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4.2: Meios Aritméticos e Geométricos


A próxima prova pictórica começa com dois números não negativos, por exemplo, 3 e 4 e compara as seguintes duas médias:

[ text {média aritmética} ≡ frac {3 + 4} {2} = 3/5; label {4.10} ]

[ text {média geométrica} ≡ sqrt {3 vezes 4} ≈ 3,464. label {4.11} ]

Tente outro par de números, por exemplo, 1 e 2. A média aritmética é 1,5; a média geométrica é ( sqrt {2} ≈ 1,414 ). Para ambos os pares, a média geométrica é menor do que a média aritmética. Esse padrão é geral; é a famosa desigualdade média aritmética-média geométrica (AM-GM) [18]:

[ begin {alinhado}
& underbrace { frac {a + b} {2}} _ { text {AM}} geqslant underbrace { sqrt {a b}} _ { text {GM}}
& text {a desigualdade requer que} a, b geqslant 0.
end {alinhado} label {4.12} ]

Problema 4.5 Mais exemplos numéricos

Teste a desigualdade AM – GM usando vários exemplos numéricos. O que você percebe quando aeb estão próximos um do outro? Você pode formalizar o padrão? (Veja também o Problema 4.16.)

Prova simbólica

A desigualdade AM – GM tem uma prova pictórica e uma prova simbólica. A prova simbólica começa com ((a − b) ^ {2} ) uma escolha surpreendente porque a desigualdade contém (a + b ) ao invés de (a - b ). A segunda escolha ímpar é formar ((a - b) ^ {2} ). É não negativo, então (a ^ {2} - 2ab + b ^ {2} geqslant 0 ). Agora decida magicamente adicionar (4ab ) a ambos os lados. O resultado é

[ underbrace {a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}} _ {(a + b) ^ {2}} geqslant 4ab label {4.13} ]

O lado esquerdo é ((a + b) ^ {2} ), então (a + b geqslant 2 sqrt {ab} ) e

[ frac {a + b} {2} geqslant sqrt {ab} label {4.14} ]

Embora cada etapa seja simples, toda a cadeia parece mágica e deixa o Por quê misterioso. Se a álgebra tivesse terminado com ((a + b) / 4 geqslant ab ), não pareceria obviamente errado. Em contraste, uma prova convincente nos deixaria com a sensação de que a desigualdade não pode deixar de ser verdadeira.

Prova pictórica

Essa satisfação é fornecida por uma prova pictórica.

Pergunta

O que é pictórico ou geométrico no meio geométrico?

Uma imagem geométrica para a média geométrica começa com um triângulo retângulo. Coloque-o com sua hipotenusa horizontal; em seguida, corte-o com a altitude (x ) nos subtriângulos claro e escuro. A hipotenusa se divide em dois comprimentos (a ) e (b ), e a altitude (x ) é sua média geométrica ( sqrt {ab} ).

Pergunta

Por que a altitude (x ) é igual a ( sqrt {ab} )?

Para mostrar que (x = sqrt {ab} ), compare o triângulo pequeno e escuro com o triângulo grande e claro girando o triângulo pequeno e colocando-o no triângulo grande. Os dois triângulos são semelhantes! Portanto, suas proporções de aspecto (a proporção do lado curto para o lado comprado) são idênticas. Em símbolos, (x / a = b / x ): A altitude x é, portanto, a média geométrica ( sqrt {ab} ). O triângulo retângulo sem cortes representa a porção média geométrica da desigualdade AM-GM. A média aritmética ((a + b) / 2 ) também tem uma figura, como metade da hipotenusa. Assim, a desigualdade afirma que

[ frac { text {hipotenusa}} {2} geqslant text {altitude} label {4.15} ]

Infelizmente, essa afirmação não é pictoricamente óbvia.

Pergunta

Você pode encontrar uma interpretação geométrica alternativa da média aritmética que torna a desigualdade AM – GM pictoricamente óbvia?

A média aritmética também é o raio de um círculo com diâmetro (a + b ). Portanto, circunscreva um semicírculo em torno do triângulo, combinando o diâmetro do círculo com a hipotenusa (a + b ) (problema 4.7.). A altitude não pode exceder o raio; portanto,

[ frac {a + b} {2} geqslant sqrt {ab} label {4.16} ]

Além disso, os dois lados são iguais apenas quando a altitude do triângulo é também um raio do semicírculo, ou seja, quando (a = b ). A imagem, portanto, contém a desigualdade e sua condição de igualdade em um objeto fácil de entender. (Uma prova pictórica alternativa da desigualdade AM-GM é desenvolvida no Problema 4.33.)

Múltiplos problemas

Problema 4.6 Circunscrevendo um círculo ao redor de um triângulo

Aqui estão alguns exemplos que mostram um círculo circunscrito em torno de um triângulo.

Faça um desenho para mostrar que o círculo é determinado exclusivamente pelo triângulo.

Problema 4.7 Encontrando o semicírculo certo

Um triângulo determina exclusivamente seu círculo circunscrito (Problema 4.6). No entanto, o diâmetro do círculo pode não se alinhar com um lado do triângulo. Um semicírculo pode sempre ser circunscrito em torno de um triângulo retângulo enquanto alinha o diâmetro do círculo ao longo da hipotenusa?

Problema 4.8 Média geométrica de três números

Para três números não negativos, a desigualdade AM-GM é

[ frac {a + b + c} {3} geqslant (abc) ^ {1/3}. label {4.17} ]

Por que essa desigualdade, em contraste com sua prima de dois números, é improvável de ter uma prova geométrica? (Se você encontrar uma prova, me avise.)

Formulários

Os meios aritméticos e geométricos têm ampla aplicação matemática. A primeira aplicação é um problema mais frequentemente resolvido com derivados: Dobre um comprimento fixo de cerca em um retângulo envolvendo o maior jardim.

Pergunta

Qual forma de retângulo maximiza a área?

O problema envolve duas quantidades: um perímetro que é fixo e uma área a ser maximizada. Se o perímetro estiver relacionado à média aritmética e a área à média geométrica, então a desigualdade AM – GM pode ajudar a maximizar a área. O perímetro (P = 2 (a + b) ) é quatro vezes a média aritmética, e a área (A = ab ) é o quadrado da média geométrica. Portanto, a partir da desigualdade AM-GM,

[ underbrace { frac {P} {4}} _ { text {AM}} geqslant underbrace { sqrt {A}} _ { text {GM}} label {4.18} ]

com igualdade quando (a = b ). O lado esquerdo é fixado pela quantidade de cerca. Assim, o lado direito, que varia dependendo de (a ) e (b ), tem um máximo de (P / 4 ) quando (a = b ). O retângulo de área máxima é um quadrado.

Múltiplos problemas

Problema 4.9 Prova pictórica direta

O raciocínio AM-GM para o jardim retangular máximo é um raciocínio pictórico indireto. É um raciocínio simbólico construído sobre a prova pictórica da desigualdade AM-GM. Você pode fazer um desenho para mostrar diretamente que o quadrado tem a forma ideal?

Problema 4.10 Produto de três partes

Encontre o valor máximo de (f (x) = x ^ {2} (1 - 2x) ) para (x geqslant 0 ), sem usar cálculo. Desenhe (f (x) ) para confirmar sua resposta.

Problema 4.11 Área máxima irrestrita

Se o jardim não precisa ser retangular, qual é a forma da área máxima?

Problema 4.12 Maximização de volume

Construa uma caixa aberta da seguinte maneira: comece com um quadrado unitário, corte quatro cantos idênticos e dobre as abas.

A caixa tem volume (V = x (1 - 2x) ^ {2} ), onde x é o comprimento lateral de um recorte de canto. Que escolha de x maximiza o volume da caixa?

Aqui está uma análise plausível modelada na análise do jardim retangular. Defina (a = x ), (b = 1 - 2x ) e (c = 1 - 2x ). Então abc é o volume V, e (V ^ {1/3} = ^ {3} sqrt {abc} ) é a média geométrica (Problema 4.8). Como a média geométrica nunca excede a média aritmética e porque as duas médias são iguais quando (a = b = c ), o volume máximo é atingido quando (x = 1 - 2x ). Portanto, escolher (x = 1/3 ) deve maximizar o volume da caixa.

Agora mostre que essa escolha está errada traçando (V (x) ) ou definindo (dV / dx = 0 ); explique o que está errado com o raciocínio anterior; e fazer uma versão correta.

Problema 4.13 mínimo trigonométrico

Encontre o valor mínimo de

[ frac {9x ^ {2} sin ^ {2} x + 4} {x sin x} label {4.19} ]

na região x ( in ) (0, ( pi )).

Problema 4.14 Máximo trigonométrico

Na região t ( in ) [0, ( pi / 2 )], maximize ( sin 2 t ) ou, equivalentemente, 2 ( sin t cos t ).

A segunda aplicação de meios aritméticos e geométricos é um método moderno e incrivelmente rápido para calcular ( pi ) [5, 6]. Os métodos antigos para calcular π incluíam o cálculo do perímetro de polígonos regulares multifacetados e forneciam algumas casas decimais de precisão.

Cálculos recentes usaram a série arctangent de Leibniz

Imagine que você deseja calcular π para (10 ​​^ {9} ) dígitos, talvez para testar o hardware de um novo supercomputador ou para estudar se os dígitos de π são aleatórios (um tema no romance de Carl Sagan Contato [40]). Definir (x = 1 ) na série de Leibniz produz ( pi / 4 ), mas a série converge extremamente lentamente. A obtenção de (10 ​​^ {9} ) dígitos requer aproximadamente (10 ​​^ {10 ^ {9}} ) termos - muito mais termos do que átomos no universo.

Felizmente, uma identidade trigonométrica surpreendente devido a John Machin (1686 - 1751) acelera a convergência reduzindo (x ):

Mesmo com a aceleração, a precisão de (10 ​​^ {9} ) dígitos requer o cálculo de aproximadamente (10 ​​^ {9} ) termos.

Em contraste, o algoritmo moderno de Brent-Salamin [3, 41], que se baseia em meios aritméticos e geométricos, converge para π extremamente rapidamente. O algoritmo está intimamente relacionado a métodos incrivelmente precisos para calcular o perímetro de uma elipse (Problema 4.15) e também para calcular a indutância mútua [23]. O algoritmo gera várias sequências começando com (a_ {0} ) = 1 e (g_ {0} ) = 1 / ( sqrt {2} ); ele então calcula as médias aritméticas sucessivas (a_ {n} ), as médias geométricas (g_ {n} ) e suas diferenças quadradas (d_ {n} ).

[a_ {n + 1} = frac {a_ {n} + g_ {n}} {2}, quad g_ {n + 1} = sqrt {a_ {n} g_ {n}}, quad d_ {n} = a_ {n} ^ {2} -g_ {n} ^ {2} rótulo {4.23} ]

As sequências aeg convergem rapidamente para um número M ( (a_ {0} ), (g_ {0} )) chamado de média aritmética-geométrica de (a_ {0} ) e (g_ { 0} ). Então M ( (a_ {0} ), (g_ {0} )) e a sequência de diferença d determinam π.

[ pi = frac {4 M left (a_ {0}, g_ {0} right) ^ {2}} {1- sum_ {j = 1} ^ { infty} 2 ^ {j + 1} d_ {j}} label {4.24} ]

A seqüência d se aproxima de zero quadraticamente; em outras palavras, (d_ {n + 1} ) ∼ (d ^ {2} _ {n} ) (Problema 4.16). Portanto, cada iteração neste cálculo de π dobra os dígitos de precisão. Um cálculo de bilhões de dígitos de π requer apenas cerca de 30 iterações muito menos do que os 10109 termos usando a série de arco tangente com (x = 1 ) ou mesmo do que os termos (10 ​​^ {9} ) usando o speedup de Machin.

Múltiplos problemas

Problema 4.15 Perímetro de uma elipse

Para calcular o perímetro de uma elipse com semieixo maior (a_ {0} ) e semiminor (g_ {0} ), calcule as sequências a, g e d e o limite comum M ( (a_ {0 }, g_ {0}) ) das sequências aeg, como para o cálculo de ( pi ). Então, o perímetro P pode ser calculado com a seguinte fórmula:

[P = frac {A} {M left (a_ {0}, g_ {0} right)} left (a_ {0} ^ {2} -B sum_ {j = 0} ^ { infty} 2 ^ {j} d_ {j} right) label {4.25} ]

onde A e B são constantes para você determinar. Use o método de casos fáceis (Capítulo 2) para determinar seus valores. (Veja [3] para verificar seus valores e para uma prova da fórmula concluída.)

Problema 4.16 Convergência quadrática

Comece com (a_ {0} = 1 ) e (g_ {0} = 1 / sqrt {2} ) (ou qualquer outro par positivo) e siga várias iterações da sequência AM-GM

[a_ {n + 1} = frac {a_ {n} + g_ {n}} {2} text {e} g_ {n + 1} = sqrt {a_ {n} g_ {n}}. label {4.26} ]

Em seguida, gere (d_ {n} = a ^ {2} n - g ^ {2} n ) e (log_ {10} ) dn para verificar se (d_ {n + 1} ∼ d ^ {2 } _ {n} ) (convergência quadrática).

Problema 4.17 Rapidez de convergência

Escolha um (x_ {0} ) positivo; em seguida, gere uma sequência pela iteração

[x_ {n + 1} = frac {1} {2} (x_ {n} + frac {2} {x_ {n}}) (n geqslant 0) label {4.27} ]

Para quê e com que rapidez a sequência converge? E se (x_ {0} <0 )?


A média aritmética e a média geométrica são as ferramentas amplamente utilizadas para calcular o retorno do investimento para carteiras de investimento no mundo das finanças. As pessoas usam a média aritmética para relatar os retornos mais elevados, que não são a medida correta de cálculo do retorno sobre o investimento. Uma vez que o retorno do investimento para uma carteira ao longo dos anos depende dos retornos dos anos anteriores, a média geométrica é a maneira correta de calcular o retorno do investimento para um período de tempo específico. A média aritmética é mais adequada na situação em que as variáveis ​​utilizadas para o cálculo da média não são dependentes umas das outras.

Exemplo: Uso adequado de média geométrica vs média aritmética

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1. Vamos dar um exemplo de retorno sobre o investimento para uma quantia de $ 100 ao longo de 2 anos. Suponha que os retornos em dois anos foram -50% e + 50% no 1º e no 2º cálculo do retorno médio usando a média aritmética será 0% (Média aritmética = (-50% + 50%) / 2 = 0%)

Isso dá a impressão errada de que o investidor está empatando com seu investimento e não há perda ou lucro. No entanto, uma análise mais detalhada fornece uma imagem totalmente diferente do cenário.

Na tabela acima, podemos ver que o investimento de $ 100 após -50% e + 50% de retorno no ano 1 e 2, será próximo a $ 75. Portanto, o investidor não está equilibrando seu investimento, conforme sugerido pela aritmética média média, mas ele sofreu uma perda de $ 25 após 2 anos em seu investimento. Isso é bem refletido usando a média geométrica para calcular o retorno sobre o investimento ao longo de 2 anos, conforme abaixo:

A média geométrica dos retornos

Isso significa que o retorno anualizado do portfólio foi negativo em 13,40%. A posição de investimento após dois anos é a seguinte:

Portanto, a média geométrica mostra a verdadeira imagem do investimento de que há uma perda no investimento com um retorno negativo anualizado de -13,40%. Como o retorno em cada ano impacta o retorno absoluto no ano seguinte, uma média geométrica é a melhor maneira de calcular o retorno anualizado do investimento.

2. Quando é necessário calcular a média de variáveis ​​que não dependem umas das outras, Aritmética significa uma ferramenta adequada para calcular a média. A média das notas de um aluno em 5 disciplinas pode ser calculada pela média aritmética, pois as pontuações do aluno em diferentes disciplinas são independentes umas das outras.


4.2: Meios Aritméticos e Geométricos

Existem vários métodos para medir a tendência central de um conjunto de números.

Um método é calcular a média aritmética. Para fazer isso, some todos os valores e divida a soma pelo número de valores. Por exemplo, se houver um conjunto de & # 147n & # 148 números, some os números, por exemplo: a + b + c + d e assim por diante. Em seguida, divida a soma por & # 147n & # 148.

Um problema com a média aritmética é que seu valor será influenciado desproporcionalmente por um único valor extremo.

Outro método é calcular a média geométrica. Para fazer isso, multiplique os valores juntos e, se houver & # 147n & # 148 números, obtenha a raiz & # 147n th & # 148. Valores extremos únicos têm então menos influência.

Este método é particularmente útil quando os resultados são registrados em notação logarítmica. Para multiplicar, você só precisa adicionar os índices de log. Para aproximar a média geométrica, você pega a média aritmética dos índices log.

Você registrou o seguinte conjunto de valores em um teste sorológico. Para calcular a média aritmética, você deve transformá-los em números reais.

Cálculo da média geométrica = 4 & # 214 (8 & # 215 16 & # 215 16 & # 215 64) = 4 & # 214 (131072) = 19


A raiz quadrada média, que também é comumente referida como média quadrática, é frequentemente empregada em aplicações estatísticas e de engenharia, especialmente quando pontos de dados negativos estão sendo considerados. Um exemplo da raiz quadrada da média é o desvio padrão de um conjunto de números (ou seja, é a raiz quadrada da média das variações entre a média aritmética e cada ponto de dados).

Quando dados dois números, x e y, a média quadrática é sqrt [(x 2 + y 2) / 2].


Calculadora de média geométrica

Média geométrica é um tipo de média ou média que indica a tendência central ou valor típico de um conjunto de números dados.

A média geométrica é definida como a enésima raiz do produto das n unidades em um conjunto de dados.

A média geométrica é uma espécie de média de um conjunto de números diferente da média aritmética. A média geométrica é calculada para conjuntos de números reais positivos. Isso é calculado multiplicando todos os números (chame o número de números n) e obtendo a enésima raiz do total.

A média geométrica é usada no caso ao encontrar uma média para um conjunto de números apresentados como porcentagens.

A média geométrica é uma média útil para conjuntos de números positivos que são interpretados de acordo com seu produto e não sua soma (como é o caso da média aritmética). taxas de crescimento. A Calculadora de média geométrica on-line é útil para calcular a média geométrica para um determinado conjunto de números.

Exemplo:
Calcule a média geométrica para o conjunto de números fornecido.
25,56,85,71,4,12,3,2,5

Solução:
Aplicar fórmula:
Média geométrica = ((X1) (X2) (X3) (XN)) 1 / N
N = 9
1 / N = 1/9
1 / N = 0,111
Média geométrica = [(25) (56) (85) (71) (4) (12) (3) (2) (5)] 0,111
Números totais: 9


Geométrica V. Média Aritmética

De Dave McGlasson, alguém tem uma referência sobre por que uma média geométrica é usada no cálculo? Como estamos usando 20-30 indivíduos normais para calcular a média, o intervalo é relativamente estreito. A média geométrica indica a tendência central ou valor típico de um conjunto de números usando o produto de seus valores em oposição à média aritmética, que usa sua soma. Calculei vários conjuntos de dados lado a lado comparando as médias aritméticas e geométricas e nunca vi uma diferença clinicamente significativa que exigisse que um médico mudasse um plano de tratamento.

O está com defeito acima de 4,5 e deve ser considerado semiquantitativo. A curva fica plana. Ao comparar diferentes combinações de reagentes e instrumentos, a variação varia acima de 3,0.

Eu defendo acabar com o e passar a usar o ensaio de fator cromogênico X (CFX), que relata o nível de fator direto. Existem vários estudos que propõem faixas para o CFX que correspondem à faixa terapêutica de 2,0–3,0 e não temos que nos preocupar com uma fórmula defeituosa.

Dave fornece a figura da esquerda de Rosborough TK, Jacobsen JM, Shepherd MF. A relação entre o fator X cromogênico e difere durante o início do Coumadin em comparação com a administração crônica de varfarina. Fibrinólise do Coagul de Sangue 2009 20: 433-5. A figura ilustra a relação entre CFX, escala X e escala Y. Observe que e CFX divergem conforme excede 3,0.

Da mesma forma, a figura acima, de McGlasson DL, Romick BG, Rubal BJ. Comparação de um ensaio de fator X cromogênico para monitorar a terapia de anticoagulação oral. Blood Coag Fibrinolys 200819: 513-17, ilustra a irrelevância dos valores quando comparados aos resultados de CFX quando o excede 3,0.

De Dave McGlasson, alguém tem uma referência sobre por que uma média geométrica é usada no cálculo? Como estamos usando 20-30 indivíduos normais para calcular a média, o intervalo é relativamente estreito. A média geométrica indica a tendência central ou valor típico de um conjunto de números usando o produto de seus valores em oposição à média aritmética, que usa sua soma. Calculei vários conjuntos de dados lado a lado comparando as médias aritméticas e geométricas e nunca vi uma diferença clinicamente significativa que exigisse que um médico mudasse um plano de tratamento.

O está com defeito acima de 4,5 e deve ser considerado semiquantitativo. A curva fica plana. Ao comparar diferentes combinações de reagentes e instrumentos, a variação varia acima de 3,0.

Eu defendo acabar com o e passar a usar o ensaio de fator cromogênico X (CFX), que relata o nível de fator direto. Existem vários estudos que propõem faixas para o CFX que correspondem à faixa terapêutica de 2,0–3,0 e não temos que nos preocupar com uma fórmula defeituosa.

Dave fornece a figura da esquerda de Rosborough TK, Jacobsen JM, Shepherd MF. A relação entre o fator X cromogênico e difere durante o início do Coumadin em comparação com a administração crônica de varfarina. Fibrinólise do Coagul de Sangue 2009 20: 433-5. A figura ilustra a relação entre CFX, escala X e escala Y. Observe que e CFX divergem conforme excede 3,0.

Da mesma forma, a figura acima, de McGlasson DL, Romick BG, Rubal BJ. Comparação de um ensaio de fator X cromogênico para monitorar a terapia de anticoagulação oral. Blood Coag Fibrinolys 200819: 513-17, ilustra a irrelevância dos valores quando comparados aos resultados de CFX quando o excede 3,0.


Exemplo de uso em finanças

Ao avaliar uma oferta de depósito com juros compostos ou os retornos esperados de uma estratégia de investimento, você precisa usar a média geométrica, não a média aritmética. Vejamos um exemplo rápido: se você mantiver dinheiro em um fundo mútuo por dois anos e ele aumentar o valor de suas ações em 10% no primeiro ano, e perder 10% no segundo ano, usando a média aritmética de (15 % - 15%) / 2 = 0% você esperaria estar onde começou, mas na verdade você teria perdido 2,25% de seu investimento inicial (1,15 x 0,85) ^ 1 /2 = 0,9775 ou 97,75%, perdendo uma média de 1,13% ao ano.

Para um exemplo mais complexo, digamos que você esteja avaliando uma estratégia que projeta o seguinte retorno sobre o investimento para os próximos 5 anos: 6%, 7%, 8%, -35%, 10%. A média aritmética seria de 0,4% de retorno, mas o retorno anual médio real nesses 5 anos seria -2,62%, portanto, você perderá dinheiro, apesar de ter um retorno positivo em 4 de 5 anos.

Período Capital inicial % crescimento Capital final
1 º ano $1,000 6% $1,060
2º ano $1,060 7% $1,134.2
3 º ano $1,134.2 8% $1,224.94
4º ano $1,224.94 -35% $796.21
5º ano $796.21 10% $875.83

Usando a média aritmética de crescimento de 0,4% ao ano, esperamos ver um capital final de $ 1.020,16, com a média geométrica de -2,62%, vemos exatamente $ 875,83.


Provas

Prova por indução

Existem várias maneiras de provar a desigualdade AM-GM, por exemplo, ela pode ser inferida a partir da desigualdade de Jensen, usando a função côncava ln (x) Também pode ser comprovado usando a desigualdade de rearranjo. Considerando o comprimento e os pré-requisitos exigidos, a prova por indução fornecida abaixo é provavelmente a melhor recomendação para a primeira leitura.

dos números reais não negativos x1. xn, a instrução AM-GM é equivalente a

com igualdade se e somente se µ = xeu para todos eu =ف. n.

Para a prova a seguir, aplicamos indução matemática e apenas regras bem conhecidas da aritmética.

Base de indução: Para n& # 160 = & # 1601 a afirmação é verdadeira com igualdade.

Hipótese de indução: Suponha que a declaração AM-GM seja válida para todas as opções de n números reais não negativos.

Etapa de indução: Considerar n& # 160 + & # 1601 números reais não negativos. Sua média aritmética µ satisfaz

Se todos os números forem iguais a µ, então temos igualdade na instrução AM – GM e pronto. Caso contrário, podemos encontrar um número maior que µ e um que é menor que µ, dizer xn& # 160 & gt & # 160µ e xn+1& # 160 & lt & # 160µ. Então

Agora considere o n números

& # 160 & # 160 & # 160 com & # 160 & # 160 & # 160

que também não são negativos. Desde

µ é também a média aritmética de e a hipótese de indução implica

em particular µ& # 160 & gt & # 1600. Portanto, se pelo menos um dos números x1. xn−1 é zero, então já temos desigualdade estrita em (**). Caso contrário, o lado direito de (**) é positivo e a desigualdade estrita é obtida usando a estimativa (***) para obter um limite inferior do lado direito de (**). Assim, em ambos os casos, obtemos

que completa a prova.

Segunda prova por indução

A prova a seguir usa indução matemática e alguns cálculos básicos.

Base de indução: Para n = 1, a afirmação é verdadeira com igualdade.

Hipótese de indução: Suponha que a instrução AM – GM seja válida para todas as opções de n números reais não negativos.

Etapa de indução: A fim de provar a afirmação para n + 1, precisamos provar a seguinte desigualdade:

Nós definimos e considere a seguinte função:

Provar a etapa de indução é equivalente a mostrar que para cada , . Isso pode ser feito mostrando que para cada , o valor mínimo de é maior ou igual a 0.

Após um pequeno rearranjo, obtemos:

É facilmente visto que em , . Isso implica que é um mínimo local. Em seguida, calculamos e mostrar que é maior ou igual a 0, independentemente de

A desigualdade final se mantém por causa da hipótese de indução. Finalmente, precisamos verificar se :

Resumindo todos os itens acima, obtemos:

Esta técnica pode ser usada da mesma maneira para provar a desigualdade AM-GM generalizada e a desigualdade de Cauchy-Schwarz no espaço euclidiano. R n

Prova de Pólya

George Pólya forneceu uma prova semelhante à que se segue. Deixar f(x) = e x−1 − x, com derivado f ' (x) = e x-1 - 1. Observe f '(1) = 0 e, portanto, que f tem um mínimo absoluto de f(1) = 0. Agora x ≤ e x-1 para todos reais & # 160x.

Considere uma lista de números não negativos com média aritmética µ. Pela aplicação repetida da desigualdade acima, obtemos o seguinte:

Mas o argumento exponencial pode ser simplificado:

que produz o resultado: [2]

Prova de Cauchy

A seguinte prova por casos depende diretamente de regras bem conhecidas da aritmética, mas emprega a técnica raramente usada de indução para frente e para trás. É essencialmente de Augustin Louis Cauchy e pode ser encontrado em seu Cours d'analyse.

O caso em que todos os termos são iguais

Se todos os termos forem iguais:

então a soma deles é nx1, então sua média aritmética é x1 e o produto deles é x1 n , então sua média geométrica é x1 portanto, a média aritmética e a média geométrica são iguais, conforme desejado.

O caso em que nem todos os termos são iguais

Resta mostrar que se não todos os termos são iguais, então a média aritmética é maior do que a média geométrica. Claramente, isso só é possível quando n& # 160 & gt & # 1601.

Este caso é significativamente mais complexo e o dividimos em subcasos.

O subcaso onde n = 2

Se n = 2, então temos dois termos, x1 e x2, e uma vez que (por nossa suposição) nem todos os termos são iguais, temos:

O subcaso onde n = 2 k

Considere o caso onde n =ق k , Onde k é um número inteiro positivo. Procedemos por indução matemática.

No caso básico, k& # 160 = & # 1601, então n& # 160 = & # 1602. Já mostramos que a desigualdade se mantém onde n& # 160 = & # 1602, então terminamos.

Agora, suponha que para um dado k& # 160 & gt & # 1601, já mostramos que a desigualdade vale para n = 2 k-1, e queremos mostrar que vale para n = 2 k . Para isso, procedemos da seguinte forma:

onde na primeira desigualdade, os dois lados são iguais apenas se ambas as afirmações a seguir forem verdadeiras:

(neste caso, a primeira média aritmética e a primeira média geométrica são ambas iguais a x1, e da mesma forma com a segunda média aritmética e a segunda média geométrica) e na segunda desigualdade, os dois lados são iguais apenas se as duas médias geométricas forem iguais. Uma vez que nem todos os 2 k números são iguais, não é possível que ambas as desigualdades sejam igualdades, então sabemos que:

O subcaso onde n & lt 2 k

Se n não é um poder natural de 2, então certamente é menos do que algum poder natural de 2, uma vez que a sequência 2, 4, 8,. . ., 2 k ,. . . é ilimitado acima. Portanto, sem perda de generalidade, deixe m seja algum poder natural de 2 que é maior que n.

Então, se tivermos n termos, então vamos denotar sua média aritmética por α, e expandir nossa lista de termos assim:

Prova Clássica Antiga

Se então substituindo ambos e com deixará o lado esquerdo inalterado, mas aumentará o lado direito conforme

Assim, o lado direito será o maior quando todos s são iguais a (digamos) , portanto, como este é o maior valor do lado direito da expressão, temos

Prova da desigualdade AM-GM generalizada usando a desigualdade de Jensen

Usando a forma finita da desigualdade de Jensen para o logaritmo natural, podemos provar a desigualdade entre a média aritmética ponderada e a média geométrica ponderada declarada acima.

Desde um xk com peso αk& # 160 = & # 1600 não tem influência na desigualdade, podemos assumir a seguir que todos os pesos são positivos. Eu cai xk são iguais, então a igualdade é mantida. Portanto, resta provar a desigualdade estrita se eles não forem todos iguais, o que assumiremos a seguir também. Se pelo menos um xk é zero (mas não tudo), então a média geométrica ponderada é zero, enquanto a média aritmética ponderada é positiva, portanto, a desigualdade estrita se mantém. Portanto, podemos assumir também que todos xk são positivos.

Uma vez que o logaritmo natural é estritamente côncavo, a forma finita da desigualdade de Jensen e as equações funcionais do logaritmo natural implicam

Uma vez que o logaritmo natural está aumentando estritamente,


Média geométrica vs média aritmética

A média geométrica é o cálculo da média ou média das séries de valores do produto que leva em consideração o efeito da composição e é usada para determinar o desempenho do investimento enquanto a média aritmética é o cálculo da média pela soma do total dos valores dividido pelo número de valores.

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Por exemplo:
Fonte: Média geométrica vs média aritmética (wallstreetmojo.com)

A média geométrica é calculada para uma série de números tomando o produto desses números e elevando-o ao comprimento inverso da série. A média aritmética é simplesmente a média e é calculada somando todos os números e dividida pela contagem dessa série de números.

Infografia de média geométrica vs. média aritmética

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Fonte: Média geométrica vs média aritmética (wallstreetmojo.com)

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Principais diferenças

  • A média aritmética é conhecida como média aditiva e é usada no cálculo diário de retornos. A média geométrica é conhecida como média multiplicativa e é um pouco complicada e envolve composição.
  • A principal diferença nessas duas médias é a forma como ela é calculada. A média aritméticaMédia aritméticaMédia aritmética denota a média de todas as observações de uma série de dados. É o agregado de todos os valores em um conjunto de dados dividido pela contagem total das observações. Ler mais é calculado como a soma de todos os números divididos pelo número do conjunto de dados. A média geométrica é uma série de números calculada tomando o produto desses números e elevando-o ao inverso do comprimento da série.
  • A fórmula para a média geométrica é <[(1 + Retorno1) x (1 + Retorno2) x (1 + Retorno3) & # 8230)] ^ (1 / n)]> - 1 e para a média aritmética é (Retorno1 + Retorno2 + Retorno3 + Return4) / 4. só pode ser calculado para números positivos e é sempre menor do que geométrico, entretanto, a média aritmética pode ser calculada para números positivos e negativos e é sempre maior do que a média geométrica.
  • Um problema mais comum em ter um conjunto de dados é o efeito de outliers. Em um conjunto de dados de 11, 13, 17 e 1000, a média geométrica é 39,5, enquanto a aritmética significa 260,75. O efeito é claramente destacado. A média geométrica normaliza o conjunto de dados e os valores são calculados, portanto, nenhum intervalo domina os pesos e qualquer porcentagem não afeta significativamente o conjunto de dados. A média geométrica não é influenciada por distribuições distorcidas como a média aritmética é.
  • A média aritmética é usada por estatísticos, mas para conjuntos de dados sem valores discrepantes significativos. Este tipo de média é útil para a leitura de temperaturas. Também é útil para determinar a velocidade média do carro. Por outro lado, a média geométrica é útil nos casos em que o conjunto de dados é logarítmico ou varia em múltiplos de 10.
  • Muitos biólogos usam esse tipo de meio para descrever o tamanho da população bacteriana. Por exemplo, a população bacteriana pode ser 10 em um dia e 10.000 em outros. A distribuição de renda também pode ser calculada usando uma média geométrica. Por exemplo, X e Y ganham $ 30.000 anualmente, enquanto Z ganha $ 300.000 anualmente. In this case, the arithmetic average will not be useful. Portfolio managers highlightPortfolio Managers HighlightA Portfolio Manager is an executive responsible for making investment decisions & handle investment portfolios for fulfilling the client’s investment-related objectives. Also, he/she works towards maximizing the benefits & minimizing the potential risks for clients.read more how the wealth and by how much wealth of an individual has increased or decreased.

Comparative Table

BasisGeometric MeanArithmetic Mean
MeaningGeometric Mean is known as the Multiplicative Mean.Arithmetic Mean is known as Additive Mean.
Fórmula <[(1+Return1) x (1+Return2) x (1+Return3)…)]^(1/n)]>– 1(Return1 + Return2 + Return3 + Return4)/ 4
ValuesThe geometric mean is always lower than the arithmetic means due to the compounding effect.The arithmetic mean is always higher than the geometric mean as it is calculated as a simple average.
CalculationSuppose a dataset has the following numbers – 50, 75, 100. Geometric mean is calculated as cube root of (50 x 75 x 100) = 72.1Similarly, for a dataset of 50, 75, and 100, arithmetic mean is calculated as (50+75+100)/3 = 75
Conjunto de dadosIt is applicable only to only a positive set of numbers.It can be calculated with both positive and negative sets of numbers.
UsefulnessGeometric mean can be more useful when the dataset is logarithmic. The difference between the two values is the length.This method is more appropriate when calculating the mean value of the outputs of a set of independent events.
Effect of OutlierThe effect of outliers on the Geometric mean is mild. Consider the dataset 11,13,17 and 1000. In this case, 1000 is the outlier. Here, the average is 39.5The arithmetic mean has a severe effect of outliers. In the dataset 11,13,17 and 1000, the average is 260.25
UsesThe geometric mean is used by biologists, economists, and also majorly by financial analysts. It is most appropriate for a dataset that exhibits correlation.The arithmetic mean is used to represent average temperature as well as for car speed.

Conclusion

The use of geometric mean is appropriate for percentage changes, volatile numbers, and data that exhibit correlation, especially for investment portfolios. Most returns in finance are correlated like stocks, the yield on bonds, and premiums. The longer period makes the effect of compounding more critical and hence also the use of a geometric mean. While for independent data sets, arithmetic means is more appropriate as it is simple to use and easy to understand.

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Progressions - Arithmetic mean and Geometric mean

  • As b - a = c - b => 2b = a + c or . Here 'b' is called the Arithmetic mean between 'a' and 'c'. In general, Arithmetic mean of the 'n' terms is equal to their average.

Geometric Progression
  • Three numbers a, b and c are said to be in Geometric progression if i.e. if the ratio of the terms is same. This ratio of the terms is called the common ratio.
  • Eg. 4, 16, 64, 256, 1024&hellip.. is a Geometric progression as the ratio of the terms is same.
  • As => b 2 = ac or . Here 'b' is called the Geometric mean between 'a' and 'c'. In general, the geometric mean of 'n' numbers x1, x2, x3. xn É dado por


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