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8.6: O problema do valor próprio - exercícios


Exercício ( PageIndex {1} )

Argumente como na Proposição 1 na discussão da expansão da fração parcial da função de transferência que se (j ne k ) então (D_ {j} P_ {k} = P_ {j} D_ {k} = 0 )

Exercício ( PageIndex {2} )

Argumente a partir da equação da discussão da Representação Espectral que (D_ {j} P_ {j} = P_ {j} D_ {j} = D_ {j} ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Os dois exercícios anteriores são muito úteis ao calcular poderes de matrizes. Por exemplo, suponha que (B ) seja 4 por 4, que (h = 2 ) e (m_ {1} = m_ {2} = 2 ). Use a representação espectral de (B ) junto com os dois primeiros exercícios para chegar a fórmulas simples para (B ^ {2} ) e (B ^ {3} ).

Calcule a representação espectral da matriz circulante

[B = begin {pmatrix} {2} & {8} & {6} & {4} {4} & {2} & {8} & {6} {6} & {4} & {2} & {8} {8} & {6} & {4} & {2} end {pmatrix} nonumber ]

Rotule cuidadosamente todos os autovalores, autoprojecções e autovetores.


8.6: O problema do valor próprio - exercícios

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Autovalores e autovetores

  • Como podemos encontrar uma ou mais dessas raízes?
  • Quando as raízes são distintas?
  • Quando as raízes são reais?

Se é um autovalor de, então é uma matriz singular e, portanto, há pelo menos um vetor diferente de zero com a propriedade que. Esta equação geralmente é escrita

  • Como calculamos um autovetor?
  • Quando haverá um conjunto completo de N autovetores independentes?
  • Quando os vetores próprios serão ortogonais?
  • tem os mesmos autovetores e autovalores
  • tem os mesmos autovetores e autovalores para inteiros
  • tem os mesmos autovetores e autovalores
  • Se for simétrico, todos os seus autovalores são reais e,
  • Se for invertível, terá os mesmos autovalores que, com autovetores diferentes, mas relacionados.

Aparelho físico de design

Começamos com uma descrição relativamente simples de um problema de projeto: podemos construir um sistema para permitir que os alunos estudem e modelem um problema de vibrações útil, usar a teoria dos valores próprios para analisar o referido modelo e, em seguida, comparar os dados medidos e modelados resultantes para tirar conclusões sobre a utilidade dos valores próprios como ferramentas de modelagem. Depois de muitos meses pensando, conversando e repetindo, projetamos o aparato descrito neste artigo. Abaixo, incluímos um link para documentos que orientam você sobre como construir uma versão de tal aparelho.

O projeto destacado acima foi o primeiro projeto funcional para o aparelho que usamos em nosso artigo. Michael McCusker construiu este aparelho. O Dr. McCusker é um físico experimental com formação e tem muita experiência em trabalhar com essas mãos. Portanto, este primeiro design é ótimo para pessoas que se sentem confortáveis ​​trabalhando com as mãos e podem ser criativas. Como você notará, este design é barato. Abaixo está um vídeo do Dr. McCusker descrevendo seu trabalho e destacando características relevantes de seu aparelho.

A fim de testar e certificar-se de que este projeto está acessível a outros instrutores, Jeff construiu sua própria versão sem a ajuda do Dr. McCusker. Jeff é um matemático de formação e tem muito pouca experiência em trabalhar com as mãos. O propósito de construir uma segunda versão desse aparelho era provar que mesmo um fabricante novato (Jeff) pode construir um sistema funcional por um custo baixo. Este segundo design pode ser útil para pessoas que se sentem menos confortáveis ​​trabalhando com as mãos, embora o preço seja um pouco mais alto em comparação com a versão original. Abaixo, temos um link para um vídeo que mostra o design concluído e todo o processo de configuração.


8.6: Problemas

  • Contribuição de Marcia Levitus
  • Professor Associado (Biodesign Institute) na Arizonia State University

Dada uma equação de estado genérica (P = P (V, T, n) ), explique como você pode obter a derivada

usando as propriedades de derivados parciais que aprendemos neste capítulo.

A equação termodinâmica:

mostra como a energia interna de um sistema varia com o volume em temperatura constante.

Considere um mol de um gás de van der Waals (Equação ref) e mostrar isso

Considere um gás de van der Waals (Equação ref) e mostrar isso

Dica: calcule as derivadas que são mais fáceis de obter e use as propriedades das derivadas parciais para obter aquela que o problema pede. Não use a resposta em sua derivação, obtenha a derivada assumindo que você não sabe a resposta e simplifique sua expressão até que se pareça com a equação acima.

A partir das definições de coeficiente de expansão ( ( alpha )) e compressibilidade isotérmica ( ( kappa )):

independentemente da equação de estado usada.

Nota: um erro comum neste problema é assumir uma equação de estado particular. Use a regra de ciclo para encontrar a relação necessária independentemente de qualquer equação de estado particular.

Derive uma equação semelhante à Equação ref, mas isso se relaciona

é conhecido como o operador Laplaciano em duas dimensões.

Quando aplicado a uma função (f (x, y) ), obtemos:

Expresse ( nabla ^ 2 ) em coordenadas polares (2D) assumindo o caso especial onde (r = a ) é uma constante.

Calcule ( int_ <0> ^ <1> int_ <1> ^ <2> int_ <0> ^ <2> < left (x ^ 2 + yz right) , dx , dy , dz>. ) Tente três ordens diferentes de integração e verifique se você sempre obtém o mesmo resultado.

Calcule ( int_ <0> ^ <2 pi> int_ <0> ^ < pi> int_ <0> ^ < infty>r ^ 5 sin < theta> , dr , d theta , d phi>. ) Use apenas a planilha de fórmulas.

Como seria a Figura (8.5.2 ), reproduzida abaixo, para um gás ideal? Esboce a energia potencial em função da distância entre os átomos.

De tudo o que aprendemos neste capítulo, e sem fazer nenhuma matemática, devemos ser capazes de calcular o sinal (& gt0, & lt0 ou 0) das seguintes derivadas:

Certifique-se de escrever uma frase curta explicando suas respostas.

O ponto crítico é o estado em que as fases líquida e gasosa de uma substância se tornam indistinguíveis pela primeira vez. Um gás acima da temperatura crítica nunca se condensará em um líquido, não importa quanta pressão seja aplicada. Matematicamente, no ponto crítico:

Obtenha as constantes críticas de um gás de van der Waals (Equação ref) em termos dos parâmetros (a ) e (b ).

Dica: obtenha a primeira e a segunda derivadas de (P ) em relação a (V ), torne-as iguais a zero e obtenha (T_c ) e (V_c ) dessas equações. Finalmente, substitua essas expressões na Equação ref para obter (P_c ).


Bem, a pergunta, após esclarecimento, poderia receber um certo significado matemático por escrito:

em seguida, invoque o cálculo operacional para o operador A (presumivelmente auto-adjunto) para obter o resultado.

Na verdade, pode ser um erro de digitação no que o OP está lendo e não exponencial, caso em que também se poderia dar um significado físico à expressão matemática.

As outras soluções estão corretas em geral. Para o caso específico em que $ psi $ é um autovalor de $ hat $, é ainda mais fácil.

Para qualquer operador diagonal $ hat$ com entradas $ a_$, as entradas de $ e ^ hat$ são $ e ^<>> $ (isso é fácil de provar usando a expansão de Taylor mostrada acima). Como as entradas de um operador diagonal são os autovalores desse operador, a exponenciação transforma um autovalor $ a $ em $ e ^ a $.

Para transformar entre bases de exponenciação, observe que

Uma função de um operador é definida através de sua expansão em uma série de Taylor, por exemplo

Em analogia, você teria que expandir esta raiz quadrada de 1/2 operador exponencial em uma série de Taylor para ver qual valor ele dá ao agir em psi.


8.6: Capítulo 6: Exercícios (problemas REVISE e ADD)

& # 10146 Discuta as diferenças entre os custos variáveis ​​e de absorção.

& # 10146 Quando é apropriado usar custeio variável ou de absorção em relatórios financeiros?

& # 10146 Sob quais circunstâncias específicas você esperaria que o lucro líquido fosse maior sob o custeio variável do que sob o custeio por absorção? Qual é o motivo dessa diferença?

Exercício I Os dados a seguir referem-se à Socks Company para o ano encerrado em 31 de dezembro de 2013:

Materiais diretos (variável) $ 360.000

Mão de obra direta (variável) 504.000

Comissões de vendas (variável) 108.000

Salários de vendas (fixos) 72.000

Despesas administrativas (fixas) 144.000

Unidades vendidas (a $ 18 cada) 120.000

Inventário inicial, 1º de janeiro de 2013 -0 e tímido

Não havia estoques iniciais. Suponha que os materiais diretos e a mão de obra direta sejam custos variáveis. Prepare duas demonstrações de resultados e uma demonstração de resultados de custo variável de mdasha e uma demonstração de resultados de custos de absorção.

Problema G A Costner Company usa um sistema de custeio por absorção para contabilizar o único produto que fabrica. Os seguintes dados selecionados são para o ano

A empresa produziu 12.000 unidades e vendeu 10.000 unidades. Materiais diretos e mão de obra direta são custos variáveis. Uma unidade de material direto vai para cada unidade de produtos acabados. As taxas de despesas indiretas são baseadas em um volume de 12.000 unidades e são $ 1,08 e $ 1,44 por unidade para despesas fixas e variáveis, respectivamente. O estoque final é de 2.000 unidades de produtos acabados em mãos no final de 2013. Não havia estoque no início de 2013.


7 char s [100] // define matriz de caracteres de tamanho 100

10 // use o get para obter o texto do usuário

11 puts (& # 34Insira uma linha de texto: & # 34)

13 puts (& # 34 nA linha em maiúsculas é: & # 34)

15 // converter cada caractere em maiúsculas e gerar

20 puts (& # 34 nA linha em minúsculas é: & # 34)

22 // converter cada caractere para minúsculas e gerar

Uma linha com LeTters em MAIÚSCULAS e minúsculas

UMA LINHA COM LETRAS MAIÚSCULAS E MENORES

uma linha com letras maiúsculas e minúsculas

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Correspondência de autovalor medido de uma matriz [fechado]

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Dada uma matriz da forma abaixo, temos 8 variáveis, $ omega_$ e $ J_$. queremos diagonalizar a matriz para obter valores que correspondam ao autovalor observado em um experimento. ou seja, $ bar < omega_ <1>> $, $ bar < omega_ <2>> $, $ bar < omega_ <3>> $, $ bar < omega_ <4>> $ são os Autovalor da matriz diagonalizada (a matriz inferior) Pergunta: Como variam os valores de $ J_$ e $ omega $, onde $ i, j = 1,2,3,4. $ até que o hamiltoniano diagonalizado converta para $ bar < omega_ <1>> $ = 7, $ bar < omega_ <2 >> $ = 8, $ bar < omega_ <3>> $ = 9, $ bar < omega_ <4>> $ = 10.

Dica: tentei adivinhar os valores Js e $ omega $ configurando todos os $ omega_$ e $ J_$ para ser igual e variar um de cada vez, torna-se imensamente ineficiente ao adivinhar J, pois o problema consiste em muitos graus de liberdade.

O motivo pode parecer confuso, porque este é um problema de física, no entanto, equivale a uma diagonal simples da hamiltoniana se tivermos um bom algoritmo.


1 resposta aprovada

EE Capítulo 8, Problema 7E Q aeooanarlw Mostrar todos os passos: CC. Iftk
Para soNe o subpar. use os detalhes fornecidos e os dados fornecidos no Exercício 14 ou. livro Lexl
Etapa 1 de 10 kk
Considere os valores aleatórios 2 e 2 que têm a seguinte matriz de correlação de amostra. Para calcular os componentes principais A e h da amostra, use o Software SAS, o procedimento é fornecido conforme a seguir Abra o software SAS e coloque os seguintes códigos na janela do Editor SAS. A captura de tela é fornecida como abaixo - dados de ID P13
-•
Na captura de tela acima, o PROC PRINCOMP é uma função que é usada para calcular os autovalores de Me e os autovetores
Etapa 3010 =,
2 Selecione os códigos acima e clique em Enviar Sutton. A captura de tela é fornecida conforme abaixo
D • 10 BMOC f, [A A, ​​A AI 1 • 4a)
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