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4.3: Aproximando o logartim - Matemática


Uma função é frequentemente aproximada por sua série de Taylor

[f (x) = f (0) + left.x frac {df} {dx} right | _ {x = 0} + left. frac {x ^ {2}} {2} frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}} right | _ {x = 0} + cdots label {4.28} ]

que se parece com uma sequência de símbolos não intuitiva. Felizmente, as imagens geralmente explicam os primeiros e mais importantes termos em uma aproximação de função. Por exemplo, a aproximação de um termo ( sin θ ≈ θ ), que substitui a altitude do triângulo pelo arco do círculo, transforma a equação diferencial não linear do pêndulo em uma equação linear tratável (Seção 3.5).

Outra ilustração da série de Taylor do valor das imagens vem da série para a função de logaritmo:

[ln (1 + x) = x - frac {x ^ {2}} {2} + frac {x ^ {3}} {3} - .... label {4.29} ]

Seu primeiro termo, x, levará à maravilhosa aproximação ((1 + x) ^ {n} ≈ e ^ {nx} ) para pequeno (x ) e arbitrário (n ) (Seção 5.3.4 ) Seu segundo termo, - (x ^ {2} / 2 ), ajuda a avaliar a precisão dessa aproximação. Esses dois primeiros termos são os termos mais úteis - e eles têm explicações pictóricas. A imagem inicial é a representação integral

[ln (1 + x) = in_ {0} ^ {x} frac {dt} {1 + t}. label {4.30} ]

Pergunta

Qual é a aproximação mais simples para a área sombreada?

Como uma primeira aproximação, a área sombreada é aproximadamente o retângulo circunscrito, um exemplo de aglomeração. O retângulo tem área x:

[ text {area} = underbrace { text {height}} _ {1} x underbrace { text {width}} _ {x} = x. label {4.31} ]

Esta área reproduz o primeiro termo da série de Taylor. Por usar um retângulo circunscrito, ele superestima ligeiramente (ln (1 + x) ).

A área também pode ser aproximada desenhando um retângulo inscrito. Sua largura é novamente (x ), mas sua altura não é 1, mas sim (1 / (1 + x) ), que é aproximadamente (1 - x ) (Problema 4.18). Assim, o retângulo inscrito tem a área aproximada (x (1 - x) = x - x ). Esta área subestima ligeiramente (ln (1 + x) ).

Problema 4.18 Imagem para aproximar a função recíproca

Confirme a aproximação

[ frac {1} {1 + x} ≈ 1 - x text {(para x pequeno)} label {4.32} ]

tentando (x = 0,1 ) ou (x = 0,2 ). Em seguida, faça um desenho para ilustrar a aproximação equivalente ((1 - x) (1 + x) ≈ 1 ).

Agora temos duas aproximações para (ln (1 + x) ). A primeira aproximação, um pouco mais simples, veio do desenho do retângulo circunscrito. A segunda aproximação veio do desenho do retângulo inscrito. Ambos dançam em torno do valor exato.

Pergunta

Como as aproximações de retângulo inscrito e circunscrito podem ser combinadas para fazer uma aproximação aprimorada?

Uma aproximação superestima a área e a outra subestima a área; sua média deve melhorar em qualquer aproximação. A média é um trapézio com área

[ frac {x + (x - x ^ {2})} {2} = x - frac {x ^ {2}} {2}. label {4.33} ]

Esta área reproduz os dois primeiros termos da série completa de Taylor

[ln (1 + x) = x - frac {x ^ {2}} {2} + frac {x ^ {3}} {3} - ... label {4.34} ]

Problema 4.19 Termo cúbico

Estime o termo cúbico na série de Taylor estimando a diferença entre o trapézio e a área real.

Para essas aproximações de logaritmo, o problema mais difícil é ln 2.

[ ln (1 + 1) approx left { begin {array} {ll}
1 & text {(um termo)}
1- frac {1} {2} & text {(dois termos)}
end {array} right. label {4.35} ]

Ambas as aproximações diferem significativamente do valor verdadeiro (cerca de 0,693). Mesmo a precisão moderada para ln 2 requer muitos termos da série de Taylor, muito além do que as imagens explicam (Problema 4.20). O problema é que x em (ln (1 + x) ) é 1, então o fator (x ^ {n} ) em cada termo da série de Taylor não diminui os termos altos n.

O mesmo problema acontece ao calcular π usando a série arco tangente de Leibniz (Seção 4.2.3)

[ arctan x = x - frac {x ^ {3}} {3} + frac {x ^ {5}} {5} - frac {x ^ {7}} {7} + ... . label {4.36} ]

Usando x = 1, a aproximação direta de π / 4 requer muitos termos para atingir uma precisão até moderada. Felizmente, a identidade trigonométrica ( arctan 1 = 4 arctan 1/5 - arctan 1/239 ) reduz o maior (x ) para 1/5 e, portanto, acelera a convergência.

Pergunta

Existe um análogo que ajuda a estimar (ln2 )?

Como 2 também é (4/3) / (2/3), uma reescrita análoga de (ln2 ) é

[ln2 = ln frac {4} {3} - ln frac {2} {3}. label {4.37} ]

Cada fração tem a forma (1 + x ) com (x = ± 1/3 ). Como x é pequeno, um termo da série de logaritmos pode fornecer uma precisão razoável. Portanto, vamos usar (ln (1 + x) ≈ x ) para aproximar os dois logaritmos:

[ln2 ≈ frac {1} {3} - (- frac {1} {3}) = frac {2} {3}. label {4.38} ]

Esta estimativa tem uma precisão de 5%!

O truque de reescrita ajudou a calcular ( pi ) (reescrevendo a série (arctan x )) e a estimar (ln (1 + x) ) (reescrevendo o próprio x). Essa ideia, portanto, torna-se um método - um truque que uso duas vezes (essa definição é frequentemente atribuída a Polya).

Múltiplos problemas

Problema 4.20 Quantos termos?

A série completa de Taylor para o logaritmo é

[ln (1 + x) = sum {1} ^ { infty} (-1) ^ {n + 1} frac {x ^ {n}} {n}. label {4.39} ]

Se você definir (x = 1 ) nesta série, quantos termos são necessários para estimar (ln2 ) dentro de 5%?

Problema 4.21 Segunda reescrita

Repita o método de reescrita reescrevendo 4/3 e 2/3; em seguida, estime (ln2 ) usando apenas um termo da série de logaritmos. Quão precisa é a estimativa revisada?

Problema 4.22 Dois termos da série de Taylor

Depois de reescrever (ln2 ) como (ln (4/3) - ln (2/3) ), use a aproximação de dois termos que (ln (1 + x) ≈ x - x ^ {2} / 2 ) para estimar (ln2 ). Compare a aproximação com a estimativa de um termo, ou seja, 2/3. (O Problema 4.24 investiga uma explicação pictórica.)

Problema 4.23 Aproximação da função racional para o logaritmo

A substituição (ln 2 = ln (4/3) - ln (2/3) ) tem a forma geral

[ln (1 + x) = ln frac {1 + y} {1 - y}, label {4,40} ]

onde (y = x / (2 + x) ).

Use a expressão para y e a série de um termo (ln (1 + x) ≈ x ) para expressar (ln (1 + x) ) como uma função racional de (x ) (como uma proporção de polinômios em x). Quais são os primeiros termos de sua série Taylor?

Compare esses termos com os primeiros termos da série (ln (1 + x) ) de Taylor e, assim, explique por que a aproximação da função racional é mais precisa do que até mesmo a série de dois termos (ln (1 + x) ≈ x - x ^ {2} / 2 ).

Problema 4.24 Interpretação pictórica da reescrita

uma. Use a representação integral de (ln (1 + x) ) para explicar porque a área sombreada é (ln2 ).

b. Delineie a região que representa

[ln frac {4} {3} - ln frac {2} {3} label {4.41} ]

ao usar a aproximação do retângulo circunscrito para cada logaritmo.

c. Esboce a mesma região ao usar a aproximação do trapézio (ln (1 + x) = x - x ^ {2} / 2 ). Mostre pictoricamente que esta região, embora tenha uma forma diferente, tem a mesma área que a região que você desenhou no item b.


Lição 14

Para resolver a equação (5 boldcdot e ^ <3a> = 90 ), Lin escreveu o seguinte:

A solução dela é válida? Esteja preparado para explicar o que ela fez em cada etapa para apoiar sua resposta.

14.2: Logaritmo Natural

  1. Complete a tabela com equações equivalentes. A primeira linha está completa para você.
    forma exponencialforma logarítmica
    uma. (e ^ 0 = 1 ) ( ln 1 = 0 )
    b. (e ^ 1 = e )
    c. (e ^ text <-1> = frac <1>)
    d. ( ln frac <1>= text-2 )
    e. (e ^ x = 10 )
  2. Resolva cada equação expressando a solução usando a notação ( ln ). Em seguida, encontre o valor aproximado da solução usando o botão “ln” em uma calculadora.
    1. (e ^ m = 20 )
    2. (e ^ n = 30 )
    3. (e ^ p = 7,5 )

    14.3: Resolvendo Equações Exponenciais

    Sem usar uma calculadora, resolva cada equação. Espera-se que algumas soluções sejam expressas em notação de log. Esteja preparado para explicar seu raciocínio.

    1. (10 ​​^ x = 10, ! 000 )
    2. (5 boldcdot 10 ^ x = 500 )
    3. (10 ​​^ <(x + 3)> = 10, ! 000 )
    4. (10 ​​^ <2x> = 10, ! 000 )
    5. (10 ​​^ x = 315 )
    6. (2 boldcdot 10 ^ x = 800 )
    7. (10 ​​^ <(1,2x)> = 4, ! 000 )
    8. (7 boldcdot 10 ^ <(0,5x)> = 70 )
    9. (2 boldcdot e ^ x = 16 )
    10. (10 ​​ boldcdot e ^ <3x> = 250 )
    1. Resolva as equações (10 ​​^ = 16 ) e (10 ​​^ = 2 ). Expresse suas respostas como logaritmos.
    2. Qual é a relação entre essas duas soluções? Explique como você sabe.

    Resumo

    Até agora, resolvemos equações exponenciais por

    • encontrar potências de número inteiro da base (por exemplo, a solução de (10 ​​^ x = 100, ! 000 ) é 5)
    • estimativa (por exemplo, a solução de (10 ​​^ x = 300 ) está entre 2 e 3)
    • usando um logaritmo e aproximando seu valor em uma calculadora (por exemplo, a solução de (10 ​​^ x = 300 ) é ( log 300 approx 2,48 ))

    Às vezes, resolver equações exponenciais exige raciocínio adicional. Aqui estão alguns exemplos.

    ( displaystyle begin 5 boldcdot 10 ^ x & amp = 45 5 boldcdot 10 ^ x & amp = 45 10 ^ x & amp = 9 x & amp = log 9 end )

    No primeiro exemplo, a potência de 10 é multiplicada por 5, para encontrar o valor de (x ) que torna esta equação verdadeira, cada lado foi dividido por 5. A partir daí, a equação foi reescrita como um logaritmo, dando um valor exato para (x ).

    No segundo exemplo, as expressões em cada lado da equação foram reescritas como potências de 10: (10 ​​^ <(0.2t)> = 10 ^ 3 ). Isso significa que o expoente (0,2t ) de um lado e o 3 do outro lado devem ser iguais, e leva a uma expressão mais simples para resolver onde não precisamos usar um logaritmo.

    Como resolvemos uma equação exponencial com base (e ), como (e ^ x = 5 )? Podemos expressar a solução usando o Logaritmo natural, o logaritmo da base (e ). O logaritmo natural é escrito como ( ln ), ou às vezes como ( log_e ). Assim como a equação (10 ​​^ 2 = 100 ) pode ser reescrita, na forma logarítmica, como ( log_ <10> 100 = 2 ), a equação (e ^ 0 = 1 ) e ser reescrita como ( ln 1 = 0 ). Da mesma forma, (e ^ < text-2> = frac <1>) pode ser reescrito como ( ln frac <1> = text <-> 2 ).

    Tudo isso significa que podemos resolver (e ^ x = 5 ) reescrevendo a equação como (x = ln 5 ). Isso diz que (x ) é o expoente para o qual a base (e ) é elevada para igual a 5.

    Para estimar o tamanho de ( ln 5 ), lembre-se de que (e ) é cerca de 2,7. Como 5 é maior que (e ^ 1 ), isso significa que ( ln 5 ) é maior que 1. (e ^ 2 ) é cerca de ((2.7) ^ 2 ) ou 7.3. Como 5 é menor que (e ^ 2 ), isso significa que ( ln 5 ) é menor que 2. Isso sugere que ( ln 5 ) está entre 1 e 2. Usando uma calculadora, podemos verificar que ( ln 5 aproximadamente 1,61 ).

    Entradas do glossário

    O número (e ) é um número irracional com uma expansão decimal infinita que começa com (2,71828182845 . . . ), Que é usado em finanças e ciências como base para uma função exponencial.

    O logaritmo natural de (x ), escrito ( ln (x) ), é o log para a base (e ) de (x ). Portanto, é o número (y ) que torna a equação (e ^ y = x ) verdadeira.

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    O último valor acima, o cubo de e , é uma solução válida e, muitas vezes, é tudo o que devo fornecer como resposta. No entanto, neste caso (talvez levando a problemas gráficos ou com palavras), eles querem que eu forneça uma aproximação decimal. Então, coloco a expressão em minha calculadora e arredondo o resultado na tela. Minha resposta é:

    Observe que esta forma decimal não é & quot melhor & quot do que e 3 na verdade, e 3 é a resposta exata e, portanto, a mais correta. Mas enquanto algo como 2 3 pode ser simplificado para um 8 direto, o valor irracional de e 3 só pode ser aproximado na calculadora.

    Certifique-se de saber como operar sua calculadora para encontrar esse tipo de solução antes do próximo teste.

    Resolver log2(x) = 4,5, com precisão de duas casas decimais.

    Essa equação tem um termo estritamente numérico. Portanto, usarei The Relationship para converter a equação logarítmica para a forma exponencial correspondente. Então vou resolver a equação resultante.

    Isso requer uma calculadora para encontrar o valor decimal aproximado. Depois de apertar alguns botões e arredondar, descobri que minha resposta é:

    Resolver esse tipo de equação geralmente funciona desta maneira:

    Se a equação tiver um termo estritamente numérico, você primeiro usa as regras de log para combinar todos os termos de log em um, com qualquer coisa numérica do outro lado do sinal & quotquals & quot. Em seguida, você usa The Relationship para converter a equação logarítmica em sua equação exponencial correspondente e, então, pode ou não usar sua calculadora para encontrar uma aproximação da forma exata da resposta.

    Se a equação tiver apenas termos de log, então você usa regras de log para combinar os termos de log para obter a equação na forma & quotlog (de algo) é igual a log (de outra coisa) & quot, e então você define (algo) igual a (algo mais) e resolva.

    A propósito, ao encontrar aproximações com sua calculadora, não faça as voltas à medida que avança. Em vez disso, faça toda a solução e simplificação algebricamente e, no final, faça a aproximação decimal como um (possivelmente longo) conjunto de comandos na calculadora. O erro de arredondamento pode ficar muito grande muito rápido com os registros, e você não quer perder pontos porque arredondou muito cedo e, portanto, muito.

    Resolver log2(3x) = 4,5, arredondando sua resposta para duas casas decimais.

    Esta equação tem um termo estritamente numérico, então usarei The Relationship para converter a equação logarítmica para sua forma exponencial correspondente, seguida por alguma álgebra:

    Se você tentar verificar minha solução acima, conectando & quot 7.54 & quot em sua calculadora para & quot x & quot na equação original, você obterá um resultado próximo a 4,5, mas não exatamente igual. Isso ocorre devido a um erro de arredondamento. Isso não quer dizer que você não possa verificar suas respostas para a equação de log & mdash você certamente pode, e provavelmente deveria & mdash, mas você precisará manter essa dificuldade de erro de arredondamento em mente ao verificar suas soluções. Em outras palavras, ao inserir sua aproximação decimal na equação original, você está apenas se certificando de que o resultado está próximo o suficiente para ser razoável.

    Por exemplo, para verificar a solução do log da equação2(3x) = 4,5, vou conectar 7,54 para x , e veja quão próximo o resultado está de 4,5:

    Neste ponto, precisarei usar a fórmula de mudança de base para converter isso em algo com que minha calculadora saiba lidar. Vou usar o log natural:

    Não, os dois valores não são iguais, mas eles estão muito perto. Permitindo erro de arredondamento, esses valores me confirmam que obtive a resposta certa.

    Se, por outro lado, minha solução tivesse retornado um valor de, digamos, 12,083, eu saberia que, não, minha resposta estava errada.

    Espere precisar usar uma calculadora para problemas de palavras baseados em log.


    Uma equação contendo variáveis ​​nos expoentes é conhecida como equação exponencial. Em contraste, uma equação que envolve o logaritmo de uma expressão que contém uma variável é chamada de equação logarítmica.

    O objetivo de resolver uma equação logarítmica é encontrar o valor da variável desconhecida.

    Neste artigo, aprenderemos como resolver os dois tipos gerais de equações logarítmicas, a saber:

    1. Equações contendo logaritmos em um lado da equação.
    2. Equações com logaritmos em lados opostos do igual ao sinal.

    Como resolver equações com logaritmos de um lado?

    Equações com logaritmos de um lado tomam o log b M = n ⇒ M = b n.

    Para resolver esse tipo de equação, aqui estão as etapas:

    • Simplifique as equações logarítmicas aplicando as leis apropriadas dos logaritmos.
    • Reescreva a equação logarítmica na forma exponencial.
    • Agora simplifique o expoente e resolva para a variável.
    • Verifique sua resposta substituindo-a de volta na equação logarítmica. Você deve notar que a resposta aceitável de uma equação logarítmica produz apenas um argumento positivo.

    Reescreva a equação para a forma exponencial

    Histórico 2 (5x + 7) = 5 ⇒ 2 5 = 5x + 7

    Divida os dois lados por 5 para obter

    Resolva para x no log (5x -11) = 2

    Como a base dessa equação não é fornecida, assumimos a base de 10.

    Agora mude para escrever o logaritmo na forma exponencial.

    Portanto, x = 111/5 é a resposta.

    Reescreva a equação em forma exponencial

    registro10 (2x + 1) = 3n⇒ 2x + 1 = 10 3

    Ao dividir os dois lados por 2, obtemos

    Verifique sua resposta substituindo-a na equação logarítmica original

    ⇒ log10 (2 x 499,5 + 1) = log10 (1000) = 3 uma vez que 10 3 = 1000

    Reescreva a equação em forma exponencial como

    Mas como você sabe, e = 2.718281828

    4x - 3 = (2,718281828) 3 = 20,085537

    Resolva o log da equação logarítmica 2 (x +1) & # 8211 log 2 (x & # 8211 4) = 3

    Primeiro simplifique os logaritmos aplicando a regra de quociente conforme mostrado abaixo.

    Agora, reescreva a equação em forma exponencial

    Cruze multiplique a equação

    7x = 33… & # 8230 (Coletando os termos semelhantes)

    Resolva para x se logar 4 (x) + log 4 (x -12) = 3

    Simplifique o logaritmo usando a regra do produto como segue

    registro 4 (x) + log 4 (x -12) = 3 ⇒ log 4 [(x) (x - 12)] = 3

    Converta a equação em forma exponencial.

    Como esta é uma equação quadrática, resolvemos por fatoração.

    x 2 -12x - 64 ⇒ (x + 4) (x & # 8211 16) = 0

    Quando x = -4 é substituído na equação original, obtemos uma resposta negativa que é imaginária. Portanto, 16 é a única solução aceitável.

    Como resolver equações com logaritmos em ambos os lados da equação?

    As equações com logaritmos em ambos os lados do sinal de igual levam log M = log N, que é o mesmo que M = N.

    O procedimento de resolução de equações com logaritmos em ambos os lados do sinal de igual.

    • Se os logaritmos são uma base comum, simplifique o problema e reescreva-o sem logaritmos.
    • Simplifique coletando termos semelhantes e resolva para a variável na equação.
    • Verifique sua resposta conectando-a de volta à equação original. Lembre-se de que uma resposta aceitável produzirá um argumento positivo.

    Resolver log 6 (2x - 4) + log 6 (4) = log 6 (40)

    Primeiro, simplifique os logaritmos.

    Resolva a equação logarítmica: log 7 (x & # 8211 2) + log 7 (x + 3) = log 7 14

    Simplifique a equação aplicando a regra do produto.

    Distribua o FOIL para obter

    quando x = -5 e x = 5 são substituídos na equação original, eles fornecem um argumento negativo e um argumento positivo, respectivamente. Portanto, x = 5 é a única solução aceitável.

    Resolver log 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (2x + 6)

    Dado o log da equação 3 (x 2 + 3x) = log 3 (2x + 6), elimine os logaritmos para obter
    ⇒ x 2 + 3x = 2x + 6
    ⇒ x 2 + 3x & # 8211 2x & # 8211 6 = 0
    x 2 + x & # 8211 6 = 0 ……………… (Equação quadrática)
    Fatore a equação quadrática para obter


    4.3: Aproximando o logartim - Matemática

    Para entender o que é um logaritmo, primeiro você precisa entender o que é uma potência. Siga esse link primeiro, se não o fizer!

    OK, você sabe o que é um poder. Portanto, faz sentido para você escrever algo como

    Depois dessas preliminares, podemos agora entrar no cerne da questão. A equação (*) é a chave para tudo. O número b é a base, o número x o expoente e a expressão que é igual a y é uma potência. Se pensarmos em x como a variável independente ey como a variável dependente, então (*) define uma função exponencial.

    Na equação (*) podemos agora fingir que duas das variáveis ​​são fornecidas e resolver para a terceira. Se a base e o expoente são dados, calculamos uma potência, se o o expoente e a potência são dados, calculamos uma raiz (ou radical) e, se a potência e a base são dadas, calculamos um logaritmo.

    Em outras palavras, o logaritmo de um número y em relação a uma base b é o expoente ao qual devemos elevar b para obter y.

    Podemos escrever esta definição como

    e dizemos que x é o logaritmo de y com base b se e somente se b elevado à potência x é igual a y.

    Vamos ilustrar essa definição com alguns exemplos. Se você tiver dificuldades com qualquer um desses poderes, volte para minha página sobre poderes.

    Bases Especiais

    Mais Informações

    Você deve encontrar muitas informações sobre logaritmos em qualquer livro de álgebra universitária. Para verificar sua compreensão e orientar seu estudo adicional, descubra as respostas para as seguintes perguntas:

    • Por que os logaritmos são importantes?
    • Por que as funções exponenciais são importantes?
    • Como você converte um logaritmo em relação a uma base em um logaritmo em relação a outra base?
    • Por que a base tem que ser positiva?
    • Por que o poder é sempre positivo?
    • O que torna os logaritmos naturais naturais?

    Uma calculadora de logaritmo

    No entanto, seu navegador não oferece suporte a Java. Se tivesse, você não veria esta mensagem! Obtenha um navegador compatível com java, como o Netscape, de versão suficientemente avançada.

    para exibir uma Calculadora de logaritmo que permite escolher dois dos números entre (*) e calcular o terceiro. É muito simples de usar, mas aqui está a documentação.


    Fórmula logarítmica

    O que é logaritmo?

    Agora, suponha que nos seja feita a mesma pergunta, mas de forma diferente, como "qual será o expoente de 3 para obter o resultado 81?"

    Então, obviamente, a resposta será 4. Mas como? A resposta a esta pergunta apenas é a definição básica de logaritmos.

    Agora, vamos escrever a equação acima na forma de um logaritmo, como

    Aqui, 3 é a base cujo expoente devemos encontrar. Portanto, desejamos encontrar o valor que, quando aumentado, a potência de 3 será igual a 81. Como isso será 4, diremos que

    A equação acima será lida como “log base 3 de 81 é 4”.

    Assim, a definição geral e regra de logaritmo é:

    Conseqüentemente, o expoente ou potência à qual uma base deve ser elevada para produzir um determinado número nada mais é do que o logaritmo.

    Os logaritmos com a base 10 são chamados de logaritmos comuns ou Briggsian e são escritos simplesmente log n. Foi inventado no século 17 para acelerar os cálculos. O logaritmo natural é com base e onde e ≅ 2,71828, e é escrito como ln n.

    Fórmula do logaritmo:

    Duas identidades mais triviais de logaritmos são:

    Algumas outras fórmulas muito importantes são:

    Suponha que a, b, m, n sejam variáveis ​​com inteiros positivos ep como um número real. Então nós temos,

    (1) ( log_ m * n = log_ m + log_ n )

    (2) ( log_ frac = log_ m + log_ n )

    (3) ( log_ n ^ p = p log_ n )


    A palavra aproximação é derivado do latim aproximado, a partir de proximidade significado muito próximo e o prefixo de Anúncios- (de Anúncios- antes da p torna-se ap- por assimilação) significado para. [1] Palavras como aproximado, aproximadamente e aproximação são usados ​​especialmente em contextos técnicos ou científicos. No inglês do dia-a-dia, palavras como aproximadamente ou por aí são usados ​​com um significado semelhante. [2] É frequentemente encontrado abreviado como Aproximadamente.

    O termo pode ser aplicado a várias propriedades (por exemplo, valor, quantidade, imagem, descrição) que são quase, mas não exatamente semelhantes, mas não exatamente iguais (por exemplo, o tempo aproximado era 10 horas).

    Embora a aproximação seja mais frequentemente aplicada a números, também é frequentemente aplicada a coisas como funções matemáticas, formas e leis físicas.

    Na ciência, a aproximação pode se referir ao uso de um processo ou modelo mais simples quando o modelo correto é difícil de usar. Um modelo aproximado é usado para tornar os cálculos mais fáceis. Aproximações também podem ser usadas se informações incompletas impedirem o uso de representações exatas.

    O tipo de aproximação usado depende das informações disponíveis, do grau de precisão exigido, da sensibilidade do problema a esses dados e da economia (geralmente em tempo e esforço) que pode ser obtida pela aproximação.

    A teoria da aproximação é um ramo da matemática, uma parte quantitativa da análise funcional. A aproximação diofantina lida com aproximações de números reais por números racionais. A aproximação geralmente ocorre quando uma forma exata ou um número numérico exato é desconhecido ou difícil de obter. No entanto, alguma forma conhecida pode existir e pode ser capaz de representar a forma real de forma que nenhum desvio significativo possa ser encontrado. Também é usado quando um número não é racional, como o número π, que geralmente é reduzido para 3,14159 ou, 2 para 1,414.

    As aproximações numéricas às vezes resultam do uso de um pequeno número de dígitos significativos. É provável que os cálculos envolvam erros de arredondamento que levam à aproximação. Tabelas de registro, réguas de cálculo e calculadoras produzem respostas aproximadas para todos, exceto os cálculos mais simples. Os resultados dos cálculos do computador são normalmente uma aproximação expressa em um número limitado de dígitos significativos, embora possam ser programados para produzir resultados mais precisos. [3] A aproximação pode ocorrer quando um número decimal não pode ser expresso em um número finito de dígitos binários.

    Relacionado à aproximação de funções está o valor assintótico de uma função, ou seja, o valor como um ou mais dos parâmetros de uma função torna-se arbitrariamente grande. Por exemplo, a soma (k/2)+(k/4)+(k/8)+. (k/2^n) é assintoticamente igual a k. Infelizmente, nenhuma notação consistente é usada em toda a matemática e alguns textos usarão ≈ para significar aproximadamente igual e

    significar assintoticamente igual, enquanto outros textos usam os símbolos ao contrário.

    Como outro exemplo, a fim de acelerar a taxa de convergência dos algoritmos evolutivos, a aproximação de adequação - que leva à construção do modelo da função de adequação para escolher as etapas de pesquisa inteligente - é uma boa solução.

    A aproximação surge naturalmente em experimentos científicos. As previsões de uma teoria científica podem diferir das medições reais. Isso pode ser porque existem fatores na situação real que não estão incluídos na teoria. Por exemplo, cálculos simples podem não incluir o efeito da resistência do ar. Nessas circunstâncias, a teoria é uma aproximação da realidade. As diferenças também podem surgir devido às limitações na técnica de medição. Nesse caso, a medição é uma aproximação do valor real.

    A história da ciência mostra que as teorias e leis anteriores podem ser aproximações a algum conjunto mais profundo de leis. De acordo com o princípio da correspondência, uma nova teoria científica deve reproduzir os resultados de teorias mais antigas e bem estabelecidas nos domínios em que as teorias antigas funcionam. [4] A velha teoria torna-se uma aproximação da nova teoria.

    Alguns problemas em física são muito complexos para serem resolvidos por análise direta, ou o progresso pode ser limitado pelas ferramentas analíticas disponíveis. Assim, mesmo quando a representação exata é conhecida, uma aproximação pode produzir uma solução suficientemente precisa enquanto reduz a complexidade do problema significativamente. Os físicos muitas vezes aproximam a forma da Terra como uma esfera, embora representações mais precisas sejam possíveis, porque muitas características físicas (por exemplo, gravidade) são muito mais fáceis de calcular para uma esfera do que para outras formas.

    A aproximação também é usada para analisar o movimento de vários planetas orbitando uma estrela. Isso é extremamente difícil devido às complexas interações dos efeitos gravitacionais dos planetas entre si. [5] Uma solução aproximada é efetuada executando iterações. Na primeira iteração, as interações gravitacionais dos planetas são ignoradas e a estrela é considerada fixa. Se uma solução mais precisa for desejada, outra iteração é realizada, usando as posições e movimentos dos planetas conforme identificados na primeira iteração, mas adicionando uma interação de gravidade de primeira ordem de cada planeta nos outros. Este processo pode ser repetido até que uma solução satisfatoriamente precisa seja obtida.

    O uso de perturbações para corrigir os erros pode gerar soluções mais precisas. Simulações dos movimentos dos planetas e da estrela também fornecem soluções mais precisas.

    As versões mais comuns da filosofia da ciência aceitam que as medidas empíricas são sempre aproximações- eles não representam perfeitamente o que está sendo medido.

    Os símbolos usados ​​para denotar itens que são aproximadamente iguais são sinais de igualdade ondulados ou pontilhados. [6]


    Qual é a medida em radianos do ângulo central de um arco que tem um comprimento de arco de 3 unidades e um raio de 4 unidades? 4/3 3/4 12 ou 1 precisa disso rápido

    Qual proporção representa a medida do ângulo central em comparação com a medida de todo o círculo?

    Se s =, qual é o comprimento do arco menor AB?

    O raio do círculo (r), o comprimento do arco (s) e o ângulo subtendido pelo arco no centro do círculo (Ф) estão relacionados pela seguinte equação:

    Para a primeira questão, temos o comprimento do arco (3 unidades) e o raio do círculo (4 unidades) e precisamos encontrar a medida em radianos do ângulo central do arco. Substituindo os valores na fórmula acima, obtemos:

    Para a segunda questão, temos o ângulo central (π / 2 radianos) e o raio do círculo (24 polegadas). Precisamos encontrar o comprimento do arco. Substituindo os valores na equação acima, obtemos:

    A terceira pergunta é semelhante à primeira. O comprimento do arco é fornecido (27 polegadas) e o raio do círculo é (10 polegadas). Devemos encontrar a medida em radianos do ângulo central. Substituindo os valores na equação acima, obtemos:


    Q.1. Quais são as quatro propriedades de um logaritmo?
    Resp: As quatro propriedades básicas do logaritmo são fornecidas abaixo:
    (i) Regra do produto
    (ii) Regra de divisão
    (iii) Regra do poder ou regra exponencial
    (iv) Mudança da regra de base

    Q.2. Quais são as propriedades dos logaritmos?
    Resp: As propriedades do logaritmo são fornecidas a seguir:
    (i) Regra do produto: ( log x + log y = log (x vezes y) = log xy )
    (ii) Regra de divisão: (< log _b> left (< frac> right) = < log _b> m & # 8211 < log _b> n )
    (iii) Regra de potência ou regra exponencial: (< log < rm>> left (<> direita) = n < log < rm>> m )
    (iv) Alteração da regra de base: (< log b> m = frac <<<< log> < rm >> m >> <<<< log> _a> b >> )
    (v) Regra de troca de base: (< log _b> (a) = frac <1> <<<< log> _a> (b) >> )

    Q.3. Quais são as propriedades dos logaritmos e exemplos?
    Resp:Sabemos que em logaritmo ( = a ) pode ser expresso como (< log _b> a = y ).
    Exemplos:
    (i) (<2 ^ <& # 8211 3 >> = frac <1> <8> Leftrightarrow < log _2> left ( <8>> right) = & # 8211 3 )
    (ii) (<10 ^ <& # 8211 2 >> = 0,01 Leftrightarrow < log _ <10>> (0,01) = & # 8211 2 )
    (iii) (<2 ^ 6> = 64 Leftrightarrow < log _2> 64 = 6 )
    (iv) (<3 ^ 2> = 9 Leftrightarrow < log _3> 9 = 2 )
    (v) (<5 ^ 4> = 625 Leftrightarrow < log _5> 625 = 4 )
    (vi) (<7 ^ 0> = 1 Leftrightarrow < log _7> 1 = 0 )
    (vii) (<3 ^ <& # 8211 4 >> = frac <1> <<< 3 ^ 4 >>> = frac <1> <<81>> Leftrightarrow < log _3> frac <1> <<81>> = & # 8211 4 )

    Q.4. Qual é a propriedade de poder do log?
    Resp: Nesta regra, o logaritmo de um número (m ) à potência (expoente) é igual ao expoente vezes seu logaritmo do número (m ).
    Exemplo: (< log _b> left (<> direita) = n < log _b> m )

    Q.5. Qual é o uso de logaritmos?
    Resp: Os logaritmos são a maneira mais direta de expressar grandes números. Cálculos matemáticos envolvendo grandes números tornam-se fáceis se usarmos o logaritmo.

    Q.6. Quais são os princípios do logaritmo?
    Resp:Na forma exponencial, se tivermos ( = n ), então, na forma logarítmica, podemos escrever (x = < log _b> n ). Este é o princípio de funcionamento do logaritmo.
    Por exemplo, (<2 ^ 3> = 8 )
    Assim, (3 ) é o logaritmo de (8 ) para basear (2 ), ou (3 = < log _2> 8 )

    Q.7. Quantos tipos de logaritmos existem?
    Resp:
    Existem dois tipos de logaritmos, e são os seguintes:
    (i) Logaritmo comum: O logaritmo comum é chamado de logaritmo de base dez. Está escrito como (< log _ <10>> p log p ). Então, quando o logaritmo é obtido envolvendo a base (10 ​​), nós o chamamos de logaritmo comum.
    Exemplo: (<10 ^ 2> = 100 Rightarrow < log _ <10>> 100 = 2 )
    (ii) Logaritmo natural: O logaritmo natural é conhecido como logaritmo de base (e ), onde (e ) é a constante de Euler, que é aproximadamente igual a (2,71828 ).
    O logaritmo natural é escrito como ( ln x ) ou (< log _e> x ).
    Example: ( <2.71828^4>= 54.6 Rightarrow = 54.6) or, (54.6 = 4) or simply (ln 56.6 = 4)

    We hope you find this detailed article on properties of logarithms helpful. If you have doubts or queries on this topic, feel free to ask us in the comment section and we will be ready to help you at the earliest.


    4.3: Approximating the logartihm - Mathematics

    Two kinds of logarithms are often used in chemistry: common (or Briggian) logarithms and natural (or Napierian) logarithms. The power to which a base of 10 must be raised to obtain a number is called the common logarithm (log) of the number. The power to which the base e (e = 2.718281828. ) must be raised to obtain a number is called the natural logarithm (ln) of the number.

    In simpler terms, my 8th grade math teacher always told me: LOGS ARE EXPONENTS!! What did she mean by that?

      Using log10 ("log to the base 10"):
      log10100 = 2 is equivalent to 10 2 = 100
      where 10 is the base, 2 is the logarithm (i.e., the exponent or power) and 100 is the number.

    The rest of this mini-presentation will concentrate on logarithms to the base 10 (or logs). One use of logs in chemistry involves pH, where pH = -log10 of the hydrogen ion concentration.

    Here are some simple examples of logs.

    NumberExponential ExpressionLogarithm
    100010 3 3
    10010 2 2
    1010 1 1
    110 0 0
    1/10 = 0.110 - 1 -1
    1/100 = 0.0110 - 2 -2
    1/1000 = 0.00110 - 3 -3

      Example 1: log 5.43 x 10 10 = 10.73479983. (way too many significant figures)

    So, let's look at the logarithm more closely and figure out how to determine the correct number of significant figures it should have.

      Example 1: log 5.43 x 10 10 = 10.735
      The number has 3 significant figures, but its log ends up with 5 significant figures, since the mantissa has 3 and the characteristic has 2.

      Example 4: What is the pH of an aqueous solution when the concentration of hydrogen ion is 5.0 x 10 - 4 M?

    FINDING ANTILOGARITHMS (also called Inverse Logarithm)

    1. enter the number,
    2. press the inverse (inv) or shift button, then
    3. press the log (or ln) button. It might also be labeled the 10 x (or e x ) button.

      Example 5: log x = 4.203 so, x = inverse log of 4.203 = 15958.79147. (too many significant figures)
      There are three significant figures in the mantissa of the log, so the number has 3 significant figures. The answer to the correct number of significant figures is 1.60 x 10 4 .

      Example 8: What is the concentration of the hydrogen ion concentration in an aqueous solution with pH = 13.22?

    CALCULATIONS INVOLVING LOGARITHMS

    Because logarithms are exponents, mathematical operations involving them follow the same rules as those for exponents.


    Assista o vídeo: Sabe Resolver Esse Exercício de Logaritmo com Diferença de Quadrados? (Outubro 2021).