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7.3: Integrais Duplos em Coordenadas Polares - Matemática


Integrais duplos às vezes são muito mais fáceis de avaliar se mudarmos as coordenadas retangulares para coordenadas polares. No entanto, antes de descrevermos como fazer essa mudança, precisamos estabelecer o conceito de integral dupla em uma região retangular polar.

Regiões retangulares polares de integração

Quando definimos a integral dupla para uma função contínua em coordenadas retangulares - digamos, (g ) sobre uma região (R ) no (xy ) - plano - dividimos (R ) em sub-retângulos com lados paralelo aos eixos coordenados. Esses lados têm valores constantes (x ) e / ou valores constantes (y ). Em coordenadas polares, a forma com a qual trabalhamos é um retângulo polar, cujos lados têm valores constantes (r ) - valores e / ou valores constantes ( theta ). Isso significa que podemos descrever um retângulo polar como na Figura ( PageIndex {1a} ), com (R = {(r, theta) , | , a leq r leq b, , alpha leq theta leq beta } ).

Nesta seção, procuramos integrar retângulos polares. Considere uma função (f (r, theta) ) sobre um retângulo polar (R ). Dividimos o intervalo ([a, b] ) em (m ) subintervalos ([r_ {i-1}, r_i] ) de comprimento ( Delta r = (b - a) / m ) e divida o intervalo ([ alpha, beta] ) em (n ) subintervalos ([ theta_ {i-1}, theta_i] ) de largura ( Delta theta = ( beta - alpha) / n ). Isso significa que os círculos (r = r_i ) e raios ( theta = theta_i ) para (1 leq i leq m ) e (1 leq j leq n ) dividem o polar retângulo (R ) em sub-retângulos polares menores (R_ij ) (Figura ( PageIndex {1b} )).

Como antes, precisamos encontrar a área ( Delta A ) do sub-retângulo polar (R_ {ij} ) e o volume “polar” da caixa fina acima (R_ {ij} ). Lembre-se que, em um círculo de raio (r ), o comprimento (s ) de um arco subtendido por um ângulo central de ( theta ) radianos é (s = r theta ). Observe que o retângulo polar (R_ {ij} ) se parece muito com um trapézio com lados paralelos (r_ {i-1} Delta theta ) e (r_i Delta theta ) e com uma largura ( Delta r ). Portanto, a área do sub-retângulo polar (R_ {ij} ) é

[ Delta A = frac {1} {2} Delta r (r_ {i-1} Delta theta + r_1 delta theta). ]

Simplificando e deixando (r_ {ij} ^ * = frac {1} {2} (r_ {i-1} + r_i) ), temos ( Delta A = r_ {ij} ^ * Delta r Delta theta ).

Portanto, o volume polar da caixa fina acima (R_ {ij} ) (Figura ( PageIndex {2} )) é

[f (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) b Delta A = f (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) r_ {ij} ^ * Delta r Delta theta. ]

Usando a mesma ideia para todos os sub-retângulos e somando os volumes das caixas retangulares, obtemos uma soma de Riemann dupla como

[ sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) r_ {ij} ^ * Delta r Delta theta. ]

Como vimos antes, obtemos uma melhor aproximação do volume polar do sólido acima da região (R ) quando deixamos (m ) e (n ) se tornarem maiores. Portanto, definimos o volume polar como o limite da soma dupla de Riemann,

[V = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) r_ {ij} ^ * Delta r Delta theta. ]

Isso se torna a expressão para o integral duplo.

Definição: O integral duplo em coordenadas polares

A integral dupla da função (f (r, theta) ) sobre a região retangular polar (R ) no plano (r theta ) - é definida como

[ begin {align} iint_R f (r, theta) dA & = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) Delta A [5pt] & = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1 } ^ nf (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) r_ {ij} ^ * Delta r Delta theta. end {align} ]

Novamente, assim como na seção em Integrais duplos sobre regiões retangulares, a integral dupla sobre uma região retangular polar pode ser expressa como uma integral iterada em coordenadas polares. Por isso,

[ iint_R f (r, theta) , dA = iint_R f (r, theta) , r , dr , d theta = int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int_ {r = a} ^ {r = b} f (r, theta) , r , dr , d theta. ]

Observe que a expressão para (dA ) é substituída por (r , dr , d theta ) ao trabalhar em coordenadas polares. Outra maneira de olhar para a integral dupla polar é alterando a integral dupla em coordenadas retangulares por substituição. Quando a função (f ) é dada em termos de (x ) e (y ) usando (x = r , cos , theta, , y = r , sin , theta ), e (dA = r , dr , d theta ) muda para

[ iint_R f (x, y) , dA = iint_R f (r , cos , theta, , r , sin , theta) , r , dr , d theta. ]

Observe que todas as propriedades listadas na seção Integrais duplos sobre regiões retangulares para o integral duplo em coordenadas retangulares também são verdadeiras para o integral duplo em coordenadas polares, portanto, podemos usá-las sem hesitação.

Exemplo ( PageIndex {1A} ): Esboço de uma região retangular polar

Esboce a região retangular polar

[R = {(r, theta) , | , 1 leq r leq 3, 0 leq theta leq pi }. enhum número]

Solução

Como podemos ver na Figura ( PageIndex {3} ), (r = 1 ) e (r = 3 ) são círculos de raio 1 e 3 e (0 leq theta leq pi ) cobre toda a metade superior do avião. Portanto, a região (R ) parece uma banda semicircular.

Agora que esboçamos uma região retangular polar, vamos demonstrar como avaliar uma integral dupla sobre essa região usando coordenadas polares.

Exemplo ( PageIndex {1B} ): Avaliando um Integral Duplo em uma Região Retangular Polar

Avalie a integral ( displaystyle iint_R 3x , dA ) sobre a região (R = {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, , 0 leq theta leq pi }. )

Solução

Primeiro, esboçamos uma figura semelhante à Figura ( PageIndex {3} ), mas com raio externo (r = 2 )


Assista o vídeo: Integrais Duplas - Coordenadas Polares (Outubro 2021).