Artigos

2.2: Equações lineares em uma variável


objetivos de aprendizado

  • Resolva equações em uma variável algebricamente.
  • Resolva uma equação racional.
  • Encontre uma equação linear.
  • Dadas as equações de duas retas, determine se seus gráficos são paralelos ou perpendiculares.
  • Escreva a equação de uma linha paralela ou perpendicular a uma determinada linha.

Caroline é uma estudante universitária em tempo integral planejando as férias de primavera. Para ganhar dinheiro suficiente para a viagem, ela conseguiu um emprego de meio período no banco local que paga ($ 15,00 / hora ) e abriu uma conta poupança com um depósito inicial de ($ 400 ) em 15 de janeiro. Ela providenciou o depósito direto de seus cheques de folha de pagamento. Se as férias de primavera começarem em 20 de março e a viagem custar aproximadamente ($ 2.500 ), quantas horas ela terá de trabalhar para ganhar o suficiente para pagar as férias? Se ela só pode trabalhar (4 ) horas por dia, quantos dias por semana ela terá que trabalhar? Quantas semanas vai demorar? Nesta seção, investigaremos problemas como este e outros, que geram gráficos como a linha da Figura ( PageIndex {1} ).

Resolvendo Equações Lineares em Uma Variável

UMA equação linear é uma equação de uma linha reta, escrita em uma variável. O único poder da variável é (1 ). As equações lineares em uma variável podem assumir a forma (ax + b = 0 ) e são resolvidas usando operações algébricas básicas. Começamos classificando as equações lineares em uma variável como um dos três tipos: identidade, condicional ou inconsistente.

  • Um equação de identidade é verdadeiro para todos os valores da variável. Aqui está um exemplo de uma equação de identidade: [3x = 2x + x nonumber ] O conjunto de solução consiste em todos os valores que tornam a equação verdadeira. Para esta equação, o conjunto de solução são todos os números reais porque qualquer número real substituído por (x ) tornará a equação verdadeira.
  • UMA equação condicional é verdadeiro para apenas alguns valores da variável. Por exemplo, se quisermos resolver a equação (5x + 2 = 3x − 6 ), temos o seguinte: [ begin {align *} 5x + 2 & = 3x-6 2x & = - 8 x & = - 4 end {align *} ] O conjunto de solução consiste em um número: ({- 4} ). É a única solução e, portanto, resolvemos uma equação condicional.
  • Um equação inconsistente resulta em uma declaração falsa. Por exemplo, se quisermos resolver (5x − 15 = 5 (x − 4) ), temos o seguinte: [ begin {align *} 5x − 15 & = 5x − 20 5x − 15- 5x & = 5x − 20-5x −15 & neq −20 end {align *} ] De fato, (- 15 ≠ −20 ). Não há solução porque esta é uma equação inconsistente.

Resolver equações lineares em uma variável envolve as propriedades fundamentais de igualdade e operações algébricas básicas. Segue uma breve revisão dessas operações.

EQUAÇÃO LINEAR EM UMA VARIÁVEL

Uma equação linear em uma variável pode ser escrita na forma

[ax + b = 0 ]

onde aeb são números reais, (a ≠ 0 ).

Howto: dada uma equação linear em uma variável, use álgebra para resolvê-la

As etapas a seguir são usadas para manipular uma equação e isolar a variável desconhecida, de forma que a última linha seja (x = ) _________, se (x ) for a incógnita. Não há uma ordem definida, pois as etapas usadas dependem do que é fornecido:

  1. Podemos adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir uma equação por um número ou uma expressão, desde que façamos a mesma coisa para ambos os lados do sinal de igual. Observe que não podemos dividir por zero.
  2. Aplique a propriedade distributiva conforme necessário: (a (b + c) = ab + ac ).
  3. Isole a variável em um lado da equação.
  4. Quando a variável é multiplicada por um coeficiente no estágio final, multiplique ambos os lados da equação pelo recíproco do coeficiente.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Resolvendo uma equação em uma variável

Resolva a seguinte equação: (2x + 7 = 19 ).

Solução

Esta equação pode ser escrita na forma (ax + b = 0 ) subtraindo 19 de ambos os lados. No entanto, podemos prosseguir para resolver a equação em sua forma original, realizando operações algébricas.

[ begin {align *} 2x + 7 & = 19 2x & = 12 qquad text {Subtraia 7 de ambos os lados} x & = 6 qquad text {Multiplique ambos os lados por} dfrac {1} { 2} text {ou divida por} 2 end {alinhar *} ]

A solução é (6 ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Resolva a equação linear em uma variável: (2x + 1 = −9 ).

Responder

(x = −5 )

Exemplo ( PageIndex {2} ): Resolvendo quando a variável aparece em ambos os lados

Resolva a seguinte equação: (4 (x − 3) + 12 = 15−5 (x + 6) ).

Solução

Aplique propriedades algébricas padrão.

[ begin {align *} 4 (x-3) + 12 & = 15-5 (x + 6) 4x-12 + 12 & = 15-5x-30 qquad text {Aplicar a propriedade distributiva} 4x & = - 15-5x qquad text {Combine os termos semelhantes} 9x & = - 15 qquad text {Coloque os termos x em um lado e simplifique} x & = - dfrac {15} {9} qquad text {Multiplique ambos os lados por} dfrac {1} {9} text {, o recíproco de} 9 x & = - dfrac {3} {5} end {align *} ]

Análise

Este problema requer que a propriedade distributiva seja aplicada duas vezes, e então as propriedades da álgebra são usadas para chegar à linha final, (x = - dfrac {3} {5} ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Resolva a equação em uma variável: (- 2 (3x − 1) + x = 14 − x ).

Responder

(x = -3 )

Resolvendo uma Equação Racional

Nesta seção, examinamos as equações racionais que, após alguma manipulação, resultam em uma equação linear. Se uma equação contém pelo menos uma expressão racional, é considerada uma equação racional. Lembre-se de que um número racional é a proporção de dois números, como ( dfrac {2} {3} ) ou ( dfrac {7} {2} ). Uma expressão racional é a proporção, ou quociente, de dois polinômios. Aqui estão três exemplos.

[ dfrac {x + 1} {x ^ 2-4} nonumber ]

[ dfrac {1} {x-3} nonumber ]

ou

[ dfrac {4} {x ^ 2 + x-2} não numérico ]

As equações racionais têm uma variável no denominador em pelo menos um dos termos. Nosso objetivo é realizar operações algébricas para que as variáveis ​​apareçam no numerador. Na verdade, eliminaremos todos os denominadores multiplicando ambos os lados da equação pelo minimo denominador comum (LCD). Encontrar o LCD é identificar uma expressão que contém a maior potência de todos os fatores em todos os denominadores. Fazemos isso porque quando a equação é multiplicada pelo LCD, os fatores comuns no LCD e em cada denominador serão iguais a um e serão cancelados.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Resolvendo uma Equação Racional

Resolva a equação racional:

[ dfrac {7} {2x} - dfrac {5} {3x} = dfrac {22} {3} nonumber ]

Solução

Temos três denominadores; (2x ), (3x ) e (3 ). O LCD deve conter (2x ), (3x ) e (3 ). Um LCD de (6x ) contém todos os três denominadores. Em outras palavras, cada denominador pode ser dividido uniformemente no LCD. Em seguida, multiplique ambos os lados da equação pelo LCD (6x ).

[ begin {align *}
(6x) left [ dfrac {7} {2x} - dfrac {5} {3x} right] & = left [ dfrac {22} {3} right] (6x)
(6x) left ( dfrac {7} {2x} right) - (6x) left ( dfrac {5} {3x} right) & = left ( dfrac {22} {3} right ) (6x) qquad text {Use a propriedade distributiva. Cancele os fatores comuns}
3 (7) -2 (5) & = 22 (2x) qquad text {Multiplique os fatores restantes por cada numerador.}
21-10 & = 44x
11 & = 44x
dfrac {11} {44} & = x
dfrac {1} {4} & = x
end {align *} ]

Um erro comum cometido ao resolver equações racionais envolve encontrar o LCD quando um dos denominadores é um binomial - dois termos adicionados ou subtraídos - como ((x + 1) ). Sempre considere um binômio como um fator individual - os termos não podem ser separados. Por exemplo, suponha que um problema tenha três termos e os denominadores sejam (x ), (x − 1 ) e (3x − 3 ). Primeiro, fatorar todos os denominadores. Temos então (x ), ((x − 1) ) e (3 (x − 1) ) como denominadores. (Observe os parênteses colocados em torno do segundo denominador.) Apenas os dois últimos denominadores têm um fator comum de ((x − 1) ). O x no primeiro denominador é separado do (x ) nos denominadores ((x − 1) ). Uma maneira eficaz de lembrar isso é escrever denominadores fatorados e binomiais entre parênteses e considerar cada parênteses como uma unidade separada ou um fator separado. O LCD, neste caso, é encontrado multiplicando-se o (x ), um fator de ((x − 1) ) e o 3. Portanto, o LCD é o seguinte:

(x (x − 1) 3 = 3x (x − 1) )

Portanto, ambos os lados da equação seriam multiplicados por (3x (x − 1) ). Deixe o LCD na forma fatorada, pois isso torna mais fácil ver como cada denominador no problema é cancelado.

Outro exemplo é um problema com dois denominadores, como (x ) e (x ^ 2 + 2x ). Uma vez que o segundo denominador é fatorado como (x ^ 2 + 2x = x (x + 2) ), há um fator comum de (x ) em ambos os denominadores e o LCD é (x (x + 2) ).

Às vezes, temos uma equação racional na forma de uma proporção; ou seja, quando uma fração é igual a outra fração e não há outros termos na equação.

[ dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ]

Podemos usar outro método de resolver a equação sem encontrar o LCD: multiplicação cruzada. Multiplicamos os termos cruzando o sinal de igual.

Multiplique a (d) e b (c), o que resulta em (ad = bc ).

Qualquer solução que torne um denominador na expressão original igual a zero deve ser excluída das possibilidades.

EQUAÇÕES RACIONAIS

A requação nacional contém pelo menos uma expressão racional onde a variável aparece em pelo menos um dos denominadores.

Howto: Dada uma equação racional, resolva-a.

  1. Fatore todos os denominadores da equação.
  2. Encontre e exclua valores que definem cada denominador igual a zero.
  3. Encontre o LCD.
  4. Multiplique toda a equação pelo LCD. Se o LCD estiver correto, não haverá denominadores restantes.
  5. Resolva a equação restante.
  6. Certifique-se de verificar as soluções nas equações originais para evitar que uma solução produza zero em um denominador

Exemplo ( PageIndex {4} ): Resolvendo uma Equação Racional sem Fatorar

Resolva a seguinte equação racional:

( dfrac {2} {x} - dfrac {3} {2} = dfrac {7} {2x} )

Solução

Temos três denominadores: (x ), (2 ) e (2x ). Nenhuma fatoração é necessária. O produto dos dois primeiros denominadores é igual ao terceiro denominador, portanto, o LCD é (2x ). Apenas um valor é excluído de um conjunto de solução, (0 ). Em seguida, multiplique a equação inteira (ambos os lados do sinal de igual) por (2x ).

A solução proposta é (- 1 ), que não é um valor excluído, então o conjunto de solução contém um número, (x = −1 ), ou ( {- 1 } ) escrito em notação de conjunto .

Exercício ( PageIndex {4} )

Resolva a equação racional:

( dfrac {2} {3x} = dfrac {1} {4} - dfrac {1} {6x} )

Responder

(x = dfrac {10} {3} )

Exemplo ( PageIndex {5} ): Resolvendo uma Equação Racional Fatorando o Denominador

Resolva a seguinte equação racional:

( dfrac {1} {x} = dfrac {1} {10} - dfrac {3} {4x} )

Solução

Primeiro encontre o denominador comum. Os três denominadores na forma fatorada são (x, 10 = 2⋅5 ) e (4x = 2⋅2⋅x ). A menor expressão divisível por cada um dos denominadores é (20x ). Apenas (x = 0 ) é um valor excluído. Multiplique toda a equação por (20x ).

[ begin {align *} 20x left ( dfrac {1} {x} right) & = left ( dfrac {1} {10} - dfrac {3} {4x} right) 20x 20 & = 2x-15 35 & = 2x dfrac {35} {2} & = x end {alinhar *} ]

A solução é ( dfrac {35} {2} ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Resolva a equação racional:

[- dfrac {5} {2x} + dfrac {3} {4x} = - dfrac {7} {4} não numérico ]

Responder

(x = 1 )

Exemplo ( PageIndex {6} ): Resolvendo Equações Racionais com um Binomial no Denominador

Resolva as seguintes equações racionais e indique os valores excluídos:

  1. ( dfrac {3} {x-6} = dfrac {5} {x} )
  2. ( dfrac {x} {x-3} = dfrac {5} {x-3} - dfrac {1} {2} )
  3. ( dfrac {x} {x-2} = dfrac {5} {x-2} - dfrac {1} {2} )

Solução

uma.

Os denominadores (x ) e (x − 6 ) não têm nada em comum. Portanto, o LCD é o produto (x (x − 6) ). No entanto, para este problema, podemos fazer a multiplicação cruzada.

[ begin {align *} dfrac {3} {x-6} & = dfrac {5} {x} 3x & = 5 (x-6) qquad text {Distribute.} 3x & = 5x-30 -2x & = - 30 x & = 15 end {alinhar *} ]

A solução é (15 ). Os valores excluídos são (6 ) e (0 ).

b.

O LCD é (2 (x − 3) ). Multiplique ambos os lados da equação por (2 (x − 3) ).

[ begin {align *} 2 (x-3) left [ dfrac {x} {x-3} right] & = left [ dfrac {5} {x-3} - dfrac {1 } {2} right] 2 (x-3) dfrac {2 (x-3) x} {x-3} & = dfrac {2 (x-3) 5} {x-3} - dfrac {2 (x-3)} {2} 2x & = 10- (x-3) 2x & = 13-x 3x & = 13 x & = dfrac {13} {3} end {alinhar*}]

A solução é ( dfrac {13} {3} ). O valor excluído é (3 ).

c.

O mínimo denominador comum é (2 (x − 2) ). Multiplique ambos os lados da equação por (x (x − 2) ).

[ begin {align *} 2 (x-2) left [ dfrac {x} {x-2} right] & = left [ dfrac {5} {x-2} - dfrac {1 } {2} right] 2 (x-2) 2x & = 10- (x-2) 2x & = 12-x 3x & = 12 x & = 4 end {align *} ]

A solução é (4 ). O valor excluído é (2 ).

Exercício ( PageIndex {6} )

Resolva ( dfrac {-3} {2x + 1} = dfrac {4} {3x + 1} ). Indique os valores excluídos.

Responder

(x = - dfrac {7} {17} ). Os valores excluídos são (x = −12 ) e (x = −13 ).

Exemplo ( PageIndex {7} ): Resolvendo uma equação racional com denominadores fatorados e declarando valores excluídos

Resolva a equação racional após fatorar os denominadores: ( dfrac {2} {x + 1} - dfrac {1} {x-1} = dfrac {2x} {x ^ 2-1} ). Indique os valores excluídos.

Solução

Devemos fatorar o denominador (x ^ 2−1 ). Reconhecemos isso como a diferença de quadrados e fatoramos como ((x − 1) (x + 1) ). Portanto, o LCD que contém cada denominador é ((x − 1) (x + 1) ). Multiplique toda a equação pelo LCD, cancele os denominadores e resolva o restante da equação.

[ begin {align *} (x + 1) (x-1) left [ dfrac {2} {x + 1} - dfrac {1} {x-1} right] & = left [ dfrac {2x} {x ^ 2-1} right] (x + 1) (x-1) 2 (x-1) - (x + 1) & = 2x 2x-2-x- 1 & = 2x text {Distribuir o sinal negativo} -3-x & = 0 x & = -3 end {alinhar *} ]

A solução é (- 3 ). Os valores excluídos são (1 ) e (- 1 ).

Exercício ( PageIndex {7} )

Resolva a equação racional:

( dfrac {2} {x-2} + dfrac {1} {x + 1} = dfrac {1} {x ^ 2-x-2} )

Responder

(x = dfrac {1} {3} )

Encontrando uma Equação Linear

Talvez a forma mais familiar de uma equação linear seja a forma de declive-interceptação, escrito como [y = mx + b ] onde (m = text {inclinação} ) e (b = text {interceptação y.} ) Vamos começar com a inclinação.

O declive de uma linha refere-se à proporção da mudança vertical em (y ) sobre a mudança horizontal em (x ) entre quaisquer dois pontos em uma linha. Ele indica a direção em que uma linha se inclina, bem como sua inclinação. A inclinação é algumas vezes descrita como subida sobre o curso.

[m = dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} ]

Se a inclinação for positiva, a linha se inclina para a direita. Se a inclinação for negativa, a linha se inclina para a esquerda. À medida que a inclinação aumenta, a linha se torna mais íngreme. Alguns exemplos são mostrados na Figura ( PageIndex {2} ). As linhas indicam as seguintes inclinações: (m = −3 ), (m = 2 ) e (m = dfrac {1} {3} ).

A INCLINAÇÃO DE UMA LINHA

A inclinação de uma linha, (m ), representa a mudança em (y ) sobre a mudança em (x ). Dados dois pontos, ((x_1, y_1) ) e (x_2, y_2) ), a seguinte fórmula determina a inclinação de uma linha contendo esses pontos:

[m = dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} ]

Exemplo ( PageIndex {8} ): Encontrando a inclinação de uma linha com dois pontos

Encontre a inclinação de uma linha que passa pelos pontos ((2, −1) ) e ((- 5,3) ).

Solução

Substituímos os valores (y ) - e os valores (x ) - na fórmula.

[ begin {align *} m & = dfrac {3 - (- 1)} {- 5-2} & = dfrac {4} {- 7} & = - dfrac {4} { 7} end {align *} ]

A inclinação é (- dfrac {4} {7} )

Análise

Não importa qual ponto é chamado ((x_1, y_1) ) ou ((x_2, y_2) ). Contanto que sejamos consistentes com a ordem dos termos (y ) e a ordem dos termos (x ) no numerador e denominador, o cálculo produzirá o mesmo resultado.

Exercício ( PageIndex {8} )

Encontre a inclinação da reta que passa pelos pontos ((- 2,6) ) e ((1,4) ).

Responder

(m = - dfrac {2} {3} )

Exemplo ( PageIndex {9} ): Identificando a inclinação e a interceptação y de uma linha dada uma equação

Identifique a inclinação e (y ) - intercepto, dada a equação (y = - dfrac {3} {4} x-4 ).

Solução

Como a linha está na forma (y = mx + b ), a linha dada tem uma inclinação de (m = - dfrac {3} {4} ). A interceptação (y ) - é (b = −4 ).

Análise

A interceptação (y ) - é o ponto no qual a linha cruza o eixo (y ). No eixo (y ) -, (x = 0 ). Sempre podemos identificar a interceptação (y ) - quando a linha está na forma de interceptação inclinada, pois ela sempre será igual a (b ). Ou simplesmente substitua (x = 0 ) e resolva (y ).

A Fórmula Ponto-Inclinação

Dada a inclinação e um ponto em uma linha, podemos encontrar a equação da linha usando a fórmula ponto-inclinação.

[y − y_1 = m (x − x_1) ]

Esta é uma fórmula importante, pois será usada em outras áreas da álgebra universitária e, freqüentemente, no cálculo para encontrar a equação de uma reta tangente. Precisamos apenas de um ponto e a inclinação da linha para usar a fórmula. Depois de substituir a inclinação e as coordenadas de um ponto na fórmula, nós a simplificamos e a escrevemos na forma de inclinação-interceptação.

A FÓRMULA DE POINT-SLOPE

Dado um ponto e a inclinação, a fórmula ponto-inclinação levará à equação de uma linha:

[y − y_1 = m (x − x_1) ]

Exemplo ( PageIndex {10} ): Encontrando a equação de uma linha dada a inclinação e um ponto

Escreva a equação da reta com inclinação (m = −3 ) e passando pelo ponto ((4,8) ). Escreva a equação final na forma de declive-interceptação.

Solução

Usando a fórmula da inclinação do ponto, substitua (- 3 ) por meo ponto ((4,8) ) por ((x_1, y_1) ).

[ begin {align *} y-y_1 & = m (x-x_1) y-8 & = -3 (x-4) y-8 & = -3x + 12 y & = -3x + 20 fim {alinhar *} ]

Análise

Observe que qualquer ponto da linha pode ser usado para encontrar a equação. Se feito corretamente, a mesma equação final será obtida.

Exercício ( PageIndex {10} )

Dado (m = 4 ), encontre a equação da reta na forma de declive-interceptação passando pelo ponto ((2,5) ).

Responder

(y = 4x − 3 )

Exemplo ( PageIndex {11} ): Encontrando a equação de uma linha que passa por dois pontos dados

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos ((3,4) ) e ((0, −3) ). Escreva a equação final na forma de declive-interceptação.

Solução

Primeiro, calculamos a inclinação usando a fórmula da inclinação e dois pontos.

[ begin {align *} m & = dfrac {-3-4} {0-3} m & = dfrac {-7} {- 3} m & = dfrac {7} {3} end {alinhar *} ]

A seguir, usamos a fórmula de inclinação do ponto com a inclinação de ( dfrac {7} {3} ) e qualquer um dos pontos. Vamos escolher o ponto ((3,4) ) para ((x_1, y_1) ).

[ begin {align *} y-4 & = dfrac {7} {3} (x-3) y-4 & = dfrac {7} {3} x-7 y & = dfrac {7 } {3} -3 end {align *} ]

Na forma de declive-interceptação, a equação é escrita como (y = dfrac {7} {3} -3 )

Análise

Para provar que qualquer um dos pontos pode ser usado, vamos usar o segundo ponto ((0, −3) ) e ver se obtemos a mesma equação.

[ begin {align *} y - (- 3) & = dfrac {7} {3} (x-0) y + 3 & = dfrac {7} {3} x y & = dfrac {7} {3} -3 end {align *} ]

Vemos que a mesma linha será obtida usando qualquer um dos pontos. Isso faz sentido porque usamos os dois pontos para calcular a inclinação.

Forma padrão de uma linha

Outra maneira de representar a equação de uma linha é em forma padrão. O formulário padrão é dado como

[Ax + Por = C ]

onde (A ), (B ) e (C ) são inteiros. Os termos (x ) - e (y ) - estão em um lado do sinal de igual e o termo constante está no outro lado.

Exemplo ( PageIndex {12} ): Encontrando a Equação de uma Linha e Escrevendo-a na Forma Padrão

Encontre a equação da reta com (m = −6 ) e passando pelo ponto ( left ( dfrac {1} {4}, - 2 right) ). Escreva a equação no formato padrão.

Solução

Começamos usando a fórmula ponto-inclinação.

[ begin {align *} y - (- 2) & = -6 left (x- dfrac {1} {4} right) y + 2 & = -6x + dfrac {3} {2} end {align *} ]

A partir daqui, multiplicamos por (2 ), já que nenhuma fração é permitida na forma padrão, e então movemos ambas as variáveis ​​para a esquerda do sinal de igual e movemos as constantes para a direita.

[ begin {align *} 2 (y + 2) & = left (-6x + dfrac {3} {2} right) 2 2y + 4 & = -12x + 3 12x + 2y & = - 1 end {align *} ]

Esta equação agora está escrita na forma padrão.

Exercício ( PageIndex {12} )

Encontre a equação da reta na forma padrão com inclinação (m = - dfrac {1} {3} ) e passando pelo ponto ((1,13) ).

Responder

(x + 3y = 2 )

Linhas verticais e horizontais

As equações das linhas verticais e horizontais não requerem nenhuma das fórmulas anteriores, embora possamos usar as fórmulas para provar que as equações estão corretas. A equação de um Linha vertical é dado como

[x = c ]

onde (c ) é uma constante. A inclinação de uma linha vertical é indefinida e, independentemente do valor (y ) de qualquer ponto na linha, a coordenada (x ) do ponto será (c ).

Suponha que queremos encontrar a equação de uma linha contendo os seguintes pontos: ((- 3, −5) ), ((- 3,1) ), ((- 3,3) ), e ((- 3,5) ). Primeiro, encontraremos a inclinação.

(m = dfrac {5-3} {- 3 - (- 3)} = dfrac {2} {0} )

Zero no denominador significa que a inclinação é indefinida e, portanto, não podemos usar a fórmula ponto-inclinação. No entanto, podemos traçar os pontos. Observe que todas as coordenadas (x ) - são as mesmas e encontramos uma linha vertical através de (x = −3 ). Veja a Figura ( PageIndex {3} ).

A equação de um linha horizontal é dado como

[y = c ]

onde (c ) é uma constante. A inclinação de uma linha horizontal é zero, e para qualquer valor (x ) de um ponto na linha, a coordenada (y ) será (c ).

Suponha que queremos encontrar a equação de uma linha que contém o seguinte conjunto de pontos: ((- 2, −2) ), ((0, −2) ), ((3, −2) ) e ((5, −2) ). Podemos usar a fórmula ponto-inclinação. Primeiro, encontramos a inclinação usando quaisquer dois pontos da linha.

[ begin {align *} m & = dfrac {-2 - (- 2)} {0 - (- 2)} & = dfrac {0} {2} & = 0 end {align *} ]

Use qualquer ponto para ((x_1, y_1) ) na fórmula ou use a interceptação y.

[ begin {align *} y - (- 2) & = 0 (x-3) y + 2 & = 0 y & = -2 end {align *} ]

O gráfico é uma linha horizontal através de (y = −2 ). Observe que todas as coordenadas y são iguais. Veja a Figura ( PageIndex {3} ).

Exemplo ( PageIndex {13} ): Encontrando a equação de uma linha que passa pelos pontos dados

Encontre a equação da linha que passa pelos pontos dados: ((1, −3) ) e (1,4) ).

Solução

A coordenada (x ) - de ambos os pontos é (1 ). Portanto, temos uma linha vertical, (x = 1 ).

Exercício ( PageIndex {13} )

Encontre a equação da linha que passa por ((- 5,2) ) e ((2,2) ).

Responder

Linha horizontal: (y = 2 )

Determinando se os gráficos de linhas são paralelos ou perpendiculares

As linhas paralelas têm a mesma inclinação e diferentes interceptações y. Linhas paralelas nunca se cruzarão. Por exemplo, a Figura ( PageIndex {4} ) mostra os gráficos de várias linhas com a mesma inclinação, (m = 2 ).

Todas as retas mostradas no gráfico são paralelas porque têm a mesma inclinação e diferentes interceptações y.

Linhas que são perpendicular interceptar para formar um ângulo (90 ^ { circ} ). A inclinação de uma linha é negativa recíproca do outro. Podemos mostrar que duas retas são perpendiculares se o produto das duas inclinações for (- 1: m_1⋅m_2 = −1 ). Por exemplo, Figura ( PageIndex {5} ) mostra o gráfico de duas retas perpendiculares. Uma linha tem uma inclinação de (3 ); a outra linha tem uma inclinação de (- dfrac {1} {3} ).

[ begin {align *} m_1 cdot m_2 & = -1 3 cdot left (- dfrac {1} {3} right) & = -1 end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {14} ): Representando graficamente duas equações e determinando se as linhas são paralelas, perpendiculares ou nenhuma

Represente graficamente as equações das linhas fornecidas e indique se são paralelas, perpendiculares ou nenhuma: (3y = −4x + 3 ) e (3x − 4y = 8 ).

Solução

A primeira coisa que queremos fazer é reescrever as equações para que ambas estejam na forma de declive-interceptação.

Primeira equação:

[ begin {align *} 3y & = -4x + 3 y & = - dfrac {4} {3} x + 1 end {align *} ]

Segunda equação:

[ begin {align *} 3x-4y & = 8 -4y & = -3x + 8 y & = dfrac {3} {4} x-2 end {align *} ]

Veja o gráfico de ambas as linhas na Figura ( PageIndex {6} ).

No gráfico, podemos ver que as linhas parecem perpendiculares, mas devemos comparar as inclinações.

[ begin {align *} m_1 & = - dfrac {4} {3} m_2 & = dfrac {3} {4} m_1 cdot m_2 & = left (- dfrac {4} {3} right) left ( dfrac {3} {4} right) & = - 1 end {align *} ]

As inclinações são recíprocas negativas entre si, confirmando que as linhas são perpendiculares.

Exercício ( PageIndex {14} )

Represente graficamente as duas linhas e determine se são paralelas, perpendiculares ou nenhuma: (2y − x = 10 ) e (2y = x + 4 ).

Responder

Linhas paralelas: as equações são escritas na forma de declive-interceptação.

Escrevendo as equações de linhas paralelas ou perpendiculares a uma determinada linha

Como aprendemos, determinar se duas linhas são paralelas ou perpendiculares é uma questão de encontrar as inclinações. Para escrever a equação de uma linha paralela ou perpendicular a outra linha, seguimos os mesmos princípios que fazemos para encontrar a equação de qualquer linha. Depois de encontrar a inclinação, use o fórmula ponto-inclinação para escrever a equação da nova linha.

Dada uma equação para uma linha, escreva a equação de uma linha paralela ou perpendicular a ela.

  1. Encontre a inclinação da linha fornecida. A maneira mais fácil de fazer isso é escrever a equação na forma de declive-interceptação.
  2. Use a inclinação e o ponto dado com a fórmula ponto-inclinação.
  3. Simplifique a linha para a forma de declive-interceptação e compare a equação com a linha fornecida.

Exemplo ( PageIndex {15} ): Escrevendo a equação de uma linha paralela a uma linha que passa por um determinado ponto

Escreva a equação da reta paralela a a (5x + 3y = 1 ) e passando pelo ponto ((3,5) ).

Solução

Primeiro, escreveremos a equação na forma de declive-interceptação para encontrar a inclinação.

[ begin {align *} 5x + 3y & = 1 3y & = -5x + 1 y & = - dfrac {5} {3} + dfrac {1} {3} end {align *} ]

A inclinação é (m = - dfrac {5} {3} ). A interceptação em y é (13 ), mas isso realmente não entra em nosso problema, pois a única coisa de que precisamos para duas retas paralelas é a mesma inclinação. A única exceção é que, se as interceptações (y ) - forem iguais, as duas linhas serão a mesma. O próximo passo é usar esta inclinação e o ponto dado com a fórmula ponto-inclinação.

[ begin {align *} y-5 & = - dfrac {5} {3} (x-3) y-5 & = - dfrac {5} {3} x + 5 y & = - dfrac {5} {3} +10 end {align *} ]

A equação da reta é (y = - dfrac {5} {3} x + 10 ). Veja a Figura ( PageIndex {8} ).

Exercício ( PageIndex {15} )

Encontre a equação da reta paralela a (5x = 7 + y ) e passando pelo ponto ((- 1, −2) ).

Responder

(y = 5x + 3 )

Exemplo ( PageIndex {16} ): Encontrando a equação de uma linha perpendicular a uma determinada linha passando por um determinado ponto

Encontre a equação da reta perpendicular a (5x − 3y + 4 = 0 espaço (−4,1) ).

Solução

O primeiro passo é escrever a equação na forma de declive-interceptação.

[ begin {align *} 5x-3y + 4 & = 0 -3y & = -5x-4 y & = dfrac {5} {3} x + dfrac {4} {3} end {align * } ]

Vemos que a inclinação é (m = dfrac {5} {3} ). Isso significa que a inclinação da linha perpendicular à linha dada é o recíproco negativo, ou (- dfrac {3} {5} ). A seguir, usamos a fórmula ponto-inclinação com esta nova inclinação e o ponto dado.

[ begin {align *} y-1 & = - dfrac {3} {5} (x - (- 4)) y-1 & = - dfrac {3} {5} x- dfrac {12 } {5} y & = - dfrac {3} {5} x- dfrac {12} {5} + dfrac {5} {5} y & = - dfrac {3} {5} - dfrac {7} {5} end {align *} ]

meios de comunicação

Acesse esses recursos online para obter instruções e práticas adicionais com equações lineares.

  1. Resolvendo equações racionais
  2. Equação de uma linha com dois pontos
  3. Encontrar a equação de uma linha perpendicular a outra linha através de um determinado ponto
  4. Encontrar a equação de uma linha paralela a outra linha através de um determinado ponto

Conceitos chave

  • Podemos resolver equações lineares em uma variável na forma (ax + b = 0 ) usando propriedades algébricas padrão. Veja Exemplo e Exemplo.
  • Uma expressão racional é um quociente de dois polinômios. Usamos o LCD para limpar as frações de uma equação. Veja Exemplo e Exemplo.
  • Todas as soluções para uma equação racional devem ser verificadas dentro da equação original para evitar um termo indefinido ou zero no denominador. Veja Exemplo e Exemplo.
  • Dados dois pontos, podemos encontrar a inclinação de uma linha usando a fórmula da inclinação. Consultar exemplo.
  • Podemos identificar a inclinação e (y ) - interceptação de uma equação na forma inclinação-interceptação. Consultar exemplo.
  • Podemos encontrar a equação de uma linha dada a inclinação e um ponto. Consultar exemplo.
  • Também podemos encontrar a equação de uma linha dados dois pontos. Encontre a inclinação e use a fórmula ponto-inclinação. Consultar exemplo.
  • A forma padrão de uma linha não possui frações. Consultar exemplo.
  • As linhas horizontais têm inclinação zero e são definidas como (y = c ), onde (c ) é uma constante.
  • As linhas verticais têm uma inclinação indefinida (zero no denominador) e são definidas como (x = c ), onde (c ) é uma constante. Consultar exemplo.
  • As linhas paralelas têm a mesma inclinação e diferentes interceptações (y ). Consultar exemplo.
  • As linhas perpendiculares têm inclinações que são recíprocas negativas entre si, a menos que uma seja horizontal e a outra vertical. Consultar exemplo.

Exercício 2.2 Equações lineares em uma variável - NCERT Solutions Classe 8

Se você subtrair ( begin frac <1> <2> end) de um número e multiplique o resultado por ( begin frac <1> <2> end), você obtém ( begin frac <1> <8> end). Qual é o número?

Solução

Solução de Vídeo

Formar uma equação linear para a declaração do problema dada e resolvê-la levará à solução.

O que é conhecido?

(eu começo frac <1> <2> end) é subtraído de um número.

(ii) O resultado é multiplicado por ( begin frac <1> <2> end)

O que é desconhecido?

(eu começo frac <1> <2> end) é subtraído de um número ( begin a x - frac <1> <2> end)

(ii) O resultado é multiplicado por ( begin frac <1> <2> para frac <1> <2> (x - frac <1> <2>) end)


1. Se você subtrair ½ de um número e multiplicar o resultado por ½, obtém ⅛. Qual é o número?
Solução:
Seja o número x.
De acordo com a pergunta,
(x & # 8211 ½) × ½ = ⅛
x / 2 & # 8211 ¼ = ⅛
x / 2 = ⅛ + ¼
x / 2 = ⅜
x = ⅜ × 2
x = ¾

2. O perímetro de uma piscina retangular é de 154 m. Seu comprimento é 2 m a mais que o dobro de sua largura. Qual é o comprimento e a largura da piscina?
Solução:
Perímetro de uma piscina retangular = 154 m.
Deixe a largura do retângulo = x
De acordo com a pergunta,
Comprimento do retângulo = 2x + 2
Perímetro do retângulo
= 2 (comprimento + largura)
= 2 (2x +2 + x)
= 154
2 (2x +2 + x) = 154
2 (3x + 2) = 154
6x + 4 = 154
6x = 154 -4
6x = 150
x = 150/6
x = 25
Portanto, largura = 25m.
Comprimento = 2 × 25 + 2 = 52m.

3. A base de um triângulo isósceles tem 4/3 cm. O perímetro do triângulo é 4_2 / 15cm.
Qual é o comprimento de qualquer um dos lados iguais restantes?
Solução:
Base do triângulo isósceles = 4/3
Perímetro do triângulo = 4_2 / 15 cm = 62/15 cm
Deixe o comprimento de lados iguais do triângulo ser x.
De acordo com a pergunta,
4/3 + x + x = 62/15
2x = 62/15 e # 8211 4/3
2x = (62-20) / 15
2x = 42/15
x = 62/15 × ½
x = 42/30 cm
x = 7/5 cm
O comprimento de qualquer um dos lados iguais restantes é de 7/5 cm.

4. A soma de dois números é 95. Se um exceder o outro em 15, encontre os números.
Solução:
Seja um dos números = x.
Então, o outro número torna-se x + 15. De acordo com a pergunta,
x + x + 15 = 95
2x = 95 & # 8211 15
2x = 80
x = 80/2
x = 40
Primeiro número = x = 40
E outro número = x + 15 = 40 + 15 = 55.

5. Dois números estão na proporção 5: 3. Se diferirem por 18, quais são os números?
Solução:
Deixe os dois números serem 5x e 3x.
De acordo com a pergunta,
5x & # 8211 3x = 18
2x = 18
x = 18/2
x = 9
Os números são 5x = 5 × 9 = 45
E 3x = 3 × 9 = 27.

6. Três inteiros consecutivos somam 51. O que são esses inteiros?
Solução:
Sejam os três inteiros consecutivos x, x + 1, x +2.
De acordo com a pergunta,
x + x + 1 + x + 2 = 51
3x + 3 = 51
3x = 51 & # 8211 3
3x = 48
x = 48/3
x = 16
assim, os inteiros são
x = 16
x + 1 = 17
x + 2 = 18

7. A soma de três múltiplos consecutivos de 8 é 888. Encontre os múltiplos.
Solução:
Sejam os três múltiplos consecutivos de 8 8x, 8 (x + 1), 8 (x + 2).
De acordo com a pergunta,
8x + 8 (x + 1) + 8 (x + 2) = 888
8 (x + x + 1 + x + 2) = 888 (considerando 8 como comum)
8 (3x + 3) = 888
3x + 3 = 888/8
3x + 3 = 111
3x = 111 & # 8211 3 = 108
x = 108/3
x = 36
Assim, os três múltiplos consecutivos de 8 são:
8x = 8 × 36 = 288
8 (x + 1) = 8 × 37 = 296
8 (x + 2) = 8 × 38 = 304

8. Três inteiros consecutivos são tais que, quando tomados em ordem crescente e multiplicados por 2,3 e 4, respectivamente, somam 74. Encontre-os.
Solução:
Deixe que os três inteiros consecutivos sejam x, x + 1, x +2.
De acordo com a pergunta,
2x + 3 (x + 1) + 4 (x + 2) = 74
2x + 3x + 3 + 4x + 8 = 74
9x + 11 = 74
9x = 74 & # 8211 11
9x = 63
x = 63/9
x = 7
Assim, os números são:
x = 7
x + 1 = 8
x + 2 = 9

9. As idades de Rahul e Haroon estão na proporção de 5: 7. Quatro anos depois, a soma de suas idades será de 56 anos. Quais são suas idades atuais?
Solução:
Deixe as idades de Rahul e Haroon serem 5x e 7x.
De acordo com a pergunta,
5x + 4 + 7x + 4 = 56
12x + 8 = 56
12x = 56 & # 8211 8
12x = 48
x = 48/12
x = 4
Portanto,
Present age of Rahul = 5x = 5 × 4 = 20
And, Present age of Haroon = 7x = 7 × 4 = 28

10. The number of boys and girls in a class are the ratio 7:5. The number of boys is 8 more than the number of girls. What is the total class strength?
Solução:
Let the number of boys be 7x and girls be 5x.
According to the question,
7x = 5x +8
7x – 5x = 8
2x = 8
x = 8/4
x = 2
Therefore, Number of boys = 7 × 4 = 28
And, Number of girls = 5 × 4 = 20
Total number of students = 20 + 28 = 48

11. Baichung’s father is 26 years younger than Baichung’s grandfather and 29 years older than Baichung. The sum of the ages of all the three is 135 years. What is the age of each one of them?
Solução:
Let the age of Baichung’s father be x.
Then, the age of Baichung’s grandfather = x + 26.
and, Age of Baichung = x – 29.
According to the question,
x + x + 26 + x – 29 = 135
3x – 3 = 135
3x = 135 + 3
3x = 138/3
x = 46
Age of Baichung’s father = x = 46
Age of Baichung’s grandfather = x +26 = 72
Age of Baichung = x – 29 = 17

12. Fifteen years from now Ravi’s age will be four times his present age. What is Ravi’s present age?
Solução:
Let the present age of Ravi be x.
Fifteen years later, Ravi age will be x + 15years.
According to the question,
x + 15 = 4x
4x – x = 15
3x = 15
x = 15/3
x = 5
Therefore, present age of Ravi = 5 years.

13. A rational number is such that when you multiply it by 5/2 and add 2/3 to the product, you get, -7/12. What is the number?
Solução:
Let the rational number be x.
According to the question,
x × (5/2) + 2/3 = -7/12
5x/2 + 2/3 = -7/12
5x/2 = -7/12 -2/3
5x/2 = ( -7 -8)/12
5x/2 = -15/12
5x/2 = -5/4
x = (-5/4) × (2/5)
x = -10/20
x = -1/2
Therefore, the rational number is -1/2.

14. Lakshmi is a cashier in a bank. She has currency notes of denominations 100, 50 and 10, respectively. The ratio of the number of these notes is 2:3:5. The total cash with Lakshmi is 4,00,000. How many notes of each denomination does she have?
Solução:
Let the numbers to notes of Rs.100, Rs.50, Rs.10, be 2x, 3x, and 5x respectively.
Value of Rs.100 = 2x × 100 = 200x
Value of Rs.50 = 3x × 50 = 150x
Value of Rs.10 = 5x × 10 = 50x.
According to the question,
200x + 150x + 50x = 4,00,000
400x = 4,00,000
x = 4,00,000/400
x = 1000
Numbers of Rs.100 notes = 2x = 2000
Numbers of Rs.50 notes = 3x = 3000
Numbers of Rs.10 notes = 5x = 5000

15. I have a total of Rs.300 in coins of denomination Rs.1, Rs.2 and Rs.5. The number of Rs.2 coins is 3 times the number of Rs.5 coins. The total number of coins is 160. How many coins of each denomination are with me?
Solução:
Let the number of Rs.5 coins be x.
Então,
Number of Rs.2 coins = 3x
Number of Rs.1 coins = 160 – 4x
Agora,
Value of Rs.5 coins = x × 5 = 5x
Value of Rs.2 coins = 3x × 2 = 6x
Value of Rs.1 coins = (160 – 4x) × 1 = 160 -4x
According to the question,
5x +6x + 160 – 4x = 300
11x + 160 – 4x = 300
7x = 300 – 160
7x = 140
x = 140/7
x = 20
Number of Rs.5 coins = x = 20
Number of Rs.2 coins = 3x = 60
Number of Rs.1 coins = 160 – 4x = 160 -80
= 80

16. The organisers of an essay competition decide that a winner in the competition gets a prize of Rs.100 and a participant who does not win gets a prize of Rs.25. The total prize money distributed is Rs.3000. Find the number of winners, if the total number of participants is 63.
Solução:
Let the numbers of winner be x.
Then, the number of participants who didn’t win = 63 – x
Total money given to the winner = x × 100 = 100x
Total money given to participant who didn’t win = 25( 63 – x )
According to the question:
100x + 25( 63 – x ) = 3,000
100x + 1575 – 25x = 3,000
75x = 3,000 – 1575
75x = 1425
x = 1425/75
x = 19
Therefore, the number of winners are 19.


Chapter 2 Ex.2.1 Question 3

Solução

Solução de Vídeo

What is known?

What is unknown?

In an equation values of left-hand side (LHS) and right-hand side (RHS) are equal. The two sides of the equation are balanced. We perform mathematical operations so that the balance is not disturbed.

Transposing (2) to LHS we get,


NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.6

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Exercise 2.6

Solve the following equations.
Ex 2.6 Class 8 Maths Question 1.
(frac < 8x-3 > < 3x >=2)
Solução:
We have (frac < 8x-3 > < 3x >=2)
⇒ (frac < 8x-3 >< 3x >) = (frac < 2 >< 1 >)
⇒ 8x – 3 = 2 × 3x (Cross-multiplication)
⇒ 8x – 3 = 6x
⇒ 8x – 6x = 3 (Transposing 6x to LHS and 3 to RHS)
⇒ 2x = 3
⇒ x = (frac < 3 >< 2 >)

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 2.
(frac < 9x >< 7-6x >) = 15
Solução:
we have (frac < 9x >< 7-6x >) = 15
⇒ (frac < 9x >< 7-6x >) = (frac < 15 >< 1 >)
⇒ 9x = 15(7 – 6x) (Cross-multiplication)
⇒ 9x = 105 – 90x (Solving the bracket)
⇒ 9x + 90x = 105 (Transposing 90x to LHS)
⇒ 99x = 105
⇒ x = (frac < 105 >< 99 >)
⇒ x = (frac < 35 >< 33 >)

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 3.
(frac < z > < z+15 >=frac < 4 >< 9 >)
Solução:
We have (frac < z > < z+15 >=frac < 4 >< 9 >)
⇒ 9z = 4 (z + 15) (Cross-multiplication)
⇒ 9z = 4z + 60 (Solving the bracket)
⇒ 9z – 42 = 60
⇒ 5z = 60
⇒ z = 12

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 4.
(frac < 3y+4 > < 2-6y >=frac < -2 >< 5 >)
Solução:
we have (frac < 3y+4 > < 2-6y >=frac < -2 >< 5 >)
⇒ 5(3y + 4) = -2(2 – 6y) (Cross-multiplication)
⇒ 15y + 20 = -4 + 12y (Solving the bracket)
⇒ 15y – 12y = -4 – 20 (Transposing 12y to LHS and 20 to RHS)
⇒ 3y = -24 (Transposing 3 to RHS) -24
⇒ y = -8

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 5.
(frac < 7y+4 > < y+2 >=frac < -4 >< 3 >)
Solução:
we have (frac < 7y+4 > < y+2 >=frac < -4 >< 3 >)
⇒ 3(7y + 4) = -4 (y + 2) (Corss-multiplication)
⇒ 21y + 12 = -4y – 8 [Solving the bracket]
⇒ 21y + 4y = -12 – 8 [Transposing 4y to LHS and 12 to RHS]
⇒ 25y = -20 [Transposing 25 to RHS]
⇒ y = (frac < -4 >< 5 >)

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 6.
The ages of Hari and Harry are in the ratio 5 : 7. Four years from now the ratio of their ages will be 3 : 4. Find their present ages.
Solução:
Let the present ages of Hari and Harry be 5x years and 7x years respectively.
After 4 years Hari’s age will be (5x + 4) years and Harry’s age will be (7x + 4) years.
As per the conditions, we have
(frac < 5x+4 > < 7x+4 >=frac < 3 >< 4 >)
⇒ 4(5x + 4) = 3(7x + 4) (Cross-multiplication)
⇒ 20x + 16 = 21x + 12 (Solving the bracket)
⇒ 20x – 21x = 12 – 16 (Transposing 21x to LHS and 16 to RHS)
⇒ -x = -4
⇒ x = 4
Hence the present ages of Hari and Harry are 5 × 4 = 20years and 7 × 4 = 28years respectively.

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 7.
The denominator of a rational number is greater than its numerator by 8. If the numerator is increased by 17 and the denominator is decreased by 1, the number obtained is (frac < 3 >< 2 >). Find the rational number.
Solução:
Let the numerator of the rational number be x.
Denominator = (x + 8)
As per the conditions, we have

⇒ 2(x + 17) = 3(x + 7) (Cross-multiplication)
⇒ 2x + 34 = 3x + 21 (Solving the bracket)
⇒ 2x – 3x = 21 – 34 (Transposing 3x to LHS and 34 to RHS)
⇒ -x = -13
⇒ x = 13
Thus, numerator = 13
and denominator = 13 + 8 = 21
Hence the rational number is (frac < 13 >< 21 >).


Questão 1.
If you subtract (frac < 1 > < 2 >) from a number and multiply the result (frac < 1 > < 2 >) by you get (frac < 1 > < 8 >) What is the number ?
Solução.

Questão 2.
The perimeter of a rectangular swimming pool is 154 m. Its length is 2 m more than twice its breadth. What are the length and the breadth of the pool?
Solução.

Questão 3.
The base of an isosceles triangle is (frac < 4 > < 3 >)cm. The perimeter of the triangle is (4frac < 2 > < 15 >)cm. What is the length of either of the remaining equal sides ?
Solução.

Questão 4.
Sum of two numbers is 95. If one exceeds the other by 15, find the numbers.
Solução.

Questão 5.
Two numbers are in the ratio 5 :3. If they differ by 18, what are the numbers?
Solução.

Questão 6.
Three consecutive integers add up to 51. What are these integers ?
Solução.

Questão 7.
The sum of three consecutive multiples of 8 is 888. Find the multiples.
Solução.

Questão 8.
Three consecutive integers are such that when they are taken in increasing order and multiplied by 2, 3 and 4 respectively, they add up to 74. Find these numbers.
Solução.

Questão 9.
The ages of Rahul and Haroon are in the ratio 5 : 7. Four years later, the sum of their ages will be 56 years. What are their present ages ?
Solução.

Questão 10.
The numbers of boys and girls in a class are in the ratio 7 : 5. The number of boys is 8 more than the number of girls. What is the total class strength ?
Solução. .

Questão 11.
Baichung’s father is 26 years younger than Baichung’s grandfather and 29 years older than Baichung. The sum of the ages of all the three is 135 years. What is the age of each one of them ?
Solução.

Questão 12.
Fifteen years from now Ravi’s age will be four times his present age. What is Ravi’s present age ?
Solução.

Questão 13.
A rational number is such that when you multiply it by (frac < 5 > < 2 >) and add (frac < 2 > < 3 >) to the product, you get(-frac < 7 > < 12 >). What is the number ?
Solução.

Questão 14.
Lakshmi is a cashier in a bank. She has currency notes of denominations ₹ 100, ₹ 50 and ₹ 10, respectively. The ratio of the number of these notes is 2 : 3 : 5. The total cash with Lakshmi is ₹ 4,00,000. How many notes of each denomination does she have ?
Solução.

Questão 15.
I have a total of oft 300 in coins of denomination ₹ 1, ₹ 2 and ₹ 5. The number of ₹ 2 coins is 3 times the number of ₹ 5 coins. The total number of coins is 160. How many coins of each denomination are with me ?
Solução.

Hence, I have 80, 60, and 20 coins of denomination ₹ 1, ₹ 2 and ₹ 5 respectively.

Questão 16.
The organizers of an essay competition decide that a winner in the competition gets a prize of ₹ 100 and a participant who does not win gets a prize of ₹ 25. The total prize money distributed is ₹ 3,000. Find the number of winners, if the total number of participants is 63.
Solução.

We hope the NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.2 help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.2, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


2.2: Linear Equations in One Variable

Let the number be ‘a’.

According to the question,

(a – 1/2) × 1/2 = 1/8

a/2 – 1/4 = 1/8



a/2 = 1/8 + 1/4

a/2 = 1/8 + 2/8

a/2 = (1 + 2)/8

a/2 = 3/8

a = (3/8) × 2

So,

a = 3/4

Question 2. The perimeter of a rectangular swimming pool is 154 m. Its length is 2 m more than twice its breadth. What are the length and breadth of the pool?

Given that,

Perimeter of rectangular swimming pool = 154 m

Let the breadth of rectangle be ‘a’

Length of the rectangle = 2a + 2 We know that,

Perimeter = 2 × (length + breadth)

So,

2(2a + 2 + a) = 154

2(3a + 2) = 154

3a + 2 = 154/2

3a = 77 – 2



3a = 75

a = 75/3

a = 25

Therefore, Breadth = 25 m

Length = 2a + 2

= (2 × 25) + 2

= 50 + 2

Length = 52 m

Question 3. The base of an isosceles triangle is 4/3 cm. The perimeter of the triangle is 62/15 cm. What is the length of either of the remaining equal sides?

Base of isosceles triangle = 4/3 cm

Perimeter of triangle = 62/15

Let the length of equal sides of triangle be ‘a’.

So,

2a = (62/15 – 4/3)

2a = (62 – 20)/15

2a = 42/15

a = (42/30) × (1/2)

a = 42/30

a = 7/5

So, length of either of the remaining equal sides are 7/5 cm each.


Question 4. Sum of two numbers is 95. If one exceeds the other by 15, find the numbers.

Let one of the numbers be ‘a’.

Then, the other number becomes (a + 15) Given in the question,

Also given that,

a + (a + 15) = 95

2a + 15 = 95

2a = 95 – 15

2a = 80

a = 80/2

a = 40

So, First number = 40

And, other number is = (a + 15) = 40 + 15 = 55

Question 5. Two numbers are in the ratio 5 : 3. If they differ by 18, what are the numbers?

Let the two numbers be 𔃵a’ and 𔃳a’. So, according to the question,

5a – 3a = 18

2a = 18

a = 18/2

a = 19

Desse modo,

The first numbers is (5a) = 5 × 9 = 45

And another number (3a) = 3 × 9 = 27.

Question 6. Three consecutive integers add up to 51. What are these integers?

Let the three consecutive integers be ‘a’, ‘a + 1’ and ‘a + 2’. So, according to the question,

a + (a + 1) + (a + 2) = 51

3a + 3 = 51

3a = 51 – 3

3a = 48

a = 48/3

a = 16

So, the integers are



First integer will be (a) = 16

Second integer will be (a + 1) = 17

& third integer will be (a + 2) = 18

Question 7. The sum of three consecutive multiples of 8 is 888. Find the multiples.

Let the three consecutive multiples of 8 be 𔃸a’, 𔃸(a+1)’ and 𔃸(a+2)’. According to the question,

Given,

8a + 8(a + 1) + 8(a + 2) = 888

8 (a + a + 1 + a + 2) = 888 (Taking 8 as common)

8 (3a + 3) = 888

3a + 3 = 888/8

3a + 3 = 111

3a = 111 – 3

3a = 108

a = 108/3

a = 36

Thus, the three consecutive multiples of 8 are:

First no. = 8a = 8 × 36 = 288

Second no. = 8(a + 1) = 8 × (36 + 1) = 8 × 37 = 296

Third No. = 8(a + 2) = 8 × (36 + 2) = 8 × 38 = 304

Question 8. Three consecutive integers are such that when they are taken in increasing order and multiplied by 2, 3 and 4 respectively, they add up to 74. Find these numbers.

Let the three consecutive integers are ‘a’, ‘a+1’ and ‘a+2’. According to the question,

Given,

2a + 3(a + 1) + 4(a + 2) = 74

2a + 3a +3 + 4a + 8 = 74

9a + 11 = 74

9a = 74 – 11

9a = 63

a = 63/9

a = 7

Thus, the numbers are:

First integer. = a = 7

Second integer = a + 1 = 8

and Third integer = a + 2 = 9

Question 9. The ages of Rahul and Haroon are in the ratio 5:7. Four years later the sum of their ages will be 56 years. What are their present ages?

Let the ages of Rahul and Haroon be 𔃵a’ and 𔃷a’.

Four years later,

The ages of Rahul and Haroon will be (5a + 4) and (7a + 4) respectively. According to the question,

Given, (5a + 4) + (7a + 4) = 56

5a + 4 + 7a + 4 = 56

12a + 8 = 56



12a = 56 – 8

12a = 48

a = 48/12

a = 4

Therefore, Present age of Rahul = 5a = 5 × 4 = 20

And, present age of Haroon = 7a = 7 × 4 = 28

Question 10. The number of boys and girls in a class are in the ratio 7:5. The number of boys is 8 more than the number of girls. What is the total class strength?

Let the number of boys be 𔃷a’ and girls be 𔃵a’.

According to the question,

Given, 7a = 5a + 8

7a – 5a = 8

2a = 8

a = 8/2

a = 4

Therefore, Number of boys = 7 × 4 = 28

And, Number of girls = 5 × 4 = 20

Total number of students = 20 + 28 = 48

Question 11. Baichung’s father is 26 years younger than Baichung’s grandfather and 29 years older than Baichung. The sum of the ages of all the three is 135 years. What is the age of each one of them?

Let age of Baichung’s father be ‘a’.

Then, age of Baichung’s grandfather = (a + 26)

and, Age of Baichung = (a – 29) According to the question,

Given, a + (a + 26) + (a – 29) = 135

3a + 26 – 29 = 135

3a – 3 = 135

3a = 135 + 3

3a = 138

a = 138/3

a = 46

Age of Baichung’s father = a = 46

Age of Baichung’s grandfather = (a + 26) = 46 + 26 = 72

Age of Baichung = (a – 29) = 46 – 29 = 17

Question 12. Fifteen years from now Ravi’s age will be four times his present age. What is Ravi’s present age?

Let the present age of Ravi be ‘a’.

Fifteen years later, Ravi age will be (a+15) years. According to the question,

Given, a + 15 = 4a

4a – a = 15

3a = 15

a = 15/3

a = 5

Therefore, Present age of Ravi = 5 years.

Question 13. A rational number is such that when you multiply it by 5/2 and add 2/3 to the product, you get -7/12. What is the number?

Let the rational be ‘a’.

According to the question,

Given, a × (5/2) + 2/3 = -7/12

5(a/2) + 2/3 = -7/12

5(a/2) = -7/12 – 2/3

5(a/2) = (-7- 8)/12

5(a/2) = -15/12

5a/2 = -5/4

a = (-5/4) × (2/5)



a = – 10/20

a = -1/2

Therefore, the rational number will be -1/2.

Question 14. Lakshmi is a cashier in a bank. She has currency notes of denominations ₹100, ₹50 and ₹10, respectively. The ratio of the number of these notes is 2:3:5. The total cash with Lakshmi is ₹4,00,000. How many notes of each denomination does she have?

Let the numbers of notes of ₹100, ₹50 and ₹10 be 𔃲a’ , 𔃳a’ and 𔃵a’ respectively.

Value of ₹100 = 2a × 100 = 200a

Value of ₹50 = 3a × 50 = 150a

Value of ₹10 = 5a × 10 = 50a According to the question,

Given, 200a + 150a + 50a = 400000

400a = 400000

a = 400000/400

a = 1000

Numbers of ₹100 notes = 2a = 2000

Numbers of ₹50 notes = 3a = 3000

Numbers of ₹10 notes = 5a = 5000

Question 15. I have a total of ₹300 in coins of denomination ₹1, ₹2 and ₹5. The number of ₹2 coins is 3 times the number of ₹5 coins. The total number of coins is 160. How many coins of each denomination are with me?

Let number of ₹5 coins be ‘a’.

Então,

Number ₹2 coins = 3a

and, number of ₹1 coins = (160 – 4a) Now,

Value of ₹5 coins= a × 5 = 5a

Value of ₹2 coins = 3a × 2 = 6a

Value of ₹1 coins = (160 – 4a) × 1 = (160 – 4a)

According to the question,

Given, 5a + 6a + (160 – 4a) = 300

11a + 160 – 4a = 300

7a = 140

a = 140/7

a = 20

Number of ₹5 coins = a = 20

Number of ₹2 coins = 3a = 60

Number of ₹1 coins = (160 – 4a) = 160 – 80 = 80

Question 16. The organizers of an essay competition decide that a winner in the competition gets a prize of ₹100 and a participant who does not win gets a prize of ₹25. The total prize money distributed is ₹3,000. Find the number of winners, if the total number of participants is 63.

Let the numbers of winner be ‘a’

Then, the number of participant who didn’t win will be (63 – a)

Total money given to the winner = a × 100 = 100a

Total money given to participant who didn’t win = 25 × (63 – a)

According to the question,

Given, 100a + 25 × (63 – a) = 3000

100a + 1575 – 25a = 3000

75a = 3000 – 1575

75a = 1425

a = 1425/75

a = 19

So, the number of winners are 19.


Solve the following equations:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 1.

Solução:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 2.

Solução:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 3.

Solução:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 4.

Solução:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 5.

Solução:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 6.
The ages ofHari and Harry are in the ratio 5: 7. Four years from now the ratio of their ages will be 3 :4. Find their present ages.
Solução.
Let the present ages of Hari and Harry be 5x years and 7x years respectively.

∴ Present age of Hari =5 x 4 years = 20 years
∴ Present age of Harry =7 x 4 years = 28 years.

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 7.
The denominator of a rational number is greater than its numerator by 8. If the numerator is increased by 17 and the denominator is decreased by 1, the number obtained is . Find the rational number.
Solução.
Let the numerator of the rational number be x. Then, the denominator of the rational number = x + 8.
∴ The rational number =
If the numerator is increased by 17 and the denominator is decreased by 1, the number becomes .

Hence, the required rational number = .

We hope the NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.6 help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.6, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.3

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Exercise 2.3

Solve the following equations and check your results.
Ex 2.3 Class 8 Maths Question 1.
3x = 2x + 18
Solução:
We have 3x = 2x + 18
⇒ 3x – 2x = 18 (Transposing 2x to LHS)
⇒ x = 18
Hence, x = 18 is the required solution.
Check: 3x = 2x + 18
Putting x = 18, we have
LHS = 3 × 18 = 54
RHS = 2 × 18 + 18 = 36 + 18 = 54
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 2.
5t – 3 = 3t – 5
Solução:
We have 5t – 3 = 3t – 5
⇒ 5t – 3t – 3 = -5 (Transposing 3t to LHS)
⇒ 2t = -5 + 3 (Transposing -3 to RHS)
⇒ 2t = -2
⇒ t = -2 ÷ 2
⇒ t = -1
Hence t = -1 is the required solution.
Check: 5t – 3 = 3t – 5
Putting t = -1, we have
LHS = 5t – 3 = 5 × (-1)-3 = -5 – 3 = -8
RHS = 3t – 5 = 3 × (-1) – 5 = -3 – 5 = -8
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 3.
5x + 9 = 5 + 3x
Solução:
We have 5x + 9 = 5 + 3x
⇒ 5x – 3x + 9 = 5 (Transposing 3x to LHS) => 2x + 9 = 5
⇒ 2x = 5 – 9 (Transposing 9 to RHS)
⇒ 2x = -4
⇒ x = -4 ÷ 2 = -2
Hence x = -2 is the required solution.
Check: 5x + 9 = 5 + 3x
Putting x = -2, we have
LHS = 5 × (-2) + 9 = -10 + 9 = -1
RHS = 5 + 3 × (-2) = 5 – 6 = -1
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 4.
4z + 3 = 6 + 2z
Solução:
We have 4z + 3 = 6 + 2z
⇒ 4z – 2z + 3 = 6 (Transposing 2z to LHS)
⇒ 2z + 3 = 6
⇒ 2z = 6 – 3 (Transposing 3 to RHS)
⇒ 2z = 3
⇒ z = (frac < 3 >< 2 >)
Hence z = (frac < 3 >< 2 >) is the required solution.
Check: 4z + 3 = 6 + 2z
Putting z = (frac < 3 >< 2 >), we have
LHS = 4z + 3 = 4 × (frac < 3 >< 2 >) + 3 = 6 + 3 = 9
RHS = 6 + 2z = 6 + 2 × (frac < 3 >< 2 >) = 6 + 3 = 9
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 5.
2x – 1 = 14 – x
Solução:
We have 2x – 1 = 14 – x
⇒ 2x + x = 14 + 1 (Transposing x to LHS and 1 to RHS)
⇒ 3x = 15
⇒ x = 15 ÷ 3 = 5
Hence x = 5 is the required solution.
Check: 2x – 1 = 14 – x
Putting x = 5
LHS we have 2x – 1 = 2 × 5 – 1 = 10 – 1 = 9
RHS = 14 – x = 14 – 5 = 9
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 6.
8x + 4 = 3(x – 1) + 7
Solução:
We have 8x + 4 = 3(x – 1) + 7
⇒ 8x + 4 = 3x – 3 + 7 (Solving the bracket)
⇒ 8x + 4 = 3x + 4
⇒ 8x – 3x = 4 – 4 [Transposing 3x to LHS and 4 to RHS]
⇒ 5x = 0
⇒ x = 0 ÷ 5 [Transposing 5 to RHS]
or x = 0
Thus x = 0 is the required solution.
Check: 8x + 4 = 3(x – 1) + 7
Putting x = 0, we have
8 × 0 + 4 = 3(0 – 1) + 7
⇒ 0 + 4 = -3 + 7
⇒ 4 = 4
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 7.
x = (frac < 4 >< 5 >) (x + 10)
Solução:
We have x = (frac < 4 >< 5 >) (x + 10)
⇒ 5 × x = 4(x + 10) (Transposing 5 to LHS)
⇒ 5x = 4x + 40 (Solving the bracket)
⇒ 5x – 4x = 40 (Transposing 4x to LHS)
⇒ x = 40
Thus x = 40 is the required solution.
Check: x = (frac < 4 >< 5 >) (x + 10)
Putting x = 40, we have
40 = (frac < 4 >< 5 >) (40 + 10)
⇒ 40 = (frac < 4 >< 5 >) × 50
⇒ 40 = 4 × 10
⇒ 40 = 40
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 8.
(frac < 2x >< 3 >) + 1 = (frac < 7x >< 15 >) + 3
Solução:
We have (frac < 2x >< 3 >) + 1 = (frac < 7x >< 15 >) + 3
15((frac < 2x >< 3 >) + 1) = 15((frac < 7x >< 15 >) + 3)
LCM of 3 and 15 is 15
(frac < 2x >< 3 >) × 15 + 1 × 15 = (frac < 7x >< 15 >) × 15 + 3 × 15 [Multiplying both sides by 15]
⇒ 2x × 5 + 15 = 7x + 45
⇒ 10x + 15 = 7x + 45
⇒ 10x – 7x = 45 – 15 (Transposing 7x to LHS and 15 to RHS)
⇒ 3x = 30
⇒ x = 30 ÷ 3 = 10 (Transposing 3 to RHS)
Thus the required solution is x = 10

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 9.
2y + (frac < 5 >< 3 >) = (frac < 26 >< 3 >) – y
Solução:

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 10.
3m = 5m – (frac < 8 >< 5 >)
Solução:
Nós temos


Assista o vídeo: Rápido e Fácil. Sistemas Lineares 2x2. Exercícios (Outubro 2021).