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3.5: Resolvendo Equações Trigonométricas


objetivos de aprendizado

  • Resolva equações trigonométricas lineares em seno e cosseno.
  • Resolva equações envolvendo uma única função trigonométrica.
  • Resolva equações trigonométricas usando uma calculadora.
  • Resolva equações trigonométricas de forma quadrática.
  • Resolva equações trigonométricas usando identidades fundamentais.
  • Resolva equações trigonométricas com vários ângulos.
  • Resolva problemas do triângulo retângulo.

Tales de Mileto (cerca de 625–547 aC) é conhecido como o fundador da geometria. A lenda é que ele calculou a altura da Grande Pirâmide de Gizé, no Egito, usando a teoria de triângulos semelhantes, que ele desenvolveu medindo a sombra de sua equipe. Baseada em proporções, essa teoria tem aplicações em várias áreas, incluindo geometria fractal, engenharia e arquitetura. Freqüentemente, o ângulo de elevação e o ângulo de depressão são encontrados usando triângulos semelhantes.

Nas seções anteriores deste capítulo, vimos as identidades trigonométricas. Nesta seção, começamos nosso estudo de equações trigonométricas para estudar cenários do mundo real, como encontrar as dimensões das pirâmides.

Resolvendo Equações Trigonométricas Lineares em Seno e Cosseno

Equações trigonométricas são, como o nome indica, equações que envolvem funções trigonométricas. Semelhante em muitos aspectos para resolver equações polinomiais ou equações racionais, apenas valores específicos da variável serão soluções, se é que existem soluções. Freqüentemente, resolveremos uma equação trigonométrica em um intervalo especificado. No entanto, com a mesma frequência, seremos solicitados a encontrar todas as soluções possíveis e, como as funções trigonométricas são periódicas, as soluções são repetidas dentro de cada período. Em outras palavras, as equações trigonométricas podem ter um número infinito de soluções. Além disso, como as equações racionais, o domínio da função deve ser considerado antes de assumirmos que qualquer solução é válida. O período de ambas as funções seno e cosseno é (2 pi ). Em outras palavras, a cada (2 pi ) unidades, o y-valores repetem. Se precisarmos encontrar todas as soluções possíveis, devemos adicionar (2 pi k ), onde (k ) é um inteiro, à solução inicial. Lembre-se da regra que fornece o formato para declarar todas as soluções possíveis para uma função em que o período é (2 pi ):

[ sin theta = sin ( theta pm 2k pi) ]

Existem regras semelhantes para indicar todas as soluções possíveis para as outras funções trigonométricas. Resolver equações trigonométricas requer as mesmas técnicas que resolver equações algébricas. Lemos a equação da esquerda para a direita, horizontalmente, como uma frase. Procuramos padrões conhecidos, fatoramos, encontramos denominadores comuns e substituímos certas expressões por uma variável para tornar a solução um processo mais direto. No entanto, com as equações trigonométricas, também temos a vantagem de usar as identidades que desenvolvemos nas seções anteriores.

Exemplo ( PageIndex {1A} ): Resolvendo uma equação trigonométrica linear que envolve a função cosseno

Encontre todas as soluções exatas possíveis para a equação ( cos theta = dfrac {1} {2} ).

Solução

Do círculo unitário, sabemos que

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {1} {2} [4pt] theta & = dfrac { pi} {3}, space dfrac {5 pi} {3} end {align *} ]

Estas são as soluções no intervalo ([0,2 pi] ). Todas as soluções possíveis são fornecidas por

[ theta = dfrac { pi} {3} pm 2k pi quad text {e} quad theta = dfrac {5 pi} {3} pm 2k pi nonumber ]

onde (k ) é um número inteiro.

Exemplo ( PageIndex {1B} ): Resolvendo uma equação linear envolvendo a função seno

Encontre todas as soluções exatas possíveis para a equação ( sin t = dfrac {1} {2} ).

Solução

Resolver todos os valores possíveis de (t ) significa que as soluções incluem ângulos além do período de (2 pi ). Na seção sobre Identidades de Soma e Diferença, podemos ver que as soluções são (t = dfrac { pi} {6} ) e (t = dfrac {5 pi} {6} ). Mas o problema é pedir todos os valores possíveis que resolvam a equação. Portanto, a resposta é

[t = dfrac { pi} {6} pm 2 pi k quad text {e} quad t = dfrac {5 pi} {6} pm 2 pi k não numérico ]

onde (k ) é um número inteiro.

Howto: dada uma equação trigonométrica, resolva usando álgebra

  1. Procure um padrão que sugira uma propriedade algébrica, como a diferença de quadrados ou uma oportunidade de fatoração.
  2. Substitua a expressão trigonométrica por uma única variável, como (x ) ou (u ).
  3. Resolva a equação da mesma forma que uma equação algébrica seria resolvida.
  4. Substitua a expressão trigonométrica de volta pela variável nas expressões resultantes.
  5. Resolva o ângulo.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Resolva a equação trigonométrica linear

Resolva a equação exatamente: (2 cos theta − 3 = −5 ), (0≤ theta <2 pi ).

Solução

Use técnicas algébricas para resolver a equação.

[ begin {align *} 2 cos theta-3 & = -5 2 cos theta & = -2 cos theta & = -1 theta & = pi end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Resolva exatamente a seguinte equação linear no intervalo ([0,2 pi) ): (2 sin x + 1 = 0 ).

Responder

(x = dfrac {7 pi} {6}, space dfrac {11 pi} {6} )

Resolvendo Equações Envolvendo uma Única Função Trigonométrica

Quando recebemos equações que envolvem apenas uma das seis funções trigonométricas, suas soluções envolvem o uso de técnicas algébricas e do círculo unitário (ver [link]). Precisamos fazer várias considerações quando a equação envolve funções trigonométricas diferentes de seno e cosseno. Problemas envolvendo os recíprocos das funções trigonométricas primárias precisam ser vistos de uma perspectiva algébrica. Em outras palavras, escreveremos a função recíproca e resolveremos os ângulos usando a função. Além disso, uma equação envolvendo a função tangente é ligeiramente diferente de uma que contém uma função seno ou cosseno. Primeiro, como sabemos, o período da tangente é ( pi ), não (2 pi ). Além disso, o domínio da tangente é composto por todos os números reais com exceção de múltiplos inteiros ímpares de ( dfrac { pi} {2} ), a menos, é claro, que um problema coloque suas próprias restrições no domínio.

Resolvendo um problema envolvendo uma única função trigonométrica

Resolva o problema exatamente: (2 { sin} ^ 2 theta − 1 = 0 ), (0≤ theta <2 pi ).

Solução

Como esse problema não é facilmente fatorado, vamos resolvê-lo usando a propriedade da raiz quadrada. Primeiro, usamos álgebra para isolar ( sin theta ). Então encontraremos os ângulos.

[ begin {align *}
2 { sin} ^ 2 theta-1 & = 0
2 { sin} ^ 2 theta & = 1
{ sin} ^ 2 theta & = dfrac {1} {2}
sqrt {{ sin} ^ 2 theta} & = pm sqrt { dfrac {1} {2}}
sin theta & = pm dfrac {1} { sqrt {2}}
& = pm dfrac { sqrt {2}} {2}
theta & = dfrac { pi} {4}, espaço dfrac {3 pi} {4}, espaço dfrac {5 pi} {4}, espaço dfrac {7 pi} {4 }
end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {3B} ): Resolvendo uma Equação Trigonométrica Envolvendo Cosecant

Resolva a seguinte equação exatamente: ( csc theta = −2 ), (0≤ theta <4 pi ).

Solução

Queremos todos os valores de ( theta ) para os quais ( csc theta = −2 ) no intervalo (0≤ theta <4 pi ).

[ begin {align *} csc theta & = -2 dfrac {1} { sin theta} & = -2 sin theta & = - dfrac {1} {2} theta & = dfrac {7 pi} {6}, espaço dfrac {11 pi} {6}, espaço dfrac {19 pi} {6}, espaço dfrac {23 pi} { 6} end {align *} ]

Análise

Como ( sin theta = - dfrac {1} {2} ), observe que todas as quatro soluções estão no terceiro e quarto quadrantes.

Exemplo ( PageIndex {3C} ): Resolvendo uma Equação Envolvendo a Tangente

Resolva a equação exatamente: ( tan left ( theta− dfrac { pi} {2} right) = 1 ), (0≤ theta <2 pi ).

Solução

Lembre-se de que a função tangente tem um período de ( pi ). No intervalo ([0, pi) ), e no ângulo de ( dfrac { pi} {4} ), a tangente tem um valor de (1 ). No entanto, o ângulo que queremos é ( left ( theta− dfrac { pi} {2} right) ). Assim, se ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ), então

[ begin {align *} theta- dfrac { pi} {2} & = dfrac { pi} {4} theta & = dfrac {3 pi} {4} pm k pi end {align *} ]

No intervalo ([0,2 pi) ), temos duas soluções:

( theta = dfrac {3 pi} {4} ) e ( theta = dfrac {3 pi} {4} + pi = dfrac {7 pi} {4} )

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre todas as soluções para ( tan x = sqrt {3} ).

Responder

( dfrac { pi} {3} pm pi k )

Exemplo ( PageIndex {4} ): Identifique todas as soluções para a equação envolvendo tangente

Identifique todas as soluções exatas para a equação (2 ( tan x + 3) = 5 + tan x ), (0≤x <2 pi ).

Solução

Podemos resolver essa equação usando apenas álgebra. Isole a expressão ( tan x ) no lado esquerdo do sinal de igual.

Existem dois ângulos no círculo unitário que têm um valor tangente de (- 1 ): ( theta = dfrac {3 pi} {4} ) e ( theta = dfrac {7 pi } {4} ).

Resolva equações trigonométricas usando uma calculadora

Nem todas as funções podem ser resolvidas exatamente usando apenas o círculo unitário. Quando tivermos de resolver uma equação envolvendo um ângulo diferente de um dos ângulos especiais, precisaremos usar uma calculadora. Certifique-se de que está definido para o modo adequado, graus ou radianos, dependendo dos critérios do problema fornecido.

Exemplo ( PageIndex {5A} ): Usando uma calculadora para resolver uma equação trigonométrica envolvendo seno

Use uma calculadora para resolver a equação ( sin theta = 0,8 ), onde ( theta ) está em radianos.

Solução

Certifique-se de que o modo esteja definido para radianos. Para encontrar ( theta ), use a função inversa do seno. Na maioria das calculadoras, você precisará empurrar o 2WL e, em seguida, o botão SIN para abrir a função ({ sin} ^ {- 1} ). O que é mostrado na tela é ({ sin} ^ {- 1} ). A calculadora está pronta para a entrada entre parênteses. Para este problema, inserimos ({ sin} ^ {- 1} (0,8) ) e pressionamos ENTER. Assim, para quatro casas decimais,

({ sin} ^ {- 1} (0,8) ≈0,9273 )

A solução é

( theta≈0,9273 pm 2 pi k )

A medição do ângulo em graus é

[ begin {align *} theta & approx 53,1 ^ { circ} theta & approx 180 ^ { circ} -53,1 ^ { circ} & approx 126,9 ^ { circ} end {alinhar*}]

Análise

Observe que uma calculadora retornará apenas um ângulo nos quadrantes I ou IV para a função seno, uma vez que esse é o intervalo do seno inverso. O outro ângulo é obtido usando ( pi− theta ).

Exemplo ( PageIndex {5B} ): Usando uma calculadora para resolver uma equação trigonométrica envolvendo secante

Use uma calculadora para resolver a equação ( sec θ = −4, ) dando sua resposta em radianos.

Solução

Podemos começar com alguma álgebra.

[ begin {align *} sec theta & = -4 dfrac {1} { cos theta} & = -4 cos theta & = - dfrac {1} {4} end {alinhar*}]

Verifique se o MODO está em radianos. Agora use a função cosseno inversa

[ begin {align *} { cos} ^ {- 1} left (- dfrac {1} {4} right) & approx 1.8235 theta & approx 1.8235 + 2 pi k end {alinhar*}]

Como ( dfrac { pi} {2} ≈1.57 ) e ( pi≈3.14 ), (1.8235 ) está entre esses dois números, portanto, ( theta≈1.8235 ) está no quadrante II . O cosseno também é negativo no quadrante III. Observe que a calculadora retornará apenas um ângulo nos quadrantes I ou II para a função cosseno, uma vez que esse é o intervalo do cosseno inverso. Veja a Figura ( PageIndex {2} ).

Portanto, também precisamos encontrar a medida do ângulo no quadrante III. No quadrante III, o ângulo de referência é ( theta '≈ pi − 1,8235≈1,3181 ). A outra solução no quadrante III é ( theta '≈ pi + 1,3181≈4,4597 ).

As soluções são ( theta≈1.8235 pm 2 pi k ) e ( theta≈4.4597 pm 2 pi k ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Resolva ( cos theta = −0,2 ).

Responder

( theta≈1.7722 pm 2 pi k ) e ( theta≈4.5110 pm 2 pi k )

Resolvendo Equações Trigonométricas na Forma Quadrática

Resolvendo um Equação quadrática pode ser mais complicado, mas, mais uma vez, podemos usar a álgebra como faríamos com qualquer equação quadrática. Observe o padrão da equação. Existe mais de uma função trigonométrica na equação ou apenas uma? Qual função trigonométrica é elevada ao quadrado? Se houver apenas uma função representada e um dos termos for elevado ao quadrado, pense na forma padrão de um quadrático. Substitua a função trigonométrica por uma variável como (x ) ou (u ). Se a substituição faz a equação parecer uma equação quadrática, então podemos usar os mesmos métodos para resolver quadráticas para resolver as equações trigonométricas.

Exemplo ( PageIndex {6A} ): Resolvendo uma equação trigonométrica na forma quadrática

Resolva a equação exatamente: ({ cos} ^ 2 theta + 3 cos theta − 1 = 0 ), (0≤ theta <2 pi ).

Solução

Começamos usando a substituição e substituindo ( cos theta ) por (x ). Não é necessário usar substituição, mas pode tornar o problema mais fácil de ser resolvido visualmente. Seja ( cos theta = x ). Nós temos

(x ^ 2 + 3x − 1 = 0 )

A equação não pode ser fatorada, então usaremos o Fórmula quadrática: (x = dfrac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ).

[ begin {align *} x & = dfrac {-3 pm sqrt {{(-3)} ^ 2-4 (1) (-1)}} {2} & = dfrac {- 3 pm sqrt {13}} {2} end {align *} ]

Substitua (x ) por ( cos theta ) e resolva.

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {-3 pm sqrt {13}} {2} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {- 3+ sqrt {13}} {2} right) end {align *} ]

Observe que apenas o sinal + é usado. Isso ocorre porque obtemos um erro quando resolvemos ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {−3− sqrt {13}} {2} right) ) em uma calculadora , uma vez que o domínio da função cosseno inversa é ([−1,1] ). No entanto, existe uma segunda solução:

[ begin {align *} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) & approx 1,26 end { alinhar*}]

Este lado terminal do ângulo encontra-se no quadrante I. Uma vez que o cosseno também é positivo no quadrante IV, a segunda solução é

[ begin {align *} theta & = 2 pi - { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) & approx 5.02 end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {6B} ): Resolvendo uma equação trigonométrica na forma quadrática por fatoração

Resolva a equação exatamente: (2 { sin} ^ 2 theta − 5 sin theta + 3 = 0 ), (0≤ theta≤2 pi ).

Solução

Usando o agrupamento, essa quadrática pode ser fatorada. Faça a substituição real, ( sin theta = u ), ou imagine-a, enquanto fatoramos:

[ begin {align *} 2 { sin} ^ 2 theta-5 sin theta + 3 & = 0 (2 sin theta-3) ( sin theta-1) & = 0 qquad text {Agora defina cada fator igual a zero.} 2 sin theta-3 & = 0 2 sin theta & = 3 sin theta & = dfrac {3} {2} sin theta-1 & = 0 sin theta & = 1 end {alinhar *} ]

Em seguida, resolva para ( theta ): ( sin theta ≠ dfrac {3} {2} ), pois o intervalo da função seno é ([−1,1] ). Porém, ( sin theta = 1 ), dando a solução ( theta = dfrac { pi} {2} ).

Análise

Certifique-se de verificar todas as soluções no domínio fornecido, pois alguns fatores não têm solução.

Exercício ( PageIndex {6} )

Resolva ({ sin} ^ 2 theta = 2 cos theta + 2 ), (0≤ theta≤2 pi ). [Dica: faça uma substituição para expressar a equação apenas em termos de cosseno.]

Responder

( cos theta = −1 ), ( theta = pi )

Exemplo ( PageIndex {7A} ): Resolvendo uma equação trigonométrica usando álgebra

Resolva exatamente: (2 { sin} ^ 2 theta + sin theta = 0; espaço 0≤ theta <2 pi )

Solução

Este problema deve parecer familiar, pois é semelhante a um quadrático. Seja ( sin theta = x ). A equação se torna (2x ^ 2 + x = 0 ). Começamos fatorando:

[ begin {align *}
2x ^ 2 + x & = 0
x (2x + 1) & = 0 qquad text {Defina cada fator igual a zero.}
x & = 0
2x + 1 & = 0
x & = - dfrac {1} {2} end {align *} ]
Em seguida, substitua de volta na equação a expressão original ( sin theta ) por (x ). Desse modo,
[ begin {align *} sin theta & = 0
theta & = 0, pi
sin theta & = - dfrac {1} {2}
theta & = dfrac {7 pi} {6}, dfrac {11 pi} {6}
end {align *} ]

As soluções dentro do domínio (0≤ theta <2 pi ) são ( theta = 0, pi, dfrac {7 pi} {6}, dfrac {11 pi} {6} )

Se preferirmos não substituir, podemos resolver a equação seguindo o mesmo padrão de fatoração e definindo cada fator igual a zero.

[ begin {align *} { sin} ^ 2 theta + sin theta & = 0 sin theta (2 sin theta + 1) & = 0 sin theta & = 0 theta & = 0, pi 2 sin theta + 1 & = 0 2 sin theta & = -1 sin theta & = - dfrac {1} {2} theta & = dfrac {7 pi} {6}, dfrac {11 pi} {6} end {align *} ]

Análise

Podemos ver as soluções no gráfico da Figura ( PageIndex {3} ). No intervalo (0≤ theta <2 pi ), o gráfico cruza o (x )-eixo quatro vezes, nas soluções anotadas. Observe que as equações trigonométricas que estão na forma quadrática podem produzir até quatro soluções em vez das duas esperadas encontradas com as equações quadráticas. Neste exemplo, cada solução (ângulo) correspondente a um valor de seno positivo produzirá dois ângulos que resultariam nesse valor.

Podemos verificar as soluções no círculo unitário por meio do resultado na seção sobre Identidades de Soma e Diferença também.

Exemplo ( PageIndex {7B} ): Resolvendo uma equação trigonométrica quadrática no formulário

Resolva a equação quadrática na forma exata: (2 { sin} ^ 2 theta − 3 sin theta + 1 = 0 ), (0≤ theta <2 pi ).

Solução

Podemos fatorar usando agrupamento. Os valores da solução de ( theta ) podem ser encontrados no círculo unitário.

[ begin {align *} (2 sin theta-1) ( sin theta-1) & = 0 2 sin theta-1 & = 0 sin theta & = dfrac {1 } {2} theta & = dfrac { pi} {6}, dfrac {5 pi} {6} sin theta & = 1 theta & = dfrac { pi} {2 } end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {7} )

Resolva a equação quadrática (2 { cos} ^ 2 theta + cos theta = 0 ).

Responder

( dfrac { pi} {2}, space dfrac {2 pi} {3}, space dfrac {4 pi} {3}, space dfrac {3 pi} {2} )

Resolvendo equações trigonométricas usando identidades fundamentais

Embora a álgebra possa ser usada para resolver várias equações trigonométricas, também podemos usar as identidades fundamentais porque elas tornam a solução de equações mais simples. Lembre-se de que as técnicas que usamos para resolver não são as mesmas que usamos para verificar identidades. As regras básicas da álgebra se aplicam aqui, ao contrário de reescrever um lado da identidade para combinar com o outro lado. No próximo exemplo, usamos duas identidades para simplificar a equação.

Exemplo ( PageIndex {8A} ): Use identidades para resolver uma equação

Use identidades para resolver exatamente a equação trigonométrica no intervalo (0≤x <2 pi ).

( cos x cos (2x) + sin x sin (2x) = dfrac { sqrt {3}} {2} )

Solução

Observe que o lado esquerdo da equação é a fórmula da diferença para o cosseno.

[ begin {align *} cos x cos (2x) + sin x sin (2x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} cos (x-2x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} qquad text {Fórmula de diferença para cosseno} cos (-x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} qquad text {Use a identidade do ângulo negativo.} cos x & = dfrac { sqrt {3}} {2} end {align *} ]

Do círculo unitário na seção sobre identidades de soma e diferença, vemos que ( cos x = dfrac { sqrt {3}} {2} ) quando (x = dfrac { pi} {6} , space dfrac {11 pi} {6} ).

Exemplo ( PageIndex {8B} ): Resolvendo a equação usando uma fórmula de ângulo duplo

Resolva a equação exatamente usando uma fórmula de ângulo duplo: ( cos (2 theta) = cos theta ).

Solução

Temos três opções de expressões para substituir o ângulo duplo do cosseno. Como é mais simples resolver para uma função trigonométrica de cada vez, escolheremos a identidade de ângulo duplo envolvendo apenas o cosseno:

[ begin {align *} cos (2 theta) & = cos theta 2 { cos} ^ 2 theta-1 & = cos theta 2 { cos} ^ 2 theta - cos theta-1 & = 0 (2 cos theta + 1) ( cos theta-1) & = 0 2 cos theta + 1 & = 0 cos theta & = - dfrac {1} {2} cos theta-1 & = 0 cos theta & = 1 end {align *} ]

Portanto, se ( cos theta = - dfrac {1} {2} ), então ( theta = dfrac {2 pi} {3} pm 2 pi k ) e ( theta = dfrac {4 pi} {3} pm 2 pi k ); se ( cos theta = 1 ), então ( theta = 0 pm 2 pi k ).

Exemplo ( PageIndex {8C} ): Resolvendo uma equação usando uma identidade

Resolva a equação exatamente usando uma identidade: (3 cos theta + 3 = 2 { sin} ^ 2 theta ), (0≤ theta <2 pi ).

Solução

Se reescrevermos o lado direito, podemos escrever a equação em termos de cosseno:

[ begin {align *}
3 cos theta + 3 & = 2 { sin} ^ 2 theta
3 cos theta + 3 & = 2 (1 - { cos} ^ 2 theta)
3 cos theta + 3 & = 2-2 { cos} ^ 2 theta
2 { cos} ^ 2 theta + 3 cos theta + 1 & = 0
(2 cos theta + 1) ( cos theta + 1) & = 0
2 cos theta + 1 & = 0
cos theta & = - dfrac {1} {2}
theta & = dfrac {2 pi} {3}, espaço dfrac {4 pi} {3}
cos theta + 1 & = 0
cos theta & = -1
theta & = pi
end {align *} ]

Nossas soluções são ( theta = dfrac {2 pi} {3}, space dfrac {4 pi} {3}, space pi ).

Resolvendo Equações Trigonométricas com Vários Ângulos

Às vezes, não é possível resolver uma equação trigonométrica com identidades que têm um ângulo múltiplo, como ( sin (2x) ) ou ( cos (3x) ). Quando confrontado com essas equações, lembre-se de que (y = sin (2x) ) é uma compressão horizontal por um fator de 2 da função (y = sin x ). Em um intervalo de (2 pi ), podemos representar graficamente dois períodos de (y = sin (2x) ), em oposição a um ciclo de (y = sin x ). Esta compressão do gráfico nos leva a acreditar que pode haver o dobro x-interceptações ou soluções para ( sin (2x) = 0 ) em comparação com ( sin x = 0 ). Essas informações nos ajudarão a resolver a equação.

Exemplo ( PageIndex {9} ): Resolvendo uma equação trigonométrica de múltiplos ângulos

Resolva exatamente: ( cos (2x) = dfrac {1} {2} ) em ([0,2 pi) ).

Solução

Podemos ver que esta equação é a equação padrão com um múltiplo de um ângulo. Se ( cos ( alpha) = dfrac {1} {2} ), sabemos que ( alpha ) está nos quadrantes I e IV. Enquanto ( theta = { cos} ^ {- 1} dfrac {1} {2} ) produzirá apenas soluções nos quadrantes I e II, reconhecemos que as soluções para a equação ( cos theta = dfrac {1} {2} ) estará nos quadrantes I e IV.

Portanto, os ângulos possíveis são ( theta = dfrac { pi} {3} ) e ( theta = dfrac {5 pi} {3} ). Portanto, (2x = dfrac { pi} {3} ) ou (2x = dfrac {5 pi} {3} ), o que significa que (x = dfrac { pi} {6 } ) ou (x = dfrac {5 pi} {6} ). Isso faz sentido? Sim, porque ( cos left (2 left ( dfrac { pi} {6} right) right) = cos left ( dfrac { pi} {3} right) = dfrac {1} {2} ).

Existem outras respostas possíveis? Voltemos ao nosso primeiro passo.

No quadrante I, (2x = dfrac { pi} {3} ), então (x = dfrac { pi} {6} ) conforme observado. Vamos girar em torno do círculo novamente:

[ begin {align *}
2x & = dfrac { pi} {3} +2 pi
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {6 pi} {3}
& = dfrac {7 pi} {3}
x & = dfrac {7 pi} {6}
text {Mais uma rotação produz}
2x & = dfrac { pi} {3} +4 pi
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {12 pi} {3}
& = dfrac {13 pi} {3}
end {align *} ]

(x = dfrac {13 pi} {6}> 2 pi ), então este valor para (x ) é maior do que (2 pi ), então não é uma solução em ( [0,2 pi) ).

No quadrante IV, (2x = dfrac {5 pi} {3} ), então (x = dfrac {5 pi} {6} ) conforme observado. Vamos girar em torno do círculo novamente:

[ begin {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +2 pi & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {6 pi} {3} & = dfrac {11 pi} {3} end {align *} ]

então (x = dfrac {11 pi} {6} ).

Mais uma rotação produz

[ begin {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +4 pi & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {12 pi} {3} & = dfrac {17 pi} {3} end {align *} ]

(x = dfrac {17 pi} {6}> 2 pi ), então este valor para (x ) é maior do que (2 pi ), então não é uma solução em ( [0,2 pi) ).

Nossas soluções são (x = dfrac { pi} {6}, space dfrac {5 pi} {6}, space dfrac {7 pi} {6} ), e ( dfrac {11 pi} {6} ). Observe que sempre que resolvermos um problema na forma de (sin (nx) = c ), devemos dar a volta no círculo unitário (n ) vezes.

Resolvendo Problemas do Triângulo Direito

Agora podemos usar todos os métodos que aprendemos para resolver problemas que envolvem a aplicação de propriedades de triângulos retângulos e o teorema de Pitágoras. Começamos com o conhecido Teorema de Pitágoras,

[a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 label {Pitagórico} ]

e modelar uma equação para se ajustar a uma situação.

Exemplo ( PageIndex {10A} ): Usando o Teorema de Pitágoras para Modelar uma Equação

Um dos cabos que prendem o centro da roda gigante London Eye Ferris ao solo deve ser substituído. O centro da roda gigante está a (69,5 ) metros acima do solo, e a segunda âncora no solo está a (23 ) metros da base da roda gigante. Aproximadamente, qual é o comprimento do cabo e qual é o ângulo de elevação (do solo até o centro da roda gigante)? Veja a Figura ( PageIndex {4} ).

Solução

Use o Teorema de Pitágoras (Equação ref {Pythagorean}) e as propriedades dos triângulos retângulos para modelar uma equação que se encaixe no problema. Usando as informações fornecidas, podemos desenhar um triângulo retângulo. Podemos encontrar o comprimento do cabo com o Teorema de Pitágoras.

[ begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = c ^ 2 {(23)} ^ 2 + {(69,5)} ^ 2 & approx 5359 sqrt {5359} & approx 73,2 space m end {align *} ]

O ângulo de elevação é ( theta ), formado pela segunda âncora no solo e o cabo alcançando o centro da roda. Podemos usar a função tangente para encontrar sua medida. Arredonde para duas casas decimais.

[ begin {align *} tan theta & = 69.523 { tan} ^ {- 1} (69.523) & approx 1.2522 & approx 71.69 ^ { circ} end {align *} ]

O ângulo de elevação é de aproximadamente (71,7 ° ) e o comprimento do cabo é de (73,2 ) metros.

Exemplo ( PageIndex {10B} ): Usando o Teorema de Pitágoras para Modelar um Problema Abstrato

Os regulamentos de segurança da OSHA exigem que a base de uma escada seja colocada a (1 ) pé da parede para cada (4 ) pés de comprimento da escada. Encontre o ângulo que uma escada de qualquer comprimento forma com o solo e a altura em que a escada toca a parede.

Solução

Para qualquer comprimento de escada, a base precisa estar a uma distância da parede igual a um quarto do comprimento da escada. De forma equivalente, se a base da escada for “uma" pés da parede, o comprimento da escada será de (4a ) pés. Veja a Figura ( PageIndex {5} ).

O lado adjacente a ( theta ) é (a ) e a hipotenusa é (4a ). Desse modo,

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {a} {4a} & = dfrac {1} {4} { cos} ^ {- 1} left ( dfrac { 1} {4} right) & approx 75.5 ^ { circ} end {align *} ]

A elevação da escada forma um ângulo de (75,5 ° ) com o solo. A altura em que a escada toca a parede pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras:

[ begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = {(4a)} ^ 2 b ^ 2 & = {(4a)} ^ 2-a ^ 2 b ^ 2 & = 16a ^ 2- a ^ 2 b ^ 2 & = 15a ^ 2 b & = a sqrt {15} end {alinhar *} ]

Assim, a escada toca a parede a (a sqrt {15} ) pés do solo.

meios de comunicação

Acesse esses recursos online para obter instruções adicionais e prática com a resolução de equações trigonométricas.

  • Resolvendo Equações Trigonométricas I
  • Resolvendo Equações Trigonométricas II
  • Resolvendo Equações Trigonométricas III
  • Resolvendo Equações Trigonométricas IV
  • Resolvendo Equações Trigonométricas V
  • Resolvendo Equações Trigonométricas VI

Conceitos chave

  • Ao resolver equações trigonométricas lineares, podemos usar técnicas algébricas da mesma forma que fazemos ao resolver equações algébricas. Procure padrões, como a diferença de quadrados, forma quadrática ou uma expressão que se presta bem à substituição. Veja Exemplo ( PageIndex {1} ), Exemplo ( PageIndex {2} ) e Exemplo ( PageIndex {3} ).
  • Equações envolvendo uma única função trigonométrica podem ser resolvidas ou verificadas usando o círculo unitário. Veja Exemplo ( PageIndex {4} ), Exemplo ( PageIndex {5} ), e Exemplo ( PageIndex {6} ), e Exemplo ( PageIndex {7} ).
  • Também podemos resolver equações trigonométricas usando uma calculadora gráfica. Veja Exemplo ( PageIndex {8} ) e Exemplo ( PageIndex {9} ).
  • Muitas equações aparecem na forma quadrática. Podemos usar a substituição para fazer a equação parecer mais simples e, em seguida, usar as mesmas técnicas que usamos para resolver uma quadrática algébrica: fatoração, a fórmula quadrática, etc. Veja Exemplo ( PageIndex {10} ), Exemplo ( PageIndex { 11} ), Exemplo ( PageIndex {12} ) e Exemplo ( PageIndex {13} ).
  • Também podemos usar as identidades para resolver a equação trigonométrica. Veja Exemplo ( PageIndex {14} ), Exemplo ( PageIndex {15} ) e Exemplo ( PageIndex {16} ).
  • Podemos usar a substituição para resolver uma equação trigonométrica de múltiplos ângulos, que é uma compressão de uma função trigonométrica padrão. Teremos de levar em consideração a compressão e verificar se encontramos todas as soluções no intervalo determinado. Veja Exemplo ( PageIndex {17} ).
  • Os cenários do mundo real podem ser modelados e resolvidos usando o Teorema de Pitágoras e funções trigonométricas. Veja Exemplo ( PageIndex {18} ).

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Definição de uma lente

Lentes

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O que há em uma lente?

Os fabricantes de lentes apontam para materiais (módulos e coleções), criando um guia que inclui seus próprios comentários e tags descritivas sobre o conteúdo.

Quem pode criar uma lente?

Qualquer membro individual, comunidade ou organização respeitada.

O que são tags?

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Resolvendo Equações Trigonométricas - Problema 3

Norm ficou em 4º no Campeonato Nacional de Halterofilismo dos EUA em 2004! Ele ainda treina e compete ocasionalmente, apesar de sua agenda lotada.

Vamos falar sobre outra equação trigonométrica, desta vez uma equação secante. Agora, uma equação secante envolve a função recíproca secante. Sempre que vir uma função recíproca, você deve transformá-la em uma equação trigonométrica envolvendo seno, cosseno ou tangente.

Então, a primeira coisa que vou fazer é chamar isso de 1 sobre cosseno de 3x é igual a 2, porque secante é igual a 1 sobre cosseno. E então posso pegar o recíproco de ambos os lados e obtenho o cosseno de 3 é igual a meio. E então você vê que estou em duas etapas, eu sei que não tenho mais que lidar com a função secante e isso é sempre verdade, você nunca terá que lidar com as funções trigonométricas recíprocas quando estiver resolvendo equações trigonométricas. Você pode voltar para um dos familiares.

Portanto, temos cosseno de 3x igual à metade, deixe-me fazer uma pequena substituição aqui. Isso é o que eu geralmente faço quando tenho algo diferente de apenas a variável dentro da minha função trigonométrica, vou chamar isso de theta. E então minha equação se torna cosseno de teta igual a metade. E posso encontrar as soluções para esta equação no círculo unitário. Então aqui está o círculo unitário, eu preciso encontrar os ângulos que tornam a primeira coordenada deste ponto a metade, porque é assim que o cosseno é definido.

Então, se você se lembra de pi acima de 3, faça isso. Claro que este problema nos pede para resolver para x no intervalo de 0 graus a 360 graus. Isso nos diz duas coisas: primeiro, que não queremos infinitas soluções e, segundo, que estamos trabalhando em graus e não em radianos. Então, deixe-me mudar imediatamente para 60 graus, pi acima de 3 é 60 graus, isso me dá 1 solução.

Como conseguir outro? Lembre-se de que o seno e o cosseno têm, cada um, duas soluções geralmente por período. Haverá outra solução e com o cosseno as outras soluções, devido ao fato de que os cossenos são funções pares, entradas opostas têm a mesma saída. Você pode ver que no círculo unitário pensando quais são os pontos no círculo unitário que tem uma coordenada x de metade? Há um aqui embaixo e vai ser a imagem espelhada deste ponto. Portanto, você terá uma metade y negativo comum, qualquer que seja a coordenada y, e verá que a segunda solução será de -60 graus de simetria. Então, para -60 graus.

Agora, para obter o restante da solução, temos que usar a periodicidade, então temos theta igual a mais ou menos 60 graus e quando você está lidando com graus, a periodicidade significa que você pode adicionar um múltiplo inteiro de 360 ​​graus. Normalmente adicionamos um múltiplo inteiro de 2 pi, porque 2 pi é um radiano, mas os graus são, em vez disso, uma revolução. Em graus, uma revolução equivale a 360 graus.

Então, estamos quase prontos para substituir, lembre-se que substituí theta por 3x. Então, vamos voltar a 3x e é isso que temos. Tudo o que precisamos fazer é dividir por 3. Portanto, dividir por 3 me dá mais ou menos 20 graus mais n vezes 120.

Now the problem asked me to find only solutions between 0 and 360, so I don’t want to give this as my final answer because I'm not exactly reading the instructions here, so let me start with 20 degrees. Plus 20 degrees plus 0 times 120 that’s the smallest solution I’m going to get. And then let me start with the 20 degrees and keep adding integer multiples until I leave the interval from 0 to 360. So I’m going to add 120 and get 140.

That one is good. I add 120 again and get 260, also good. Add 120 again and get 380 not the interval, so I wouldn’t include that. Now I know that -20 is not a solution but when I add multiples of 120 degrees I will get solutions, so let me add 120 and get 100 degrees that’s the solution, that one will be. Add another 120, 220, add another, 340 and you can see that if you add another 120 you’ll be outside of the interval. So these are your solutions. 20 ,140, 260, 100, 220 and 340.

And notice the way I worked this out I started with the positive 20 and I added multiples of 120. Here I started with -20 and I added multiples of -120 and I'll just chose this as my final answer so the values actually fall in the intervals 0 and 360, that’s your final answer.


3.5: Solving Trigonometric Equations

Note: If you would like a review of trigonometry, click on trigonometry.

Example 1: Solve for x in the following equation.

There are an infinite number of solutions to this problem. To solve for x, you must first isolate the tangent term.

If we restrict the domain of the tangent function to , we can use the inverse tangent function to solve for reference angle x ', and then x .

The reference angle is The tangent function is positive in the first quadrant and in the third quadrant and negative in the second and fourth quadrant.

The period of the function is This means that the values will repeat every radians in both directions. Therefore, the exact solutions are and where n is an integer.

The approximate solutions are and where n is an integer.

These solutions may or may not be the answers to the original problem. You much check them, either numerically or graphically, with the original equation.

Check answer . x =0.52359877

Since the left side equals the right side when you substitute 0.52359877for x, then 0.52359877 is a solution.

Check answer . x =-0.52359877

Since the left side equals the right side when you substitute -0.52359877for x, then -0.52359877 is a solution.

Graph the equation Note that the graph crosses the x-axis many times indicating many solutions.

Note that it crosses at 0.52359877. Since the period is , it crosses again at 0.52359877+3.1415927=3.66519 and at tex 2 html c omment m ark > 0.52359877+2(3.1415927)=6.80678, etc.

Note that it crosses at -0.52359877. Since the period is , it crosses again at -0.52359877+3.1415927=2.617899 and at tex 2 html c omment m ark > -0.52359877+2(3.1415927)=5.759587, etc.

If you would like to work another example, click on Example.

If you would like to test yourself by working some problems similar to this example, click on Problem.

If you would like to go to the next section, click on Next.

If you would like to go back to the equation table of contents, click on Contents.


Solving Trigonometric Equations

How would you solve the equation sin θ = 0? You know that θ = 0 is one solution, but this is not the only solution. Any one of the following values of is also a solution.

You can write this infinite solution set as

Solving a Trigonometric Equation

To solve the equation, you should consider that the sine is negative in Quadrants III and IV and that

Thus, you are seeking values of θ in the third and fourth quadrants that have a reference angle of π/3. In the interval [0, 2π], the two angles fitting these criteria are

By adding integer multiples of 2π to each of these solutions, you obtain the following general solution.

Solving a Trigonometric Equation

Solve cos 2 θ = 2 - 3 sin θ, where 0 ≤ θ ≤ 2π.

Using the double-angle identity cos 2 θ = 1 - 2 sin 2 θ, you can rewrite the equation as follows.

cos 2 θ = 2 - 3 sin θ Given equation
1 - 2 sin 2 θ = 2 - 3 sin θ Trigonometric identity
0 = 2 sin 2 θ - 3sin θ + 1 Quadratic form
0 = (2 sin θ )(sin θ - 1 ) Factor.

If 2 sin θ = 0, then sin θ = 1/2 and θ = π/6 or θ = 5π/6. If sin θ - 1, then sin θ = 1 and θ = π/2. Thus, for 0 ≤ θ ≤ 2π, there are three solutions.


3.5: Solving Trigonometric Equations

Note: If you would like a review of trigonometry, click on trigonometry.

Solve for x in the following equation.

There are an infinite number of solutions to this problem.

We can make the solution easier if we convert all the trigonometric terms to like trigonometric terms.

One common trigonometric identity is If we replace the term with , all the trigonometric terms will be tangent terms.

Replace with in the original equation and simplify.

Isolate the tangent term. To do this, rewrite the left side of the equation in an equivalent factored form.

The product of two factors equals zero if at least one of the factors equals zero. This means that if or

We just transformed a difficult problem into two easier problems. To find the solutions to the original equation, , we find the solutions to the equations and

How do we isolate the x in each of these equations? We could take the arctangent of both sides of each equation. However, the tangent function is not a one-to-one function.

Let's restrict the domain so the function is one-to-one on the restricted domain while preserving the original range. The graph of the tangent function is one-to-one on the interval If we restrict the domain of the tangent function to that interval , we can take the arctangent of both sides of each equation.

Since the period of equals , these solutions will repeat every units. The exact solutions are

The approximate values of these solutions are

You can check each solution algebraically by substituting each solution in the original equation. If, after the substitution, the left side of the original equation equals the right side of the original equation, the solution is valid.

You can also check the solutions graphically by graphing the function formed by subtracting the right side of the original equation from the left side of the original equation. The solutions of the original equation are the x-intercepts of this graph.

Since the left side of the original equation equals the right side of the original equation when you substitute 1.249046 for x, then 1.249046 is a solution.

Since the left side of the original equation equals the right side of the original equation when you substitute -0.785398 for x, then -0.785398 is a solution.

We have just verified algebraically that the exact solutions are and and these solutions repeat every units. The approximate values of these solutions are and and these solutions repeat every units.

Graph the equation Note that the graph crosses the x-axis many times indicating many solutions. Let's check a few of these x-intercepts against the solutions we derived.

Verify the graph crosses the x-axis at -0.785398. Since the period is , you can verify that the graph also crosses the x-axis again at -0.785398+3.14159265=2.356195 and at , etc.

Verify the graph crosses the x-axis at 1.249046. Since the period is , you can verify that the graph also crosses the x-axis again at 1.249046+3.14159265=4.39906387 and at , etc.

Note: If the problem were to find the solutions in the interval , then you choose those solutions from the set of infinite solutions that belong to the set 2.356195, 5.497787, 4.39906387, and

If you would like to work another example, click on Example.

If you would like to test yourself by working some problems similar to this example, click on Problem.

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Lesson Solving trigonometric equations

DEFINITION. A trig equation is an equation containing one or many trig functions of the variable arc x that rotates on the trig unit circle. Solving for x means finding the values of the variable trig arc x whose trig functions make the trig equation true.
Examples of trig equation:
sin ( x + 30 degree) = 0.75 tan (x + pi/3) = 1.5 sin 2x + cos x = 1 tan x + cot x = 1.732
sin x + sin 2x = sin 3x cos x + cos 2x + cos 3x = 0 sin x - sin 3x = cos 2x
Answers, or values of the solution arcs, are expressed in degrees or radians.
Examples: x = 45 degree x = 47.24 degree x = 25.59 degree
x = Pi/5 x = 3Pi /4 x = 7Pi/12

THE TRIG UNIT CIRCLE.
It is a circle with radius R = 1 unit with the origin O. The unit circle defines the trig functions of the variable arc x that rotates counter-clockwise on the trig circle.
When the arc AM, with value x (in radians or degrees), varies on the trig unit circle:
The horizontal axis OAx defines the function f(x) = cos x.
The vertical axis OBy defines the function f(x) = sin x.
The vertical axis At defines the function f(x) = tan x.
The horizontal axis Bu defines the function f(x) = cot x.

THE PERIODIC PROPERTY OF TRIG FUNCTIONS
All trig functions f(x) are periodic meaning they come back to the same value after the arc x rotates counterclockwise one period on the unit circle. Exemplos:
The trig function f(x) = sin x has 2Pi as period.
The trig function f(x) = tan x has Pi as period.
The trig function f(x) = sin 2x has Pi as period.
The trig function f(x) = cos x/2 has 4Pi as period.

CONCEPT FOR SOLVING TRIG EQUATIONS
To solve a trig equation transform it into one or many basic trig equations. Solving trig equations finally results in solving basic trig equations.

BASIC TRIG EQUATIONS
They are also called "Trig equations in simplest form". There are 4 types of common basic trig equations: sin x = a cos x = a tan x = a cot x = a.
Solving a basic trig equation proceeds by considering the various positions of the arc x on the trig unit circle and by using the trig conversion tables (or calculators).
Example 1. Solve sin x = 0.866. The 2 answers are given by the trig unit circle and calculators:
Answer 1: x1 = Pi/3 Extended answer: x1 = Pi/3 + 2k.Pi
Answer 2: x2 = 2Pi/3 Extended answer: x2 = 2Pi/3 + 2k.Pi
Example 2. Solve: cos x = -1/2. Two answers are given by the unit circle and conversion table:
Answer 1: x1 = 2Pi/3 Extended answer: x1 = 2Pi/3 + 2k.Pi
Answer 2: x2 = -2Pi/3 Extended answer: x2 = -2Pi/3 + 2k.Pi
Example 3. Solve cos x = 0.732. Two answers given by calculator and the unit circle:
Answer 1: x1 = 42.95 degree Extended answer: x1 = 42.95 degree + k.360 degree
Answer 2: x2 = -42.95 degree Extended answer: x2 = -42.95 degree + k.360 degree
Example 4. Solve: cot 2x = 1.732. Trig table and unit circle give:
2x = Pi/6 Extended: 2x = Pi/6 + K.Pi
Answer: x = Pi/12 Extended answer: x = Pi/12 + k.Pi/2.

Example 5. Solve: sin(x - 20 deg.) = 0.5. Trig table and trig unit circle gives:
1) sin (x - 20) = sin 30 deg.-------- 2) sin (x - 20) = sin (180 - 30)
x - 20 = 30 deg. ------------------ x - 20 = 150 deg.
x = 50 deg. ----------------------- x = 170 deg.
Extended x = 50 deg. + k.360 deg. -- Extended x = 170 deg.+ k.360 deg.

Example 6. Solve: sin 2x = cos 3x. The unit circle gives 2 answers:
1) sin 2x = sin (Pi/2 - 3x) ------ 2) sin 2x = sin (Pi - Pi/2 + 3x)
2x = Pi/2 - 3x -------------------- 2x = Pi/2 + 3x
5x = Pi/2 ------------------------- -x = Pi/2
x = Pi/10 ------------------------- x = -Pi/2
Extended x = Pi/10 + k.2Pi --------- Extended: x = -Pi/2 + k.2Pi.

TRANSFORMATION USED IN SOLVING TRIG EQUATIONS.
To transform a trig equation into basic trig equations, use common algebraic transformations (factoring, common factor, polynomial identities. ), definition and properties of trig functions, and trig identities (the most needed). There are 14 common trig identities, called "transformation identities", that are used for the transformation of trig equations. See book titled:"Solving trigonometric equations and inequalities" (Amazon e-book 2010).
Exemplo. The trig equation sin x + sin 2x + sin 3x = 0 can be transformed, using trig identities, into a product of many basic trig equations: 4cos x.sin 3x/2.cos x/2 = 0.
Exemplo. The trig equation cos x + cos 2x + cos 3x = 0 can be transformed, using trig identities, into a product of basic trig equation: cos 2x(2cos x + 1) = 0.
Exemplo. Transform into a product (sin a + cos a).
sin a + cos a = sin a + sin (Pi/2 - a) = 2sin (Pi/4).sin (a + Pi/4)
Exemplo. Transform (sin 2a - sin a) into a product:
sin 2a - sin a = 2sin a.cos a - sin a = sin a.(2cos a - 1).

GRAPHING THE SOLUTION ARCS ON THE UNIT CIRCLE
We can graph to illustrate the solution arcs on the trig unit circle. The terminal points of the solution arcs constitute regular polygons on the trig unit circle.
Example: The terminal points of the solution arcs x = Pi/3 + k.Pi/2 constitute a square on the unit circle.
Exemplo. The solution arcs x = Pi/4 + k.Pi/3 are represented by the vertexes of a regular hexagon on the unit circle.

METHODS FOR SOLVING TRIG EQUATIONS.
There are 2 methods depending on transformation possibilities.

METHOD 1. Transform the given trig equation into a product of basic trig equations. Next, solves these basic trig equations to get all the solution arcs.
Example 7. Solve sin 2x + 2cos x = 0.
Solution: First, transform: sin 2x + 2cos x = 2sin x.cos x + 2cos x = 2cos x(sin x + 1) = 0.
Next, solve the 2 basic trig equations: cos x = 0 and sin x = -1.
Example 8. Solve: cos x + cos 2x + cos 3x = 0.
Solução. First, use trig identities to transform: (cos x + cos 3x) + cos 2x = 2cos 2x.cos x + cos 2x = cos 2x(2cos x + 1) = 0.
Next, solve the 2 basic trig equations: cos 2x = 0 and cos x = -1/2.
Example 9. Solve sin x - sin 3x = cos 2x.
Solução. Using trig identity transform the equation.
(sin x - sin 3x) - cos 2x = 2cos 2x.sin x - cos 2x = cos 2x(2sin x - 1) = 0.
Next, solve the 2 basic trig equations: cos 2x = 0 and sin x = 1/2.

METHOD 2. If the given trig equation contains 2 or more trig functions, transform it into an equation containing only one trig function as variable. There are a few tips on how to select the trig function variable. The common variables to select are: sin x = t cos x = t cos 2x = t tan x = t tan x/2 = t.
Example 10. Solve: 3sin^2 x + 2cos x - 2 = 0. Call cos x = t.
Solução. Replace (sin^2 x) by (1 - cos^2 x) = 1 - t^2.
The equation becomes: 3(1 - t^2) + 2t - 2 = -3t^2 + 2t + 1 = 0.
This is a quadratic equation with 2 real roots: 1 and -1/3. Next, solve the 2 basic trig equations: t = cos x = 1 and t = cos x = -1/3.
Example 11. Solve: tan x + 2tan^2 x - cot x - 2 = 0.
Solução. Call tan x = t, the equation becomes:
t + 2t^2 - 1/t - 2 = 0 = t^2 + 2t^3 - 1 - 2t = t^2(1 + 2t) - (1 + 2t) = (1 + 2t)(t^2 - 1) = 0.
Next, solve the 2 basic trig equations: (t = tan x = -1/2) and (t^2 = tan^2 x = 1).
Example 12. Solve cos 2x - 3sin x - 2 = 0.
Solução. Call sin x = t and replace (cos 2x) by (1 - 2sin^2 x).
(1 - 2t^2) - 3t - 2 = -2t^2 - 3t - 1 = 0. Quadratic equation with 2 real roots: -1 and -1/2.
Next, solve the 2 basic trig equations: t = sin x = -1 and t = sin x = -1/2.

SOLVING SPECIAL TYPES OF TRIG EQUATIONS.
There are a few types of trig equations that require specific transformations. Exemplos:
a.sin x + b.cos x = c
a(sin x + cos x) + b.sin x.cos x = c
a.sin^2 x + b.sin x.cos x + c.cos^2 x = 0

THE COMMON PERIOD OF A TRIG EQUATION
Unless specified in home-works/tests, the trig equation f(x) = 0 must be solved, at least, within a common period. This means we must find all the solution arcs x within this common period. The common period is the least multiple of all the periods of the trig functions presented in the equation. Exemplos:
The trig equation f(x) = cos x + 2tan x - 2 = 0 has 2Pi as common period.
The equation f(x) = tan x + 2cot x = 0 has Pi as common period.
The equation f(x) = cos2x + sin x = 0 has 2Pi as common period.
The equation f(x) = sin 2x + cos x - sin x/2 = 0 has 4Pi as common period.

CHECKING ANSWERS BY GRAPHING CALCULATORS AFTER SOLVING.
Solving trig equations is a tricky work that often leads to errors and mistakes. After solving, you may check the answers by using graphing calculators. Using appropriate calculator setup, graph the function f(x). The roots of f(x) = 0 will be given in decimals. For examples, Pi is given as 3.14 360 degree is given as 6.28. For more details, see the last chapter of the trig book mentioned above.


Solving Trigonometric Equations

Videos and lessons with examples and solutions for High School students on solving trigonometric equations.

In these lessons, we will learn

  • how to solve trigonometric equations
  • how to solve trigonometric equations by factoring

Solving Trigonometric Equations

When solving trigonometric equations, we find all the angles that make the equation true. If there is no interval given, use periodicity to show the infinite number of solutions. Two ways to visualize the solutions are (1) the graph in the coordinate plane and (2) the unit circle. The unit circle is the more useful of the two in obtaining an answer.

Solving Trigonometric Equations
2 cos x = 1,
sin(2x) = cos x,
2 + cos 2x = 3 cos x,
sin x = tan x

Factoring Trigonometric Equations

Solve trigonometric equations that are factorable or in quadratic form

This video solve a trigonometric equation in quadratic form by factoring.

Solving a Trigonometric Equation by Factoring
2 sin 2 x = 1 + cos x

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Under its simplest definition, a trigonometric (lit. "triangle-measuring") function, is one of the many functions that relate one non-right angle of a right triangle to the ratio of the lengths of any two sides of the triangle (or vice versa).

Any trigonometric function (f), therefore, always satisfies either of the following equations:

  • If the former equation holds, we can choose any right triangle, then take the measurement of one of the non-right angles, and when we evaluate the trigonometric function at that ângulo, the result will be the ratio of the lengths of two of the triangle's sides.
  • However, if the latter equation holds, we can chose any right triangle, then compute the ratio of the lengths of two specific sides, and when we evaluate the trigonometric function at any that ratio, the result will be measure of one of the triangles non-right angles. (These are called inverse trig functions since they do the inverse, or vice-versa, of the previous trig functions.)

Since there are three sides and two non-right angles in a right triangle, the trigonometric functions will need a way of specifying which sides are related to which angle. (It is not-so-useful to know that the ratio of the lengths of two sides equals 2 if we do not know which of the three sides we are talking about. Likewise, if we determine that one of the angles is 40°, it would be nice to know of which angle this statement is true.

Under a certain convention, we label the sides as oposto, adjacent, e hypotenuse relative to our angle of interest q . full explaination

As mentioned previously, the first type of trigonometric function, which relates an angle to a side ratio, always satisfies the following equation:

f( q ) =
opp/opp
f( q ) =
opp/adj
f( q ) =
opp/hyp
f( q ) =
adj/opp
f( q ) =
adj/adj
f( q ) =
adj/hyp
f( q ) =
hyp/opp
f( q ) =
hyp/adj
f( q ) =
hyp/hyp

The three diagonal functions shown in red always equal one. They are degenerate and, therefore, are of no use to us. We therefore remove these degenerate functions and assign labels to the remaining six, usually written in the following order:

sine( q ) = opp/hypcosecant( q ) = hyp/opp
cosine( q ) = adj/hypsecant( q ) = hyp/adj
tangent( q ) = opp/adjcotangent( q ) = adj/opp

Furthermore, the functions are usually abbreviated: sine (sin), cosine (cos), tangent (tan) cosecant (csc), secant (sec), and cotangent (cot).

Do not be overwhelmed. By far, the two most important trig functions to remember are sine and cosine. All the other trig functions of the first kind can be derived from these two funcions. For example, the functions on the right are merely the multiplicative inverse of the corresponding function on the left (that makes them much less useful). Futhermore, the sin(x) / cos(x) = (opp/hyp) / (adj/hyp) = opp / adj = tan(x). Therefore, the tangent function is the same as the quotient of the sine and cosine functions (the tangent function is still fairly handy).

sin( q ) = opp/hypcsc( q ) = 1/sin( q )
cos( q ) = adj/hypsec( q ) = 1/cos( q )
tan( q ) = sin( q )/cos( q )cot( q ) = 1/tan( q )

Let's examine these functions further. You will notice that there are the sine, secant, and tangent functions, and there are corresponding "co"-functions. They get their odd names from various similar ideas in geometry. You may suggest that the cofunctions devemos be relabeled to be the multiplicative inverses of the corresponding sine, secant, and tangent functions. However, there is a method to this madness. UMA cofunction of a given trig function (f) is, by definition, the function obtained after the complement its parameter is taken. Since the complement of any angle q is 90° - q , the the fact that the following relations can be shown to hold

The trig functions evaluate differently depending on the units on q , such as degrees, radians, or grads. For example, sin(90°) = 1, while sin(90)=0.89399. explaination

Just as we can define trigonometric functions of the form

inverse functions
arcsine(opp/hyp)
= q
arccosecant(hyp/opp)
= q
arccosine(adj/hyp)
= q
arcsecant(hyp/adj)
= q
arctangent(opp/adj)
= q
arccotangent(adj/opp)
= q

As before, the functions are usually abbreviated: arcsine (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctan) arccosecant (arccsc), arcsecant (arcsec), and arccotangent (arccot). According to the standard notation for inverse functions (f -1 ), you will also often see these written as sin -1 , cos -1 , tan -1 csc -1 , sec -1 , and cot -1 . Beware: There is another common notation that writes the square of the trig functions, such as (sin(x)) 2 as sin 2 (x). This can be confusing, for you then poderia then be lead to think that sin -1 (x) = (sin(x)) -1 , which is não verdadeiro. The negative one superscript here is a special notation that denotes inverse functions (not multiplicative inverses).


Assista o vídeo: MFUNA. TC6 - Resolvendo equações trigonométricas simples - seno e cosseno (Outubro 2021).