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5.2: A Transformada de Laplace - Matemática


A Transformada de Laplace é normalmente considerada responsável por transformar problemas dinâmicos em problemas estáticos. Lembre-se de que a Transformada de Laplace da função (h ) é

[ mathscr {L} (h (s)) equiv int_ {0} ^ { infty} e ^ {- (st)} h (t) dt nonumber ]

MATLAB é muito adepto dessas coisas. Por exemplo:

A transformação de Laplace no MATLAB

>> syms t >> laplace (exp (t)) ans = 1 / (s-1) >> laplace (t * (exp (-t)) ans = 1 / (s + 1) ^ 2

A Transformada de Laplace de uma matriz de funções é simplesmente a matriz das transformadas de Laplace dos elementos individuais.

Definição: Transformada de Laplace de uma matriz de funções

[ mathscr {L} ( begin {pmatrix} {e ^ {t}} {te ^ {- t}} end {pmatrix}) = begin {pmatrix} { frac {1} {s -1}} { frac {1} {(s + 1) ^ 2}} end {pmatriz} nonumber ]

Agora, na preparação para aplicar a transformada de Laplace à nossa equação do módulo de quarteto de strang dinâmico:

[ textbf {x} '= B textbf {x} + textbf {g} ]

nós escrevemos como

[ mathscr {L} ( frac {dx} {dt}) = mathscr {L} (B textbf {x} + textbf {g}) ]

e então deve determinar como ( mathscr {L} ) age em derivadas e somas. Com relação a este último, resulta diretamente da definição que

[ begin {align *} mathscr {L} (B textbf {x} + textbf {g}) & = mathscr {L} (B textbf {x}) + mathscr {L} ( textbf {g}) [4pt] & = B mathscr {L} ( textbf {x}) + mathscr {L} ( textbf {g}) end {alinhar *} ]

Em relação ao seu efeito na derivada, encontramos, na integração por partes, que

[ begin {align} mathscr {L} left ( frac {d textbf {x}} {dt} right) & = int_ {0} ^ { infty} e ^ {- (st) } frac {d textbf {x} (t)} {dt} dt [4pt] & = textbf {x} (t) left. e ^ {- (st)} right | _ {0} ^ { infty} + s int_ {0} ^ { infty} e ^ {- (st)} textbf {x} (t) dt fim {alinhar} ]

Supondo que (x ) e (s ) sejam tais que (x (t) e ^ {- (st)} rightarrow 0 ) como (t rightarrow infty ) chegamos a

[ mathscr {L} ( frac {d textbf {x}} {dt}) = s mathscr {L} ( textbf {x}) - x (0) nonumber ]

Agora, ao substituir a Equação 2 e a Equação 3 na Equação 1, encontramos

[s mathscr {L} ( textbf {x}) - textbf {x} (0) = B mathscr {L} ( textbf {x}) + mathscr {L} ( textbf {g} ) enhum número]

que é facilmente reconhecido como um sistema linear para ( mathscr {L} ( textbf {x}) )

[( textbf {s} I-B) mathscr {L} ( textbf {x}) = mathscr {L} ( textbf {g}) + x (0) nonumber ]

A única coisa que distingue esse sistema daqueles encontrados desde nosso primeiro contato com esses sistemas é a presença da variável complexa (s ). Isso complica as etapas mecânicas da Eliminação Gaussiana ou do Método Gauss-Jordan, mas os métodos de fato se aplicam sem alteração. Pegando o último método, escrevemos

[ mathscr {L} ( textbf {x}) = (sI-B) ^ {- 1} ( mathscr {L} ( textbf {g}) + x (0)) nonumber ]

A matriz ((sI-B) ^ {- 1} ) é normalmente chamada de função de transferência ou resolvente, associado a (B ), em (s ). Recorremos ao MATLAB para o seu simbólico Cálculo. (para obter mais informações, consulte o tutorial sobre a caixa de ferramentas simbólicas do MATLAB). Por exemplo,

>> B = [2 -1; -1 2] >> R = inv (s * olho (2) -B) R = [(s-2) / (s * s-4 * s + 3), -1 / (s * s-4 * s + 3)] [-1 / (s * s-4 * s + 3), (s-2) / (s * s-4 * s + 3)]

Notamos que ((sI-B) ^ {- 1} ) bem definido, exceto nas raízes da quadrática, (s ^ {2} -4s + 3 ) determinante de ((sI-B) ) e é frequentemente referido como o polinômio característico de (B ). Suas raízes são chamadas de autovalores de (B ).

Exemplo ( PageIndex {1} )

Vamos pegar a matriz (B ) do módulo de quarteto Strang dinâmico com as opções de parâmetro especificadas em fib3.m, a saber

[B = begin {pmatrix} {-0.135} & {0.125} & {0} {0.5} & {- 1.01} & {0.5} {0} & {0.5} & {- 0.51} fim {pmatrix} nonumber ]

O ((sI-B) ^ {- 1} ) associado é um pouco volumoso (execute fig3.m), portanto, exibimos aqui apenas o denominador de cada termo, ou seja,

[s ^ 3 + 1,655s ^ 2 + 0,4078s + 0,0039 nonumber ]

Assumindo um estímulo atual da forma (i_ {0} (t) = frac {t ^ {3} e ^ {- frac {t} {6}}} {10000} ) e (E_ {m } = 0 ) traz

[ mathscr {L} ( textbf {g}) (s) = begin {pmatrix} { frac {0.191} {(s + frac {1} {6}) ^ {4}}} { 0} {0} {0} end {pmatrix} nonumber ]

e assim a Equação persiste em

[ begin {align *} mathscr {L} ( textbf {x}) & = (sI-B) ^ {- 1} mathscr {L} ( textbf {g}) [4pt] & = frac {0,191} {(s + frac {1} {6}) ^ {4} (s ^ 3 + 1,655s ^ 2 + 0,4078s + 0,0039)} begin {pmatrix} {s ^ 2 + 1,5s +0,27} {0,5s + 0,26} {0,2497} end {pmatriz} end {alinhar *} ]

Agora vem o problema. Uma solução linear simples (ou inversão) nos deixou com a transformada de Laplace de ( textbf {x} ). O amaldiçoado Teorema Sem Almoço Grátis

Teremos que fazer algum trabalho para recuperar ( textbf {x} ) de ( mathscr {L} ( textbf {x}) ) que nos confronta. Devemos enfrentá-lo no módulo Inverse Laplace.


A transformação de Laplace

A Transformada de Laplace aplicada a uma função $ f (t) $ terá a seguinte aparência:
$ mathcal[f (t)] = int_0 ^ < infty> e ^ <- lambda t> f (t) , dt = F ( lambda) $
A notação abreviada geralmente é denotada de 3 maneiras comuns:
$ mathcal[f (t)] = F ^ = Laplace (f (t)) $
Em geral, sua função de tempo $ f (t) $ será transformada em uma função de lambda $ F ( lambda) $:
$ f (t) $ => $ F ^( lambda) $

Observe as seguintes propriedades da Transformada de Laplace:
Lembre-se sempre de que a Transformada de Laplace só é válida para t> 0.
As constantes podem ser extraídas da Transformada de Laplace:
$ mathcal[af (t)] = a mathcal[f (t)] $ onde a é uma constante
Além disso, o Laplace de uma soma de várias funções pode ser dividido na soma de várias Transformadas de Laplace:
$ mathcal[g (t) + f (t)] = mathcal[g (t)] + mathcal[f (t)] $

Existem 5 regras que você deve memorizar sobre a Transformação de Laplace:

1. Regra de Convolução
Vamos denotar a convolução de 2 funções feg como o seguinte:
$ (f * g) = (g * f) = int_ <0> ^ f ( tau) g (t- tau) mathrm tau $
Quando aplicamos a Transformada de Laplace à convolução de 2 funções, obtemos o seguinte resultado:
$ mathcal[f * g] = F ^( lambda) G ^( lambda) $

2. Regra Derivada
Dada uma derivada (n) de uma função f, denotada por $ f ^$, a Transformação de Laplace será a seguinte:
$ mathcal[f ^] = lambda ^F ^( lambda) - sum_^ lambda ^f ^(+0)$

3. Regra de similaridade
Dada uma função que tem uma constante $ a $ multiplicada por t em uma função:
$ mathcal[f (arroba)] = frac <1> F ^( frac < lambda>), $ tal que $ a> 0 $

4. Regra de mudança
Dada uma função deslocada por uma certa quantidade multiplicada por uma Função Heaviside deslocada:
$ mathcal[H (t-a) g (t-a))] = e ^ <- a lambda> G ^( lambda) $

5. Regra de atenuação
Dada uma função exponencial multiplicada por uma função exponencial, onde a é uma constante:
$ mathcal[e ^ <-at> f (t)] = F ^( lambda + a) $

Observe que as regras mais importantes que usaremos são # 1, # 2 e # 4; no entanto, é uma boa ideia aprender todas as regras.


Módulo-I (T-3 h + Pj-2 h)

Transformadas de Laplace, propriedades das transformadas de Laplace, função de etapa da unidade.

Faça um pequeno esboço das propriedades da transformação de Laplace de memória. Em seguida, compare suas notas com o texto e escreva um relatório de 2-3 páginas sobre essas operações e seu significado nas aplicações.

Módulo-II (T-2 h + Pj-2 h)

Segundo teorema de deslocamento, transformadas de Laplace de derivados e integrais.

Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.

Módulo III (T-3 h + Pj-2 h)

Derivadas e integrais de transformadas, transformada inversa de Laplace.

Aplicação da função de etapa da unidade (RC- Circuito para uma única onda quadrada).

Módulo-IV (T-2 h + Pj-2 h)

Solução de equações diferenciais usando a transformada de Laplace.

Encontre a solução da equação diferencial usando a transformada de Laplace.

Módulo-V (T-4 h + Pj-2 h)

Função periódica, série de Fourier, expansão da série de Fourier de um período arbitrário, expansões de meio intervalo.

Encontre a expansão da série de Fourier de uma função periódica de 2 pi.

Módulo-VI (T-3 h + Pj-2 h)

Forma complexa da série de Fourier, Integrais de Fourier, Diferentes formas da Integral de Fourier.


Laplace Transforms

§8.6 Epílogo Histórico

O legado de Oliver Heaviside para a matemática e eletromagnetismo é impressionante. Além de aperfeiçoar o cálculo operacional que mais tarde inspirou o método da transformada de Laplace, ele desenvolveu o cálculo vetorial em 1885, começando com as definições de produtos escalares e vetoriais usados ​​hoje ( EPII, páginas 4 e 5). 1 No mesmo ano, ele formulou o que se tornou a pedra angular da teoria eletromagnética. Heaviside se refere à sua descoberta da seguinte forma:

Apresento aqui um novo método de tratamento do assunto [teoria do eletromagnetismo de Maxwell], que talvez possa ser apropriadamente chamado de método Duplex, uma vez que sua principal característica é a exibição das equações elétricas, magnéticas e eletromagnéticas em uma forma duplex.

Esta foi a primeira aparição impressa do famoso Equações de Maxwell da teoria eletromagnética (EPI, páginas 447, 448, 452 e 475), que não estão incluídas no tratado de Maxwell. Maxwell não era um escritor muito claro - seu tratado é quase ilegível a partir de um certo ponto - de modo que muitos futuros expositores do assunto preferiram seguir a interpretação de Maxwell de Heaviside e não perceberam que as equações duplex eram do próprio Heaviside.

A partir de Papéis elétricos, Vol. 1, The Copley Publishers, Boston, 1925.

A contribuição de Heaviside para a telegrafia e telefonia foi inestimável, mas por muito tempo eles caíram em ouvidos surdos em seu próprio país. Ele encontrou um obstáculo formidável em William Henry Preece, Eletricista para os Correios. A oposição de Preece foi baseada em uma fundação de dois pilares. O primeiro foi sua ignorância do que realmente acontecia na transmissão de sinais elétricos, como mostra um artigo publicado em 1887. O segundo foi a resposta de Heaviside contendo a seguinte avaliação:

Ou, em primeiro lugar, a teoria aceita do eletromagnetismo deve ser profundamente modificada ou, em segundo lugar, as opiniões expressas pelo Sr. Preece em seu artigo são profundamente errôneas ... Sr. Preece está errado, não apenas em alguns pontos de detalhe, mas radicalmente errado, em geral, em métodos, raciocínios, resultados e conclusões.

O fato é que o Sr. Preece, mais tarde Sir William, nunca aceitou a validade do conselho do Céu para aumentar tanto a indutância e, em menor medida para evitar a atenuação excessiva, a condutância de vazamento, de modo a aproximar a condição sem distorção g / c = r / l. & quotMais capacitância & quot parece ter sido de Preece lema. O resultado de tudo isso é que Heaviside começou a ter problemas para publicar seus papéis, que se opunham à visão oficial, de que o governo britânico afundou uma fortuna construindo o tipo errado de linhas, e que a Inglaterra perdeu sua liderança neste campo para a América. Mihajlo Idvorsky Pupin, um imigrante sérvio da vila austríaca de Idvor que se tornou professor de matemática na Universidade de Columbia, foi o primeiro a construir uma linha usando indutância aumentada, mas em seu artigo de maio de 1900 reconheceu a fonte de sua formação teórica, afirmando que

O Sr. Oliver Heaviside, da Inglaterra, a cujas pesquisas profundas se deve a maior parte da teoria matemática existente da propagação de ondas elétricas, foi o criador e o mais fervoroso defensor dos condutores de ondas de alta indutância.

Logo depois, a American Telephone and Telegraph Company teve sucesso em estabelecer comunicação telefônica de costa a costa usando indutância aumentada.

Heaviside era bom com as palavras em muitos aspectos. A ele devemos, por exemplo, os termos indutância, atenuação e relutância magnética (EPII, página 28) e o uso de tensão para força eletromotriz (EMTI, página 26). Ele era um escritor animado, divertido e opinativo, como mostram as seguintes citações adicionais:

Autoindução é salvação. [EMTII, página 354] Como os críticos nem sempre encontram tempo para ler mais do que o prefácio, as observações a seguir podem servir para direcionar sua atenção para alguns dos pontos principais deste volume. [EMTI, Prefácio] E que há uma tendência natural tanto para o corpo humano quanto para a compreensão de se moverem em círculos é provado pelos relatos dos feitos de viajantes tardios na selva e pelo conteúdo de uma grande quantidade de livros. [EPI, página 353] Força elétrica e magnética. Que eles vivam para sempre e nunca sejam esquecidos. [EMTIII, página 1] Quando o Prof. Hughes fala da resistência de um fio, ele não sempre significa o que homens comuns, homens de ohms, volts e farads, querem dizer com a resistência de um fio - apenas às vezes. [EPII, página 28] Diferentes homens têm diferentes opiniões - alguns gostam de maçãs, outros de cebolinhas [EMTI, página 352].

Matemático em geral, eletricista, filósofo, humorista ácido, iconoclasta extraordinário, ele foi premiado - mas recusou - a Medalha Hughes da Royal Society em 1904, recebeu um Ph.D. honoris causa da Universidade de Göttingen em 1906, foi nomeado membro honorário do Instituto de Engenheiros Elétricos da Grã-Bretanha em 1908 e do Instituto Americano de Engenheiros Elétricos em 1918, e recebeu a primeira Medalha Faraday do Instituto de Engenheiros Elétricos em 1923 .

Em sua casa de campo em Torquay, onde passou os últimos dezessete anos de sua vida principalmente sozinho e com grandes problemas financeiros - apesar de uma pequena pensão do governo que ele aceitou apenas com a condição de que fosse em reconhecimento ao seu trabalho científico - as coisas estavam menos rosado. Por falta de pagamento, o banco estava atrás de sua casa, e a companhia de gás cortou seu gás. Vítima de lumbago e gota reumática, ele teve que comer comida fria e morar em uma casa fria. Ao chegar à sua porta no inverno de 1921, um distinto visitante encontrou uma nota afirmando que Heaviside fora para a cama para se aquecer. Enfiados nas frestas da porta, para evitar correntes de ar frio, havia uma variedade de papéis: alguns anúncios, um convite do presidente da Royal Society, ameaças da companhia de gás de cortar o gás…. O seguinte Spring Heaviside escreveu:

Não podia usar botas. Não consegui colocar meias adequadas para andar. Enterrado sob todos os cobertores que tenho. De vez em quando, eu rabiscava uma espécie de diário sobre minha perseguição pelos pobres, o gás e outros. 1

Irreprimível em sua escrita, ele continuou trabalhando em seus artigos científicos, muitos dos quais foram encontrados postumamente. Ele morreu em uma casa de repouso em 3 de fevereiro de 1925.


Conclua os conjuntos de problemas:

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Sistemas Discretos

8.2.4.2 Propriedades das transformadas de Fourier

Muitas propriedades das transformadas de Laplace e Fourier são bastante semelhantes. Em particular, a maioria das fórmulas coletadas no Apêndice 7 podem ser adaptadas às transformadas de Fourier usando a regra de correspondência [8.18]. Em particular, o teorema da convolução [A7.8] pode ser estendido para as transformadas de Fourier, desde que o limite inferior de integração seja adequadamente deslocado de 0 para - ∞. De fato, a principal diferença entre as duas transformadas é que na integral de Fourier, a origem do tempo não desempenha nenhum papel particular, em contraste com o caso da integral de Laplace. Como uma consequência adicional de interesse particular em dinâmica, os termos ligados aos valores iniciais no teorema da diferenciação [A7.3], devem ser descartados ao adaptar a fórmula para o caso das transformadas de Fourier. Em conseqüência, o movimento calculado usando uma transformação de Fourier das equações dinâmicas descarta automaticamente as oscilações livres induzidas por condições iniciais diferentes de zero da excitação externa. Esta é uma propriedade adequada quando o interesse se restringe ao estudo do regime estável de respostas forçadas.


Mais de 250 melhores MCQs sobre a transformação e respostas de Laplace

Sinais e # 038 Sistemas Perguntas de múltipla escolha sobre “A Transformada de Laplace”.

1. A condição necessária para a convergência da transformada de Laplace é a integrabilidade absoluta de f (t) e -σt.
Um verdadeiro
B. Falso
Resposta: A
Esclarecimento: A condição necessária para a convergência da transformada de Laplace é a integrabilidade absoluta de f (t) e -σt. Matematicamente, isso pode ser afirmado como
(int _ <- ∞> ^ ∞ | f (t) e ^ <- σt> |) dt -at u (t) e seu ROC.
A. (frac <1>), Re> -a
B. (frac <1>), Re> a
C. (frac <1>), Re> a
D. (frac <1>), Re> -a
Resposta: D
Esclarecimento: Transformada de Laplace, L = X (s) = (int _ <- ∞> ^ ∞ x (t) e ^ <-st>, dt)
eu = (int _ <- ∞> ^ ∞ e ^ <-at> u (t) e ^ <-st>, dt = int_0 ^ ∞ e ^ <-at> e ^ <-st>, dt = frac <1>) quando (s + A.> 0
(σ + A.> 0
σ> -a
ROC é Re> -a.

3. Encontre a transformada de Laplace de δ (t).
A. 1
B. 0
C. ∞
D. 2
Resposta: A
Esclarecimento: Transformada de Laplace, L = X (s) = (int _ <- ∞> ^ ∞ x (t) e ^ <-st>, dt)
eu <δ(t)>= (int _ <- ∞> ^ ∞ δ (t) e ^ <-st>, dt)
[x (t) δ (t) = x (0) δ (t)]
= (int _ <- ∞> ^ ∞ δ (t) dt)
= 1.

4. Encontre a transformada de Laplace de u (t) e seu ROC.
A. (frac <1>), σ 0
C. (frac <1>), σ = 0
D. (frac <1> <1-s>), σ≤0
Resposta: B
Esclarecimento: Transformada de Laplace, L = X (s) = (int _ <- ∞> ^ ∞ x (t) e ^ <-st>, dt)
eu = (int _ <- ∞> ^ ∞ u (t) e ^ <-st>, dt = int_0 ^ ∞ e ^ <-st>, dt = frac <1>) quando s> 0, ou seja, σ> 0.

5. Encontre o ROC de x (t) = e -2t u (t) + e -3t u (t).
A. σ> 2
B. σ> 3
C. σ> -3
D. σ> -2
Resposta: D
Esclarecimento: Dado x (t) = e -2t u (t) + e -3t u (t)
Transformada de Laplace, L = X (s) = (int _ <- ∞> ^ ∞ x (t) e ^ <-st>, dt)
X (s) = (frac <1> + frac <1>)
ROC é <σ>-2>∩ <σ>-3>
Portanto, o ROC é σ> -2.


Como funciona a calculadora de transformação Laplace?

Uma calculadora de transformação Laplace online ajuda você a transformar funções reais em funções complexas com estas etapas:

Entrada:

  • Primeiro, insira uma equação simples e você poderá ver a visualização da equação.
  • Aperte o botão de calcular para continuar o processo.

Saída:

A calculadora de transformação de Laplace exibe os seguintes resultados:

  • Em primeiro lugar, a calculadora mostra sua entrada na forma de equação diferencial ordinária.
  • Em seguida, forneça a resposta contra a equação na forma algébrica.

5.2: A Transformada de Laplace - Matemática

A transformada de Laplace é uma transformada integral, talvez perdendo apenas para a transformada de Fourier em sua utilidade na resolução de problemas físicos. Devido às suas propriedades úteis, a transformada de Laplace é particularmente útil na resolução de equações diferenciais ordinárias lineares, como aquelas que surgem na análise de circuitos eletrônicos.

A transformada de Laplace (unilateral) (não deve ser confundida com a derivada de Lie) é definida por

onde é definido para. Uma transformação de Laplace de dois lados às vezes também é definida por

O teorema de existência da transformada de Laplace afirma que, se é por partes contínuo em cada intervalo finito em satisfazer

para todos, então existe para todos. A transformada de Laplace também é Única, no sentido de que, dadas duas funções e com a mesma transformada para que

então o teorema de Lerch garante que a integral

desaparece para todos para uma função nula definida por

Na tabela acima, é a função de Bessel de ordem zero de primeiro tipo, é a função delta e é a função de etapa de Heaviside. A transformada de Laplace tem muitas propriedades importantes.

A transformada de Laplace de uma convolução é dada por

Agora considere a Diferenciação. Vamos ser continuamente diferenciáveis ​​em tempos. Se então

Continuando para derivadas de ordem superior, então dá

Esta propriedade pode ser usada para transformar equações diferenciais em equações algébricas, um procedimento conhecido como Cálculo de Heaviside, que pode então ser transformada inversamente para obter a solução. Por exemplo, aplicando a transformada de Laplace à equação

que pode ser reorganizado para

Se esta equação pode ser transformada de Laplace inversa, então a equação diferencial original é resolvida.

Considere a exponenciação. Se por, então por.

Considere a integração. Se é contínuo por partes e, então

A transformação inversa é conhecida como Integral de Bromwich ou, às vezes, Integral de Fourier-Mellin.

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 824-863, 1985.

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Franklin, P. An Introduction to Fourier Methods and the Laplace Transformation. Nova York: Dover, 1958.

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Widder, D. V. The Laplace Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941.


Algoritmos

A transformação de Laplace é definida como uma transformação unilateral ou unilateral. Esta definição assume que o sinal f(t) é definido apenas para todos os números reais t ≥ 0, ou f(t) = 0 para t & lt 0. Portanto, para um sinal generalizado com f(t) ≠ 0 para t & lt 0, a transformação de Laplace de f(t) dá o mesmo resultado como se f(t) é multiplicado por uma função de etapa de Heaviside.


Assista o vídeo: 169. Transformada de Laplace de una exponencial, a partir de la definición (Outubro 2021).