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7.1: Frações Parciais - Matemática


7.1: Frações Parciais - Matemática

Integre a seguinte função em relação a x:

Decompor a função racional fornecida em frações parciais. & # Xa0

1 / (x - 1) (x + 2) 2 & # xa0 & # xa0 = & # xa0 A / (x - 1) + B / (x + 2) + C / (x + 2) 2

= & # xa0 (1/9) ∫(1 / (x-1)) dx- (1/9) (1 / (x + 2) - (1/3) (1 / (x + 2) 2 dx

= & # xa0 (1/9) [log (x - 1) - log (x + 2)] - (1/3) (1 / (x + 2)) + c

= & # xa0 (1/9) [log (x - 1) / (x - 2)] - (1/3 (x + 2)) + c

Integre a seguinte função em relação a x:

Decompor a função racional fornecida em frações parciais. & # Xa0

3x - 9 & # xa0 = & # xa0 A (x + 2) (x 2 +1) + B (x-1) (x 2 +1) + (Cx + D) (x-1) (x + 2)

3x - 9 & # xa0 = & # xa0 A (x + 2) (x 2 +1) + B (x-1) (x 2 +1) + (Cx + D) (x-1) (x + 2)

∫[ (3x - 9) / (x - 1) (x + 2) (x 2 & # xa0 + 1)] dx

& # xa0 = & # xa0 & # xa0- ∫1 / (x - 1) dx + & # xa0 1 / (x + 2) dx + & # xa0 ∫ 3 / (x 2 & # xa0 + 1) dx

& # xa0 = & # xa0 - log (x - 1) + log (x + 2) + 3 tan -1 (x)

Integre a seguinte função em relação a x:

Na fração racional fornecida, o maior expoente de x no numerador é maior do que o maior expoente de x no denominador. & # Xa0

Portanto, podemos usar a divisão longa para decompor a função racional fornecida. & # Xa0

Da longa divisão acima, temos

x 3 / (x - 1) (x - 2) & # xa0 = & # xa0 (x + 3) + (7x - 6) / (x 2 - 3x + 2)

x 3 / (x - 1) (x - 2) & # xa0 = & # xa0 (x + 3) + (7x - 6) / (x - 1) (x - 2) ---- (1)

Decompor (7x - 6) / (x - 1) (x - 2) em frações parciais. & # Xa0

(7x - 6) / (x - 1) (x - 2) & # xa0 = & # xa0 A / (x - 1) + B (x - 2)

& # xa0 = & # xa0 & # xa0 (x + 3) dx - ∫1 / (x - 1) dx + 8 ∫1 / (x - 2) dx

= & # xa0 x 2/2 + 3x - & # xa0 log (x - 1) + 8log (x - & # xa0 2) + C

Depois de ter passado pelas coisas fornecidas acima, esperamos que os alunos tenham entendido como integrar funções racionais usando frações parciais. & # Xa0

Além do material fornecido nesta seção, & # xa0 se você precisar de qualquer outro material em matemática, use nossa pesquisa personalizada do Google aqui.

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Sempre apreciamos seus comentários. & # Xa0

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7,4 Frações Parciais

Introdução: Nesta lição, aprenderemos a usar a decomposição de fração parcial para integrar funções racionais. A técnica chamada decomposição de fração parcial nos mostra como quebrar uma função racional em uma soma de funções racionais mais simples. Essas funções racionais mais simples podem ser integradas rotineiramente.

Objetivos. Após esta lição, você deverá ser capaz de:

  • Compreender o conceito de decomposição de frações parciais.
  • Use a decomposição de fração parcial com fatores lineares e quadráticos (alguns dos quais podem ser repetidos) para integrar funções racionais.

Notas de vídeo e amp: Preencha a folha de anotações para esta lição (7-4-Partial-Fractions) enquanto assiste ao vídeo. Se preferir, você pode ler a Seção 7.4 de seu livro e resolver os problemas nas notas por conta própria, à medida que pratica. Lembre-se de que as notas devem ser carregadas no Blackboard semanalmente para obter uma nota! Se por algum motivo o vídeo abaixo não carregar, você pode acessá-lo no YouTube aqui.

Trabalho de casa: Acesse WebAssign e conclua a atribuição & # 82207.4 Partial Fractions & # 8221.


Calculadora de fração

Os valores podem ser frações simples, frações mistas ou frações impróprias.

Visão geral das frações:

Uma fração nomeia parte de uma região ou parte de um grupo. Uma fração é o número de partes sombreadas dividido pelo número de partes iguais. O numerador é o número acima da barra de fração e o denominador é o número abaixo da barra de fração.

Uma fração adequada é uma fração em que o numerador é menor que o denominador. Uma fração imprópria é uma fração em que o numerador é maior ou igual ao denominador. Um número pode ser classificado como uma fração adequada, uma fração imprópria ou como um número misto. Qualquer número dividido por si mesmo é igual a um. Um número misto consiste em uma parte do número inteiro e uma parte fracionária.

Frações equivalentes são frações diferentes que nomeiam o mesmo número. Frações equivalentes são frações diferentes que nomeiam o mesmo número. O numerador e o denominador de uma fração devem ser multiplicados pelo mesmo número inteiro diferente de zero para ter frações equivalentes.

Para simplificar uma fração (reduzi-la aos termos mais baixos), o numerador e o denominador devem ser divididos pelo mesmo número inteiro diferente de zero. Uma fração está em termos mais baixos quando o maior fator comum (GCF) de seu numerador e denominador é um.

Ao comparar duas frações com denominadores semelhantes, a fração maior é aquela com o numerador maior. Para comparar frações com denominadores diferentes, use o LCD para escrever frações equivalentes com um denominador comum e, em seguida, compare os numeradores.

Você pode converter uma fração imprópria maior que um em um número misto por meio da divisão longa de seu numerador e denominador. Comparação de numerador e denominador: Se o numerador & lt denominador, então a fração & lt 1.

Para pedir frações com denominadores semelhantes, observe os numeradores e compare-os dois de cada vez. Para solicitar frações com denominadores diferentes, use o LCD para escrevê-las como frações equivalentes com denominadores semelhantes. Em seguida, compare duas frações de cada vez. É útil escrever um número em um círculo ao lado de cada fração para compará-los mais facilmente.

Lições de fração com exemplos de problemas e exercícios interativos:

Introdução às frações

Introdução, Classificar Frações, Frações Equivalentes, Simplificar, Comparar e Ordenar. Converta frações em números mistos. Converta números mistos em frações. A instrução matemática é visual e conceitual.

Adicionar e subtrair frações e números mistos

Adicione e subtraia frações com denominadores semelhantes e não semelhantes, LCD, adicione e subtraia números mistos, resolva problemas do mundo real. Essas lições usam abordagens visuais e conceituais.

Multiplique e divida frações e números mistos

Multiplique frações com e sem cancelamento, multiplique números mistos, recíprocos, divida frações, divida números mistos, resolvendo problemas do mundo real. A instrução é visual e conceitual.


Perguntas no Exercício 7.1

(eu) frac <1>

(ii) frac <1>

(iii) frac <1>

(4) frac <3>

(v) frac <4>

Q1) Escreva a fração que representa a parte sombreada.

(eu)

(ii)

(iii)

(4)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

(ix)

(x)


Introdução à Transformada de Laplace

8.3 Resolvendo Problemas de Valor Inicial com a Transformada de Laplace

Nesta seção, mostramos como a transformada de Laplace é usada para resolver problemas de valor inicial. Para fazer isso, primeiro precisamos entender como a transformada de Laplace das derivadas de uma função se relaciona com a própria função. Começamos com a primeira derivada.

Teorema 45 (Transformada de Laplace da Primeira Derivada). Suponha que f(t) é contínuo para todo t ≥ 0 e é de ordem exponencial b para t & gt T. Além disso, suponha que f & # x27(t) é contínuo por partes em qualquer subintervalo fechado de [0,∞). Então, por s & gt b

Prova. Usando integração por partes com u = e - st e dv = f & # x27(t) dt, nós temos

A prova do Teorema 45 assume que f & # x27 é uma função contínua. Se usarmos a suposição de que f & # x27 é contínuo em 0 & lt t1 & lt t2 & lt ⋯tn & lt ∞, completamos a prova usando

Esta é a mesma fórmula de integração por partes mostrada na prova do Teorema 45 para cada integral. Agora fazemos as mesmas suposições de f & # x27 e f & quot como nós fizemos de f e f & # x27, respectivamente, na afirmação do Teorema 45 e use o Teorema 45 para desenvolver uma expressão para ℒ <f & quot(t)>:

Continuando esse processo, podemos construir expressões semelhantes para a transformada de Laplace de derivadas de ordem superior, o que nos leva ao seguinte teorema.

Teorema 46 (Transformada de Laplace de derivados superiores). Mais geralmente, se f (eu) (t) é uma função contínua de ordem exponencial b em [0, ∞) para eu = 0,1, ..., n − 1 e f (n) (t) é contínuo por partes em qualquer subintervalo fechado de [0,∞), então por s & gt b

Usaremos este teorema e corolário na solução de problemas de valor inicial. No entanto, também podemos usá-los para encontrar a transformada de Laplace de uma função quando conhecemos a transformada de Laplace da derivada da função.

Solução

Agora mostramos como a transformada de Laplace pode ser usada para resolver problemas de valor inicial. Normalmente, quando resolvemos um problema de valor inicial que envolve y(t), usamos as seguintes etapas:

calcular a transformada de Laplace de cada termo na equação diferencial

resolva a equação resultante para ℒ <y(t)> = Υ (s) e

determinar y(t) calculando a transformada de Laplace inversa de Υ (s).

A vantagem deste método é que através do uso da propriedade

nós mudamos o diferencial equação para um algébrico equação que pode ser resolvida para ℒ <f(t)>.

Resolva o problema do valor inicial y & # x27 - 4y = e 4t , y(0) = 0.

Como a solução muda se y(0) = 1?

Solução

Começamos tomando a transformada de Laplace de ambos os lados da equação diferencial. Porque ℒ <y & # x27> = sΥ (s) − y(0) = sΥ (s), temos

Em muitos casos, devemos determinar uma decomposição em fração parcial de Υ ( s) para obter termos para os quais a transformada de Laplace inversa pode ser encontrada.

Solução

Vamos Υ (s) = ℒ <y(t)>. Então, aplicando a transformada de Laplace à equação nos dá ℒ <y & quot - 4y & # x27> = ℒ <0>. Porque

Uma decomposição de fração parcial envolvendo um fator linear repetido é ilustrada no exemplo a seguir.

Solução

Use as transformações de Laplace para resolver y & # x27 - y = 0.

Em alguns casos, F(s) envolve fatores quadráticos irredutíveis, como vemos no próximo exemplo.

Solução

Vamos ℒ <y(t)> = Υ (s) Tomando a transformada de Laplace da equação e resolvendo para Υ (s) nos dá,


Frações Parciais

Cada número fracionário, i. e. tal número racional m n que o inteiro m não é divisível pelo inteiro n, pode ser decomposto em uma soma de frações parciais da seguinte forma:

m n = m 1 p 1 ν 1 + m 2 p 2 ν 2 + ⋯ + m t p t ν t

Aqui, os p i ’s são números primos positivos distintos, os ν i’ s inteiros positivos e os m i ’s alguns números inteiros. Cf. as frações parciais das expressões.

6 289 = 6 17 2
- 1 24 = - 3 2 3 + 1 3 1
1 504 = - 1 2 3 + 32 3 2 - 24 7 1

Como obter os numeradores m i para decompor um número fracionário 1 n em frações parciais? Primeiro, pode-se obter a maior potência p ν de um primo p que divide o denominador n. Então n = p ν ⁢ u, onde mdc ⁡ (u, p ν) = 1. O algoritmo de Euclides fornece alguns inteiros x e y de modo que

Dividindo esta equação por p ν ⁢ u dá o

1 n = 1 p ν ⁢ u = x p ν + y u.

Se u tiver mais de um fator primo distinto, um procedimento semelhante pode ser feito para a fração y u, e assim por diante.

Observação. Os numeradores m 1, m 2,…, m t na decomposição não são únicos. Por exemplo, também temos


Conteúdo

Se o número inicial for racional, então este processo é exatamente paralelo ao algoritmo euclidiano aplicado ao numerador e denominador do número. Em particular, ele deve terminar e produzir uma representação finita de fração contínua do número. A seqüência de inteiros que ocorre nesta representação é a seqüência de quocientes sucessivos calculados pelo algoritmo Euclidiano. Se o número inicial for irracional, o processo continua indefinidamente. Isso produz uma sequência de aproximações, todas elas números racionais e que convergem para o número inicial como um limite. Esta é a representação contínua (infinita) da fração do número. Exemplos de representações de fração contínua de números irracionais são:

  • √ 19 = [42,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8. ] (sequência A010124 no OEIS). O padrão se repete indefinidamente com um período de 6.
  • e = [21,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8. ] (sequência A003417 no OEIS). O padrão se repete indefinidamente com um período de 3, exceto que 2 é adicionado a um dos termos em cada ciclo.
  • π = [37,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1. ] (sequência A001203 no OEIS). Nenhum padrão jamais foi encontrado nesta representação.
  • ϕ = [11,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1. ] (sequência A000012 no OEIS). A proporção áurea, o número irracional que é o "mais difícil" de se aproximar racionalmente. Veja: Uma propriedade da proporção áurea φ.

Frações contínuas são, de certa forma, representações mais "matematicamente naturais" de um número real do que outras representações, como representações decimais, e têm várias propriedades desejáveis:

  • A representação contínua da fração de um número racional é finita e apenas os números racionais têm representações finitas. Em contraste, a representação decimal de um número racional pode ser finita, por exemplo
  • 137/1600 = 0,085625, ou infinito com um ciclo de repetição, por exemplo
  • 4 / 27 = 0.148148148148.
  • Cada número racional tem uma representação de fração contínua essencialmente única. Cada racional pode ser representado exatamente de duas maneiras, uma vez que [uma0uma1. uman−1,uman] = [uma0uma1. uman−1,(uman-1), 1]. Normalmente, o primeiro, mais curto, é escolhido como a representação canônica.
  • A representação contínua da fração de um número irracional é única.
  • Os números reais cuja fração contínua eventualmente se repete são precisamente os irracionais quadráticos. [5] Por exemplo, a fração contínua de repetição [11,1,1. ] é a proporção áurea e a fração contínua repetida [12,2,2. ] é a raiz quadrada de 2. Em contraste, as representações decimais de irracionais quadráticos são aparentemente aleatórias. As raízes quadradas de todos os inteiros (positivos), que não são quadrados perfeitos, são irracionais quadráticos, portanto, são frações contínuas periódicas únicas.
  • As sucessivas aproximações geradas para encontrar a representação continuada da fração de um número, isto é, truncando a representação continuada da fração, são em certo sentido (descrito abaixo) o "melhor possível".

Uma fração contínua é uma expressão da forma

Onde umaeu e beu pode ser qualquer número complexo. Normalmente, eles precisam ser inteiros. Se beu = 1 para todos eu a expressão é chamada de simples fração contínua. Se a expressão contém um número finito de termos, é chamada de finito fração contínua. Se a expressão contém infinitos termos, é chamada de infinito fração contínua. [6]

Assim, todos os itens a seguir ilustram frações contínuas simples finitas válidas:

Exemplos de frações contínuas simples finitas
Fórmula Numérico Observações
a 0 < displaystyle a_ <0>> 2 Todos os inteiros são um caso degenerado
a 0 + 1 a 1 < displaystyle a_ <0> + < cfrac <1>>>> 2 + 1 3 < displaystyle 2 + < cfrac <1> <3> >> Forma fracionária mais simples possível
a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 < displaystyle a_ <0> + < cfrac <1>+ < cfrac <1>>>>>> - 3 + 1 2 + 1 18 < displaystyle -3 + < cfrac <1> <2 + < cfrac <1> <18> >>>> O primeiro inteiro pode ser negativo
a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 < displaystyle a_ <0> + < cfrac <1>+ < cfrac <1>+ < cfrac <1>>>>>>>> 1 15 + 1 1 + 1 102 < displaystyle < cfrac <1> <15 + < cfrac <1> <1 + < cfrac <1> <102> >>>>>> O primeiro inteiro pode ser zero

Para frações contínuas simples do formulário

Para calcular uma representação contínua da fração de um número r, escreva a parte inteira (tecnicamente o piso) de r. Subtraia esta parte inteira de r. Se a diferença for 0, pare, caso contrário, encontre o recíproco da diferença e repita. O procedimento será interrompido se e somente se r for racional. Este processo pode ser implementado de forma eficiente usando o algoritmo euclidiano quando o número é racional. A tabela abaixo mostra uma implementação deste procedimento para o número 3.245, resultando na expansão contínua da fração [3 4,12,4].

ou na notação de Pringsheim como

ou em outra notação relacionada como

Às vezes, colchetes angulares são usados, como este:

O ponto-e-vírgula nas notações de colchetes angulares às vezes é substituído por uma vírgula. [3] [4]

Também se pode definir infinitas frações contínuas simples como limites:

Cada fração contínua finita representa um número racional, e cada número racional pode ser representado precisamente de duas maneiras diferentes como uma fração contínua finita, com as condições de que o primeiro coeficiente é um inteiro e os outros coeficientes são inteiros positivos. Essas duas representações concordam, exceto em seus termos finais. Na representação mais longa, o termo final na fração continuada é 1, a representação mais curta descarta o 1 final, mas aumenta o novo termo final em 1. O elemento final na representação curta é, portanto, sempre maior que 1, se presente. Em símbolos:

As representações continuadas da fração de um número racional positivo e seu recíproco são idênticas, exceto por um deslocamento de uma casa para a esquerda ou para a direita, dependendo se o número é menor ou maior do que um, respectivamente. Em outras palavras, os números representados por [a 0 a 1, a 2,…, a n] < displaystyle [a_ <0> a_ <1>, a_ <2>, ldots, a_]> e [0 a 0, a 1,…, a n] < displaystyle [0a_ <0>, a_ <1>, ldots, a_]> são recíprocos.

O último número que gera o restante da fração contínua é o mesmo para x < displaystyle x> e seu recíproco.

Cada fração contínua infinita é irracional, e cada número irracional pode ser representado precisamente de uma maneira como uma fração contínua infinita.

Uma representação de fração contínua infinita para um número irracional é útil porque seus segmentos iniciais fornecem aproximações racionais para o número. Esses números racionais são chamados de convergentes da fração continuada. [9] [10] Quanto maior é um termo na fração contínua, mais próximo o convergente correspondente está do número irracional sendo aproximado. Números como π têm termos grandes ocasionais em sua fração contínua, o que os torna fáceis de aproximar com números racionais. Outros números como e têm apenas pequenos termos no início de sua fração contínua, o que os torna mais difíceis de aproximar racionalmente. A proporção áurea ϕ tem termos iguais a 1 em todos os lugares - os menores valores possíveis - o que torna ϕ o número mais difícil de ser aproximado racionalmente. Nesse sentido, portanto, é o "mais irracional" de todos os números irracionais. Convergentes pares são menores que o número original, enquanto os ímpares são maiores.

Para uma fração contínua [uma0 uma1, uma2,. ], os primeiros quatro convergentes (numerados de 0 a 3) são

O numerador do terceiro convergente é formado pela multiplicação do numerador do segundo convergente pelo terceiro coeficiente e pela adição do numerador do primeiro convergente. Os denominadores são formados de forma semelhante. Portanto, cada convergente pode ser expresso explicitamente em termos da fração contínua como a razão de certos polinômios multivariados chamados continuants.

Se convergentes sucessivos forem encontrados, com numeradores h 1, h 2,. e denominadores k 1, k 2,. então a relação recursiva relevante é:

hn = umanhn − 1 + hn − 2 , kn = umankn − 1 + kn − 2 .

Os sucessivos convergentes são dados pela fórmula

Assim, para incorporar um novo termo em uma aproximação racional, apenas os dois convergentes anteriores são necessários. Os "convergentes" iniciais (necessários para os dois primeiros termos) são 0 ⁄1 e 1 ⁄0. Por exemplo, aqui estão os convergentes para [01,5,2,2].

n −2 −1 0 1 2 3 4
uman 0 1 5 2 2
hn 0 1 0 1 5 11 27
kn 1 0 1 1 6 13 32

Ao usar o método babilônico para gerar aproximações sucessivas da raiz quadrada de um inteiro, se começarmos com o inteiro mais baixo como primeiro aproximador, todos os racionais gerados aparecerão na lista de convergentes para a fração contínua. Especificamente, os aproximados aparecerão na lista de convergentes nas posições 0, 1, 3, 7, 15,. 2 k -1,. Por exemplo, a expansão contínua da fração para √ 3 é [11,2,1,2,1,2,1,2. ] Comparando os convergentes com os aproximados derivados do método babilônico:

Editar propriedades

Um espaço de Baire é um espaço topológico em sequências infinitas de números naturais. A fração contínua infinita fornece um homeomorfismo do espaço de Baire para o espaço dos números reais irracionais (com a topologia de subespaço herdada da topologia usual nos reais). A fração contínua infinita também fornece um mapa entre os irracionais quadráticos e os racionais diádicos, e de outros irracionais para o conjunto de sequências infinitas de números binários (ou seja, o conjunto de Cantor), este mapa é chamado de função de ponto de interrogação de Minkowski. O mapeamento tem propriedades fractais auto-similares interessantes, estas são fornecidas pelo grupo modular, que é o subgrupo das transformações de Möbius tendo valores inteiros na transformada. A grosso modo, convergentes de fração contínuos podem ser considerados transformações de Möbius agindo no semiplano superior (hiperbólico) - isso é o que leva à auto-simetria fractal.

A distribuição de probabilidade limite dos coeficientes na expansão contínua da fração de uma variável aleatória uniformemente distribuída em (0, 1) é a distribuição de Gauss-Kuzmin.

Alguns teoremas úteis Editar

Corolário 2: A diferença entre convergentes sucessivos é uma fração cujo numerador é a unidade:

Corolário 3: A fração contínua é equivalente a uma série de termos alternados:

Corolário 4: O Matrix

Corolário 1: Um convergente está mais próximo do limite da fração contínua do que qualquer fração cujo denominador seja menor que o do convergente.

Corolário 2: Um convergente obtido ao encerrar a fração contínua pouco antes de um termo grande é uma grande aproximação do limite da fração contínua.

são convergentes consecutivos, então quaisquer frações da forma

onde m < displaystyle m> é um inteiro tal que 0 ≤ m ≤ a n + 1 < displaystyle 0 leq m leq a_>, são chamados semiconvergentes, convergentes secundários, ou frações intermediárias. O (m + 1) < displaystyle (m + 1)> - st semiconvergente é igual à mediante de m < displaystyle m> -ésimo e o convergente h n k n < displaystyle < tfrac <>><>>>>. Às vezes, o termo significa que ser um semiconvergente exclui a possibilidade de ser um convergente (ou seja, 0 & lt m & lt a n + 1 < displaystyle 0 & ltm & lta_>), ao invés de um convergente é uma espécie de semiconvergente.

Segue-se que os semiconvergentes representam uma sequência monotônica de frações entre os convergentes h n - 1 k n - 1 < displaystyle < tfrac <>><>>>> (correspondendo a m = 0 < displaystyle m = 0>) eh n + 1 k n + 1 < displaystyle < tfrac <>><>>>> (correspondendo a m = a n + 1 < displaystyle m = a_>). Os semiconvergentes consecutivos a b < displaystyle < tfrac >> e c d < displaystyle < tfrac >> satisfaça a propriedade a d - b c = ± 1 < displaystyle ad-bc = pm 1>.

  1. Truncar a fração contínua e reduzir seu último termo por um valor escolhido (possivelmente zero).
  2. O prazo reduzido não pode ter menos da metade de seu valor original.
  3. Se o termo final for par, metade do seu valor só é admissível se o semiconvergente correspondente for melhor que o convergente anterior. (Veja abaixo.)

Por exemplo, 0,84375 tem fração contínua [01,5,2,2]. Aqui estão todas as suas melhores aproximações racionais.

O aumento estritamente monotônico nos denominadores à medida que termos adicionais são incluídos permite que um algoritmo imponha um limite, seja no tamanho do denominador ou na proximidade da aproximação.

A "meia regra" mencionada acima requer que quando um k é par, o termo dividido pela metade a k / 2 é admissível se e somente se |x − [uma0 uma1, . umak − 1] | & gt |x − [uma0 uma1, . umak − 1, umak/ 2] | [11] Isso é equivalente [11] a: [12]

Os convergentes ax são as "melhores aproximações" em um sentido muito mais forte do que o definido acima. A saber, n / d é um convergente para x se e somente se |dxn| tem o menor valor entre as expressões análogas para todas as aproximações racionais m / c com cd ou seja, temos |dxn| & lt |cxm| contanto que c & lt d . (Observe também que |dkxnk| → 0 como k → ∞ .)

Melhor racional dentro de um intervalo Editar

Um racional que cai dentro do intervalo (x, y), para 0 & lt x & lt y, pode ser encontrado com as frações contínuas para x e y. Quando tanto x como y são irracionais e

x = [uma0 uma1, uma2, . umak − 1, umak, umak + 1, . ] y = [uma0 uma1, uma2, . umak − 1, bk, bk + 1, . ]

onde x e y têm expansões de fração contínuas idênticas até umak−1 , um racional que cai dentro do intervalo (x, y) é dado pela fração contínua finita,

z(x,y) = [uma0 uma1, uma2, . umak − 1, min (umak, bk) + 1]

Este racional será melhor no sentido de que nenhum outro racional em (x, y) terá um numerador ou denominador menor. [ citação necessária ]

Se x for racional, terá dois representações de fração continuada que são finito, x1 e x2 , e da mesma forma um y racional terá duas representações, y1 e y2 . Os coeficientes além do último em qualquer uma dessas representações devem ser interpretados como + ∞ e o melhor racional será um de z(x1, y1) , z(x1, y2) , z(x2, y1) , ou z(x2, y2) .

Por exemplo, a representação decimal 3,1416 pode ser arredondada de qualquer número no intervalo [3,14155, 3,14165). As representações de fração continuada de 3,14155 e 3,14165 são

3.14155 = [3 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2] 3.14165 = [3 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

e o melhor racional entre esses dois é

Intervalo para uma edição convergente

Um número racional, que pode ser expresso como fração contínua finita de duas maneiras,

z = [uma0 uma1, . umak − 1, umak, 1] = [uma0 uma1, . umak − 1, umak + 1]

será um dos convergentes para a expansão contínua da fração de um número, se e somente se o número estiver estritamente entre

x = [uma0 uma1, . umak − 1, umak, 2] e y = [uma0 uma1, . umak − 1, umak + 2]

Os números xey são formados incrementando o último coeficiente nas duas representações para z. É o caso que x & lt y quando k é par, e x & gt y quando k é estranho.

Considerar x = [uma0 uma1,. ] e y = [b0 b1,. ] Se k é o menor índice para o qual umak é desigual para bk então x & lt y if (-1) k (umakbk) & lt 0 e y & lt x de outra forma.

Se não houver tal k, mas uma expansão é mais curta do que a outra, digamos x = [uma0 uma1, . uman] e y = [b0 b1, . bn, bn + 1,. ] com umaeu = beu para 0 ≤ eun , então x & lt y se n for par e y & lt x se n for ímpar.

[37,15,1,292,1,1. ] (sequência A001203 no OEIS).

Suponhamos que os quocientes encontrados sejam, como acima, [37,15,1]. A seguir está uma regra pela qual podemos escrever de uma vez as frações convergentes que resultam desses quocientes, sem desenvolver a fração contínua.


Soluções CBSE NCERT para Matemática da Classe 6, Capítulo 7 Frações

Todas as Soluções NCERT Classe 6 fornecidas nesta página são resolvidas por especialistas da Embibe com base nas diretrizes CBSE. Com a ajuda destes Soluções NCERT para Matemática da Classe 6, os alunos podem resolver suas tarefas e trabalhos domésticos facilmente no prazo.

Antes de entrar nos detalhes das Soluções NCERT da Classe 6 para Matemática, Capítulo 7, vamos dar uma olhada nas seções junto com os links em PDF para download:

ExercícioTópicos
7.1Introdução
7.2Uma fração
7.3Fração na Linha Numérica
7.4Frações Adequadas
7.5Frações impróprias e misturadas
7.6Frações equivalentes
7.7Forma mais simples de uma fração
7.8Como frações
7.9Comparando frações
7.10Adição e subtração de frações

Soluções NCERT para Matemática da Classe 6, Capítulo 7: Download do PDF de frações

Aqui, fornecemos as soluções para o capítulo 7 do Livros NCERT para a Classe 6 de Matemática.

Baixe NCERT Solutions for Class 6 Maths para outros capítulos:

  • Capítulo 1: Conhecendo Nossos Números
  • Capítulo 2: Números inteiros
  • Capítulo 3: Brincando com Números
  • Capítulo 4: Idéias geométricas básicas
  • Capítulo 5: Compreendendo as formas elementares
  • Capítulo 6: Inteiros
  • Capítulo - 8: Decimais
  • Capítulo - 9: Tratamento de Dados
  • Capítulo - 10: Mensuração
  • Capítulo - 11: Álgebra
  • Capítulo - 12: Razão e proporção
  • Capítulo - 13: Simetria
  • Capítulo - 14: Geometria Prática

CBSE Class 6 Maths Chapter 7: Frações - Resumo do capítulo

Uma fração é um número que representa uma parte de um todo. Cada fração tem um ponto associado a ela na reta numérica. Os alunos encontrarão os diferentes tipos de frações neste capítulo & # 8211 Frações apropriadas, frações impróprias, frações mistas, frações semelhantes e frações diferentes.

Uma fração é a forma mais simples se seu numerador e denominador não tiverem nenhum fator comum, exceto 1. Neste capítulo, os alunos aprenderão como comparar frações. É fácil comparar frações, mas a comparação das frações diferentes requer atenção especial onde denominadores comuns e LCM são necessários.

Baixe materiais de estudo importantes para CBSE Classe 6 aqui:

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Perguntas frequentes relacionadas ao CBSE Classe 6 Matemática Capítulo 7 Soluções

Aqui, fornecemos algumas das perguntas mais frequentes do Capítulo 7 de Matemática da Classe 6 do CBSE:

R: Há 24 horas em um dia
Temos 8 horas
Portanto, a fração necessária é 8/24 ou 1/3

R: Há 60 minutos em 1 hora
∴ 1 hora = 60 minutos
Portanto, a fração necessária é 40/60 ou 2/3

R: Arya dividiu o sanduíche em 3 partes iguais. Assim, cada pessoa receberá uma parte.
(b) Cada menino recebe 1/3 parte
∴ A fração necessária é 1/3

R: Número total de vestidos que Kanchan tem para tingir = 30 vestidos
Número de vestidos que ela terminou = 20 vestidos
∴ Fração necessária = 20/30 ou 2/3

R: Os números naturais de 102 a 113 são
102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113
Número total de números naturais dados = 12
Número de números primos = 4 [103, 107, 109, 113]
∴ Fração necessária = 4/12 ou 1/3

UMA. Fração na Linha Numérica é o exercício que é explicado corretamente em Soluções NCERT para Matemática da Classe 6, Capítulo 7, Exercício de Frações 7.3.

UMA. Frações Adequadas é o exercício que é explicado corretamente em Soluções NCERT para Matemática da Classe 6, Capítulo 7, Exercício de Frações 7.4.

Agora você recebe os detalhes Soluções CBSE NCERT para matemática da classe 6, capítulo 7. Esperamos que este artigo detalhado o ajude em sua preparação.

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Assista o vídeo: GRINGS - Integral por Frações Parciais aula 1 (Outubro 2021).