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3.4: Fórmulas de Soma para Produto e de Produto para Soma


objetivos de aprendizado

  • Produtos expressos como somas.
  • Expressar somas como produtos.

Uma banda marcha pelo campo criando um som incrível que fortalece a multidão. Esse som viaja como uma onda que pode ser interpretada por meio de funções trigonométricas.

Por exemplo, Figure ( PageIndex {2} ) representa uma onda sonora para a nota musical A. Nesta seção, investigaremos as identidades trigonométricas que são a base dos fenômenos cotidianos, como as ondas sonoras.

Expressando produtos como somas

Já aprendemos várias fórmulas úteis para expandir ou simplificar expressões trigonométricas, mas às vezes podemos precisar expressar o produto de cosseno e seno como uma soma. Podemos usar o fórmulas de produto para soma, que expressam produtos de funções trigonométricas como somas. Vamos investigar a identidade do cosseno primeiro e, em seguida, a identidade do seno.

Expressando produtos como somas para cosseno

Podemos derivar a fórmula do produto para a soma das identidades de soma e diferença para cosseno. Se somarmos as duas equações, obtemos:

[ begin {align *} cos alpha cos beta + sin alpha sin beta & = cos ( alpha- beta) [4pt] underline {+ cos alpha cos beta- sin alpha sin beta} & = underline { cos ( alpha + beta)} [4pt] 2 cos alpha cos beta & = cos ( alpha- beta) + cos ( alpha + beta) end {align *} ]

Em seguida, dividimos por 2 para isolar o produto dos cossenos:

[ cos alpha cos beta = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha- beta) + cos ( alpha + beta)] label {eq1} ]

Como: Dado um produto de cossenos, expresso como uma soma

  1. Escreva a fórmula para o produto dos cossenos.
  2. Substitua os ângulos dados na fórmula.
  3. Simplificar.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Escrevendo o produto como uma soma usando a fórmula de produto para soma para cosseno

Escreva o seguinte produto de cossenos como uma soma: (2 cos left ( dfrac {7x} {2} right) cos left ( dfrac {3x} {2} right) ).

Solução

Começamos escrevendo a fórmula para o produto dos cossenos (Equação ref {eq1}):

[ cos alpha cos beta = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha- beta) + cos ( alpha + beta)] nonumber ]

Podemos então substituir os ângulos dados na fórmula e simplificar.

[ begin {align *} 2 cos left ( dfrac {7x} {2} right) cos left ( dfrac {3x} {2} right) & = 2 left ( dfrac { 1} {2} right) [ cos left ( dfrac {7x} {2} - dfrac {3x} {2} right) + cos left ( dfrac {7x} {2} + dfrac {3x} {2} right)] [4pt] & = cos left ( dfrac {4x} {2} right) + cos left ( dfrac {10x} {2} right ) [4pt] & = cos 2x + cos 5x end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Use a fórmula do produto para a soma (Equação ref {eq1}) para escrever o produto como uma soma ou diferença: ( cos (2 theta) cos (4 theta) ).

Responder

( dfrac {1} {2} ( cos 6 theta + cos 2 theta) )

Expressando o produto de seno e cosseno como uma soma

A seguir, iremos derivar a fórmula do produto para soma para seno e cosseno a partir das fórmulas de soma e diferença para seno. Se somarmos as identidades de soma e diferença, obtemos:

[ begin {align *} cos alpha cos beta + sin alpha sin beta & = cos ( alpha- beta) [4pt] underline {+ cos alpha cos beta- sin alpha sin beta} & = cos ( alpha + beta) [4pt] 2 cos alpha cos beta & = cos ( alpha- beta) + cos ( alpha + beta) [4pt] text {Em seguida, dividimos por 2 para isolar o produto dos cossenos:} [4pt] cos alpha cos beta & = dfrac {1} {2} left [ cos ( alpha- beta) + cos ( alpha + beta) right] end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {2} ): Escrevendo o produto como uma soma contendo apenas seno ou cosseno

Expresse o seguinte produto como uma soma contendo apenas seno ou cosseno e nenhum produto: ( sin (4 theta) cos (2 theta) ).

Solução

Escreva a fórmula para o produto de seno e cosseno. Em seguida, substitua os valores fornecidos na fórmula e simplifique.

[ begin {align *} sin alpha cos beta & = dfrac {1} {2} [ sin ( alpha + beta) + sin ( alpha- beta)] [4pt] sin (4 theta) cos (2 theta) & = dfrac {1} {2} [ sin (4 theta + 2 theta) + sin (4 theta-2 theta)] [4pt] & = dfrac {1} {2} [ sin (6 theta) + sin (2 theta)] end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Use a fórmula do produto para a soma para escrever o produto como uma soma: ( sin (x + y) cos (x − y) ).

Responder

( dfrac {1} {2} ( sin 2x + sin 2y) )

Expressando Produtos de Sines em Termos de Cosseno

Expressando o produto de senos em termos de cosseno também é derivado das identidades de soma e diferença para cosseno. Nesse caso, primeiro subtrairemos as duas fórmulas de cosseno:

[ begin {align *} cos ( alpha- beta) & = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta [4pt] underline {- cos ( alpha + beta)} & = - ( cos alpha cos beta- sin alpha sin beta) [4pt] cos ( alpha- beta) - cos ( alpha + beta) & = 2 sin alpha sin beta [4pt] text {Então, dividimos por 2 para isolar o produto de senos:} [4pt] sin alpha sin beta & = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha- beta) - cos ( alpha + beta)] end {align *} ]

Da mesma forma, podemos expressar o produto dos cossenos em termos de seno ou derivar outras fórmulas do produto para a soma.

AS FÓRMULAS DE PRODUTO PARA SOMA

O produto para soma as fórmulas são as seguintes:

[ cos alpha cos beta = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha− beta) + cos ( alpha + beta)] ]

[ sin alpha cos beta = dfrac {1} {2} [ sin ( alpha + beta) + sin ( alpha− beta)] ]

[ sin alpha sin beta = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha− beta) - cos ( alpha + beta)] ]

[ cos alpha sin beta = dfrac {1} {2} [ sin ( alpha + beta) - sin ( alpha− beta)] ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Expresse o produto como uma soma ou diferença

Escreva ( cos (3 theta) cos (5 theta) ) como uma soma ou diferença.

Solução

Temos o produto dos cossenos, então começamos escrevendo a fórmula relacionada. Em seguida, substituímos os ângulos dados e simplificamos.

[ begin {align *} cos alpha cos beta & = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha- beta) + cos ( alpha + beta)] [4pt] cos (3 theta) cos (5 theta) & = dfrac {1} {2} [ cos (3 theta-5 theta) + cos (3 theta + 5 theta)] [4pt] & = dfrac {1} {2} [ cos (2 theta) + cos (8 theta)] qquad text {Use identidade par-ímpar} end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Use a fórmula do produto para a soma para avaliar ( cos dfrac {11 pi} {12} cos dfrac { pi} {12} ).

Responder

( dfrac {−2− sqrt {3}} {4} )

Expressando somas como produtos

Alguns problemas exigem o inverso do processo que acabamos de usar. O fórmulas de soma para produto nos permitem expressar somas de seno ou cosseno como produtos. Essas fórmulas podem ser derivadas das identidades do produto para a soma. Por exemplo, com algumas substituições, podemos derivar a identidade da soma ao produto para seno. Seja ( dfrac {u + v} {2} = alpha ) e ( dfrac {u − v} {2} = beta ).

Então,

[ begin {align *} alpha + beta & = dfrac {u + v} {2} + dfrac {uv} {2} [4pt] & = dfrac {2u} {2} [ 4pt] & = u end {align *} ]

[ begin {align *} alpha- beta & = dfrac {u + v} {2} - dfrac {uv} {2} [4pt] & = dfrac {2v} {2} [4pt] & = v end {align *} ]

Assim, substituindo ( alpha ) e ( beta ) na fórmula do produto para soma com as expressões substitutas, temos

[ begin {align *} sin alpha cos beta & = dfrac {1} {2} [ sin ( alpha + beta) + sin ( alpha- beta)] [4pt] sin left ( frac {u + v} {2} right) cos left ( frac {uv} {2} right) & = frac {1} {2} [ sin u + sin v] qquad text {Substituir por} ( alpha + beta) text {e} ( alpha beta) [4pt] 2 sin left ( dfrac {u + v} {2} direita) cos left ( dfrac {uv} {2} right) & = sin u + sin v end {alinhar *} ]

As outras identidades de soma para produto são derivadas de forma semelhante.

FÓRMULAS DE SOMA PARA PRODUTO

O fórmulas de soma para produto são como segue:

[ sin alpha + sin beta = 2 sin left ( dfrac { alpha + beta} {2} right) cos left ( dfrac { alpha− beta} {2} right ) ]

[ sin alpha- sin beta = 2 sin left ( dfrac { alpha- beta} {2} right) cos left ( dfrac { alpha + beta} {2} certo)]

[ cos alpha− cos beta = −2 sin left ( dfrac { alpha + beta} {2} right) sin left ( dfrac { alpha− beta} {2} certo)]

[ cos alpha + cos beta = 2 sin left ( dfrac { alpha + beta} {2} right) sin left ( dfrac { alpha− beta} {2} right ) ]

Exemplo ( PageIndex {4} ): Escrevendo a diferença de senos como um produto

Escreva a seguinte diferença de expressão de senos como um produto: ( sin (4 theta) - sin (2 theta) ).

Solução

Começamos escrevendo a fórmula para a diferença de senos.

[ begin {align *} sin alpha- sin beta & = 2 sin left ( dfrac { alpha- beta} {2} right) cos left ( dfrac { alpha + beta} {2} right) [4pt] text {Substitua os valores na fórmula e simplifique.} [4pt] sin (4 theta) - sin (2 theta) & = 2 sin left ( dfrac {4 theta-2 theta} {2} right) cos left ( dfrac {4 theta + 2 theta} {2} right) [4pt] & = 2 sin left ( dfrac {2 theta} {2} right) cos left ( dfrac {6 theta} {2} right) [4pt] & = 2 sin theta cos (3 theta) end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Use a fórmula da soma ao produto para escrever a soma como um produto: ( sin (3 theta) + sin ( theta) ).

Responder

(2 sin (2 theta) cos ( theta) )

Exemplo ( PageIndex {5} ): Avaliação usando a fórmula da soma para o produto

Avalie ( cos (15 °) - cos (75 °) ). Verifique a resposta com uma calculadora gráfica.

Solução

Começamos escrevendo a fórmula para a diferença dos cossenos.

[ begin {align *}
cos alpha- cos beta & = -2 sin left ( dfrac { alpha + beta} {2} right) sin left ( dfrac { alpha- beta} {2} right ) [4pt]
text {Então substituímos os ângulos dados e simplificamos.} [4pt]
cos (15 ^ { circ}) - cos (75 ^ { circ}) & = -2 sin left ( dfrac {15 ^ { circ} +75 ^ { circ}} {2} direita) sin esquerda ( dfrac {15 ^ { circ} -75 ^ { circ}} {2} direita) [4pt]
& = -2 sin (45 ^ { circ}) sin (-30 ^ { circ}) [4pt]
& = -2 left ( dfrac { sqrt {2}} {2} right) left (- dfrac {1} {2} right) [4pt]
& = dfrac { sqrt {2}} {2}
end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {6} ): Provando uma identidade

Prove a identidade:

[ dfrac { cos (4t) - cos (2t)} { sin (4t) + sin (2t)} = - tan t ]

Solução

Começaremos com o lado esquerdo, o lado mais complicado da equação, e reescreveremos a expressão até que corresponda ao lado direito.

[ begin {align *} dfrac { cos (4t) - cos (2t)} { sin (4t) + sin (2t)} & = dfrac {-2 sin left ( dfrac {4t + 2t} {2} right) sin left ( dfrac {4t-2t} {2} right)} {2 sin left ( dfrac {4t + 2t} {2} right) cos left ( dfrac {4t-2t} {2} right)} [4pt] & = dfrac {-2 sin (3t) sin t} {2 sin (3t) cos t } [4pt] & = - dfrac { sin t} { cos t} [4pt] & = - tan t end {align *} ]

Análise

Lembre-se de que a verificação de identidades trigonométricas tem seu próprio conjunto de regras. Os procedimentos para resolver uma equação não são iguais aos procedimentos para verificar uma identidade. Quando provamos uma identidade, escolhemos um lado para trabalhar e fazemos substituições até que esse lado se transforme no outro lado.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Verificando a identidade usando fórmulas de ângulo duplo e identidades recíprocas

Verifique a identidade ({ csc} ^ 2 theta − 2 = cos (2 theta) sin2 theta ).

Solução

Para verificar essa equação, estamos reunindo várias das identidades. Usaremos a fórmula do ângulo duplo e as identidades recíprocas. Vamos trabalhar com o lado direito da equação e reescrever até que corresponda ao lado esquerdo.

[ begin {align *} cos (2 theta) sin2 theta & = dfrac {1-2 { sin} ^ 2 theta} {{ sin} ^ 2 theta} [4pt] & = dfrac {1} {{ sin} ^ 2 theta} - dfrac {2 { sin} ^ 2 theta} {{ sin} ^ 2 theta} [4pt] & = { csc} ^ 2 theta - 2 end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Verifique a identidade ( tan theta cot theta - { cos} ^ 2 theta = { sin} ^ 2 theta ).

Responder

[ begin {align *} tan theta cot theta - { cos} ^ 2 theta & = left ( dfrac { sin theta} { cos theta} right) left ( dfrac { cos theta} { sin theta} right) - { cos} ^ 2 theta [4pt] & = 1 - { cos} ^ 2 theta [4pt] & = { sin} ^ 2 theta end {alinhar *} ]

meios de comunicação

Acesse esses recursos online para obter instruções e práticas adicionais com as identidades de produto para soma e soma para produto.

  • Soma para identidades de produto
  • Soma para Produto e Produto para Soma Identidades

Equações Chave

Fórmulas de produto para soma

[ cos alpha cos beta = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha− beta) + cos ( alpha + beta)] nonumber ]

[ sin alpha cos beta = dfrac {1} {2} [ sin ( alpha + beta) + sin ( alpha− beta)] nonumber ]

[ sin alpha sin beta = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha− beta) - cos ( alpha + beta)] nonumber ]

[ cos alpha sin beta = dfrac {1} {2} [ sin ( alpha + beta) - sin ( alpha− beta)] nonumber ]

Fórmulas de soma para produto

[ sin alpha + sin beta = 2 sin ( dfrac { alpha + beta} {2}) cos ( dfrac { alpha− beta} {2}) nonumber ]

[ sin alpha- sin beta = 2 sin ( dfrac { alpha- beta} {2}) cos ( dfrac { alpha + beta} {2}) nonumber ]

[ cos alpha− cos beta = −2 sin ( dfrac { alpha + beta} {2}) sin ( dfrac { alpha− beta} {2}) nonumber ]

[ cos alpha + cos beta = 2 sin ( dfrac { alpha + beta} {2}) sin ( dfrac { alpha− beta} {2}) nonumber ]

Conceitos chave

  • A partir das identidades de soma e diferença, podemos derivar as fórmulas de produto para soma e as fórmulas de soma para produto para seno e cosseno.
  • Podemos usar as fórmulas de produto para soma para reescrever produtos de senos, produtos de cossenos e produtos de seno e cosseno como somas ou diferenças de senos e cossenos. Veja Exemplo ( PageIndex {1} ), Exemplo ( PageIndex {2} ) e Exemplo ( PageIndex {3} ).
  • Também podemos derivar as identidades de soma para produto das identidades de produto para soma usando substituição.
  • Podemos usar as fórmulas de soma para produto para reescrever a soma ou diferença de senos, cossenos ou produtos seno e cosseno como produtos de senos e cossenos. Veja Exemplo ( PageIndex {4} ).
  • As expressões trigonométricas geralmente são mais simples de avaliar usando as fórmulas. Veja Exemplo ( PageIndex {5} ).
  • As identidades podem ser verificadas usando outras fórmulas ou convertendo as expressões em senos e cossenos. Para verificar uma identidade, escolhemos o lado mais complicado do sinal de igual e o reescrevemos até que seja transformado no outro lado. Veja Exemplo ( PageIndex {6} ) e Exemplo ( PageIndex {7} ).

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3.5.1: Soma das Fórmulas do Produto para Seno e Cosseno

Relação da soma ou diferença de duas funções trigonométricas com um produto.

Você pode resolver problemas que envolvem a soma de senos ou cossenos? Por exemplo, considere a equação:

Você pode apenas calcular cada expressão separadamente e adicionar seus valores no final. No entanto, existe uma maneira mais fácil de fazer isso. Você pode simplificar a equação primeiro e depois resolvê-la.

Soma de seno e cosseno para fórmulas de produto

Em alguns problemas, o produto de duas funções trigonométricas é mais convenientemente encontrado pela soma de duas funções trigonométricas pelo uso de identidades.

Isso pode ser verificado usando as fórmulas de soma e diferença:

As seguintes variações podem ser derivadas de forma semelhante:

Aqui estão alguns problemas ao usar esse tipo de transformação de uma soma de termos em um produto de termos.

1. Mude ( sin 5x & minus sin 9x ) em um produto.

Use a fórmula ( sin alpha & minus sin beta = 2 sin dfrac < alpha & minus beta> <2> times cos dfrac < alpha + beta> <2> ).

2. Transforme ( cos (& minus3x) + cos 8x ) em um produto.

Use a fórmula ( cos alpha + cos beta = 2 cos dfrac < alpha + beta> <2> times cos dfrac < alpha & minus beta> <2> )

3. Altere (2 sin 7x cos 4x ) para uma soma.

Isso é o inverso do que foi feito nos dois exemplos anteriores. Olhando para as quatro fórmulas acima, considere aquela que tem seno e cosseno como produto, ( sin alpha + sin beta = 2 sin dfrac < alpha + beta> <2> times cos dfrac < alpha & minus beta> <2> ). Portanto, (7x = dfrac < alpha + beta> <2> ) e (4x = dfrac < alpha & minus beta> <2> ).

Então, isso se traduz em ( sin (11x) + sin (3x) ). Um atalho para este problema seria notar que a soma de (7x ) e (4x ) é (11x ) e a diferença é (3x ).

Anteriormente, você foi solicitado a resolver

Você pode facilmente transformar esta equação em um produto de duas funções trigonométricas usando:

Substituindo as quantidades conhecidas:

( cos 10t + cos 3t = 2 cos dfrac <13t> <2> times cos dfrac <7t> <2> = 2 cos (6,5t) cos (3,5t) )

Expresse a soma como um produto: ( sin 9x + sin 5x )

Usando a fórmula da soma ao produto:

(começar sin 9x + sin 5x & amp2 left ( sin left ( dfrac <9x + 5x> <2> right) cos left ( dfrac <9x & minus5x> <2> right) right) & amp 2 sin 7x cos 2x end)


Fórmulas de soma para produto

Fórmulas de soma para produto
  • ( sin u + sin v = 2 sin left ( frac<2> right) cos left ( frac<2> direita) )
  • ( sin u - sin v = 2 cos left ( frac<2> right) sin left ( frac<2> direita) )
  • ( cos u + cos v = 2 cos left ( frac<2> right) cos left ( frac<2> direita) )
  • ( cos u - cos v = -2 sin left ( frac<2> right) sin left ( frac<2> direita) )

Exemplo 2: avaliar uma expressão trigonométrica

Encontre o valor exato de cos 75 ° - cos 15 °.

Solução

Esta é uma diferença de cossenos, então use a última fórmula com você = 75 ° e v = 15°.

$ cos u - cos v = -2 sin left ( frac<2> right) sin left ( frac<2> right) $

$ cos 75 ° - cos 15 ° = -2 sin left ( frac <75 ° + 15 °> <2> right) sin left ( frac <75 ° - 15 °> <2> right) $

Experimente 2

Encontre o valor exato de pecado 255 ° + sen 15 °.

Responder

Exemplo 3: Resolva uma equação trigonométrica

Resolva no intervalo [0, 2π): sen 5x + pecado x = 0.

Como a equação é igual a zero, poderíamos usar a propriedade do produto zero se a equação fosse um produto e não uma soma. Portanto, use uma fórmula de soma para produto com você = 5x e v = x.

( cos 3x = 0 ) ( sin 2x = 0 )
(3x = frac<π> <2> + πn ) (2x = 0 + πn )
(x = frac<π> <6> + frac<πn><3>) (x = frac<πn><2>)

Experimente 3

Resolva no intervalo [0, 2π): cos 3x + cos x = 0.

Responder

Exemplo 4: verificar uma identidade trigonométrica

Solução

Se a fração usasse termos que foram multiplicados juntos em vez de somados, eles poderiam se cancelar. Portanto, use uma fórmula de soma para produto para o numerador e denominador com você = 3x e v = x.


Insira a fórmula de ponderação

O exemplo mostrado neste artigo calcula a média ponderada da nota final de um aluno usando a função SUMPRODUCT.

A função realiza isso por meio de:

  • Multiplicando as várias marcas por seu fator de peso individual.
  • Somando os produtos dessas operações de multiplicação.
  • Dividindo a soma acima pelo total do fator de ponderação 7 (1 + 1 + 2 + 3) para as quatro avaliações.

Como a maioria das outras funções do Excel, SUMPRODUCT pode ser inserido em uma planilha usando o Biblioteca de Funções encontrado no Fórmulas aba. Como a fórmula de ponderação nestes exemplos usa SUMPRODUCT de uma maneira não padronizada (o resultado da função é dividido pelo fator de ponderação), a fórmula de ponderação deve ser digitada em uma célula da planilha.

Para inserir a fórmula SUMPRODUCT para calcular uma média ponderada, abra uma planilha em branco e insira os dados nas linhas 1 Através dos 6 da imagem acima e siga estas etapas:

Selecione a célula C7 para torná-la a célula ativa (este é o local onde a nota final do aluno será exibida).

Digite a fórmula = SUMPRODUTO (B3: B6, C3: C6) / (1 + 1 + 2 + 3) na célula. A fórmula aparece na Barra de Fórmulas.

aperte o Digitar tecla no teclado.

A resposta 78.6 aparece na célula C7 (sua resposta pode ter mais casas decimais).

A média não ponderada para as mesmas quatro marcas seria 76.5. Como o aluno obteve melhores resultados nas provas de meio e final, pesar a média ajudou a melhorar a nota geral.


Soma para Produto e Produto para Fórmulas de Soma

O processo de conversão de somas em produtos ou produtos em somas pode fazer a diferença entre uma solução fácil para um problema e nenhuma solução. Dois conjuntos de identidades podem ser derivados das identidades de soma e diferença que ajudam nessa conversão.

Soma ao produto

Podemos usar o fórmulas de soma e diferença juntos para reescrever a soma de duas razões trigonométricas como um produto de razões trigonométricas.

Exemplo: Calcule sen75 ° + sen15 °.

Solução: Pela fórmula pecado a + pecado b, Nós temos:
sen75 ° + sen15 ° = 2 · sen (90 ° / 2) · cos (60 ° / 2) = 2 · sen45 ° · cos30 ° = 2 · √2 / 2 · √3 / 2 = √6 / 2

Produto para somar

Também podemos usar as fórmulas de soma e diferença para escrever o produto de duas razões trigonométricas como uma soma. Essas novas fórmulas são chamadas de produto para somar fórmulas.

Exemplo: Calcule cos105 ° · cos15 °.

Solução: Pela fórmula cos a · cos b, podemos escrever:
cos105 ° + cos15 ° = 1/2 [cos (105 ° + 15 °) + cos (105 ° - 15 °)]
= 1/2 [cos120 ° + cos90 °] = 1/2 · (-1/2 + 0) = -1/4


Bônus: Resuma os N principais valores usando a função SEQUENCE

A função SEQUENCE é introduzida no Excel 2019 e 365. Ela retorna uma sequência de números. Podemos usá-lo para obter os N valores principais e, em seguida, somá-los.

Fórmula Genérica:

= SUMPRODUCT (LARGE (range, SEQUENCE (num_values ​​,, [start_num], [steps]))))

alcance: O intervalo é o intervalo do qual você deseja somar os N valores principais.

num_values: É o número dos principais valores que você deseja somar.

[núm_início]: É o número inicial da série. É opcional. Se você omitir isso, a série começará em 1.

[degraus]: É a diferença entre o próximo número do número atual. Por padrão, é 1.

Se usarmos esta fórmula genérica para obter o mesmo resultado que fizemos no exemplo anterior, a fórmula será:

= SOMA (GRANDE (C2: C13, SEQUÊNCIA (4,, 3)))

Ele retornará o valor 534040.

Como funciona?

É simples. A função SEQUENCE retorna uma série de 4 valores que começam com 3 com intervalo 1. Ela retorna a matriz <3456>. Agora a função LARGE retorna os maiores valores dos números correspondentes. Finalmente, a função SUM soma esses valores e obtemos nosso resultado como 534040.

Então, sim pessoal, é assim que vocês podem resumir os 3, 5, 10, principais. Valores de N no Excel. Tentei ser explicativo. Espero que ajude você. Se você tiver alguma dúvida sobre este tópico ou qualquer outro tópico relacionado ao Excel VBA, pergunte na seção de comentários abaixo. Eu respondo às perguntas com freqüência.

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SUMIFS do Excel com múltiplos critérios OR

Se desejar somar valores condicionalmente no Excel não simplesmente com várias condições OR, mas com vários conjuntos de condições, você terá que usar SOMASE em vez de SOMASE. As fórmulas serão muito semelhantes ao que acabamos de discutir.

Como de costume, um exemplo pode ajudar a ilustrar melhor o ponto. Em nossa tabela de fornecedores de frutas, vamos adicionar a Data de entrega (coluna E) e encontrar a quantidade total entregue por Mike, John e Pete em outubro.

Exemplo 1. SUMIFS + SUMIFS

A fórmula produzida por esta abordagem inclui muita repetição e parece complicada, mas é fácil de entender e, o mais importante, funciona:)

= SUMIFS (D2: D9, C2: C9, "Mike", E2: E9, "& gt = 10/1/2014", E2: E9, "& lt = 31/10/2014") +
SUMIFS (D2: D9, C2: C9, "John", E2: E9, "& gt = 10/1/2014", E2: E9, "& lt = 31/10/2014") +
SUMIFS (D2: D9, C2: C9, "Pete", E2: E9, "& gt = 10/1/2014", E2: E9, "& lt = 31/10/2014")

Como você pode ver, você escreve uma função SOMASE separada para cada um dos fornecedores e inclui duas condições - igual ou superior a Out-1 ("& gt = 10/1/2014") e inferior ou igual a 31 de outubro (" & lt = 31/10/2014 ") e soma os resultados.

Exemplo 2. SUM & amp SUMIFS com um argumento de matriz

Tentei explicar a essência dessa abordagem no exemplo SOMASE, então agora podemos simplesmente copiar essa fórmula, alterar a ordem dos argumentos (como você deve se lembrar, é diferente em SOMASE e SOMASE) e adicionar critérios adicionais. A fórmula resultante é mais compacta do que SUMIFS + SUMIFS:

O resultado retornado por esta fórmula é exatamente o mesmo que você vê na imagem acima.

Exemplo 3. SUMPRODUCT & amp SUMIFS

Como você deve se lembrar, a abordagem SUMPRODUCT difere das duas anteriores na maneira como você insere cada um dos critérios em uma célula separada, em vez de especificá-los diretamente na fórmula. No caso de vários conjuntos de critérios, a função SUMPRODUCT não será suficiente e você terá que usar ISNUMBER e MATCH também.

Portanto, supondo que os nomes dos suprimentos estejam nas células H1: H3, a data de início na célula H4 e a data de término na célula H5, nossa fórmula SUMPRODUCT assume a seguinte forma:

= SUMPRODUCT (- (E2: E9 & gt = H4), - (E2: E9 & lt = H5), - (ISNUMBER (CORRESPONDÊNCIA (C2: C9, H1: H3,0))), D2: D9)

Muitas pessoas se perguntam por que usar traço duplo (-) nas fórmulas SUMPRODUCT. A questão é que o Excel SUMPRODUCT ignora tudo, exceto os valores numéricos, enquanto os operadores de comparação em nossa fórmula retornam valores booleanos (TRUE / FALSE), que não são numéricos. Para converter esses valores booleanos em 1s e 0s, você usa o sinal de menos duplo, que é tecnicamente chamado de operador unário duplo. O primeiro unário coage TRUE / FALSE para -1/0, respectivamente. O segundo unário nega os valores, ou seja, inverte o sinal, transformando-os em +1 e 0, que a função SUMPRODUCT pode compreender.

Espero que a explicação acima faça sentido. E mesmo que isso não aconteça, lembre-se desta regra - use o operador duplo unário (-) quando estiver usando operadores de comparação em suas fórmulas SUMPRODUCT.


Soma do produto (SOP) e # 038 Produto da soma (POS)

Soma do produto (SOP)

Soma do Produto é a forma abreviada de SOP. A soma da forma do produto é uma forma de expressão na álgebra booleana em que diferentes termos de produto de entradas são somados. Este produto não é uma multiplicação aritmética, mas é um AND lógico booleano e a soma é um OR lógico booleano.

Para entender melhor sobre o SOP, precisamos saber sobre o prazo mínimo.

Prazo mínimo

Minterm significa o termo que é verdadeiro para um número mínimo de combinação de entradas. Isso é verdade para apenas uma combinação de entradas.

Visto que a porta AND também dá True somente quando todas as suas entradas são verdadeiras, podemos dizer que os termos mínimos são AND de combinações de entrada como na tabela abaixo.

3 entradas possuem 8 combinações diferentes. Cada combinação tem um mínimo de termos denotado por m minúsculo e seu número de combinação decimal escrito em subscrito. Cada um desses mintermos será verdadeiro apenas para a combinação de entrada específica.

Tipos de formulários de soma de produto (SOP)

Existem algumas formas diferentes de Soma do Produto.

Formulário SOP canônico

Esta é a forma padrão de Soma do Produto. É formado por O Ring os mintermos da função para a qual a saída é verdadeira. Isso também é conhecido como soma de termos mínimos ou forma normal disjuntiva canônica (CDNF). É apenas um nome chique. “Canônico” significa “padronizado” e “disjuntivo” significa “União OU lógica”.

A expressão canônica de SOP é representada por um sinal de soma e mintermos entre colchetes para os quais a saída é verdadeira.

Por exemplo, uma tabela verdade de funções é fornecida abaixo.

Para esta função, a expressão SOP canônica é

O que significa que a função é verdadeira para os termos mínimos .

Expandindo o somatório, obtemos.

Agora, colocando termos mínimos na expressão

F = A̅B̅C + A̅BC̅ + A̅BC + AB̅C

A forma canônica contém todas as entradas complementadas ou não complementadas em seus termos de produto.

Formulário SOP Não Canônico

Como o nome sugere, este formulário é a forma não padronizada de expressões SOP. Os termos do produto não são os termos mínimos, mas são simplificados. Vamos pegar a função acima na forma canônica como exemplo.

F = A̅B̅C + A̅BC̅ + A̅BC + AB̅C

F = A̅B̅C + A̅B (C̅ + C) + AB̅C

F = A̅B̅C + A̅B (1) + AB̅C

F = A̅B̅C + A̅B + AB̅C

Esta expressão ainda está na forma de Soma do Produto, mas é não canônica ou não padronizada.

Formulário SOP mínimo

Esta forma é a expressão SOP mais simplificada de uma função. É também uma forma não canônica. A forma SOP mínima pode ser feita usando teoremas algébricos booleanos, mas é facilmente feita usando o mapa de Karnaugh (K-map).

A forma SOP mínima é preferida porque usa o número mínimo de portas e linhas de entrada. é comercialmente benéfico devido ao seu tamanho compacto, velocidade rápida e baixo custo de fabricação.

Vamos dar um exemplo da função fornecida acima na forma canônica.

De acordo com o K-map, a expressão de saída será

F = B̅C + A̅B

Esta é a expressão mais simplificada e otimizada para a referida função. Esta expressão requer apenas duas portas AND de 2 entradas e uma porta OR de 2 entradas. No entanto, a forma canônica precisa de quatro portas AND de 3 entradas e uma porta OR de 4 entradas, o que é relativamente mais caro do que a implementação de forma mínima.

Projeto Esquemático da Soma do Produto (SOP)

Expressão SOP implementa 2 níveis de design AND-OR em que o o portão de nível é E o portão seguindo o porta de nível que é porta OR. O projeto esquemático da expressão SOP precisa de uma matriz de grupo de portas AND e uma porta OR.

Cada expressão SOP tem um pouco o mesmo design, ou seja, todas as entradas passam pela porta AND e, em seguida, a saída dessas portas AND flui por uma porta OR, conforme mostrado na figura abaixo.

O número de entradas e o número de portas AND dependem da expressão que se está implementando.

Um exemplo de designs de expressão SOP canônica e mínima para uma função é fornecido abaixo.

Conversão de SOP mínimo para formulário SOP canônico

A conversão da forma mínima ou qualquer tipo de forma não canônica para a forma canônica é muito simples.

Como sabemos, a forma canônica tem termos mínimos e os termos mínimos amp consiste em todas as entradas complementadas ou não complementadas. Então, vamos multiplicar cada termo do SOP mínimo com a soma da forma complementada e não complementada da entrada ausente. Um exemplo de conversão para a função acima na forma SOP mínima é fornecido abaixo.

F = A̅B + B̅C

O termo A̅B está faltando a entrada C. Então, vamos multiplicar A̅B com (C + C̅) Porque (C + C̅ = 1). O termo B̅C falta entrada UMA. então será multiplicado com (A + A̅)

F = A̅B (C + C̅) + B̅C (A + A̅)

F = A̅BC + A̅BC̅ + AB̅C + A̅B̅C

Now, this expression is in canonical form.

Conversion from Canonical SOP to Canonical POS

Standard SOP expression can be converted into standard POS (product of sum) expression. For example, the function given above is in canonical SOP form

F = A̅B̅C + A̅BC̅ + A̅BC + AB̅C

The remaining terms of this function are maxterms for which output is false. These max terms are M0,M4,M6,M7. These Max terms will be used in POS expression as the product of these max terms. The Symbol of Product is ∏.

F = (A+B+C)(A̅+B+C)(A̅+B̅+C)(A̅+B̅+C̅)

The Max terms are the complement of minterms. Which is why M0=(A+B+C).

Conversion from Canonical SOP to Minimal SOP

Canonical SOP can be converted to minimal SOP. It can be converted using Karnaugh map or Boolean algebraic theorems. The K-map method is very easy and its example has been done above in the minimal SOP form.

Product of Sum

Product of Sum abbreviated for POS.

The product of Sum form is a form in which products of different sum terms of inputs are taken. These are not arithmetic product and sum but they are logical Boolean AND and OR respectively.

To better understand about Product of Sum, we need to know about Max term.

Max Term

Maxterm means the term or expression that is true for a maximum number of input combinations or that is false for only one combination of inputs.

Since OR gate also gives false for only one input combination. So Maxterm is OR of either complemented or non-complemented inputs.

Max terms for 3 input variables are given below.

3 inputs have 8 different combinations so it will have 8 maxterms. Maxterms are denoted by capital M and decimal combination number In the subscript as shown in the table given above.

In maxterm, each input is complemented because Maxterm gives ‘0’ only when the mentioned combination is applied and Maxterm is complement of minterm.

M3 = A + B̅ +C̅ DE Morgan’s law

Which is why for A=0 Max term consist A & for A=1 Max term consist A̅.

Types of Product Of Sum Forms

There are different types of Product of Sum forms.

Canonical POS Form

It is also known as Product of Max term or Canonical conjunctive normal form (CCNF). Canonical means standard and conjunctive means intersection.

In this form, Maxterms are AND together for which output is false.

Canonical POS expression is represented by ∏ and Maxterms for which output is false in brackets as shown in the example given below.

F = (A+B+C)(A̅+B+C)(A̅+B̅+C)(A̅+B̅+C̅)

The canonical form contains all inputs either complemented or non-complemented in its each Sum term.

Non – Canonical Form

The product of sum expression that is not in standard form is called non-canonical form.

Let’s take the above-given function as an example.

F = (A+B+C)(A̅+B+C)(A̅+B̅+C)(A̅+B̅+C̅)

F = (B+C) (A̅+B̅+C)(A̅+B̅+C̅)

Same but inverted terms eliminates from two Max terms and form a single term to prove it here is an example.

= AA̅+AB+AC+A̅B+BB+BC+A̅C+BC+CC

= 0+AB+AC+A̅B+A̅C+B+BC+C

= A(B+C)+A̅(B+C)+B(1+C)+C

The expression achieved is still in Product of Sum form but it is non-canonical form.

Minimal POS Form

This is the most simplified and optimized form of a POS expression which is non-canonical. Minimal Product of Sum form can be achieved using Boolean algebraic theorems like in the non-canonical example given above. Another method of achieving minimal POS form is by using Karnaugh map which is comparatively easier than using Boolean algebraic theorems.

Minimal POS form uses less number of inputs and logic gates during its implementation, that’s why they are being preferred over canonical form for their compact,fast and low-cost implementation.

Let’s take the above-given function as example

Minimal expression using K-map

The achieved expression is the minimal product of sum form. It is still Product of Sum expression But it needs only 2 inputs two OR gates and a single 2 input AND gate. However, the canonical form needs 4 OR gates of 3 inputs and 1 AND gate of 4 inputs.

Schematic Design of Product of Sum (POS)

The product of Sum expression has a specific schematic design of OR-AND. In OR-AND the inputs go through an array of OR gates which is the first level of gates, the output of the first level OR gates goes through the second level of the gate,which is an AND gate.

The number of inputs and number of gates used in this design depends upon the expression that is to be implemented.

The canonical form consists of the max number of possible inputs and gates,however, the minimal form consists of the lowest possible number of inputs and gates. The schematic design of canonical and minimal POS form is given below.

Conversion from Minimal POS to Canonical form POS

As we know the canonical form of POS has max terms and max terms contains every input either complemented or non-complemented. So we will add every sum term with the product of complemented and non-complemented missing input. Example of its conversion is given below.

(A̅+B̅) term is missing C input so we will add (CC̅) with it. (B+C) term is missing A input so we will add (AA̅) with it.

F = (A̅+B̅+CC̅) (B+C+AA̅)

F = (A̅+B̅+C)(A̅+B̅+C̅)(A+B+C)(A̅+B+C)

This expression is now in canonical form.

Conversion From Canonical POS to SOP

The product of Sum expression can be converted into Sum of Product form only if the expression is in canonical form. Canonical POS and canonical SOP are inter-convertible i.e. they can be converted into one another. Example of POS to SOP conversion is given below.

F = (A+B+C)(A̅+B+C)(A̅+B̅+C)(A̅+B̅+C̅)

In canonical form each sum term is a max term so it can also be written as:

The remaining combinations of inputs are minterms of the function for which its output is true. To convert it into SOP expression first we will change the symbol to summation (∑) and use the remaining minterm.

Now we will expand the summation sign to form canonical SOP expression.

F = A̅B̅C + A̅BC̅ + A̅BC + AB̅C

Min terms are complement of Max terms for the same combination of inputs.

Canonical to Minimal POS

A canonical Product of Sum expression can be converted into Minimal Product of sum form by using Karnaugh map (K-map). Another method for converting canonical into minimal is by using Boolean algebraic theorems.

The use of K-map is very easy that is why K-map is preferred. For minimal POS expression, 0’s in K-map are combined into groups and the expression we get is complemented since the groups were made of ‘0’s. Its example has been done above.


How to use SUM & IF function instead for SUMPRODUCT or SUMIFS function in Excel

In this article, we will learn How to use IF function instead of SUMPRODUCT and SUMIFS function in Excel.

In simple words, when working with a long scattered dataset, sometimes we need to find the sum of numbers with some criteria over it. For example, finding the sum of salaries in a particular department or having multiple criterias over date, names, department or can even numbers data like salaries below value or quantity above value. For this you usually use the SUMPRODUCT or SUMIFS function. But you wouldn't believe, you perform the same function with Excel basic function IF function.

How to solve the problem?

You must be thinking how is this possible, to perform logical operations over table arrays using IF function. IF function in excel is very useful, It will get you through some difficult tasks in Excel or any other coding languages. IF function tests conditions on array corresponding to required values and returns the result as array corresponding to True conditions as 1 and False as 0.

For this problem, we will be using the following functions :

We will be requiring these above functions and some basic sense of data operation. logical conditions on arrays can be applied using logical operators. These logic operators work on text and numbers both. Below here is the generic formula. curly braces is the magic tool to perform array formulas with IF function.

Note: For curly braces ( ) Use Ctrl + Shift + Enter when working with arrays or ranges in Excel. This will generate Curly Braces on the formula by default. DO NOT try to hard code curly braces characters.

Logical 1 : tests condition 1 on array 1

Logical 2 : tests condition 2 on array 2 and so on

sum_array : array, operation sum is performed

All of these might be confusing to understand. So, let's test this formula via running it on the example shown below. Here we have data of delivered products to different cities along with corresponding category fields and quantities. Here we have the data and we need to find the quantity of cookies sent to Boston where the quantity be greater than 40.

Data table and criteria table are shown in the above image. For understanding purpose we used named ranges for the used arrays. Named ranges are listed below.

City defined for array A2:A17.

Category defined for array B2:A17.

Quantity defined for array C2:C17.

Now you are ready to get the desired result using the below formula.

  1. City ="Boston" : checks the values in city range to match with "Boston".
  2. Category="Cookies" : checks the values in Category range to match with "Cookies".
  3. Quantity > 40 : checks the values in Quantity range to ma
  4. Quantity be array where sum is required.
  5. IF function checks all criteria and asterisk char (*) multiples all the array results.
  1. Now IF function only returns the quantities corresponding to the 1s and rest are ignored.
  2. SUM function returns the SUM.

Now the quantity corresponding to 1’s only adds up to get the result.


As you can see, quantity 43 is returned but there are three cookie orders delivered to "Boston" having quantity 38, 36 and 43. We needed a sum of quantity where quantity be above 40. So the formula returns 43 only. Now use other criteria to get the SUM Quantity for City : "Los Angeles" & Category : "Bars" & Quantity be less than 50.

As you can see, the formula returns the values 86 as result. Which is the sum of 2 orders satisfying the conditions having quantity 44 & 42. This article, illustrates how to replace a nested IF formula with a single IF in an array formula. This can be used to reduce complexity in complex formulas. However, This particular problem could be easily solved with SUMIFS or SUMPRODUCT function.

Use of SUMPRODUCT function:

SUMPRODUCT function returns the sum of corresponding values in the array. So we will get the arrays to returns 1s a the True statement values and 0s to the False statement values. So last sum will be corresponding where all statements stands True.

= SUMPRODUCT ( -- (City = "Boston") , -- (Category = "Cookies") , -- (Quantity > 40) , Quantity )

-- : operation used to convert all TRUEs to 1s and False to 0.

SUMPRODUCT function rechecks the SUM of quantity returned by the SUM and IF function explained above.

Similarly for the second example the result stands the same.

As you can see SUMPRODUCT function can perform the same task.

Here are all the observational notes regarding using the formula.

  1. The sum_array in the formula only works with numbers.
  2. If the formula returns #VALUE error, check for the curly braces must be present in the formula as shown in the examples in the article.
  3. Negation (--) char changes values, TRUEs or 1s to FALSEs or 0s and FALSEs or 0s to TRUEs or 1s .
  4. Operations like equals to ( = ), less than equal to ( <= ), greater than ( & gt ) or not equals to ( <> ) can be performed within a formula applied, with numbers only.

Hope this article about How to use IF function instead of SUMPRODUCT and SUMIFS function in Excel is explanatory. Find more articles on Summing formulas here. If you liked our blogs, share it with your fristarts on Facebook . And also you can follow us on Twitter and Facebook . We would love to hear from you, do let us know how we can improve, complement or innovate our work and make it better for you. Write us at [email protected]

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