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5.6: Suplementar - Análise da Matriz da Fibra Nervosa Dendrítica Ramificada


Introdução

Nos módulos anteriores sobre sistemas elétricos estáticos e dinâmicos, analisamos fibras nervosas básicas hipotéticas de um ramo usando uma metodologia de modelagem que batizamos de Strang Quartet. Na verdade, podemos usar nossas ferramentas em um ambiente do mundo real (Figura ( PageIndex {1} ))?

Para responder à sua pergunta, o texto acima é uma representação de um neurônio do hipocampo de um rato. As ferramentas que refinamos nos permitirão modelar as propriedades elétricas de um dendrito que deixa o corpo celular do neurônio. Um modelo de três ramos desse dendrito, traçado com extrema precisão, aparece na Figura ( PageIndex {2} ).

Nosso modelo de compartimento múltiplo revela uma estrutura de 3 ramos, 10 nós e 27 arestas para a fibra. Observe que incluímos os potenciais de Nernst, o impulso nervoso como uma fonte de corrente e as bordas mais à esquerda que representam a corrente de estímulo desviada pelo corpo celular.

Continuaremos usando nossa notação anterior, a saber: (R_ {i} ) e (R_ {m} ) denotando corpo celular. e resistências de membrana, respectivamente; ( textbf {x} ) representando o vetor de potenciais (x_ {1} cdots x_ {10} ), e ( textbf {x} ) denotando o vetor de correntes (y_ {1} cdots y_ {27} ). Usando o valor típico para a membrana de uma célula

[c = 1 (μF / cm ^ {2}) nonumber ]

derivamos (consulte as convenções de variáveis):

Definição: Capacitância de um Único Compartimento

[C_ {m} = 2 pi a frac {l} {N} c não numérico ]

Essa capacitância é modelada em paralelo com a resistência da membrana da célula. Além disso, deixando (A_ {cb} ) denotar a área de superfície do corpo celular, lembramos que sua capacitância e resistência são

Definição: Capacitância de um corpo celular

[C_ {cb} = A_ {cb} c não numérico ]

Definição: Resistência de um corpo celular

[C_ {cb} = A_ {cb} rho_ {m} não número ]

Aplicando o Strang Quartet

Etapa (S1 ') - Quedas de tensão

Vamos começar a preencher o Strang Quartet. Para o passo (S1 '), primeiro observamos as quedas de tensão na figura. Uma vez que existem 27 deles, incluímos apenas os seis primeiros, que são um pouco mais do que precisamos para cobrir todas as variações no conjunto:

[e_ {1} = x_ {1} não numérico ]

[e_ {2} = x_ {1} -E_ {m} não número ]

[e_ {3} = x_ {1} -x_ {2} não número ]

[e_ {4} = x_ {2} nonumber ]

[e_ {5} = x_ {2} -E_ {m} não número ]

[e_ {6} = x_ {2} -x_ {3} não número ]

[ cdots nonumber ]

[e_ {27} = x_ {10} -E_ {m} não número ]

Na matriz para, deixando ( textbf {b} ) denotar o vetor de baterias,

[ begin {array} {ccc} { textbf {x} = textbf {b} -A textbf {x}} & {where} & { textbf {b} = (-Em) begin {pmatrix } {0} {1} {0} {0} {1} {0} {0} {1} {0} {0} {0} {1} {0} {0} {1} {0} {0} {1} {0} {0} {1} {0} {0} {1} {0} {0} {1} end {pmatriz}} end {array} nonumber ]

e

[A = begin {pmatrix} {-1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {-1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {-1} & {1 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {- 1} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {- 1} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {- 1} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} {0} & {0} & {- 1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } {0} & {0} & {- 1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & { 0} & {- 1} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & { 1} & {- 1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} & {1} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1 } & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {- 1} & {0} & {0} & {0} & {1} & {0 } & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} & {0} & {0} { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} & {0} & {0} {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} & {1} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & { -1} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} & {1} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- 1} end {pmatrix} nonumber ]

Embora nossa matriz de adjacência (A ) seja consideravelmente maior do que nossos exemplos anteriores, capturamos os mesmos fenômenos de antes.

Aplicando (S2): Lei de Ohm aumentada com a lei da tensão-corrente para capacitores

Agora, relembrando a Lei de Ohm e lembrando que a corrente através de um capacitor varia proporcionalmente com a taxa de variação do potencial através dele, montamos nosso vetor de correntes. Como antes, listamos apenas o suficiente das 27 correntes para caracterizar totalmente o conjunto:

[y_ {1} = C_ {cb} frac {de_ {1}} {dt} nonumber ]

[y_ {2} = frac {e_ {2}} {R_ {cb}} não numérico ]

[y_ {3} = frac {e_ {3}} {R_ {i}} não numérico ]

[y_ {4} = C_ {m} frac {de_ {4}} {dt} nonumber ]

[y_ {5} = frac {e_ {5}} {R_ {m}} não numérico ]

[ cdots nonumber ]

[y_ {27} = frac {e_ {27}} {R_ {m}} não numérico ]

Em termos de matriz, isso compila para

[ textbf {y} = G textbf {e} + Cd textbf {e} dt nonumber ]

Onde

Matriz de condutância

[G = begin {pmatrix} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & { frac {1} {R_ {cb}}} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & { frac {1 } {R_ {i}}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & { frac {1} {R_ {m}}} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { frac {1} {R_ {i}}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { frac {1} {R_ {i }}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} E {0} e {0} & {0} & { frac {1} {R_ {i}}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { frac {1} {R_ {i}}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & { frac {1} {R_ {m}}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { frac {1} {R_ {i}}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { frac {1} {R_ {m}}} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { frac { 1} {R_ {i}}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & { frac {1} {R_ {m}}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { frac {1} {R_ {i}}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { frac {1} {R_ {m}}} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { frac { 1} {R_ {i}}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { frac {1} {R_ {m}}} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { frac {1} {R_ {i}}} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { frac {1} {R_ {m}}} end {pmatrix} nonumber ]

e

Matriz de capacitância

[C = begin {pmatrix} {C_ {cb}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {C_ {m}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {C_ {m}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {C_ {m}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {C_ {m}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {C_ {m}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {C_ {m}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {C_ {m}} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0 } & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {C_ {m} } & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} end {pmatrix} nonumber ]

Etapa (S3): Aplicação da Lei de Kirchoff

Nosso próximo passo é escrever as equações da Lei Atual de Kirchoff. Nós vemos:

[i_ {0} -y_ {1} -y_ {2} -y_ {3} = 0 não número ]

[y_ {3} -y_ {4} -y_ {5} -y_ {6} = 0 não número ]

[y_ {6} -y_ {7} -y_ {8} -y_ {9} = 0 não número ]

[y_ {9} -y_ {10} -y_ {19} = 0 não número ]

[y_ {10} -y_ {11} -y_ {12} -y_ {13} = 0 não numérico ]

[y_ {13} -y_ {14} -y_ {15} -y_ {16} = 0 não numérico ]

[y_ {16} -y_ {17} -y_ {18} -y_ {19} = 0 não numérico ]

[y_ {19} -y_ {20} -y_ {21} -y_ {22} = 0 não numérico ]

[y_ {22} -y_ {23} -y_ {24} -y_ {25} = 0 não numérico ]

[y_ {25} -y_ {26} -y_ {27} = 0 não número ]

Como a matriz de coeficiente (B ) que formaríamos aqui é igual a (A ^ {T} ), podemos dizer em termos de matriz:

[A ^ {T} textbf {y} = - textbf {f} nonumber ]

onde o vetor ( textbf {f} ) é composto por (f_ {1} = i_ {0} ) e (f_ {2} cdots 27 = 0 )

Etapa (S4): Misturar os ingredientes juntos

O passo (S4) nos orienta a reunir nossas labutas anteriores em uma equação final, que então nos esforçaremos para resolver. Usando o processo derivado no módulo Strang dinâmico, chegamos à equação

[A ^ {T} CA frac {d textbf {x}} {dt} + A ^ {T} GA textbf {x} = A ^ {T} G textbf {b} + textbf {f } + A ^ {T} C frac {d textbf {b}} {dt} não numérico ]

que é a forma geral para equações de potencial do circuito RC. Como mencionamos, esta equação pressupõe o conhecimento do valor inicial de cada um dos potenciais, ( textbf {x} (⁢0) = X ).

Observando nosso circuito, e deixando ( frac {1} {R_ {foo}} = G_ {foo} ), calculamos as quantidades necessárias para preencher as peças da Equação (para esses cálculos, ver dendrite.m):

[A ^ {T} CA = begin {pmatrix} {C_ {cb}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} & {0} {0} & {C_ {m}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {C_ {m}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {C_ {m}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0 } & {0} & {C_ {m}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {C_ {m}} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0 } & {C_ {m}} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {C_ {m}} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {C_ {m}} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {C_ {m }} end {pmatrix} nonumber ]

[A ^ {T} GA = begin {pmatrix} {G_ {i} + G_ {cb}} & {- G_ {i}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {-G_ {i}} & {2G_ {i} + G_ {m}} & {- G_ {i}} & {0} & { 0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {- G_ {i}} & {2G_ {i} + G_ {m}} & {- G_ {i}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {- G_ {i}} & {3G_ { i}} & {- G_ {i}} & {0} & {0} & {- G_ {i}} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & { -G_ {i}} & {2G_ {i} + G_ {m}} & {- G_ {i}} & {0} & {0} & {0} & {0} {0} & {0 } & {0} & {0} & {- G_ {i}} & {2G_ {i} + G_ {m}} & {- G_ {i}} & {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- G_ {i}} & {G_ {i} + G_ {m}} & {0} & {0} & { 0} {0} & {0} & {0} & {- G_ {i}} & {0} & {0} & {0} & {0} & {2G_ {i} + G_ {m}} & {- G_ {i}} & {0} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {- G_ {i}} & {2G_ { i} + G_ {m}} & {- G_ {i}} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {-G_ {i}} & {G_ {i} + G_ {m}} end {pmatrix} nonumber ]

[A ^ {T} G textbf {b} = E_ {m} begin {pmatriz} {G_ {cb}} {G_ {m}} {G_ {m}} {0} {G_ {m}} {G_ {m}} {G_ {m}} {G_ {m}} {G_ {m}} {G_ {m}} fim {pmatrix} nonumber ]

[A ^ {T} C frac {d textbf {b}} {dt} = textbf {0} não numérico ]

e um potencial inicial (repouso) de

[ textbf {x} (0) = E_ {m} begin {pmatrix} {1} {1} {1} {1} {1} {1} {1} {1} {1} {1} end {pmatriz} não numérico ]

Aplicando o Método Backward-Euler

Como nosso sistema é muito grande, o método Backward-Euler é o melhor caminho para uma solução. Olhando para a matriz (A ^ {T} CA ), observamos que ela é singular e, portanto, não invertível. Esta singularidade surge do nó que conecta os três ramos da fibra e nos impede de usar a equação simples ( textbf {x} '= B textbf {x} + textbf {g} ), que usamos anteriormente Backward -Euler-ings. No entanto, veremos que uma generalização modesta para nossa forma anterior resulta na Equação:

[D textbf {x} '= E textbf {x} + textbf {g} nonumber ]

capturando a forma do nosso sistema e nos permitindo resolver a equação ( textbf {x} ⁢ (t) ) da seguinte forma:

[D textbf {x} '= E textbf {x} + textbf {g} nonumber ]

[D frac { tilde {x} (t) - tilde {x} (t-dt)} {dt} = E tilde {x} (t) + textbf {g} nonumber ]

[(D-Edt) tilde {x} (t) = D tilde {x} (t-dt) + textbf {g} dt nonumber ]

[ tilde {x} (t) = (D-Edt) ^ {- 1} ( tilde {x} (t-dt) + textbf {g} dt) nonumber ]

onde no nosso caso

[D = A ^ {T} CA não numérico ]

[E = - (A ^ {T} GA) não numérico ]

[ textbf {g} = A ^ {T} G textbf {b} + textbf {f} nonumber ].

Este método é implementado em dendrite.m com dimensões de células típicas e propriedades de resistividade, produzindo o seguinte gráfico de potenciais.

Gráfico de Potenciais Dendríticos


Assista o vídeo: Matriz 07: Matriz Transposta (Outubro 2021).