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5.1: Raízes e Radicais - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Identifique e avalie raízes quadradas e cúbicas.
  • Determine o domínio das funções envolvendo raízes quadradas e cúbicas.
  • Avalie (n ) as raízes.
  • Simplifique os radicais usando as regras de produto e quociente para radicais.

Raízes quadradas e cúbicas

Lembre-se de que um quadrado raiz1 de um número é um número que, quando multiplicado por si mesmo, resulta no número original. Por exemplo, (5 ) é uma raiz quadrada de (25 ), porque (5 ^ {2} = 25 ). Como ((- 5) ^ {2} = 25 ), podemos dizer que (- 5 ) também é uma raiz quadrada de (25 ). Todo número real positivo tem duas raízes quadradas, uma positiva e outra negativa. Por este motivo, usamos o sinal radical (√ ) para denotar o quadrado principal (não negativo) raiz2 e um sinal negativo na frente do radical (- √ ) para denotar a raiz quadrada negativa.

Zero é o único número real com uma raiz quadrada.

( sqrt {0} = 0 text {porque} 0 ^ {2} = 0 )

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Avalie.

  1. ( sqrt {121} )
  2. (- sqrt {81} )

Solução

  1. ( sqrt {121} = sqrt {11 ^ {2}} = 11 )
  2. (- sqrt {81} = - sqrt {9 ^ {2}} = - 9 )

Se o Radicand3, o número dentro do sinal radical, pode ser fatorado como o quadrado de outro número, então a raiz quadrada do número é aparente. Nesse caso, temos a seguinte propriedade:

( sqrt {a ^ {2}} = a quad text {if} quad a geq 0 )

Ou mais geralmente,

( sqrt {a ^ {2}} = | a | quad text {if} quad a in R )

O valor absoluto é importante porque (a ) pode ser um número negativo e o sinal do radical denota a raiz quadrada principal. Por exemplo,

Use o valor absoluto para garantir um resultado positivo.

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Simplifique: ( sqrt {(x - 2) ^ {2}} ).

Solução

Aqui, a expressão da variável (x - 2 ) pode ser negativa, zero ou positiva. Como o sinal depende da quantidade desconhecida (x ), devemos garantir que obtemos a raiz quadrada principal fazendo uso do valor absoluto.

Responder:

(| x - 2 | )

A importância do uso do valor absoluto no exemplo anterior fica aparente quando avaliamos o uso de valores que tornam o radical negativo. Por exemplo, quando (x = 1 ),

Em seguida, considere a raiz quadrada de um número negativo. Para determinar a raiz quadrada de (- 25 ), você deve encontrar um número que, quando elevado ao quadrado, resulta em (- 25 ):

No entanto, qualquer número real ao quadrado sempre resulta em um número positivo. A raiz quadrada de um número negativo é atualmente deixada indefinida. Por enquanto, iremos afirmar que ( sqrt {- 25} ) não é um número real. Portanto, o raiz quadrada função4 dado por (f (x) = sqrt {x} ) não é definido como um número real se os valores de (x ) - forem negativos. O menor valor do domínio é zero. Por exemplo, (f (0) = sqrt {0} = 0 ) e (f (4) = sqrt {4} = 2 ). Lembre-se do gráfico da função raiz quadrada.

O domínio e o intervalo consistem em números reais maiores ou iguais a zero: ([0, ∞) ). Para determinar o domínio de uma função envolvendo uma raiz quadrada, olhamos para o radicando e encontramos os valores que produzem resultados não negativos.

Exemplo ( PageIndex {3} ):

Determine o domínio da função definida por (f (x) = sqrt {2 x + 3} ).

Solução

Aqui, o radicandinho é (2x + 3 ). Esta expressão deve ser zero ou positiva. Em outras palavras,

(2 x + 3 geq 0 )

Resolva para (x ).

Responder:

Domínio: ( left [- frac {3} {2}, infty right) )

UMA cubo raiz5 de um número é um número que, quando multiplicado por si mesmo três vezes, resulta no número original. Além disso, denotamos uma raiz cúbica usando o símbolo ( sqrt [3] {} ), onde (3 ) é chamado de índice6. Por exemplo,

( sqrt [3] {64} = 4, text {porque} 4 ^ {3} = 64 )

O produto de três fatores iguais será positivo se o fator for positivo e negativo se o fator for negativo. Por esse motivo, qualquer número real terá apenas uma raiz cúbica real. Conseqüentemente, os detalhes técnicos associados à raiz principal não se aplicam. Por exemplo,

Em geral, dado qualquer número real (a ), temos a seguinte propriedade:

( sqrt [3] {a ^ {3}} = a quad text {if} quad a in R )

Ao simplificar as raízes cúbicas, procure fatores que sejam cubos perfeitos.

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Avalie.

  1. ( sqrt [3] {8} )
  2. ( sqrt [3] {0} )
  3. ( sqrt [3] { frac {1} {27}} )
  4. ( sqrt [3] {- 1} )
  5. ( sqrt [3] {- 125} )

Solução

  1. ( sqrt [3] {8} = sqrt [3] {2 ^ {3}} = 2 )
  2. ( sqrt [3] {0} = sqrt [3] {0 ^ {3}} = 0 )
  3. ( sqrt [3] { frac {1} {27}} = sqrt [3] { left ( frac {1} {3} right) ^ {3}} = frac {1} { 3} )
  4. ( sqrt [3] {- 1} = sqrt [3] {(- 1) ^ {3}} = - 1 )
  5. ( sqrt [3] {- 125} = sqrt [3] {(- 5) ^ {3}} = - 5 )

Pode ser que o radicand não seja um quadrado ou cubo perfeito. Se um inteiro não for uma potência perfeita do índice, sua raiz será irracional. Por exemplo, ( sqrt [3] {2} ) é um número irracional que pode ser aproximado na maioria das calculadoras usando o botão raiz ( sqrt [x] {} ). Dependendo da calculadora, normalmente digitamos no índice antes de apertar o botão e, em seguida, o radical da seguinte maneira:

(3 quad sqrt [x] {y} quad2 quad = )

Portanto, temos

( sqrt [3] {2} approx 1.260, quad text {porque} quad 1.260 ^ { wedge} 3 approx 2 )

Como as raízes cúbicas podem ser negativas, zero ou positivas, não fazemos uso de nenhum valor absoluto.

Exemplo ( PageIndex {5} ):

Simplifique: ( sqrt [3] {(y - 7) ^ {3}} ).

Solução

A raiz cúbica de uma quantidade ao cubo é essa quantidade.

Responder:

(y-7 )

Exercício ( PageIndex {1} )

Avalie: ( sqrt [3] {- 1000} ).

Responder

(=10)

www.youtube.com/v/B06NIs-3gig

Em seguida, considere o raiz cúbica função7:

(f (x) = sqrt [3] {x} quad color {Cerulean} {Cube : root : function.} )

Como a raiz cúbica pode ser negativa ou positiva, concluímos que o domínio consiste em todos os números reais. Esboce o gráfico traçando pontos. Escolha alguns valores positivos e negativos para (x ), bem como zero, e então calcule os valores (y ) correspondentes.

(x ) (f (x) ) (f (x) = sqrt [3] {x} ) ( color {Cerulean} {Ordenado : Pares} )
(-8) ( color {Cerulean} {- 2} )((-8,-2))
(-1) ( color {Cerulean} {- 1} )((-1,-1))
(0) ( color {Cerúleo} {0} ) (f (0) = sqrt [3] {0} = 0 )((0,0))
(1) ( color {Cerúleo} {1} ) (f (1) = sqrt [3] {1} = 1 )((1,1))
(8) ( color {Cerúleo} {2} ) (f (8) = sqrt [3] {8} = 2 )((8,2))
Tabela ( PageIndex {1} )

Trace os pontos e esboce o gráfico da função raiz cúbica.

O gráfico passa no teste da linha vertical e é de fato uma função. Além disso, o intervalo consiste em todos os números reais.

Exemplo ( PageIndex {6} ):

Dado (g (x) = sqrt [3] {x + 1} + 2 ), encontre (g (- 9), g (- 2), g (- 1) ) e (g (0) ). Esboce o gráfico de (g ).

Solução

Substitua (x ) pelos valores fornecidos.

(x ) (g (x) ) (g (x) = sqrt [3] {x + 1} + 2 ) ( color {Cerulean} {Ordenado : Pares} )
(-9) ( color {Cerúleo} {0} )((-9,0))
(-2) ( color {Cerúleo} {1} )((-2,1))
(-1) ( color {Cerúleo} {2} )((-1,2))
(0) ( color {Cerúleo} {3} ) (g ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} = sqrt [3] { color {OliveGreen} {0} color {black} {+} 1} + 2 = sqrt [3] {1} + 2 = 1 + 2 = 3 )((0,3))
Tabela ( PageIndex {2} )

Também podemos esboçar o gráfico usando as seguintes traduções:

( begin {array} {l} {y = sqrt [3] {x} quad quad quad quad color {Cerulean} {Basic : cube : root : function}} { y = sqrt [3] {x + 1} quad quad : color {Cerulean} {Horizontal : shift : left : 1 : unit}} {y = sqrt [3] { x + 1} + 2 : : : color {Cerulean} {Vertical : shift : up : 2 : units}} end {array} )

Responder:

(n ) th Roots

Para qualquer inteiro (n ≥ 2 ), definimos um (n ) th raiz8 de um número real positivo como um número que, quando elevado à (n ) ésima potência, resulta no número original. Dado qualquer número real não negativo (a ), temos a seguinte propriedade:

( sqrt [n] {a ^ {n}} = a, quad text {if} quad a geq 0 )

Aqui, n é chamado de índice e (a ^ {n} ) é chamado de radicando. Além disso, podemos nos referir a toda a expressão ( sqrt [n] {A} ) como um radical9. Quando o índice é um número inteiro maior ou igual a (4 ), dizemos “quarta raiz”, “quinta raiz” e assim por diante. A (n ) ésima raiz de qualquer número é aparente se pudermos escrever o radical com um expoente igual ao índice.

Exemplo ( PageIndex {7} ):

Simplificar:

  1. ( sqrt [4] {81} )
  2. ( sqrt [5] {32} )
  3. ( sqrt [7] {1} )
  4. ( sqrt [4] { frac {1} {16}} )

Solução

  1. ( sqrt [4] {81} = sqrt [4] {3 ^ {4}} = 3 )
  2. ( sqrt [5] {32} = sqrt [5] {2 ^ {5}} = 2 )
  3. ( sqrt [7] {1} = sqrt [7] {1 ^ {7}} = 1 )
  4. ( sqrt [4] { frac {1} {16}} = sqrt [4] { left ( frac {1} {2} right) ^ {4}} = frac {1} { 2} )

Observação

Se o índice for (n = 2 ), então o radical indica uma raiz quadrada e é comum escrever o radical sem o índice; ( sqrt [2] {a} = sqrt {a} ).

Já tomamos o cuidado de definir a raiz quadrada principal de um número real. Neste ponto, estendemos essa ideia às raízes n-ésimas quando n é par. Por exemplo, (3 ) é uma quarta raiz de (81 ), porque (3 ^ {4} = 81 ). E como ((- 3) ^ {4} = 81 ), podemos dizer que (- 3 ) também é uma quarta raiz de (81 ). Portanto, usamos o sinal radical ( sqrt [n] {} ) para denotar o principal (não negativo) (n ) th raiz10 quando (n ) é par. Nesse caso, para qualquer número real (a ), usamos a seguinte propriedade:

( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | quad color {Cerulean} {Quando : n : é : par} )

Por exemplo,

A raiz negativa (n ) th, quando (n ) é par, será denotada com um sinal negativo na frente do radical (- sqrt [n] {} ).

Vimos que a raiz quadrada de um número negativo não é real porque qualquer número real ao quadrado resultará em um número positivo. Na verdade, um problema semelhante surge para qualquer índice uniforme:

Podemos ver que uma quarta raiz de (- 81 ) não é um número real porque a quarta potência de qualquer número real é sempre positiva.

Você é incentivado a tentar tudo isso em uma calculadora. O que isso quer dizer?

Exemplo ( PageIndex {8} ):

Simplificar.

  1. ( sqrt [4] {(- 10) ^ {4}} )
  2. ( sqrt [4] {- 10 ^ {4}} )
  3. ( sqrt [6] {(2 y + 1) ^ {6}} )

Solução

Como os índices são pares, use valores absolutos para garantir resultados não negativos.

  1. ( sqrt [4] {(- 10) ^ {4}} = | - 10 | = 10 )
  2. ( sqrt [4] {- 10 ^ {4}} = sqrt [4] {- 10.000} ) não é um número real.
  3. ( sqrt [6] {(2 y + 1) ^ {6}} = | 2 y + 1 | )

Quando o índice (n ) é ímpar, os mesmos problemas não ocorrem. O produto de um número ímpar de fatores positivos é positivo e o produto de um número ímpar de fatores negativos é negativo. Portanto, quando o índice (n ) é ímpar, existe apenas uma raiz real (n ) th para qualquer número real (a ). E temos a seguinte propriedade:

( sqrt [n] {a ^ {n}} = a quad color {Cerulean} {Quando : n : é : ímpar} )

Exemplo ( PageIndex {9} ):

Simplificar.

  1. ( sqrt [5] {(- 10) ^ {5}} )
  2. ( sqrt [5] {- 32} )
  3. ( sqrt [7] {(2 y + 1) ^ {7}} )

Solução

Como os índices são ímpares, o valor absoluto não é usado.

  1. ( sqrt [5] {(- 10) ^ {5}} = - 10 )
  2. ( sqrt [5] {- 32} = sqrt [5] {(- 2) ^ {5}} = - 2 )
  3. ( sqrt [7] {(2 y + 1) ^ {7}} = 2 y + 1 )

Em resumo, para qualquer número real (a ) temos,

( begin {alinhados} sqrt [n] {a ^ {n}} & = | a | color {Cerúleo} : : : {Quando : n : é : par} sqrt [n] {a ^ {n}} & = a quad : color {Cerulean} {Quando : n : é : ímpar} end {alinhado} )

Quando (n ) é estranho, a (n ) th raiz é positivo ou negativo dependendo do sinal do Radicand.

Quando (n ) é mesmo, a (n ) th raiz é positivo ou falso dependendo do sinal do Radicand.

Exercício ( PageIndex {2} )

Simplifique: (- 8 sqrt [5] {- 32} ).

Responder

(16)

www.youtube.com/v/Ik1xXgq18f0

Simplificando Radicais

Nem sempre será o caso de que o radicando seja uma potência perfeita do índice dado. Se não for, usamos o regra do produto para radicais11 e a regra de quociente para radicais12 para simplificá-los. Dados os números reais ( sqrt [n] {A} ) e ( sqrt [n] {B} ),

Regra de produto para radicais: ( sqrt [n] {A cdot B} = sqrt [n] {A} cdot sqrt [n] {B} )
Regra de quociente para radicais: ( sqrt [n] { frac {A} {B}} = frac { sqrt [n] {A}} { sqrt [n] {B}} )
Tabela ( PageIndex {3} )

UMA radical é simplificado13 se não contiver nenhum fator que possa ser escrito como potências perfeitas do índice.

Exemplo ( PageIndex {10} ):

Simplifique: ( sqrt {150} ).

Solução

Aqui (150 ) pode ser escrito como (2 cdot 3 cdot 5 ^ {2} ).

( begin {alinhados} sqrt {150} & = sqrt {2 cdot 3 cdot 5 ^ {2}} quad quad color {Cerulean} {Aplicar : the : product : rule : para : radicais.} & = sqrt {2 cdot 3} cdot sqrt {5 ^ {2}} quad : color {Cerulean} {Simplifique.} & = sqrt { 6} cdot 5 & = 5 sqrt {6} end {alinhado} )

Podemos verificar nossa resposta em uma calculadora:

( sqrt {150} aproximadamente 12,25 quad text {e} quad 5 sqrt {6} aproximadamente 12,25 )

Além disso, é importante notar que

(12,25 ^ {2} aprox. 150 )

Responder:

(5 sqrt {6} )

Observação

(5 sqrt {6} ) é a resposta exata e (12,25 ) é uma resposta aproximada. Apresentamos respostas exatas, a menos que seja dito o contrário.

Exemplo ( PageIndex {11} ):

Simplifique: ( sqrt [3] {160} ).

Solução

Use a fatoração primária de (160 ) para encontrar o maior fator de cubo perfeito:

( begin {align} 160 & = 2 ^ {5} cdot 5 & = color {Cerulean} {2 ^ {3}} color {black} { cdot} 2 ^ {2} cdot 5 end {alinhado} )

Substitua o radicando por esta fatoração e, a seguir, aplique a regra do produto para radicais.

( begin {alinhados} sqrt [3] {160} & = sqrt [3] {2 ^ {3} cdot 2 ^ {2} cdot 5} quad quad color {Cerulean} {Aplicar : o : produto : regra : para : radicais.} & = sqrt [3] {2 ^ {3}} cdot sqrt [3] {2 ^ {2} cdot 5} quad color {Cerulean} {Simplifique.} & = 2 cdot sqrt [3] {20} end {alinhado} )

Podemos verificar nossa resposta em uma calculadora.

( sqrt [3] {160} aproximadamente 5,43 texto {e} 2 sqrt [3] {20} aproximadamente 5,43 )

Responder:

(2 sqrt [3] {20} )

Exemplo ( PageIndex {12} ):

Simplifique: ( sqrt [5] {- 320} ).

Solução

Aqui, notamos que o índice é ímpar e o radicalar é negativo; portanto, o resultado será negativo. Podemos fatorar o radicand da seguinte forma:

Em seguida, simplifique:

Responder:

(- 2 sqrt [5] {10} )

Exemplo ( PageIndex {13} ):

Simplifique: ( sqrt [3] {- frac {8} {64}} ).

Solução

Neste caso, considere a fração equivalente com (- 8 = (−2) ^ {3} ) no numerador e (64 = 4 ^ {3} ) no denominador e então simplifique.

Responder:

(- frac {1} {2} )

Exercício ( PageIndex {3} )

Simplifique: ( sqrt [4] { frac {80} {81}} )

Responder

( frac {2 sqrt [4] {5}} {3} )

www.youtube.com/v/8CwbDBFO2FQ

Principais vantagens

  • Para simplificar uma raiz quadrada, procure o maior fator quadrado perfeito do radical radicular e, em seguida, aplique a regra do produto ou quociente para radicais.
  • Para simplificar uma raiz cúbica, procure o maior fator de cubo perfeito do radical radicular e, em seguida, aplique a regra de produto ou quociente para radicais.
  • Ao trabalhar com enésimas raízes, (n ) determina a definição que se aplica. Usamos ( sqrt [n] {a ^ {n}} = a _ {1} ) quando (n ) é ímpar e ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | ) quando (n ) é par.
  • Para simplificar (n ) as raízes, procure os fatores que têm uma potência igual ao índice (n ) e, em seguida, aplique a regra de produto ou quociente para radicais. Normalmente, o processo é simplificado se você trabalhar com a fatoração primária do radical radicular.

Exercício ( PageIndex {4} )

Simplificar.

  1. ( sqrt {36} )
  2. ( sqrt {100} )
  3. ( sqrt { frac {4} {9}} )
  4. ( sqrt { frac {1} {64}} )
  5. (- sqrt {16} )
  6. (- sqrt {1} )
  7. ( sqrt {(- 5) ^ {2}} )
  8. ( sqrt {(- 1) ^ {2}} )
  9. ( sqrt {- 4} )
  10. ( sqrt {- 5 ^ {2}} )
  11. (- sqrt {(- 3) ^ {2}} )
  12. (- sqrt {(- 4) ^ {2}} )
  13. ( sqrt {x ^ {2}} )
  14. ( sqrt {(- x) ^ {2}} )
  15. ( sqrt {(x - 5) ^ {2}} )
  16. ( sqrt {(2 x - 1) ^ {2}} )
  17. ( sqrt [3] {64} )
  18. ( sqrt [3] {216} )
  19. ( sqrt [3] {- 216} )
  20. ( sqrt [3] {- 64} )
  21. ( sqrt [3] {- 8} )
  22. ( sqrt [3] {1} )
  23. (- sqrt [3] {(- 2) ^ {3}} )
  24. (- sqrt [3] {(- 7) ^ {3}} )
  25. ( sqrt [3] { frac {1} {8}} )
  26. ( sqrt [3] { frac {8} {27}} )
  27. ( sqrt [3] {(- y) ^ {3}} )
  28. (- sqrt [3] {y ^ {3}} )
  29. ( sqrt [3] {(y - 8) ^ {3}} )
  30. ( sqrt [3] {(2 x - 3) ^ {3}} )
Responder

1. (6)

3. ( frac {2} {3} )

5. (−4)

7. (5)

9. Não é um número real

11. (−3)

13. (| x | )

15. (| x - 5 | )

17. (4)

19. (−6)

21. (−2)

23. (2)

25. ( frac {1} {2} )

27. (- y )

29. (y - 8 )

Exercício ( PageIndex {5} )

Determine o domínio da função fornecida.

  1. (g (x) = sqrt {x + 5} )
  2. (g (x) = sqrt {x - 2} )
  3. (f (x) = sqrt {5 x + 1} )
  4. (f (x) = sqrt {3 x + 4} )
  5. (g (x) = sqrt {- x + 1} )
  6. (g (x) = sqrt {- x - 3} )
  7. (h (x) = sqrt {5 - x} )
  8. (h (x) = sqrt {2 - 3 x} )
  9. (g (x) = sqrt [3] {x + 4} )
  10. (g (x) = sqrt [3] {x - 3} )
Responder

1. ([- 5, infty) )

3. ( left [- frac {1} {5}, infty right) )

5. ((- infty, 1] )

7. ((- infty, 5] )

9. ((- infty, infty) )

Exercício ( PageIndex {6} )

Avalie dada a definição da função.

  1. Dado (f (x) = sqrt {x - 1} ), encontre (f (1), f (2) ) e (f (5) )
  2. Dado (f (x) = sqrt {x + 5} ), encontre (f (- 5), f (- 1) ) e (f (20) )
  3. Dado (f (x) = sqrt {x} + 3 ), encontre (f (0), f (1) ) e (f (16) )
  4. Dado (f (x) = sqrt {x} - 5 ), encontre (f (0), f (1) ) e (f (25) )
  5. Dado (g (x) = sqrt [3] {x} ), encontre (g (- 1), g (0) ) e (g (1) )
  6. Dado (g (x) = sqrt [3] {x} - 2 ) encontre (g (- 1), g (0) ), e (g (8) )
  7. Dado (g (x) = sqrt [3] {x + 7} ), encontre (g (- 15), g (- 7) ) e (g (20) )
  8. Dado (g (x) = sqrt [3] {x - 1} + 2 ), encontre (g (0), g (2) ) e (g (9) )
Responder

1. (f (1) = 0; f (2) = 1; f (5) = 2 )

3. (f (0) = 3; f (1) = 4; f (16) = 7 )

5. (g (- 1) = - 1; g (0) = 0; g (1) = 1 )

7. (g (- 15) = - 2; g (- 7) = 0; g (20) = 3 )

Exercício ( PageIndex {7} )

Esboce o gráfico da função dada e forneça seu domínio e intervalo.

  1. (f (x) = sqrt {x + 9} )
  2. (f (x) = sqrt {x - 3} )
  3. (f (x) = sqrt {x - 1} + 2 )
  4. (f (x) = sqrt {x + 1} + 3 )
  5. (g (x) = sqrt [3] {x - 1} )
  6. (g (x) = sqrt [3] {x + 1} )
  7. (g (x) = sqrt [3] {x} - 4 )
  8. (g (x) = sqrt [3] {x} + 5 )
  9. (g (x) = sqrt [3] {x + 2} - 1 )
  10. (g (x) = sqrt [3] {x - 2} + 3 )
  11. (f (x) = - sqrt [3] {x} )
  12. (f (x) = - sqrt [3] {x - 1} )
Responder

1. Domínio: ([- 9, infty) ); intervalo: ([0, infty) )

3. Domínio: ([1, infty) ); intervalo: ([2, infty) )

5. Domínio: ( mathbb {R} ); alcance; ( mathbb {R} )

7. Domínio: ( mathbb {R} ); alcance; ( mathbb {R} )

9. Domínio: ( mathbb {R} ); alcance; ( mathbb {R} )

11. Domínio: ( mathbb {R} ); alcance; ( mathbb {R} )

Exercício ( PageIndex {8} )

Simplificar.

  1. ( sqrt [4] {64} )
  2. ( sqrt [4] {16} )
  3. ( sqrt [4] {625} )
  4. ( sqrt [4] {1} )
  5. ( sqrt [4] {256} )
  6. ( sqrt [4] {10.000} )
  7. ( sqrt [5] {243} )
  8. ( sqrt [5] {100.000} )
  9. ( sqrt [5] { frac {1} {32}} )
  10. ( sqrt [5] { frac {1} {243}} )
  11. (- sqrt [4] {16} )
  12. (- sqrt [6] {1} )
  13. ( sqrt [5] {- 32} )
  14. ( sqrt [5] {- 1} )
  15. ( sqrt {- 1} )
  16. ( sqrt [4] {- 16} )
  17. (- 6 sqrt [3] {- 27} )
  18. (- 5 sqrt [3] {- 8} )
  19. (2 sqrt [3] {- 1.000} )
  20. (7 sqrt [5] {- 243} )
  21. (6 sqrt [4] {- 16} )
  22. (12 sqrt [6] {- 64} )
  23. ( sqrt [3] { frac {25} {16}} )
  24. (6 sqrt { frac {16} {9}} )
  25. (5 sqrt [3] { frac {27} {125}} )
  26. (7 sqrt [5] { frac {32} {7 ^ {5}}} )
  27. (- 5 sqrt [3] { frac {8} {27}} )
  28. (- 8 sqrt [4] { frac {625} {16}} )
  29. (2 sqrt [5] {100.000} )
  30. (2 sqrt [7] {128} )
Responder

1. (4)

3. (5)

5. (4)

7. (3)

9. ( frac {1} {2} )

11. (−2)

13. (−2)

15. Não é um número real

17. (18)

19. (−20)

21. Não é um número real

23. ( frac {15} {4} )

25. (3)

27. (- frac {10} {3} )

29. (20)

Exercício ( PageIndex {9} )

Simplificar.

  1. ( sqrt {96} )
  2. ( sqrt {500} )
  3. ( sqrt {480} )
  4. ( sqrt {450} )
  5. ( sqrt {320} )
  6. ( sqrt {216} )
  7. (5 sqrt {112} )
  8. (10 ​​ sqrt {135} )
  9. (- 2 sqrt {240} )
  10. (- 3 sqrt {162} )
  11. ( sqrt { frac {150} {49}} )
  12. ( sqrt { frac {200} {9}} )
  13. ( sqrt { frac {675} {121}} )
  14. ( sqrt { frac {192} {81}} )
  15. ( sqrt [3] {54} )
  16. ( sqrt [3] {24} )
  17. ( sqrt [3] {48} )
  18. ( sqrt [3] {81} )
  19. ( sqrt [3] {40} )
  20. ( sqrt [3] {120} )
  21. ( sqrt [3] {162} )
  22. ( sqrt [3] {500} )
  23. ( sqrt [3] { frac {54} {125}} )
  24. ( sqrt [3] { frac {40} {343}} )
  25. (5 sqrt [3] {- 48} )
  26. (2 sqrt [3] {- 108} )
  27. (8 sqrt [4] {96} )
  28. (7 sqrt [4] {162} )
  29. ( sqrt [5] {160} )
  30. ( sqrt [5] {486} )
  31. ( sqrt [5] { frac {224} {243}} )
  32. ( sqrt [5] { frac {5} {32}} )
  33. ( sqrt [5] {- frac {1} {32}} )
  34. ( sqrt [6] {- frac {1} {64}} )
Responder

1. (4 sqrt {6} )

3. (4 sqrt {30} )

5. (8 sqrt {5} )

7. (20 sqrt {7} )

9. (- 8 sqrt {15} )

11. ( frac {5 sqrt {6}} {7} )

13. ( frac {15 sqrt {3}} {11} )

15. (3 sqrt [3] {2} )

17. (2 sqrt [3] {6} )

19. (2 sqrt [3] {5} )

21. (3 sqrt [3] {6} )

23. ( frac {3 sqrt [3] {2}} {5} )

25. (- 10 sqrt [3] {6} )

27. (16 sqrt [4] {6} )

29. (2 sqrt [5] {5} )

31. ( frac {2 sqrt [5] {7}} {3} )

33. (- frac {1} {2} )

Exercício ( PageIndex {10} )

Simplificar. Dê a resposta exata e a resposta aproximada arredondada para o centésimo mais próximo.

  1. ( sqrt {60} )
  2. ( sqrt {600} )
  3. ( sqrt { frac {96} {49}} )
  4. ( sqrt { frac {192} {25}} )
  5. ( sqrt [3] {240} )
  6. ( sqrt [3] {320} )
  7. ( sqrt [3] { frac {288} {125}} )
  8. ( sqrt [3] { frac {625} {8}} )
  9. ( sqrt [4] {486} )
  10. ( sqrt [5] {288} )
Responder

1. (2 sqrt {15}; 7,75 )

3. ( frac {4 sqrt {6}} {7}; 1,40 )

5. (2 sqrt [3] {30}; 6,21 )

7. ( frac {2 sqrt [3] {36}} {5}; 1,32 )

9. (3 sqrt [4] {6}; 4,70 )

Exercício ( PageIndex {11} )

Reescreva o seguinte como uma expressão radical com coeficiente (1 ).

  1. (2 sqrt {15} )
  2. (3 sqrt {7} )
  3. (5 sqrt {10} )
  4. (10 ​​ sqrt {3} )
  5. (2 sqrt [3] {7} )
  6. (3 sqrt [3] {6} )
  7. (2 sqrt [4] {5} )
  8. (3 sqrt [4] {2} )
  9. Cada lado de um quadrado tem um comprimento igual à raiz quadrada da área do quadrado. Se a área de um quadrado for (72 ) unidades quadradas, encontre o comprimento de cada um de seus lados.
  10. Cada aresta de um cubo tem um comprimento igual à raiz cúbica do volume do cubo. Se o volume de um cubo for (375 ) unidades cúbicas, encontre o comprimento de cada uma de suas bordas.
  11. A corrente (I ) medida em amperes é dada pela fórmula (I = sqrt { frac {P} {R}} ) onde (P ) é o consumo de energia medido em watts e (R ) é a resistência medida em ohms. Se uma lâmpada de (100 ) watts tem (160 ) ohms de resistência, encontre a corrente necessária. (Arredonde para o centésimo mais próximo de ampere.)
  12. O tempo em segundos que um objeto está em queda livre é dado pela fórmula (t = frac { sqrt {s}} {4} ) onde (s ) representa a distância em pés que o objeto caiu. Quanto tempo um objeto leva para cair do topo de uma escada de 30 metros? (Arredonde para o décimo de segundo mais próximo.)
Responder

1. ( sqrt {60} )

3. ( sqrt {250} )

5. ( sqrt [3] {56} )

7. ( sqrt [4] {80} )

9. (6 sqrt {2} ) unidades

11. (0,79 ) ampere

Exercício ( PageIndex {12} )

  1. Explique por que existem duas raízes quadradas reais para qualquer número real positivo e uma raiz cúbica real para qualquer número real.
  2. Qual é a raiz quadrada de (1 ) e qual é a raiz cúbica de (1 )? Explique por quê.
  3. Explique porque ( sqrt {- 1} ) não é um número real e porque ( sqrt [3] {- 1} ) é um número real.
  4. Pesquise e discuta os métodos usados ​​para calcular raízes quadradas antes do uso comum de calculadoras eletrônicas.
Responder

1. A resposta pode variar

3. A resposta pode variar

Notas de rodapé

1Um número que, quando multiplicado por si mesmo, resulta no número original.

2A raiz quadrada positiva de um número real positivo, denotada pelo símbolo (√ ).

3A expressão (A ) dentro de um sinal radical, ( sqrt [n] {A} ).

4A função definida por (f (x) = sqrt {x} ).

5Um número que, quando usado como um fator consigo mesmo três vezes, resulta no número original, denotado pelo símbolo ( sqrt [3] {} ).

6O número inteiro positivo (n ) na notação ( sqrt [n] {} ) que é usado para indicar uma enésima raiz.

7A função definida por (f (x) = sqrt [3] {x} ).

8Um número que quando elevado à (n ) ésima potência ((n ≥ 2) ) produz o número original.

9Usado ao se referir a uma expressão da forma ( sqrt [n] {A} ).

10O positivo (n ) ésima raiz quando (n ) é par.

11Dados números reais ( sqrt [n] {A} ) e ( sqrt [n] {B} ), ( sqrt [n] {A cdot B} = sqrt [n] {A } cdot sqrt [n] {B} ).

12Dados números reais ( sqrt [n] {A} ) e ( sqrt [n] {B} ), ( sqrt [n] { frac {A} {B}} = frac { sqrt [n] {A}} { sqrt [n] {B}} ) onde (B ≠ 0 ).

13Um radical onde o radicand não consiste em nenhum fator que possa ser escrito como potências perfeitas do índice.


Radicais e valores absolutos - Conceito

Carl ensinou matemática de nível superior em várias escolas e atualmente dirige sua própria empresa de reforço escolar. Ele aposta que ninguém supera seu amor por atividades intensivas ao ar livre!

Como qualquer raiz de número par deve ser um número positivo (caso contrário, é imaginário), o valor absoluto deve ser usado ao simplificar as raízes com variáveis, o que garante que a resposta seja positiva. Ao trabalhar com expressões radicais este requisito não se aplica a nenhuma raiz ímpar porque existem raízes ímpares para números negativos. Além disso, o valor absoluto não é necessário se um número par de uma variável sair da raiz - a resposta deve ser positiva.

O valor absoluto e as raízes quadradas, então o que vamos fazer agora é falar sobre valores absolutos e às vezes o que acontece é que realmente precisamos de um valor absoluto quando damos nossa resposta e então o que vamos fazer é olhar para um vários exemplos e falar sobre quando precisamos deles e quando não precisamos deles.
Ok, então está começando, raiz quadrada de 4, exemplo fácil, sabemos que a raiz quadrada de 4 é 2 porque 2 vezes 2 é igual a 4. Ok, a seguir, raiz quadrada de -4, precisamos de 2 números que nos darão -4 Isso não vai acontecer, ok, este não é um número real, ok, mais tarde, vamos realmente falar sobre como podemos fazer isso, mas ainda não chegamos lá, ok? Portanto, raiz quadrada de 3 ao quadrado. 3 ao quadrado é 9, a raiz quadrada de nove é 3. Raiz quadrada de 3 negativo ao quadrado. Quando elevamos ao quadrado um número negativo, obtemos na verdade um positivo, então -3 vezes -3 é 9, a raiz quadrada de 9 é novamente 3. Ok, a raiz cúbica de 8 tem três 2 & # 39s em oito, então isso acaba sendo 2 e o a raiz cúbica de 8 negativo é -2. Negativo 2 vezes ele mesmo 3 vezes é oito negativo, então o que vimos aqui é que quando temos uma raiz cúbica ok de raiz ímpar, podemos ter uma resposta positiva ou negativa.
Ok, quando temos uma raiz uniforme, todas as nossas respostas têm que ser positivas, ok? Essas são representações numéricas, mas agora vamos para as variáveis. Ok, vamos analisar aqui a raiz quadrada de x ao quadrado, que é composta de 2 x & # 39s, para sabermos que podemos simplificar isso como um x. O problema é que não sabemos se x é positivo ou negativo, certo? Digamos que x fosse 3 negativo, assim como fizemos aqui. O que acontece é que estamos elevando ao quadrado para que se torne positivo e, em seguida, tirando a raiz quadrada dele para que ele na verdade permaneça positivo porque não sabemos se x é positivo ou negativo, temos que colocar sinais de valor absoluto de o lado de fora para tornar esse termo positivo, então a raiz quadrada de x ao cubo. Podemos tirar um x e ainda nos resta um x no interior, mas sabemos que isso tem que ser positivo porque não podemos tirar um negativo da raiz quadrada, então, mais uma vez, temos que colocar o valor absoluto sinaliza ok porque onde quer que saia a raiz quadrada tem que ser positivo. Ok, que tal a raiz quadrada de x elevado ao quarto. Ok, sabemos que isso é 4 xs, então podemos tirar 2 deles, deixando-nos com x ao quadrado. Precisamos de valores absolutos neste caso? Não porque x ao quadrado sempre se tornará positivo, ok? Então, sempre que precisamos de valores absolutos é basicamente um tipo de regra prática que eu sempre uso é sempre que você está obtendo uma raiz par, então aqui esta é a raiz quadrada, na verdade um pouco invisível 2 aqui e sempre que tirar uma mesmo root e temos uma potência adicional em uma variável, ok então aqui temos um único x, único x, x ao quadrado. Se tivéssemos que tirar um x ao cubo, precisaríamos de um valor absoluto. Se tirarmos um x do quarto, ganharemos porque o quarto será sempre positivo.
Na verdade, nunca precisamos de um valor absoluto quando estamos lidando com uma raiz ímpar e faremos mais um exemplo, digamos, raiz cúbica de x elevado ao terceiro. x elevado ao terceiro é 3 x & # 39s, então isso é na verdade igual ax, mas porque estamos lidando com uma raiz ímpar, a raiz cúbica, não precisamos de um valor absoluto porque podemos realmente obter números positivos ou negativos para sair disso. ? Então, basicamente, sempre que você está lidando com o absoluto, a raiz quadrada de uma variável, se você tem uma raiz par e obtém uma potência ímpar, sempre inclui valores absolutos.


Simplificando Radicais

Racionalize o Denominador

raízes do número (ou expressão) no Radicand.

Por exemplo, a raiz cúbica de 8 representa o número que pode ser multiplicado por ele mesmo três vezes (ao cubo) para ser igual a 8:

Como 2 * 2 * 2 = 8, a raiz cúbica de 8 é 2.

O 3 na expressão é chamado de índice de raiz, e o 8 é chamado de Radicand.

O que significa & quotRacionalizar o denominador & quot?

Racionalizando o Denominador significa simplesmente remover todos os radicais do denominador de uma fração sem alterar o valor da fração.

Quando o denominador é racionalizado, a fração original é convertida na fração equivalente mais simples que não possui radicais no denominador.

Ao remover todos os radicais do denominador, todos os números no denominador serão convertidos em números racionais (daí o termo & quotRacionalizando o Denominador & quot).

(Observe que a raiz quadrada de 2 é um
número irracional - um não-terminante
decimal sem um padrão de repetição.)

(Observe que o denominador agora é o
número racional 2.)

Por que racionalizar o denominador de uma fração?

Por que não deixar o denominador sozinho?

Que diferença faz?

Qual é o objetivo de racionalizar o denominador?

É necessário racionalizar o numerador de uma fração em vez de um denominador?

Como racionalizar o denominador de uma fração


Vídeo demonstrando como racionalizar o denominador - clique aqui

Racionalize o denominador de:

Racionalize o denominador de:

Racionalize o denominador de:

A resposta final é:

Racionalize o denominador de:

Racionalize o denominador de:

Racionalize o denominador de:

A resposta final é:


Índice

Capítulo 1 Ordem de operações

1.1.1 Adição e Multiplicação Qual é correto?

1.1.2 Adição e Expoentes Qual é correto?

1.1.3 Multiplicar e dividir da esquerda para a direita Qual é correto?

1.1.4 Multiplicação e Expoentes Qual é correto?

Capítulo 2 Propriedades do Número

2.1.1 Multiplicando frações Qual é melhor?

2.2.1 Divisão vs. multiplicação pelo recíproco Como eles diferem?

2.2.2 Multiplicação vs. divisão pelo recíproco (com números inteiros) Como eles diferem?

2.2.3 Multiplicação vs. divisão pelo recíproco (com frações) Como eles diferem?

2.2.4 Simplificando expressões fracionárias Qual é correto?

2.3.1 Adição - Adicione 3 números em qualquer ordem Por que isso funciona?

2.3.2 Adição - Adição de números negativos Por que isso funciona?

2.3.3 Subtração - A subtração não é associativa Qual é correto?

2.3.4 Multiplicação - Multiplique 3 números em qualquer ordem Por que isso funciona?

2.3.5 Divisão - Divisão não é associativa Qual é correto?

2.4.1 Adição de negativos - Se reescrever a subtração como adição, pode usar a propriedade comutativa Qual é correto?

2.4.2 Subtração - A subtração não é comutativa Como eles diferem?

2.5.1 Propriedade Distributiva e Ordem das Operações - Distribuir vs. simplificar entre parênteses primeiro Por que isso funciona?

2.5.2 Erro comum: Falha ao distribuir em ambos os termos Qual é correto?

2.5.3 Erro comum: usar incorretamente a propriedade distributiva com multiplicação Qual é correto?

2.6.1 Simplificando expressões com valor absoluto Qual é correto?

Operações com números negativos

2.7.1 Subtraindo uma subtração negativa vs. reescrita como adição da oposta Qual é correto?

Capítulo 3 Equações Lineares

Resolvendo Equações Multi-Passos

3.1.1 Subtraction – Subtract first vs. distribute first Which is better?

3.1.2 Fractions – Eliminate fractions first vs. find common denominator first Which is better?

Solving Multi-Step Equations

3.1.3 Incorrectly performing an operation on both sides of an equation Which is correct?

3.1.4 Fractions – Subtract first vs. find a common denominator first Which is better?

3.1.5 Division – Cross-multiply vs. multiply both sides of the equation by the same value Why does it work?

3.1.6 Subtract first vs. divide first (for equations of the form a(x + b) = c, where a is divisible by c) Which is better?

3.1.7 Distribute first vs. multiply first (for equations of the form a(x + b) = c, where a is a fraction) Which is better?

Solving Equations with Variables on Both Sides

3.2.1 Subtract first vs. distribute first Which is better?

3.2.2 Combining like terms Which is correct?

3.2.3 Performing same operation twice on one side Which is correct?

3.2.4 Combining terms with common factors Which is better?

Solving Literal Equations

3.3.1 Divide first vs. distribute first Which is better?

3.3.2 Move variables one at a time vs. all at once Which is better?

3.3.3 Subtract first vs. divide first Why does it work?

3.4.1 Multiply first vs. cross-multiply Why does it work?

3.4.2 Equivalent fractions Which is better?

3.4.3 Unit rate Which is better?

3.4.4 Multiplying fractions vs. solving a proportion Which is correct?

Chapter 4 Graphing Linear Equations And Introduction To Functions And Relations

4.1.1 Table of values vs. slope-intercept form Which is better?

4.1.2 Choosing x-values for the table Which is better?

4.2.1 Find a slope by graphing vs. by using the slope formula Why does it work?

Graphing Lines using Intercepts

4.3.1 Shortcut to finding the intercepts Why does it work?

4.4.1 Choose either point Why does it work?

4.4.2 Graph an equation given in point-slope form using the point-slope or the slope-intercept method Which is better?

Using Slope-Intercept Form

4.5.1 Given 2 points, find the y-intercept Which is better?

4.5.2 Forget which term represents the y-interceptar Which is correct?

4.5.3 Confuse rise and run Which is correct?

4.5.4 Comparing the equations of lines with different slope values How do they differ?

4.5.5 Comparing the equations of lines with positive and negative slopes How do they differ?

4.5.6 Comparing the equations of lines with different y-intercepts How do they differ?

4.5.7 Comparing x-intercepts and y-intercepts How do they differ?

4.6.1 Given an equation in standard form, graph using slope-intercept vs. intercepts Which is better?

Slope of a Horizontal Line

4.7.1 Find slope by formula vs. t-table Why does it work?

4.8.1 Find slope by formula vs. t-table Why does it work?

4.9.1 Determine whether a relation is a function How do they differ?

4.9.2 Domain vs. range How do they differ?

Solving Inequalities using Multiplication and Division

5.1.1 Division by a positive vs. a negative number Which is correct?

5.1.2 Why we can ‘flip’ the inequality sign in division Why does it work?

5.1.3 ‘Flipping’ the inequality sign when dividing by a positive value Which is correct?

Absolute Value Inequalities

5.2.1 Definition Why does it work?

5.2.2 Greater than Why does it work?

5.2.3 Addition Why does it work?

5.3.1 Error shading by sign Which is correct?

5.3.2 Graphing an equation vs. graphing an inequality How do they differ?

5.3.3 Graphing inequalities with “and” vs. “or” How do they differ?

Chapter 6 Systems Of Equations

6.1.1 Substitute the first value you get into either equation to get the second value Why does it work?

6.1.2 Solve for x vs. solve for y Why does it work?

6.1.3 Substitute for a more or less efficient variable Which is better?

6.2.1 Substitute the first value you get into either equation to get the second value Why does it work?

6.2.2 Eliminate x vs. eliminate y How do they differ?

6.2.3 Common error Which is correct?

6.2.4 Why elimination works Why does it work?

Substitution vs. Elimination

6.3.1 Both methods work Which is better?

6.3.2 Identifying when substitution is preferable Which is better?

6.3.3 Identifying when elimination is preferable Which is better?

Adding and Subtracting Polynomials

7.1.1 Addition – Missing terms Which is better?

7.1.2 Subtraction – Missing terms Which is better?

Multiplying and Dividing Polynomials

7.2.1 Multiplying Polynomials – Area model vs. distributive property Why does it work?

7.2.2 Multiplying Polynomials – Distributive property vs. FOIL Why does it work?

7.2.3 Multiplying Polynomials – Forgetting to distribute to each term Which is correct?

7.3.1 Dividing Polynomials – Common error (no placeholders) Which is correct?

7.4.1 Finding GCF by factor tree vs. product pairs Which is better?

7.4.2 GCF of terms with variables by factor tree vs. product pairs Which is better?

7.4.3 Adding terms with common factors Which is better?

7.4.4 Adding terms with common factors Why does it work?

7.5.1 Factor a trinomial in two variables How do they differ?

7.5.2 Factor a trinomial with lead coefficient not 1: Factor by trial and error vs. factor first Which is better?

7.5.3 Factor a trinomial with lead coefficient not 1: Factor by trial and error vs. splitting the middle term Which is better?

7.5.4 Solve a quadratic equation with lead coefficient not 1: Factor out a common factor first vs. don’t Which is better?

7.5.5 Factor a trinomial with lead coefficient not 1:Factor by splitting the middle term first vs. by factoring out a common factor first Which is better?

8.1.1 Derivation of the quadratic formula by completing the square Why does it work?

8.2.1 Factoring vs. quadratic formula Which is better?

8.3.1 Why not to divide by a variable Which is correct?

8.4.1 Confuse sign of a Which is correct?

8.4.2 Confuse sign of b Which is correct?

8.4.3 Confuse sign of c Which is correct?

Graphing Quadratic Equations

8.5.1 Graphing quadratic equations with positive vs. negative coefficients for x 2 How do they differ?

8.5.2 Graphing quadratic equations with fractional vs. whole-number coefficients for x 2 How do they differ?

Graphing Quadratic Equations

8.5.3 How changing the coefficient of x 2 affects the graph of a quadratic equation How do they differ?

8.5.4 How adding a constant to the quadratic equation affects the graph How do they differ?

8.5.5 How adding vs. subtracting a constant to the quadratic equation affects the graph How do they differ?

8.5.6 How adding a constant to x affects the graph How do they differ?

8.5.7 How adding vs. subtracting a constant to x affects the graph How do they differ?

Operations with Terms with Exponents

9.1.1 Adding like terms with exponents Which is correct?

Multiplication Properties: Product of Powers Property

9.2.1 Multiplication with exponents Which is correct?

Multiplication Properties: Power of a Power Property

9.3.1 Rewriting terms with the same base Which is better?

9.3.2 Rewriting terms using perfect squares Which is better?

Multiplication Properties: Power of a Product Property

9.4.1 Power of a product Why does it work?

9.4.2 Apply the exponent to each number being multiplied Which is correct?

9.4.3 Order of operations vs. power of a product property Why does it work?

9.4.4 Simplifying expressions with variables Which is correct?

9.4.5 Simplifying expressions with addition of integers Which is correct?

9.4.6 Simplifying expressions involving products and exponents according to the order of operations Which is correct?

Division Properties: Quotient of Powers Property

9.5.1 Division with exponents Why does it work?

9.5.2 Division with exponents Which is correct?

Graphing Exponential Equations

9.6.1 Graphing linear vs. exponential functions How do they differ?

9.6.2 Graphing quadratic vs. exponential functions How do they differ?

Chapter 10 Radical Expressions and Equations

Properties of Radicals: Square Roots

10.1.1 Prime factor vs. perfect square Which is better?

10.1.2 Confusing the square root with division by 2 Which is correct?

10.1.3 Forgetting to simplify the square root of a*a as a Which is correct?

10.1.4 Estimating the value of a square root Why does it work?

10.1.5 Values for which the square root of a number is greater and less than the number How do they differ?

10.1.6 Square roots with numbers and variables Why does it work?

Product Property of Radicals

10.2.1 Multiplication of radicals Which is better?

10.2.2 Square root of a product vs. product of the square roots Why does it work?

Quotient Property of Radicals

10.3.1 Square root of a quotient vs. quotient of the square roots Why does it work?

10.3.2 Square root in the denominator of a fraction Which is better?

Addition and Subtraction of Radicals

10.4.1 Square root of a sum vs. sum of square roots Which is correct?

10.4.2 Combining two unlike radical terms Which is correct?

10.4.3 Combining three like radical terms Which is correct?

10.4.4 Factoring the radicand to combine like radical terms Which is correct?

10.4.5 Square root of a difference vs. difference of square roots Which is correct?

Multiplication and Division of Radicals

10.5.1 Simplifying expressions with sums vs. products in the radicand How do they differ?

Simplifying Radical Expressions

10.6.1 Factoring out radical terms as common factors Which is better?

10.6.2 Advantages of breaking terms into perfect squares first Which is better?

10.7.1 Distance formula and Pythagorean theorem Why does it work?

Chapter 11 Rational Expressions and Equations

11.1.1 Incorrect common denominator Which is correct?

11.1.2 Simplifying the fraction first vs. finding a common denominator first Which is better?

Multiplication and Division

11.2.1 Error simplifying the numerator and denominator Which is correct?


MathHelp.com

As you can see, simplifying radicals that contain variables works exactly the same way as simplifying radicals that contain only numbers. We factor, find things that are squares (or, which is the same thing, find factors that occur in pairs), and then we pull out one copy of whatever was squared (or of whatever we'd found a pair of).

Simplificar

Looking at the numerical portion of the radicand, I see that the 12 is the product of 3 and 4 , so I have a pair of 2 's (so I can take a 2 out front) but a 3 left over (which will remain behind inside the radical).

Looking at the variable portion, I have two pairs of uma 's I have three pairs of b 's, with one b left over and I have one pair of c 's, with one c left over. So the root simplifies as:

You are used to putting the numbers first in an algebraic expression, followed by any variables. But for radical expressions, any variables outside the radical should go in front of the radical, as shown above. Always put everything you take out of the radical in front of that radical (if anything is left inside it).

Simplificar

Writing out the complete factorization would be a bore, so I'll just use what I know about powers. The 20 factors as 4 × 5 , with the 4 being a perfect square. O r 18 has nine pairs of r' s the s is unpaired and the t 21 has ten pairs of t 's, with one t left over. Então:

Technical point: Your textbook may tell you to "assume all variables are positive" when you simplify. Why? Because the square root of the square of a negativo number is não the original number.

For instance, you could start with &ndash2 , square it to get +4 , and then take the square root of +4 (which is defined to be the positive root) to get +2 . You plugged in a negative and ended up with a positive.

We're applying a process that results in our getting the same numerical value, but it's always positive (or at least non-negative). Sound familiar? It should: it's how the absolute value works: |&ndash2| = +2 . Taking the square root of the square is in fact the technical definition of the absolute value.

But this technicality can cause difficulties if you're working with values of unknown sign that is, with variables. The |&ndash2| is +2 , but what is the sign on | x | ? You can't know, because you don't know the sign of x itself &mdash unless they specify that you should "assume all variables are positive", or at least non-negative (which means "positive or zero").


Multiplying Radical Expressions

1)

2)

On the outside, we only have a 5, so that stays the same (or you can think of it as 5.1). On the inside, 3(6)=18.can be simplified to Since the 5 and 3 are both on the outside, we finish by multiplying them together.

3)

Practice: Multiply the radicals.

1)
2)
3)
4)
5)

Squares and Square Roots (A)

Teacher s can use math worksheets as test s, practice assignment s or teaching tool s (for example in group work , for scaffolding or in a learning center ). Parent s can work with their children to give them extra practice , to help them learn a new math skill or to keep their skills fresh over school breaks . Student s can use math worksheets to master a math skill through practice, in a study group or for peer tutoring .

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FORMATION OF QUADRATIC EQUATION WITH GIVEN ROOTS

The least common multiplication of the denominators 3 and 2 is 6.

Make each denominator as 6 using multiplication.

Formation of quadratic equation : 

x 2  - (sum of the roots)x + product of the roots  =  0 

If one root of a quadratic equation (2 +  √3), then  form the equation given that the roots are irrational.  

(2 +  √3) is an irrational number. 

We already know the fact that irrational roots of a quadratic equation will occur  in conjugate  pairs.

That is,  if  (2 +  √3) is one root of a quadratic equation, then  (2 -  √3) will be  the other root of the same equation. 

So,  (2 +  √3) and  (2 -  √3) are the roots of the required quadratic equation. 

Formation of quadratic equation : 

x 2  - (sum of the roots)x + product of the roots  =  0 

If  α and β be the roots of x 2 + 7x + 12  =  0, find the quadratic equation whose roots are 

Given : α and β be the roots of x 2  + 7x + 12  =  0.

sum of roots  =  -coefficient of x / coefficient of x 2

α + β   =  -7 / 1

product of roots  =  constant term / coefficient of x 2

Quadratic equation with roots  ( α + β) 2 ਊnd (α - β) 2 is

x 2 - [ ( α + β) 2  + (α - β) 2 ]x +  ( α + β) 2 (α - β) 2  =  0 -----(1)

Find the values of  ( α + β) 2 and  ( α - β) 2 .

So, the required quadratic equation is

x 2  - 50 x + 49    =  0

If  α and β be the roots of x 2  + px + q  =  0, find the quadratic equation whose roots are 

Given :  α and β be the roots of x 2  + px + q  =  0.

sum of roots  =  -coefficient of x / coefficient of x 2

product of roots  =  constant term / coefficient of x 2

Quadratic equation with roots  α/βਊnd β/ α   is

So, the required quadratic equation is

Multiply each side by q. 

qx 2  - (p 2  - 2q) x + q    =  0

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ALGEBRA

The four operations and their signs.
The function of parentheses.
Terms versus factors .
Powers and exponents.
The order of operations.
Values and evaluations.
Evaluating algebraic expressions.

The integers.
The algebraic sign and the absolute value.
Subtracting a larger number from a smaller.
The number line.
The negative of any number.

"Adding" a negative number.
Naming terms. The rule for adding terms.
Subtracting a negative number.

The rule of symmetry. Commutative rules. Inverses.
Two rules for equations.

The definition of reciprocals. The definition of division. Rules for 0.

Parentheses. Brackets. Braces.
The relationship of b &minus a to a &minus b .

The law of inverses.
Transposing.
A logical sequence of statements.
Simple fractional equations.

Absolute value equations.
Absolute value inequalities.

Powers of a number.
Rules of exponents: When to add, when to multiply.

The definition of a polynomial in x .
Factoring polynomials.
Factoring by grouping.
Equations in which the unknown is a common factor.

Quadratics in different arguments.

Perfect square trinomials.
The square of a trinomial.
Completing the square.
Geometrical algebra.

Summary of Multiplying/Factoring.
Factoring by grouping.
The sum and difference of any two powers: a n ± b n .

Negative exponents. Exponent 0. Scientific notation.

Rational expressions. The principle of equivalent fractions. Reducing to lowest terms.

The Lowest Common Multiple (LCM) of a series of terms.

The whole is equal to the sum of the parts.
Same time problem: Upstream-downstream.
Total time problem. Job problem.

Square roots.
Equations x ² = a , and the principal square root.
Rationalizing a denominator.
Real numbers.

Roots of numbers. The index of a radical.
Fractional exponents.
Negative exponents.

The square root of a negative number.
The real and imaginary components.
Conjugate pairs.

The distance of a point from the origin.
The distance between any two points.
A proof of the Pythagorean theorem.

The equation of the first degree and its graph.
Vertical and horizontal lines.

The slope intercept form of the equation of a straight line. The general form.
Parallel and perpendicular lines.
The point-slope formula. The two-point formula.

The method of addition. The method of substitution. Cramer's Rule: The method of determinants.
Three equations in three unknowns.

Investment problems. Mixture problems.
Upstream-downstream problems.

The roots of a quadratic.
Solution by factoring.
Completing the square.
The quadratic formula.
The discriminant.
The graph of a quadratic: A parabola.

Definition. The three laws of logarithms.
Common logarithms.

Direct variation. The constant of proportionality.
Varies as the square. Varies inversely. Varies as the inverse square.


Exponents and Roots - GRE

Exponents are used to denote the repeated multiplication of a number by itself.

The following are some rules of exponents. Role a página para baixo para mais exemplos e soluções.


For example, 2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
In the expression, 2 4 , 2 is called the base , 4 is called the exponent , and we read the expression as “2 to the fourth power.”

When the exponent is 2, we call the process squaring.

Por exemplo,
5 2 = 25, is read as "5 squared is 25".
6 2 = 36, is read as "6 squared is 36".

When negative numbers are raised to powers, the result may be positive or negative. A negative number raised to an even power is always positive, and a negative number raised to an odd power is always negative.

Por exemplo,
(−3) 4 = −3 × −3 × −3 × −3 = 81
(−3) 3 = −3 × −3 × −3 = −27

Take note of the parenthesis: (−3) 2 = 9, but −3 2 = −9

Zero or Negative Exponents

Exponents can also be negative or zero such exponents are defined as follows.

  • For all nonzero numbers a, a 0 = 1.
  • The expression 0 0 is undefined.
  • For all nonzero numbers a,

How to work with zero and negative exponents?

Square Roots

A square root of a nonnegative number n is a number r such that r 2 = n.

For example, 5 is a square root of 25 because 5 2 = 25.

Another square root of 25 is −5 because (−5) 2 is also equals to 25.

The symbol used for square root is . (The symbol is also called the radical sign).

Every positive number a has two square roots: √a, which is positive, and -√a, which is negative.
√16 = 4 and −√16 = −4

The only square root of 0 is 0. Square roots of negative numbers are not defined in the real number system.

Perfect squares and square roots

Some numbers are called perfect squares. It is important we can recognize perfect square when working with square roots.
1 2 = 1
2 2 = 4
3 2 = 9
4 2 = 16
5 2 = 25
6 2 = 36
7 2 = 49
8 2 = 64
9 2 = 81
10 2 = 100

Rules for Square Roots

Here are some important rules regarding operations with square roots, where x > 0 and y > 0


Product Rule & Simplifying Square Roots

Examples:
Simplificar
√18
√48
3 √2 ˙ 3 √4
3 √54

Quotient Rule & Simplifying Square Roots

How to use the rules regarding operations with square roots?

Roots of Higher Order

A square root is a root of order 2. Higher-order roots of a positive number n are defined similarly.

The cube root is a root of order 3.

For Example:
8 has one cube root. The cube root of 8 is 2 because 2 3 = 8.
−8 has one cube root. The cube root of −8 is −2 because (−2) 3 = −8

The fourth root is a root of order 4.

Por exemplo,
8 has two fourth roots. because 2 4 = 16 and (−2) 4 = 16

These n th roots obey rules similar to the square root.

There are some notable differences between odd order roots and even-order roots (in the real number system):

  • For odd-order roots, there is exactly one root for every number n, even when n is negative. For example, the cube root of 8 is 2 and the cube root of −8 is −2.
  • For even-order roots, there are exactly two roots for every positive number n and no roots for any negative number n. For example, the fourth root of 16 is 2 and −2 and there is no fourth root for −16.

What are radicals and how to simplify perfect square, cube, and nth roots?

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