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6: Frações contínuas - Matemática


6: Frações contínuas - Matemática

Frações continuadas I

Você encontrou a maneira mais fácil de calculá-los? Por exemplo, você deve ser capaz de ver que o último é $ <1 over displaystyle 1 + < strut 3 over displaystyle 5 >> quad = quad <5 over 8>. $ In esta sequência de frações contínuas você sempre pode calcular uma rapidamente usando a resposta anterior. A próxima fração nesta sequência é $ <1 over displaystyle 1 + < strut 5 over displaystyle 8 >> quad = quad <8 over 13>. $ Os números que obtemos na ordem são $ 1 , 2, 3, 5, 8, 13 $. Qual você acha que é o próximo número? Sim, esses são os números de Fibonacci. Qual você acha que é a próxima fração contínua na sequência?

Agora, vamos descobrir o que acontece se a fração contínua continuar para sempre. Escrevemos isso como $ f = <1 over displaystyle 1+ < strut 1 over displaystyle 1 + < strut 1 over displaystyle 1 + cdots >>>. $ Você pode ver por quê temos $ f = <1 over 1 + f> quad? $ Isso dá a equação quadrática $ f ^ 2 + f -1 = 0 $. Como $ f $ é positivo, obtemos a única solução $ f = < sqrt <5> -1 over 2>, $ a razão do lado mais curto para o mais longo do Retângulo Dourado!


Jq [editar]

Consideramos um dos pontos de interesse aqui a tarefa de representar a série infinita a0, a1,. e b0, b1,. compactamente, de preferência funcionalmente. Para o tipo de série normalmente encontrada em frações contínuas, isso é mais facilmente realizado em jq 1.4 usando um filtro (uma função), aqui chamado de "próximo", que, dado o triplo [i, [a [i], b [i ]], produzirá o próximo triplo [i + 1, a [i + 1], b [i + 1]].

Outro ponto de interesse é evitar a especificação do número de iterações. A abordagem adotada aqui permite especificar a precisão desejada em alguns casos, é possível especificar que o cálculo deve continuar até que a precisão permitida pela representação de ponto flutuante subjacente seja alcançada. Isso é feito especificando delta como 0, conforme mostrado nos exemplos.

Portanto, procedemos em duas etapas: continuou_fração (primeira próxima contagem) calcula uma aproximação com base nos primeiros termos de "contagem" e, em seguida, continuou_fraction_delta (primeiro próximo delta) calcula a fração contínua até que a diferença nas aproximações seja menor ou igual ao delta, que pode ser 0, conforme observado anteriormente.


MANUSCRITOS

02/2021

Novas caracterizações da função sumatória da função de Möbius
Texto completo: arXiv / 2102.05842 (math.NT) Referência de software: Cálculos de função de Mertens (GitHub) Palavras-chave: Função de Möbius Função de Mertens de Dirichlet inverso de Liouville função lambda função ômega principal função de contagem principal função de geração de Dirichlet Teorema de Erdős-Kac função fortemente aditiva. MSC (2010): 11N37 11A25 11N60 11N64 e 11-04.

04/2020

Um catálogo de identidades de série Lambert interessantes e úteis
Texto completo: https://arxiv.org/pdf/2004.02976.pdf (math.NT, math.HO) Palavras-chave: Série de Lambert Série de Lambert que gera a função divisor soma Anderson-Apostol soma Convolução de Dirichlet Função sumatória inversa de Dirichlet que gera a função de transformação de função aritmética de identidade de série. MSC (2010): 05A15, 11Y70, 11A25 e 11-00.

08/2017

Teoremas de fatoração para produtos Hadamard e derivados de ordem superior de funções geradoras da série de Lambert
Texto completo: https://arxiv.org/abs/1712.00608 (math.NT) Palavras-chave: Teorema da fatoração da série de Lambert função de partição da fatoração da matriz produto de Hadamard. MSC (2010): 11A25 11P81 05A17 05A19.

07/2017

Correlação de pares e distribuições de lacunas para blocos de substituição e conjuntos Ulam generalizados no plano
Trabalhou em estreita colaboração com Jayadev Athreya no projeto. Texto completo: https://arxiv.org/abs/1707.05509 Palavras-chave: substituição tiling cadeira Ammann Ulam definir correlação de par de distribuição de lacuna de distribuição direcional. MSC (2010): 52C20 06A99 11B05 62H11 52C23.

06/2017

Novos pares de fatores para fatorações de funções geradoras da série de Lambert
Com Mircea Merca. Texto completo: https://arxiv.org/abs/1706.02359 Palavras-chave: Teorema da fatoração da série de Lambert função de partição da fatoração da matriz. MSC (2010): 11A25 11P81 05A17 05A19.


Expressões

Você pode usar os seguintes operadores e parênteses para as expressões:

  • + para adição
  • - para subtração
  • * para multiplicação
  • / para divisão inteira
  • % para módulo (resto da divisão inteira)
  • ^ ou ** para exponenciação (o expoente deve ser maior ou igual a zero).
  • & lt, ==, & gt & lt =, & gt =,! = para comparações. Os operadores retornam zero para falso e -1 para verdadeiro.
  • E, OU, XOR, NÃO para lógica binária. As operações são feitas em binário (base 2). Os números positivos (negativos) são precedidos de um número infinito de bits definido como zero (um).
  • SHL ou & lt & lt: Quando b & ge 0, a SHL b desloca a para a esquerda o número de bits especificado por b. Isso é equivalente a a & vezes 2 b. Caso contrário, a SHL b desloca para a direita o número de bits especificado por & menos b. Isso é equivalente ao andar (a / 2 e menos b). Exemplo: 5 SHL 3 = 40.
  • SHR ou & gt & gt: Quando b & ge 0, a SHR b desloca para a direita o número de bits especificado por b. Isso é equivalente ao andar (a / 2 b). Caso contrário, a SHR b desloca a para a esquerda o número de bits especificado por & menos b. Isso é equivalente a a & vezes 2 & menos b. Exemplo: -19 SHR 2 = -5.
  • n!: fatorial (n deve ser maior ou igual a zero). Exemplo: 6! = 6 & vezes 5 & vezes 4 & vezes 3 & vezes 2 = 720.
  • n !! . !: fatorial múltiplo (n deve ser maior ou igual a zero). É o produto de n vezes n & menos k vezes n & menos 2k. (todos os números maiores que zero) onde k é o número de pontos de exclamação. Exemplo: 7 !! = 7 & vezes 5 & vezes 3 & vezes 1 = 105.
  • p #: primorial (produto de todos os primos menores ou iguais a p). Exemplo: 12 # = 11 & times 7 & times 5 & times 3 & times 2 = 2310.
  • B (n): Provável primo anterior antes n. Exemplo: B (24) = 23.
  • F (n): Fibonacci número Fn da sequência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc. onde cada elemento é igual à soma dos dois membros anteriores da sequência. Exemplo: F (7) = 13.
  • L (n): Lucas número Ln = F n -1 + F n +1
  • N (n): Próximo provável primo após n. Exemplo: N (24) = 29.
  • P (n): Número de partição irrestrito (número de decomposições de n em somas de inteiros independentemente da ordem). Exemplo: P (4) = 5 porque o número 4 pode ser particionado de 5 maneiras diferentes: 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1.
  • Gcd (m, n): Máximo divisor comum desses dois inteiros. Exemplo: GCD (12, 16) = 4.
  • Modinv (m, n): inverso de m módulo n, válido apenas quando m e n são coprimos, o que significa que não possuem fatores comuns. Exemplo: Modinv (3,7) = 5 porque 3 & vezes 5 & equiv 1 (mod 7)
  • Modpow (m, n, r): encontra m n módulo r. Exemplo: Modpow (3, 4, 7) = 4, porque 3 4 e equiv 4 (mod 7).
  • Jacobi (m, n): obtém o símbolo Jacobi de me n. Quando o segundo argumento é primo, o resultado é zero quando m é múltiplo de n, é um se houver uma solução de x & sup2 & equiv m (mod n) e é igual a & menos1 quando a congruência mencionada não tem solução.
  • IsPrime (n): retorna zero se n não for primo provável, -1 se for. Exemplo: IsPrime (5) = -1.
  • Sqrt (n): Parte inteira da raiz quadrada do argumento.
  • NumDigits (n, r): Número de dígitos de n na base r. Exemplo: NumDigits (13, 2) = 4 porque 13 em binário (base 2) é expresso como 1101.
  • SumDigits (n, r): Soma dos dígitos de n na base r. Exemplo: SumDigits (213, 10) = 6 porque a soma dos dígitos expressos em decimal é 2 + 1 + 3 = 6.
  • RevDigits (n, r): encontra o valor obtido escrevendo para trás os dígitos de n na base r. Exemplo: RevDigits (213, 10) = 312.

Você pode usar o prefixo 0x para números hexadecimais, por exemplo, 0x38 é igual a 56.


Fração contínua associada a solitons KdV

Fundo (pode ser ignorado por aqueles interessados ​​apenas na questão básica e não em associações importantes):

O CF para o recíproco é

Euler mostra que o valor de $ q $ é definido pela equação de Riccati

Então, das fórmulas em minha contribuição (18 de setembro de 2014) para OEIS 008292 sobre os números Eulerianos com $ hat

= frac

$ ,

é um por exemplo. para os polinômios Eulerianos bivariados $ E_n (a, b) $, cujos coeficientes são aqueles dos vetores h para os permutohedra,

com $ (u.) ^ n = u_n = h_(a, b) $ um polinômio homogêneo completo em dois indeterminados com $ h_n (1, x) $ o vetor h do hipertetraedro $ <(n-1)> $ -dimensional, é uma função geradora de log para o homogêneo completo polinômios,

uma instância da equação de Riccati

que pode ser escrito em termos de uma função elíptica Weierstrass (consulte Buchstaber e amp Bunkova na entrada OEIS)

mais geralmente, os polinômios de linha Eulerianos bivariados $ E_n (a, b) $ de $ A (x, a, b) $ com $ E_0 (a, b) = 0 $ são gerados por

(consulte OEIS A145271 para um gerador de inversos composicionais por meio dos números Eulerianos refinados)

Assim, com $ x = a / p $, a fração contínua de Euler é avaliada analiticamente como

com uma descontinuidade - um salto de $ -1 $ para $ 1 $ conforme o argumento passa pela origem de valores negativos para positivos de $ x $.

A recíproca, claro, é

com a mesma descontinuidade na origem $ x = 0 $.

A apresentação mais natural é

sem descontinuidade para argumento real finito $ frac

$ .

é chamada de lei de grupo formal hiperbólica e está relacionada a uma teoria de cohomologia generalizada proposta por Lenart e Zainoulline.

Esta é a lei de adição, ou composição, para velocidades na relatividade especial para $ c = 1 $ e a fórmula para a tangente hiperbólica das somas

Veja minha postagem & quotThe Elliptic Lie Triad: KdV e Riccati Equations, Infinigens, and Elliptic Genera & quot para as relações entre uma solução soliton para a equação KdV e uma equação de Riccati associada ou minha contribuição para o MO-Q & quotExiste uma explicação subjacente para os poderes mágicos do Schwarzian? & quot para uma nota mais breve sobre alguns aspectos dos relacionamentos.

O que são repetições fracionárias contínuas para

e quais referências para qualquer representante específico estão disponíveis (por meio das fontes gratuitas usuais)?

Suspeito que alguma versão da Equação 4 em & quotIntrodução ao Capítulo 3 sobre frações continuadas [versão 5, 29 de janeiro de 2013] & quot por Xavier Viennot interpretada em termos de caminhos de rede de Dyck deve ser aplicada, uma vez que os polinômios de partição associahedra de OEIS A133437 para inversão de composição podem ser aplicados a $ B (x, a, b) $ para obter $ A (x, a, b) $ e esses polinômios de face de associaedros são um refinamento daqueles de A126216, que estão relacionados a caminhos Dyck marcados (e Schroeder - ver Drake lá no).

Outra pista potencial é A134264 / A125181 para inversão composicional por meio de partições não cruzadas / caminhos Dyck de comprimento uniforme. Consulte & quotUma nota sobre partições não cruzadas de 2 distantes e caminhos de Motzkin ponderados & quot de Ira Gessel e Jang Soo Kim, relacionada a CFs.

Verifiquei dezenas de referências sobre polinômios ortogonais e frações contínuas nas últimas semanas, mas não encontrei até agora & quotCaminhos de lattice e frações contínuas ramificadas: uma sequência infinita de generalizações dos Stieltjes – Rogers e Thron– Polinômios de Rogers, com coeficiente de positividade total de Hankel & quot de Mathias Petreolle, Alan Sokal e Bao-Xuan Zhu. A nota de rodapé na página 77 afirma:

A identidade (12.6) - ou seja, a fração S para os polinômios de Euler - foi encontrada por Stieltjes [160, seção 79]. Stieltjes não menciona especificamente os polinômios Eulerianos, mas afirma que a fração contínua é a transformada de Laplace formal de $ (1 - y) / (e ^ - y), que é bem conhecida por ser a função geradora exponencial dos polinômios Eulerianos. Stieltjes também se abstém de mostrar a prova: "Pour abreger, je supprime toujours les artifices qu’il faut empregador pour obtenir la transformação de l’int´egrale definie en fracção continue" (!). Mas uma prova é esboçada, embora também sem muita explicação, no livro de Wall [165, pp. 207-208]. A fração J correspondente à contração desta fração S foi comprovada, por métodos combinatórios, por Flajolet [52, Teorema 3B (ii) com um pequeno erro tipográfico]. Dumont [41, Proposições 2 e 7] deu uma prova combinatória direta da fração S, baseada em uma interpretação dos polinômios Eulerianos em termos de “involuções bipartidas de [2n]” e uma bijeção destes em caminhos de Dyck.

(O artigo também contém, na pág. 83, os polinômios de partição de A190015, que eles chamam de polinômios simétricos de Euler, alegando tê-los apresentado originalmente em seu artigo. Conforme observado na entrada OEIS, eles são uma versão em escala de A145271, que eu chamo de polinômios de partição Euleriana refinados mencionados acima.)


Maths IA e # 8211 Exploration Topics

Role para baixo nesta página para encontrar mais 300 exemplos de tópicos de exploração de IA de matemática e ideias para alunos de matemática do IB fazendo seus trabalhos de avaliação interna (IA). Os tópicos incluem Álgebra e Número (prova), Geometria, Cálculo, Estatística e Probabilidade, Física e links com outros assuntos. Adequado para alunos de Aplicações e Interpretações (SL e HL) e também alunos de Análise e Abordagens (SL e HL).

Recursos essenciais para alunos do IB:

Revision Village foi criado para ajudar os alunos do IB com a revisão do tópico durante o curso e para os exames escolares do final do 12º ano e exames finais do 13º ano. Eu recomendo fortemente que os alunos usem isso como um recurso durante o curso (não apenas para a revisão final no Y13!). Existem recursos específicos para alunos HL e SL para Análise e Aplicações.

Há um Questionbank abrangente que leva você a uma análise de cada área de assunto principal (por exemplo, Álgebra, Cálculo, etc.) e, em seguida, fornece um grande banco de questões classificadas. O que eu gosto nisso é que você recebe uma classificação de dificuldade, bem como um esquema de pontuação e também um tutorial em vídeo bem trabalhado. Muito útil!

A seção de exames práticos leva você a um grande número de questionários prontos, exames e trabalhos previstos. Todas essas soluções funcionaram e permitem que você se concentre em tópicos específicos ou inicie uma revisão geral. Isso também tem algumas questões desafiadoras excelentes para os alunos com objetivos de 6s e 7s.

Cada curso também tem uma seção de vídeo tutorial dedicada que fornece vídeos tutoriais de 5 a 15 minutos em cada parte do programa de estudos & # 8211 convenientemente classificados em categorias de tópicos.

Eu & # 8217ve reuni quatro guias em PDF abrangentes para ajudar os alunos a se prepararem para o curso de exploração e as investigações do Artigo 3. Os guias de exploração falam sobre os critérios de marcação, erros comuns dos alunos, ideias excelentes para explorações, conselhos de tecnologia, métodos de modelagem e uma variedade de técnicas estatísticas com explicações detalhadas. Eu também fiz 17 perguntas de investigação completa, que também são excelentes pontos de partida para explorações. Os Guias de Exploração podem ser baixados aqui e as Perguntas do Paper 3 podem ser baixadas aqui.

Maths IA & # 8211 Maths Exploration Tópicos

Uma lista com mais de 300 exemplos de tópicos de exploração de IA de matemática e ideias para alunos de matemática de IB fazendo seus cursos de avaliação interna (IA). Adequado para alunos de Aplicações e Interpretações (SL e HL) e também alunos de Análise e Abordagens (SL e HL).

Álgebra e número

1) Aritmética modular & # 8211 Esta técnica é usada em toda a Teoria dos Números. Por exemplo, Mod 3 significa o resto ao dividir por 3.

2) Conjectura de Goldbach: & # 8220Cada número par maior que 2 pode ser expresso como a soma de dois primos. & # 8221 Um dos grandes problemas não resolvidos da matemática.

3) Teoria dos números probabilísticos

4) Aplicações de números complexos: Os gráficos impressionantes de Mandelbrot e Julia Sets são gerados por números complexos.

5) Equações diofantinas: são polinômios que possuem soluções inteiras. O Último Teorema de Fermat & # 8217s é uma das mais famosas equações.

6) Frações contínuas: são frações que continuam até o infinito. O grande matemático indiano Ramanujan descobriu alguns exemplos surpreendentes disso.

7) Padrões no triângulo de Pascal: Há um grande número de padrões para descobrir & # 8211 incluindo a sequência de Fibonacci.

8) Encontrar números primos: A busca por números primos e a conjectura dos primos gêmeos são alguns dos problemas mais importantes da matemática. Há um prêmio de $ 1 milhão para resolver a hipótese de Riemann e $ 250.000 disponíveis para quem descobrir um novo número primo realmente grande.

10) Triplos pitagóricos: Uma ótima introdução à teoria dos números & # 8211 investigando as soluções do Teorema de Pitágoras & # 8217 que são inteiros (por exemplo, triângulo 3,4,5).

11) Primos de Mersenne: são primos que podem ser escritos como 2 ^ n -1.

12) Quadrados e cubos mágicos: Investigue truques de mágica que usam matemática. Por que os quadrados mágicos funcionam?

13) Loci e números complexos

14) Frações egípcias: as frações egípcias só podem ter um numerador de 1 & # 8211, o que leva a alguns padrões interessantes. 2/3 pode ser escrito como 1/6 + 1/2. Todas as frações com numerador 2 podem ser escritas como 2 frações egípcias?

15) Números complexos e transformações

16) Identidade de Euler: uma equação que foi eleita a equação mais bonita de todos os tempos, a identidade de Euler & # 8217s une 5 dos números mais importantes da matemática.

17) Teorema do resto chinês. Este é um quebra-cabeça que foi colocado há mais de 1.500 anos por um matemático chinês. Envolve entender a operação do módulo.

18) Último teorema de Fermat: um problema que intrigou os matemáticos durante séculos & # 8211 e que só recentemente foi resolvido.

19) Logaritmos naturais de números complexos

20) Problema dos primos gêmeos: A questão de saber se existem padrões nos primos fascinou os matemáticos por séculos. A conjectura do primo gêmeo afirma que há infinitos primos consecutivos (por exemplo, 5 e 7 são primos consecutivos). Houve uma descoberta recente nesse problema.

22) Aplicação diofantina: números de Cole

23) Números perfeitos: os números perfeitos são a soma de seus fatores (exceto o último fator). ou seja, 6 é um número perfeito porque 1 + 2 + 3 = 6.

24) Algoritmo Euclidiano para GCF

25) Números do palíndromo: os números do palíndromo são iguais para trás e para a frente.

26) Pequeno teorema de Fermat: Se p é um número primo, então a ^ p & # 8211 a é um múltiplo de p.

28) Expressões de recorrência para phi (proporção áurea): Phi aparece com notável consistência na natureza e parece moldar nossa compreensão de beleza e simetria.

29) A hipótese de Riemann & # 8211 um dos maiores problemas não resolvidos da matemática & # 8211 no valor de $ 1 milhão para quem a resolver (não para os fracos de coração!)

30) Viagem no tempo para o futuro: Investigue como viajar perto da velocidade da luz permite que as pessoas viajem & # 8220 para a frente & # 8221 no tempo em relação a alguém na Terra. Por que o paradoxo dos gêmeos funciona?

31) Graham & # 8217s Number & # 8211 um número tão grande que pensar nele poderia literalmente levar seu cérebro a um buraco negro.

32) Código RSA & # 8211 o código mais importante do mundo? Como todas as nossas comunicações digitais são mantidas seguras por meio das propriedades dos primos.

33) O Teorema do Restante Chinês: Este é um método desenvolvido por um matemático chinês Sun Zi há mais de 1500 anos para resolver um quebra-cabeça numérico. Uma visão interessante no campo matemático da Teoria dos Números.

34) Soma de Cesaro: 1 - 1 + 1 - 1… = 1/2 ?. Um post que analisa a matemática por trás desta série particularmente problemática.

35) Teorema de Fermat & # 8217s sobre a soma de 2 quadrados & # 8211 Um exemplo de como usar a prova matemática para resolver problemas na teoria dos números.

36) Podemos provar que 1 + 2 + 3 + 4 & # 8230. = -1/12? Como coisas estranhas acontecem quando começamos a manipular séries divergentes.

37) Prova matemática e paradoxo & # 8211 uma boa oportunidade para explorar alguns métodos de prova e mostrar como ocorrem os erros lógicos.

38) Números amigáveis, números solitários, números perfeitos. Investigue o que torna um número feliz, triste ou sociável! Você pode encontrar o loop da tristeza infinita?

39) Paradoxo de Zenão - Aquiles e a tartaruga & # 8211 Uma olhada no paradoxo clássico da Grécia antiga & # 8211 o filósofo & # 8220 provou & # 8221 que um corredor nunca poderia pegar uma tartaruga & # 8211 não importa o quão rápido ela corresse.

40) Números estelares & # 8211 Este é um excelente exemplo de investigação de sequência de padrões. Escolha sua própria investigação de padrão para a exploração.

41) Quebra-cabeça de números aritméticos & # 8211 Pode ser interessante fazer uma exploração em que você resolva problemas de números & # 8211 como este.

42) Números normais - e geradores de números aleatórios & # 8211 o que é um número normal & # 8211 e como eles estão conectados aos geradores de números aleatórios?

43) Números narcisistas & # 8211 o que torna um número narcisista & # 8211 e como podemos encontrar todos eles?

44) Modeling Chaos & # 8211 como podemos usar software gráfico para entender o comportamento das sequências

45) A Equação de Mordell. O que é a equação de Mordell e como ela nos ajuda a resolver problemas matemáticos na teoria dos números?

46) Cabine de táxi de Ramanujan e a soma de 2 cubos. Explore este famoso quebra-cabeça da teoria dos números.

47) Investigação de cubos ocos e hipercubos. Explore a teoria dos números em dimensões superiores!

48) Quando 2 quadrados são iguais a 2 cubos? Um problema clássico na teoria dos números que pode ser resolvido por meio do poder computacional.

49) Aproximações racionais para números irracionais. Quão precisamente podem ser irracionais aproximados?

50) Números triangulares quadrados. Quando temos um número quadrado que também é um número triangular?

51) Números complexos como matrizes & # 8211 Euler & # 8217s identidade. Podemos usar uma representação de matriz de números complexos para testar se a identidade de Euler & # 8217s ainda é válida.

52) Você tem um supercérebro? Quantas maneiras diferentes podemos usar para resolver um problema de teoria dos números?

Notas de revisão do IB para análise e aplicativos

As notas da Análise e abordagem de IB no SL têm 60 páginas pd, as notas HL têm 112 páginas em pdf e as notas dos aplicativos do SL têm 53 páginas. Tudo totalmente atualizado para o novo programa. Eu realmente recomendaria esses recursos para todos os alunos do IB - é preciso muita habilidade para condensar com sucesso um programa de estudos no conteúdo essencial - e essas notas são realmente da mais alta qualidade. Você pode baixar essas notas no meu site aqui.

1a) Geometrias não euclidianas: Isso nos permite & # 8220 quebrar & # 8221 as regras da geometria convencional & # 8211 por exemplo, ângulos em um triângulo não somam mais 180 graus. Em algumas geometrias, os triângulos somam mais de 180 graus, em outras, menos de 180 graus.

1b) A forma do universo & # 8211 geometria não-euclidiana está no cerne das teorias de Einstein & # 8217s sobre a relatividade geral e é essencial para compreender a forma e o comportamento do universo.

2) Hexaflexágonos: são formas de origami que, dobradas, podem revelar rostos extras.

3) Superfícies mínimas e bolhas de sabão: as bolhas de sabão assumem a área de superfície mínima possível para conter um determinado volume.

4) Tesseract - um cubo 4D: Como podemos usar a matemática para imaginar dimensões superiores.

5) Empilhamento de bolas de canhão: Uma investigação sobre os padrões formados a partir do empilhamento de bolas de canhão de diferentes maneiras.

6) Conjunto de Mandelbrot e formas fractais: Explore o mundo de imagens geradas infinitamente e dimensões fracionárias.

7) Triângulo de Sierpinksi: um desenho fractal que continua para sempre.

8) Quadratura do círculo: Este é um quebra-cabeça dos tempos antigos & # 8211 que consistia em descobrir se um quadrado poderia ser criado com a mesma área de um determinado círculo. Agora é usado como um ditado para representar algo impossível.

9) Poliominós: são formas feitas de quadrados. O desafio é ver quantas formas diferentes podem ser feitas com um determinado número de quadrados & # 8211 e como eles podem se encaixar?

10) Tangrams: Investigue de quantas maneiras diferentes formas de tamanhos diferentes podem ser encaixadas.

11) Compreendendo a quarta dimensão: Como podemos usar a matemática para imaginar (e testar) dimensões extras.

12) A esfera de Riemann & # 8211 uma exploração de alguma geometria não euclidiana. As linhas retas não são retas, as linhas paralelas se encontram e os ângulos em um triângulo não somam 180 graus.

13) Entendendo graficamente raízes complexas & # 8211 você já se perguntou o que a raiz complexa de uma quadrática realmente significa graficamente? Descobrir!

14) Inversão circular & # 8211 o que significa refletir em um círculo? Uma ótima introdução a algumas das ideias por trás da geometria não euclidiana.

15) Conjuntos de Julia e Conjuntos de Mandelbrot & # 8211 Podemos usar números complexos para criar belos padrões de fractais que se repetem infinitamente. Descobrir como!

16) Investigação de polígonos gráficos. Podemos encontrar uma função que plote um quadrado? Existem funções que representam algum polígono? Use gráficos de computador para investigar.

17) Representando graficamente Stewie de Family Guy. Como usar software gráfico para fazer arte a partir de equações.

18) Geometria hiperbólica & # 8211 como podemos mapear o plano hiperbólico infinito no círculo unitário e como isso inspirou a arte de Escher.

19) Curvas elípticas & # 8211 como esta classe de curvas tem importância na resolução do Último Teorema de Fermat & # 8217 e na criptografia.

20) The Coastline Paradox & # 8211 como podemos medir os comprimentos das costas e usa a ideia de fractais para chegar a dimensões fracionárias.

21) Geometria projetiva & # 8211 o desenvolvimento de provas geométricas baseadas em pontos no infinito.

22) O Folium de Descartes. Esta é uma boa maneira de vincular um pouco da história da matemática ao estudo de uma função interessante.

23) Medindo a distância até as estrelas. A matemática está intimamente ligada à astronomia & # 8211 veja como podemos calcular a distância até as estrelas.

24) Uma prova geométrica para a média aritmética e geométrica. A prova nem sempre precisa ser algébrica. Aqui está uma prova geométrica.

25) Círculo de 9 pontos de Euler. Esta é uma linda construção usando apenas compassos e uma régua.

26) Traçando o Conjunto Mandelbrot & # 8211 usando Geogebra para gerar graficamente o Conjunto Mandelbrot.

27) Otimização do volume de um cubóide & # 8211 como usar cálculo e soluções gráficas para otimizar o volume de um cubóide.

28) Círculos Ford & # 8211 como gerar círculos Ford e seus links com frações.

29) Quebra-cabeça de geometria clássica: Encontrando o raio. Este é um belo quebra-cabeça de geometria resolvido usando uma variedade de métodos.

31) O algoritmo Shoelace para encontrar áreas de polígonos. Como podemos encontrar a área de qualquer polígono?

32) Bolhas de sabão, buracos de minhoca e catenóides. Qual é a forma geométrica das bolhas de sabão?

33) Você pode resolver uma questão de entrada em Oxford? Este problema pede que você explore uma escada deslizante.

34) O círculo Tusi & # 8211 como criar um círculo rolando dentro de outro círculo usando equações paramétricas.

35) Embalagem de esferas & # 8211 como encaixar as esferas em um pacote para minimizar o desperdício.

36) Triângulo de Sierpinski & # 8211 um padrão fractal infinitamente repetido gerado por código.

37) Gerando e através de probabilidade e hipercubos. Este resultado surpreendente pode gerar e considerando formas hiper-dimensionais.

38) Encontre a distância média entre 2 pontos em um quadrado. Se algum ponto for escolhido aleatoriamente em um quadrado, qual é a distância esperada entre eles?

39) Encontrar a distância média entre 2 pontos em um hipercubo. Podemos estender nossa investigação acima para um cubo multidimensional?

40) Encontrar o foco com Arquimedes. Os gregos usaram uma abordagem muito diferente para entender as quadráticas & # 8211 e, como resultado, tiveram uma compreensão mais profunda de suas propriedades físicas ligadas à luz e à reflexão.

41) Caos e atratores estranhos: mapa de Henon. Obtenha uma compreensão mais profunda da teoria do caos com esta investigação.

Guias de exploração e Recursos do Papel 3

Eu & # 8217ve reuni quatro guias em PDF abrangentes para ajudar os alunos a se prepararem para o curso de exploração e as investigações do Artigo 3. Os guias de exploração falam sobre os critérios de marcação, erros comuns dos alunos, ideias excelentes para explorações, conselhos de tecnologia, métodos de modelagem e uma variedade de técnicas estatísticas com explicações detalhadas. Eu também fiz 17 perguntas de investigação completa, que também são excelentes pontos de partida para explorações. Os Guias de Exploração podem ser baixados aqui e as Perguntas do Paper 3 podem ser baixadas aqui.

Cálculo / análise e funções

1) A série harmônica: Investigue a relação entre frações e música, ou investigue se esta série converge.

2) Toro - sólido de revolução: Um toro é uma forma de rosca que apresenta algumas idéias topológicas interessantes.

3) Movimento de projéteis: estudar o movimento de projéteis como balas de canhão é uma parte essencial da matemática da guerra. Você também pode modelar tudo, desde Angry Birds a acrobacias de salto de bicicleta. Um bom uso de suas habilidades de cálculo.

4) Por que e é a base da função de logaritmo natural: uma chance de investigar o incrível número e.

5) Transformadas de Fourier - a ferramenta mais importante da matemática? As transformações de Fourier têm um papel essencial a desempenhar na vida moderna & # 8211 e são uma das chaves para compreender o mundo que nos rodeia. Essa equação matemática foi descrita como a mais importante de toda a física. Descubra mais! (Este tópico é adequado apenas para alunos IB HL).

6) Matemática do Batman e do Superman & # 8211 como usar o Wolfram Alpha para traçar gráficos do logotipo do Batman e do Superman

7) Explore a função Si (x) & # 8211 uma função especial em cálculo que não pode & # 8217t ser integrada em uma função elementar.

8) A notável função delta de Dirac. Esta é uma função que é usada na mecânica quântica & # 8211 ela descreve um pico de largura zero, mas com área 1.

9) Otimização da área - uma investigação. Este é um bom exemplo de como você pode investigar a otimização da área de diferentes polígonos.

10) Envelope do movimento do projétil. Isso investiga uma versão generalizada do movimento do projétil e # 8211 descobre qual forma é criada.

11) Investigação de movimento de projéteis II. Isso pega as idéias usuais de movimento de projétil e as generaliza para investigar equações de elipses formadas.

12) Movimento do projétil III: Gravidade variável. Como seria o movimento do projétil em planetas diferentes?

13) O casal Tusi - Um círculo rolando dentro de um círculo. Este é um resultado adorável que usa funções paramétricas para criar um belo exemplo de arte matemática.

14) Planos inclinados de Galileu. Como Galileu alcançou sua compreensão revolucionária da gravidade? Siga os passos de um gênio!

Estatística e modelagem 1 [tópicos podem ser estudados em profundidade]

1) Fluxo de tráfego: como a matemática pode modelar o tráfego nas estradas.

2) Função logística e crescimento restrito

3) Lei de Benford & # 8217s & # 8211 usando estatísticas para capturar criminosos fazendo uso de uma distribuição surpreendente.

4) Má matemática no tribunal & # 8211 como o uso indevido de estatísticas no tribunal pode levar a erros judiciais devastadores.

5) A matemática dos contras & # 8211 como os vigaristas usam esquemas de pirâmide para enriquecer rapidamente.

6) Impacto na Terra & # 8211 o que aconteceria se um asteróide ou meteorito atingisse a Terra?

7) Eventos Cisne Negro & # 8211 quão útil pode a matemática prever eventos de alto impacto de pequena probabilidade?

8) Modelagem de felicidade & # 8211 como compreender o valor de utilidade pode torná-lo mais feliz.

9) O comprimento do dedo prevê habilidade matemática? Investigue a surpreendente correlação entre as proporções dos dedos e todos os tipos de habilidades e características.

10) Modelagem de epidemias / propagação de um vírus

11) O problema Monty Hall & # 8211 este vídeo mostrará por que as estatísticas geralmente levam a resultados não intuitivos.

12) Simulações de Monte Carlo

14) Teorema de Bayes: Como entender a probabilidade é essencial para nosso sistema jurídico.

15) Paradoxo do aniversário: O paradoxo do aniversário mostra como as idéias intuitivas sobre probabilidade podem frequentemente estar erradas. How many people need to be in a room for it to be at least 50% likely that two people will share the same birthday? Descobrir!

16) Are we living in a computer simulation? Look at the Bayesian logic behind the argument that we are living in a computer simulation.

17) Does sacking a football manager affect results? A chance to look at some statistics with surprising results.

18) Which times tables do students find most difficult? A good example of how to conduct a statistical investigation in mathematics.

19) Introduction to Modelling. This is a fantastic 70 page booklet explaining different modelling methods from Moody’s Mega Maths Challenge.

20) Modelling infectious diseases – how we can use mathematics to predict how diseases like measles will spread through a population

21) Using Chi Squared to crack codes – Chi squared can be used to crack Vigenere codes which for hundreds of years were thought to be unbreakable. Unleash your inner spy!

22) Modelling Zombies – How do zombies spread? What is your best way of surviving the zombie apocalypse? Surprisingly maths can help!

23) Modelling music with sine waves – how we can understand different notes by sine waves of different frequencies. Listen to the sounds that different sine waves make.

24) Are you psychic? Use the binomial distribution to test your ESP abilities.

25) Reaction times – are you above or below average? Model your data using a normal distribution.

26) Modelling volcanoes – look at how the Poisson distribution can predict volcanic eruptions, and perhaps explore some more advanced statistical tests.

27) Could Trump win the next election? How the normal distribution is used to predict elections.

28) How to avoid a Troll – an example of a problem solving based investigation

29) The Gini Coefficient – How to model economic inequality

30) Maths of Global Warming – Modeling Climate Change – Using Desmos to model the change in atmospheric Carbon Dioxide.

31) Modelling radioactive decay – the mathematics behind radioactivity decay, used extensively in science.

32) Circular Motion: Modelling a Ferris wheel. Use Tracker software to create a Sine wave.

33) Spotting Asset Bubbles. How to use modeling to predict booms and busts.

34) The Rise of Bitcoin. Is Bitcoin going to keep rising or crash?

35) Fun with Functions!. Some nice examples of using polar coordinates to create interesting designs.

36) Predicting the UK election using linear regression. The use of regression in polling predictions.

37) Modelling a Nuclear War. What would happen to the climate in the event of a nuclear war?

38) Modelling a football season. We can use a Poisson model and some Excel expertise to predict the outcome of sports matches – a technique used by gambling firms.

39)Modeling hours of daylight – using Desmos to plot the changing hours of daylight in different countries.

40) Modelling the spread of Coronavirus (COVID-19). Using the SIR model to understand epidemics.

42) The Martingale system paradox. Explore a curious betting system still used in currency trading today.

Statistics and modelling 2 [more simplistic topics: correlation, normal, Chi squared]

1) Is there a correlation between hours of sleep and exam grades?Studies have shown that a good night’s sleep raises academic attainment.

2) Is there a correlation between height and weight? (pdf). The NHS use a chart to decide what someone should weigh depending on their height. Does this mean that height is a good indicator of weight?

3) Is there a correlation between arm span and foot height? This is also a potential opportunity to discuss the Golden Ratio in nature.

4) Is there a correlation between smoking and lung capacity?

5) Is there a correlation between GDP and life expectancy? Run the Gapminder graph to show the changing relationship between GDP and life expectancy over the past few decades.

7) Is there a correlation between numbers of yellow cards a game and league position?
Use the Guardian Stats data to find out if teams which commit the most fouls also do the best in the league.

8) Is there a correlation between Olympic 100m sprint times and Olympic 15000m times?
Use the Olympic database to find out if the 1500m times have got faster in the same way the 100m times have got quicker over the past few decades.

9) Is there a correlation between time taken getting to school and the distance a student lives from school?

10) Does eating breakfast affect your grades?

11) Is there a correlation between stock prices of different companies? Use Google Finance to collect data on company share prices.

13) Is there a correlation between height and basketball ability? Look at some stats for NBA players to find out.

14) Is there a correlation between stress and blood pressure?

16) Are a sample of student heights normally distributed? We know that adult population heights are normally distributed – what about student heights?

17) Are a sample of flower heights normally distributed?

18) Are a sample of student weights normally distributed?

19) Are the IB maths test scores normally distributed? (pdf). IB test scores are designed to fit a bell curve. Investigate how the scores from different IB subjects compare.

20) Are the weights of “1kg” bags of sugar normally distributed?

21) Does gender affect hours playing sport? A UK study showed that primary school girls play much less sport than boys.

22) Investigation into the distribution of word lengths in different languages. The English language has an average word length of 5.1 words. How does that compare with other languages?

23) Do bilingual students have a greater memory recall than non-bilingual students?
Studies have shown that bilingual students have better “working memory” – does this include memory recall?

Games and game theory

1) The prisoner’s dilemma: The use of game theory in psychology and economics.

3) Gambler’s fallacy: A good chance to investigate misconceptions in probability and probabilities in gambling. Why does the house always win?

4) Bluffing in Poker: How probability and game theory can be used to explore the the best strategies for bluffing in poker.

5) Knight’s tour in chess: This chess puzzle asks how many moves a knight must make to visit all squares on a chess board.

8) How to “Solve” Noughts and Crossess (Tic Tac Toe) – using game theory. This topics provides a fascinating introduction to both combinatorial Game Theory and Group Theory.

9) Maths and football – Do managerial sackings really lead to an improvement in results? We can analyse the data to find out. Also look at the finances behind Premier league teams

10) Is there a correlation between Premier League wages and league position? Also look at how the Championship compares to the Premier League.

11) The One Time Pad – an uncrackable code? Explore the maths behind code making and breaking.

12) How to win at Rock Paper Scissors. Look at some of the maths (and psychology behind winning this game.

13) The Watson Selection Task – a puzzle which tests logical reasoning. Are maths students better than history students?

Topology and networks

3) Chinese postman problem – This is a problem from graph theory – how can a postman deliver letters to every house on his streets in the shortest time possible?

4) Travelling salesman problem

5) Königsberg bridge problem: The use of networks to solve problems. This particular problem was solved by Euler.

6) Handshake problem: With n people in a room, how many handshakes are required so that everyone shakes hands with everyone else?

7) Möbius strip: An amazing shape which is a loop with only 1 side and 1 edge.

10) Codes and ciphers: ISBN codes and credit card codes are just some examples of how codes are essential to modern life. Maths can be used to both make these codes and break them.

11) Zeno’s paradox of Achilles and the tortoise: How can a running Achilles ever catch the tortoise if in the time taken to halve the distance, the tortoise has moved yet further away?

12) Four colour map theorem – a puzzle that requires that a map can be coloured in so that every neighbouring country is in a different colour. What is the minimum number of colours needed for any map?

13) Telephone Numbers – these are numbers with special properties which grow very large very quickly. This topic links to graph theory.

14)The Poincare Conjecture and Grigori Perelman – Learn about the reclusive Russian mathematician who turned down $1 million for solving one of the world’s most difficult maths problems.

Mathematics and Physics

1) The Monkey and the Hunter – How to Shoot a Monkey – Using Newtonian mathematics to decide where to aim when shooting a monkey in a tree.

2) How to Design a Parachute – looking at the physics behind parachute design to ensure a safe landing!

3) Galileo: Throwing cannonballs off The Leaning Tower of Pisa – Recreating Galileo’s classic experiment, and using maths to understand the surprising result.

4) Rocket Science and Lagrange Points – how clever mathematics is used to keep satellites in just the right place.

5) Fourier Transforms – the most important tool in mathematics? – An essential component of JPEG, DNA analysis, WIFI signals, MRI scans, guitar amps – find out about the maths behind these essential technologies.

6) Bullet projectile motion experiment – using Tracker software to model the motion of a bullet.

7) Quantum Mechanics – a statistical universe? Look at the inherent probabilistic nature of the universe with some quantum mechanics.

8) Log Graphs to Plot Planetary Patterns. The planets follow a surprising pattern when measuring their distances.

9) Modeling with springs and weights. Some classic physics – which generates some nice mathematical graphs.

10) Is Intergalactic space travel possible? Using the physics of travel near the speed of light to see how we could travel to other stars.

Maths and computing

1) The Van Eck Sequence – The Van Eck Sequence is a sequence that we still don’t fully understand – we can use programing to help!

2) Solving maths problems using computers – computers are really useful in solving mathematical problems. Here are some examples solved using Python.

3) Stacking cannonballs – solving maths with code – how to stack cannonballs in different configurations.

4) What’s so special about 277777788888899? – Playing around with multiplicative persistence – can you break the world record?

5) Project Euler: Coding to Solve Maths Problems. A nice starting point for students good at coding – who want to put these skills to the test mathematically.

6) Square Triangular Numbers. Can we use a mixture of pure maths and computing to solve this problem?

7) When do 2 squares equal 2 cubes? Can we use a mixture of pure maths and computing to solve this problem?

9) Coding Hailstone Numbers. How can we use computers to gain a deeper understanding of sequences?

Further ideas:

1) Radiocarbon dating – understanding radioactive decay allows scientists and historians to accurately work out something’s age – whether it be from thousands or even millions of years ago.

2) Gravity, orbits and escape velocity – Escape velocity is the speed required to break free from a body’s gravitational pull. Essential knowledge for future astronauts.

3) Mathematical methods in economics – maths is essential in both business and economics – explore some economics based maths problems.

4) Genetics – Look at the mathematics behind genetic inheritance and natural selection.

5) Elliptical orbits – Planets and comets have elliptical orbits as they are influenced by the gravitational pull of other bodies in space. Investigate some rocket science!

6) Logarithmic scales – Decibel, Richter, etc. are examples of log scales – investigate how these scales are used and what they mean.

7) Fibonacci sequence and spirals in nature – There are lots of examples of the Fibonacci sequence in real life – from pine cones to petals to modelling populations and the stock market.

8) Change in a person’s BMI over time – There are lots of examples of BMI stats investigations online – see if you can think of an interesting twist.

9) Designing bridges – Mathematics is essential for engineers such as bridge builders – investigate how to design structures that carry weight without collapse.

10) Mathematical card tricks – investigate some maths magic.

11) Flatland by Edwin Abbott – This famous book helps understand how to imagine extra dimension. You can watch a short video on it here

12) Towers of Hanoi puzzle – This famous puzzle requires logic and patience. Can you find the pattern behind it?

13) Different number systems – Learn how to add, subtract, multiply and divide in Binary. Investigate how binary is used – link to codes and computing.

14) Methods for solving differential equations – Differential equations are amazingly powerful at modelling real life – from population growth to to pendulum motion. Investigate how to solve them.

15) Modelling epidemics/spread of a virus – what is the mathematics behind understanding how epidemics occur? Look at how infectious Ebola really is.

16) Hyperbolic functions – These are linked to the normal trigonometric functions but with notable differences. They are useful for modelling more complex shapes.

17) Medical data mining – Explore the use and misuse of statistics in medicine and science.

18)Waging war with maths: Hollow squares. How mathematical formations were used to fight wars.

19) The Barnsley Fern: Mathematical Art – how can we use iterative processes to create mathematical art?


The ordinary and matrix continued fractions in the theoretical analysis of Hermitian and relaxation operators

We consider the theory of the resolvent for Hermitian or relaxation operators, and we address the problem of the explicit evaluation of the Green's function. The continued fractions are shown to be an efficient and natural calculational tool. With respect to the literature, we provide here for the first time a systematic theory, which develops directly from the general Dyson equation. Our novel treatment allows us to extend the theory of ordinary continued fractions from scalar to matrix parameters it provides a unified formal treatment of both Hermitian and relaxation operators it makes transparent the natural link, overlooked in the literature, between continued fraction approach and renormalization group techniques finally it allows to establish the relationship with the moment method. A few examples are also reported to illustrate some relevant numerical or applicative aspects.


Continued Fractions

This is a thesis/capstone paper.
The paper should have an abstract, an introduction and different sections.(i will attach the format)
Talk about euclidean algorithm and continued fractions, finite and infinite cont. fract.,convergent continued fractions and linear algebra, periodic continued fractions and quadratic irrationals.

CONTINUED FRACTIONS
Resumo. In this paper, we will talk about continued fractions. To get started, we will discuss the
development of the subject throughout history, we will give some definitions, theorems, proofs and some
exemplos. We will show the expansion properties of continuous fractions and its the convergents. Lastly, we
will touch based on Diophantine equations. We use only the theory of simple continued fractions to show
how one may find fundamental solutions of these equations.
1. Introduction
Continued fractions have a long history behind them. They started with the Euclidean algorithm. Continued
fractions provide much insight into mathematical problems, particularly into the nature of numbers.
In the computer field, continued fractions are used to give approximations to various complicated functions,
rapid numerical results valuable to scientists and more. The purpose of this paper is to analyze the structures
or patterns of irrational numbers expansions. First, let us start with the description of the Euclidean
algoritmo.
2. Euclidean Algorithm and continued fractions
Though the Euclidean algorithm first appeared in Euclid?s The Elements, written around 300 BC, the
algorithm itself is thought to have been in existence since around 500 BC. It is one of the oldest mathematical
algorithms. Euclid?s method however, was applied geometrically as a method to find a common measure
between two lines segments and numbers. Basically, the algorithm leads us to perform successive division.
First of the smaller of the two numbers into the larger, followed by the resulting remainder divided into the
divisor of each division until the remainder is equal to zero. This leads us to our first theorem.
Theorem 2.1. The Euclidean algorithm always terminates after finitely many steps.
Prova. Nós temos:
a = bq1 + r1,
b = r1q2 + r2,
r1 = r2q3 + r3,
r2 = r3q4 + r4,

rn-2 = rn-1qn + rn,
rn-1 = rnqn+1 + 0,
We know that: b > r1 > r2 > … > rn-2 > rr-1 > rn > 0. This only works for two numbers because they
are integers. So the algorithm has to terminate.
Theorem 2.2. Let a and b be positive integers. Then the Euclidean algorithm gives the gcd of (a,b).
Prova. The key idea of the proof is to prove that rn is the greatest common divisor for a and b. We observe
the following:
gcd(a, b) = gcd(a – bq1,b) = gcd(r1, b) = gcd(r1, b – r1q2)=gcd(r1, r2)
=gcd(r1 – r2q3, r2)= gcd(r3, r2).
By mathematical induction, we end up seeing that gcd(a, b) = gcd(rn-1, rn)=gcd(rn, 0) = rn. Concluding
the proof that rn is the gcd(a,b).
This following example will be used to provide an idea as to why the Euclidean algorithm works.
Example 2.1. Find the GCD of 11 and 6.
By the Euclidean Algorithm we have:
11 = 1 x 6 +5
6 = 1 x 5 + 1
1
2 CONTINUED FRACTIONS
5 = 5 x 1 + 0
As we now have a remainder of 0, we stop the process. The new larger number is the GCD of the two
original numbers. In our case, it is 1.
By using the Euclidean algorithm, we can express rational numbers in a very special way. Por exemplo,
the Euclidean algorithm produces the following sequence of equations:
Example 2.2. From our previous example, we divide both sides of each equation by the divisor of that
equation, we obtain:
11
6
=1+5/6,
6
5
=1+1/5. By combining these equations, we find that
11
6
=1 +
1
1 +
1
5
These are what we will call Continued Fractions.
3. continued fractions and rational numbers
Definition 3.1. An expression of the form a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 + …
where [a0 a1, a2, a3…] are positive real
numbers is called a simple continued fraction. The real numbers a0 a1, a2, a3… are called partial quotients of
the continued fraction. We will use this notation [a0, a1, a2, a3…] to represent the simple continued fraction
in the above definition. There are different categories of continued fractions. In this paper, we really are
referring to simple continued fractions, the only form we consider.
Theorem 3.1. A number can be represented as a finite simple continued fraction if and only if it is a
rational number.
Prova. Let p/q, where p and q are integers with q > 0. Let r0 = p and r1 = q. Then the Euclidean algorithm
produces the following sequence of equations:
r0 = r1a1 + r2, 0


Continued fractions play an essential role in the solution of Pell's equation. For example, for positive integers Template:Mvar and Template:Mvar, p 2 − 2q 2 = ±1 if and only if << safesubst:#invoke:Unsubst||$B= p / q >> is a convergent of Template:Sqrt.

Continued fractions also play a role in the study of dynamical systems, where they tie together the Farey fractions which are seen in the Mandelbrot set with Minkowski's question mark function and the modular group Gamma.

The backwards shift operator for continued fractions is the map h(x) = 1/Template:Mvar − ⌊1/Template:Mvar⌋ called the Gauss map, which lops off digits of a continued fraction expansion: h([0 uma1, uma2, uma3, …]) = [0 uma2, uma3, …] . The transfer operator of this map is called the Gauss–Kuzmin–Wirsing operator. The distribution of the digits in continued fractions is given by the zero'th eigenvector of this operator, and is called the Gauss–Kuzmin distribution.


Assista o vídeo: Frações Contínuas OlimpíadasMilitares (Outubro 2021).