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3.7: Introdução às Funções


objetivos de aprendizado

  • Identifique uma função.
  • Indique o domínio e o alcance de uma função.
  • Use notação de função.

Relações, funções, domínio e intervalo

Os relacionamentos entre os conjuntos ocorrem com frequência na vida cotidiana. Por exemplo, para cada mês em Cabo Canaveral, podemos associar uma quantidade média de precipitação. Nesse caso, a quantidade de precipitação depende do mês do ano e os dados podem ser escritos em forma de tabela ou como um conjunto de pares ordenados.

MêsPrecipitaçãoPares ordenados
Janeiro2,4 pol(Janeiro, 2,4)
fevereiro3,3 pol(Fevereiro, 3,3)
marcha3,1 pol.(Março, 3,1)
abril2,0 pol.(Abril 2.0)
Poderia3,8 pol(Maio, 3,8)
junho6,8 pol(Junho, 6,8)
julho8,1 pol(Julho, 8,1)
agosto7,6 pol(Agosto, 7,6)
setembro7,3 pol.(Setembro, 7,3)
Outubro4,1 pol.(Outubro, 4.1)
novembro3,3 pol(Novembro, 3,3)
dezembro2,4 pol(Dezembro, 2,4)
Tabela ( PageIndex {1} )

Definimos uma relação como qualquer conjunto de pares ordenados. Normalmente escrevemos o componente independente da relação na primeira coluna e o componente dependente na segunda coluna. No exemplo inicial, observe que faz sentido relacionar a quantidade média de precipitação como dependente do mês do ano. O conjunto de todos os elementos na primeira coluna de uma relação é chamado de domínio. O conjunto de todos os elementos que compõem a segunda coluna é denominado intervalo. Neste exemplo, o domínio consiste no conjunto de todos os meses do ano, e o intervalo consiste nos valores que representam a precipitação média de cada mês.

No contexto da álgebra, as relações de interesse são conjuntos de pares ordenados ((x, y) ) no plano de coordenadas retangulares. Nesse caso, os valores (x ) - definem o domínio e os valores (y ) - definem o intervalo. De especial interesse são as relações em que cada valor (x ) corresponde a exatamente um valor (y ); essas relações são chamadas de funções.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Determine o domínio e o intervalo da seguinte relação e indique se é ou não uma função:

({(−1, 4), (0, 7), (2, 3), (3, 3), (4, −2)})

Solução:

Aqui separamos o domínio e o intervalo e representamos a correspondência entre os valores com setas.

Figura ( PageIndex {1} )

Responder:

O domínio é ( {- 1, 0, 2, 3, 4 } ) e o intervalo é ( {- 2, 3, 4, 7 } ). A relação é uma função porque cada valor (x ) corresponde exatamente a um valor (y ).

Exemplo ( PageIndex {2} )

Determine o domínio e o intervalo da seguinte relação e indique se é ou não uma função:

({(−4, −3), (−2, 6), (0, 3), (3, 5), (3, 7)}).

Solução:

Figura ( PageIndex {2} )

Responder:

O domínio é ( {- 4, −2, 0, 3 } ) e o intervalo é ( {- 3, 3, 5, 6, 7 } ). Esta relação não é uma função porque o valor (x ) (3 ) tem dois valores (y ) correspondentes.

No exemplo anterior, a relação não é uma função porque contém pares ordenados com o mesmo valor (x ), ((3, 5) ) e ((3, 7) ). Podemos reconhecer funções como relações onde nenhum valor (x ) - é repetido.

Em álgebra, equações como (y = frac {3} {4} x − 2 ) definem relações. Esta equação linear pode ser representada graficamente da seguinte forma:

Figura ( PageIndex {3} )

O gráfico é uma relação, pois representa o conjunto infinito de soluções de pares ordenados para (y = frac {3} {4} x − 2 ). O domínio é o conjunto de todos os valores (x ) e, neste caso, consiste em todos os números reais. O intervalo é o conjunto de todos os valores (y ) possíveis e, neste caso, também consiste em todos os números reais. Além disso, o gráfico é uma função porque para cada valor (x ) há apenas um valor (y ) correspondente. Na verdade, qualquer linha não vertical ou não horizontal é uma função com domínio e intervalo consistindo de todos os números reais.

Qualquer gráfico é um conjunto de pares ordenados e, portanto, define uma relação. Considere o seguinte gráfico de um círculo:

Figura ( PageIndex {4} )

Aqui, o gráfico representa uma relação em que muitos valores (x ) no domínio correspondem a dois valores y. Se desenharmos uma linha vertical, como ilustrado, podemos ver que ((3, 2) ) e ((3, −2) ) são dois pares ordenados com o mesmo valor de (x ). Portanto, o valor (x ) - (3 ) corresponde a dois valores (y ); portanto, o gráfico não representa uma função. A ilustração sugere que, se qualquer linha vertical cruzar um gráfico mais de uma vez, o gráfico não representa uma função. Isso é chamado de teste de linha vertical.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Dado o gráfico a seguir, determine o domínio e o intervalo e indique se é ou não uma função.

Figura ( PageIndex {5} )

Solução:

A forma fornecida é chamada de parábola e se estende indefinidamente para a esquerda e para a direita, conforme indicado pelas setas. Isso sugere que, se escolhermos qualquer valor (x ), seremos capazes de encontrar um ponto correspondente no gráfico; portanto, o domínio consiste em todos os números reais. Além disso, o gráfico mostra que (- 1 ) é o valor mínimo (y ) - e qualquer valor (y ) - maior do que aquele representado na relação. Portanto, o intervalo consiste em todos os (y ) - valores maiores ou iguais a (- 1 ), ou em notação de intervalo, ([- 1, ∞) ).

Figura ( PageIndex {6} )

Por último, qualquer linha vertical cruzará o gráfico apenas uma vez; portanto, é uma função.

Responder:

O domínio é composto por todos os números reais (R = (−∞, ∞) ), e o intervalo é ([- 1, ∞) ). O gráfico representa uma função porque passou no teste de linha vertical.

Exercício ( PageIndex {1} )

Dado o gráfico, determine o domínio e o intervalo e indique se é ou não uma função:

Figura ( PageIndex {7} )

Responder

Domínio: ([- 4, ∞) ); intervalo: ((- ∞, ∞) ); função: não

Notação de função e funções lineares

Com a definição de uma função, vem uma notação especial. Se considerarmos cada valor (x ) - como a entrada que produz exatamente uma saída, então podemos usar a notação

[f (x) = y ]

A notação (f (x) ) diz “ (f ) de (x )” e não deve ser confundida com multiplicação. A maior parte do nosso estudo de álgebra envolve funções, então a notação se torna muito útil ao realizar tarefas comuns. As funções podem ser nomeadas com letras diferentes; alguns nomes comuns para funções são (g (x), h (x), C (x) ) e (R (x) ). Primeiro, considere as linhas não verticais que sabemos que podem ser expressas usando a forma de interceptação de inclinação, (y = mx + b ). Para quaisquer números reais (m ) e (b ), a equação define uma função, e podemos substituir (y ) pela nova notação (f (x) ) da seguinte maneira:

[y = mx + b ]

[f (x) = mx + b ]

Portanto, uma função linear é qualquer função que pode ser escrita na forma (f (x) = mx + b ). Em particular, podemos escrever o seguinte:

A notação também mostra valores para avaliar na equação. Se o valor para (x ) é dado como (8 ), então sabemos que podemos encontrar o valor (y ) correspondente substituindo (8 ) por (x ) e simplificando . Usando a notação de função, isso é denotado como (f (8) ) e pode ser interpretado da seguinte forma:

Finalmente, simplifique:

Temos (f (8) = 4 ). Esta notação nos diz que quando (x = 8 ) (a entrada), a função resulta em (4 ) (a saída).

Exemplo ( PageIndex {4} )

Dada a função linear (f (x) = - 5x + 7 ), encontre (f (−2) ).

Solução:

Neste caso, (f (−2) ) indica que devemos avaliar quando (x = −2 ).

( begin {align} f (x) & = - 5x + 7 f ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} & = - 5 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {) + 7} & color {Cerúleo} {Substitua : x : por : - 2.} & = 10 + 7 & = 17 end {alinhado} )

Responder:

(f (-2) = 17 )

Exemplo ( PageIndex {5} )

Dada a função linear (f (x) = - 5x + 7 ), encontre (x ) quando (f (x) = 10 ).

Solução:

Nesse caso, (f (x) = 10 ) indica que a função deve ser definida igual a (10 ​​).

( begin {alinhados} f (x) & = - 5x + 7 color {OliveGreen} {10} & = - 5x + 7 & color {Cerulean} {Substitua : f (x) : por : 10.} 10 color {Cerúleo} {- 7} & = - 5x + 7 color {Cerúleo} {- 7} & color {Cerúleo} {Resolva : para : x.} 3 & = - 5x frac {3} { color {Cerúleo} {- 5}} & = frac {-5x} { color {Cerúleo} {- 5}} - frac {3} {5} & = x end {alinhado} )

Responder:

Aqui (x = - frac {3} {5} ), e podemos escrever (f (- frac {3} {5}) = 10 ).

Exemplo ( PageIndex {6} )

Dado o gráfico de uma função linear (g (x) ),

  1. Encontre (g (2) ).
  2. Encontre (x ) quando (g (x) = 3 ).

Figura ( PageIndex {8} )

Solução:

uma. A notação (g (2) ) implica que (x = 2 ). Use o gráfico para determinar o valor (y ) - correspondente.

Figura ( PageIndex {9} )

b. A notação (g (x) = 3 ) implica que o valor (y ) - é dado como (3 ). Use o gráfico para determinar o valor (x ) - correspondente.

Figura ( PageIndex {10} )

Responder:

  1. (g (2) = 1 )
  2. (x = 4 )

Exemplo ( PageIndex {7} )

Represente graficamente a função linear (f (x) = - frac {5} {3} x + 6 ) e indique o domínio e o intervalo.

Solução:

A partir da função, vemos que (b = 6 ) e, portanto, a interceptação (y ) - é ((0, 6) ). Além disso, podemos ver que a inclinação é (m = frac {−5} {3} = - frac {5} {3} = frac {rise} {run} ). Começando na interceptação (y ), marque um segundo ponto abaixo das unidades (5 ) e unidades (3 ) à direita.

Figura ( PageIndex {11} )

Dada qualquer coordenada no eixo (x ), podemos encontrar um ponto correspondente no gráfico; o domínio consiste em todos os números reais. Além disso, para qualquer coordenada no eixo (y ), podemos encontrar um ponto no gráfico; o intervalo consiste em todos os números reais.

Responder:

Tanto o domínio quanto o intervalo consistem em todos os números reais (R ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Dada a função linear (g (x) = - x + 5 ),

  1. Encontre (g (- frac {1} {2}) ).
  2. Encontre (x ) quando (g (x) = 18 ).
Responder

uma. (g (- frac {1} {2}) = frac {1} {12} )

b. (x = -13 )

Principais vantagens

  • Uma relação é qualquer conjunto de pares ordenados. No entanto, no contexto deste curso, estaremos trabalhando com conjuntos de pares ordenados ((x, y) ) no sistema de coordenadas retangulares. O conjunto de (x ) - valores define o domínio e o conjunto de (y ) - valores define o intervalo.
  • Relações especiais onde cada valor (x ) (entrada) corresponde a exatamente um (y ) - valor (saída) são chamadas de funções.
  • Podemos determinar facilmente se uma equação representa uma função realizando o teste da linha vertical em seu gráfico. Se qualquer linha vertical cruzar o gráfico mais de uma vez, o gráfico não representa uma função. Neste caso, haverá mais de um ponto com o mesmo valor de (x ).
  • Qualquer linha não vertical ou não horizontal é uma função e pode ser escrita usando a notação de função (f (x) = mx + b ). Tanto o domínio quanto o intervalo consistem em todos os números reais.
    • Se solicitado a encontrar (f (a) ), substituímos (a ) pela variável e, em seguida, simplificamos.
    • Se solicitado a encontrar (x ) quando (f (x) = a ), definimos a função igual a (a ) e então resolvemos para (x ).

Exercício ( PageIndex {3} ) Funções

Para cada problema abaixo, a correspondência representa uma função?

  1. Alunos de álgebra com suas notas no primeiro exame.
  2. Membros da família até a idade.
  3. Computadores de laboratório para seus usuários.
  4. Alunos para as escolas que frequentaram.
  5. Pessoas às suas cidadanias.
  6. Empresas locais para o número de funcionários.
Responder

1. sim

3. Não

5. Não

Exercício ( PageIndex {4} ) Funções

Determine o domínio e o intervalo e indique se a relação é uma função ou não.

  1. ({(3, 2), (5, 3), (7, 4)})
  2. ({(−5, −3), (0, 0), (5, 0)})
  3. ({(−10, 2), (−8, 1), (−8, 0)})
  4. ({(9, 12), (6, 6), (6, 3)})

5.

Figura ( PageIndex {12} )

6.

Figura ( PageIndex {13} )

7.

Figura ( PageIndex {1} )4

8.

Figura ( PageIndex {15} )

9.

Figura ( PageIndex {16} )

10.

Figura ( PageIndex {17} )

11.

Figura ( PageIndex {18} )

12.

Figura ( PageIndex {19} )

13.

Figura ( PageIndex {20} )

14.

Figura ( PageIndex {21} )

15.

Figura ( PageIndex {22} )

16.

Figura ( PageIndex {23} )

17.

Figura ( PageIndex {24} )

18.

Figura ( PageIndex {25} )

19.

Figura ( PageIndex {26} )

20.

Figura ( PageIndex {27} )

Responder

1. Domínio: ( {3, 5, 7 } ); intervalo: ( {2, 3, 4 } ); função: sim

3. Domínio: ( {- 10, −8 } ); intervalo: ( {0, 1, 2 } ); função: não

5. Domínio: ( {- 4, −1, 2 } ); intervalo: ( {1, 2, 3 } ); função: sim

7. Domínio: ( {- 2, 2 } ); intervalo: ( {2, 3, 5 } ); função: não

9. Domínio: ((- ∞, ∞) ); intervalo: ( {2 } ); função: sim

11. Domínio: ((- ∞, ∞) ); intervalo: ((- ∞, ∞) ); função: sim

13. Domínio: ([- 2, ∞) ); intervalo: ((- ∞, ∞) ); função: não

15. Domínio: ([- 4, ∞) ); intervalo: ([0, ∞) ); função: sim

17. Domínio: ((- ∞, ∞) ); intervalo: ([0, ∞) ); função: sim

19. Domínio: ((- ∞, ∞) ); intervalo: ([2, ∞) ); função: sim

Exercício ( PageIndex {5} ) Notação de função

Dadas as funções a seguir, encontre os valores da função.

  1. (f (x) = 3x ), encontre (f (−2) ).
  2. (f (x) = - 5x + 1 ), encontre (f (−1) ).
  3. (f (x) = frac {3} {5} x − 4 ), encontre (f (15) ).
  4. (f (x) = frac {2} {5} x− frac {1} {5} ), encontre (f (3) ).
  5. (f (x) = frac {5} {2} x− frac {1} {3} ), encontre (f (- frac {1} {3}) ).
  6. (f (x) = - 6 ), encontre (f (7) ).
  7. (g (x) = 5 ), encontre (g (−4) ).
  8. (g (x) = - 5x ), encontre (g (−3) ).
  9. (g (x) = - frac {1} {8} x + frac {5} {8} ), encontre (g ( frac {5} {8}) ).
  10. (g (x) = frac {5} {3} x − 5 ), encontre (g (3) ).
  11. (f (x) = 5x − 9 ), encontre (x ) quando (f (x) = 1 ).
  12. (f (x) = - 7x + 2 ), encontre (x ) quando (f (x) = 0 ).
  13. (f (x) = - frac {7} {5} x − 2 ), encontre (x ) quando (f (x) = - 9 ).
  14. (f (x) = - x − 4 ), encontre (x ) quando (f (x) = 12 ).
  15. (g (x) = x ), encontre (x ) quando (g (x) = 12 ).
  16. (g (x) = - x + 1 ), encontre (x ) quando (g (x) = frac {2} {3} ).
  17. (g (x) = - 5x + frac {1} {3} ), encontre (x ) quando (g (x) = - frac {1} {2} ).
  18. (g (x) = - frac {5} {8} x + 3 ), encontre (x ) quando (g (x) = 3 ).
Responder

1. (f (−2) = - 6 )

3. (f (15) = 5 )

5. (f (- frac {1} {3}) = - frac {7} {6} )

7. (g (−4) = 5 )

9. (g ( frac {5} {8}) = frac {35} {64} )

11. (x = 2 )

13. (x = 5 )

15. (x = 12 )

17. (x = frac {1} {6} )

Exercício ( PageIndex {6} ) Notação de função

Dados (f (x) = frac {2} {3} x − 1 ) e (g (x) = - 3x + 2 ) calcule o seguinte.

  1. (f (6) )
  2. (f (- frac {1} {2}) )
  3. (f (0) )
  4. (f (1) )
  5. (g ( frac {2} {3}) )
  6. (g (0) )
  7. (g (−1) )
  8. (g (- frac {1} {2}) )
  9. Encontre (x ) quando (f (x) = 0 ).
  10. Encontre (x ) quando (f (x) = - 3 ).
  11. Encontre (x ) quando (g (x) = - 1 ).
  12. Encontre (x ) quando (g (x) = 0 ).
Responder

1. (f (6) = 3 )

3. (f (0) = - 1 )

5. (g ( frac {2} {3}) = 0 )

7. (g (−1) = 5 )

9. (x = frac {3} {2} )

11. (x = 1 )

Exercício ( PageIndex {7} ) Notação de função

Dado o gráfico, encontre os valores da função.

1. Dado o gráfico de (f (x) ), encontre (f (−4), f (−1), f (0), ) e (f (2) ).

Figura ( PageIndex {28} )

2. Dado o gráfico de (g (x) ), encontre (g (−3), g (−1), g (0), ) e (g (1) ).

Figura ( PageIndex {29} )

3. Dado o gráfico de (f (x) ), encontre (f (−4), f (−1), f (0), ) e (f (2) ).

Figura ( PageIndex {30} )

4. Dado o gráfico de (g (x) ), encontre (g (−4), g (−1), g (0) ) e (g (2) ).

Figura ( PageIndex {31} )

5. Dado o gráfico de (f (x) ), encontre (f (−1), f (0), f (1) ) e (f (3) ).

Figura ( PageIndex {32} )

6. Dado o gráfico de (g (x) ), encontre (g (−2), g (0), g (2) ) e (g (6) ).

Figura ( PageIndex {33} )

7. Dado o gráfico de (g (x) ), encontre (g (−4), g (−3), g (0) ) e (g (4) ).

Figura ( PageIndex {34} )

8. Dado o gráfico de (f (x) ), encontre (f (−4), f (0), f (1), ) e (f (3) ).

Figura ( PageIndex {35} )

Responder

1. (f (−4) = - 3, f (−1) = 0, f (0) = 1, ) e (f (2) = 3 )

3. (f (−4) = - 4, f (−1) = - 4, f (0) = - 4, ) e (f (2) = - 4 )

5. (f (−1) = 1, f (0) = - 2, f (1) = - 3, ) e (f (3) = 1 )

7. (g (−4) = 0, g (−3) = 1, g (0) = 2, ) e (g (4) = 3 )

Exercício ( PageIndex {8} ) Notação de função

Dado o gráfico, encontre os valores (x ) -.

1. Dado o gráfico de (f (x) ), encontre (x ) quando (f (x) = 3, f (x) = 1, ) e (f (x) = - 3 ).

Figura ( PageIndex {36} )

2. Dado o gráfico de (g (x) ), encontre (x ) quando (g (x) = - 1, g (x) = 0, ) e (g (x) = 1 ).

Figura ( PageIndex {37} )

3. Dado o gráfico de (f (x) ), encontre (x ) quando (f (x) = 3 ).

Figura ( PageIndex {38} )

4. Dado o gráfico de (g (x) ), encontre (x ) quando (g (x) = - 2, g (x) = 0 ), e (g (x) = 4 ).

Figura ( PageIndex {39} )

5. Dado o gráfico de (f (x) ), encontre (x ) quando (f (x) = - 16, f (x) = - 12 ), e (f (x) = 0 ).

Figura ( PageIndex {40} )

6. Dado o gráfico de (g (x) ), encontre (x ) quando (g (x) = - 3, g (x) = 0 ), e (g (x) = 1 ).

Figura ( PageIndex {41} )

7. Dado o gráfico de (f (x) ), encontre (x ) quando (f (x) = - 4, f (x) = 0 ), e (f (x) = - 2 ).

Figura ( PageIndex {42} )

8. Dado o gráfico de (g (x) ), encontre (x ) quando (g (x) = 5, g (x) = 3 ), e (g (x) = 2 )

Figura ( PageIndex {43} )

9. O custo em dólares de produção de canetas com o logotipo da empresa é dado pela função (C (x) = 1,65x + 120 ), onde (x ) é o número de canetas produzidas. Use a função para calcular o custo de produção de canetas (200 ).

10. A receita em dólares com a venda de camisetas é dada pela função (R (x) = 29,95x ), onde (x ) é o número de camisetas vendidas. Use a função para determinar a receita se (20 ) camisetas de moletom forem vendidas.

11. O valor de um carro novo em dólares é dado pela função (V (t) = - 2.500t + 18.000 ), onde (t ) representa a idade do carro em anos. Use a função para determinar o valor do carro quando tiver 5 anos. Qual era o valor do carro quando novo?

12. A renda mensal em dólares de um vendedor de carros comissionado é dada pela função (I (n) = 550n + 1.250 ), onde (n ) representa o número de carros vendidos no mês. Use a função para determinar a renda mensal do vendedor se ele vender (3 ) carros este mês. Qual é a sua renda se ele não vender nenhum carro em um mês?

13. O perímetro de um triângulo isósceles com uma base medindo (10 ​​) centímetros é dado pela função (P (x) = 2x + 10 ), onde (x ) representa o comprimento de cada um dos iguais lados. Encontre o comprimento de cada lado se o perímetro for (40 ) centímetros.

14. O perímetro de um quadrado depende do comprimento de cada lado (s ) e é modelado pela função (P (s) = 4s ). Se o perímetro de um quadrado mede (140 ) metros, use a função para calcular o comprimento de cada lado.

15. Um determinado plano de telefone celular cobra $ (18 ) por mês e $ (0,10 ) por minuto de uso. O custo do plano é modelado pela função (C (x) = 0,10x + 18 ), onde (x ) representa o número de minutos de uso por mês. Determine os minutos de uso se o custo do mês foi $ (36 ).

16. A receita mensal gerada pela venda de assinaturas para um site de tutoria é dada pela função (R (x) = 29x ), onde (x ) representa o número de vendas de assinaturas por mês. Quantas assinaturas foram vendidas se a receita do mês totalizou $ (1.508 )?

Responder

1. (f (−1) = 3, f (0) = 1, ) e (f (2) = - 3 )

3. (f (1) = 3 ) (as respostas podem variar)

5. (f (−4) = - 16 ); (f (−6) = - 12 ) e (f (−2) = - 12 ); (f (−8) = 0 ) e (f (0) = 0 )

7. (f (−4) = - 4 ) e (f (4) = - 4 ); (f (0) = 0 ); (f (−2) = - 2 ) e (f (2) = - 2 )

9. $(450)

11. Novo: $ (18.000 ); 5 anos de idade: $ (5.500 )

13. (15 ) centímetros

15. (180 ) minutos

Exercício ( PageIndex {9} ) Notação de função

Represente graficamente a função linear e indique o domínio e o intervalo.

  1. (f (x) = - frac {5} {2} x + 10 )
  2. (f (x) = frac {3} {5} x − 10 )
  3. (g (x) = 6x + 2 )
  4. (g (x) = - 4x + 6 )
  5. (h (t) = frac {1} {2} t − 3 )
  6. (h (t) = - frac {3} {4} t + 3 )
  7. (C (x) = 100 + 50x )
  8. (C (x) = 50 + 100x )
Responder

1. Domínio e intervalo: (R )

Figura ( PageIndex {44} )

3. Domínio e intervalo: (R )

Figura ( PageIndex {45} )

5. Domínio e intervalo: (R )

Figura ( PageIndex {46} )

7. Domínio e intervalo: (R )

Figura ( PageIndex {47} )

Exercício ( PageIndex {10} ) Tópicos do quadro de discussão

  1. Uma linha vertical é uma função? Quais são o domínio e o alcance de uma linha vertical?
  2. Uma linha horizontal é uma função? Quais são o domínio e o alcance de uma linha horizontal?
  3. Crie sua própria correspondência entre conjuntos do mundo real. Explique por que ele representa ou não uma função.
  4. Uma função pode ter mais de uma interceptação (y )? Explique.
Responder

1. As respostas podem variar

3. As respostas podem variar


A função simulated () é usada para especificar o conjunto de dados simulado e as variáveis ​​correspondentes. Existem dois argumentos que são necessários para usar simulated (). Uma vez que a função é “canalizada” após a função observada (), o primeiro argumento é o tidyvpcobj e não deve ser incluído, seguido pelo nome dos dados simulados e, em seguida, o nome da variável y nos dados simulados. Os nomes das variáveis ​​não devem ser citados e a variável x não deve ser incluída, pois é reciclada da função observada ().

A função binning () fornece o método binning para derivar o vpc e deve ser inserida como uma string de caracteres no argumento bin. Os métodos de categorização incluem: “ntile”, “pam”, “sd”, “equal”, “pretty”, “quantil”, “kmeans”, “jenks”, “centers”, “breaks”. Alguns métodos como "ntile" e "pam" exigirão que você especifique o número de bins usando o argumento nbins, ou seja, nbins = 9.

Se estiver usando bin = "centers" ou bin sourceCode ">


Introdução às funções e módulos

Se você for avaliar a mesma expressão ou realizar a mesma sequência de operações muitas vezes em um programa, seria entediante e sujeito a erros manter a redigitação do mesmo código. É mais eficiente definir uma função. As funções podem tornar seu código mais bem estruturado, o que significa mais fácil de escrever, entender e corrigir.
Veja como usar uma função Python para avaliar um polinômio simples:

Observe os elementos de uma definição de função. Começamos com a palavra-chave def seguido pelo nome da função (neste caso f) Entre colchetes () fornecemos parâmetros para a função: são variáveis ​​que a função usará. Nesse caso x é o único parâmetro passado para a função. A linha de definição termina com dois pontos e o corpo da função é indentado.

O recuo coloca o corpo da função em um novo bloco (para obter mais informações sobre os blocos, consulte a referência do Python). No corpo da função, temos um Retorna demonstração. Return literalmente retorna ou produz o que foi alcançado no código anterior e termina o bloco. É permitido ter mais de uma instrução de retorno em uma função, mas a função irá parar de executar assim que uma delas for alcançada, a regra de ouro é ter no máximo uma instrução de retorno por bloco. Veremos mais tarde uma função mais complicada que possui outro bloco dentro do corpo da função e duas instruções de retorno em vez de uma.

Chamamos uma função em alguma variável x em nosso código simplesmente digitando f (x) Python irá então substituir o valor da instrução return em vez de f (x):

Devemos ter o cuidado de passar parâmetros do tipo certo para funções, por exemplo, passando um str para f resultará em um erro:

Claro, a função definida por nós poderia usar algumas outras funções, definidas antes. Digamos que já definimos uma função chamada potência3 (x) e outro chamado multiplique (x, y):

Observe que a função multiply leva dois parâmetros, e que eles são separados por vírgulas na definição da função. Uma função g pode ser escrito com a ajuda de power3 e multiplicar:

Alguns podem dizer que essa é uma maneira tediosa de fazer isso. Na verdade, só é útil usar funções como substitutas para códigos complicados e de ocorrência frequente. Não é sensato definir a função power3 quando poderíamos facilmente escrever x3 em seu lugar sempre que necessário. Aqui está um exemplo mais complicado de uma função:

O comentário no início do corpo da função é chamado de docstring e explica o que a função faz para qualquer pessoa que leia seu código. A docstring será exibida quando um usuário chamar o método de ajuda em sua função. É importante escrever docstrings para todas as funções sem a docstring, demoraria um pouco para descobrir o que esta função de exemplo faz!
Observe que esta função possui duas instruções de retorno. Isso é bom, porque um deles sempre será alcançado antes do outro. A execução da função é interrompida assim que chega a uma instrução de retorno, e o valor retornado será apenas dessa instrução. Uma função também pode não ter nenhuma instrução de retorno e, nesse caso, ela para de ser executada assim que todo o código no corpo da função for executado. Nesse caso, a função ainda fará algo quando a chamarmos, mas não retornará um valor:

Observe que nenhum valor foi armazenado em x, porque nossa função não retornou nenhum valor! Devemos ter muito cuidado com isso, pois pode causar erros Python não nos dirá que a função não retorna um valor, em vez disso, ela simplesmente não armazenará nenhum valor em x.

Em uma das atividades anteriores, você foi solicitado a retornar o período orbital de uma órbita circular de raio R de uma partícula no campo gravitacional de um corpo massivo M. Escrevemos isso como um código comum, mas é muito mais eficaz encapsulá-lo em uma função para que possamos usá-lo quando quisermos, sem redigitá-lo. Escreva um período de função que receba parâmetros M e R e retorna o período. Solução:solution_activity_1.pdf

2. Importando Módulos e Funções Matemáticas

Podemos salvar uma coleção de funções em um arquivo separado para usá-las em outros programas que escrevemos. Essa coleção de funções é chamada módulo. Você pode salvar a função f (x) dando um .py sufixo. Vamos chamá-lo cubicpoly.py. Se ele for usado como um módulo posteriormente, o Python terá que localizar o arquivo. Python pesquisa primeiro no diretório atual e, em seguida, em uma lista de diretórios chamada caminho de pesquisa. Se você estiver executando Python interativamente, pode não estar tão claro qual é o caminho de pesquisa. Você pode descobrir digitando:

Se ele não contiver o diretório desejado, você pode acrescentar uma string contendo o nome do diretório a esta lista, antes de tentar importar um módulo desse diretório. Por exemplo, para adicionar a unidade Windows C ao seu caminho, você digita:

Agora, na janela do shell Python, você deve ser capaz de importar o módulo e usar sua função:

Python avaliará a função para x = 3.
Funções matemáticas padrão como pecado, registro, sqrt etc. não fazem parte da linguagem central, mas são fornecidos pela biblioteca padrão no matemática módulo. Veja como acessar um módulo, usando matemática como exemplo em um programa:

  • Observe que devemos especificar que sin vem do módulo matemático digitando math.sin. Do contrário, o Python ficará confuso e retornará um erro.
  • Use abreviações:
  • Este exemplo também mostra que o módulo matemático contém um alias para π, referido como pi no código em geral, podemos incluir variáveis ​​em módulos que fazemos nós mesmos.
  • Importe os objetos de que você precisa explicitamente:

Você pode importar todos os objetos de um módulo usando o ”curinga” *:

O importar * form é muito poderoso e útil, mas tem uma desvantagem: você pode importar funções com os mesmos nomes, mas com efeitos diferentes de módulos diferentes. A última definição importada terá precedência. Ao importar muitos módulos diferentes, é melhor evitar * a menos que você esteja absolutamente certo de que não haverá sobreposição nos nomes das funções.

Às vezes, importaremos arquivos (módulos) que possuem código adicional além das definições de função e variável (talvez código usado para testar as funções no módulo, ou algo assim). Este código sempre será executado na importação, o que é algo que talvez não desejemos. Como regra, qualquer código adicional em um arquivo que será importado para outro programa deve ser incluído na seguinte construção:

Isso garante que o bloco de código seja executado apenas se executarmos esse arquivo diretamente (tornando-o o arquivo “principal”). Se isso for importado para outro arquivo e o executarmos, o código não será executado.


FUNÇÕES DA AULA

As funções inversas não são abordadas aqui.
Haverá uma lição separada sobre eles que será intitulada INVERSE FUNCTIONS.

A maior parte do que é abordado aqui vem do seguinte endereço da web:

Se você quiser um tutorial detalhado sobre funções e funções inversas com muitos exemplos e problemas práticos, vá lá.

Existem muitos outros tutoriais por aí.

Aqui está uma lista de alguns deles.

DEFINIÇÃO DE UM PAR PEDIDO

Um par ordenado seria um conjunto de valores (x, y) em que x é a variável independente ey é a variável dependente.
Isso significa que se você escolher qualquer valor x no conjunto de todos os valores x possíveis, o valor y dependerá desse valor x na equação ou regra que associa esse valor x ao valor y.

deixe uma equação ser y =
Para cada valor de x, você tem um valor de y que depende desse valor de x na equação.
se x = 5, y = 25
se x = 6, y = 36, etc.
O par ordenado nesta relação ou função seria
(x, y) = (5,25)
(x, y) = (6,36), etc.

Os pares ordenados são úteis em gráficos, onde você tem um eixo x (linha horizontal) e um eixo y (linha vertical).
O eixo x é uma linha horizontal desenhada onde o valor de x = 0.
O eixo y é uma linha vertical desenhada onde o valor de y = 0.
O ponto (x, y) no gráfico está relacionado ao valor de x e ao valor de y da seguinte maneira:

deixe x = 3
deixe y = 7
o ponto (3,7) é 3 unidades de medida à direita de x = 0 e 7 unidades de medida acima de y = 0.

deixe x = -2
deixe y = -3
o ponto (-2, -3) é 2 unidades de medida à esquerda de x = 0 e 3 unidades de medida abaixo de y = 0

uma equação para uma linha que passa por esses 2 pontos seria:
Ambos os pontos estarão nessa linha.

O par ordenado associado a essa equação seria:
(x, y) = (x, (2 * x + 1))
O valor de x é x.
O valor de y é 2 * x + 1

um gráfico dessa equação seria semelhante a:

Uma relação é um conjunto de pares ordenados onde os primeiros componentes dos pares ordenados são os valores de entrada e os segundos componentes são os valores de saída

Em uma relação, você pode ter vários valores de y para cada valor de x.
Exemplo:

y = +/-
para cada valor de x, y pode ser +/-
suponha que x = 25, então:
y pode ser + 5 e y pode ser - 5.
ambos os valores para y são bons porque:
= 25 e = 25

pares ordenados nesta relação quando x = 25 seria:
(25,5)
(25,-5)

Uma função é uma relação que atribui a cada número de entrada EXATAMENTE UM valor de saída para cada valor de x no domínio.

Embora uma relação permita vários valores de y para cada x, uma função exige que só possa haver um. Se qualquer valor no domínio da equação tiver mais de um valor y associado a ele, a equação é uma relação e não uma função.

O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada aos quais a regra ou equação se aplica. Esses valores de entrada são chamados de variáveis ​​independentes. Esses são os valores que correspondem ao primeiro componente dos pares ordenados aos quais está associado. O valor de x no domínio deve ser associado a um valor correspondente de y no intervalo.

O intervalo é o conjunto de todos os valores de saída. Elas são chamadas de variáveis ​​dependentes. Esses são os valores que correspondem ao segundo componente nos pares ordenados aos quais está associado. Para cada valor de x no domínio, haverá pelo menos um valor de y no intervalo.

Observe que os valores de x ou y implicam apenas em valores reais.
infinito não é um valor real, pois não há um valor que possa representá-lo. Você pode abordá-lo, mas nunca o alcançará.
a raiz quadrada de um número negativo não é um valor real, pois é um valor imaginário que não faz parte do conjunto de valores reais.

Você tem uma equação, como y =
Se você substituir y por f (x), a equação será parecida com f (x) =
Você pode dizer y = f (x) =, ou simplesmente f (x) = ou simplesmente y =
O que você está dizendo é que y é uma função de x onde o valor de y depende do valor de x na equação.
x é a variável independente
y é a variável dependente

exemplo:
Qual é o valor de y quando x é 3?
Como y = f (x) =, então quando o valor de x = 3,
y = f (3) = = 9 + 2 = 11.
o par ordenado seria (3,11).

A notação funcional pode usar qualquer letra, não apenas f.
f (x) =
g (x) =
h (x) =
i (x) =
Todas essas letras podem representar uma função de x que é igual a neste caso.

As funções podem ser funções de qualquer variável independente.
f (x) é uma função de x.
f (t) é uma função de t.
A (r) é uma função do raio de um círculo. O A significa Área. Sua equação seria:

Você pode dizer
Ou você pode dizer
Ou você pode dizer
A mesma equação ou relação entre a variável de saída e a variável de entrada se aplica.
Os pares ordenados podem ser semelhantes a qualquer um destes:
(r, y)
(r, A (r))
(r,)
(x, y) onde x = 4 ey = A (r) =
Eles são todos equivalentes.

As funções podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas e divididas.
Você também pode assumir a função de uma função.

DEFINIÇÃO DE ADIÇÃO DE FUNÇÃO

Exemplo:
deixe f (x) = 2 * (x + 1)
deixe g (x) = (x + 1)


DEFINIÇÃO DE SUBTRAÇÃO DE FUNÇÃO

Exemplo:
deixe f (x) = 2 * (x + 1)
deixe g (x) = (x + 1)


DEFINIÇÃO DE MULTIPLICAÇÃO DE FUNÇÃO

Exemplo:
deixe f (x) = 2 * (x + 1)
deixe g (x) = (x + 1)


DEFINIÇÃO DE DIVISÃO DE FUNÇÃO

Exemplo:
deixe f (x) = 2 * (x + 1)
deixe g (x) = (x + 1)


DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO COMPOSTA

Quando você assume a função de uma função, está lidando com uma função composta.
A fórmula será semelhante a:
onde o o no meio é realmente um pequeno círculo que sou incapaz de reproduzir, então usei a minúscula o para representá-lo.

significa que significa f é uma função de g que é uma função de x.


Você está fazendo o que provavelmente já sabe fazer com funções, que é substituir ax por qualquer valor com o qual esteja lidando.

o que é f (2)?
você substitui ox por 2 e resolve:


o que é ?
você substitui ox por e resolve:


o que é ?
você substitui ox por e resolve:

como g (x) =, você substitui g (x) por para obter:


GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO VERSUS GRÁFICO DE UMA RELAÇÃO

O gráfico de uma equação pode ajudá-lo a determinar se você está lidando com uma função ou relação.
Uma função tem um e apenas um valor de y para cada x.

Se você desenhar uma linha vertical em qualquer valor de x no domínio da equação, essa linha vertical cruzará a equação em um e apenas um ponto. Se cruzar em mais de um ponto, você não tem uma função.

Pegue a função
O domínio são todos os valores reais de x.
O intervalo é composto por todos os valores reais de y, que são iguais a todos os valores reais de f (x).
O gráfico se parece com o seguinte:

This equation is a function because you can draw a vertical line through any value of x in the domain and it will cross the graph of the equation only once.

Take the relation
The domain is all positive real values of x including 0. Negative values of x are not possible because you can't take the square root of a negative number and get a real number as an answer.
The range is all real values of y which can be all real numbers since the square root of x can be negative or positive, even though x itself has to be positive.
The graph looks like the following:

This equation is a relation because you can find at least one value of x in the domain of the equation where there is more than one value of y for that x. All you need is one. Here you have many.


Python Advanced Course Topics

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Most of this tutorial was created by Bernd Klein. Some chapters of the chapter on machine learning were created by Tobias Schlagenhauf. Melisa Atay has created a chapter on Tkinter. Further chapters are currently being created by Bernd and Melisa. Melisa also takes care of maintaining and updating the website together with Bernd.

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Voice property

The voice property has the following variables:

  • age — Integer age of the voice in years. Defaults to None if unknown.
  • gender — String gender of the voice: male, female, or neutral. Defaults to None if unknown.
  • id — String identifier of the voice. Used to set the active voice via pyttsx3.engine.Engine.setPropertyValue() . This attribute is always defined.
  • languages — List of string languages supported by this voice. Defaults to an empty list of unknown.
  • name — Human-readable name of the voice. Defaults to None if unknown.

You can use the following code to identify all the available voices in your system. Add the following code after the init function.

You should see the following output when you run it (depends on the language packs you’ve installed)

Let’s try changing the voice to Zira (female version). You need to use the ID as a parameter, and the order will be exactly what we’ve printed out just now. I will be passing 1 as the index for Zira based on the following order:

  • David (English male)
  • Zira (English male)
  • Haruka (Japanese)
  • Huihui (Chinese)

Let’s add the following code after the for loop and before the say function.

Rerun the file, and you should hear a female voice saying “Welcome to Medium.” Feel free to input your own text and test the text-to-speech conversion.


06 Probability Distributions

6.1 Types of probabilities and distributions

Mathematically equally likely outcomes usually produce symmetric distributions. Simple probabilities of a single coin or single die are uniform in their shape. The probabilities of multiple coins or dice form a symmetric heap that is called a binomial distribution. As the number of dice and pennies increase, the distribution approaches a shape we will later learn to call the "normal" distribution.

Distributions based on relative frequencies can have a variety of shapes, symmetrical or non-symmetrical.

The shape of the distribution of a sample is often reflective of the shape of the distribution of a population. If the sample is a good, random sample, then the shape of the sample distribution is a good predictor of the shape of the population distribution.

Probability Distributions

A probability distribution usually refers to a relative frequency histogram drawn as a line chart.

Both discrete and continuous variables can have a probability distribution. Classes (or bins or intervals) can be constructed, relative frequencies (or probabilities) can be calculated and a relative frequency histogram can be drawn. If the data is continuous, then a mean can be calculated for the data from the original data. There is also a way to recover the mean from the class values and the probabilities, although this depends on the class values being treated as being a part of a continuous distribution. In later chapters the columns of the histogram chart will be replaced by a line, specifically a "heap" or "mound" shaped line. The diagrams further below show how one might move from a column chart representation of data to a line chart representation.

The following data consists of 39 body fat measurements for female students at the College of Micronesia-FSM Summer 2001 and Fall 2001. Following the table is a relative frequency histogram, the probability distribution for this data.

BFI fem CUL
x
Frequency
f
Relative Frequency
f/n or P(x)
20.120.05
24.6120.31
29.2130.33
33.750.13
38.170.18
Sum (n):391.00

The area under the bars is equal to one, the sum of the relative frequencies. The above diagram consists of five discrete classes. Later we will look at continuous probability distributions using lines to depict the probability distribution. Imagine a line connecting the tops of the columns:

If the columns are removed and the class upper limits are shifted to where the right side of each column used to be:

The orange vertical line has been drawn at the value of the mean. This line splits the area under the "curve" in half. Half of the females have a body fat measurement less than this value, half have a body fat measurement greater than this value.

We could also draw a vertical line that splits the area under the curve such that we have ten percent of the area to the left of the orange line and ninety percent to the right of the orange line. This line would be at the value below which only ten percent of the measurements occur.

6.2 Calculations of the mean and the standard deviation

In some situations we have only the intervals and the frequencies but we do not have the original data. In these situations it would be useful to still be able to calculate a mean and a standard deviation for our data.

If we only have the intervals and frequencies, then we can calculate both the mean and the standard deviation from the class upper limits and the relative frequencies. Here is the mean and standard deviation for the sample of 39 female students:

BFI fem CUL
x
Frequency
f
Relative Frequency f/n or P(x) Mean &mu:
&sum(x*P(x))
stdev &sigma:
&radic(&sum((x-&mu)ҪP(x)))
20.120.051.034.52
24.6120.317.587.29
29.2130.339.720.04
33.750.134.322.23
38.170.186.8613.56
Sum:391.00&mu = 29.51 &sum = 27.64
&sigma = 5.26

A spreadsheet with the above data is available.

Note that the results are not exactly the same as those attained by analyzing the data directly. Where we can, we will analyze the original data. This is not always possible. The following table was taken from the 1994 FSM census. Here the data has already been tallied into intervals, we do not have access to the original data. Even if we did, it would be 102,724 rows, too many for some of the computers on campus.

Age x Total f Relative frequency f/n or P(x) x*P(x) (x-&mu)²*P(x)
4146620.140.5757.78
9150900.151.3233.58
14149440.152.0414.90
19124250.122.303.17
2491920.092.150.00
2970420.071.991.63
3468000.072.256.46
3959980.062.2812.93
4431310.031.3412.05
4936010.041.7221.70
5422710.021.1919.74
5920890.021.2024.74
6419780.021.2330.62
6913080.010.8825.65
7411690.010.8428.31
795440.010.4215.95
843130.000.2610.93
89990.000.094.06
94560.000.052.66
98120.000.010.64
Sums:102724124.12 327.50
sqrt: 18.10

The mean &mu = 24.12
The population standard deviation &sigma = 18.10

A spreadsheet with the above data is available.

The result is an average age of 24.12 years for a resident of the FSM in 1994 and a standard deviation of 18.10 years. This means at least half the population of the nation is under 24.12 years old! Actually, due to the skew in the distribution, fully 56% of the nation is under 19. Bear in mind that 56% is in school. That means we will need new jobs for that 56% as they mature and enter the workplace. On the order of 57,121 new jobs.

How old are you? Below, at, or above the mean (average)? Do you have a job?

Note we used the class upper limits to calculate the average age. Potentially this inflates the national average by as much as half a class width or 2.5 years. Taking this into account would yield an average age of 21.62 years old.

There is one more small complication to consider. Since the population of the FSM is growing, the number of people at each age in years is different across the five year span of the class. The age groups at the bottom of the class (near the class lower limit) are going to be bigger than the age groups at the top of the class (near the class upper limit). This would act to further reduce the average age.

Homework: Use the 2000 Census data to calculate the mean age in the FSM in 2000.

Use the following data to calculate the overall grade point average and standard deviation of the grade point data for the Pohnpeian students at the national campus during the terms Fall 2000 and Spring 2001

Grade Point Value
x
Frequency
f
Relative Frequency
f/n or P(x)
Mean:
&sum(x*P(x))
stdev:
&radic(&sum((x-&mu)ҪP(x)))
4851__________________
31120__________________
21023__________________
1459__________________
0690__________________
Sums: ________________________
Sqrt:______


You can reference your Lambda function using either a qualified ARN or an unqualified ARN.

Qualified ARN – The function ARN with a version suffix. The following example refers to version 42 of the helloworld function.

Unqualified ARN – The function ARN without a version suffix.

You can use a qualified or an unqualified ARN in all relevant API operations. However, you can't use an unqualified ARN to create an alias.

If you decide not to publish function versions, you can invoke the function using either the qualified or unqualified ARN in your event source mapping. When you invoke a function using an unqualified ARN, Lambda implicitly invokes $LATEST.

Lambda publishes a new function version only if the code has never been published or if the code has changed from the last published version. If there is no change, the function version remains at the last published version.

The qualified ARN for each Lambda function version is unique. After you publish a version, you can't change the ARN or the function code.


7 Major Functions of Office Management

This article throws light upon the seven major functions of office management. They are: 1. Planning 2. Staffing 3. Directing 4. Communication 5. Controlling 6. Co-ordination 7. Motivation.

Office Management Function # 1. Planning:

Planning is the first and foremost function of office management. It is best described as the first step towards other functions of the office.

It is a well-defined course of future action.

Fayol had pointed out:

“The plan of action at one and the same time, the result envisaged the line of action to be followed, the stages to go through, and the method to use. It is a kind of future picture wherein proximate events are outlined with some distinctiveness while remote events appear progressively less distinct. Planning is a mental process based on available means of facts and future possibilities”.

Objectives of Planning:

1. Offset the changes and uncertainty

2. To gain on economical operations, and

In the case of office management these objectives of planning are to be co-ordinated with reference to the objectives of business enterprises as set forth by its manager.

Planning has certain benefits which are enumerated:

1. Planning gives a direction to activities in the office and thus everything becomes purposeful.

2. Planning focuses alteration on objectives.

3. Planning helps to offset uncertainties and changes.

4. Planning facilitates control in the office.

5. Planning also takes care of the growth of business operations. Thus the office is not found wanting when it grows.

6. Planning helps in economical operations in an office as the office personnel know about the target and goals, and about how to move in that direction.

7. Planning facilitates a complete control in the office. The second element of the office is organising.

It refers to the creation of a structure of duties and responsibilities to achieve the objectives of an enterprise. Urvick describes organisation as “determining what activities are necessary for any purpose or plan and arranging them in groups which may be assigned to the individuals. It is concerned with activity-authority relationship. The office is to be organised and the duties and functions are to be defined to determine authority relationship so that the office functions smoothly.”

Office Management Function # 2. Staffing:

It is a function of management, more so it is an executive function of selection, recruitment, compensation, promotion, training and retirement of subordinate managers. Office management also has this process of staffing because the office has to be manned and managed in similar fashion.

Office Management Function # 3. Directing:

Direction is defined and described as the functioning of command. “The successful direction of sub-ordinates results in knowledgeable well-trained people who work efficiently toward the objectives of the enterprises. Direction can be described as the process of guiding and supervising the subordinates. The idea of guiding and supervising is to give a specific direction to the various activities in the office with a view to its proper functioning.”

Office Management Function # 4. Comunicação:

It is explained as the interchanges of thoughts or information to bring about a mutual understanding and confidence or a good human relation. Effective communication is in line where a thing is understood in the same sense in which it has been communicated.

To establish a good communication it is essential to follow these three principles:

(a) The principles of clarity

(b) The principles of integrity

(c) The principles of strategic use of informal organisation.

Office Management Function # 5. Controlling:

Controlling is a function of checking current performance against pre-determined standards contained in the plans, with a view to ensuring adequate progress and satisfactory performance—physical or financial. Controlling is basis to the office management.

Performance of the office staff has to be measured and corrective steps are to be taken to make sure that the aims of the office via-a-vis that of the enterprises are attained.

Controlling should have these principles:

1. The principle of economy

2. The principle of flexibility.

3. The principle of objectivity.

4. The principle of vision.

5. The principle of need and nature of the office.

Office Management Function # 6. Co-Ordination:

Co-ordination is a process of balancing and keeping the team together by ensuring a suitable allocation of working activities to the various members, and seeing to it that these are performed with due harmony amongst the members themselves.

In order to have an effective co-ordination in the office, it is necessary that co-­ordination must have the following prerequisites:

(a) The goal of the sub-ordinate department must be designed to contribute to the enterprise.

(b) The objectives of the enterprise must be known to each and every member of the group.

(c) Individuals should understand properly how their job contributes to the goal of the enterprise.

Principles of co-ordination:

The principles of co-ordination are enumerated:

(uma) Principles of Direct Contact:

Co-ordination must be achieved through direct contact amongst the parties concerned. This would avoid red-tapeism and ensure promptness.

(b) Principles of Continuity:

Co-ordination has to be a continuous process because various conditions keep on interchanging and ever-changing.

(c) Principles of Early Beginning:

It is necessary to achieve coordination with early stages of planning and policy­making.

(d) Principles of Reciprocal Relationship:

All the factors like sales, production, management, finance in a situation must be reciprocally related.

Office Management Function # 7. Motivation:

One of the most complex and a difficult process of a form of management is the process of motivation.

Motivation is of two types:

Motivation means including a subordinate to work with zeal and zest with gusto and cooperate for achieving the objectives of the organisation. The motivation system should satisfy the edge needs of the group besides being flexible, competitive, productive and comprehensive.

If a motivational system has these characteristics it shall achieve the following in the office:


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