais, bem como adicioná-las e subtraí-las. Alguns desses conceitos são baseados em ideias que foram abordadas em tutoriais anteriores. Muitas vezes, em matemática, você está usando conhecimentos anteriores para aprender novos conceitos. O truque é não reinventar a roda todas as vezes, mas reconhecer o que você fez antes e aproveitar esse conhecimento para ajudá-lo a resolver os problemas.

Exemplos de termos são,,, z

Aqui estão os coeficientes dos termos listados acima:

Exemplos de termos constantes são 4, 100 e -5.

Onde n é um número inteiro não negativo.

é chamado de coeficiente líder.

Um exemplo de expressão polinomial é.

Grau do polinômio

Observe também que um polinômio pode estar & # 8220 faltando & # 8221 termos. Por exemplo, o polinômio escrito acima começa com um grau 5, mas observe que não há um termo que tenha um expoente 4. Isso significa que o coeficiente nele é 0, então não o escrevemos.


Alguns tipos de polinômios

Modelo Definição Exemplo
Monômio Um polinômio com 1 prazo 5 x
Binomial Um polinômio com dois termos 5 x - 10
Trinômio Um polinômio com três termos

Exemplo 1 : Encontre o grau do termo.

Uma vez que o grau é a soma dos expoentes variáveis ​​e 5 é o único expoente, o grau teria que ser 5.

Este é um pouco complicado. Onde está a variável? Quando você tem um termo constante, seu grau é sempre 0, porque não há nenhuma variável ali.

Como este é um termo constante, seu grau é 0.

Como o grau é a soma dos expoentes variáveis ​​e parece que temos 1 e 3 como nossos expoentes, o grau teria que ser 1 + 3 = 4.

Uma vez que existem três termos, este é um trinômio.

Certifique-se de não cair na armadilha de pensar que é sempre o grau do primeiro termo. Este polinômio não é escrito na forma padrão (ordem decrescente). Então, tivemos que ir para o segundo mandato para obter o grau mais alto.

Uma vez que existem dois termos, este é um binômio.

Uma vez que existe um termo, este é um monômio.

Você só pode combinar termos que sejam semelhantes. Você pensa nisso como o reverso da propriedade distributiva.

É como contar maçãs e laranjas. Você apenas conta quantas variáveis ​​você tem as mesmas e escreve o número na frente da parte da variável comum.

Vamos reescrever isso para que tenhamos os termos semelhantes próximos um do outro.

Adicionando termos semelhantes, obtemos:


Subtraindo Polinômios

Ou você pode pensar nisso como uma negação de todos os termos de ().

Para tirar o máximo proveito disso, você deve resolver o problema sozinho e, em seguida, verificar sua resposta clicando no link para a resposta / discussão para esse problema. No link, você encontrará a resposta, bem como todas as etapas necessárias para encontrá-la.

Problemas práticos 1a - 1b: Encontre o grau do termo.

Problemas de prática 2a - 2c: Encontre o grau do polinômio e indique se o polinômio é monomial, binomial, trinomial ou nenhum destes.

Problema prático 3a: Avalie a função polinomial.

Problemas práticos 4a - 4b: Execute a operação indicada e simplifique.


Matemática Pré-cálculo Matemática em Nebraska

Na seção anterior, definimos funções e praticamos usando a notação de função compacta. Nesta seção, exploraremos um tipo de função particularmente útil.

Nesta seção, você vai.

definir e explorar suas características

realizar as quatro operações básicas em polinômios

A é uma expressão composta de um único termo ou soma de termos com apenas uma variável em que cada expoente é um número inteiro. Por exemplo,

são todos polinômios, enquanto

não são polinômios. Polinômios definem funções da forma

Aqui (a_n ) representa qualquer número real e (n ) representa qualquer número inteiro. O de um polinômio com uma variável é o maior expoente de todos os termos. Normalmente, organizamos os termos dos polinômios em ordem decrescente com base em seu grau e os classificamos da seguinte maneira:

Neste curso, chamamos qualquer polinômio com grau superior a 3 um polinômio de (n ) º grau. Por exemplo, se o grau é 4, nós o chamamos de polinômio de quarto grau, se o grau é 5, o chamamos de polinômio de quinto grau e assim por diante.

Quando um polinômio é organizado em ordem decrescente com base em seu grau, chamamos o primeiro termo da soma de, e a parte do coeficiente desse termo é chamada de.

Exemplo 132

Dado (f (x) = 3x ^ 2 + 5x + 17 text <,> ) (g (x) = 15x ^ <24> + 36x ^ <22> + 17x ^ 4 + 31 text <, > ) (h (x) = 11x ^ 2 + 17x ^ 3 + 121x text <,> ) (j (x) = 5x ^ 3 + 2x + 4x ^ 3 + 3x + 5 text <, > ) e (k (x) = 25 text <,> ) declaram o grau, o termo líder e o coeficiente líder de cada polinômio.

Olhando para (f (x) text <,> ), vemos que a maior potência de (x ) é (2 text <,> ) então o grau é (2 text <.> ) O termo com o grau mais alto é (3x ^ 2 text <,> ), o que significa que este é o nosso termo principal e o coeficiente deste termo é (3 text <,> ) o que significa que este é o nosso coeficiente de liderança.

Olhando para (g (x) text <,> ), vemos que a maior potência de (x ) é (24 text <,> ) então o grau é (24 text <.> ) O termo com o grau mais alto é (15x ^ <24> text <,> ), o que significa que este é o nosso termo principal, e o coeficiente deste termo é (15 text <,> ) o que significa isso é o nosso coeficiente principal.

Olhando para (h (x) text <,> ), vemos que o polinômio não está organizado em ordem decrescente de grau, portanto, iremos reorganizá-lo primeiro.

Agora vemos que a maior potência de (x ) é (3 text <,> ) então o grau é (3 text <.> ) O termo com o maior grau é (17x ^ < 3> text <,> ) significando que este é nosso termo líder, e o coeficiente desse termo é (17 text <,> ), o que significa que este é nosso coeficiente líder.

Olhando para (j (x) text <,> ), vemos que o polinômio não está organizado em ordem decrescente de grau, portanto, iremos reorganizá-lo primeiro.

Agora vemos que a maior potência de (x ) é (3 text <,> ) então o grau é (3 text <.> ) O termo com o maior grau é (9x ^ < 3> text <,> ) significando que este é nosso termo líder, e o coeficiente desse termo é (9 text <,> ) o que significa que este é nosso coeficiente líder.

Olhando para (k (x) text <,> ), temos apenas uma constante. Isso é o mesmo que (k (x) = 25 cdot 1 = 25x ^ 0 text <,> ) então vemos que a maior potência de (x ) é (0 text <,> ) então o grau é (0 text <.> ) O termo com o maior grau é (25x ^ 0 = 25 text <,> ), o que significa que este é o nosso termo principal e o coeficiente deste termo é (25 text <,> ) o que significa que este é o nosso coeficiente líder.

Exemplo 133

Dado (f (x) = x ^ 2-8x + 17 text <,> ) find (f (2) ) e (f (4) text <.> )

Substitua cada instância de (x ) pelo valor fornecido entre parênteses.

Podemos escrever (f (2) = 5 ) e (f (4) = 1 text <.> ) Lembre-se de que (f (x) = y ) e assim podemos interpretar esses resultados no gráfico da seguinte forma:

Descobrimos que (f (2) = 5 ) e (f (4) = 1 text <.> )

Uma aplicação útil de polinômios aparece na física. A altura de um objeto lançado para cima, ignorando os efeitos da resistência do ar, pode ser modelada com a seguinte função quadrática:

Com esta fórmula, a altura (h (t) ) pode ser calculada a qualquer momento (t ) após o objeto ser lançado. A letra (g ) representa a aceleração devido à gravidade na superfície da Terra, que é 32 pés por segundo ao quadrado (ou, usando unidades métricas, (g = 9,8 ) metros por segundo ao quadrado). O parâmetro (v_0 ) pronunciado v-zero, ou às vezes v-zero, representa a velocidade inicial do objeto. O parâmetro (s_0 ) representa a altura inicial a partir da qual o objeto foi lançado.

Exemplo 134

Um objeto é lançado do solo a uma velocidade de (64 ) pés por segundo. Escreva uma função que modele a altura do objeto e use-a para calcular a altura do objeto em (1 ) segundo e em (3,5 ) segundos.

Sabemos que a aceleração da gravidade é (g = 32 ) pés por segundo ao quadrado e nos é dada a velocidade inicial (v_0 = 64 ) pés por segundo. Como o objeto é lançado do solo, a altura inicial é de (s_0 = 0 ) pés. Crie o modelo matemático substituindo esses coeficientes na seguinte fórmula:

Use este modelo para calcular a altura do objeto em (1 ) segundo e (3,5 ) segundos.

Nossa função é (h (t) = - 16t ^ 2 + 64t text <.> ) Isso nos diz que em (1 ) segundo o objeto está a uma altura de (48 ) pés, e em (3,5 ) segundos está a uma altura de (28 ) pés.

Exemplo 135

Um objeto cai de uma altura de (6 ) metros. Escreva uma função que modele a altura do objeto e use-a para calcular a altura do objeto (1 ) segundo depois de cair.

Nossa função é (h (t) = - 4,9t ^ 2 + 6 text <.> ) Visto que

em (1 ) segundo, o objeto está a uma altura de (1,1 ) metros.

Subseção Adicionando e Subtraindo Polinômios

Ocasionalmente, uma notação especial é usada para indicar adição e subtração de funções. Isso é mencionado aqui no livro para que você tenha alguma exposição à notação. A notação é a seguinte:

Ao usar a notação de função, tenha o cuidado de agrupar a função inteira e adicionar ou subtrair de acordo.

Exemplo 136

Dado (f (x) = x ^ 3-5x-7 ) e (g (x) = 3x ^ 2 + 7x-2 text <,> ) find (f (x) + g (x ) ) e (f (x) -g (x) text <.> )

A notação (f (x) + g (x) ) indica que devemos adicionar as expressões fornecidas.

A notação (f (x) -g (x) ) indica que devemos subtrair as expressões fornecidas. Ao subtrair, os parênteses se tornam muito importantes. Podemos eliminá-los após aplicar a propriedade distributiva.

Nossas soluções são (f (x) + g (x) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x-9 ) e (f (x) -g (x) = x ^ 3-3x ^ 2-12x -5 text <.> )

Podemos ser solicitados a avaliar a soma ou diferença de duas funções. Temos a opção de primeiro encontrar a soma ou diferença em geral e, em seguida, usar a função resultante para avaliar a variável fornecida, ou avaliar cada uma primeiro e, em seguida, encontrar a soma ou diferença.

Exemplo 137

Avalie (f (3) -g (3) ) dado (f (x) = 5x ^ 2-x + 4 ) e (g (x) = x ^ 2 + 2x-3 text <. > )

Agora substituímos (3 ) pela variável (x text <.> )

Nossa solução é (f (3) -g (3) = 34 text <.> )

Alternativamente, poderíamos ter encontrado (f (3) ) e (g (3) ) e então subtrair os resultados para obter nossa resposta.

Nota: Se vários valores devem ser avaliados, é melhor encontrar a soma ou diferença em geral primeiro e, em seguida, usá-la para avaliar.

Exemplo 138

Dado (f (x) = x ^ 3 + x-8 ) e (g (x) = 2x ^ 2-x + 9 text <,> ) avaliar (f (2) + g (2 ) ) e (f (-2) + g (-2) text <.> )

Vamos calcular (f (x) + g (x) ) por conta própria primeiro.

Subseção Multiplicando e Dividindo Polinômios

A notação que às vezes é usada para indicar multiplicação e divisão de funções é a seguinte:

Neste livro, vamos simplesmente considerar a multiplicação notada por (f (x) cdot g (x) ) e a divisão notada por ( frac, text g (x) neq 0. )

Exemplo 139

Dado (f (x) = 15x ^ 4-9x ^ 3 + 6x ^ 2 ) e (g (x) = 3x ^ 2 text <,> ) find (f (x) cdot g ( x) ) e ( frac text <.> )

Aplique a propriedade distributiva e simplifique.

Para este quociente, assuma (x neq 0 text <.> )

Nossas soluções são (f (x) cdot g (x) = 45x ^ 6-27x ^ 5 + 18x ^ 4 ) e ( frac= 5x ^ 2-3x + 2 text <.> )

Exemplo 140

Dado (f (x) = 6x-5 ) e (g (x) = 3x ^ 2-2x-1 text <,> ) find (f (0) cdot g (0) ) e (f (-1) cdot g (-1) text <.> )

Para encontrar (f (x) cdot g (x) text <,> ), precisamos aplicar a propriedade distributiva várias vezes. Primeiro, distribuímos (6x-5 ) para cada um dos termos em (g (x) ) e, em seguida, distribuímos os termos para cada um dos (6x-5 text <.> )

Agora substituímos (0 ) e (- 1 ) pela variável (x text <.> )

Nossas soluções são (f (0) cdot g (0) = 5 ) e (f (-1) cdot g (-1) = - 44 text <.> )

Exemplo 141

Dado (f (x) = x ^ 3 + x-8 ) e (g (x) = 2x ^ 2-x + 9 text <,> ) find (f (x) cdot g ( x) text <.> )


4.4 Fatorando trinômios com um coeficiente inicial de 1

Nesta seção, agora fatoramos trinômios da forma

Discutiremos dois métodos:

Tentativa e erro (folha reversa) e AC - Método

Vou tentar demonstrar a ideia por trás de cada método abaixo. Cada método tem suas próprias vantagens. Quando você começa, as pessoas costumam usar o Método AC exclusivamente. À medida que você ganha mais experiência, o método de tentativa e erro pode ser muito mais rápido para alguns exemplos. Experimente cada um e use o método de sua preferência!

Exemplo 1. Fator cada um completamente. Use o método de tentativa e erro ou o Método AC.

Método AC de tentativa e erro (folha reversa)

Método AC de tentativa e erro (folha reversa)

4.5 Fatorando trinômios com um coeficiente de liderança diferente de 1 pg 1

Inteiros quadrados perfeitos - preencha o quadro abaixo da melhor maneira possível, sem calculadora. Ser capaz de reconhecer esses números ajudará muito neste curso.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Nesta seção, vamos nos concentrar em fatorações especiais. Trinômios do Quadrado Perfeito

Análise : Multiplique os polinômios a seguir e procure por padrões.

Um dos fatores especiais em que nos concentraremos hoje é um trinômio quadrado perfeito. Esses trinômios resultam da quadratura de um binômio como fizemos acima! Esse padrão nos ajuda a fatorar polinômios com três termos.

Fatore cada trinômio completamente.

Diferença de quadrados

Análise : Multiplique os polinômios a seguir e procure por padrões.

Exemplo 2. Fatore cada um completamente.


Soluções NCERT para Matemática da Classe 9, Capítulo 2 Polinômios Ex 2.5

Soluções NCERT para Matemática da Classe 9, Capítulo 2 Tópicos e subtópicos de polinômios:

  • Polinômios
  • Introdução
  • Polinômios em uma variável
  • Zeros de um polinômio
  • Teorema restante
  • Fatoração de polinômios
  • Identidades Algébricas
  • Resumo

Soluções NCERT para Matemática da Classe 9, Capítulo 2 Polinômios Ex 2.5

Ex 2.5 Classe 9 Matemática Questão 1

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Ex 2.5 Class 9 Matemática Questão 14

Ex 2.5 Class 9 Matemática Questão 15

Ex 2.5 Class 9 Matemática Questão 16


Definir termos polinomiais básicos

Polinômios são expressões algébricas que incluem números reais e variáveis. A divisão e as raízes quadradas não podem estar envolvidas nas variáveis. As variáveis ​​podem incluir apenas adição, subtração e multiplicação.

Polinômios contêm mais de um termo. Polinômios são as somas de monômios.

UMA monômio tem um termo: 5y ou –8x 2 ou 3.
UMA binômio tem dois termos: -3x 2 + 2 ou 9y – 2y 2
UMA trinômio tem 3 termos: -3x 2 + 2 +3x, ou 9y – 2y 2 + y

O grau do termo é o expoente da variável: 3x 2 tem um grau 2.
Quando a variável não tem um expoente - sempre entenda que há um '1', por exemplo, x = x 1

Os polinômios geralmente são escritos em ordem decrescente de termos. O maior termo ou o termo com o maior expoente no polinômio geralmente é escrito primeiro. O primeiro termo em um polinômio é chamado de termo principal. Quando um termo contém um expoente, ele informa o grau do termo.

Aqui está um exemplo de um polinômio de três termos:

6x 2 – 4xy + 2xy 2 - Este polinômio de três termos tem um termo líder no segundo grau. É chamado de polinômio de segundo grau e frequentemente denominado trinômio.

9x 5 – 2x + 3x 4 – 2 - Este polinômio de 4 termos tem um termo líder até o quinto grau e um termo até o quarto grau. É chamado de polinômio de quinto grau.

3x 3 - Esta é uma expressão algébrica de um termo que, na verdade, é chamada de monômio.

Exemplo 1.Determine se cada expressão é um polinômio. Se for, classifique cada polinômio pelo tipo apropriado (monomial, binomial ou trinomial) e forneça o grau.

a) 3x –2 - 5x + 2 não representa um polinômio, pois o primeiro expoente, –1, não é um número inteiro. b)

x 2 – 5 is a second degree binomial.

8x 5 – 3x 3 – 2x 2 + 6 represents a fifth degree polynomial.


5.2: Introduction to Polynomials - Mathematics

UMA polinomial is a mathematical expression that consists of variables and constants combined using addition, subtraction and multiplication. Variables may have non-negative integer exponents. Although division by a constant is allowed, division by a variable is not allowed.

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    • Introduction to Polynomials
    • Polynomials in One Variable
    • Zeroes of a Polynomial
    • Remainder Theorem
    • Factorisation of Polynomials
    • Identidades Algébricas
    • Review of Polynomials
    • Identity for the Square of a Trinomial
    • Identity for the Cube of a Binomial
    • Sum and Difference of Cubes
    • Factorization of Algebraic Expressions as the Sum or Difference of Two Cubes
    • Factorization by Using the Formulae for the Cube of a Binomial
    • Factor Theorem

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