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9.3: Resolva Equações Quadráticas Completando o Quadrado - Matemática


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Complete o quadrado de uma expressão binomial
  • Resolva as equações quadráticas da forma (x ^ {2} + bx + c = 0 ) completando o quadrado
  • Resolva as equações quadráticas da forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) completando o quadrado

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Expanda: ((x + 9) ^ {2} ).
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 5.32.
  2. Fator (y ^ {2} -14 y + 49 ).
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 6.9.
  3. Fator (5 n ^ {2} +40 n + 80 ).
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 6.14.

Até agora, resolvemos equações quadráticas fatorando e usando a propriedade de raiz quadrada. Nesta seção, vamos resolver equações quadráticas por um processo chamado Completando o quadrado, o que é importante para nosso trabalho posterior em cônicas.

Complete o quadrado de uma expressão binomial

Na última seção, pudemos usar a propriedade de raiz quadrada para resolver a equação ((y-7) ^ {2} = 12 ) porque o lado esquerdo era um quadrado perfeito.

Também resolvemos uma equação na qual o lado esquerdo era um trinômio quadrado perfeito, mas tivemos que reescrever a forma ((x − k) ^ {2} ) para usar a propriedade de raiz quadrada.

O que acontece se a variável não fizer parte de um quadrado perfeito? Podemos usar álgebra para fazer um quadrado perfeito?

Vejamos dois exemplos para nos ajudar a reconhecer os padrões.

Nós reafirmamos os padrões aqui para referência.

Definição ( PageIndex {1} ): Padrão de quadrados binomiais

Se (a ) e (b ) forem números reais,

Podemos usar esse padrão para “fazer” um quadrado perfeito.

Começaremos com a expressão (x ^ {2} +6 x ). Como há um sinal de mais entre os dois termos, usaremos o padrão ((a + b) ^ {2} ), (a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} = (a + b) ^ {2} ).

Em última análise, precisamos encontrar o último termo desse trinômio que o tornará um trinômio quadrado perfeito. Para fazer isso, precisaremos encontrar (b ). Mas primeiro começamos determinando (a ). Observe que o primeiro termo de (x ^ {2} + 6x ) é um quadrado, (x ^ {2} ). Isso nos diz que (a = x ).

Qual número, (b ), quando multiplicado por (2x ) dá (6x )? Teria que ser (3 ), que é ( frac {1} {2} (6) ). Portanto, (b = 3 ).

Agora, para completar o trinômio quadrado perfeito, encontraremos o último termo elevando ao quadrado (b ), que é (3 ^ {2} = 9 ).

Agora podemos fatorar.

Assim, descobrimos que adicionar (9 ) a (x ^ {2} +6 x ) ‘completa o quadrado’ e o escrevemos como ((x + 3) ^ {2} ).

Howto: Complete um quadrado de (x ^ {2} + bx )

  1. Identifique (b ), o coeficiente de (x ).
  2. Encontre ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ), o número para completar o quadrado.
  3. Adicione o ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ) a (x ^ {2} + bx ).
  4. Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Complete o quadrado para fazer um trinômio quadrado perfeito. Em seguida, escreva o resultado como um quadrado binomial.

  1. (x ^ {2} -26 x )
  2. (y ^ {2} -9 y )
  3. (n ^ {2} + frac {1} {2} n )

Solução:

uma.

O coeficiente de (x ) é -26.

Encontre ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ).

( left ( frac {1} {2} cdot (-26) right) ^ {2} )
((13)^{2})
169

Adicione (169 ) ao binômio para completar o quadrado.

(x ^ {2} -26 x + 169 )

Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.

((x-13) ^ {2} )

b.

O coeficiente de (y ) é (- 9 ).

Encontre ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ).

( left ( frac {1} {2} cdot (-9) right) ^ {2} )
( left (- frac {9} {2} right) ^ {2} )
( frac {81} {4} )

Adicione ( frac {81} {4} ) ao binômio para completar o quadrado.

(y ^ {2} -9 y + frac {81} {4} )

Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.

( left (y- frac {9} {2} right) ^ {2} )

c.

O coeficiente de (n ) é ( frac {1} {2} ).

Encontre ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ).

( left ( frac {1} {2} cdot frac {1} {2} right) ^ {2} )
( left ( frac {1} {4} right) ^ {2} )
( frac {1} {16} )

Adicione ( frac {1} {16} ) ao binômio para completar o quadrado. (n ^ {2} + frac {1} {2} n + frac {1} {16} )
Reescreva como um quadrado binomial. ( left (n + frac {1} {4} right) ^ {2} )

Exercício ( PageIndex {1} )

Complete o quadrado para fazer um trinômio quadrado perfeito. Em seguida, escreva o resultado como um quadrado binomial.

  1. (a ^ {2} -20 a )
  2. (m ^ {2} -5 m )
  3. (p ^ {2} + frac {1} {4} p )
Responder
  1. ((a-10) ^ {2} )
  2. ( left (b- frac {5} {2} right) ^ {2} )
  3. ( left (p + frac {1} {8} right) ^ {2} )

Exercício ( PageIndex {2} )

Complete o quadrado para fazer um trinômio quadrado perfeito. Em seguida, escreva o resultado como um quadrado binomial.

  1. (b ^ {2} -4 b )
  2. (n ^ {2} +13 n )
  3. (q ^ {2} - frac {2} {3} q )
Responder
  1. ((b-2) ^ {2} )
  2. ( left (n + frac {13} {2} right) ^ {2} )
  3. ( left (q- frac {1} {3} right) ^ {2} )

Resolva Equações Quadráticas da Forma (x ^ {2} + bx + c = 0 ) Completando o Quadrado

Ao resolver equações, devemos sempre fazer a mesma coisa com os dois lados da equação. Isso é verdade, é claro, quando resolvemos um Equação quadrática de Completando o quadrado também. Quando adicionamos um termo a um lado da equação para fazer um trinômio quadrado perfeito, devemos também adicionar o mesmo termo ao outro lado da equação.

Por exemplo, se começarmos com a equação (x ^ {2} + 6x = 40 ) e quisermos completar o quadrado à esquerda, adicionaremos 9 a ambos os lados da equação.

Agora a equação está na forma de resolver usando o Propriedade de Raiz Quadrada! Completar o quadrado é uma maneira de transformar uma equação na forma de que precisamos para poder usar a propriedade de raiz quadrada.

Exemplo ( PageIndex {2} ) Como resolver uma equação quadrática da forma (x ^ {2} + bx + x = 0 ) completando o quadrado

Resolva completando o quadrado: (x ^ {2} + 8x = 48 ).

Solução:

Passo 1: Isole os termos variáveis ​​de um lado e os termos constantes do outro.Esta equação possui todas as variáveis ​​à esquerda. ( begin {array} {l} { color {red} {x ^ {2} + bx quad : : : c}} {x ^ {2} +8 x = 48} fim {array} )
Passo 2: Encontre ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ), o número para completar o quadrado. Adicione-o a ambos os lados da equação.

Pegue metade de (8 ) e eleve ao quadrado.

(4^{2}=16)

Adicione (16 ) a AMBOS os lados da equação.

(x ^ {2} +8 x + frac {} { color {red} { left ( frac {1} {2} cdot 8 right) ^ {2}}} color {black} { =} 48 )

(x ^ {2} +8 x color {red} {+ 16} color {black} {=} 48 color {red} {+ 16} )

etapa 3: Fatore o trinômio quadrado perfeito como um quadrado binomial.

(x ^ {2} +8 x + 16 = (x + 4) ^ {2} )

Adicione os termos à direita.

((x + 4) ^ {2} = 64 )
Passo 4: Use a propriedade de raiz quadrada. (x + 4 = pm sqrt {64} )
Etapa 5: Simplifique o radical e resolva as duas equações resultantes.

(x + 4 = pm 8 )

Etapa 6: Verifique as soluções.Coloque cada resposta na equação original para verificar. Substitua (x = 4 ) e (x = -12 ).

( begin {array} {r} {x ^ {2} +8 x = 48} {( color {red} {4} color {black} {)} ^ {2} +8 ( cor {vermelho} {4} color {preto} {)} stackrel {?} {=} 48} {16 + 32 stackrel {?} {=} 48} {48 = 48} end {variedade})

Exercício ( PageIndex {3} )

Resolva completando o quadrado: (x ^ {2} +4 x = 5 ).

Responder

(x = -5, x = -1 )

Exercício ( PageIndex {4} )

Resolva completando o quadrado: (y ^ {2} −10y = −9 ).

Responder

(y = 1, y = 9 )

As etapas para resolver uma equação quadrática completando o quadrado estão listadas aqui.

Resolva uma equação quadrática da forma (x ^ {2} + bx + c = 0 ) completando o quadrado

  1. Isole os termos variáveis ​​de um lado e os termos constantes do outro.
  2. Encontre ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ), o número necessário para completar o quadrado. Adicione-o a ambos os lados da equação.
  3. Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um binomial ao quadrado à esquerda e simplifique adicionando os termos à direita
  4. Use a propriedade de raiz quadrada.
  5. Simplifique o radical e resolva as duas equações resultantes.
  6. Verifique as soluções.

Quando resolvemos uma equação completando o quadrado, as respostas nem sempre serão inteiros.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolva completando o quadrado: (x ^ {2} +4 x = -21 ).

Solução:

Os termos variáveis ​​estão no lado esquerdo.

Pegue metade de (4 ) e eleve ao quadrado.

( left ( frac {1} {2} (4) right) ^ {2} = 4 )
Adicione (4 ) a ambos os lados.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.
Use a propriedade de raiz quadrada.
Simplificando usando números complexos.
Subtraia (2 ) de cada lado.
Reescreva para mostrar duas soluções.
Deixamos o cheque para você.

Exercício ( PageIndex {5} )

Resolva completando o quadrado: (y ^ {2} -10 y = -35 ).

Responder

(y = 5 + sqrt {15} i, y = 5- sqrt {15 i} )

Exercício ( PageIndex {6} )

Resolva completando o quadrado: (z ^ {2} +8 z = -19 ).

Responder

(z = -4 + sqrt {3} i, z = -4- sqrt {3} i )

No exemplo anterior, nossas soluções eram números complexos. No próximo exemplo, as soluções serão números irracionais.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva completando o quadrado: (y ^ {2} -18 y = -6 ).

Solução:

Os termos variáveis ​​estão no lado esquerdo. Pegue metade de (- 18 ) e eleve ao quadrado.
( left ( frac {1} {2} (- 18) right) ^ {2} = 81 )
Adicione (81 ) a ambos os lados.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.
Use a propriedade de raiz quadrada.
Simplifique o radical.
Resolva para (y ).

Verificar.

Outra maneira de verificar isso seria usar uma calculadora. Avalie (y ^ {2} −18y ) para ambas as soluções. A resposta deve ser (- 6 ).

Exercício ( PageIndex {7} )

Resolva completando o quadrado: (x ^ {2} -16 x = -16 ).

Responder

(x = 8 + 4 sqrt {3}, x = 8-4 sqrt {3} )

Exercício ( PageIndex {8} )

Resolva completando o quadrado: (y ^ {2} +8 y = 11 ).

Responder

(y = -4 + 3 sqrt {3}, y = -4-3 sqrt {3} )

Começaremos o próximo exemplo isolando os termos variáveis ​​no lado esquerdo da equação.

Exercício ( PageIndex {9} )

Resolva completando o quadrado: (a ^ {2} +4 a + 9 = 30 ).

Responder

(a = -7, a = 3 )

Exercício ( PageIndex {10} )

Resolva completando o quadrado: (b ^ {2} +8 b-4 = 16 ).

Responder

(b = -10, b = 2 )

Para resolver a próxima equação, devemos primeiro coletar todos os termos variáveis ​​do lado esquerdo da equação. Em seguida, procedemos como fizemos nos exemplos anteriores.

Exemplo ( PageIndex {6} )

Resolva completando o quadrado: (n ^ {2} = 3 n + 11 ).

Solução:

Subtraia (3n ) para obter os termos variáveis ​​no lado esquerdo.
Pegue metade de (- 3 ) e eleve ao quadrado.
( left ( frac {1} {2} (- 3) right) ^ {2} = frac {9} {4} )
Adicione ( frac {9} {4} ) a ambos os lados.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.
Adicione as frações do lado direito.
Use a propriedade de raiz quadrada.
Simplifique o radical.
Resolva para (n ).
Reescreva para mostrar duas soluções.

Verificar:

Deixamos o cheque para você!

Exercício ( PageIndex {11} )

Resolva completando o quadrado: (p ^ {2} = 5 p + 9 ).

Responder

(p = frac {5} {2} + frac { sqrt {61}} {2}, p = frac {5} {2} - frac { sqrt {61}} {2} )

Exercício ( PageIndex {12} )

Resolva completando o quadrado: (q ^ {2} = 7 q-3 ).

Responder

(q = frac {7} {2} + frac { sqrt {37}} {2}, q = frac {7} {2} - frac { sqrt {37}} {2} )

Observe que o lado esquerdo da próxima equação está na forma fatorada. Mas o lado direito não é zero. Portanto, não podemos usar o Propriedade de Produto Zero uma vez que diz “Se (a⋅b = 0 ), então (a = 0 ) ou (b = 0 ).” Em vez disso, multiplicamos os fatores e, em seguida, colocamos a equação na forma padrão para resolver completando o quadrado.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Resolva completando o quadrado: ((x-3) (x + 5) = 9 ).

Solução:

Multiplicamos os binômios à esquerda.
Adicione (15 ) para isolar os termos constantes à direita.
Pegue metade de (2 ) e eleve ao quadrado.
( left ( frac {1} {2} cdot (2) right) ^ {2} = 1 )
Adicione (1 ) a ambos os lados.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.
Use a propriedade de raiz quadrada.
Resolva para (x ).
Reescreva para mostrar duas soluções.
Simplificar.

Verificar:

Deixamos o cheque para você!

Exercício ( PageIndex {13} )

Resolva completando o quadrado: ((c-2) (c + 8) = 11 ).

Responder

(c = -9, c = 3 )

Exercício ( PageIndex {14} )

Resolva completando o quadrado: ((d-7) (d + 3) = 56 ).

Responder

(d = 11, d = -7 )

Resolva Equações Quadráticas da Forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) Completando o Quadrado

O processo de Completando o quadrado funciona melhor quando o coeficiente de (x ^ {2} ) é (1 ), então o lado esquerdo da equação tem a forma (x ^ {2} + bx + c ). Se o termo (x ^ {2} ) tiver um coeficiente diferente de (1 ), daremos alguns passos preliminares para tornar o coeficiente igual a (1 ).

Às vezes, o coeficiente pode ser fatorado de todos os três termos do trinômio. Essa será nossa estratégia no próximo exemplo.

Exercício ( PageIndex {15} )

Resolva completando o quadrado: (2 m ^ {2} +16 m + 14 = 0 ).

Responder

(m = -7, m = -1 )

Exercício ( PageIndex {16} )

Resolva completando o quadrado: (4 n ^ {2} -24 n-56 = 8 ).

Responder

(n = -2, n = 8 )

Para completar o quadrado, o coeficiente de (x ^ {2} ) deve ser (1 ). Quando o principal coeficiente não é um fator de todos os termos, vamos dividir os dois lados da equação pelo coeficiente líder! Isso nos dará uma fração para o segundo coeficiente. Já vimos como completar o quadrado com frações nesta seção.

Exemplo ( PageIndex {9} )

Resolva completando o quadrado: (2 x ^ {2} -3 x = 20 ).

Solução:

Para completar o quadrado, precisamos que o coeficiente de (x ^ {2} ) seja um. Vamos dividir os dois lados da equação pelo coeficiente de (x ^ {2} ). Então, podemos continuar resolvendo a equação, completando o quadrado.

Divida ambos os lados por (2 ) para obter o coeficiente de (x ^ {2} ) para ser (1 ).
Simplificar.
Pegue metade de (- frac {3} {2} ) e eleve ao quadrado.
( left ( frac {1} {2} left (- frac {3} {2} right) right) ^ {2} = frac {9} {16} )
Adicione ( frac {9} {16} ) a ambos os lados.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.
Adicione as frações do lado direito.
Use a propriedade de raiz quadrada.
Simplifique o radical.
Resolva para (x ).
Reescreva para mostrar duas soluções.
Simplificar.

Verificar:

Deixamos o cheque para você!

Exercício ( PageIndex {17} )

Resolva completando o quadrado: (3 r ^ {2} -2 r = 21 ).

Responder

(r = - frac {7} {3}, r = 3 )

Exercício ( PageIndex {18} )

Resolva completando o quadrado: (4 t ^ {2} +2 t = 20 ).

Responder

(t = - frac {5} {2}, t = 2 )

Agora que vimos que o coeficiente de (x ^ {2} ) deve ser (1 ) para completarmos o quadrado, atualizamos nosso procedimento para resolver um Equação quadrática completando o quadrado para incluir as equações da forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Howto: Resolva uma Equação Quadrática da Forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ) Completando o Quadrado

  1. Divida por aa para fazer o coeficiente de (x ^ {2} ) term (1 ).
  2. Isole os termos variáveis ​​de um lado e os termos constantes do outro.
  3. Encontre ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ), o número necessário para completar o quadrado. Adicione-o a ambos os lados da equação.
  4. Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um binomial ao quadrado à esquerda e simplifique adicionando os termos à direita
  5. Use a propriedade de raiz quadrada.
  6. Simplifique o radical e resolva as duas equações resultantes.
  7. Verifique as soluções.

Exemplo ( PageIndex {10} )

Resolva completando o quadrado: (3 x ^ {2} +2 x = 4 ).

Solução:

Novamente, nosso primeiro passo será fazer o coeficiente de (x ^ {2} ) um. Dividindo ambos os lados da equação pelo coeficiente de (x ^ {2} ), podemos continuar com a resolução da equação completando o quadrado.

Divida ambos os lados por (3 ) para tornar o coeficiente de (x ^ {2} ) igual a (1 ).
Simplificar.
Pegue metade de ( frac {2} {3} ) e eleve ao quadrado.
( left ( frac {1} {2} cdot frac {2} {3} right) ^ {2} = frac {1} {9} )
Adicione ( frac {1} {9} ) a ambos os lados.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.
Use a propriedade de raiz quadrada.
Simplifique o radical.
Resolva para (x ).
Reescreva para mostrar duas soluções.

Verificar:

Deixamos o cheque para você!

Exercício ( PageIndex {19} )

Resolva completando o quadrado: (4 x ^ {2} +3 x = 2 ).

Responder

(x = - frac {3} {8} + frac { sqrt {41}} {8}, x = - frac {3} {8} - frac { sqrt {41}} {8 } )

Exercício ( PageIndex {20} )

Resolva completando o quadrado: (3 y ^ {2} -10 y = -5 ).

Responder

(y = frac {5} {3} + frac { sqrt {10}} {3}, y = frac {5} {3} - frac { sqrt {10}} {3} )

Acesse esses recursos online para obter instruções adicionais e praticar como completar o quadrado.

  • Completando os Trinômios do Quadrado Perfeito
  • Completando o quadrado 1
  • Completando o quadrado para resolver equações quadráticas
  • Completando o quadrado para resolver equações quadráticas: mais exemplos
  • Completando o Quadrado 4

Conceitos chave

  • Padrão de quadrados binomiais
    Se (a ) e (b ) forem números reais,
  • Como preencher um quadrado
    1. Identifique (b ), o coeficiente de (x ).
    2. Encontre ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ), o número para completar o quadrado.
    3. Adicione o ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ) a (x ^ {2} + bx )
    4. Reescrever o trinômio como um quadrado binomial
  • Como resolver uma equação quadrática do formulário (a x ^ {2} + b x + c = 0 ) completando o quadrado.
    1. Divida por (a ) para fazer o coeficiente de (x ^ {2} ) termo (1 ).
    2. Isole os termos variáveis ​​de um lado e os termos constantes do outro.
    3. Encontre ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ), o número necessário para completar o quadrado. Adicione-o a ambos os lados da equação.
    4. Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um binômio ao quadrado à esquerda e simplifique adicionando os termos à direita.
    5. Use a propriedade de raiz quadrada.
    6. Simplifique o radical e resolva as duas equações resultantes.
    7. Verifique as soluções.

Resolva equações quadráticas completando o quadrado

Até agora, resolvemos equações quadráticas fatorando e usando a propriedade de raiz quadrada. Nesta seção, vamos resolver equações quadráticas por um processo chamado Completando o quadrado, o que é importante para nosso trabalho posterior em cônicas.

Complete o quadrado de uma expressão binomial

Na última seção, pudemos usar o Propriedade de Raiz Quadrada para resolver a equação (y - 7) 2 = 12 porque o lado esquerdo era um quadrado perfeito.

Também resolvemos uma equação em que o lado esquerdo era um trinômio quadrado perfeito, mas tivemos que reescrever a forma (x - k) 2

para usar a propriedade de raiz quadrada.

O que acontece se a variável não fizer parte de um quadrado perfeito? Podemos usar álgebra para fazer um quadrado perfeito?

Vejamos dois exemplos para nos ajudar a reconhecer os padrões.

Nós reafirmamos os padrões aqui para referência.

Se uma e b são números reais,

Podemos usar esse padrão para “fazer” um quadrado perfeito.

Vamos começar com a expressão x 2 + 6x. Como há um sinal de mais entre os dois termos, usaremos o (uma + b) 2 padrão, uma 2 + 2ab + b 2 = (uma + b) 2 .

Em última análise, precisamos encontrar o último termo desse trinômio que o tornará um trinômio quadrado perfeito. Para fazer isso, precisamos encontrar b. Mas primeiro começamos determinando uma. Observe que o primeiro termo de x 2 + 6x é um quadrado, x 2 Isso nos diz que uma = x.

Qual número, b, quando multiplicado por 2x dá 6x? Teria que ser 3, que é 1 2 (6).

Agora, para completar o trinômio quadrado perfeito, encontraremos o último termo ao elevar ao quadrado b, que é 3 2 = 9.

Agora podemos fatorar.

Então descobrimos que adicionar 9 a x 2 + 6x ‘Completa o quadrado’, e nós o escrevemos como (x + 3) 2 .

o número para completar o quadrado.

Complete o quadrado para fazer um trinômio quadrado perfeito. Em seguida, escreva o resultado como um quadrado binomial.

O coeficiente de x é −26.
Encontre (1 2 b) 2. (1 2 · (−26)) 2 (13) 2 169
Adicione 169 ao binômio para completar o quadrado.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.

O coeficiente de y é −9.
Encontre (1 2 b) 2. (1 2 · (−9)) 2 (- 9 2) 2 81 4
Adicione 81 4 ao binômio para completar o quadrado.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.

O coeficiente de n

Encontre (1 2 b) 2. (1 2 · 1 2) 2 (1 4) 2 1 16
Adicionar 1 16
ao binômio para completar o quadrado.
Reescreva como um quadrado binomial.

Complete o quadrado para fazer um trinômio quadrado perfeito. Em seguida, escreva o resultado como um quadrado binomial.


9.3: Resolva Equações Quadráticas Completando o Quadrado - Matemática

8.2 Radicandos de raízes de ordem superior que contêm

Variáveis. 8.3 Simplificando Expressões Radicais. 8,4

Adicionando e subtraindo expressões radicais. 8,5

Multiplicando e dividindo expressões radicais. 8,6

Resolvendo equações radicais a fórmula da distância.

8.7 Expoentes racionais. Resumo do capítulo e

Análise. Teste do capítulo. Revisão cumulativa. 9

EQUAÇÕES QUADRÁTICAS. 9.1 Resolvendo Quadrático

Equações: a propriedade da raiz quadrada. 9.2 Resolvendo

Equações quadráticas: Completando o quadrado.

9.3 Resolvendo Equações Quadráticas: O Quadrático

Fórmula. 9.4 Representação gráfica de equações quadráticas. 9,5

Números complexos. Resumo e revisão do capítulo.

Teste do capítulo. Revisão cumulativa. Apêndice 1

Estatisticas. Apêndice 2 Raízes e poderes.

Alan S. Tussy, Citrus College Diane Koenig, Rock Valley College


Bem-vindo a este guia de aula gratuito que acompanha este Completando o Quadrado Explicado! tutorial em vídeo, onde você aprenderá as respostas às seguintes perguntas e informações importantes:

Qual é a conclusão da fórmula quadrada?

Como posso resolver completando o quadrado?

Como posso dominar a resolução de equações quadráticas completando o quadrado?

Quais são as etapas de conclusão de quadrados?

este Guia completo para completar o quadrado inclui vários exemplos, um tutorial passo a passo, uma minilição de vídeo animada e uma planilha gratuita e chave de resposta.


Equações quadráticas

As parábolas têm um ponto mais alto ou mais baixo denominado Vértice. Nossa parábola se abre e, portanto, tem um ponto mais baixo (também conhecido como mínimo absoluto). Sabemos disso antes mesmo de traçar "y" porque o coeficiente do primeiro termo, 1, é positivo (maior que zero).

Cada parábola possui uma linha vertical de simetria que passa por seu vértice. Por causa dessa simetria, a linha de simetria passaria, por exemplo, pelo ponto médio dos dois interceptos x (raízes ou soluções) da parábola. Ou seja, se a parábola tiver de fato duas soluções reais.

As parábolas podem modelar muitas situações da vida real, como a altura acima do solo, de um objeto jogado para cima, após algum período de tempo. O vértice da parábola pode nos fornecer informações, como a altura máxima que o objeto, lançado para cima, pode atingir. Por esta razão, queremos ser capazes de encontrar as coordenadas do vértice.

Para qualquer parábola, Ax 2 + Bx + C, a coordenada x do vértice é dada por -B / (2A). No nosso caso, a coordenada x é 2.0000

Conectando-se à fórmula da parábola 2.0000 para x, podemos calcular a coordenada y:
y = 1,0 * 2,00 * 2,00 - 4,0 * 2,00 - 27,0
ou y = -31.000

Parábola, vértice gráfico e interceptações X:

Gráfico de raiz para: y = x 2 -4x-27
Eixo de simetria (tracejado) = < 2.00>
Vértice em = < 2.00,-31.00>
x -Intercepts (Roots):
Root 1 em = <-3.57, 0.00>
Root 2 em =

Resolva a equação quadrática completando o quadrado

2.2 Resolvendo x 2 -4x-27 = 0 completando o quadrado.

Adicione 27 a ambos os lados da equação:
x 2 -4x = 27

Agora a parte mais inteligente: pegue o coeficiente de x, que é 4, divida por dois, dando 2 e, finalmente, eleve ao quadrado, dando 4

Adicione 4 a ambos os lados da equação:
No lado direito, temos:
27 + 4 ou, (27/1) + (4/1)
O denominador comum das duas frações é 1 Somando (27/1) + (4/1) dá 31/1
Assim, adicionando os dois lados, finalmente obtemos:
x 2 -4x + 4 = 31

Adicionar 4 completou o lado esquerdo em um quadrado perfeito:
x 2 -4x + 4 =
(x-2) • (x-2) =
(x-2) 2
Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais umas às outras. Desde
x 2 -4x + 4 = 31 e
x 2 -4x + 4 = (x-2) 2
então, de acordo com a lei da transitividade,
(x-2) 2 = 31

Vamos nos referir a esta equação como Eq. # 2.2.1

O Princípio da Raiz Quadrada diz que quando duas coisas são iguais, suas raízes quadradas são iguais.

Observe que a raiz quadrada de
(x-2) 2 é
(x-2) 2/2 =
(x-2) 1 =
x-2

Agora, aplicando o Princípio da Raiz Quadrada à Eq. # 2.2.1 obtemos:
x-2 = √ 31

Adicione 2 a ambos os lados para obter:
x = 2 + √ 31

Como uma raiz quadrada tem dois valores, um positivo e outro negativo
x 2 - 4x - 27 = 0
tem duas soluções:
x = 2 + √ 31
ou
x = 2 - √ 31

Resolva a equação quadrática usando a fórmula quadrática

2.3 Resolvendo x 2 -4x-27 = 0 pela Fórmula Quadrática.

De acordo com a Fórmula Quadrática, x, a solução para Ax 2 + Bx + C = 0, onde A, B e C são números, muitas vezes chamados de coeficientes, é dada por:

- B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A

Em nosso caso, A = 1
B = -4
C = -27

Assim, B 2 - 4AC =
16 - (-108) =
124

Aplicando a fórmula quadrática:

Sim ! A fatoração principal de 124 é
2•2 •31
Para ser capaz de remover algo sob o radical, deve haver 2 instâncias dele (porque estamos tomando um quadrado, ou seja, a segunda raiz).

√ 31, arredondado para 4 dígitos decimais, é 5,5678
Portanto, agora estamos olhando para:
x = (4 ± 2 • 5,568) / 2


SOLUÇÃO: eu não entendo isso de forma alguma, resolva cada uma das seguintes equações quadráticas completando o quadrado. x ^ 2 - 6x - 3 = 0

Adicione este resultado (9) a ambos os lados. Agora, a expressão é um trinômio quadrado perfeito.


Fatorar em (observação: se precisar de ajuda com a fatoração, verifique este solucionador)

Combine os termos semelhantes no lado direito

Tire a raiz quadrada de ambos os lados

Adicione 3 a ambos os lados para isolar x.

Portanto, a expressão se divide em
ou


Portanto, nossa resposta é aproximadamente
ou


Quando usamos o recurso localizador de raiz em uma calculadora, descobriríamos que as interceptações x são e, portanto, isso verifica nossa resposta.

Você pode colocar esta solução no SEU site!
x ^ 2 - 6x -3 = 0
temos que levar 3 para o outro lado, adicionando 3 a ambos os lados
x ^ 2 - 6x -3 + 3 = 0 +3
x ^ 2 - 6x = 3
Agora temos que completar o quadrado dividindo 2 por 6 e, em seguida, elevando-o ao quadrado.
(6/2)^2 = (3)^2 = 9
Agora vamos adicionar 9 a ambos os lados
x ^ 2 - 6x + 9 = 3 + 9
(x-3) ^ 2 = 12
Agora obtemos a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

x - 3 = 2
x - 3 + 3 = 3 + 2
x = 3 + 2 ou x = 3 - 2
Normalmente você usaria o sinal de raiz sqaure e o sinal de mais ou menos.
Espero que isso ajude você. Boa sorte. )


A única razão pela qual pudemos resolver na página anterior foi porque eles já haviam colocado todos os x coisas dentro de um quadrado, para que pudéssemos mover a parte estritamente numérica da equação para o outro lado do sinal & quotquals & quot e, em seguida, aplicar raiz quadrada em ambos os lados Eles nem sempre formatam as coisas tão bem quanto este. Então, como vamos de uma quadrática regular como a acima para uma equação que está pronta para ter raiz quadrada?

Teremos que & quotcompletar o quadrado & quot.

Veja como teríamos resolvido a última equação da página anterior, se eles não a tivessem formatado de maneira adequada para nós.

Use o preenchimento do quadrado para resolver x 2 & ndash 4x & ndash 8 = 0.

Conforme observado acima, essa quadrática não é fatorada, então não posso resolver a equação por fatoração. E eles não me deram a equação de uma forma que está pronta para gerar raiz quadrada. Mas há uma maneira de manipular o quadrático para colocá-lo naquela forma pronta para o enraizamento do quadrado, para que eu possa resolver.

Primeiro, coloco o número solto do outro lado da equação:

Então eu olho para o coeficiente do x -term, que é & ndash4 neste caso. Eu levo metade deste número (incluindo o sinal), o que me dá & ndash2. (Preciso controlar esse valor. Isso simplificará meu trabalho mais tarde.)

Então eu elevo este valor ao quadrado para obter +4 e adiciono este valor ao quadrado a ambos os lados da equação:

Esse processo cria uma expressão quadrática que é um quadrado perfeito no lado esquerdo da equação. Posso fatorar ou simplesmente substituir a forma quadrática pela forma binomial ao quadrado, que é a variável, x , junto com a metade do número que recebi antes (e observei que precisaria mais tarde), que era & ndash2. De qualquer forma, obtenho a equação de raiz quadrada:

(Eu sei que é um & quot & ndash2 & quot entre parênteses porque metade de & ndash4 era & ndash2. Ao observar o sinal quando estou encontrando a metade do coeficiente, ajudo a evitar bagunçar o sinal mais tarde, quando estou convertendo para a forma binomial ao quadrado.)

(A propósito, esse processo é chamado de & quotcompletar o quadrado & quot porque adicionamos um termo para converter a expressão quadrática em algo que fatora como o quadrado de um binômio, ou seja, & quotcompletamos & quot; a expressão para criar um binômio de quadrado perfeito).

Agora posso fazer a raiz quadrada de ambos os lados da equação, simplificar e resolver:

Usando este método, obtenho a mesma resposta que recebia antes, a saber:

Resolva 2x 2 & ndash 5x + 1 = 0 ao completar o quadrado.

Há uma etapa extra para resolver essa equação, porque o coeficiente líder não é 1. Primeiro, terei que dividir para converter o coeficiente líder em 1. Este é o meu processo:

Agora que tenho todos os termos com variáveis ​​de um lado, com o termo estritamente numérico do outro lado, estou pronto para completar o quadrado do lado esquerdo. Primeiro, eu pego o coeficiente do termo linear (completo com seu sinal), & ndash (5/2), e multiplico pela metade, e quadrado:

Em seguida, adiciono esse novo valor a ambos os lados, converto para a forma binomial ao quadrado no lado esquerdo e resolvo:

Os dois termos do lado direito da última linha acima podem ser combinados sobre um denominador comum, e é frequentemente (& quotusualmente & quot?) Como a resposta será escrita, especialmente se as instruções para o exercício incluírem a estipulação de & quotsimplificar & quot o resposta final:

Em outro lugar, tenho uma lição apenas sobre a resolução de equações quadráticas completando o quadrado. Essa lição (re-) explica as etapas e dá (mais) exemplos desse processo. Também mostra como a Fórmula Quadrática pode ser derivada desse processo. Se você precisar de mais instruções ou prática neste tópico, leia a lição no hiperlink acima.

A propósito, a menos que você diga que você tenho para usar o preenchimento do quadrado, você provavelmente nunca usará esse método na prática real ao resolver equações quadráticas. Ou algum outro método (como fatoração) será óbvio e mais rápido, ou então a Fórmula Quadrática (revisada a seguir) será mais fácil de usar. No entanto, se sua classe cobriu o preenchimento do quadrado, você deve esperar ser solicitado a mostrar que pode concluir o quadrado para resolver um quadrático no próximo teste.

Você pode usar o widget Mathway abaixo para praticar a resolução de equações quadráticas completando o quadrado. Experimente o exercício inserido ou digite seu próprio exercício. Em seguida, clique no botão e selecione & quotSolver preenchendo o quadrado & quot para comparar sua resposta com a de Mathway. (Ou pule o widget e vá para a próxima página.)

(Clique em & quotToque para ver as etapas & quot para ser levado diretamente ao site do Mathway para uma atualização paga.)


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Soluções de equações quadráticas completando o quadrado

Na seção anterior, você aprendeu um método para obter as raízes de uma equação quadrática. Nesta seção, estudaremos outro método. Para implementar este método, temos algumas etapas a seguir. Vamos entender as etapas com `2x ^ 2 + 7x-9 = 0` neste exemplo-
1) Faça o coeficiente de `x ^ 2` como 1. Para isso temos que dividir toda a equação com o coeficiente de` x ^ 2`. No exemplo acima, o coeficiente de `x ^ 2` é 2, então vamos dividir a equação por 2, obtemos,` x ^ 2 + "7x" / 2-9 / 2 = 0`

2) Depois disso, leve a constante para RHS. Portanto, obtemos `x ^ 2 +" 7x "/ 2 = 9 / 2`.

3) Agora pegue o quadrado do coeficiente de x depois de multiplicar por `1 / 2` e, em seguida, adicione esse número a ambos os lados, ou seja, adicione:` (1/2 & vezes o "coeficiente" "de" x) ^ 2`

O coeficiente de x aqui é `7/2, (1/2 & times7 / 2) ^ 2 = (7/4) ^ 2`

adicionando `(7/4) ^ 2` ambos os lados obtemos,` x ^ 2 + "7x" / 2 + (7/4) ^ 2 = 9/2 + (7/4) ^ 2`

Por observação obtemos, `c = 9/2 + 49 / 16`

Assim, as raízes de `2x ^ 2 + 7x-9 = 0` são` 1 ou -9 / 2`

Podemos resolver mais exemplos usando o método do quadrado completo para entender facilmente.


Completando o quadrado

Completar o quadrado é um método usado para resolver uma equação quadrática alterando a forma da equação de modo que o lado esquerdo seja um trinômio quadrado perfeito.

Para resolver a x 2 + b x + c = 0 completando o quadrado:

1. Transforme a equação de forma que o termo constante, c, fique sozinho no lado direito.
2. Se a, o coeficiente líder (o coeficiente do termo x 2), não for igual a 1, divida os dois lados por a.

3. Adicione o quadrado da metade do coeficiente do termo x, (b 2 a) 2 para ambos os lados da equação.

4. Fatore o lado esquerdo como o quadrado de um binômio.

5. Tire a raiz quadrada de ambos os lados. (Lembre-se: (x + q) 2 = r é equivalente a x + q = & plusmn r.)

Resolva x 2 e menos 6 x e menos 3 = 0 completando o quadrado.

7 x 2 & menos 8 x = & menos 3 x 2 & menos 8 7 x = & menos 3 7 x 2 & menos 8 7 x + (& menos 4 7) 2 = & menos 3 7 + 16 49 (x & menos 4 7) 2 = & menos 5 49 x &minus 4 7 = ± 5 7 ix = 4 7 ± 5 7 i ( x &minus 3 ) 2 = 12 x &minus 3 = ± 12 &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp = ± 2 3 x = 3 ± 2 3


Assista o vídeo: Uoppstilte ligninger (Outubro 2021).