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15: Quadrados latinos - Matemática


15: Quadrados latinos - Matemática

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Os designs de quadrados latinos provavelmente não são usados ​​tanto quanto deveriam - são designs muito eficientes. Projetos de quadrados latinos permitem dois fatores de bloqueio. Em outras palavras, esses projetos são usados ​​para controlar (ou eliminar) simultaneamente duas fontes de variabilidade incômoda. Por exemplo, se você tivesse um terreno, a fertilidade desse terreno pode mudar nas duas direções, Norte - Sul e Leste - Oeste, devido aos gradientes de solo ou umidade. Portanto, tanto as linhas quanto as colunas podem ser usadas como fatores de bloqueio. No entanto, você pode usar quadrados latinos em muitas outras configurações. Como veremos, os quadrados latinos podem ser usados ​​tanto quanto o RCBD na experimentação industrial, bem como em outros experimentos.

Sempre que houver mais de um fator de bloqueio, um desenho de quadrado latino permitirá que você remova a variação dessas duas fontes da variação do erro. Portanto, considere que tínhamos um terreno, podemos tê-lo bloqueado em colunas e linhas, ou seja, cada linha é um nível do fator de linha e cada coluna é um nível do fator de coluna. Podemos remover a variação de nossa resposta medida em ambas as direções se considerarmos as linhas e colunas como fatores em nosso projeto.

O Latin Square Design tem esse nome porque podemos escrevê-lo como um quadrado com letras latinas para corresponder aos tratamentos. Os níveis de fator de tratamento são as letras latinas no desenho do quadrado latino. O número de linhas e colunas deve corresponder ao número de níveis de tratamento. Portanto, se tivermos quatro tratamentos, precisaremos ter quatro linhas e quatro colunas para criar um quadrado latino. Isso nos dá um desenho onde temos cada um dos tratamentos e em cada linha e em cada coluna.

Cada tratamento ocorre em cada coluna e linha

Este é apenas um dos muitos quadrados 4 × 4 que você pode criar. Na verdade, você pode fazer um quadrado de qualquer tamanho que desejar, para qualquer número de tratamentos - ele só precisa ter a seguinte propriedade associada a ele - que cada tratamento ocorre apenas uma vez em cada linha e uma vez em cada coluna.

Considere outro exemplo em um ambiente industrial: as linhas são o lote de matéria-prima, as colunas são o operador do equipamento e os tratamentos (A, B, C e D) são um processo industrial ou protocolo para a produção de um determinado produto.

(y_ = mu + rho_i + beta_j + tau_k + e_)

(N = t ^ 2 ) (o número de linhas vezes o número de colunas) e t é o número de tratamentos.

Observe que um quadrado latino é um design incompleto, o que significa que não inclui observações para todas as combinações possíveis de eu, j e k. É por isso que usamos a notação (k = d (i, j) ). Depois de sabermos a linha e a coluna do desenho, o tratamento é especificado. Em outras palavras, se sabemos eu e j, então k é especificado pelo design da Praça Latina.

Essa propriedade tem impacto sobre como calculamos as médias e as somas dos quadrados e, por esse motivo, não podemos usar o comando ANOVA balanceado no Minitab, embora pareça perfeitamente balanceado. Veremos mais tarde que, embora tenha a propriedade de ortogonalidade, você ainda não pode usar o comando ANOVA balanceado no Minitab porque ele não está completo.

Uma suposição que fazemos ao usar um desenho de quadrado latino é que os três fatores (tratamentos e dois fatores de incômodo) não interaja. Se esta suposição for violada, o termo de erro de projeto do Quadrado Latino será inflado.

O procedimento de randomização para atribuir tratamentos que você gostaria de usar quando realmente aplica um Quadrado Latino é um tanto restrito para preservar a estrutura do Quadrado Latino. A randomização ideal seria selecionar um quadrado do conjunto de todos os quadrados latinos possíveis do tamanho especificado. No entanto, um esquema de randomização mais prático seria selecionar um quadrado latino padronizado aleatoriamente (estes são tabulados) e então:

  1. permutar aleatoriamente as colunas,
  2. permute aleatoriamente as linhas e, em seguida,
  3. atribua os tratamentos às letras latinas de forma aleatória.

Considere uma configuração de fábrica em que você está produzindo um produto com 4 operadores e 4 máquinas. Chamamos as colunas de operadores e as linhas de máquinas. Em seguida, você pode atribuir aleatoriamente os operadores específicos a uma linha e as máquinas específicas a uma coluna. O tratamento é um dos quatro protocolos de produção do produto e nosso interesse está no tempo médio necessário para a produção de cada produto. Se a máquina e o operador afetam o tempo de produção, então, ao usar um desenho do quadrado latino, essa variação devido à máquina ou aos operadores será efetivamente removida da análise.

A tabela a seguir fornece os graus de liberdade para os termos no modelo.


Conteúdo

A análise do Sudoku se divide em duas áreas principais:

  1. analisando as propriedades de grades concluídas
  2. analisar as propriedades de quebra-cabeças concluídos.

A análise inicial foi amplamente focada em enumerar soluções, com resultados aparecendo pela primeira vez em 2004. [1]

Existem muitas variantes do Sudoku, parcialmente caracterizadas pelo tamanho (N), e a forma de seus regiões. A menos que indicado, a discussão neste artigo pressupõe o Sudoku clássico, ou seja, N= 9 (uma grade 9 × 9 e 3 × 3 regiões). Um Sudoku retangular usa regiões retangulares de dimensão linha-coluna R×C. Outras variantes incluem aquelas com regiões de formato irregular ou com restrições adicionais (hipercubo) ou diferentes tipos de restrições (Samunamupure).

Regiões também são chamadas blocos ou caixas. UMA banda é uma parte da grade que encapsula 3 linhas e 3 caixas, e um pilha é uma parte da grade que encapsula 3 colunas e 3 caixas. UMA quebra-cabeça é um parcialmente concluído rede, e os valores iniciais são dados ou pistas. UMA apropriado puzzle tem uma solução única. UMA mínimo puzzle é um puzzle adequado do qual nenhuma pista pode ser removida sem a introdução de soluções adicionais. Consulte o Glossário de Sudoku para outras terminologias. [2]

Resolver Sudokus do ponto de vista de um jogador foi explorado no livro de Denis Berthier "The Hidden Logic of Sudoku" (2007) [3], que considera estratégias como "cadeias xy ocultas".

Contexto matemático Editar

O problema geral de resolver quebra-cabeças de Sudoku em n 2 ×n 2 grades de n×n blocos são conhecidos por serem NP-completos. [4] Para n= 3 (Sudoku clássico), entretanto, esse resultado é de pouca relevância prática: algoritmos como Dancing Links podem resolver quebra-cabeças em uma fração de segundo devido ao pequeno tamanho do problema. [ citação necessária ]

Um quebra-cabeça pode ser expresso como um problema de coloração de gráfico. [5] O objetivo é construir uma 9-coloração de um gráfico particular, dada uma 9-coloração parcial. O gráfico Sudoku possui 81 vértices, um vértice para cada célula. Os vértices são rotulados com pares ordenados (x, y), Onde x e y são inteiros entre 1 e 9. Neste caso, dois vértices distintos marcados por (x, y) e (x′, y′) São unidos por uma aresta se e somente se:

  • x = x′ (Mesma coluna) ou,
  • y = y′ (Mesma linha) ou,
  • x/3 ⌉ = ⌈ x′ / 3 ⌉ e ⌈ y/3 ⌉ = ⌈ y′ / 3 ⌉ (mesma célula 3 × 3)

O quebra-cabeça é então completado atribuindo um inteiro entre 1 e 9 a cada vértice, de forma que os vértices que são unidos por uma aresta não tenham o mesmo inteiro atribuído a eles.

Uma grade de solução Sudoku também é um quadrado latino. [5] Existem significativamente menos grades de Sudoku do que quadrados latinos porque o Sudoku impõe a restrição regional adicional.

Sudokus das tabelas de grupo Editar

Como no caso dos quadrados latinos, as tabelas de (adição ou) multiplicação (tabelas de Cayley) de grupos finitos podem ser usadas para construir Sudokus e tabelas de números relacionadas. Ou seja, deve-se levar em consideração os subgrupos e grupos de quociente:

Sob essa visão, escrevemos o exemplo, Grade 1, para n = 3 < displaystyle n = 3>.

Para que esse método funcione, geralmente não é necessário um produto de dois grupos de tamanhos iguais. A chamada sequência exata curta de grupos finitos de tamanho apropriado já dá conta do recado. Experimente, por exemplo, o grupo Z 4 < displaystyle mathbb _ <4>> com quociente- e subgrupo Z 2 < displaystyle mathbb _ <2>>. Parece claro (já pelos argumentos de enumeração) que nem todos os Sudokus podem ser gerados dessa maneira.

Edição de variantes

Um Sudoku pode ser interpretado como um ladrilho (ou cobertura) de um quadrado latino com poliominós (o regiões do Sudoku). O clássico Sudoku 9 × 9 é feito de nonominós quadrados. É possível aplicar as regras do Sudoku a quebra-cabeças de outros tamanhos, embora apenas N 2 ×N 2 quebra-cabeças Sudoku podem ser colocados lado a lado com poliominós quadrados.

Consulte o Glossário de Sudoku para uma lista expandida de variantes.

Editar regiões retangulares

Uma variante popular é feita de regiões retangulares (blocos ou caixas) - por exemplo, hexominós 2 × 3 lado a lado em uma grade 6 × 6. A seguinte notação é usada para discutir esta variante:

  • R×C denota uma região retangular com R linhas e C colunas.
  • A configuração de grade implícita tem:
    • dimensões da grade N×N, Onde N = R×C
    • Nblocos (caixas) de tamanho R×C, organizado em um C×R 'supergrid'
    • Cbandas do tamanho R×N, consiste em R blocos horizontalmente adjacentes
    • Rpilhas do tamanho N×C, consiste em C blocos verticalmente adjacentes

    Sudoku com quadrado N×N regiões são mais simétricas do que Sudoku retangular, uma vez que cada linha e coluna se cruzam N regiões e compartilhamentos N células com cada um. O número de bandas e pilhas também é igual N. O Sudoku "3 × 3" é adicionalmente único: N é também o número de restrições linha-coluna-região do Uma regra (ou seja, existem N= 3 tipos de unidades).

    Jigsaw sudokus Editar

    Um Sudoku cujas regiões não são (necessariamente) quadradas ou retangulares é conhecido como Jigsaw Sudoku. Em particular, um N×N quadrado onde N é primo só pode ser colocado lado a lado com irregular N-ominós. Para pequenos valores de N o número de maneiras de agrupar o quadrado (excluindo simetrias) foi calculado (sequência A172477 no OEIS). [6] Para N ≥ 4 algumas dessas peças não são compatíveis com nenhum quadrado latino, ou seja, todos os quebra-cabeças de Sudoku em tal ladrilho não têm solução. [6]

    A resposta à pergunta 'Quantas grades de Sudoku existem?' depende da definição de quando soluções semelhantes são consideradas diferentes.

    Edição de Sudoku Comum

    Todas as soluções Editar

    Para a enumeração de tudo possíveis soluções, duas soluções são consideradas distintas se qualquer um de seus valores de célula (81) correspondentes diferir. As relações de simetria entre soluções semelhantes são ignoradas. as rotações de uma solução são consideradas distintas. As simetrias desempenham um papel significativo na estratégia de enumeração, mas não na contagem de tudo soluções possíveis.

    A primeira solução conhecida para completar a enumeração foi postada por QSCGZ (Guenter Stertenbrink) para o rec.puzzles newsgroup em 2003, [7] [8] [9] obtendo 6,670,903,752,021,072,936,960 (6,67 × 10 21) soluções distintas.

    Em um estudo de 2005, Felgenhauer e Jarvis [10] [9] analisaram as permutações da banda superior usada em soluções válidas. Uma vez que as simetrias Band1 e classes de equivalência para as soluções de grade parcial foram identificadas, as conclusões das duas bandas inferiores foram construídas e contadas para cada classe de equivalência. A soma das conclusões sobre as classes de equivalência, ponderadas pelo tamanho da classe, dá o número total de soluções como 6.670.903.752.021.072.936.960, confirmando o valor obtido por QSCGZ. O valor foi posteriormente confirmado inúmeras vezes de forma independente. Uma segunda técnica de enumeração baseada na geração de banda foi desenvolvida posteriormente e é significativamente menos intensiva em termos de computação. Essa técnica subsequente resultou na necessidade de aproximadamente 1/97 do número de ciclos de computação das técnicas originais, mas era significativamente mais complicada de configurar.

    Soluções essencialmente diferentes Editar

    Transformações de preservação de validade Editar

    Duas grades válidas são essencialmente o mesmo se um pode ser derivado do outro, usando um assim chamado transformação de preservação de validade (VPT). Essas transformações sempre transformam uma grade válida em outra grade válida. Existem dois tipos principais: permutações de símbolos (reclassificação) e permutações de células (rearranjos). Eles estão:

    • Símbolos de reclassificação (9!)
      (Uma vez que todas as combinações de reetiquetagem possíveis são eliminadas, exceto uma: por exemplo, mantendo a linha superior fixa em [123456789], o número de grades fixas reduz para 18.383.222.420.692.992. Este valor é 6.670.903.752.021.072.936.960 dividido por 9!)

    e reorganizando (embaralhamento):

    • Permutações de banda (3!)
    • Permutações de linha dentro de uma banda (3! × 3! × 3!)
    • Permutações de pilha (3!)
    • Permutações de coluna dentro de uma pilha (3! × 3! × 3!)
    • Reflexão, transposição e rotação (2)
      (Dada uma única transposição ou rotação de quarto de volta em conjunto com as permutações acima, qualquer combinação de reflexões, transposições e rotações pode ser produzida, portanto, essas operações contribuem apenas com um fator de 2)

    Essas operações definem uma relação entre grades equivalentes. Com relação aos 81 valores da célula da grade, as operações de reorganização formam um subgrupo do grupo simétrico S81, da ordem 3! 8 × 2 = 3.359.232. As operações de reclassificação são isomórficas com S9 e gere um adicional de 9! = 362.880 grades equivalentes. Aplicar essas operações em uma grade resulta em 3! 8 × 2 × 9! ou 1.218.998.108.160 grades essencialmente equivalentes. No entanto, há um pequeno número de sudokus para os quais as operações acima geram menos grades - são os sudokus auto-semelhantes ou automórficos. Apenas cerca de 0,01% de todas as grades essencialmente únicas são automórficas, [11] mas contá-las é necessário para avaliar o número exato de sudokus essencialmente diferentes.

    O grupo de simetria sudoku Editar

    A estrutura precisa do grupo de simetria do sudoku pode ser expressa sucintamente usando o produto coroa (≀). As possíveis permutações de linha (ou coluna) formam um grupo isomórfico para S3S3 da ordem 3! 4 = 1.296. [12] Todo o grupo de rearranjo é formado deixando a operação de transposição (isomórfica para C2) agir em duas cópias desse grupo, uma para as permutações de linha e outra para as permutações de coluna. Isso é S3S3C2, um grupo da ordem 1.296 2 × 2 = 3.359.232. Finalmente, as operações de reclassificação comutam com as operações de rearranjo, então o grupo sudoku completo (VPT) é (S3S3C2) × S9 da ordem 1.218.998.108.160.

    Pontos fixos e lema de Burnside Editar

    O conjunto de grades equivalentes que podem ser alcançadas usando essas operações (excluindo reetiquetagem) forma uma órbita de grades sob a ação do grupo de rearranjo. O número de soluções essencialmente diferentes é então o número de órbitas, que pode ser calculado usando o lema de Burnside. The Burnside pontos fixos são grades que não mudam durante a operação de reorganização ou apenas diferem por meio de nova etiquetagem. Para simplificar o cálculo, os elementos do grupo de rearranjo são classificados em classes de conjugação, cujos elementos têm todos o mesmo número de pontos fixos. Acontece que apenas 27 das 275 classes de conjugação do grupo de rearranjo têm pontos fixos [13], essas classes de conjugação representam os diferentes tipos de simetria (auto-similaridade ou automorfismo) que podem ser encontrados em grades de sudoku completas. Usando esta técnica, Ed Russell e Frazer Jarvis foram os primeiros a calcular o número de soluções de sudoku essencialmente diferentes como 5,472,730,538. [13] [14]

    Número de grades fixas
    (até a reclassificação),

    Número de grades fixas
    (até a reclassificação),

    Observe que uma grade pode ser um ponto fixo de várias transformações simultaneamente, por exemplo, qualquer grade que tenha uma simetria de um quarto de volta também tem uma simetria de meia volta. A combinação de todas as transformações que fixam uma grade específica é o subgrupo estabilizador ("grupo de automorfismo") dessa grade.

    Editar subgrupos do estabilizador

    Russell compilou uma lista de 122 "essencialmente diferentes" classes de conjugação de subgrupo de estabilizador não trivial ("grupos de automorfismo"), [16] [17] junto com uma grade de exemplo, as classes de conjugação VPT no grupo, um conjunto de geradores e o número de grades (órbitas) essencialmente diferentes com essa classe de estabilizador. Até o isomorfismo, existem 26 estruturas de grupo diferentes. [18] Existem 15 tamanhos diferentes de grupos de estabilizadores possíveis, listados na próxima seção.

    Número de grades essencialmente equivalentes Editar

    Cada uma das grades essencialmente únicas pode ser analisada [11] para auto-similaridades ("automorfismos") para avaliar a 'deficiência' no número de grades essencialmente equivalentes. Os resultados estão resumidos na tabela abaixo. No total, 560.151 das 5.472.730.538 grades essencialmente únicas (cerca de 0,01%) têm uma forma de auto-similaridade (um estabilizador não trivial).

    O tamanho da órbita (ou seja, o número de grades essencialmente equivalentes) pode ser calculado usando o teorema do estabilizador de órbita: é o tamanho do grupo de simetria sudoku dividido pelo tamanho do grupo estabilizador (ou "automorfismo"). Multiplicar o número de grades essencialmente únicas (o número de órbitas) com o tamanho da órbita dá o número total de grades com a soma do tamanho do grupo estabilizador e, mais uma vez, fornece o número total de grades sudoku possíveis. As grades "automórficas" têm órbitas menores, então a probabilidade de que uma grade aleatória tenha uma simetria cai: de cerca de 1 em 10.000 para grades essencialmente diferentes para cerca de 1 em 20.000 para todas as grades.

    Número de grades de sudoku por tamanho do grupo do estabilizador [11]
    Tamanho de
    estabilizador
    grupo
    No. de essencialmente
    grades únicas
    (número de órbitas)
    Grades equivalentes
    (tamanho da órbita),
    ignorando a reclassificação
    Número de grades,
    ignorando a reclassificação
    Grades equivalentes (tamanho da órbita),
    incluindo reclassificação
    Número total de grades
    1 5,472,170,387 3,359,232 18,382,289,873,462,784 1,218,998,108,160 6,670,565,349,282,175,057,920
    2 548,449 1,679,616 921,183,715,584 609,499,054,080 334,279,146,711,121,920
    3 7,336 1,119,744 8,214,441,984 406,332,702,720 2,980,856,707,153,920
    4 2,826 839,808 2,373,297,408 304,749,527,040 861,222,163,415,040
    6 1,257 559,872 703,759,104 203,166,351,360 255,380,103,659,520
    8 29 419,904 12,177,216 152,374,763,520 4,418,868,142,080
    9 42 373,248 15,676,416 135,444,234,240 5,688,657,838,080
    12 92 279,936 25,754,112 101,583,175,680 9,345,652,162,560
    18 85 186,624 15,863,040 67,722,117,120 5,756,379,955,200
    27 2 124,416 248,832 45,148,078,080 90,296,156,160
    36 15 93,312 1,399,680 33,861,058,560 507,915,878,400
    54 11 62,208 684,288 22,574,039,040 248,314,429,440
    72 2 46,656 93,312 16,930,529,280 33,861,058,560
    108 3 31,104 93,312 11,287,019,520 33,861,058,560
    162 1 20,736 20,736 7,524,679,680 7,524,679,680
    648 1 5,184 5,184 1,881,169,920 1,881,169,920
    & gt1 560,151 932,547,230,208 338,402,738,897,879,040
    5,472,730,538 18,383,222,420,692,992 6,670,903,752,021,072,936,960

    Outras variantes Editar

    Os resultados da enumeração para muitas variantes do Sudoku foram calculados: eles estão resumidos abaixo.

    Sudoku com restrições adicionais Editar

    A seguir estão todas as restrições do clássico Sudoku 3 × 3 (grade 9 × 9). Os nomes dos tipos não foram padronizados: clique nos links de atribuição para ver as definições. O Sudoku comum está incluído na última linha para comparação.

    Modelo Número de grades Atribuição Verificado?
    Sudoku quase mágico 248,832 Jones, Perkins e Roach [19] Sim [ citação necessária ]
    Sudoku mágico 5,971,968 Stertenbrink [20] Sim [ citação necessária ]
    Hipercubo 37,739,520 Stertenbrink [21] Sim [ citação necessária ]
    3doku 104,015,259,648 Stertenbrink [22] Sim [ citação necessária ]
    NRC Sudoku 6,337,174,388,428,800 Brouwer [23] Sim [ citação necessária ]
    Sudoku X 55,613,393,399,531,520 Russell [24] Sim [ citação necessária ]
    Grupos Disjuntos 201,105,135,151,764,480 Russell [25] Sim [ citação necessária ]

    Sudoku com regiões retangulares Editar

    Na tabela, as dimensões do bloco são aquelas das regiões (por exemplo, 3 × 3 no Sudoku normal). A coluna "Rel Err" indica como uma aproximação simples [26] baseada em contagens de banda calculadas (detalhadas nas seções abaixo) se compara à contagem de grade verdadeira: é uma subestimativa em todos os casos avaliados até agora. Os números para grades de blocos quadrados (n 2 × n 2) estão listados em (sequência A107739 no OEIS), e os números para 2 × n blocos (2n × 2n grades) estão listados em (sequência A291187 no OEIS).

    Semelhante aos quadrados latinos, o número de grades de sudoku pode ser reduzido observando que há uma correspondência um a um com uma forma parcialmente padronizada, em que o primeiro bloco tem os rótulos canônicos e tanto a linha superior quanto a coluna mais à esquerda são classificadas (tanto quanto as regras permitem, ou seja, dentro dos blocos e as próprias pilhas / bandas). Para uma grade com blocos R × C < displaystyle R times C>, cada grade reduzida corresponde a

    Um Sudoku resolvido permanecerá válido sob as ações das transformações de preservação de validade (ver também Jarvis [13]). Contando cuidadosamente o número de grades invariantes para cada transformação, pode-se calcular o número de grades Sudoku essencialmente diferentes (veja acima). Métodos semelhantes foram aplicados a grades de sudoku de outras dimensões e os resultados estão resumidos na tabela abaixo. Para grades de blocos quadrados (sequência A109741 no OEIS), a transformação de transposição pode ou não (ver abaixo) ser incluída no grupo VPT (simetria). O número de grades essencialmente diferentes pode ser estimado dividindo o número total de grades (conhecidas ou estimadas) pelo tamanho do grupo VPT (que é facilmente calculado), que essencialmente assume que o número de sudokus automórficos é insignificante. Os números para 2 × n blocos (2n × 2n grades) estão listados em (sequência A291188 no OEIS).

    Método de estimativa Editar

    O método de Kevin Kilfoil [49] (generalizado por Pettersen [26]) pode ser usado para estimar o número de grades concluídas usando o número de bandas e pilhas possíveis concluídas. O método afirma que as restrições de linha e coluna do Sudoku são, à primeira aproximação, condicionalmente independentes, dada a restrição de caixa. Isso dá a Fórmula Kilfoil-Silver-Pettersen: [26]

    Esta estimativa provou ser precisa em cerca de 0,2% para a grade clássica 9 × 9, e dentro de 1% para grades maiores para as quais os valores exatos são conhecidos (consulte a tabela acima).

    Número de bandas Editar

    a soma externa é assumida por todos uma,b,c tal que 0≤uma,b,c e uma+b+c=2C. a soma interna é assumida por todos k12,k13,k14,k23,k24,k34 ≥ 0 tal que k12,k34uma e k13,k24b e k14,k23c e k12+k13+k14 = umak12+k23+k24 = bk13+ck23+k34 = ck14+bk24+umak34 = C

    A soma externa corresponde a uma divisão da banda em duas "sub-bandas" de 2 caixas de cada um dos números uma, b e c descreve a divisão e deve corresponder às duas sub-bandas, de modo que a soma pode ser elevada ao quadrado.

    As variáveis ​​de divisão são descritas como: "uma é o número de símbolos nas linhas 1 e 2 nas primeiras caixas (ou seja, símbolos que estão na linha 1 na caixa 1 e na linha 2 na caixa 2 OU na linha 1 na caixa 2 e na linha 2 na caixa 1). Será então também o número de símbolos nas linhas 3 e 4 nas primeiras duas caixas, bem como o número de símbolos nas linhas 1 e 2 nas duas últimas caixas, e o número de símbolos nas linhas 3 e 4 na primeiras duas caixas. b é o número de símbolos nas linhas 1 e 3 nas duas primeiras caixas, junto com outras combinações como para a variável uma. c é o número de símbolos nas linhas 1 e 4 nas duas primeiras caixas. "[50]

    A soma interna conta o número de sub-bandas para um determinado uma,b,c especificação: "Entre os uma símbolos que se encontram nas linhas 1 e 2 nas caixas 1 e 2, k12 conta quantos deles estão na linha 1 da casa 1 (e, portanto, também na linha 2 da casa 2). Em geral, para eu& ltj, entre os símbolos na linha eu e j nas primeiras duas caixas, keu j diz quantos deles estão em linha eu na caixa 1 e linha j na caixa 2. "[50]

    Várias contagens de bandas conhecidas estão listadas abaixo. O algoritmo de Petersen, [53] conforme implementado e melhorado por Silver, [54] divide a banda em sub-bandas, que são então agrupadas em classes de equivalência. É atualmente a técnica mais rápida conhecida para avaliação exata destes bR, C.

    Dimensões Número de bandas Atribuição Verificado?
    Banda Blocos
    3×6 3×2 6! × 2! 6 × 10 = 460800 Pettersen (fórmula)
    3×9 3×3 9! × 3! 6 × 56 = 9! × 2612736 = 948109639680 ≈ 9,4811 × 10 11 (44 classes de equivalência [10] [55]) Vários [10] [30]
    3×12 3×4 12! × 4! 6 × 346 = 31672366418991513600 ≈ 3.1672 × 10 19 Stertenbrink [ citação necessária ] Sim [56]
    3×15 3×5 15! × 5! 6 × 2252 ≈ 8.7934 × 10 27 Pettersen (fórmula) [37]
    (valores maiores de 3 × C podem ser facilmente calculados usando a fórmula fornecida acima)
    4×8 4×2 8! × 2! 12 × 5016 = 828396011520 ≈ 8.2840 × 10 11 [ citação necessária ]
    4×12 4×3 12! × 3! 12 × 2180544 = 2273614462643364849254400 ≈ 2.2736 × 10 24 Pettersen [30] Sim [56]
    4×16 4×4 16! × 4! 12 × 1273431960 ≈ 9.7304 × 10 38 Prata [38] [57] Sim [ citação necessária ]
    4×20 4×5 20! × 5! 12 × 879491145024 ≈ 1.9078 × 10 55 Russell [57] Sim [ citação necessária ]
    4×24 4×6 24! × 6! 12 × 677542845061056 ≈ 8.1589 × 10 72 Russell [57] Sim [ citação necessária ]
    4×28 4×7 28! × 7! 12 × 563690747238465024 ≈ 4.6169 × 10 91 Russell [57] Sim [ citação necessária ]
    (cálculos de até 4 × 100 foram realizados por Silver, [58] mas não estão listados aqui)
    5×10 5×2 10! × 2! 20 × 364867776 ≈ 1,3883 × 10 21 (355 classes de equivalência [33]) [ citação necessária ] Não
    5×15 5×3 15! × 3! 20 × 324408987992064 ≈ 1.5510 × 10 42 Prata [39] Sim mesmo autor, método diferente
    5×20 5×4 20! × 4! 20 × 518910423730214314176 ≈ 5.0751 × 10 66 Prata [39] Sim mesmo autor, método diferente
    5×25 5×5 25! × 5! 20 × 1165037550432885119709241344 ≈ 6.9280 × 10 93 Pettersen / Prata [40] Não
    5×30 5×6 30! × 6! 20 × 3261734691836217181002772823310336 ≈ 1.2127 × 10 123 Pettersen / Prata [40] Não
    5×35 5×7 35! × 7! 20 × 10664509989209199533282539525535793414144 ≈ 1.2325 × 10 154 Pettersen / Silver [59] Não
    5×40 5×8 40! × 8! 20 × 39119312409010825966116046645368393936122855616 ≈ 4.1157 × 10 186 Pettersen / Silver [54] Não
    5×45 5×9 45! × 9! 20 × 156805448016006165940259131378329076911634037242834944 ≈ 2.9406 × 10 220 Pettersen / Silver [ citação necessária ] Não
    5×50 5×10 50! × 10! 20 × 674431748701227492664421138490224315931126734765581948747776 ≈ 3.2157 × 10 255 Pettersen / Silver [ citação necessária ] Não
    6×12 6×2 12! × 2! 30 × 9480675056071680 = 4876139207527966044188061990912000 ≈ 4.8761 × 10 33 Pettersen [60] Não

    Número mínimo de dados Editar

    Sudokus comum (apropriado quebra-cabeças) têm uma solução única. UMA mínimo Sudoku é um Sudoku do qual nenhuma pista pode ser removida, deixando-o um Sudoku adequado. Sudokus mínimos diferentes podem ter um número diferente de pistas. Esta seção discute o número mínimo de dados para quebra-cabeças adequados.


    Conteúdo

    Edição de capacidade de resolução

    Johnson & amp Story (1879) usaram um argumento de paridade para mostrar que metade das posições iniciais para o n quebra-cabeças são impossíveis de resolver, não importa quantos movimentos sejam feitos. Isso é feito considerando uma função da configuração do bloco que é invariável sob qualquer movimento válido e, em seguida, usando isso para particionar o espaço de todos os estados rotulados possíveis em duas classes de equivalência de estados alcançáveis ​​e inacessíveis.

    O invariante é a paridade da permutação de todos os 16 quadrados mais a paridade da distância do táxi (número de linhas mais número de colunas) do quadrado vazio do canto inferior direito. Isso é invariante porque cada movimento altera a paridade da permutação e a paridade da distância do táxi. Em particular, se o quadrado vazio estiver no canto inferior direito, o quebra-cabeça pode ser resolvido se e somente se a permutação das peças restantes for par.

    Johnson & amp Story (1879) também mostraram que o inverso se aplica a placas de tamanho m×n forneceu m e n são ambos pelo menos 2: todas as permutações pares está solucionável. Isso é simples, mas um pouco confuso de provar por indução em m e n começando com m=n= 2. Archer (1999) deu outra prova, baseada na definição de classes de equivalência por meio de um caminho hamiltoniano.

    Wilson (1974) estudou a generalização do quebra-cabeça 15 para grafos finitos arbitrários, sendo o problema original o caso de um gráfico de grade 4 × 4. O problema tem alguns casos degenerados em que a resposta é trivial ou uma simples combinação das respostas para o mesmo problema em alguns subgráficos. Ou seja, para caminhos e polígonos, o quebra-cabeça não tem liberdade se o gráfico for desconectado, apenas o componente conectado do vértice com o "espaço vazio" é relevante e se houver um vértice de articulação o problema se reduz ao mesmo quebra-cabeça em cada um dos os componentes bicconectados desse vértice. Excluindo esses casos, Wilson mostrou que além de um grafo excepcional em 7 vértices, é possível obter todas as permutações a menos que o grafo seja bipartido, caso em que exatamente as permutações pares podem ser obtidas. O gráfico excepcional é um hexágono regular com uma diagonal e um vértice no centro adicionado, apenas 1/6 de suas permutações podem ser obtidas.

    Para versões maiores do n quebra-cabeça, encontrar uma solução é fácil, mas o problema de encontrar o o mais curto solução é NP-difícil. Também é NP-difícil aproximar o menor número de slides dentro de uma constante aditiva, mas há uma aproximação de fator constante de tempo polinomial. [2] [3] Para o quebra-cabeça de 15, os comprimentos das soluções ideais variam de 0 a 80 movimentos de uma única peça (há 17 configurações que exigem 80 movimentos) [4] [5] ou 43 movimentos de várias peças [6] a 8 O quebra-cabeça sempre pode ser resolvido em não mais do que 31 movimentos de uma única peça ou 24 movimentos de várias peças (sequência inteira A087725). A métrica de vários ladrilhos conta os movimentos subsequentes do ladrilho vazio na mesma direção de um. [6]

    As transformações dos quinze quebra-cabeças formam um grupóide (não um grupo, pois nem todos os movimentos podem ser compostos) [12] [13] [14] este grupóide atua nas configurações.

    Edição de Teoria de Grupo

    Como as combinações do quebra-cabeça 15 podem ser geradas por 3 ciclos, pode-se provar que o quebra-cabeça 15 pode ser representado pelo grupo alternado A 15 < displaystyle A_ <15>>. [15] Na verdade, qualquer quebra-cabeça deslizante 2 k - 1 < displaystyle 2k-1> com ladrilhos quadrados de tamanho igual pode ser representado por A 2 k - 1 < displaystyle A_ <2k-1>>.

    Em uma visão alternativa do problema, podemos considerar o invariante como a soma da paridade do número de inversões na ordem atual das 15 peças numeradas e a paridade da diferença no número da linha do quadrado vazio do número da linha da última linha. (Vamos chamá-lo de distância da linha da última linha.) Esta é uma invariante porque cada movimento da coluna, quando movemos uma peça dentro da mesma coluna, altera a paridade do número de inversões (alterando o número de inversões em ± 1 , ± 3) e a paridade da distância da linha desde a última linha (alterando a distância da linha em ± 1) e cada movimento da linha, quando movemos uma peça dentro da mesma linha, não altera nenhuma das duas paridades. Agora, se olharmos para o estado resolvido do quebra-cabeça, essa soma é par. Conseqüentemente, é fácil provar por indução que qualquer estado do quebra-cabeça para o qual a soma acima seja ímpar não pode ser resolvido. Em particular, se o quadrado vazio estiver no canto inferior direito (mesmo em qualquer lugar na última linha), o quebra-cabeça pode ser resolvido se e somente se o número de inversões das peças numeradas for par.


    Peça 4 quadrados mágicos

    Existem 880 quadrados mágicos básicos de ordem 4. O conjunto completo foi compilado por Bernard Fr nicle de Bessy antes de 1675. [1] [2]
    Esta lista foi recalculada e verificada por muitas pessoas desde então (eu inclusive).

    Esses 880 quadrados mágicos foram classificados em 12 grupos por H. E. Dudeney e publicados pela primeira vez em A rainha, 15 de janeiro de 1910. Os diagramas de classificação apareceram mais tarde em Divertimentos em matemática, 1917, publicado por Thomas Nelson & amp Sons, Ltd.

    Tanto a lista de quadrados mágicos quanto a classificação do grupo foram publicadas mais recentemente em [3].

    [1] Fr nicle de Bessy, Des Quarrez ou Tables Magiques, incluindo: Table generale des quarrez de quatre. Mem. de l Acad. Roy. des Sc. 5 (1666-1699) (1729) 209-354. (Fr nicle morreu em 1675).
    [2] B. Fr nicle de Bessy, et al., Divers ouvrages de mathematique et de physique (1693).
    Ollerenshaw & amp Bondi citam uma edição de 1731 de Haia ??) (= Divers Ouvrages de Math matique et de Physique par Messieurs de l Acad mie des Sciences ed. P. de la Hire e Paris, 1693, pp. 423- 507, ?? NYS. (Rara, 632) .Recueil de divers Ouvrages de Mathematique de Mr. Frenicle.
    B. Fr nicle de Bessy, Trait des triângulos retângulos en nombres, dans lequel plusieurs belles propriet s de ces triângulos sont demontr es par de nouveaux principes (1676) NÃO continham quadrados mágicos. (Paul Pasles email 14 de janeiro de 2003).
    [3] William H. Benson e Oswald Jacoby, Novas recreações com quadrados mágicos, Dover Publ., 1976, 0-486-23236-0.

    Os 12 grupos são classificados pelos padrões formados pelos 8 pares de complemento.
    Um par de complemento são dois números que juntos somam n 2 + 1. Para a ordem 4, esse número é 17.


    Grupo I

    Grupo II

    Grupo III

    Grupo IV

    Grupo V

    Grupo VI

    Grupo VII

    Grupo VIII

    Grupo IX

    Grupo X

    Grupo XI

    Grupo XII

    Os grupos III e VI são semelhantes. Ou seja, quando cada número é complementado, o mesmo quadrado mágico é gerado (apenas em uma orientação diferente).

    Os próprios doze grupos podem ser agrupados em quatro conjuntos, nos quais os grupos em cada conjunto estão fortemente relacionados. Eles estão:

    Os membros de cada conjunto têm muitos recursos em comum que se tornam evidentes ao trabalhar com transições.
    Além disso, os conjuntos 1 e 2 estão intimamente relacionados, conforme evidenciado pelo fato de que 30 das 48 transformações listadas na página Resumo das transformações funcionam para todos os seis grupos desses dois conjuntos.
    Os conjuntos 2 e 3 têm 2 orientações do padrão de pares complementares. 0 e 90 .
    Conjunto 4, cada grupo tem 3 orientações. O Grupo XI tem 0 , 180 e 270 . O grupo XII tem 0 , 90 e 180 .

    Nesta página, postei todos os quadrados mágicos de ordem 4 dos cinco grupos menores, que por acaso também são os mais interessantes.

    As quatro páginas a seguir contêm a lista completa de 880 soluções. Eles aparecem uma solução por linha, na ordem do índice. Cada linha inclui o grupo Dudeney com grau de rotação necessário e o número do par de complemento e solução de parceiro,
    Cada página é bem grande, então seja paciente enquanto ela carrega.

    Dois arquivos estão disponíveis para download:
    Um é classificado na ordem do índice, o outro também está na ordem do índice, mas classificado em 12 grupos diferentes.

    Uma nota sobre os Grupos I, II e III.
    Estes são os quadrados mágicos mais ricos em recursos de ordem-4. Na verdade, os quadrados mágicos pandiagonais também são conhecidos como perfeito.
    Todos os quadrados mágicos dos Grupos I, II e III têm a característica de que as células de canto de muitos 2x2 (ou seja, todas as células) e todos os quadrados 3x3 e 4x4 somam 34 (a constante mágica).
    Consulte a nota após a lista de cada grupo para perceber outros recursos intimamente relacionados!

    Estes são os 48 quadrados mágicos pandiagonais de ordem 4. Eles estão espalhados pelos 880 quadrados mágicos desta ordem. O número acima de cada quadrado é a posição na lista indexada. As letras A, B, C indicam a qual dos 3 conjuntos de 16 aquele quadrado pertence.

    Dos 48 quadrados mágicos do Grupo I, existem 12 pares em que as linhas 1 e 3 são idênticas. Em cada caso, as linhas 2 e 4 também são idênticas, mas trocadas. Consulte as notas no final das listagens do grupo II e do grupo III para ver a relação próxima entre os 3 grupos.

    Os quadrados mágicos neste grupo são todos semi-pandiagonais e têm a característica adicional de diagonais curvos mágicos. For # 21 (below) these are 1, 16, 2,15 15, 2 11, 6, 6, 11, 5, 12 12, 5, 16, 1 and their reverses such as 13, 4, 14, 3.

    Of the 48 Group II magic squares, there are 20 pairs where the first two lines are identical. In each case, lines 3 and 4 are also identical but interchanged.

    Group III The symmetricals

    Of the 48 Group III magic squares, there are 13 pairs where lines 1 and 4 are identical. In each case, lines 2 and 3 are also identical but interchanged.
    Pair 850/860 and 7 other pairs have columns 1 and 4 the same, columns 2 and 3 interchanged. There are only 6 of the 48 magic squares that do not belong to one or the other of these two sets.

    These two groups are the only ones not symmetrical around the horizontal e vertical center lines of the square. Consequently transformations to or from other groups will produce different results depending on the orientation of the particular magic square in these two groups.

    Examining the main diagonals of the 8 group XI and eight group XII magic squares reveal the similarity between these two groups. There are a total of nine sets of four numbers that comprise the 32 main diagonals of these 16 magic squares. The 4 numbers in each set may appear in different orders.
    For group XII, the first 8 appear once in the first 4 magic squares and once in the second 4 magic squares.


    The 4x4 Latin Squares and Alphabetical Patterns

    The fundamental 4x4 magic carpet can be represented by dots and spaces. Any line in any direction of length four contains two dots, i.e., it sums to 2 any selected 4x4 area is a pan-magic pattern. We can take four samples of this large carpet, rotate two of them, and make the only four possible order four magic carpets.

    Alphabetical Subsitution.

    Because they look somewhat like letters of the alphabet they are given a letter to identify them.

    The Composite Alphabetical Magic Carpet

    The dot in each of the above squares is replaced with its own letter. The four squares are then combined to make the composite square on the left and then the larger carpet on the right.

    Only one composite pattern exists. This one composite square underlies all order 4 pan-magic squares. Any 4x4 area contains each letter twice in every row, every line, and every diagonal. To make an actual 4x4 magic square the letters in this square would be replaced, respectively by 8, 4, 2, and 1 (see Main 4x4 Page).

    Neat Pattern.

    When the pattern is repeated, a large magic carpet emerges - pleasing and symmetrical - which makes the interesting colored pattern on the left.

    Not a Latin Square

    Strictly speaking this is not a "Latin Square". A Latin Square for order N uses N letters N times and each row and each column contains one of each letter. The above square can be converted into two Latin Squares.

    Two 4x4 Latin Squares

    The illustration below combines two 4x4 Latin Squares into a single, so-called Graeco-Latin square For convenience it employs Upper and Lower case Roman letters instead of using both Roman and Greek characters. The letters in the new square are derived from the square above:

    A when neither S nor N are present
    B when N is present
    C when S is present
    D when both S and N are present
    a when neither C nor A are present
    b when C is present
    c when A is present
    d when both C and A are present

    UMA B C D
    C D UMA B
    B UMA D C
    D C B UMA
    +
    uma d c b
    d uma b c
    b c d uma
    c b uma d
    =
    Aa Bd Cc Db
    Cd Da Ab Bc
    Bb Ac Dd Ca
    Dc Cb BA Ad

    Not Pan-Magic.

    Inspection of the resulting Graeco-Latin shows that that the rows and columns are inevitably " Magic " - they do contain one of each letter. This is, however, not true for any of the diagonals they can only add up to the magic sum for appropriately selected numerical substitutions.

    Limited Value for 4x4 Latin Squares.

    Because of this limitation, Latin Squares are of only limited use in constructing 4x4 pan-magic squares. There are two other possible 4x4 alphabetical squares and all three are shown below. The third is not even Latin in that, now, only the diagonals contain one of each letter.


    Alumni Scholarship

    Both alumni and the Mathematics and Statistics Department created the UWF Mathematics and Statistics Alumni Scholarship for exceptional students in the Math and Statistics department. This scholarship award will provide students who major in Mathematics and Statistics who have a cumulative graduate point average of 3.0. This scholarship will offer transformational opportunities for today’s students, tomorrow’s leaders. To make a gift to the UWF Mathematics and Statistics Alumni Scholarship please visit, uwf.edu/give and in the comments section, mention UWF Math/Stats Alumni Scholarship.


    Maximal sets of mutually orthogonal Latin squares (maxMOLS)

    Perhaps the most interesting order for MOLS is 10, because it is the smallest order for which Euler's famous conjecture fails and is also the first case where we do not know the size of the largest set of MOLS. Here is a bunch of random MOLS of Order 10. They were generated by making Latin squares at random and then exhaustively finding their mates. Some squares have multiple mates, in which case the square will be repeated within the file, once for each of its mates.

    Of course the question we'd all like to see answered is whether there is a triple of MOLS of order 10. The closest I've come is this example which is a pair of MOLS of order 10 that share 7 common transversals. If you can do better then let me know!

    Also, I wrote a paper on pairs of MOLS that cannot be extended to any triple of MOLS. Here are some of the examples from that paper, namely MOLS of order 10, 14 and 18.


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    PRESH TALWALKAR

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    By way of history, I started the Mind Your Decisions blog back in 2007 to share a bit of math, personal finance, personal thoughts, and game theory. It's been quite a journey! I thank everyone that has shared my work, and I am very grateful for coverage in the press, including the Shorty Awards, The Telegraph, Freakonomics, and many other popular outlets.

    I studied Economics and Mathematics at Stanford University.

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