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7.3: A Transformada Inversa de Laplace - Integração Complexa - Matemática


Se (q ) é uma função racional com pólos ( { lambda_ {j} | j = {1, cdots, h } } ) então a transformação de Laplace inversa de (q ) é

[ mathscr {L} ^ {- 1} (q) (t) equiv frac {1} {2 pi i} int q (z) e ^ {zt} dz nonumber ]

onde (C ) é uma curva que envolve cada um dos pólos de (q )

[ mathscr {L} ^ {- 1} (q) (t) = sum_ {j = 1} ^ {h} res ( lambda_ {j}) nonumber ]

Vamos colocar esta linda fórmula à prova. Pegamos nossos exemplos da discussão da Transformada de Laplace e da Transformada de Laplace inversa. Vamos primeiro calcular a Transformada de Laplace inversa de

[q (z) = frac {1} {(z + 1) ^ 2} não numérico ]

De acordo com a Equação, é simplesmente o resíduo de (q (z) e ^ {zt} ) em (z = -1 ), ou seja,

[res (-1) = lim_ {z rightarrow -1} de ^ {zt} dz = te ^ {- t} nonumber ]

Isso fecha o círculo sobre o exemplo iniciado na discussão da Transformada de Laplace e continuado no exercício um para o capítulo 6.

Para nosso próximo exemplo, lembramos

[ mathscr {L} (x_ {1} (s)) = frac {0,19 (s ^ 2 + 1,5s + 0,27)} {(s + 1/6) ^ {4} (s ^ 3 + 1,655 s ^ 2 + 0,4978s + 0,0039)} nonumber ]

da Transformada Inversa de Laplace. Usandonumde,sym2polyeresíduo, Vejofib4.mpara detalhes, retorna

[r_ {1} = begin {pmatrix} {0,0029} {262,8394} {-474,1929} {-1,0857} {-9,0930} {-0,3326} {211.3507} fim {pmatrix} nonumber ]

e

[p_ {1} = begin {pmatrix} {-1.3565} {-0.2885} {-0.1667} {-0.1667} {-0.1667} {-0.1667} {- 0,0100} end {pmatrix} nonumber ]

Nos exercícios, você será solicitado a mostrar que isso de fato está de acordo com o

[x_ {1} (t) = 211,35e ^ { frac {-t} {100}} - (0,0554t ^ 3 + 4,5464t ^ 2 + 1,085t + 474,19) e ^ { frac {-t} {6}} + e ^ { frac {-329t} {400}} (262,842 cosh ( frac { sqrt {73} t} {16}) + 262,836 sinh ( frac { sqrt {73} t} {16})) nonumber ]

alcançada na Transformada de Laplace viailaplace.


7.3: A Transformada Inversa de Laplace - Integração Complexa - Matemática

Encontrar a transformada de Laplace de uma função não é terrivelmente difícil se tivermos uma tabela de transformações à nossa frente para usar como vimos na última seção. O que gostaríamos de fazer agora é seguir o outro caminho.

Vamos receber uma transformação, (F (s) ), e perguntar qual função (ou funções) tínhamos originalmente. Como você verá, isso pode ser um processo mais complicado e demorado do que obter transformações. Nestes casos, dizemos que estamos encontrando o Transformada inversa de Laplace de (F (s) ) e use a seguinte notação.

Tal como acontece com as transformações de Laplace, temos o seguinte fato para nos ajudar a obter a transformação inversa.

Dadas as duas transformações de Laplace (F (s) ) e (G (s) ), então

para quaisquer constantes (a ) e (b ).

Então, pegamos a transformação inversa das transformações individuais, colocamos quaisquer constantes de volta e adicionamos ou subtraímos os resultados de volta.

Vamos dar uma olhada em algumas transformações inversas bastante simples.

  1. ( displaystyle F left (s right) = frac <6>- frac <1> <> + frac <4> <>)
  2. ( displaystyle H left (s right) = frac <<19>> <> - frac <1> << 3s - 5 >> + frac <7> <<>>)
  3. ( displaystyle F left (s right) = frac <<6s>> <<+ 25 >> + frac <3> <<+ 25>>)
  4. ( displaystyle G left (s right) = frac <8> << 3+ 12 >> + frac <3> <<- 49>>)

Sempre sentimos que a chave para fazer transformações inversas é olhar para o denominador e tentar identificar o que você conseguiu com base nisso. Se houver apenas uma entrada na tabela com esse denominador específico, a próxima etapa é certificar-se de que o numerador está configurado corretamente para o processo de transformação inversa. Se não estiver, corrija (isso é sempre fácil de fazer) e, em seguida, faça a transformação inversa.

Se houver mais de uma entrada na tabela com um denominador específico, os numeradores de cada um serão diferentes, então vá até o numerador e veja qual você tem. Se você precisar corrigir o numerador para colocá-lo na forma correta, faça a transformação inversa.

Então, com este conselho em mente, vamos ver se podemos fazer algumas transformações inversas.

Pelo denominador do primeiro termo, parece que o primeiro termo é apenas uma constante. O numerador correto para este termo é "1", então vamos fatorar o 6 antes de fazer a transformação inversa. O segundo termo parece ser exponencial com (a = 8 ) e o numerador é exatamente o que precisa ser. O terceiro termo também parece ser exponencial, só que desta vez (a = 3 ) e precisaremos fatorar o 4 antes de tomar as transformadas inversas.

Então, com um pouco mais de detalhes do que normalmente colocaremos neles,

O primeiro termo, neste caso, parece um exponencial com (a = - 2 ) e precisaremos fatorar 19. Tenha cuidado com os sinais negativos nesses problemas, é muito fácil perdê-los de vista.

O segundo termo quase se parece com um exponencial, exceto que tem um (3s ) em vez de apenas um (s ) no denominador. É um exponencial, mas, neste caso, precisaremos fatorar um 3 do denominador antes de fazer a transformação inversa.

O denominador do terceiro termo parece ser o # 3 na tabela com (n = 4 ). O numerador, entretanto, não é correto para isso. Atualmente existe um 7 no numerador e precisamos de um (4! = 24 ) no numerador. Isso é muito fácil de consertar. Sempre que um numerador está desviado por uma constante multiplicativa, como neste caso, tudo o que precisamos fazer é colocar a constante de que precisamos no numerador. Precisamos apenas lembrar de retirá-lo dividindo pela mesma constante.

Então, vamos primeiro reescrever a transformação.

Então, o que fizemos aqui? Nós fatoramos o 19 do primeiro mandato. Faturamos o 3 do denominador do segundo termo, uma vez que não pode estar lá para a transformação inversa e no terceiro termo nós fatoramos tudo do numerador, exceto o 4! já que essa é a parte que precisamos no numerador para o processo de transformação inversa.

Vamos agora usar a transformação inversa.

Nesta parte, temos o mesmo denominador em ambos os termos e nossa tabela nos diz que temos # 7 ou # 8. Os numeradores nos dirão qual realmente temos. O primeiro tem um (s ) no numerador e isso significa que o primeiro termo deve ser # 8 e precisaremos fatorar o 6 do numerador neste caso. O segundo termo tem apenas uma constante no numerador e, portanto, esse termo deve ser # 7, no entanto, para que seja exatamente # 7, precisaremos multiplicar / dividir 5 no numerador para corrigir a tabela .

Tomando a transformação inversa dá,

[f left (t right) = 6 cos left (<5t> right) + frac <3> <5> sin left (<5t> right) ]

Nesse caso, o primeiro termo será um seno, uma vez que fatoramos 3 do denominador, enquanto o segundo termo parece ser um seno hiperbólico (# 17). Novamente, tome cuidado com a diferença entre os dois. Ambos os termos também precisarão ter seus numeradores corrigidos. Aqui está a transformação assim que terminarmos de reescrevê-la.

Observe que, no primeiro termo, aproveitamos o fato de podermos obter o 2 no numerador de que precisávamos fatorando o 8. A transformação inversa é então,

[g left (t right) = frac <4> <3> sin left (<2t> right) + frac <3> <7> sinh left (<7t> right) ]

Portanto, provavelmente a melhor maneira de identificar a transformação é olhando para o denominador. Se houver mais de uma possibilidade, use o numerador para identificar a correta. Corrija o numerador, se necessário, para colocá-lo na forma necessária para o processo de transformação inversa. Finalmente, faça a transformação inversa.

Vamos resolver alguns problemas um pouco mais difíceis. Estes são um pouco mais complicados do que o primeiro conjunto.

  1. ( displaystyle F left (s right) = frac << 6s - 5 >> <<+ 7>>)
  2. ( displaystyle F left (s right) = frac << 1 - 3s >> <<+ 8s + 21 >> )
  3. ( displaystyle G left (s right) = frac << 3s - 2 >> << 2- 6s - 2 >> )
  4. ( displaystyle H left (s right) = frac <><<- 3s - 10 >> )

Pelo denominador deste, parece que é um seno ou um cosseno. No entanto, o numerador não corresponde a nenhum desses na tabela. Um cosseno deseja apenas um (s ) no numerador com no máximo uma constante multiplicativa, enquanto um seno deseja apenas uma constante e nenhum (s ) no numerador.

Temos ambos no numerador. No entanto, isso é fácil de corrigir. Vamos apenas dividir a transformação em dois termos e, em seguida, fazer as transformações inversas.

Não se acostume muito a obter sempre os quadrados perfeitos em senos e cossenos que vimos no primeiro conjunto de exemplos. Na maioria das vezes (pelo menos na minha classe), eles não serão quadrados perfeitos!

Neste caso, não há denominadores em nossa tabela com esta aparência. No entanto, podemos fazer o denominador parecer um dos denominadores da tabela, completando o quadrado do denominador. Então, vamos fazer isso primeiro.

Lembre-se de que, ao completar o quadrado, você pega metade do coeficiente de (s ), eleva ao quadrado e, em seguida, adiciona e subtrai o resultado do polinômio. Depois de fazer isso, os três primeiros termos devem ser fatorados como um quadrado perfeito.

Portanto, a transformação pode ser escrita da seguinte forma.

Ok, com esta reescrita parece que obtivemos # 19 e / ou # 20 de nossa tabela de transformações. No entanto, note que para ser um # 19 queremos apenas uma constante no numerador e para ser um # 20 precisamos de um (s - a ) no numerador. Não temos nenhum desses, então teremos que corrigir o numerador para colocá-lo na forma adequada.

Ao corrigir o numerador, sempre obtenha o (s - a ) primeiro. Essa é a parte importante. Também precisaremos ter cuidado com os 3 que ficam na frente do (s ). Uma maneira de cuidar disso é dividir o termo em duas partes, fatorar o 3 do segundo e, em seguida, corrigir o numerador desse termo. Isso funcionará, no entanto, colocará três termos em nossa resposta e, na verdade, existem apenas dois termos.

Então, vamos deixar a transformação como um único termo e corrigi-la da seguinte maneira,

Precisávamos de um (s + 4 ) no numerador, então o colocamos. Só precisávamos ter certeza e retirar o 4 subtraindo-o de volta. Além disso, devido ao 3 multiplicar o (s ), precisamos fazer tudo isso dentro de um conjunto de parênteses. Em seguida, multiplicamos parcialmente o 3 até o segundo termo e combinamos as constantes. Com a transformação neste formulário, podemos dividi-la em duas transformações, cada uma das quais está nas tabelas e, portanto, podemos fazer transformações inversas nelas,

Este é semelhante ao anterior. No entanto, só precisamos ter cuidado com o preenchimento do quadrado. A primeira coisa que devemos fazer é fatorar 2 do denominador e, em seguida, completar o quadrado. Lembre-se de que, ao completar o quadrado, é necessário um coeficiente de 1 no termo (s ^ <2> )! Então, aqui está o trabalho para essa transformação.

Portanto, parece que temos os números 21 e 22 com um numerador corrigido. Aqui está o trabalho para isso e a transformação inversa.

Ao corrigir o numerador do segundo termo, observe que apenas coloquei a raiz quadrada, pois já tínhamos a parte “mais de 2” da fração de que precisávamos no numerador.

Este parece ser semelhante aos dois anteriores, mas na verdade não é. Os denominadores nos dois anteriores não podiam ser facilmente fatorados. Nesse caso, o denominador é fatorado e, portanto, precisamos lidar com ele de maneira diferente. Aqui está a transformação com o denominador fatorado.

O denominador desta transformação parece sugerir que temos alguns exponenciais, no entanto, para serem exponenciais, pode haver apenas um único termo no denominador e não (s ) 's no numerador.

Para corrigir isso, precisaremos fazer frações parciais nesta transformação. Neste caso, a decomposição da fração parcial será

Não se lembra de como fazer frações parciais? Neste exemplo, mostraremos uma maneira de obter os valores das constantes e, após este exemplo, revisaremos como obter a forma correta da decomposição da fração parcial.

Ok, então vamos pegar as constantes. Existe um método para encontrar as constantes que sempre funcionará; no entanto, pode resultar em mais trabalho do que às vezes é necessário. Eventualmente, precisaremos desse método, porém neste caso existe uma maneira mais fácil de encontrar as constantes.

Independentemente do método usado, a primeira etapa é realmente adicionar os dois termos de volta. Isso dá o seguinte.

Agora, isso precisa ser verdade para qualquer (s ) que devemos escolher para inserir. Portanto, uma vez que os denominadores são os mesmos, só precisamos obter os numeradores iguais. Portanto, defina os numeradores iguais.

[s + 7 = A left ( direita) + B esquerda ( certo)]

Novamente, isso deve ser verdade para QUALQUER valor de (s ) que queremos colocar. Então, vamos aproveitar isso. Se deve ser verdadeiro para qualquer valor de (s ), então deve ser verdadeiro para (s = - 2 ), para escolher um valor aleatoriamente. Neste caso, obtemos,

[5 = A left (<- 7> right) + B left (0 right) hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> A = - frac <5> <7> ]

Encontramos (A ) escolhendo apropriadamente (s ). Podemos (B ) da mesma maneira se escolhermos (s = 5 ).

[12 = A left (0 right) + B left (7 right) hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> B = frac <<12>> <7> ]

Isso nem sempre funciona, mas quando funciona, geralmente simplifica o trabalho consideravelmente.

Então, com essas constantes, a transformação se torna,

Agora podemos facilmente fazer a transformação inversa para obter,

A última parte deste exemplo precisava de frações parciais para obter a transformação inversa. Quando finalmente voltarmos às equações diferenciais e começarmos a usar as transformadas de Laplace para resolvê-las, você compreenderá rapidamente que as frações parciais são um fato da vida nesses problemas. Quase todo problema exigirá frações parciais em um grau ou outro.

Observe que poderíamos ter feito a última parte deste exemplo como fizemos nas duas partes anteriores. Se o tivéssemos, teríamos obtido funções hiperbólicas. Porém, relembrando a definição das funções hiperbólicas, poderíamos ter escrito o resultado na forma que obtivemos com a maneira como trabalhamos nosso problema. No entanto, a maioria dos alunos tem uma percepção melhor de exponenciais do que de funções hiperbólicas e, por isso, geralmente é melhor usar apenas frações parciais e obter a resposta em termos de exponenciais. Pode ser um pouco mais trabalhoso, mas fornecerá uma forma de resposta mais agradável (e mais fácil de trabalhar).

Esteja avisado que na minha aula eu tenho uma regra que se o denominador pode ser fatorado com coeficientes inteiros, então ele deve ser.

Então, vamos lembrá-lo de como obter a decomposição da fração parcial correta. O primeiro passo é fatorar o denominador o máximo possível. Então, para cada termo no denominador, usaremos a tabela a seguir para obter um ou mais termos para nossa decomposição de fração parcial.

Fator em
denominador
Termo parcial
decomposição de fração
(ax + b ) ( displaystyle frac <>)
(< left ( right) ^ k> ) ( displaystyle frac <<>><> + frac <<>> <<<< left ( right)> ^ 2 >>> + cdots + frac <<>> <<<< left ( direita)> ^ k >>> )
(uma + bx + c ) ( displaystyle frac <> <<>+ bx + c >> )
(< left ( <>+ bx + c> right) ^ k> ) ( displaystyle frac <<x + >> <<>+ bx + c >> + frac <<x + >> <<<< left ( <>+ bx + c> right)> ^ 2 >>> + cdots + frac <<x + >> <<<< left ( <>+ bx + c> right)> ^ k >>> )

Observe que o primeiro e o terceiro casos são realmente casos especiais do segundo e do quarto casos, respectivamente.

Então, vamos fazer mais alguns exemplos para lembrá-lo de como fazer frações parciais.

  1. ( displaystyle G left (s right) = frac << 86s - 78 >> << left ( direita esquerda( right) left (<5s - 1> right) >> )
  2. ( displaystyle F left (s right) = frac << 2 - 5s >> << left ( direita) esquerda (<+ 11> direita) >> )
  3. ( displaystyle G left (s right) = frac <<25>> << left (<+ 4s + 5> direita) >> )

Aqui está a decomposição da fração parcial para esta parte.

Agora, desta vez não entraremos em detalhes como fizemos no último exemplo. Estamos atrás do numerador da decomposição da fração parcial e isso geralmente é fácil de fazer em nossas cabeças. Portanto, iremos direto para definir numeradores iguais.

[86s - 78 = A left ( right) left (<5s - 1> right) + B left ( right) left (<5s - 1> right) + C left ( direita esquerda( certo)]

Como no último exemplo, podemos obter facilmente as constantes escolhendo corretamente os valores de (s ).

Então, a decomposição da fração parcial para esta transformação é,

Agora, para realmente obter a transformação inversa, precisaremos fatorar 5 do denominador do último termo. A transformação corrigida, bem como sua transformação inversa, é.

Então, pela primeira vez, temos uma quadrática no denominador. Aqui está a decomposição para esta parte.

Definir numeradores iguais dá,

[2 - 5s = A left (<+ 11> direita) + esquerda ( direita esquerda( certo)]

Ok, neste caso, poderíamos usar (s = 6 ) para encontrar rapidamente (A ), mas isso é tudo que daria. Nesse caso, precisaremos percorrer o caminho “longo” para obter as constantes. Observe que essa maneira sempre funcionará, mas às vezes é mais trabalhosa do que o necessário.

O caminho “longo” é multiplicar completamente o lado direito e coletar termos semelhantes.

Para que esses dois sejam iguais, os coeficientes de (s ^ <2> ), (s ) e as constantes devem ser todos iguais. Portanto, definir coeficientes iguais dá o seguinte sistema de equações que pode ser resolvido.

Observe que usamos (s ^ <0> ) para denotar as constantes. Este é um hábito da minha parte e não é realmente obrigatório, é apenas o que estou acostumada a fazer. Além disso, os coeficientes são frações bastante confusas neste caso. Acostume-se com isso. Muitas vezes serão assim quando voltarmos a resolver as equações diferenciais.

Existe uma maneira de tornar nossa vida um pouco mais fácil com isso. Uma vez que todas as frações têm um denominador de 47, vamos fatorar isso à medida que as inserimos de volta na decomposição. Isso tornará muito mais fácil lidar com eles. A decomposição da fração parcial é então,

A transformação inversa é então.

Com esta última parte não se empolgue com o (s ^ <3> ). Podemos pensar neste termo como

e se torna um termo linear para um poder. Então, a decomposição da fração parcial é

Definir numeradores iguais e multiplicar dá.

Definir coeficientes iguais dá o seguinte sistema.

[deixou. < begin& : & A + D & = 0 & : & 4A + B + E & = 0 & : & 5A + 4B + C & = 0 & : & 5B + 4C & = 0 & : & 5C & = 25 end> right > hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> A = frac <<11>> <5>, B = - 4, C = 5, D = - frac <<11> > <5>, E = - frac <<24>> <5> ]

Este sistema parece confuso, mas é mais fácil de resolver do que pode parecer. Primeiro, obtemos (C ) gratuitamente a partir da última equação. Podemos então usar a quarta equação para encontrar (B ). A terceira equação dará (A ), etc.

Ao conectar na decomposição, obteremos tudo com um denominador de 5, em seguida, fatorar como fizemos na parte anterior, a fim de tornar as coisas mais fáceis de lidar.

Observe que também fatoramos um sinal de menos nos dois últimos termos. Para completar esta parte, precisaremos completar o quadrado do último termo e corrigir alguns numeradores. Aqui está esse trabalho.

A transformação inversa é então.

Então, uma última vez. As frações parciais são um fato da vida ao usar as transformadas de Laplace para resolver equações diferenciais. Certifique-se de que você pode lidar com eles.


Método de composição de transformações integrais para transmutações

6.1.2 O que é ITCM e como usá-lo?

O algoritmo formal do ITCM é o seguinte. Tomemos como entrada um par de operadores arbitrários A, B, e também conectando com eles as transformadas generalizadas de Fourier F A, F B, que são invertíveis e agem pelas fórmulas

Onde t é uma variável dupla e g é uma função arbitrária com propriedades adequadas. Freqüentemente, é conveniente escolher g (t) = - t 2 ou g (t) = - t α, α ∈ R.

Então, a essência do ITCM é obter formalmente um par de operadores de transmutação P e S como a saída do método pelas seguintes fórmulas:

com função arbitrária w (t) . Quando P e S são operadores de transmutação entrelaçando A e B,

Uma verificação formal de (6.3) pode ser obtida por substituição direta. A principal dificuldade é o cálculo das composições (6.2) de forma integral explícita, bem como a escolha dos domínios dos operadores P e S. Além disso, devemos notar que as fórmulas em (6.2) são formais e a situação é possível quando um operador, por exemplo P, existe e é gerado pela fórmula P = F A - 1 w (t) F B, mas seu operador inverso S não pode ser construída pela fórmula F B - 1 1 w (t) F A uma vez que esta integral, por exemplo, diverge. Neste caso, se for necessário construir um operador inverso para P é necessário usar alguns métodos de regularização.

Vamos listar as principais vantagens do ITCM.

Simplicidade - muitas classes de transmutações são obtidas por fórmulas explícitas de blocos básicos elementares, que são transformadas integrais clássicas.

O ITCM fornece por uma abordagem unificada todas as classes de transmutações previamente conhecidas explicitamente.

O ITCM oferece, por meio de uma abordagem unificada, muitas novas classes de transmutações para diferentes operadores.

O ITCM oferece uma abordagem unificada para obter transmutações diretas e inversas na mesma forma de composição.

O ITCM leva diretamente a estimativas de normas de transmutações diretas e inversas usando estimativas de normas conhecidas para transformadas integrais clássicas em diferentes espaços funcionais.

O ITCM leva diretamente a fórmulas de conexão para soluções para equações diferenciais perturbadas e não perturbadas.

Algum obstáculo para aplicar o ITCM é o seguinte. Sabemos que as transformadas integrais clássicas geralmente agem em espaços padrão como L 2, L p, C k, espaços de Lebesgue de expoente variável [465] e assim por diante. Mas para a aplicação de transmutações a equações diferenciais, geralmente precisamos de mais algumas condições para manter, digamos, em zero ou no infinito. Para esses problemas, podemos primeiro construir uma transmutação pelo ITCM e então expandi-la para as classes funcionais necessárias.

Vamos enfatizar que as fórmulas do tipo (6.2) certamente não são novas para transformadas integrais e suas aplicações a equações diferenciais. Mas o ITCM é novo quando aplicado à teoria da transmutação! Em outros campos de transformadas integrais e composições da teoria de equações diferenciais conectadas (6.2) para a escolha da transformada de Fourier clássica leva a famosos operadores pseudodiferenciais com função de símbolo w (t). Para a escolha da transformada de Fourier clássica e da função w (t) = (± i t) - s, obtemos integrais fracionários em todo o eixo real, para w (t) = | x | - s obtemos o potencial de Riesz, para w (t) = (1 + t 2) - s em (6.2) obtemos o potencial de Bessel, e para w (t) = (1 ± it) - s obtemos Bessel modificado potenciais [494].

A escolha do algoritmo ITCM

leva a operadores de tradução generalizados de Delsart [315,319,321]. Para este caso, temos que escolher no algoritmo ITCM definido por (6.1) - (6.2) os valores acima (6.4) em que B ν é o operador de Bessel (1.87), F ν é a transformada de Hankel (1.56) e j ν é a função de Bessel normalizada (ou “pequena”) (1.19). Da mesma forma, outras famílias de operadores comutando com um determinado podem ser obtidas pelo ITCM para a escolha A = B, FA = FB com funções arbitrárias g (t), w (t) (tradução generalizada comuta com o operador de Bessel) . No caso da escolha do operador diferencial UMA como oscilador quântico e a transformada integral conectada F A como transformada de Fourier fracionária ou quadrática [437], podemos obter pelas transmutações ITCM também para este caso [230]. É possível aplicar o ITCM em vez de abordagens clássicas para obter potências fracionárias de operadores de Bessel [230.515.516.527.531].

As aplicações diretas do ITCM para operadores diferenciais multidimensionais são óbvias neste caso t é um vetor e g (t), w (t) são funções vetoriais em (6.1) - (6.2). Infelizmente, para este caso, sabemos e podemos derivar algumas novas transmutações explícitas apenas para casos especiais simples. Mas entre eles estão classes de potenciais bem conhecidas e interessantes. No caso de usar o ITCM por (6.1) - (6.2) com transformada de Fourier quando w (t) é uma forma quadrática definida positiva, chegamos aos potenciais de Riesz elípticos [475.494] quando w (t) é uma forma quadrática indefinida nós chegamos aos potenciais de Riesz hiperbólicos [426.475.494] quando w (x, t) = (| x | 2 - it) - α / 2 chegamos aos potenciais parabólicos [494]. No caso de usar o ITCM por (6.1) - (6.2) com transformada de Hankel e quando w (t) é uma forma quadrática, chegamos aos potenciais B elípticos de Riesz [206,344] ou potenciais B de Riesz hiperbólicos [503]. Para todos os potenciais mencionados acima, precisamos usar a teoria da distribuição e considerar para as convoluções ITCM de distribuições para inversão de tais potenciais, precisamos de alguns procedimentos de corte e aproximação (cf. [426,503]). Para esta classe de problemas, é apropriado usar espaços de Schwartz e / ou Lizorkin para funções de sonda e espaços duplos para distribuições.

Portanto, podemos concluir que o ITCM que consideramos neste capítulo para obter transmutações é eficaz, está conectado a muitos métodos e problemas conhecidos, fornece todas as classes conhecidas de transmutações explícitas e funciona como uma ferramenta para construir novas classes de transmutações. A aplicação do ITCM requer as três etapas a seguir.

Etapa 1. Para um dado par de operadores A, B e as transformadas integrais conectadas F A, F B, defina e calcule um par de transmutações P, S pelas fórmulas básicas (6.1) - (6.2).

Etapa 2. Derive as condições exatas e encontre classes de funções para as quais as transmutações obtidas na etapa 1 satisfaçam as propriedades de entrelaçamento adequadas.

Etapa 3. Aplicar agora transmutações definidas corretamente pelas etapas 1 e 2 em classes de funções adequadas para derivar fórmulas de conexão para soluções de equações diferenciais.

Com base neste plano, a próxima parte do capítulo está organizada da seguinte forma. Primeiro, ilustramos a etapa 1 do plano acima e aplicamos o ITCM para obter algumas transmutações novas e conhecidas. Para o passo 2, provamos um teorema geral para o caso dos operadores de Bessel, basta completar as definições estritas das transmutações necessárias e começar a resolver os problemas usando-as. Depois disso, damos um exemplo para ilustrar a etapa 3 da aplicação de transmutações obtidas por ITCM para derivar fórmulas para soluções de um modelo de equação diferencial.


Vimos essas propriedades pela primeira vez na Tabela das Transformadas de Laplace.

Propriedade 1: propriedade de linearidade

Propriedade 2: Mudança de propriedade

Se `Lap ^ <: - 1:> G (s) = g (t)`, então `Lap ^ <: - 1:> G (s - a) = e ^ (at) g (t)`.

Propriedade 3

Propriedade 4

Exemplos

Encontre o inverso das seguintes transformações e esboce as funções assim obtidas.

(Não há necessidade de usar a Propriedade (3) acima.)

Portanto, a transformada de Laplace inversa é dada por:

O gráfico de `g (t)` é dado por:

e use a regra (4) acima:

Aqui está o gráfico da nossa solução:

`= sin 3t cos ((3pi) / 2)` `-cos 3t sin ((3pi) / 2)`

Portanto, a transformada inversa de Laplace é dada por:

O gráfico da função (mostrando que a chave está ligada em `t = pi / 2

Nossa questão envolve o produto de uma expressão exponencial e uma função de s, então precisamos usar Property (4), que diz:

Nossa expressão exponencial na questão é e e minuss e desde e e minusas = e e minuss neste caso, então uma = 1.

Então, usando a notação de função,

Juntando tudo, podemos escrever a transformação inversa de Laplace como:

Portanto, a transformada de Laplace inversa é dada por:

O gráfico da nossa função (que tem valor 0 até t = 1) é o seguinte:


1. Transformação de Laplace-Condições e existência

Definições 1. Transformação

Uma “transformação” é uma operação que converte uma expressão matemática em uma forma diferente, mas equivalente

Deixe uma função f (t) ser contínua e definida para valores positivos de 't'. A transformação de Laplace de f (t) associa uma função s definida pela equação (ma8251 notas de matemática de engenharia 2 unidade 5)

2. Transformadas de funções elementares - Propriedades básicas

2.1 Problemas baseados em transformações de funções elementares - propriedades básicas

3. Transformadas de derivados e integrais de funções

3.1 Transformada de integrais

3.2 Derivados de transformada

3.3 Problemas baseados em derivados de transformação (ma8251 notas de matemática de engenharia 2, unidade 5)

4 transformações da função de etapa da unidade e função de impulso

4.1 Problemas baseados na função de etapa da unidade (ou) função de etapa da unidade de Heaviside

Defina a função de etapa da unidade. Solução: a função de etapa da unidade, também chamada de função da unidade de Heaviside (ma8251 observa matemática de engenharia 2 unidade 5)

5 Definição da transformação das funções periódicas:

(Periódico) Uma função f (x) é dita “periódica” se e somente se f (x + p) = f (x) é verdadeiro para algum valor de pe todo valor de x. O menor valor positivo de p para o qual esta equação é verdadeira para cada valor de x será chamado de período da função.

6 Transformada Laplace Inversa

a. Se L [f (t)] = F (s), então L – 1 [F (s)] = f (t) onde L – 1 é chamado de operador inverso da transformada de Laplace. b. Se F1 (s) e F2 (s) são L.T. de f (t) e g (t) respectivamente, então

7. Teorema de convolução (ma8251 observa matemática de engenharia 2 unidade 5)

8. Teoremas de valor inicial e final

9. Solução de ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes (ma8251 notas matemática de engenharia 2 unidade 5)

Nome do assunto MATEMÁTICA DE ENGENHARIA 2
Regulamento Regulamento de 2017

MA8251 Notas Engenharia Matemática 2 Unidade 5 Clique aqui para baixar


A Transformada Inversa de Laplace por Expansão de Fração Parcial

Esta técnica usa Expansão de Fração Parcial para dividir uma fração complicada em formas que estão na tabela de Transformação de Laplace. Conforme você lê esta seção, pode achar útil consultar a seção de revisão sobre técnicas de expansão de fração parcial. O texto abaixo pressupõe que você esteja familiarizado com esse material.

Raízes reais distintas

Considere primeiro um exemplo com raízes reais distintas.

Exemplo: raízes reais distintas

Encontre a transformada de Laplace inversa de:

Solução:
Podemos encontrar os dois coeficientes desconhecidos usando o método & quotcover-up & quot.

(onde U (t) é o função de etapa da unidade ) ou expressa de outra forma

A função de passo unitário é igual a zero para t & lt0 e igual a um para t & gt0. Em t = 0, o valor geralmente é considerado & frac12 ou 1, a escolha não importa para nós.

As duas últimas expressões são um tanto complicadas. A menos que haja confusão sobre o resultado, assumiremos que todos os nossos resultados são implicitamente 0 para t & lt0 e escreveremos o resultado como

Raízes reais repetidas

Considere a seguir um exemplo com raízes reais repetidas (neste caso na origem, s = 0).

Exemplo: raízes reais repetidas

Encontre a transformada de Laplace inversa da função F (s).

Solução:
Podemos encontrar dois dos coeficientes desconhecidos usando o método & quotcover-up & quot.

Encontramos o outro termo usando multiplicação cruzada:

Igualar os poderes de & quots & quot nos dá:

poder das & citações & quot Equação
s 2
s 1
s 0

Poderíamos ter usado essas relações para determinar A1, UMA2, e A3. Mas A1 e A3 foram facilmente encontrados usando o método & quotcover-up & quot. O relacionamento principal nos diz que A2= -0,25, então

(onde, novamente, está implícito que f (t) = 0 quando t & lt0).

Muitos textos usam um método baseado na diferenciação da fração quando há raízes repetidas. A técnica envolve a diferenciação de proporções de polinômios que estão sujeitas a erros. Os detalhes estão aqui se você estiver interessado.

Raízes complexas

Outro caso que freqüentemente surge é o de raízes conjugadas complexas. Considere a fração:

O segundo termo no denominador não pode ser considerado em termos reais. Isso nos deixa com duas possibilidades - aceitar as raízes complexas ou encontrar uma maneira de incluir o termo de segunda ordem.

Exemplo: raízes de conjugado complexo (método 1)

Usando as raízes complexas (primeira ordem)

Simplify the function F(s) so that it can be looked up in the Laplace Transform table.

Solução:
If we use complex roots, we can expand the fraction as we did before. This is not typically the way you want to proceed if you are working by hand, but may be easier for computer solutions (where complex numbers are handled as easily as real numbers). To perform the expansion, continue as before.

Note that A2 and A3 must be complex conjugates of each other since they are equivalent except for the sign on the imaginary part. Performing the required calculations:

The inverse Laplace Transform is given below (Method 1).

Example: Complex Conjugate Roots (Method 2)

Method 2 - Using the second order polynomial

Simplify the function F(s) so that it can be looked up in the Laplace Transform table.

Solução:
Another way to expand the fraction without resorting to complex numbers is to perform the expansion as follows.

Note that the numerator of the second term is no longer a constant, but is instead a first order polynomial. From above (or using the cover-up method) we know that A=-0.2. We can find the quantities B and C from cross-multiplication.

If we equate like powers of "s" we get

ordem de
coefficient
left side
coefficient
right side
coefficient
2 nd (s 2 ) 0 A+B
1 st (s 1 ) 1 4A+5B+C
0 th (s 0 ) 3 5A+5C

Since we already know that A=-0.2, the first expression (0=A+B) tells us that B=0.2, and the last expression (3=5A+5C) tells us that C=0.8. We can use the middle expression (1=4A+5B+C) to check our calculations. Finally, we get

The inverse Laplace Transform is given below (Method 2).

Some Comments on the two methods for handling complex roots

The two previous examples have demonstrated two techniques for performing a partial fraction expansion of a term with complex roots. The first technique was a simple extension of the rule for dealing with distinct real roots. It is conceptually simple, but can be difficult when working by hand because of the need for using complex numbers it is easily done by computer. The second technique is easy to do by hand, but is conceptually a bit more difficult. It is easy to show that the two resulting partial fraction representations are equivalent to each other. Let's first examine the result from Method 1 (using two techniques).

We start with Method 1 with no particular simplifications.

Method 1 - brute force technique

We now repeat this calculation, but in the process we develop a general technique (that proves to be useful when using MATLAB to help with the partial fraction expansion. We know that F(s) can be represented as a partial fraction expansion as shown below:

We know that A2 and A3 are complex conjugates of each other:

tan -1 is the arctangent. On computers it is often implemented as "atan". The atan function can give incorrect results (this is because, typically, the function is written so that the result is always in quadrants I or IV, and never in quadrants II and III). To ensure accuracy, use a function that corrects for this. Often the function is "atan".. Also be careful about using degrees and radians as appropriate.

We can now find the inverse transform of the complex conjugate terms by treating them as simple first order terms (with complex roots).

In this expression M=2K. The frequency (&omega) and decay coefficient (σ) are determined from the root of the denominator of A2 (in this case the root of the term is at s=-2+j this is where the term is equal to zero). The frequency is the imaginary part of the root (in this case, ω=1), and the decay coefficient is the real part of the root (in this case, σ=-2).

Using the cover-up method (or, more likely, a computer program) we get

It is easy to show that the final result is equivalent to that previously found, i.e.,

While this method is somewhat difficult to do by hand, it is very convenient to do by computer. This is the approach used on the page that shows MATLAB techniques.

Finally we present Method 2, a technique that is easier to work with when solving problems for hand (for homework or on exams) but is less useful when using MATLAB.

Method 2 - Completing the square

Thus it has been shown that the two methods yield the same result. Use Method 1 with MATLAB and use Method 2 when solving problems with pencil and paper.

Example - Combining multiple expansion methods

Find the inverse Laplace Transform of

Solução:
The fraction shown has a second order term in the denominator that cannot be reduced to first order real terms. As discussed in the page describing partial fraction expansion, we'll use two techniques. The first technique involves expanding the fraction while retaining the second order term with complex roots in the denominator. The second technique entails "Completing the Square."

Since we have a repeated root, let's cross-multiply to get

Then equating like powers of s

Starting at the last equation

The last term is not quite in the form that we want it, but by completing the square we get

Now all of the terms are in forms that are in the Laplace Transform Table (the last term is the entry "generic decaying oscillatory").

Example - Repeat Previous Example, Using Brute Force

We repeat the previous example, but use a brute force technique. You will see that this is harder to do when solving a problem manually, but is the technique used by MATLAB. It is important to be able to interpret the MATLAB solution.

Find the inverse Laplace Transform of

Solução:
We can express this as four terms, including two complex terms (with A3=A4*)

Cross-multiplying we get (using the fact that (s+1-2j)(s+1+2j)=(s 2 +2s+5))

Then equating like powers of s

We could solve by hand, or use MATLAB:

We will use the notation derived above (Method 1 - a more general technique). The root of the denominator of the A3 term in the partial fraction expansion is at s=-1+2j (i.e., the denominator goes to 0 when s=-1+2j), the magnitude of A3 is 𕔆, and the angle of A3 is 225°. So, M=2𕔆, &phi=225°, &omega=2, and &sigma=-1. Solving for f(t) we get

This expression is equivalent to the one obtained in the previous example.

Order of numerator polynomial equals order of denominator

When the Laplace Domain Function is not strictly proper (i.e., the order of the numerator is different than that of the denominator) we can not immediatley apply the techniques described above.

Example: Order of Numerator Equals Order of Denominator

Find the inverse Laplace Transform of the function F(s).

Solução:
For the fraction shown below, the order of the numerator polynomial is not less than that of the denominator polynomial, therefore we first perform long division

Now we can express the fraction as a constant plus a strictly proper ratio of polynomials.

By "strictly proper" we mean that the order of the denominator polynomial is greater than that of the numerator polynomial'

Using the cover up method to get A1 and A2 we get

Exponentials in the numerator

The last case we will consider is that of exponentials in the numerator of the function.

Example: Exponentials in the numerator

Find the inverse Laplace Transform of the function F(s).

Solução:
The exponential terms indicate a time delay (see the time delay property). The first thing we need to do is collect terms that have the same time delay.

We now perform a partial fraction expansion for each time delay term (in this case we only need to perform the expansion for the term with the 1.5 second delay), but in general you must do a complete expansion for each term.

Now we can do the inverse Laplace Transform of each term (with the appropriate time delays)

The step function that multiplies the first term could be left off and we would assume it to be implicit. It is included here for consistency with the other two terms.


7.3: The Inverse Laplace Transform- Complex Integration - Mathematics

It’s now time to get back to differential equations. We’ve spent the last three sections learning how to take Laplace transforms and how to take inverse Laplace transforms. These are going to be invaluable skills for the next couple of sections so don’t forget what we learned there.

Before proceeding into differential equations we will need one more formula. We will need to know how to take the Laplace transform of a derivative. First recall that (f^<(n)>) denotes the (n^>) derivative of the function (f). We now have the following fact.

Suppose that (f), (f'), (f''),… (f^<(n-1)>) are all continuous functions and (f^<(n)>) is a piecewise continuous function. Então,

[mathcalleft< <>> ight> = Fleft( s ight) - <>>fleft( 0 ight) - <>>f'left( 0 ight) - cdots - s ight)>>left( 0 ight) - ight)>>left( 0 ight)]

Since we are going to be dealing with second order differential equations it will be convenient to have the Laplace transform of the first two derivatives.

[começarmathcal left < ight> & = sYleft( s ight) - yleft( 0 ight) mathcal left < ight> & = Yleft( s ight) - syleft( 0 ight) - y'left( 0 ight)end]

Notice that the two function evaluations that appear in these formulas, (yleft( 0 ight)) and (y'left( 0 ight)), are often what we’ve been using for initial condition in our IVP’s. So, this means that if we are to use these formulas to solve an IVP we will need initial conditions at (t = 0).

While Laplace transforms are particularly useful for nonhomogeneous differential equations which have Heaviside functions in the forcing function we’ll start off with a couple of fairly simple problems to illustrate how the process works.

The first step in using Laplace transforms to solve an IVP is to take the transform of every term in the differential equation.

[mathcal left < ight> - 10mathcal left < ight> + 9mathcalleft < y ight>= mathcalleft < <5t> ight>]

Using the appropriate formulas from our table of Laplace transforms gives us the following.

[Yleft( s ight) - syleft( 0 ight) - y'left( 0 ight) - 10left( ight) + 9Yleft( s ight) = frac<5><<>>]

Plug in the initial conditions and collect all the terms that have a (Y(s)) in them.

[left( <- 10s + 9> ight)Yleft( s ight) + s - 12 = frac<5><<>>]

At this point it’s convenient to recall just what we’re trying to do. We are trying to find the solution, (y(t)), to an IVP. What we’ve managed to find at this point is not the solution, but its Laplace transform. So, in order to find the solution all that we need to do is to take the inverse transform.

Before doing that let’s notice that in its present form we will have to do partial fractions twice. However, if we combine the two terms up we will only be doing partial fractions once. Not only that, but the denominator for the combined term will be identical to the denominator of the first term. This means that we are going to partial fraction up a term with that denominator no matter what so we might as well make the numerator slightly messier and then just partial fraction once.

This is one of those things where we are apparently making the problem messier, but in the process we are going to save ourselves a fair amount of work!

Combining the two terms gives,

The partial fraction decomposition for this transform is,

Setting numerators equal gives,

[5 + 12 - = Asleft( ight)left( ight) + Bleft( ight)left( ight) + Cleft( ight) + Dleft( certo)]

Picking appropriate values of (s) and solving for the constants gives,

Plugging in the constants gives,

Finally taking the inverse transform gives us the solution to the IVP.

That was a fair amount of work for a problem that probably could have been solved much quicker using the techniques from the previous chapter. The point of this problem however, was to show how we would use Laplace transforms to solve an IVP.

There are a couple of things to note here about using Laplace transforms to solve an IVP. First, using Laplace transforms reduces a differential equation down to an algebra problem. In the case of the last example the algebra was probably more complicated than the straight forward approach from the last chapter. However, in later problems this will be reversed. The algebra, while still very messy, will often be easier than a straight forward approach.

Second, unlike the approach in the last chapter, we did not need to first find a general solution, differentiate this, plug in the initial conditions and then solve for the constants to get the solution. With Laplace transforms, the initial conditions are applied during the first step and at the end we get the actual solution instead of a general solution.

In many of the later problems Laplace transforms will make the problems significantly easier to work than if we had done the straight forward approach of the last chapter. Also, as we will see, there are some differential equations that simply can’t be done using the techniques from the last chapter and so, in those cases, Laplace transforms will be our only solution.

Let’s take a look at another fairly simple problem.

As with the first example, let’s first take the Laplace transform of all the terms in the differential equation. We’ll the plug in the initial conditions to get,

[começar2left( <Yleft( s ight) - syleft( 0 ight) - y'left( 0 ight)> ight) + 3left( ight) - 2Yleft( s ight) & = frac<1> <<< ight)>^2>>> left( <2+ 3s - 2> ight)Yleft( s ight) + 4 & = frac<1> <<< ight)>^2>>>end]

Now, as we did in the last example we’ll go ahead and combine the two terms together as we will have to partial fraction up the first denominator anyway, so we may as well make the numerator a little more complex and just do a single partial fraction. This will give,

The partial fraction decomposition is then,

Setting numerator equal gives,

In this case it’s probably easier to just set coefficients equal and solve the resulting system of equation rather than pick values of (s). So, here is the system and its solution.

[left. <egin& : & A + 2B & = 0& : & 6A + 7B + 2C & = - 4 & : & 12A + 4B + 3C + 2D & = - 16& : & 8A - 4B - 2C - D & = - 15end> ight>hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>eginA & = - frac<<192>><<125>> & B & = frac<<96>><<125>> C & = - frac<2><<25>> & D & = - frac<1><5>end]

We will get a common denominator of 125 on all these coefficients and factor that out when we go to plug them back into the transform. Fazer isso dá,

Notice that we also had to factor a 2 out of the denominator of the first term and fix up the numerator of the last term in order to get them to match up to the correct entries in our table of transforms.

Taking the inverse transform then gives,

Take the Laplace transform of everything and plug in the initial conditions.

[começarYleft( s ight) - syleft( 0 ight) - y'left( 0 ight) - 6left( ight) + 15Yleft( s ight) & = 2frac<3> <<+ 9>> left( <- 6s + 15> ight)Yleft( s ight) + s - 2 & = frac<6> <<+ 9>>end]

Now solve for (Y(s)) and combine into a single term as we did in the previous two examples.

[Yleft( s ight) = frac << - + 2 - 9s + 24>> <+ 9> ight)left( <- 6s + 15> ight)>>]

Now, do the partial fractions on this. First let’s get the partial fraction decomposition.

Now, setting numerators equal gives,

Setting coefficients equal and solving for the constants gives,

[left. começar& : & A + C & = - 1 & : & - 6A + B + D & = 2 & : & 15A - 6B + 9C & = - 9 & : & 15B + 9D & = 24end ight>hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>egin A & = frac<1><<10>> & B & = frac<1><<10>> C & = - frac<<11>><<10>> & D & = frac<5><2>end]

Now, plug these into the decomposition, complete the square on the denominator of the second term and then fix up the numerators for the inverse transform process.

Finally, take the inverse transform.

To this point we’ve only looked at IVP’s in which the initial values were at (t = 0). This is because we need the initial values to be at this point in order to take the Laplace transform of the derivatives. The problem with all of this is that there are IVP’s out there in the world that have initial values at places other than (t = 0). Laplace transforms would not be as useful as it is if we couldn’t use it on these types of IVP’s. So, we need to take a look at an example in which the initial conditions are not at (t = 0) in order to see how to handle these kinds of problems.

The first thing that we will need to do here is to take care of the fact that initial conditions are not at (t = 0). The only way that we can take the Laplace transform of the derivatives is to have the initial conditions at (t = 0).

This means that we will need to formulate the IVP in such a way that the initial conditions are at (t = 0). This is actually fairly simple to do, however we will need to do a change of variable to make it work. We are going to define

[eta = t - 3hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>,,,t = eta + 3]

Let’s start with the original differential equation.

[y''left( t ight) + 4y'left( t ight) = cos left( ight) + 4t]

Notice that we put in the (left( t ight)) part on the derivatives to make sure that we get things correct here. We will next substitute in for (t).

[y''left( ight) + 4y'left( ight) = cos left( eta ight) + 4left( ight)]

Now, to simplify life a little let’s define,

[uleft( eta ight) = yleft( ight)]

Then, by the chain rule, we get the following for the first derivative.

By a similar argument we get the following for the second derivative.

[u''left( eta ight) = y''left( ight)]

The initial conditions for (uleft( eta ight)) are,

[começaruleft( 0 ight) & = yleft( <0 + 3> ight) = yleft( 3 ight) = 0 u'left( 0 ight) & = y'left( <0 + 3> ight) = y'left( 3 ight) = 7end]

The IVP under these new variables is then,

[u'' + 4u' = cos left( eta ight) + 4eta + 12,hspace<0.25in>uleft( 0 ight) = 0,,,,,,,,u'left( 0 ight) = 7]

This is an IVP that we can use Laplace transforms on provided we replace all the (t)’s in our table with (eta )’s. So, taking the Laplace transform of this new differential equation and plugging in the new initial conditions gives,

Note that unlike the previous examples we did not completely combine all the terms this time. In all the previous examples we did this because the denominator of one of the terms was the common denominator for all the terms. Therefore, upon combining, all we did was make the numerator a little messier and reduced the number of partial fractions required down from two to one. Note that all the terms in this transform that had only powers of (s) in the denominator were combined for exactly this reason.

In this transform however, if we combined both of the remaining terms into a single term we would be left with a fairly involved partial fraction problem. Therefore, in this case, it would probably be easier to just do partial fractions twice. We’ve done several partial fractions problems in this section and many partial fraction problems in the previous couple of sections so we’re going to leave the details of the partial fractioning to you to check. Partial fractioning each of the terms in our transform gives us the following.

Plugging these into our transform and combining like terms gives us

Now, taking the inverse transform will give the solution to our new IVP. Don’t forget to use (eta )’s instead of (t)’s!

This is not the solution that we are after of course. We are after (y(t)). However, we can get this by noticing that

[yleft( t ight) = yleft( ight) = uleft( eta ight) = uleft( certo)]

So, the solution to the original IVP is,

So, we can now do IVP’s that don’t have initial conditions that are at (t = 0). We also saw in the last example that it isn’t always the best to combine all the terms into a single partial fraction problem as we have been doing prior to this example.

The examples worked in this section would have been just as easy, if not easier, if we had used techniques from the previous chapter. They were worked here using Laplace transforms to illustrate the technique and method.


Inverse Laplace Transform using contour integration

So math stack exchange isn't really helping much with this. So initially, I'm proving the inverse laplace transform using contour integration. This is a good starting point for my research when I eventually need to find the inverse laplace transform when the functions could not be found in tables. I need to prove that: $DeclareMathOperator mathscr^ <-1>igg[ frac<1>ig(exp (- sqrtx)ig) igg] = erfcleft(frac<2sqrt> ight) $ This inverse laplace transform can be found using a table of Laplace Transforms. Using the following contour:

Source: https://tex.stackexchange.com/questions/269684/hankel-bromwich-contour-problem

Then, after considering all contributions of this contour to get: $ mathscr^ <-1>igg[ frac<1>ig(exp (- sqrtx)ig) igg] = 1 - frac<1> int_<0>^ exp(-ut) sin(sqrt x) frac $ Here, we can simplify the integral by letting: $v^ <2>= ut$ and $y = x/sqrt$ to get: $ mathscr^ <-1>igg[ frac<1>ig(exp (- sqrtx)ig) igg] = 1 - frac<2> int_<0>^ exp(-v) sin(yv) frac. $ How do I continue from here to eventually get to : $ 1 - erfleft(frac<2> ight) = 1 - erfleft(frac<2sqrt> ight) $


Aktosun, Spring 2018, Math 3318

Textbook: C. H. Edwards, D. E. Penney, and D. T. Calvis, Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th ed., Pearson, Boston, 2015.

Cobertura: We will not rely on the textbook much. The textbook is for you to read the material from another viewpoint. Roughly, we will cover some materials in Chapters 1, 2, 3, 4, 5, and 7. The details of the coverage of the material is given in the course outline .

Grading: Letter grades will be assigned based on the three exam grades, with the lowest exam score contributing 20% and the other two exam scores each contributing 40% to the course grade. The grade out of 100 on the first exam is equal to 2.50433X+25.611, where X is the number of correct answers on the first exam. The grade out of 100 on the second exam is equal to 2.625X+23.742, where X is the number of correct answers on the second exam. The grade out of 100 on the third exam is equal to 2.56X+23.2, where X is the number of correct answers on the third exam. All grades out of 100 will correspond to the following scale: 0 & lt F< 60, 60 & lt D < 70, 70 & lt C < 80, 80 & lt B < 90, 90 & lt UMA & lt 100.

Exames: Exam 1: Thursday, February 22 (during class) Exam 2: Thursday, April 12 (during class) Exam 3 (Final Exam): Thursday, May 10 during 8:00-10:30 am in PKH 107.

Information on each exam: Each exam will contain 30 questions (the first 15 are true/false questions and the remaining 15 are multiple-choice questions with 4 options to choose from). No materials are allowed during the exams besides a pencil or a pen blank sheets are provided on each exam an answer sheet to put the answers on will be provided and will be collected at the end of each exam. Separate information related to the coverage will be provided for each exam.

Prerequisites: A grade of C or better in Math 2326 or concurrent enrollment.

Math clinic: Free help is available for this course at the Math Clinic located in PKH 325 (on the third floor of Pickard Hall just across from the elevator). One of the doctoral mathematics students, Ms. Niloofar Ghorbani, is available at the Math Clinic during 8-9 am on Tuesdays and Wednesday, to provide help to students enrolled in Math 3318. Those of you who need some mathematical help for Math 3318, you can get help from Ms. Ghorbani during those times (Tuesday and Wednesday during 8-9 am) in the Math Clinic (PKH 325).

  • ODE: general solution, particular solution, explicit solution, implicit solution arbitrary constants, initial conditions
  • linear ODEs, nonlinear ODEs, linear homogeneous ODEs
  • First-order ODEs: linear, separable, exact, homogeneous, Bernoulli methods to solve such ODEs
  • First-order linear ODEs: standard form, an integrating factor
  • Differential, exact differential, total differential criteria for exactness
  • Substitution for Bernoulli equations, substitution for homogeneous equations
  • Linear ODEs: nonhomogeneous term, homogeneous linear ODE, superposition principle, general solution, particular solution
  • Linear nth-order ODEs: with constant coefficients, Cauchy-Euler equations functions satisfying such homogeneous linear ODEs
  • higher-order linear ODEs: general solution, particular solution, arbitrary constants, initial conditions
  • linear ODEs: the corresponding homogeneous ODE, general solution to the corresponding ODE, linearly independent solutions
  • linear homogeneous ODEs with constant coefficients, the corresponding auxiliary equation, the operator notation D=d/dx
  • linear homogeneous ODEs with constant coefficients: y=e rx , y=xe rx with a repeated root, y=e ax cos (bx) e y=e ax pecado(bx) with complex roots r=a±ib
  • Cauchy-Euler equations: y=x r , y =(lnx)x r with a repeated root, y=x a cos (b(lnx)) and y=x a pecado(b(lnx)) with complex roots r=a±ib
  • method of undetermined coefficients to find a particular solution
  • given the general solution, find the corresponding ODE
  • method of reduction of order
  • higher-order linear ODEs: general solution, particular solution, arbitrary constants, initial conditions
  • linear homogeneous ODEs with constant coefficients, the corresponding auxiliary equation, the operator notation D=d/dx
  • linear homogeneous ODEs with constant coefficients: y=e rx , y=xe rx with a repeated root, y=e ax cos (bx) e y=e ax pecado(bx) with complex roots r=a±ib
  • Cauchy-Euler equations: y=x r , y =(lnx)x r with a repeated root, y=x a cos (b(lnx)) and y=x a pecado(b(lnx)) with complex roots r=a±ib
  • method of undetermined coefficients to find a particular solution
  • given the general solution, find the corresponding ODE
  • Laplace transform, Laplace transform formulas
  • inverse Laplace transform, inverse Laplace transform formulas
  • unit step function
  • solving initial value problems by using Laplace transform

Supplementary problems 6
Brief answers to supplementary problems 6
Solution to supplementary problems 6
Practice problems from the textbook: 1.1 Differential equations: 1-26, 37-42 1.2 General and particular solutions: 1-18 1.4 Separable equations: 1-28 1.5 Linear first-order equations: 1-28 1.6 Exact equations: 1-40, 43-54 3.1 Second-order linear equations: 1-28, 36-42 3.2 General solutions to linear equations: 1-24 3.3 Homogeneous equations with constant coefficients: 1-32 3.5 Method of undetermined coefficients: 1-40 7.1 Laplace transform: 1-32 7.2 Solving initial-value problems: 1-24 7.3 Further properties for Laplace transform: 1-24


Assista o vídeo: EDO -75. Traslación en eje S. Transformada inversa Laplace. No 12, 14 y 16. Dennis G. Zill (Outubro 2021).