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8.2: Juros Compostos


objetivos de aprendizado

Nesta seção, você aprenderá a:

  • Encontre o valor futuro de um montante fixo.
  • Encontre o valor presente de um montante fixo.
  • Encontre a taxa de juros efetiva.

Habilidades de pré-requisito

Antes de começar, faça este teste de pré-requisitos.

1. Simplifique cada expressão.

uma. (100 (3 + 2 ^ 2) )

b. (100 (3 + 2) ^ 2 )

Clique aqui para verificar sua resposta

uma. (700 )

b. (2500 )

Se você perdeu este problema, reveja aqui. (Observe que isso abrirá um livro diferente em uma nova janela.)

2. Se uma quantia de $ 2.000 for emprestada a uma taxa de juros simples de 10% por 3 anos, quanto é o juro?

Clique aqui para verificar sua resposta

($600)

Se você perdeu este problema, rever a Seção 8.1. (Observe que isso será aberto em uma nova janela.)

3. Você toma emprestado $ 4.500 por seis meses a uma taxa de juros simples de 8%. Quanto é o interesse?

Clique aqui para verificar sua resposta

($180)

Se você perdeu este problema, rever a Seção 8.1. (Observe que isso será aberto em uma nova janela.)

4. John pede emprestado $ 2.400 por 3 anos a juros simples de 9%. Quanto ele deverá ao final de 3 anos?

Clique aqui para verificar sua resposta

($7848)

Se você perdeu este problema, rever a Seção 8.1. (Observe que isso será aberto em uma nova janela.)

Juros compostos

Na última seção, examinamos problemas envolvendo juros simples. Em geral, são cobrados juros simples quando o período do empréstimo é curto e geralmente inferior a um ano. Quando o dinheiro é emprestado ou emprestado por um período de tempo mais longo, se os juros forem pagos (ou cobrados) não apenas sobre o principal, mas também sobre os juros anteriores, então dizemos que os juros são agravado.

Suponha que depositemos $ 200 em uma conta que pague 8% de juros a cada ano. Ao final de um ano, teremos $ 200 + $ 200 (0,08) = $ 200 (1 + 0,08) = $ 216.

Agora, suponha que coloquemos esse valor, $ 216, na mesma conta. Depois de mais um ano, teremos $ 216 + $ 216 (0,08) = $ 216 (1 + 0,08) = $ 233,28.

Portanto, um depósito inicial de $ 200 acumulou-se em $ 233,28 em dois anos. Observe ainda que, se fossem juros simples, esse valor teria acumulado apenas $ 232. O motivo pelo qual o valor é um pouco maior é porque os juros ($ 16) que ganhamos no primeiro ano foram colocados de volta na conta. E esse valor de $ 16 rendeu por um ano juros de $ 16 (0,08) = $ 1,28, resultando assim no aumento. Portanto, ganhamos juros sobre o principal e também sobre os juros passados, e é por isso que os chamamos de juros compostos.

Agora, suponha que deixemos esse valor, $ 233,28, no banco por mais um ano, o valor final será $ 233,28 + $ 233,28 (0,08) = $ 233,28 (1 + 0,08) = $ 251,94.

Agora, vamos examinar a parte matemática desse problema para que possamos conceber uma maneira mais fácil de resolvê-los.

Após um ano, tínhamos $ 200 (1 + 0,08) = $ 216

Após dois anos, tínhamos $ 216 (1 + 0,08)

Mas $ 216 = $ 200 (1 + 0,08), portanto, a expressão acima torna-se

[ $ 200 (1 + 0,08) (1 + 0,08) = $ 200 (1 + 0,08) ^ 2 = $ 233. 28 não numérico ]

Depois de três anos, temos

[ $ 233,28 (1 + 0,08) = $ 200 (1 + 0,08) (1 + 0,08) (1 + 0,08) não número ]

que pode ser escrito como

[ $ 200 (1 + 0,08) ^ {3} = $ 251,94 não número ]

Suponha que sejamos solicitados a encontrar o valor total ao final de 5 anos, obteremos

[200 (1 + 0,08) ^ {5} = $ 293,87 não número ]

Resumimos o seguinte:

O valor original

$200

= $200

O valor após um ano

$200(1 + .08)

= $216

O valor após dois anos

$200(1 + .08)2

= $233.28

A quantia após três anos

$200(1 + .08)3

= $251.94

O montante após cinco anos

$200(1 + .08)5

= $293.87

A quantidade após t anos

$200(1 + .08)t

PERÍODOS DE COMPOSIÇÃO

Os bancos geralmente acumulam juros mais de uma vez por ano. Considere um banco que paga 8% de juros, mas os acumula quatro vezes por ano ou trimestralmente. Isso significa que a cada trimestre o banco pagará juros iguais a um quarto de 8%, ou 2%.

Agora, se depositarmos $ 200 no banco, após um trimestre teremos ( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ) ou $ 204.

Após dois trimestres, teremos ( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {2} ) ou $ 208,08.

Após um ano, teremos ( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {4} ) ou $ 216,49.

Após três anos, teremos ( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {12} ) ou $ 253,65, etc.

O valor original

$200

= $200

O valor após um trimestre

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) )

= $204

O valor após dois trimestres

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {2} )

= $208.08

O valor após um ano

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {4} )

= $216.49

O montante após dois anos

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {8} )

= $234.31

A quantia após três anos

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {12} )

= $253.65

O montante após cinco anos

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {20} )

= $297.19

A quantidade após t anos

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {4t} )

Podemos ver a fórmula para juros compostos emergir.

Definição: Juros Compostos, (n ) vezes por ano

Se um montante fixo de (P ) dólares for investido a uma taxa de juros (r ), composto (n ) vezes por ano, então, após (t ) anos, o montante final é dado por

[A = P esquerda (1+ frac {r} {n} direita) ^ {n t} ]

( mathbf {P} ) é chamado de diretor e também é chamado o valor presente.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Se $ 3.500 forem investidos a 9% compostos mensalmente, qual será o valor futuro em quatro anos?

Solução

Claramente, juros de 0,09/12 são pagos todos os meses durante quatro anos. Os juros são compostos (4 vezes 12 = 48 ) vezes ao longo do período de quatro anos. Nós temos

[ mathrm {A} = $ 3500 left (1+ frac {0,09} {12} right) ^ {48} = $ 3500 (1,0075) ^ {48} = $ 5009,92 nonumber ]

$ 3.500 investidos a 9% compostos mensalmente acumularão $ 5009,92 em quatro anos.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Quanto deve ser investido em uma conta que paga 9% compostos diariamente para acumular até US $ 5.000 em cinco anos?

Solução

Sabemos o valor futuro, mas precisamos encontrar o principal.

[ begin {array} {l}
$ 5000 = P esquerda (1+ frac {.09} {365} direita) ^ {365 vezes 5}
$ 5000 = P (1,568225)
$ 3188,32 = P
end {array} nonumber ]

$ 3.188,32 investidos em uma conta que paga 9% compostos diariamente acumularão para $ 5.000 em cinco anos.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Se $ 4.000 forem investidos a 4% compostos anualmente, quanto tempo levará para acumular até $ 6.000?

Solução

(n = 1 ) porque composição anual significa composição apenas uma vez por ano. A fórmula simplifica para (A = (1 + r) ^ {t} ) quando (n = 1 ).

[ begin {alinhado}
$ 6000 & = 4000 (1 + 0,04) ^ {t}
frac {6000} {4000} & = 1,04 ^ {t}
1,5 & = 1,04 ^ {t}
end {alinhado} nonumber ]

Usamos logaritmos para resolver o valor de (t ) porque a variável (t ) está no expoente.

[t = log _ {1.04} (1,5) nonumber ]

Usando a mudança da fórmula de base, podemos resolver para (t ):

[t = frac { ln (1,5)} { ln (1,04)} = 10,33 text {anos} nonumber ]

Leva 10,33 anos para $ 4.000 acumular até $ 6.000 se investido com juros de 4%, compostos anualmente

Exemplo ( PageIndex {4} )

Se $ 5.000 forem investidos agora por 6 anos, qual taxa de juros composta trimestralmente será necessária para obter um valor acumulado de $ 8.000.

Solução

Temos (n = 4 ) para composição trimestral.

[ begin {alinhado}
$ 8000 & = $ 5000 left (1+ frac {r} {4} right) ^ {4 vezes 6}
frac { $ 8000} { $ 5000} & = left (1+ frac {r} {4} right) ^ {24}
1.6 & = left (1+ frac {r} {4} right) ^ {24}
end {alinhado} nonumber ]

Usamos raízes para resolver (t ) porque a variável (r ) está na base, enquanto o expoente é um número conhecido.

[ sqrt [24] {1.6} = 1 + frac { mathrm {r}} {4} nonumber ]

Muitas calculadoras têm uma função ou tecla “enésima raiz” incorporada. Na calculadora TI-84, isso pode ser encontrado no menu Math. As raízes também podem ser calculadas como expoentes fracionários; se necessário, a etapa anterior pode ser reescrita como

[1.6 ^ {1/24} = 1 + frac { mathrm {r}} {4} nonumber ]

Avaliar o lado esquerdo da equação dá

[ begin {array} {l}
1.0197765 = 1 + frac { mathrm {r}} {4}
0,0197765 = frac { mathrm {r}} {4}
mathrm {r} = 4 (0,0197765) = 0,0791
end {array} nonumber ]

Uma taxa de juros de 7,91% é necessária para que $ 5.000 investidos agora acumulem até $ 8.000 ao final de 6 anos, com juros compostos trimestralmente.

Taxa de juros efetiva

Os bancos são obrigados a declarar sua taxa de juros em termos de um “Rendimento efetivo” ou "taxa de juros efetiva", para fins de comparação. A taxa efetiva também é chamada de Rendimento percentual anual (APY) ou Taxa percentual anual (APR).

A taxa efetiva é a taxa de juros composta anualmente seria equivalente à taxa declarada e aos períodos de capitalização. Freqüentemente supomos que investimos $ 1 ao longo de um ano para determinar a taxa efetiva, como mostrado no próximo exemplo.

Para examinar vários investimentos para ver qual tem a melhor taxa, encontramos e comparamos a taxa efetiva de cada investimento.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Se o Banco A pagar 7,2% de juros compostos mensalmente, qual é a taxa de juros efetiva?
Se o Banco B pagar 7,2% de juros compostos semestralmente, qual é a taxa de juros efetiva?

Qual banco paga mais juros?

Solução

Banco A: suponha que depositemos $ 1 neste banco e o deixemos por um ano, obteremos

[ begin {array} {l}
1 left (1+ frac {0,072} {12} right) ^ {12} = 1,0744
mathrm {r} _ { mathrm {EFF}} = 1,0744-1 = 0,0744
end {array} nonumber ]

Ganhamos juros de $ 1,0744 - $ 1,00 = $ 0,0744 em um investimento de $ 1.

A taxa de juros efetiva é de 7,44%, frequentemente referido como APY.

Banco B: A taxa efetiva é calculada como

[ mathbf {r} _ { mathrm {EFF}} = 1 left (1+ frac {0.072} {2} right) ^ {2} -1 = .0733 nonumber ]

A taxa de juros efetiva é 7,33%.

O Banco A paga juros ligeiramente mais elevados, com taxa efetiva de 7,44%, em comparação com o Banco B com taxa efetiva de 7,33%.

Definição: Taxa de juros efetiva, composta (n ) vezes por ano

Se um banco paga uma taxa de juros (r ) por ano, composta (n ) vezes por ano, então a taxa de juros efetiva é dado por [ mathbf {r} _ { mathrm {EFF}} = left (1+ frac {r} {n} right) ^ {n} -1 ]

Isso também é conhecido como o Rendimento percentual anual, ou APY.

Composto Contínuo

Os juros podem ser compostos anual, semestral, trimestral, mensal e diariamente. Usando os mesmos métodos de cálculo, podemos combinar a cada hora, a cada minuto e até a cada segundo. À medida que o período de composição fica cada vez mais curto, avançamos em direção ao conceito de composição contínua.

Mas o que queremos dizer quando afirmamos que os juros são compostos continuamente e como calculamos esses valores? Quando os juros são compostos "infinitamente muitas vezes", dizemos que os juros são composto continuamente. Nosso próximo objetivo é derivar uma fórmula para modelar a composição contínua.

Suponha que colocamos $ 1 em uma conta que paga 100% de juros. Se os juros forem compostos uma vez por ano, o valor total após um ano será ( $ 1 (1 + 1) = $ 2 ).

  • Se os juros forem compostos semestralmente, em um ano teremos ( $ 1 (1 + 1/2) ^ {2} = $ 2,25 )
  • Se os juros forem compostos trimestralmente, em um ano teremos ( $ 1 (1 + 1/4) ^ {4} = $ 2,44 )
  • Se os juros forem compostos mensalmente, em um ano teremos ( $ 1 (1 + 1/12) ^ {12} = $ 2,61 )
  • Se os juros forem compostos diariamente, em um ano teremos ( $ 1 (1 + 1/365) ^ {365} = $ 2,71 )

Mostramos os resultados da seguinte forma:

Frequência de composição

Fórmula

Valor total

Anualmente

($ 1(1 + 1))

$2

Semi anualmente

($ 1(1+1 / 2)^{2})

$2.25

Trimestral

($ 1(1+1 / 4)^{4}=$ 2.44)

$2.44140625

Por mês

($ 1(1+1 / 12)^{12})

$2.61303529

Diário

($ 1(1+1 / 365)^{365})

$2.71456748

De hora em hora

($ 1(1+1 / 8760)^{8760})

$2.71812699

Todo minuto

($1(1+1 / 525600)^{525600})

$2.71827922

Todo segundo

($ 1(1+1 / 31536000)^{31536000} )

$2.71828247

Continuamente

( $ 1 (2.718281828 ldots) )

$2.718281828...

Percebemos que o $ 1 que investimos não cresce sem limites. Ele começa a se estabilizar em um número irracional 2.718281828 ... dado o nome "e"depois do grande matemático Euler.

Em matemática, dizemos que à medida que (n ) se torna infinitamente grande, a expressão é igual a ( left (1+ frac {1} {n} right) ^ {n} ) = e.

Portanto, é natural que o número e desempenham um papel na composição contínua.
Pode-se mostrar que à medida que (n ) se torna infinitamente grande, a expressão ( left (1+ frac {r} {n} right) ^ {n t} = e ^ {r t} )

Portanto, segue-se que se investirmos $ (P ) a uma taxa de juros (r ) por ano, composta continuamente, após (t ) anos, o valor final será dado por

[A = P cdot e ^ {rt} nonumber ]

Definição: Juros compostos continuamente

Se uma quantia ( mathrm {P} ) for investida por (t ) anos a uma taxa de juros (r ) por ano, composto continuamente, então o valor futuro é dado por [ mathrm {A} = mathrm {P} e ^ {rt} ]

Exemplo ( PageIndex {6} )

$ 3.500 são investidos em 9% compostos continuamente. Encontre o valor futuro em 4 anos.

Solução

Usando a fórmula para a composição contínua, obtemos (A = Pe ^ {rt} ).

begin {alinhado}
A & = $ 3.500 e ^ {0,09 vezes 4}
A & = $ 3.500 e ^ {0,36}
A & = $ 5016,65
end {alinhado}

Exemplo ( PageIndex {7} )

Se um montante for investido a 7% compostos continuamente, qual é a taxa de juros efetiva?

Solução

Se depositarmos $ 1 no banco a 7% compostos continuamente por um ano e subtrairmos esse $ 1 do valor final, obteremos a taxa de juros efetiva em decimais.

[ begin {array} {l}
mathrm {r} _ { mathrm {EFF}} = 1 mathrm {e} ^ {0,07} -1
mathrm {r} _ { mathrm {EFF}} = 1,0725-1
mathrm {r} _ { mathrm {EFF}} =. 0725 texto {ou} 7,25 \%
end {array} nonumber ]

Definição: Taxa de juros efetiva, composta continuamente

Se um banco paga uma taxa de juros (r ) por ano, composta continuamente, a taxa de juros efetiva é dada por [ mathrm {r} _ { mathrm {EFF}} = e ^ { mathbf {r} } -1 ]

Exemplo ( PageIndex {8} )

Se um montante for investido a 7% compostos continuamente, quanto tempo levará para dobrar?

Solução

Não sabemos o valor inicial do principal, mas sabemos que o valor acumulado é o dobro (duas vezes) do principal.

[ mathrm {P} cdot {e} ^ {0,07t} = 2 mathrm {P} não número ]

Dividimos os dois lados por ( mathrm {P} )

[e ^ {. 07 t} = 2 não numérico ]

Usando logaritmo natural:

[ begin {array} {l}
.07 mathrm {t} = ln (2)
mathrm {t} = ln (2) / 0,07 = 9,9 : mathrm {anos}
end {array} nonumber ]

Leva 9,9 anos para o dinheiro dobrar, se investido a juros contínuos de 7%.

Exemplo ( PageIndex {9} )

uma. No pico da taxa de crescimento na década de 1960, a população mundial teve um tempo de duplicação de 35 anos. Naquela época, qual era aproximadamente a taxa de crescimento?

b. Em 2015, a taxa de crescimento anual da população mundial foi de aproximadamente 1,14%. Com base nessa taxa, encontre o tempo aproximado de duplicação.

Solução

Esperamos que a população mundial cresça continuamente, não em intervalos discretos como anos ou meses. Portanto, usaremos a fórmula (A = Pe ^ {rt} ).

uma. Substituindo (2 mathrm {P} ) por (A ) e 35 por (t ) nos dá a equação

[2 mathrm {P} = mathrm {P} cdot {e} ^ {r (35)} não numérico ]

Dividimos os dois lados por ( mathrm {P} ):

[2 = {e} ^ {r (35)} não numérico ]

Usando logaritmo natural:

( ln (2) = r (35) não numérico )

Dividindo ambos os lados por 35:

( dfrac { ln (2)} {35} = r não número )

(0,0198 = r não numérico )

A taxa de crescimento foi de aproximadamente (1,98 \% ).

b. Substituindo (2 mathrm {P} ) por (A ) e (0,0114 ) por (r ) nos dá a equação

[2 mathrm {P} = mathrm {P} cdot {e} ^ {0,0114t} não numérico ]

Dividimos os dois lados por ( mathrm {P} ):

[2 = {e} ^ {0,0114t} não numérico ]

Usando logaritmo natural:

( ln (2) = 0,0114t não numérico )

Dividindo ambos os lados por 0,014:

( dfrac { ln (2)} {0,0114} = t não número )

(60,8 = t não numérico )

Se a população mundial continuasse a crescer à taxa de crescimento anual de 1,14%, levaria aproximadamente 60,8 anos para a população dobrar.

SEÇÃO 8.2 RESUMO

Abaixo está um resumo das fórmulas que desenvolvemos para cálculos envolvendo juros compostos:

COMPOSTO DE INTERESSEST (n ) times por ano

  1. Se uma quantia ( mathrm {P} ) é investida por (t ) anos a uma taxa de juros (r ) por ano, composta (n ) vezes por ano, então o valor futuro é dado por [A = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {nt} nonumber ] ( mathbf {P} ) é chamado de principal e também é chamado de valor presente.
  2. Se um banco paga uma taxa de juros (r ) por ano, composta (n ) vezes por ano, a taxa de juros efetiva é dada por [ mathbf {r} _ { mathrm {EFF}} = esquerda (1+ frac {r} {n} direita) ^ {n} -1 não numérico ]

JUROS CONTINUAMENTE COMPOSTOS

  1. Se uma quantia ( mathrm {P} ) é investida por (t ) anos a uma taxa de juros (r ) por ano, composta continuamente, então o valor futuro é dado por [ mathrm {A} = mathrm {P} e ^ {rt} nonumber ]
  2. Se um banco paga uma taxa de juros (r ) por ano, composta continuamente, então a taxa de juros efetiva é dada por [ mathrm {r} _ { mathrm {EFF}} = e ^ { mathbf {r} } -1 não numérico ]

Fórmula de juros compostos com exemplos

Juros compostos, ou "juros sobre juros", são calculados com a fórmula dos juros compostos.

A fórmula para juros compostos é P (1 + r / n) ^ (nt), onde P é o saldo principal inicial, r é a taxa de juros, n é o número de vezes que os juros são compostos por período de tempo e t é o número de períodos de tempo.

Multiplique o valor do principal por um mais a taxa de juros anual ao poder do número de períodos compostos para obter um valor combinado para o principal e os juros compostos. Subtraia o principal se quiser apenas os juros compostos.

O acima pressupõe que os juros são compostos uma vez por período (anualmente). Ao incorporar vários compostos por período (composição mensal ou composição trimestral, etc.), a fórmula muda. Se parece com isso:

O conceito de juros compostos é que os juros são adicionados de volta à soma do principal, de modo que os juros sobre os juros já acumulados sejam ganhos durante o próximo período de capitalização. Quão importante é isso? Basta perguntar a Warren Buffett, um dos investidores mais bem-sucedidos do mundo:

& # 34Minha riqueza veio de uma combinação de viver na América, alguns genes da sorte e juros compostos. & # 34

Neste artigo, examinaremos a fórmula de juros compostos com mais detalhes. Também examinaremos um exemplo e discutiremos outras variações da fórmula que podem ajudá-lo a calcular a taxa de juros e o fator tempo ou a incorporar contribuições regulares. Se desejar tentar alguns cálculos usando seus próprios números, você pode usar nossa popular calculadora de juros compostos.


Composto levanta $ 8,2 milhões para criar mercados financeiros para ativos criptográficos

São Francisco - maio. 16, 2018 - A Compound, empresa de tecnologia Blockchain, está anunciando hoje que arrecadou US $ 8,2 milhões em fundos iniciais para criar mercados financeiros para ativos criptográficos. O financiamento foi liderado pela Bain Capital Ventures, Andreessen Horowitz e Polychain Capital, com participação da Transmedia Capital, Compound Ventures, Abstract Ventures, Danhua Capital e Coinbase.

Hoje, a maioria dos ativos fica ociosa nas bolsas e nas carteiras, sem render juros - quando a Compound lançar seus primeiros mercados monetários no blockchain Ethereum, indivíduos, instituições e aplicativos ganharão juros sobre Ether, stablecoins e tokens de utilidade, com total liquidez - semelhante à taxa overnight para dólares e moedas governamentais.

“Composto é uma infraestrutura de blockchain descentralizada para permitir um caso de uso claro - taxas de juros para criptoassets - com um foco implacável na segurança e interoperabilidade.” disse Salil Deshpande da Bain Capital Ventures.

O protocolo do Compound é uma série de contratos inteligentes de código aberto que ajustam algoritmicamente as taxas de juros para cada ativo em tempo real, conforme a demanda de empréstimo para o ativo muda. Esses mutuários, principalmente fundos de hedge, especuladores sofisticados e outras aplicações Ethereum, usam sua carteira como garantia para emprestar do protocolo.

O resultado: taxas de juros totalmente líquidas, transparentes e previsíveis - prontas para desenvolvedores e adoção institucional.

“As taxas de juros à vista são um primitivo financeiro e necessário para a evolução dos mercados descentralizados”, disse Olaf Carlson-Wee, da Polychain Capital, “O objetivo da Compound é se tornar uma infraestrutura permanente ... Uma empresa que sobrevive cem anos”.


Juros compostos (CI) são a adição de juros ao valor do principal inicial e também os juros acumulados de períodos anteriores de um empréstimo ou qualquer depósito. Use esta calculadora de juros compostos on-line para calcular o C.I composto anualmente, semestral ou trimestralmente.

Fórmula:

Para cálculo de juros compostos, selecione uma opção (anual, semestral ou trimestral) no menu suspenso da caixa 'Juros compostos' e insira as entradas, calculadora de juros compostos irá atualizar o CI com facilidade. Os juros compostos são os juros calculados sobre o principal inicial e também sobre os juros acumulados de períodos anteriores de um depósito ou empréstimo. Também é referido como 'juros sobre juros'. Quanto maior o número de períodos de composição, maior é o IC. Além do CI, esta calculadora de juros compostos também ajuda a calcular o principal e a taxa de juros.

Exemplo

Se uma pessoa depositar Rs. 5.000 pagando juros de 6% por 5 anos. Qual será o juro composto sobre a mesma soma à mesma taxa para o mesmo período, compostos anualmente?

Juros compostos = P (1+ (R / 100)) ^ n
=5000(1+(6/100))^5
= Rs. 1691,13
Montante total = Principal + Juros Compostos
= Rs. 6691,13


Fórmulas de juros compostos III

O quinto grupo na Tabela 1-5 cobre um conjunto de problemas em que séries uniformes de investimentos iguais, A, ocorreram no final de cada período de tempo por n número de períodos à taxa de juros composta de i. Nesse caso, o valor presente acumulado de todos os investimentos, P, precisa ser calculado. Em resumo, P é desconhecido e A, i e n recebem parâmetros. E o problema pode ser notado como P / A i, n e exibido como:

Figura 1-6: Fator de valor atual da série uniforme, P / A i, n

Se substituirmos o substituto F na Equação 1-3 da Equação 1-2, teremos o valor presente como:

Equação 1-3: F = A [(1 + i) n - 1] / i Equação 1-2: F = P (1 + i) n P (1 + i) n = A [(1 + i) n - 1] / i

A Equação 1-5 fornece o valor presente acumulado, P, de todas as séries uniformes de investimentos iguais, A, como P = A [(1 + i) n - 1] / [i (1 + i) n]. E também pode ser notado como: P = A * P / A i, n. O fator [(1 + i) n - 1] / [i (1 + i) n] é chamado de "fator de valor presente de série uniforme ”E é designado por P / A i, n. Este fator é usado para calcular a soma presente, P que é equivalente a um uniforme de pagamentos iguais no final do período, A. Então P / A i, n = A [(1 + i) n - 1] / [i (1 + i) n]

Observe que n é o número de períodos de tempo em que ocorrem séries iguais de pagamentos.

Reveja o seguinte vídeo, Uniform Series Present Worth Factor (Tempo 3:35).

APRESENTADOR: O quinto grupo cobre o conjunto de problemas em que P é um parâmetro conhecido, A, ie n recebem variáveis. Nestes problemas, temos séries uniformes de investimentos iguais, A, no final de cada período de tempo, por n números de períodos, à taxa de juros composta de I.

E o problema pede que você calcule o valor presente acumulado de todos os investimentos, P. Podemos resumir essas questões usando a notação de fator. P é a variável desconhecida e deve estar no lado esquerdo. E A é o dado e deve ser escrito no lado direito.

Conforme explicado antes, a Equação 1-3 retorna o valor futuro, F, de A, ie n. E a Equação 1-2 calcula o valor futuro, F, a partir do valor presente, P, taxas de juros, ie n número de períodos. Portanto, se substituirmos F na Equação 1-3 da Equação 1-2, teremos esta nova equação-- 1-5. Essa equação nos dá o valor presente acumulado de pagamentos de séries iguais, A, pagos por n períodos, à taxa de juros de i.

A Equação 1-5 também pode ser escrita de acordo com a notação do fator. P é igual a A vezes o fator P sobre A. Este fator é chamado de Fator de Valor Presente de Série Uniforme, que é usado para calcular a presença em P que é equivalente a uma série uniforme de pagamentos iguais, pagamentos de final de período, A.

Por exemplo, qual seria o valor presente de 10 investimentos uniformes de $ 2.000, investidos no final de cada ano, para taxa de juros de 12%, compostos anualmente? Primeiro, traçamos a linha do tempo. O lado esquerdo é um pagamento de tempo presente, tempo zero, que precisa ser calculado. N é igual a 10, porque há 10 investimentos uniformes.

Portanto, temos 10 anos. E acima de cada ano, temos $ 2.000, começando do ano um ao ano 10. Portanto, A é igual a $ 2.000, n é 10 e a taxa de juros é 12%. Usando a fatoração, P é igual a A, multiplique o fator - i é 12% e n é 10. E o resultado.

Portanto, se você economizar $ 2.000 por ano, no final de cada ano durante 10 anos, começando do ano um ao ano 10, o dinheiro acumulado será igual a $ 11.300 no momento. Ele tem o mesmo valor de $ 11.300 no momento.

Exemplo 1-5:

Calcule o valor presente de 10 investimentos uniformes de 2.000 dólares a serem investidos no final de cada ano para taxa de juros de 12% ao ano composta anualmente.

P =? A = $ 2.000 A = $ 2.000 A = $ 2.000 A = $ 2.000 0
0 1 2 . 9 10

Usando a Equação 1-5, teremos:
P = A * P / A i, n = A [(1 + i) n - 1] / [i (1 + i) n] P = A * P / A 12%, 10 = 2.000 * [(1 + 0,12) 10-1] / [0,12 (1 + 0,12) 10] P = 2000 * 5,650223 = $ 11, 300,45

Observe que usamos o fator P / A i, n quando temos séries iguais de pagamentos. i é a taxa de juros en é o número de pagamentos iguais. Há uma suposição importante aqui, o primeiro pagamento deve começar a partir do ano 1. Nesse caso, P / A i, n retornará o valor presente equivalente dos pagamentos iguais.

Agora vamos considerar o caso em que temos séries iguais de pagamentos e o primeiro pagamento não começa no ano 1. Nesse caso, o fator P / A i, n nos dará o valor único equivalente de séries iguais de pagamentos no ano antes do primeiro pagamento. No entanto, queremos o valor presente deles (no ano 0). Então, precisamos multiplicar isso pelo fator P / F i, n e descontá-lo para o tempo presente (ano 0).

P =? A = $ 2.000 A = $ 2.000 A = $ 2.000 0
0 1 2 . 10 11

Observe que existem 10 séries iguais de pagamentos de $ 2.000. Mas o primeiro pagamento não está no ano 1. O fator P / A 12%, 10 retorna o valor equivalente a esses 10 pagamentos para o ano anterior ao primeiro pagamento, que é o ano 1.

P =? $ 2.000 (P / A12%,10) 0
0 1 2 . 10 11

No entanto, queremos o valor presente. Portanto, precisamos descontar o valor em um ano para ter o valor presente de 10 pagamentos iguais.

P =? $ 2.000 (P / A12%,10) (P / F12%,1) 0
0 1 2 . 10 11
Valor presente = 2, 000 (P / A 12%, 10) (P / F 12%, 1)

Exemplo: Agora considere o seguinte caso em que o primeiro pagamento começa no ano 3:

P =? A = $ 2.000 A = $ 2.000 A = $ 2.000 0
0 1 2 3 . 10 12

Valor presente = 2, 000 (P / A 12%, 10) (P / F 12%, 2)

Tabela 1-10: Fator de valor atual da série uniforme, P / Aem
Fator Nome Fórmula Variável solicitada Variáveis ​​dadas
Dor Fator de valor atual da série uniforme [(1 + i) n - 1] / [i (1 + i) n] P: Valor presente de séries uniformes de investimentos iguais A: série uniforme de investimentos iguais
n: número de períodos de tempo
i: taxa de juros

6. Fator de recuperação de capital

O sexto grupo na Tabela 1-5 pertence ao conjunto de problemas em que A é desconhecido e P, i e n recebem parâmetros. Nesta categoria, séries uniformes de igual soma, A, são investidas no final de cada período de tempo por n períodos à taxa de juros composta de i. Nesse caso, o valor presente acumulado de todos os investimentos, P, é fornecido e A precisa ser calculado. Pode ser anotado como A / P i, n.

Figura 1-7: Fator de recuperação de capital, A / P i, n

A Equação 1-5 pode ser reescrita para A (como desconhecido) para resolver estes problemas:

A Equação 1-6 determina a série uniforme de investimentos iguais, A, a partir do valor presente acumulado, P, como A = P [i (1 + i) n] / [(1 + i) n - 1]. O fator [i (1 + i) n] / [(1 + i) n - 1] é chamado de "fator de recuperação de capital" e é designado por A / Pem. Este fator é usado para calcular uma série uniforme de pagamento no final do período, A, que são equivalentes à soma única de dinheiro presente P.

Observe que n é o número de períodos de tempo em que ocorrem séries iguais de pagamentos.

Assista ao vídeo a seguir, Fator de recuperação de capital (Tempo 3:37).

APRESENTADOR: O sexto grupo pertence ao conjunto de problemas em que A é desconhecido e P, i e n recebem parâmetros. Esta categoria é semelhante ao quinto grupo, mas P é fornecido e A precisa ser calculado. Nesta categoria de problemas, sabemos o valor presente P, ou valor presente acumulado de todos os pagamentos. E queremos calcular a série uniforme de soma igual A que são investidos no final de cada período de tempo por n períodos à taxa de juros composta de i.

Portanto, temos o valor presente P e queremos calcular o equivalente A, dada a taxa de juros de i e o número de períodos n. O fator adequado para resumir essas questões é A sobre P, ou A / P. A é a variável desconhecida, está no lado esquerdo, e P, determinada variável, no lado direito.

A equação para calcular A é direta. Precisamos apenas reescrever a equação em 1-5 para A como desconhecido e teremos a equação 1-6 que calcula A a partir de P, i e n. Se escrevermos a equação 1-6 de acordo com a notação do fator, teremos o fator A sobre P. O fator é chamado de fator de recuperação de capital e é usado para calcular vendas uniformes de pagamentos de final de período A que são equivalentes à soma única presente de dinheiro P.

Vamos trabalhar neste exemplo. Queremos saber a série uniforme de investimento igual por cinco anos a uma taxa de juros de 4% que equivale a $ 25.000 hoje. Digamos que você queira comprar um carro hoje por $ 25.000 e possa financiar o carro por cinco anos e 4% da taxa de juros ao ano, composta anualmente. E você quer saber quanto terá que pagar a cada ano.

Primeiro, traçamos a linha do tempo. O lado esquerdo é o tempo presente, que temos $ 25.000. n é igual a 5, e acima de cada ano, começando do ano um ao ano cinco, temos A que deve ser calculado. Para o fator, temos i igual a 4% en é cinco e o resultado, que nos diz $ 25.000 no momento, é equivalente a cinco pagamentos uniformes de $ 5.616 começando do ano um ao ano cinco com taxa de juros anual de 4%. Ou $ 25.000 no momento tem o mesmo valor de cinco pagamentos uniformes de $ 5.616 começando do ano um ao ano cinco com taxa de juros anual de 4%.

Exemplo 1-6:

Calcule séries uniformes de investimento igual por 5 anos a partir do presente, a uma taxa de juros de 4% ao ano composta anualmente, que é equivalente a 25.000 dólares hoje. (Suponha que você queira comprar um carro hoje por 25.000 dólares e você pode financiar o carro por 5 anos com 4% de juros anuais compostos anualmente, quanto você tem que pagar a cada ano?)

P = $ 25.000 A =? A =? A =? A =? A =? 0
0 1 2 3 4 5

Usando a Equação 1-6, teremos:
A = P * A / P i, n = P [i (1 + i) n] / [(1 + i) n - 1] A = P * A / P 4%, 5 = 25, 000 * [0,04 (1 + 0,04) 5 / [(1 + 0,04) 5 - 1]] A = 25.000 * 0,224627 = 5615,68

Portanto, ter $ 25.000 no momento é equivalente a investir $ 5.615,68 a cada ano (no final do ano) por 5 anos a uma taxa de juros composta anual de 4%.

Tabela 1-11: Fator de recuperação de capital, A / Pem
Fator Nome Fórmula Variável solicitada Variáveis ​​dadas
A / P i, n Fator de recuperação de capital [i (1 + i) n] / [(1 + i) n - 1] A: série uniforme de investimentos iguais P: Valor presente de séries uniformes de investimentos iguais
n: número de períodos de tempo
i: taxa de juros

A / P i, n = A / F i, n * F / P i, n = P [i (1 + i) n] / [(1 + i) n - 1]

Usando essas seis técnicas, podemos resolver questões mais complicadas.

Exemplo 1-7:

Suponha que uma pessoa invista 1.000 dólares no primeiro ano, 1.500 dólares no segundo ano, 1.800 dólares no terceiro ano, 1.200 dólares no quarto ano e 2.000 dólares no quinto ano. A uma taxa de juros de 8%:
1) Calcule o tempo de liquidação da soma global zero “P”.
2) Calcule a liquidação do valor global “F” no final do quinto ano, que equivale a receber os pagamentos no final do período.
3) Calcule cinco séries uniformes de pagamentos iguais "A", começando no ano um, que sejam equivalentes aos valores acima.

P =? 1000 1500 1800 1200 2000 F =?
0 1 2 3 4 5

1) A liquidação da soma global zero "P" é igual à soma dos valores presentes:

P = 1000 * (P / F 8%, 1) + 1500 * (P / F 8%, 2) + 1800 * (P / F 8%, 3) + 1200 * (P / F 8%, 4) + 2000 * (P / F 8%, 5) P = 1000 * 0,92593 + 1500 * 0,85734 + 1800 * 0,79383 + 1200 * 0,73503 + 2000 * 0,68058 P = 5884,03

2) Liquidação global "F" do final do ano cinco, que é equivalente a receber os pagamentos do final do período igual à soma dos valores futuros:

F = 1000 * (F / P 8%, (5 - 1)) + 1500 * (F / P 8%, (5 - 2)) + 1800 * (F / P 8%, (5 - 3)) + 1200 * (F / P 8%, (5 - 4)) + 2000 F = 1000 * (F / P 8%, 4) + 1500 * (F / P 8%, 3) + 1800 * (F / P 8 %, 2) + 1200 * (F / P 8%, 1) + 2000 F = 1000 * 1,36049 + 1500 * 1,25971 + 1800 * 1,1664 + 1200 * 1,08 + 2000 F = 8645,58

Observe que no subscrito do fator, n é o número da diferença do período de tempo entre F (o tempo que o valor futuro deve ser calculado) e P (o tempo em que o pagamento ocorreu). For example, 1800 payment occurs in year 3 but we need its future value in year 5 (2 year after) and time difference is 2 years. So, the proper factor would be: ( F / P 8 % , ( 5 − 3 ) ) or ( F / P 8 % , 2 ) .

3) Uniform series of equal payments "A" can be calculated from either P or F :
A = 5884.03 * A / P 8 % , 5 = 5884.03 * 0.25046 = 1473.7 or
A = 8645.58 * A / F 8 % , 5 = 8800.71 * 0.17046 = 1473.7

Example 1-8: repeat your calculations for the following payments:

P=? 800 1000 1000 1600 1400 F=?
0 1 2 3 4 5

1) Time zero lump sum settlement “P” equals the summation of present values: P = 800 + 1000 * ( P / F 8 % , 1 ) + 1000 * ( P / F 8 % , 2 ) + 1600 * ( P / F 8 % , 3 ) + 1400 * ( P / F 8 % , 4 ) P = 800 + 1000 * 0.92593 + 1000 * 0.85734 + 1600 * 0.79383 + 1400 * 0.73503 P = 4882.44

2) End of year five lump sum settlement “F”, that is equivalent to receiving the end of the period payments equals the summation of future values: F = 800 * ( F / P 8 % , 5 ) + 1000 * ( F / P 8 % , 4 ) + 1000 * ( F / P 8 % , 3 ) + 1600 * ( F / P 8 % , 2 ) + 1400 * ( F / P 8 % , 1 ) F = 800 * 1.46933 + 1000 * 1.36049 + 1000 * 1.25971 + 1600 * 1.1664 + 1400 * 1.08 F = 7173.9

3) Uniform series of equal payments "A" can be calculated from either P or F:
A = 4882.44 * A / P 8 % , 5 = 4882.44 * 0.25046 = 1222.84 or
A = 7173.9 * A / F 8 % , 5 = 7173.9 * 0.17046 = 1222.84


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Compound Interest

What's juros compostos and what's the formula for compound interest in Excel? This example gives you the answers to these questions.

1. Assume you put $100 into a bank. How much will your investment be worth after 1 year at an annual interest rate of 8%? The answer is $108.

2. Now this interest ($8) will also earn interest (compound interest) next year. How much will your investment be worth after 2 years at an annual interest rate of 8%? The answer is $116.64.

3. How much will your investment be worth after 5 years? Simply drag the formula down to cell A6.

4. All we did was multiplying 100 by 1.08, 5 times. So we can also directly calculate the value of the investment after 5 years.

Note: there is no special function for compound interest in Excel. However, you can easily create a compound interest calculator to compare different rates and different durations.

5. Assume you put $100 into a bank. How much will your investment be worth after 5 years at an annual interest rate of 8%? You already know the answer.

Note: the compound interest formula reduces to =100*(1+0.08/1)^(1*5), =100*(1.08)^5

6. Assume you put $10,000 into a bank. How much will your investment be worth after 15 years at an annual interest rate of 4% compounded quarterly? The answer is $18,167.

Note: the compound interest formula reduces to =10000*(1+0.04/4)^(4*15), =10000*(1.01)^60

7. Assume you put $10,000 into a bank. How much will your investment be worth after 10 years at an annual interest rate of 5% compounded monthly? The answer is $16,470.

Note: the compound interest formula always works. If you're interested, download the Excel file and try it yourself!


ML Aggarwal Class 8 Solutions for ICSE Maths Chapter 8 Simple and Compound Interest Ex 8.2

Questão 1.
Calculate the compound interest on ₹6000 at 10% per annum for two years.
Solução:

Questão 2.
Salma borrowed from Mahila Samiti a sum of ₹ 1875 to purchase a sewing machine. If the rate of interest is 4% per annum, what is the compound interest that she has to pay after 2 years?
Solução:

Questão 3.
Jacob invests ₹12000 for 3 years at 10% per annum. Calculate the amount and the compound interest that Jacob will get after 3 years.
Solução:

Questão 4.
A man invests ₹46875 at 4% per annum compound interest for 3 years.
Calculate:
(i) the interest for the first year.
(ii) the amount standing to his credit at the end of second year.
(iii) the interest for the third year.
Solução:

Questão 5.
Calculate the compound interest for the second year on ₹6000 invested for 3 years at 10% p.a. Also find the sum due at the end of third year.
Solução:

Questão 6.
Calculate the amount and the compound interest on ₹5000 in 2 years when the rate of interest for successive years is 6% and 8% respectively.
Solução:

Questão 7.
Calculate the difference between the compound interest and the simple interest on ₹20000 in 2 years at 8% per annum.
Solução:


What Happens To An Account With Compounded Interest And No Withdrawals?


Consider now an account in which P0 is invested at the beginning of a compounding period, with a nominal interest rate r and compounding K times per year (so each compounding period is (1/K) th of one year). How much will be in the account after n compounding periods? Let P j denote the balance in the account after j compounding periods, including the interest earned in the last of these j periods. NOTE THAT WE HAVE JUST DEFINED A SEQUENCE OF REAL NUMBERS. To review what these sequences are, in general, see sequences of real numbers. Note that we have a recursive definition of this sequence:

Pj+1=P j + the interest earned by Pj in one compounding period.

In words, the balance at the end of a new compounding period is the balance at the end of the preceding period plus the interest that older balance earned during the compounding period. The interest earned is r * (1/K) * Pj,, as described above in the interest calculation for one period. Desse modo, at the end of the (j+1) th period,
Pj+1 = Pj + the interest earned by Pj in one compounding period
= Pj + (nominal rate)*(compounding period as a fraction of a year)*Pj
= Pj + r * (1/K) * Pj
= Pj + (r/K) * Pj
= Pj * (1 + r/K)

Importance of compounding intervals

The frequency of compounding and wealth accumulation are directly related. The higher the frequency of compounding, more the accumulation of wealth. Let&rsquos look at the growth of Rs 10,000 at 10% interest compounded at different frequencies.

Tempo Anual Quarterly Por mês
1 11,000.00 11,038.13 11,047.13
5 16,105.10 16,386.16 16,453.09
10 25,937.42 26,850.64 27,070.41

It is very clear from the above example that the higher the compounding interval, higher is the wealth accumulated. Also, longer the investment tenure higher is the wealth accumulated.

Let the magic of compounding work for you by investing regularly and staying invested for long horizons and increasing the frequency of loan payments. By familiarizing yourself with such concepts you can make better financial decisions and earn higher returns.


Assista o vídeo: Functions Compound Interest Future Value (Outubro 2021).