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2.2: Equações de Linhas e Funções Quadráticas - Matemática


1. Linhas paralelas e linhas perpendiculares

Definimos linhas paralelas e perpendiculares da seguinte forma:

[m_1 = - dfrac {1} {m_2}. ]

[x = constante. ]

Encontre a equação da reta que passa pelo ponto ((5,4) ) que é vertical

Solução

Sabemos que a forma da equação é:

[x = constante ]

Uma vez que passa por ((5,4) ) que, como coordenada x 5, essa constante deve ser 5. Concluímos que a equação da reta é

[x = 5. ]

Para investigar interativamente as equações das linhas, vá para

mathcsjava.emporia.edu/~greenlar/ParPerp/ParPerp.html

2. Funções quadráticas na forma padrão

Lembre-se de qual função

Vemos que o vértice é deslocado para a direita em 2 unidades e até 4 unidades. Existe alongamento vertical por um fator de três. Em geral, dizemos que um quadrático está na forma padrão se for semelhante a:

[y = a (x-h) ^ 2 + k. ]

Aqui, o (h ) representa o deslocamento horizontal, o (k ) representa o deslocamento vertical e o (a ) representa o fator de alongamento. Se (a ) for negativo, a parábola é côncava para baixo (parece uma carranca).

Para colocar um quadrático na forma padrão, completamos o quadrado.

3. Aplicativos:

Lei do movimento de Newton:

Newton descobriu que se um objeto é lançado de uma altura inicial de (s_0 ) pés com uma velocidade inicial de (v_0 ) pés por segundo, a posição da função do objeto é

[s = -16t ^ 2 + v_0t + s_0 ]

[t = 1,74 ; text {e} ; t = -1,74 ]

Observe que uma média de tempo negativa não é a solução, portanto, a bola atinge o solo após 1,74 segundos.

Para saber a que altura a bola irá, estamos atrás da coordenada (s ) do vértice. Colocamos a equação na forma padrão

Agora podemos dizer que a bola atingirá uma altura de 9,77 pés, ( frac {25} {32} ) segundos após ter sido lançada.

Para descobrir quando a bola estará mais alta do que 7 pés, resolvemos

Usando a fórmula quadrática, encontramos as raízes em

2. Calcular

5. Reagrupar:

6. Fatore os parênteses internos usando a parte dois como uma dica:

7. Multiplique a constante externa:

Larry Green (Lake Tahoe Community College)

  • Integrado por Justin Marshall.


O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores permitidos da variável independente, comumente conhecidos como valores x. Para encontrar o domínio, preciso identificar valores específicos de x que podem fazer com que a função & # 8220 se comporte mal & # 8221 e excluí-los como entradas válidas para a função.

Os valores de x que podem resultar nas seguintes condições são não incluso no domínio da função.

Agora, que tal o alcance de uma função?


2.2: Equações de Linhas e Funções Quadráticas - Matemática

O tópico de resolução de equações quadráticas foi dividido em duas seções para o benefício de quem vê isso na web. Como uma única seção, o tempo de carregamento da página teria sido muito longo. Esta é a segunda seção sobre como resolver equações quadráticas.

Na seção anterior, examinamos o uso de fatoração e a propriedade da raiz quadrada para resolver equações quadráticas. O problema é que esses dois métodos de solução nem sempre funcionam. Nem todo quadrático é fatorável e nem todo quadrático está na forma exigida para a propriedade da raiz quadrada.

Agora é hora de começar a procurar métodos que funcionem para todas as equações quadráticas. Portanto, nesta seção, veremos como completar o quadrado e a fórmula quadrática para resolver a equação quadrática,

Completando o quadrado

O primeiro método que veremos nesta seção é completar o quadrado. É chamado assim porque usa um processo chamado completar o quadrado no processo de solução. Portanto, devemos primeiro definir o que é completar o quadrado.

e observe que o x 2 tem um coeficiente de um. Isso é necessário para fazer isso. Agora, vamos adicionar (< left (< frac<2>> right) ^ 2> ). Fazer isso dá o seguinte fatorável Equação quadrática.

Este processo é chamado Completando o quadrado e se fizermos toda a aritmética corretamente, podemos garantir que o quadrático será fatorado como um quadrado perfeito.

Vamos fazer alguns exemplos para apenas completar o quadrado antes de ver como usamos isso para resolver equações quadráticas.

Este é o número que adicionaremos à equação.

Observe que mantivemos o sinal de menos aqui, embora ele sempre caia depois de acertarmos as coisas. A razão para isso ficará aparente em um segundo. Vamos agora completar o quadrado.

Agora, este é um quadrático que espero que você possa fatorar rapidamente. No entanto, observe que ele sempre será fatorado como (x ) mais o número azul que calculamos acima que está entre parênteses (em nosso caso, é -8). Este é o motivo de deixar o sinal de menos. Isso garante que não cometamos erros no processo de factoring.

Este é o número de que precisaremos desta vez.

É uma fração e isso vai acontecer com bastante frequência com eles, então não fique animado com isso. Além disso, deixe-o como uma fração. Não converta para um decimal. Agora complete o quadrado.

Este não é tão fácil de calcular. No entanto, se você lembrar novamente que isso SEMPRE será fatorado como (y ) mais o número azul acima, não precisamos nos preocupar com o processo de fatoração.

Agora é hora de ver como usamos o preenchimento do quadrado para resolver uma equação quadrática. O processo é melhor visto quando trabalhamos com um exemplo, então vamos fazer isso.

Faremos o primeiro problema detalhadamente dando explicitamente cada passo. Nos problemas restantes, apenas faremos o trabalho sem tantas explicações.

Passo 1 : Divida a equação pelo coeficiente do x 2 prazo. Lembre-se de que completar o quadrado exigia um coeficiente de um neste termo e isso garantirá que o conseguiremos. Não precisamos fazer isso para esta equação, no entanto.

Passo 2 : Configure a equação para que os (x ) ’s estejam no lado esquerdo e a constante no lado direito.

etapa 3 : Complete o quadrado do lado esquerdo. No entanto, desta vez, precisaremos adicionar o número a ambos os lados do sinal de igual, em vez de apenas ao lado esquerdo. Isso ocorre porque temos que nos lembrar da regra de que o que fazemos em um lado da equação, precisamos fazer no outro lado da equação.

Primeiro, aqui está o número que adicionamos a ambos os lados.

Passo 4 : Agora, neste ponto, observe que podemos usar a propriedade da raiz quadrada nesta equação. Esse foi o objetivo das três primeiras etapas. Isso nos dará a solução para a equação.

[x - 3 = pm sqrt 8 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = 3 pm sqrt 8 ]

E esse é o processo. Vamos fazer as partes restantes agora.

Não incluiremos explicitamente as etapas desta vez, nem daremos muitas explicações para essa equação. Dito isso, observe que teremos que dar o primeiro passo desta vez. Não temos um coeficiente de um no x 2 termo e, portanto, precisaremos dividir a equação por aquele primeiro.

Aqui está o trabalho para esta equação.

Não se esqueça de converter raízes quadradas de números negativos em números complexos!

Novamente, não vamos dar muitas explicações para esse problema.

Neste ponto, devemos ter cuidado ao calcular o número para completar o quadrado, já que (b ) agora é uma fração pela primeira vez.

Nesse caso, observe que podemos realmente fazer a aritmética aqui para obter duas soluções inteiras e / ou fracionárias. Devemos sempre fazer isso quando houver apenas inteiros e / ou frações em nossa solução. Aqui estão as duas soluções.

Um comentário rápido sobre a última equação que resolvemos no exemplo anterior está em ordem. Uma vez que recebemos inteiros e frações como soluções, poderíamos apenas fatorar esta equação desde o início, em vez de usar o preenchimento do quadrado. Em casos como este, podemos usar qualquer um dos métodos e obteremos o mesmo resultado.

Agora, a realidade é que completar o quadrado é um processo bastante longo e é fácil cometer erros. Portanto, raramente o usamos para resolver equações. Isso não significa que não seja importante conhecer o processo. Nós o usaremos em várias seções nos capítulos posteriores e é freqüentemente usado em outras classes.

Fórmula quadrática

Este é o método final para resolver equações quadráticas e sempre funcionará. Não só isso, mas se você conseguir se lembrar da fórmula, é um processo bastante simples também.

Podemos derivar a fórmula quadrática completando o quadrado da fórmula quadrática geral na forma padrão. Vamos fazer isso e vamos devagar para ter certeza de que todas as etapas estão claras.

Primeiro, DEVEMOS ter a equação quadrática na forma padrão, conforme já observado. Em seguida, precisamos dividir ambos os lados por (a ) para obter um coeficiente de um no x 2 prazo.

A seguir, mova a constante para o lado direito da equação.

Agora, precisamos calcular o número de que precisaremos para completar o quadrado. Novamente, isso é metade do coeficiente de (x ), ao quadrado.

Agora, adicione isso a ambos os lados, complete o quadrado e obtenha denominadores comuns no lado direito para simplificar um pouco as coisas.

Agora podemos usar a propriedade da raiz quadrada nisso.

Resolva para (x ) e também simplificaremos um pouco a raiz quadrada.

Como última etapa, notaremos que temos denominadores comuns nos dois termos e, portanto, vamos adicioná-los. Fazer isso dá,

Então, resumindo, desde que comecemos na forma padrão,

e isso é muito importante, então a solução para qualquer equação quadrática é,

Vamos trabalhar alguns exemplos.

A parte importante aqui é ter certeza de que, antes de começarmos a usar a fórmula quadrática, tenhamos a equação na forma padrão primeiro.

Portanto, a primeira coisa que precisamos fazer aqui é colocar a equação na forma padrão.

Neste ponto, podemos identificar os valores para uso na fórmula quadrática. Para esta equação temos.

Observe o “-” com (c ). É importante certificar-se de que carregamos qualquer sinal de menos junto com as constantes.

Neste ponto, realmente não há nada mais a fazer além de conectar-se à fórmula.

Existem duas soluções para esta equação. Também existe alguma simplificação que podemos fazer. Precisamos ter cuidado, no entanto. Um dos maiores erros neste ponto é "cancelar" dois 2 no numerador e denominador. Lembre-se de que, para cancelar qualquer coisa do numerador ou denominador, ele deve ser multiplicado por todo o numerador ou denominador. Como o 2 no numerador não é multiplicado pelo denominador inteiro, ele não pode ser cancelado.

Para fazer qualquer simplificação aqui, primeiro precisaremos reduzir a raiz quadrada. Nesse ponto, podemos fazer alguns cancelamentos.

Essa é uma resposta muito mais agradável de se lidar e quase sempre faremos esse tipo de simplificação quando for possível.

Agora, neste caso, não fique animado com o fato de que a variável não é um (x ). Tudo funciona da mesma forma, independentemente da letra usada para a variável. Então, vamos primeiro colocar a equação na forma padrão.

Agora, isso não está exatamente na forma padrão típica. No entanto, precisamos deixar claro aqui para que não cometamos um erro muito comum que muitos alunos cometem ao aprender a fórmula quadrática.

Muitos alunos irão apenas colocar tudo de um lado como fizemos aqui e, em seguida, obter os valores de (a ), (b ) e (c ) com base na posição. Em outras palavras, muitas vezes os alunos irão apenas deixar (a ) ser o primeiro número listado, (b ) ser o segundo número listado e então (c ) ser o número final listado. No entanto, isso não é correto. Para a fórmula quadrática (a ) é o coeficiente do termo ao quadrado, (b ) é o coeficiente do termo com apenas a variável nele (não ao quadrado) e (c ) é o termo constante. Portanto, para evitar esse erro, devemos sempre colocar a equação quadrática na forma padrão oficial.

Agora podemos identificar o valor de (a ), (b ) e (c ).

[a = 3 hspace <0,25in> b = - 5 hspace <0,25in> c = 11 ]

Mais uma vez, tenha cuidado com os sinais negativos. Eles precisam ser levados junto com os valores.

Finalmente, conecte-se à fórmula quadrática para obter a solução.

Tal como acontece com todos os outros métodos que vimos para resolver equações quadráticas, não se esqueça de converter raízes quadradas de números negativos em números complexos. Além disso, quando (b ) é negativo, tenha muito cuidado com a substituição. Isso é particularmente verdadeiro para a parte quadrada sob o radical. Lembre-se de que quando você eleva ao quadrado um número negativo, ele se tornará positivo. Um dos erros mais comuns aqui é se apressar e esquecer de soltar o sinal de menos após a quadratura (b ), então tome cuidado.

Não colocaremos muitos detalhes com este que fizemos para os dois primeiros. Aqui está a forma padrão desta equação.

Aqui estão os valores para a fórmula quadrática, bem como para a própria fórmula quadrática.

Agora, lembre-se de que quando obtivermos soluções como essa, precisamos dar um passo extra e realmente determinar as soluções inteiras e / ou fracionárias. Neste caso, eles são,

Agora, como no caso de completar o quadrado, o fato de termos soluções inteiras e / ou fracionárias significa que poderíamos ter fatorado essa equação quadrática também.

Então, uma equação com frações. A primeira etapa é identificar o LCD.

Portanto, parece que precisaremos ter certeza de que nem (y = 0 ) ou (y = 2 ) está em nossas respostas para que não obtenhamos a divisão por zero.

Multiplique os dois lados pelo LCD e coloque o resultado no formato padrão.

[começar left (y right) left ( direita) esquerda (< frac <3> <>> right) & = left (< frac <1> + 1> direita) esquerda (y direita) esquerda ( right) 3y & = y - 2 + y left ( right) 3y & = y - 2 + - 2a 0 & = - 4a - 2 fim]

Ok, parece que temos os seguintes valores para a fórmula quadrática.

[a = 1 hspace <0.25in> b = - 4 hspace <0.25in> c = - 2 ]

Conectar-se à fórmula quadrática dá,

Observe que ambos serão soluções, pois nenhum deles são os valores que precisamos evitar.

Vimos uma equação semelhante a esta na seção anterior quando examinamos as equações de fatoração e seria definitivamente mais fácil resolvê-la por fatoração. No entanto, vamos usar a fórmula quadrática de qualquer maneira para fazer alguns comentários.

Primeiro, vamos reorganizar um pouco o pedido apenas para torná-lo mais parecido com o formulário padrão.

Aqui estão as constantes para uso na fórmula quadrática.

[a = - 1 hspace <0.25in> b = 16 hspace <0.25in> c = 0 ]

Há duas coisas a serem observadas sobre esses valores. Primeiro, temos um (a ) negativo pela primeira vez. Não é grande coisa, mas é a primeira vez que vimos um. Em segundo lugar, e mais importante, um dos valores é zero. Isto é bom. Isso vai acontecer de vez em quando e de fato, ter um dos valores zero tornará o trabalho muito mais simples.

Aqui está a fórmula quadrática para esta equação.

Reduzindo-os para inteiros / frações dá,

Portanto, obtemos as duas soluções, (x = 0 ) e (x = 16 ). Essas são exatamente as soluções que teríamos obtido fatorando a equação.

Até este ponto, tanto nesta seção quanto na seção anterior, examinamos apenas as equações com coeficientes inteiros. No entanto, esse não precisa ser o caso. Poderíamos ter coeficientes que são frações ou decimais. Então, vamos trabalhar alguns exemplos para que possamos dizer que vimos algo assim também.

Existem duas maneiras de trabalhar este. Podemos deixar as frações ou multiplicar pelo LCD (10 neste caso) e resolver a equação. Qualquer uma das formas dará a mesma resposta. Faremos apenas o caso fracionário aqui, pois esse é o ponto do problema. Você deve tentar a outra maneira para verificar se obteve a mesma solução.

Neste caso, aqui estão os valores para a fórmula quadrática, bem como a fórmula quadrática funcionam para esta equação.

Nesses casos, geralmente damos o passo extra de eliminar a raiz quadrada do denominador, então vamos fazer isso também,

Se você limpar as frações e executar a fórmula quadrática, deverá obter exatamente o mesmo resultado. Para a prática, você realmente deveria tentar isso.

Nesse caso, não se empolgue com os decimais. A fórmula quadrática funciona exatamente da mesma maneira. Aqui estão os valores e a fórmula quadrática que funcionam para esse problema.

Agora, para isso será a única diferença entre esses problemas e aqueles com coeficientes inteiros ou fracionários. Quando temos coeficientes decimais, geralmente avançamos e calculamos os dois números individuais. Então, vamos fazer isso,

Observe que usamos alguns arredondamentos na raiz quadrada.

Ao longo das duas últimas seções, resolvemos bastante. É importante que você entenda a maior parte, senão tudo, do que fizemos nessas seções, pois será solicitado que você faça esse tipo de trabalho em algumas seções posteriores.


Raízes complexas

Agora você começará a entender por que introduzimos os números complexos no início deste módulo. Considere a seguinte função: [latex] f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 [/ latex] e o gráfico abaixo:

Esta função tem raízes? Provavelmente é óbvio que esta função não cruza o eixo x, portanto, não possui interceptações x. Lembre-se de que as interceptações x de uma função são encontradas definindo a função igual a zero:

No próximo exemplo, resolveremos essa equação. Você verá que existem raízes, mas não são interceptos x porque a função não contém pares (x, y) que estão no eixo x. Chamamos essas raízes complexas.

Definindo a função igual a zero e usando a fórmula quadrática para resolver, você verá que as raízes contêm números complexos:

Exemplo

Encontre os interceptos x da função quadrática. [latex] f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 [/ latex]

Os interceptos x da função [latex] f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 [/ latex] são encontrados definindo-o igual a zero e resolvendo para x, uma vez que os valores y dos interceptos x são zero .

Substitua esses valores na fórmula quadrática.

As soluções para essas equações são complexas, portanto não há interceptos x para a função [latex] f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 [/ latex] no conjunto de números reais que podem ser plotados no cartesiano Plano de coordenadas. O gráfico da função é traçado no plano de Coordenadas Cartesianas abaixo:

Gráfico da função quadrática sem interceptações x nos números reais.

Observe como o gráfico não cruza o eixo x, portanto, não há interceptações x reais para esta função.

O Discriminante

O Fórmula quadrática não apenas gera as soluções para uma equação quadrática, mas nos informa sobre a natureza das soluções. Quando consideramos o discriminante, ou a expressão sob o radical, [látex]^ <2> -4ac [/ latex], nos diz se as soluções são números reais ou complexos e quantas soluções de cada tipo devemos esperar. Por sua vez, podemos determinar se uma função quadrática tem raízes reais ou complexas. A tabela abaixo relaciona o valor do discriminante às soluções de uma equação quadrática.

Valor do Discriminante Resultados
[látex]^ <2> -4ac = 0 [/ latex] Uma solução racional repetida
[látex]^ <2> -4ac & gt0 [/ latex], quadrado perfeito Duas soluções racionais
[látex]^ <2> -4ac & gt0 [/ latex], não é um quadrado perfeito Duas soluções irracionais
[látex]^ <2> -4ac & lt0 [/ latex] Duas soluções complexas

Uma nota geral: o discriminante

Para [látex] a^ <2> + bx + c = 0 [/ latex], onde [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] e [latex] c [/ latex] são números reais, o discriminante é a expressão sob o radical na fórmula quadrática: [látex]^ <2> -4ac [/ latex]. Ele nos diz se as soluções são números reais ou complexos e quantas soluções de cada tipo devemos esperar.

Exemplo

Use o discriminante para encontrar a natureza das soluções para as seguintes equações quadráticas:

  1. [látex]^ <2> + 4x + 4 = 0 [/ latex]
  2. [látex] 8^ <2> + 14x + 3 = 0 [/ latex]
  3. [látex] 3^ <2> -5x - 2 = 0 [/ latex]
  4. [látex] 3^ <2> -10x + 15 = 0 [/ latex]

Calcule o discriminante [látex]^ <2> -4ac [/ latex] para cada equação e indique o tipo de solução esperado.

  1. [látex]^ <2> + 4x + 4 = 0 [/ latex] [latex]^ <2> -4ac = < left (4 right)> ^ <2> -4 left (1 right) left (4 right) = 0 [/ latex]. Haverá uma solução racional repetida.
  2. [látex] 8^ <2> + 14x + 3 = 0 [/ latex] [latex]^ <2> -4ac = < left (14 right)> ^ <2> -4 left (8 right) left (3 right) = 100 [/ latex]. Como [latex] 100 [/ latex] é um quadrado perfeito, haverá duas soluções racionais.
  3. [látex] 3^ <2> -5x - 2 = 0 [/ latex] [latex]^ <2> -4ac = < left (-5 right)> ^ <2> -4 left (3 right) left (-2 right) = 49 [/ latex]. Como [latex] 49 [/ latex] é um quadrado perfeito, haverá duas soluções racionais.
  4. [látex] 3^ <2> -10x + 15 = 0 [/ latex] [latex]^ <2> -4ac = < left (-10 right)> ^ <2> -4 left (3 right) left (15 right) = - 80 [/ latex]. Haverá duas soluções complexas.

Vimos que uma equação quadrática pode ter duas soluções reais, uma solução real ou duas soluções complexas.

Vamos resumir como o discriminante afeta a avaliação de [latex] sqrt <<^ <2>> -4ac> [/ latex], e como isso ajuda a determinar o conjunto de soluções.

  • Se [latex] b ^ <2> -4ac & gt0 [/ latex], o número abaixo do radical será um valor positivo. Você sempre pode encontrar a raiz quadrada de um positivo, portanto, avaliar a fórmula quadrática resultará em duas soluções reais (uma adicionando a raiz quadrada positiva e outra subtraindo-a).
  • Se [latex] b ^ <2> -4ac = 0 [/ latex], então você obterá a raiz quadrada de 0, que é 0. Já que adicionar e subtrair 0 dá o mesmo resultado, o & # 8220 [latex ] pm [/ late] '' parte da fórmula não importa. Haverá uma solução real repetida.
  • Se [latex] b ^ <2> -4ac & lt0 [/ latex], o número abaixo do radical será um valor negativo. Como você não consegue encontrar a raiz quadrada de um número negativo usando números reais, não há soluções reais. No entanto, você pode usar números imaginários. Você terá então duas soluções complexas, uma adicionando a raiz quadrada imaginária e outra subtraindo-a.

Exemplo

Use o discriminante para determinar quantas e que tipo de soluções a equação quadrática [latex] x ^ <2> -4x + 10 = 0 [/ latex] tem.

O resultado é um número negativo. O discriminante é negativo, então a equação quadrática tem duas soluções complexas.

Responder

A equação quadrática [latex] x ^ <2> -4x + 10 = 0 [/ latex] tem duas soluções complexas.


A Função Quadrática

onde a, b e c são constantes numéricas ec não é igual a zero.

Observe que se c fosse zero, a função seria linear.

Uma vantagem dessa notação é que ela pode ser facilmente generalizada adicionando mais termos. Poderíamos, por exemplo, escrever equações como

y = a + bx + cx 2 + dx 3

y = a + bx + cx 2 + dx 3 + ex 4

A fórmula quadrática

Em muitos livros, equações quadráticas são escritas como

Neste caso, a fórmula quadrática é dada por

Observe que o denominador é 2a em vez de 2c.

Alguns exemplos comuns da função quadrática

Observe que o gráfico da função quadrática é uma parábola. Isso significa que é uma curva com uma única saliência. O gráfico é simétrico em relação a uma linha chamada eixo de simetria. O ponto onde o eixo de simetria cruza a parábola é conhecido como vértice.

Representando graficamente a função quadrática

Construa uma tabela com os valores de x e f (x).

Conecte os pontos de dados com uma linha suave.

Isso é feito facilmente com o Excel.

Exemplo 1 f (x) = 12 - 8x + x 2

Exemplo 2 f (x) = -4 + 5x -x 2

A fórmula quadrática, um exemplo.

Em geral, a oferta de uma mercadoria aumenta com o preço e a demanda diminui. O mercado da mercadoria está em equilíbrio quando a oferta é igual à demanda.

Neste exemplo, estamos considerando duas funções da mesma variável independente, preço. Queremos encontrar o preço de equilíbrio e a demanda correspondente.

A função de oferta é uma equação quadrática dada por S (p) = 2p + 4p 2

A função de demanda é uma função linear dada por D (p) = 231 - 18p

Para encontrar a interseção das duas curvas, defina a oferta igual à demanda e resolva p.

S (p) = 2p + 4p 2 = 231 - 18p = D (p)

Depois de coletar os termos, obtemos a equação quadrática

Observe que isso tem a forma da equação quadrática

Resolva a equação por meio da fórmula quadrática onde a = 231, b = -20 e c = -4.

Como o preço não pode ser negativo, o valor de -10,5 pode ser eliminado. A oferta será igual à demanda quando o preço for $ 5,50. A esse preço, é possível encontrar a demanda e a oferta correspondentes.


O que estudar para o Tópico 2: Funções e Equações

Funções e funções compostas

Definição de uma função, notação de função f (x), funções compostas (f (g (x)). A notação parece estranha, mas tente vê-la como uma função dentro de uma função.

Funções Inversas
Como encontrar o inverso de uma função de duas maneiras - matematicamente (mude x, y, em seguida, resolva para y) e graficamente (reflita na linha y = x)

Características do gráfico

Eles aparecem em todos os lugares do curso, então são coisas como máx. e min. pontos, assíntotas (onde a função é indefinida), a interceptação y (super fácil - apenas defina x = 0) e a interceptação x mais difícil (defina y = 0).

Interseções de gráficos

Encontrar as coordenadas de onde duas funções diferentes se encontram. Isso pode ser feito com uma calculadora gráfica (solicitando à calculadora o ponto de interseção) ou manualmente (definindo uma equação igual à outra, resolvendo de alguma forma, dependendo da situação).

Trabalhar com equações quadráticas (ex: y = x ^ 2), representar graficamente, encontrar os ‘zeros’, ‘raízes’ ou ‘soluções’ - isso significa fazer a mesma coisa - descobrir onde o gráfico cruza o eixo x. Muitos métodos para fazer isso: representar graficamente, fatorar, completar o quadrado ou usar a equação quadrática. Muito importante é o discriminante (parte da equação quadrática) - ajuda a saber quantas soluções reais um gráfico tem - ou seja, quantas vezes ele cruza o eixo x.

Transformações

Saber como usar transformações para mover uma função para cima ou para baixo, para a esquerda ou para a direita, esticá-la ou comprimi-la (horizontal ou verticalmente) e refletindo no eixo x ou y


CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES QUADRÁTICAS

O & # xa0eixo de simetria de uma parábola & # xa0é uma linha vertical que divide a & # xa0parábola & # xa0em duas metades congruentes. O & # xa0eixo de simetria & # xa0sempre passa pelo vértice da & # xa0parábola & # xa0. A coordenada x do vértice é a equação do eixo & # xa0 de simetria & # xa0 da parábola & # xa0.

O ponto em que a parábola corta o eixo x é conhecido como interceptação x. Para encontrar a interceptação x, temos que colocar y = 0.

O ponto em que a parábola corta o eixo y é conhecido como interceptação y. Para encontrar a interceptação de y, temos que colocar x = 0.

Podemos obter os zeros de uma função quadrática aplicando y = 0. Os zeros de uma função quadrática e os interceptos x são iguais.

O vértice & # xa0 & # xa0de uma parábola & # xa0 & # xa0é o ponto onde a parábola & # xa0 & # xa0 cruza seu eixo de simetria.

O vértice da parábola é o ponto mais alto ou mais baixo, também conhecido como valor máximo ou valor mínimo da parábola.

Ponto simétrico para interceptação Y:

A interceptação y (e outros pontos) pode ser refletida ao longo do eixo de simetria para encontrar outros pontos no gráfico da função.

Os pontos & # xa0 que têm a mesma distância horizontal do eixo são conhecidos como pontos simétricos.

Os pontos simétricos também são conhecidos como pontos de espelho.

Encontre a equação do eixo de simetria, interceptações xey, zeros, vértice e ponto simétrico à interceptação y. Esboce o gráfico da função.

y & # xa0 = & # xa0 a x 2 & # xa0 + bx + c,

A parábola fornecida é simétrica em relação ao eixo y.

Como a & gt 0, a parábola está aberta para cima.

x interceptações são -1 e 2

Resolvendo a equação quadrática acima usando a fórmula quadrática, obtemos

A fórmula para encontrar a coordenada x do vértice é

Substitua x = 1 na função de equação fornecida.

O vértice da parábola é (1, -2)

Ponto simétrico para interceptação Y:

O ponto simétrico à interceptação y terá a mesma distância horizontal do eixo de simetria.

Para encontrar esse ponto, temos que substituir a interceptação y na função fornecida. & # Xa0

Assim, os pontos simétricos à interceptação y são

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Comentários

Está tudo no contexto

É uma grande vergonha que tais conceitos raramente sejam ensinados em escolas enquadradas no contexto histórico e de aplicação como foram neste artigo.

E também a descrição

Concordo com você. As crianças também precisam saber que uma equação quadrática é uma maneira de descrever uma coisa física, como o arco de uma ponte. Eu nunca entendi isso e ninguém nunca me disse isso. Descobri isso sozinha quando, como adulta, reestudei matemática. Se eles pudessem ver que a matemática é uma linguagem descritiva que todos nós usamos, quer o percebamos plenamente ou não, eles A) entenderiam matemática mais facilmente e B) veriam seu valor em vez de questionar seu valor.

Babilônios?

Apenas criticando aqui, mas não seria em 3000 a.C. são os sumérios, não os babilônios? Já faz um tempo que não faço estudos sobre o Oriente Próximo, mas tenho quase certeza de que os babilônios não mudaram até meados do terceiro milênio a.C.

Sim, você está certo, eles não eram

Sim, você está certo, eles não estavam por perto ainda.

Obrigado.

As informações sobre fórmulas quadráticas me ajudaram a visualizar e compreender claramente o conceito de aplicações potenciais. Surpreendente!!
Eu sou aquele que lutou no assunto, mas estava determinado a entendê-lo.

História muito legal!

Ei,
Eu realmente gosto de seu site. Pela primeira vez, vejo a importância da fórmula quadrática. No entanto, preciso de ajuda com uma etapa, usando o campo triangular para desenvolver c = ax ^ 2 + bx. Por que a altura é 2x para os dois triângulos retângulos. Provavelmente é fácil, mas é um passo misterioso para mim e para meu longo dia de trabalho, cérebro cansado.

Área de campo triangular

Excelente artigo, excelente introdução às equações quadráticas.

Tive exatamente a mesma dificuldade - e depois de mais de 50 anos, a matemática da minha escola está muito, muito enferrujada.

Deve haver um bom motivo para eles escolherem essas formas particulares de denotar a base e a altura do triângulo (em vez de apenas beh), e presumo que seja correto. Ainda não entendo muito bem essa parte.

No entanto, se você usar essas expressões na fórmula da área para um triângulo (área = altura da metade do tempo base), então ele sairá.

Também perplexo

Eu poderia seguir até o exemplo do campo triangular. Suspeito que haja algum fatoração e cancelamento em andamento.

No entanto, achei este artigo útil para explicar POR QUE temos equações quadráticas, e saber por que as temos me ajuda a entender por que / onde / como podemos aplicá-las em situações da vida real. Isso nunca me foi ensinado na escola. Em vez disso, tínhamos apenas que reconhecer quando uma equação era quadrática, aprender a fórmula e aplicá-la.

Re: História muito legal! Obrigado por sua retificação.

Sim, a fórmula a seguir agora faz sentido. A altura da perpendicular agora faz sentido onde é "2x" e não "2x / m".

Apreciação

101 coisas quadráticas

Eu gostei muito deste artigo. A combinação de história, que adoro, com álgebra, com a qual tenho dificuldade, facilitou a minha compreensão dos conceitos de funções. Apreciei especialmente ver as seções cônicas e a aplicação de cada uma nas equações de gráfico. Todos vocês me deram um momento "aaha". Mantenha o bom trabalho. Debra

Isso é tão primeiro grau

Aprendi a fatorar quadráticas na primeira série. Eles são domesticados. Aprendi como as funções podem modelar "qualquer coisa" quando assistia aos vídeos de álgebra dos desviantes padrão.

No entanto, polinômios mais generalizados podem ser um incômodo para fatorar.

Bem, ok ..

Bem, você deve ter sido o aluno da primeira série mais inteligente do mundo, eu não consigo nem descobrir isso na 8ª série.

Bom trabalho

Deve ter sido um grande esforço revelar o significado das equações quadráticas. Imensamente impressionado. Agradeço o bom trabalho ..

IMPRESSIONANTE

a pesquisa feita em equação quadrática é incrível, eu sempre achei besteira, mas isso que está escrito é simplesmente ótimo.
the Babylonians and the Greeks are awesome i really loved reading it and hence forth in 11std i would surely do it thoroughly.thank you very much authors

INTERESTING

I always said that had no meaning at all, and why learn it if I won't ever use it again. This article has completely shut me up. I enjoyed every bit of this arcticle, very interesting introduction on Quadratic Equations. The information providded on quadratics had seriously helped me understand it a lot more. Its amazing how they use physical things such as the bridge and the arch to solve the dimensions.

United States needs to change mathematics instruction from K-12

This helped me understand the relevance of the quadratic equation. Incorporating the history of mathematics demonstrates how mathematics helps people become more efficient to finding solutions to world problems. Many students shut down mentally and emotionally when it comes to mathematics. in the United States. I'm trying to find ways to help change the way we instruct in the United States.

Bad teachers

I don't think that I ever had a math instructor that actually knew the subject until I reached college. It was a true joy to ask questions and get real answers. The US is crippled in math and science because k-12 education has become a union racket to employ the otherwise useless. The best way to change the way we instruct is to abolish all state funded public schools, disband public unions that kick back campaign money to the supposed representatives and let the parents and local school boards freely fire the worthless drones.

Math Teachers and Low pay

Actually, the reason why we can't get good math teachers is becuase the industry hires them at a much higher rate of pay then what the schools can pay. We get the "left overs" to choose from. I lucked out, and happened to get 3 very good math teachers. But I was the exception, and clearly not the rule.

Mirtha Abreu - Use of Quadratic Equation

This has definitely helped me understand quadratic equations. This is a subject that I have previously struggles with an after reading this article, I can understand it much better. I enjoyed learning about the history of quadratic equations and reading the explanations. Great article and very well put out!

Word Confusion

Part of the Quadratic Equation Article states:

"which is in turn proportional to the square of the length of the side. In mathematical terms, if (x) is the length of the side of the field, (m) is the amount of crop you can grow on a square field of side length 1, and (c) is the amount of crop that you can grow, then"

"m" and "c" sound like the same thing? Is this a typo?

The two are different: m is

The two are different: m is the amount you can grow on a field of unit side length and c the amount you can grow on the field under consideration (side length x).

Too really help. expand more on the triangle

Please expand on how you derived the labels on the Triangle and how then they fulfill the equation c = ax^2 + bx.

I still don't like the Irrational ones though.

"At this point the Greeks gave up algebra and turned to geometry."

Honestly? So did I! I am an artist, I think graphically. Geometry, Geography, Cartography, Orthography, etc. have always come to me easily. Irrational Quadratic Equations (IQE), as taught in most public schools in the United States of America, make absolutely no sense, and serve no discernible purpose in the real world.

My own instructors dedicated 50% or more of their courses to IQE, frustrating me to no end, because they wouldn't move on to anything else once they reached them. They constantly asked on written assignments to merely, "Solve.", equations. Then they always complained about the result I wrote, even when it was correct, because they wanted me to, "Show my work."

The process of going through the formula was more important to them than the result. None of them understood that I used a different means to get to the result, that was faster, and just as accurate. I didn't understand why they insisted upon writing mathematical expressions that were needlessly complex to denote an equation that was effectively upside down, backwards, and turned inside out. For them, algebraic notation was a mathematical puzzle to be taken apart and put back together, providing 'proof' that the expression was true at all points in the progression.

I skipped the algebraic notation and went directly to the result. I didn't need 'proof', I just wanted to get the work done. I knew in my heart that no one would actually write equations of the sort they expressed when attempting to solve real world issues in an expedited manner.

This article is very well written. I wish I had come across something of this sort thirty years ago, when it could have done me some good. Instead, it wasn't until I took classes in Trigonometry that it all fell into place. Trigonometry did for me, as an artist, what Algebra did for my high school instructors. Trigonometry acted as a mathematical bridge between Arithmetic, Geometry and Algebra, that I could traverse at will.

Unta Glebin Gloutin Globin

Red Ronin, The Cybernetic Samurai

360 degrees, 365.25 days

I think it is nearly impossible that the Babylonians thought there were 360 days in a year. I think you are implying that the number of degrees in a circle were chosen because the earth moves through almost one degree of its orbit each day. It's more likely that they chose 360 degrees as an outgrowth of their love for the number 60 - because it has so many factors. If you choose 60 for the internal angle of an equilateral triangle you get 360 degrees in a circle.

360 degrees, 365.25 days

The radius of a circle will fit inside the circle six times exactly to form a hexagon the corners of the hexagon each touch the circumference of the circle. Babylonians did indeed have a love for the number 60 and if each of the sides of the hexagon are divided into 60 and a line drawn from each 60th to the centre of the circle then there are 360 divisions in the circle.

Much appreciated

Thanks for going to the trouble of explaining the history and applications of quadratic equations. The point of it all was never explained to me when I was thrown into the deep end with them, age 10. Now that I've been asked to explain them to a friend's son, your material is helping to demystify things. Matt, North Wales, UK

Don't understand how you get to c = a x^2 + b x

I can't get beyond c = a x^2 + b x. How is this equation derived from the figure given? There's no explanation as to what "a" and "b" actually represent?

Re: Don't understand how you get to c = a x^2 + b x

I was wondering the same thing. In the diagram I take ax to be the base of the smaller triangle but then where is x in the equation coming from? Are a and x equal?

Also don't understand how that 1st 2 triangles field eqn works

I'm also stuck on that 1st example of the field comprising 2 triangles and how we get to the quadratic equation from that. I would love to go through the rest of this article but don't want to until I've overcome the hurdle of understanding this. Please, someone?

The area of the smaller of

The area of the smaller of the two triangles is ax^2/m and the area of the larger one is bx/m (from the standard formula for the area of triangles). This means that the area of the whole field is ax^2/m+bx/m. Since the amount of crop that can be grown on a field of unit area is m, the amount of crop that can be grown on a field of area ax^2/m+bx/m is m(ax^2/m+bx/m) = ax^2+bx.

Area of smaller triangle

But why is the base of one triangle ax and of the other simply b. Where does that ax value come from?

Area of smaller triangle

can someone please explain terrys question-why is one base ax and the other one simply b. also why is the height 2x/m. where does the m come from.

Explanations

I can understand Anon's frustration back in Jan '16. So often in mathematical explanations I've read I find myself tripping over a missing step. Like a mathematical pothole. It's usually something so obvious to the mathematician who wrote it that it didn't seem to need mentioning. ( Like where that little square came from- though I did eventually work that one out). The problem is that if you are trying to follow a set of mathematical steps even if you solve the missing one (as with me and the small square) you have been diverted away from the main problem and lost the thread: And then probably give up and go off and do something else instead.

Explanations

It's just a quadratic equation in standard form tweaked ie ax^2 + bx + c vs c = ax^2 + bx and if a is anything other than 1, then you remove it, etc

Will try to help you clarify

I'm pretty sure when they sought out ways to derive a quadratic equation to help them reason triangular regions they had to think frontwards and backwards. First, I believe you need to understand how the height 2x/m came into play (why it was used). First, keep in mind that "m" represents a basic unit of 1. That would mean that 2x/m (the height for BOTH triangles would appear to be 2x. But are their heights 2x? Let's think about it, when finding the area of a right triangle we eventually divide the area by 2 after multiplying the b x the h. Knowing this, it is mathematically reasonable why the coefficient of "2" was put in front of x-it would get divided back out and preserve what they really wanted for the height of the triangle/ length of one side of the land "x". This mean that the small triangular area would be ax times x or (ax^2). The larger triangular area would be b times x or bx for its area. You asked though "what is "a" and "b"? look at length of base "a", compared to the triangles height that we previously deduced to really be "x". "a" represents a coefficient thats taking a fraction of base length "x" for the small base is being represented in terms of the height of the triangle or length of the land. Base b ls obviously the second width of the scalene triangle or width of land that IF represented with bx instead of b (like it is) would have created a bx^2 term instead of the bx we need to figure out the area the land in addition to other things. This is my perception after being confused there for a minute too. I hope this helped you or someone just a little although it's years later- just discovered this awesome forum:).

Super Confused

I really can't follow what you're saying. I just want to know where that expression for the height comes from. So I called it h to get the total area of the triangle as h(ax+b)/2. Total total yield of this area will be hm(ax + b)/2.
So I can appreciate that ax must be something relating that smaller triangle to the height, and if I set h = x, I get m(ax^2 + bx)/2 for the total yield. Substituting h = 2x/m gives ax^2 + bx which is the area of two quadrilaterals with the same height of x and 2 sides of ax and b. So the yield, which should be a product of area and the coefficient m is now rendered as the areas of two squares without having anything to do with that coefficient anymore. Taking the height to be x again and the bases as they are, the total yield for the aggregate quadrilateral is m(ax^2 + bx), and for the triangles would be that over 2. Rearranging gives ax^2 + bx = 2yield /m. So if the yield of the quadrilateral (divided by m) of height x is ax^2 + bx, then the height at which the yeild of the triangles is equal to that is 2x/m. I can see all that but I just can't grasp what on earth is going on and its doing my head in


Quadratic equation calculator

This calculator solves quadratic equations by completing the square, This is a number you may add on both sides. Then you can use the binomial formula. A quadratic equation is an equation with a variable that may appear as square, i.e. in the form x .

Quadratic equations are solved by using the first or second binomial formula. Simply add a number, then use the binomial formula ""backwards"" (this technique is called completing the square).

Another technique is: use the general solution for quadratic equations of the kind x +px+q. The p,q-formula gives those solutions.


Assista o vídeo: Funkcja kwadratowa - wszystko co warto wiedzieć (Outubro 2021).