Artigos

3.4: Taxas de mudança e comportamento dos gráficos


objetivos de aprendizado

  • Encontre a taxa média de mudança de uma função.
  • Use um gráfico para determinar onde uma função está aumentando, diminuindo ou constante.
  • Use um gráfico para localizar máximos e mínimos locais.
  • Use um gráfico para localizar o máximo absoluto e o mínimo absoluto.

Os custos da gasolina sofreram algumas flutuações violentas nas últimas décadas. A tabela ( PageIndex {1} ) lista o custo médio, em dólares, de um galão de gasolina para os anos de 2005-2012. O custo da gasolina pode ser considerado em função do ano.

Tabela ( PageIndex {1} )
(y )20052006200720082009201020112012
(C (y) )2.312.622.843.302.412.843.583.68

Se estivéssemos interessados ​​apenas em como os preços da gasolina mudaram entre 2005 e 2012, poderíamos calcular que o custo por galão aumentou de $ 2,31 para $ 3,68, um aumento de $ 1,37. Embora isso seja interessante, pode ser mais útil observar o quanto o preço mudou por ano. Nesta seção, investigaremos mudanças como essas.

Encontrando a Taxa Média de Mudança de uma Função

A mudança de preço por ano é um taxa de variação porque descreve como uma quantidade de saída muda em relação à mudança na quantidade de entrada. Podemos ver que o preço da gasolina na Tabela ( PageIndex {1} ) não mudou na mesma quantidade a cada ano, então a taxa de mudança não foi constante. Se usarmos apenas os dados iniciais e finais, estaremos encontrando o taxa média de mudança durante o período de tempo especificado. Para encontrar a taxa média de mudança, dividimos a mudança no valor de saída pela mudança no valor de entrada.

[ begin {align *} text {Taxa média de mudança} & = dfrac { text {Mudança na saída}} { text {Mudança na entrada}} [4pt] & = dfrac { Delta y} { Delta x} [4pt] & = dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} [4pt] & = dfrac {f (x_2) -f (x_1)} {x_2-x_1 } end {align *} label {1.3.1} ]

A letra grega ( Delta ) (delta) significa a mudança em uma quantidade; lemos a proporção como “delta - (y ) sobre delta - (x )” ou “a mudança em (y ) dividida pela mudança em (x )”. Ocasionalmente, escrevemos ( Delta f ) em vez de ( Delta y ), que ainda representa a mudança no valor de saída da função resultante de uma mudança em seu valor de entrada. Isso não significa que estejamos mudando a função para outra função.

Em nosso exemplo, o preço da gasolina aumentou US $ 1,37 de 2005 a 2012. Em 7 anos, a taxa média de mudança foi

[ dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {$ 1,37} {7 text {years}} approx text {0,196 dólares por ano.} label {1.3.2} ]

Em média, o preço do gás aumentou cerca de 19,6 ¢ por ano. Outros exemplos de taxas de mudança incluem:

  • Uma população de ratos aumentando em 40 ratos por semana
  • Um carro viajando 68 milhas por hora (a distância percorrida muda em 110 milhas a cada hora com o passar do tempo)
  • Um carro dirigindo 27 milhas por galão (a distância percorrida muda em 27 milhas para cada galão)
  • A corrente através de um circuito elétrico aumentando em 0,125 amperes para cada volt de aumento de tensão
  • A quantidade de dinheiro em uma conta de faculdade diminuindo em US $ 4.000 por trimestre

Definição: Taxa de Mudança

UMA taxa de variação descreve como uma quantidade de saída muda em relação à mudança na quantidade de entrada. As unidades em uma taxa de mudança são "unidades de saída por unidades de entrada".

A taxa média de mudança entre dois valores de entrada é a mudança total dos valores da função (valores de saída) dividida pela mudança nos valores de entrada.

[ dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {f (x_2) -f (x_1)} {x_2-x_1} ]

Como...

Dado o valor de uma função em pontos diferentes, calcule a taxa média de mudança de uma função para o intervalo entre dois valores (x_1 ) e (x_2 ).

  1. Calcule a diferença (y_2 − y_1 = Delta y ).
  2. Calcule a diferença (x_2 − x_1 = Delta x ).
  3. Encontre a proporção ( dfrac { Delta y} { Delta x} ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Calculando uma taxa média de mudança

Usando os dados da Tabela ( PageIndex {1} ), encontre a taxa de variação média do preço da gasolina entre 2007 e 2009.

Solução

Em 2007, o preço da gasolina era de US $ 2,84. Em 2009, o custo foi de US $ 2,41. A taxa média de mudança é

[ begin {align *} dfrac { Delta y} { Delta x} & = dfrac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} [4pt] & = dfrac {$ 2,41− $ 2,84} {2009 −2007} [4pt] & = dfrac {- $ 0,43} {2 text {years}} [4pt] & = - $ 0,22 text {por ano} end {align *} ]

Análise

Observe que uma diminuição é expressa por uma mudança negativa ou "aumento negativo". Uma taxa de mudança é negativa quando a saída diminui conforme a entrada aumenta ou quando a saída aumenta conforme a entrada diminui.

Exercício ( PageIndex {1} )

Usando os dados da Tabela ( PageIndex {1} ), encontre a taxa média de mudança entre 2005 e 2010.

Solução

( dfrac {$ 2,84− $ 2,315} {5 text {years}} = dfrac {$ 0,535} {5 text {years}} = $ 0,106 text {por ano.} )

Exemplo ( PageIndex {2} ): Calculando a taxa média de mudança de um gráfico

Dada a função (g (t) ) mostrada na Figura ( PageIndex {1} ), encontre a taxa média de mudança no intervalo ([- 1,2] ).

Solução

Em (t = −1 ), a Figura ( PageIndex {2} ) mostra (g (−1) = 4 ). Em (t = 2 ), o gráfico mostra (g (2) = 1 ).

A mudança horizontal ( Delta t = 3 ) é mostrada pela seta vermelha, e a mudança vertical ( Delta g (t) = - 3 ) é mostrada pela seta turquesa. A saída muda em -3, enquanto a entrada muda em 3, dando uma taxa média de mudança de

[ dfrac {1−4} {2 - (- 1)} = dfrac {−3} {3} = - 1 ]

Análise

Observe que a ordem que escolhemos é muito importante. Se, por exemplo, usarmos ( dfrac {y_2 − y_1} {x_1 − x_2} ), não obteremos a resposta correta. Decida qual ponto será 1 e qual ponto será 2 e mantenha as coordenadas fixas como ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Calculando a taxa média de mudança de uma tabela

Depois de pegar um amigo que mora a 16 quilômetros de distância, Anna registra sua distância de casa ao longo do tempo. Os valores são mostrados na Tabela ( PageIndex {2} ). Encontre sua velocidade média nas primeiras 6 horas.

Tabela ( PageIndex {2} )

t (horas)

01234567
D (t) (milhas)105590153214240282300

Solução

Aqui, a velocidade média é a taxa média de mudança. Ela viajou 282 milhas em 6 horas, para uma velocidade média de

[ begin {align *} dfrac {282−10} {6−0} & = dfrac {272} {6} [4pt] & approx 45.3 end {align *} ]

A velocidade média é de cerca de 45,3 milhas por hora.

Análise

Como a velocidade não é constante, a velocidade média depende do intervalo escolhido. Para o intervalo ([2,3] ), a velocidade média é de 63 milhas por hora.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Calculando a taxa média de mudança para uma função expressa como uma fórmula

Calcule a taxa média de mudança de (f (x) = x ^ 2− frac {1} {x} ) no intervalo ([2, 4] ).

Solução

Podemos começar calculando os valores da função em cada ponto final do intervalo.

[ begin {align *} f (2) & = 2 ^ 2− frac {1} {2} f (4) & = 4 ^ 2− frac {1} {4} [4pt] & = 4− frac {1} {2} & = 16− frac {1} {4} [4pt] & = 72 & = frac {63} {4} end {align *} ]

Agora calculamos a taxa média de mudança.

[ begin {align *} text {Taxa média de mudança} & = dfrac {f (4) −f (2)} {4−2} [4pt] & = dfrac { frac {63 } {4} - frac {7} {2}} {4-2} [4pt] & = dfrac { frac {49} {4}} {2} [4pt] & = dfrac {49} {8} end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre a taxa média de mudança de (f (x) = x − 2 sqrt {x} ) no intervalo ([1, 9] ).

Solução

( frac {1} {2} )

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontrando a taxa média de variação de uma força

A força eletrostática (F ), medida em newtons, entre duas partículas carregadas pode ser relacionada à distância entre as partículas (d ), em centímetros, pela fórmula (F (d) = frac {2} {d ^ 2} ). Encontre a taxa média de variação da força se a distância entre as partículas for aumentada de 2 cm para 6 cm.

Solução

Estamos calculando a taxa média de variação de (F (d) = dfrac {2} {d ^ 2} ) no intervalo ([2,6] ).

[ begin {align *} text {Taxa média de mudança} & = dfrac {F (6) −F (2)} {6−2} [4pt] & = dfrac { frac {2 } {6 ^ 2} - frac {2} {2 ^ 2}} {6-2} & text {Simplifique} [4pt] & = dfrac { frac {2} {36} - frac {2} {4}} {4} [4pt] & = dfrac {- frac {16} {36}} {4} & text {Combine os termos do numerador.} [4pt] & = - dfrac {1} {9} & text {Simplificar} end {alinhar *} ]

A taxa média de mudança é (- frac {1} {9} ) newtons por centímetro.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando uma taxa média de mudança como uma expressão

Encontre a taxa média de mudança de (g (t) = t ^ 2 + 3t + 1 ) no intervalo ([0, a] ). A resposta será uma expressão envolvendo (a ).

Solução

Usamos a fórmula da taxa média de variação.

( begin {align *} text {Taxa média de mudança} & = dfrac {g (a) −g (0)} {a − 0} & text {Avaliar.} [4pt] & = dfrac {(a ^ 2 + 3a + 1) - (0 ^ 2 + 3 (0) +1)} {a − 0} & text {Simplifique.} [4pt] & = dfrac {a ^ 2 + 3a + 1−1} {a} & text {Simplifique e fatorie.} [4pt] & = dfrac {a (a + 3)} {a} & text {Divida pelo fator comum a .} [4pt] & = a + 3 end {align *} )

Este resultado nos diz a taxa média de mudança em termos de a entre (t = 0 ) e qualquer outro ponto (t = a ). Por exemplo, no intervalo ([0,5] ), a taxa média de mudança seria (5 + 3 = 8 ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre a taxa média de mudança de (f (x) = x ^ 2 + 2x − 8 ) no intervalo ([5, a] ).

Solução

(a + 7 )

Usando um gráfico para determinar onde uma função está aumentando, diminuindo ou constante

Como parte da exploração de como as funções mudam, podemos identificar intervalos durante os quais a função muda de maneiras específicas. Dizemos que uma função está aumentando em um intervalo se os valores da função aumentam à medida que os valores de entrada aumentam dentro desse intervalo. Da mesma forma, uma função está diminuindo em um intervalo se os valores da função diminuem à medida que os valores de entrada aumentam nesse intervalo. A taxa média de mudança de uma função crescente é positiva e a taxa média de mudança de uma função decrescente é negativa. A Figura ( PageIndex {3} ) mostra exemplos de intervalos crescentes e decrescentes em uma função.

Embora algumas funções estejam aumentando (ou diminuindo) em todo o seu domínio, muitas outras não. Um valor da entrada onde uma função muda de crescente para decrescente (conforme vamos da esquerda para a direita, isto é, conforme a variável de entrada aumenta) é chamado de máximo local. Se uma função tiver mais de uma, dizemos que ela tem máximos locais. Da mesma forma, um valor da entrada onde uma função muda de decrescente para crescente conforme a variável de entrada aumenta é chamado de mínimo local. A forma plural é “mínimos locais”. Juntos, máximos e mínimos locais são chamados extremo local, ou valores extremos locais, da função. (A forma singular é “extremum”.) Freqüentemente, o termo local é substituído pelo termo relativo. Neste texto, usaremos o termo local.

Claramente, uma função não aumenta nem diminui em um intervalo em que é constante. Uma função também não aumenta nem diminui nos extremos. Observe que temos que falar de extremos locais, porque qualquer extremo local dado, conforme definido aqui, não é necessariamente o máximo mais alto ou o mínimo mais baixo em todo o domínio da função.

Para a função cujo gráfico é mostrado na Figura ( PageIndex {4} ), o máximo local é 16 e ocorre em (x = −2 ). O mínimo local é −16 e ocorre em (x = 2 ).

Para localizar os máximos e mínimos locais de um gráfico, precisamos observar o gráfico para determinar onde o gráfico atinge seus pontos mais alto e mais baixo, respectivamente, dentro de um intervalo aberto. Como o cume de uma montanha-russa, o gráfico de uma função é mais alto em um máximo local do que em pontos próximos em ambos os lados. O gráfico também será menor em um mínimo local do que em pontos vizinhos. A figura ( PageIndex {5} ) ilustra essas idéias para um máximo local.

Essas observações nos levam a uma definição formal de extremos locais.

Mínimos Locais e Máximos Locais

  • Uma função (f ) é um função crescente em um intervalo aberto se (f (b)> f (a) ) para cada intervalo (a ), (b ) onde (b> a ).
  • Uma função (f ) é um função decrescente em um intervalo aberto se (f (b) a ).

Uma função (f ) tem um máximo local em um ponto (b ) em um intervalo aberto ((a, c) ) se (f (b) ) for maior ou igual a (f (x) ) para cada ponto (x ) ( (x ) não é igual a (b )) no intervalo. Da mesma forma, (f ) tem um mínimo local em um ponto (b ) em ((a, c) ) se (f (b) ) for menor ou igual a (f (x) ) para cada (x ) ( (x ) não é igual a (b )) no intervalo.

Exemplo ( PageIndex {7} ) Encontrando intervalos crescentes e decrescentes em um gráfico

Dada a função (p (t) ) na Figura ( PageIndex {6} ), identifique os intervalos nos quais a função parece estar aumentando.

Solução

Vemos que a função não é constante em nenhum intervalo. A função está aumentando onde inclina para cima conforme movemos para a direita e diminuindo onde inclina para baixo conforme movemos para a direita. A função parece estar aumentando de (t = 1 ) para (t = 3 ) e de (t = 4 ) em diante.

Na notação de intervalo, diríamos que a função parece estar aumentando no intervalo ((1,3) ) e no intervalo ((4, infty) ).

Análise

Observe neste exemplo que usamos intervalos abertos (intervalos que não incluem os pontos finais), porque a função não está aumentando nem diminuindo em (t = 1 ), (t = 3 ) e (t = 4 ). Esses pontos são os extremos locais (dois mínimos e um máximo).

Exemplo ( PageIndex {8} ): Encontrando Extrema Local de um Gráfico

Represente graficamente a função (f (x) = frac {2} {x} + frac {x} {3} ). Em seguida, use o gráfico para estimar os extremos locais da função e para determinar os intervalos nos quais a função está aumentando.

Solução

Usando a tecnologia, descobrimos que o gráfico da função se parece com o da Figura ( PageIndex {7} ). Parece que há um ponto baixo, ou mínimo local, entre (x = 2 ) e (x = 3 ), e um ponto alto de imagem espelhada, ou máximo local, em algum lugar entre (x = −3 ) e (x = −2 )

.

Análise

A maioria das calculadoras gráficas e utilitários gráficos podem estimar a localização de máximos e mínimos. A Figura ( PageIndex {8} ) fornece imagens de tela de duas tecnologias diferentes, mostrando a estimativa para o máximo e mínimo locais.

Com base nessas estimativas, a função está aumentando no intervalo ((- infty, −2.449) ) e ((2.449, infty) ). Observe que, embora esperemos que os extremos sejam simétricos, as duas tecnologias diferentes concordam apenas até quatro decimais devido aos diferentes algoritmos de aproximação usados ​​por cada uma. (A localização exata dos extremos é em ( pm sqrt {6} ), mas determinar isso requer cálculo.)

Exercício ( PageIndex {8} )

Represente graficamente a função (f (x) = x ^ 3−6x ^ 2−15x + 20 ) para estimar os extremos locais da função. Use-os para determinar os intervalos nos quais a função está aumentando e diminuindo.

Solução

O máximo local parece ocorrer em ((- 1,28) ), e o mínimo local ocorre em ((5, -80) ). A função está aumentando em ((- infty, −1) cup (5, infty) ) e diminuindo em ((- 1,5) ).

Gráfico de um polinômio com um máximo local em (-1, 28) e mínimo local em (5, -80).

Exemplo ( PageIndex {9} ): Encontrando Máximos e Mínimos Locais de um Gráfico

Para a função f cujo gráfico é mostrado na Figura ( PageIndex {9} ), encontre todos os máximos e mínimos locais.

Solução

Observe o gráfico de (f ). O gráfico atinge um máximo local em (x = 1 ) porque é o ponto mais alto em um intervalo aberto em torno de (x = 1 ). O máximo local é a coordenada y em (x = 1 ), que é 2.

O gráfico atinge um mínimo local em (x = −1 ) porque é o ponto mais baixo em um intervalo aberto em torno de (x = −1 ). O mínimo local é a coordenada y em (x = −1 ), que é −2.

Voltaremos agora às funções do nosso kit de ferramentas e discutiremos seu comportamento gráfico na Figura ( PageIndex {10} ), Figura ( PageIndex {11} ) e Figura ( PageIndex {12} ).

.


Figura ( PageIndex {12} )

Use um gráfico para localizar o máximo absoluto e o mínimo absoluto

Há uma diferença entre localizar os pontos mais altos e mais baixos em um gráfico em uma região ao redor de um intervalo aberto (localmente) e localizar os pontos mais altos e mais baixos no gráfico para todo o domínio. As coordenadas y (saída) nos pontos mais altos e mais baixos são chamadas de máximo absoluto e mínimo absoluto, respectivamente. Para localizar máximos e mínimos absolutos de um gráfico, precisamos observar o gráfico para determinar onde o gráfico atinge seus pontos mais altos e mais baixos no domínio da função (Figura ( PageIndex {13} )).

Nem toda função tem um valor máximo ou mínimo absoluto. A função do kit de ferramentas (f (x) = x ^ 3 ) é uma dessas funções.

Máximos e mínimos absolutos

  • O máximo absoluto de (f ) em (x = c ) é (f (c) ) onde (f (c) ≥f (x) ) para todos (x ) no domínio de ( f ).
  • O mínimo absoluto de (f ) em (x = d ) é (f (d) ) onde (f (d) ≤f (x) ) para todos (x ) no domínio de ( f ).

Exemplo ( PageIndex {10} ): Encontrando Máximos e Mínimos Absolutos de um Gráfico

Para a função f mostrada na Figura ( PageIndex {14} ), encontre todos os máximos e mínimos absolutos.

Solução

Observe o gráfico de (f ). O gráfico atinge um máximo absoluto em duas localizações, (x = −2 ) e (x = 2 ), porque nessas localizações o gráfico atinge seu ponto mais alto no domínio da função. O máximo absoluto é a coordenada y em (x = −2 ) e (x = 2 ), que é 16.

O gráfico atinge um mínimo absoluto em x = 3, porque é o ponto mais baixo no domínio do gráfico da função. O mínimo absoluto é a coordenada y em x = 3, que é − 10.

Equações Chave

  • Taxa média de mudança: ( dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {f (x_2) -f (x_1)} {x_2-x_1} )

Conceitos chave

  • Uma taxa de mudança relaciona uma mudança em uma quantidade de saída a uma mudança em uma quantidade de entrada. A taxa média de mudança é determinada usando apenas os dados iniciais e finais. Consultar exemplo.
  • A identificação de pontos que marcam o intervalo em um gráfico pode ser usada para encontrar a taxa média de mudança. Consultar exemplo.
  • Comparar pares de valores de entrada e saída em uma tabela também pode ser usado para encontrar a taxa média de mudança. Consultar exemplo.
  • Uma taxa média de mudança também pode ser calculada determinando os valores da função nos pontos finais de um intervalo descrito por uma fórmula. Veja Exemplo e Exemplo.
  • A taxa média de mudança às vezes pode ser determinada como uma expressão. Consultar exemplo.
  • Uma função está aumentando onde sua taxa de variação é positiva e diminuindo onde sua taxa de variação é negativa. Consultar exemplo.
  • Um máximo local é quando uma função muda de crescente para decrescente e tem um valor de saída maior (mais positivo ou menos negativo) do que os valores de saída em valores de entrada vizinhos.
  • Um mínimo local é onde a função muda de decrescente para crescente (conforme a entrada aumenta) e tem um valor de saída menor (mais negativo ou menos positivo) do que os valores de saída em valores de entrada vizinhos.
  • Mínimos e máximos também são chamados de extremos.
  • Podemos encontrar extremos locais em um gráfico. Veja Exemplo e Exemplo.
  • Os pontos mais alto e mais baixo em um gráfico indicam os máximos e os mínimos. Consultar exemplo.

6.2.3.4: A Lei de Arrhenius - Plotagens de Arrhenius

Em 1889, Svante Arrhenius propôs a equação de Arrhenius a partir de suas observações diretas dos gráficos de constantes de taxa vs. temperaturas:

A energia de ativação, Euma, é a energia mínima que as moléculas devem possuir para reagir e formar um produto. A inclinação do gráfico de Arrhenius pode ser usada para encontrar a energia de ativação. O gráfico de Arrhenius também pode ser usado extrapolando a linha de volta para a interceptação y para obter o fator pré-exponencial, A. Esse fator é significativo porque A = p & timesZ, onde p é um fator estérico e Z é a frequência de colisão. O fator pré-exponencial, ou frequência, está relacionado à quantidade de vezes que as moléculas atingirão a orientação necessária para causar uma reação. É importante notar que a equação de Arrhenius é baseada na teoria da colisão. Afirma que as partículas devem colidir com a orientação adequada e com energia suficiente. Agora que obtivemos a energia de ativação e o fator pré-exponencial do gráfico de Arrhenius, podemos resolver a constante de taxa em qualquer temperatura usando a equação de Arrhenius.

O gráfico de Arrhenius é obtido traçando o logaritmo da constante de velocidade, k, versus a temperatura inversa, 1 / T. A linha com inclinação negativa resultante é útil para encontrar os componentes ausentes da equação de Arrhenius. A extrapolação da linha de volta para a interceptação y produz o valor para ln A. A inclinação da linha é igual à energia de ativação negativa dividida pela constante do gás, R. Como regra prática na maioria das reações biológicas e químicas, o a taxa de reação dobra quando a temperatura aumenta a cada 10 graus Celsius.

Olhando para a equação de Arrhenius, o denominador da função exponencial contém a constante do gás, R, e a temperatura, T. Esse é o caso apenas quando se trata de moles de uma substância, porque R tem as unidades de J / molK. Ao lidar com moléculas de uma substância, a constante de gás no dominador da função exponencial da equação de Arrhenius é substituída pela constante de Boltzmann, kB. A constante de Boltzmann tem as unidades J / K. À temperatura ambiente, k& # 8203BT, é a energia disponível para uma molécula a 25 C ou 273K, e é igual a aproximadamente 200 números de onda.

É importante notar que a decisão de usar a constante de gás ou a constante de Boltzmann na equação de Arrhenius depende principalmente do cancelamento das unidades. Para obter o logaritmo inverso de um número, o número deve ser sem unidade. Portanto, todas as unidades no fator exponencial devem ser canceladas. Se a energia de ativação for em termos de joules por mol, então a constante do gás deve ser usada no dominador. Porém, se a energia de ativação for em unidades de joules por molécula, então a constante, K, deve ser usada.


Equações Chave

  • Uma taxa de mudança relaciona uma mudança em uma quantidade de saída a uma mudança em uma quantidade de entrada. A taxa média de mudança é determinada usando apenas os dados iniciais e finais.
  • A identificação de pontos que marcam o intervalo em um gráfico pode ser usada para encontrar a taxa média de mudança.
  • Comparar pares de valores de entrada e saída em uma tabela também pode ser usado para encontrar a taxa média de mudança.
  • Uma taxa média de mudança também pode ser calculada determinando os valores da função nos pontos finais de um intervalo descrito por uma fórmula.
  • A taxa média de mudança às vezes pode ser determinada como uma expressão.
  • Uma função está aumentando onde sua taxa de variação é positiva e diminuindo onde sua taxa de variação é negativa.
  • Um máximo local é quando uma função muda de crescente para decrescente e tem um valor de saída maior (mais positivo ou menos negativo) do que os valores de saída em valores de entrada vizinhos.
  • Um mínimo local é onde a função muda de decrescente para crescente (conforme a entrada aumenta) e tem um valor de saída menor (mais negativo ou menos positivo) do que os valores de saída em valores de entrada vizinhos.
  • Mínimos e máximos também são chamados de extremos.
  • Podemos encontrar extremos locais em um gráfico.
  • Os pontos mais alto e mais baixo em um gráfico indicam os máximos e os mínimos.

Usando um gráfico para determinar onde uma função está aumentando, diminuindo ou constante

Como parte da exploração de como as funções mudam, podemos identificar intervalos durante os quais a função muda de maneiras específicas. Dizemos que uma função está aumentando em um intervalo se os valores da função aumentam à medida que os valores de entrada aumentam dentro desse intervalo. Da mesma forma, uma função está diminuindo em um intervalo se os valores da função diminuem à medida que os valores de entrada aumentam nesse intervalo. A taxa média de mudança de uma função crescente é positiva e a taxa média de mudança de uma função decrescente é negativa. [link] mostra exemplos de intervalos crescentes e decrescentes em uma função.

A função f (x) = x 3 - 12 xf (x) = x 3 - 12 x está aumentando em (- ∞, - 2) ∪ (2, ∞) (- ∞, - 2) ∪ ( 2, ∞) e está diminuindo em (- 2, 2). (-2, 2).

Embora algumas funções estejam aumentando (ou diminuindo) em todo o seu domínio, muitas outras não. Um valor da entrada onde uma função muda de crescente para decrescente (conforme vamos da esquerda para a direita, isto é, conforme a variável de entrada aumenta) é chamado de máximo local. Se uma função tiver mais de uma, dizemos que ela tem máximos locais. Da mesma forma, um valor da entrada onde uma função muda de decrescente para crescente conforme a variável de entrada aumenta é chamado de mínimo local. A forma plural é “mínimos locais”. Juntos, máximos e mínimos locais são chamados de extremos locais, ou valores extremos locais, da função. (A forma singular é "extremo".) Freqüentemente, o termo local é substituído pelo termo relativo. Neste texto, usaremos o termo local.

Claramente, uma função não aumenta nem diminui em um intervalo em que é constante. Uma função também não aumenta nem diminui nos extremos. Observe que temos que falar de local extremo, porque qualquer extremo local, conforme definido aqui, não é necessariamente o máximo mais alto ou o mínimo mais baixo em todo o domínio da função.

Para a função cujo gráfico é mostrado em [link], o máximo local é 16 e ocorre em x = −2. x = −2. O mínimo local é −16 −16 e ocorre em x = 2. x = 2.

Para localizar os máximos e mínimos locais de um gráfico, precisamos observar o gráfico para determinar onde o gráfico atinge seus pontos mais alto e mais baixo, respectivamente, dentro de um intervalo aberto. Como o cume de uma montanha-russa, o gráfico de uma função é mais alto em um máximo local do que em pontos próximos em ambos os lados. O gráfico também será menor em um mínimo local do que em pontos vizinhos. [link] ilustra essas idéias para um máximo local.

Definição de um máximo local


Indicadores de mudança climática: atividade do ciclone tropical

Este indicador examina a frequência, intensidade e duração dos furacões e outras tempestades tropicais no Oceano Atlântico, Caribe e Golfo do México.

  • Figura 1. Número de furacões no Atlântico Norte, 1878–2020

Este gráfico mostra o número de furacões que se formaram no Oceano Atlântico Norte a cada ano de 1878 a 2020, junto com o número que atingiu a costa dos Estados Unidos. A curva laranja mostra como a contagem total na curva verde pode ser ajustada para tentar contabilizar a falta de aeronaves e observações de satélite nos primeiros anos. Todas as três curvas foram suavizadas usando uma média de cinco anos, plotada no meio do ano. A média mais recente (2016–2020) é plotada em 2018.

Fonte de dados: NOAA, 2021 4 Vecchi e Knutson, 2011 5
Atualização da web: Abril de 2021

Esta figura mostra os valores anuais totais do Índice de Energia do Ciclone Acumulado (ACE), que levam em consideração a força, duração e frequência do ciclone, de 1950 a 2020. A Administração Oceânica e Atmosférica Nacional definiu "quase normal", "acima do normal" e " abaixo do normal ”varia com base na distribuição dos valores do Índice ACE ao longo dos 30 anos de 1981 a 2010.

Fonte de dados: NOAA, 2021 6
Atualização da web: Abril de 2021

Esta figura apresenta os valores anuais do Índice de Dissipação de Energia (PDI), que leva em consideração a força, duração e frequência do ciclone. As tendências de temperatura da superfície do mar tropical do Atlântico Norte são fornecidas para referência. Observe que a temperatura da superfície do mar é medida em unidades diferentes, mas os valores foram plotados ao lado do PDI para mostrar como eles se comparam. As linhas foram suavizadas usando uma média ponderada de cinco anos, plotada no meio do ano. A média mais recente (2015–2019) é traçada em 2017.

Fonte de dados: Emanuel, 2021 7
Atualização da web: Abril de 2021

Pontos chave

  • Desde 1878, cerca de seis a sete furacões se formaram no Atlântico Norte a cada ano. Aproximadamente dois por ano chegam ao continente nos Estados Unidos. O número total de furacões (especialmente depois de ser ajustado para melhorias nos métodos de observação) e o número que atingiu os Estados Unidos não indicam uma tendência geral clara desde 1878 (ver Figura 1).
  • De acordo com o Índice ACE anual total, a intensidade do ciclone aumentou visivelmente nos últimos 20 anos, e oito dos 10 anos mais ativos desde 1950 ocorreram desde meados da década de 1990 (ver Figura 2). Níveis relativamente altos de atividade do ciclone também foram observados durante as décadas de 1950 e 1960.
  • O PDI (ver Figura 3) mostra a flutuação da intensidade do ciclone durante a maior parte da metade ao final do século 20, seguida por um aumento notável desde 1995 (semelhante ao Índice ACE). Essas tendências são mostradas com variações associadas na temperatura da superfície do mar no Atlântico Norte tropical para comparação (ver Figura 3).
  • Apesar do aparente aumento na atividade dos ciclones tropicais nos últimos anos, mostrado nas Figuras 2 e 3, as mudanças nos métodos de observação ao longo do tempo tornam difícil saber se a atividade das tempestades tropicais realmente mostrou um aumento ao longo do tempo. 3

Fundo

Furacões, tempestades tropicais e outras tempestades rotativas intensas se enquadram em uma categoria geral chamada ciclones. Existem dois tipos principais de ciclones: tropicais e extratropicais (aqueles que se formam fora dos trópicos). Os ciclones tropicais obtêm sua energia dos oceanos tropicais quentes. Os ciclones extratropicais obtêm sua energia da corrente de jato e das diferenças de temperatura entre massas de ar frio e seco de latitudes mais altas e massas de ar quente e úmido de latitudes mais baixas.

Este indicador se concentra em ciclones tropicais no Oceano Atlântico, Caribe e Golfo do México. Os ciclones tropicais são mais comuns durante a “temporada de furacões”, que vai de junho a novembro. Os efeitos dos ciclones tropicais são numerosos e bem conhecidos. No mar, as tempestades perturbam e põem em perigo o tráfego marítimo. Quando os ciclones encontram a terra, suas chuvas intensas e ventos fortes podem causar graves danos à propriedade, perda de vidas, erosão do solo e inundações. A onda de tempestade associada - o grande volume de água do oceano empurrado em direção à costa pelos fortes ventos do ciclone - pode causar graves inundações, erosão e destruição.

Espera-se que as mudanças climáticas afetem os ciclones tropicais, aumentando as temperaturas da superfície do mar, um fator chave que influencia a formação e o comportamento dos ciclones. O Programa de Pesquisa de Mudanças Globais dos EUA e o Painel Intergovernamental sobre Mudanças Climáticas projetam que os ciclones tropicais se tornarão mais intensos no século 21, com ventos mais rápidos e chuvas mais fortes. 1,2

Sobre o Indicador

Registros de ciclones tropicais no Oceano Atlântico foram coletados desde 1800. Os registros de longo prazo mais confiáveis ​​se concentram em furacões, que são a categoria mais forte de ciclones tropicais no Atlântico, com ventos de pelo menos 74 milhas por hora. Este indicador usa dados históricos da Administração Oceânica e Atmosférica Nacional para rastrear o número de furacões por ano no Atlântico Norte (ao norte do equador) e o número que atinge os Estados Unidos desde 1878. Alguns furacões sobre o oceano podem ter sido perdidos antes o início da observação de aeronaves e satélites, então os cientistas usaram outras evidências, como registros de tráfego de navios, para estimar o número real de furacões que podem ter se formado em anos anteriores.

Este indicador também analisa o Índice de Energia Ciclônica Acumulada (ACE) e o Índice de Dissipação de Energia (PDI), que são duas maneiras de monitorar a frequência, força e duração de ciclones tropicais com base em medições de velocidade do vento.

Cada ciclone tem um valor de índice ACE, que é um número baseado na velocidade máxima do vento medida em intervalos de seis horas ao longo de todo o tempo em que o ciclone é classificado como pelo menos uma tempestade tropical (velocidade do vento de pelo menos 39 milhas por hora) . Portanto, o valor do Índice ACE de uma tempestade é responsável pela força e pela duração. A Administração Oceânica e Atmosférica Nacional calcula o valor total do Índice ACE para uma temporada inteira de furacões, adicionando os valores de todas as tempestades nomeadas, incluindo tempestades subtropicais, tempestades tropicais e furacões. O total anual resultante é responsável pela força, duração e frequência do ciclone. Para este indicador, o índice foi convertido para uma escala onde 100 é igual ao valor mediano (o ponto médio) ao longo de um período base de 1981 a 2010. Os limites na Figura 2 definem se o Índice ACE para um determinado ano está próximo do normal, significantly above normal, or significantly below normal.

Like the ACE Index, the PDI is based on measurements of wind speed, but it uses a different calculation method that places more emphasis on storm intensity. This indicator shows the annual PDI value, which represents the sum of PDI values for all named storms during the year.

About the Data

Indicator Notes

Over time, data collection methods have changed as technology has improved. For example, wind speed collection methods have evolved substantially over the past 60 years, while aircraft reconnaissance began in 1944 and satellite tracking around 1966. Figure 1 shows how older hurricane counts have been adjusted to attempt to account for the lack of aircraft and satellite observations. Changes in data gathering technologies could substantially influence the overall patterns in Figures 2 and 3. The effects of these changes on data consistency over the life of the indicator would benefit from additional research.

While Figures 2 and 3 cover several different aspects of tropical cyclones, there are other important factors not covered here, including the size of each storm, the amount of rain, and the height of the storm surge. The reason for the recent divergence between cyclone activity and sea surface temperature in Figure 3 has not been identified conclusively, but it may relate to other factors that influence the formation of storms, such as the difference in wind speeds at different levels in the atmosphere (called vertical wind shear). 8


Relative Economic Strength

As the name may suggest, the relative economic strength approach looks at the strength of economic growth in different countries in order to forecast the direction of exchange rates. The rationale behind this approach is based on the idea that a strong economic environment and potentially high growth are more likely to attract investments from foreign investors. And, in order to purchase investments in the desired country, an investor would have to purchase the country's currency—creating increased demand that should cause the currency to appreciate.

This approach doesn't just look at the relative economic strength between countries. It takes a more general view and looks at all investment flows. For instance, another factor that can draw investors to a certain country is interest rates. High interest rates will attract investors looking for the highest yield on their investments, causing demand for the currency to increase, which again would result in an appreciation of the currency.

Conversely, low interest rates can also sometimes induce investors to avoid investing in a particular country or even borrow that country's currency at low interest rates to fund other investments. Many investors did this with the Japanese yen when the interest rates in Japan were at extreme lows. This strategy is commonly known as the carry trade.

The relative economic strength method doesn't forecast what the exchange rate should be, unlike the PPP approach. Rather, this approach gives the investor a general sense of whether a currency is going to appreciate or depreciate and an overall feel for the strength of the movement. It is typically used in combination with other forecasting methods to produce a complete result.


Graph Key Trends

Once you’ve decided the general boundary of your system—what you’ll focus on, and what you won’t—it is useful to draw simple graphs to describe the changing behaviors of the key variables in the system.

These graphs, called behavior-over-time graphs, encourage dynamic rather than static thinking, shifting focus from single events to changing patterns of behavior. This process encourages deeper thinking about what is changing and over what time frame. For students, graphs also act as another, visual way to communicate their thoughts and ideas.

When creating a behavior-over-time graph remember that the focus is on behavior changing over time, therefore, the x or horizontal axis must represent time. You can use any meaninful measurement: seconds, days, weeks, months, decades, and so on.

The behavior that is changing is shown on the y or vertical axis. You can plot any variable that increases or decreases. Often there's a standard measure you can use, although you may want to plot a variable that is not easily measured, such as a character's happiness or degree of team spirit. This will require use of a scale, such a 0-10, or you may label with y-axis with appropriate adjectives, such as "poor" at the bottom, "average" in the middle, and "superior" at the top.

As you look at behavior over time, you may find that the change is linear or exponential (upward or downward), or the pattern may oscillate. The question you would next consider is what set of interrelationships may be driving the behavior you've described in the graph.


Interest Rates And Market Behavior: 5, 10, And 20 Years Ago

Yesterday’s post on jobs made some interesting points about the relative performance of the economy today and in previous decades, highlighting both strengths and weaknesses of the current recovery.

A look at financial figures over the same time periods offers a different but equally interesting set of observations.

DG Value Partners II was up 2.28% net for June, bringing its year-to-date return to 20.7% net. The fund is managed by Dov Gertzulin and focuses on event-driven value opportunities in the middle market, looking for securities that are priced below what management believes to be their intrinsic value. Q2 2021 hedge fund letters, conferences Read More

I lined up interest rates and stock values and valuations because financial assets are inextricably linked. The changes can provide some useful information about how normal (or not) current figures are, and what that might mean over the next couple of decades. Mortgage rates and housing offer a similar and supporting look at interest rates and asset prices.

The relationship between interest rates and stocks

U.S. Treasury rates have dropped consistently, despite some volatility, for 25 years. Think about that: very few trends last so long. Rates today are less than a quarter of rates in 1990. Mortgage rates have dropped almost as much, in terms of percentage points, but only to just over a third, rather than less than a quarter, of 1990 levels.

Stocks are typically valued with respect to interest rates at lower interest rates, stocks are worth more. We can conclude that the decline in interest rates should have helped push stock prices higher, and we see exactly that.

The difference is explained by the rise in stock valuations, from about 16 to around 20 times earnings. Much of that rise in valuations can be attributed to the decline in interest rates. You can see the consistency of this change in the 2005–2015 numbers as compared with the 1990 and 1995 numbers.

The reason is simple: the implied return, from earnings, on a stock purchase is the reciprocal of the P/E ratio, or E/P. The P/E ratio of 15.69 in 1990 represents an earnings return of 6.3 percent, which is actually below the Treasury rate at that time. The current P/E ratio of 20.21 equates to a return of 4.95 percent on earnings, which is well above the current Treasury rate. The significantly lower interest rates of the past 10 years should result in higher valuation levels than in the 1990s, and that is what we see.

Arguably, with interest rates dropping by about 6.5 percent, you might even have expected valuations to increase by much more, and we saw just that in 2000. Even there, though, the implied return of 3.4 percent is about 3 percent less than the 6.3 percent of 1990. We saw the same behavior in mortgage rates and housing prices, with declining rates pushing up prices to very high levels, and then to a collapse, and then back up.

The fact that two very different asset classes showed the same behavior, for essentially the same reasons, indicates that interest rates are indeed a fundamental determinant of market behavior, in accord with what theory would suggest.

What does this mean for the future?

If rates were to increase—which at some point is very probable, verging on certain depending on the time frame—valuations could reasonably be expected to adjust back down to make earnings-based returns more consistent with the higher rates.

There is no reason to expect this will happen immediately, as rates may remain low for some time. Equally, if rates adjust while earnings continue to rise, we may see the valuation adjustment occur without a stock market correction. Either way, this is another pending headwind for the market, highlighted by the still very favorable interest rate conditions we now have.


Using Data Analytics to Change Behavior

The remotely hosted, advanced data-analytics application played a critical role in the IV Medication Safety Improvement Initiative (Box 1) The application reported DERS usage for each infusion, which made compliance with selecting the medication from the drug library easier to see and allowed the nursing staff to more easily monitor their performance. Authorized staff could access the smart pump data anywhere, anytime from an appropriate digital device. Retrospective data aggregated from the hospital’s smart pump system could be easily viewed on the application’s “dashboard” display. Staff could easily review, report, create graphs and slides, and share important information with nursing directors, educators, senior management, and—most importantly—bedside clinicians.

Reporting DERS usage rates by unit was challenging, because the pumps were mobile and moved regularly around the hospital. However, rates could be tracked by patient profile. Medical/surgical nurses, for example, could easily see how they compared to critical care nurses. Having the nurses see the data on a regular basis also sparked a spirit of competition between departments, which further increased motivation and nursing engagement in the initiative.

Provide frequent, fresh communication

Report distribution started out weekly, then changed first to biweekly and later to monthly as nurses’ use of the DERS drug library began to increase (tabela 1) At first, IV Safety Improvement bulletins were distributed to the chief nursing officer, nursing directors, and nursing educators, but not to individual nurses (who were already receiving a great deal of email). As awareness increased and nurses became more interested and involved, individuals were added to the email distribution list.

Continuously updating the before-and-after data kept the information fresh, kept nurses interested, showed their successes, and fostered a spirit of competition. As nurses saw improvements reflected in the changing data, they became increasingly involved in pharmacy-nursing collaboration (Box 2).

IV medication safety improvements

Using data to help drive improvement resulted in steady increases in the use of the DERS drug library to select the medication to be infused (Figures 1, 3, e 4).

The IV Medication Safety Improvement Initiative also:

  • Provided nursing and physician education regarding the importance of using DERS
  • Provided a mechanism for nursing to inform pharmacy of any discrepancies between the drug library and actual practice
  • Eliminated reported discrepancies between the drug library and actual practice
  • Increased pharmacy-nursing collaboration
  • Identified drug library entries that needed to be added or updated
  • Increased nursing engagement
  • Increased use of DERS safeguards by selecting the medication to be infused from the drug library
  • Helped strengthen ORMC’s culture of safety

Every year, ORMC departments can submit one or more projects for an enterprisewide quality and patient safety award. In 2015, the IV Safety Improvement initiative was awarded top honors at the GHVHS Quality and Patient Safety Awards, an important validation of the staff’s concerted, innovative efforts and results.

Considerable progress has been made in putting DERS and continuous quality improvement at the forefront of medication safety awareness. Nonetheless, there is more work to be done. Pharmacy presentations at nursing education sessions and monthly reports on DERS usage continue. Multiple communication channels are still available. Email has emerged as the most commonly used means of communication.

In the future, staff will also analyze data on “good catches,” alerts, and overrides as another way to identify needed improvement in nursing practice and/or smart pump drug libraries. The smart pump data and remotely hosted data-analytics application can also be used to help staff demonstrate cost avoidance, return on investment achieved through a reduction in adverse drug events, and the hospital’s compliance with certain requirements of The Joint Commission. Finally, optimizing the drug libraries helps pave the way for future implementations of smart pump-EMR interoperability.

Eliminating mismatches in the smart pump drug library helps drive use of DERS

Education, easy-to-use reporting systems, face-to-face discussions, and ongoing communication with frontline nursing are effective ways to educate the nursing staff and discover inadequacies in the drug library

Responding to nursing feedback in a timely manner keeps staff engaged

Frequent communication of data showing progress is essential

Data reports help celebrate nurse accomplishments and further strengthen nursing engagement in the IV medication safety improvement efforts

The ISMP points out that, like seat belts, the safety features of any safety technology can be bypassed, despite various mandates requiring their use. “Thus, it is not enough to purchase smart pumps, program the library to enable the technology, distribute the pumps, educate users, and hope that the dose-checking feature will always be used. A culture of safety must exist that drives clinicians to avoid bypassing such a safety feature, or to report conditions that encourage workarounds so they can be remedied” (ISMP, 2007).

At ORMC, before-and-after data from the analytics reports provided “something new” that helped to increase staff awareness of the need to always select the medication to be infused from the DERS drug library, motivate staff to report conditions that could encourage workarounds, and increases nurses’ engagement in the medication safety improvement process. Nurses continue to work with pharmacy to keep the drug library up to date. They know that their feedback is important and have become increasingly engaged in the compliance-improvement process. They recognize more fully that smart pump safety features can save lives and have to be used. Continuously fine-tuning the drug library in the continuing quality loop helps ensure that bedside clinicians have the latest data set for the safest clinical practice—and that the right thing to do is the easy thing to do.

Observação: We would like to express our appreciation to BD and Sally Graver for helping to ensure accuracy and completeness during manuscript development.

  1. uma.AlarisSystem, with Guardrails Suite MX software, BD. Franklin Lakes, NJ.
  2. b. Knowledge Portal for Infuse on Technologies, BD. Franklin Lakes, NJ.

NicoleKarchner,PharmD, was the clinical pharmacy manager at Orange Regional Medical Center in Middletown, New York from 2009 to 2016. She is now the director of pharmacy management for Crystal Run Health Plans. She can be contacted at [email protected]

REFERÊNCIAS

American Society of Health-System Pharmacists. (2008). Proceedings of a summit on preventing patient harm and death from IV medication errors. Am J Health-Syst Pharm, 65(24), 2367–2379.

Fields, M., & Peterman, J. (2005). Intravenous medication safety system averts high-risk medication errors and provides actionable data. Nurs Admin Quar, 29(1), 78–87.

Institute for Safe Medication Practices. (2007, April 19). Smart pumps are not smart on their own. ISMP Medication Safety Alert! Retrieved March 2, 2017 from http://www.ismp.org/newsletters/acutecare/articles/20070419.asp.

Maddox, R., Danello, S., Williams, G. K., & Fields, M. (2008). Intravenous infusion safety initiative: Collaboration, evidence-based best practices, and “smart” technology help avert high-risk adverse drug events and improve patient outcomes. In K. Henriksen, J. B. Battles, M. A. Keyes, & M. L. Grady (Eds.), Advances in Patient Safety: New Directions and Alternative Approaches, Vol. 4 (pp. 143–156). Rockville, MD: Agency for Healthcare Research and Quality.

The National Institute for Occupational Safety and Health (NIOSH). (2016, July 16). Hierarchy of Controls. Retrieved March 2, 2017 from https://www.cdc.gov/niosh/topics/hierarchy/default.html.

Orange Regional Medical Center (ORMC). (2015). IV Medication Safety Improvement Initiative, data on file.

Williams, C. K., & Maddox, R.R. (2005). Implementation of an I.V. medication safety system. Am J Health-Syst Pharm, 62(5), 530–536.

Wilson, K., & Sullivan, M. (2004). Preventing medication errors with smart infusion technology. Am J Health-Syst Pharm, 61(2), 177–183.


Why is it important to use a graph?

Once you have collected data from observation sessions, it is important to organize the information in such a way that it is easy to interpret. It can be difficult to see patterns by simply looking at long lists of numbers or reading data collection sheets across different days. Graphs can provide quick and easy visual summaries that allow teachers to determine patterns of behavior, evaluate the results of new teaching strategies, and establish whether or not interventions are having the desired effects. This information can then be used to provide students with feedback on their performance.

What type of graph should be used?

There are several different types of graphs that can be used to represent data including line graphs, bar graphs, pie charts, or scatter plots. The most common type of graph used to evaluate behavioral data is the line graph. A line graph shows individual data points connected by line, creating a path. Over time, this path can show a visual pattern that helps you evaluate the overall directions of a behavior.

Another common graph used is referred to as a bar graph. A bar graph is often used when portions of a whole are being represented or when reporting a percentage. The bar graph focuses on the height of the data rather than the trend in the data, and is most often used when nonconsecutive data points are being evaluated. This is a particularly useful method when comparing information across individuals, settings, or situations.

Pie charts may be useful when representing portions of a whole. For instance, it might be helpful to create a pie chart indicating the amount of time a student spends actively engaged in activities.

Finally, scatter plots are used when a variety of observations or measures have been taken that are not necessarily collected consecutively. For example, a scatter plot may be used to represent the scores obtained by a class on a standardized achievement test. In this type of graph, each data point is independent. However, depicting the data in this fashion may allow one to see the performance of each person compared to the rest of the group.

Example of a scatter plot showing Mrs. Jones's class grades on a standardized academic achievement test:

What are the important elements of a line graph?

It is important to know the basic elements of a line graph because it is the most common type of graph used to evaluate behavioral data.

The Horizontal Axis (X-Axis) and Vertical Axis (Y-Axis)

Data are presented in a graph within a boundary containing a horizontal line and a vertical line that are referred to as axes. The horizontal axis is called the x-axis, and the vertical axis is referred to as the y-axis. These two axes meet at the bottom left side of the page. The horizontal axis represents the passage of time. The vertical axis represents the numerical property of the behavior being measured. The numbers on both axes are usually divided into equal intervals. The scale of the y-axis can be an important variable when interpreting graphs. If the scale is set too high or too low, the changes in behavior will look much bigger or smaller in appearance, and this might be misleading. In most graphs, the x-axis (representing time) is longer than the y-axis, especially if repeated observations of the behavior have been made.

Points are usually plotted on a graph by placing a mark where the lines of the behavior's value (y-axis) and that of the behavior occurrence (x-axis) intersect. Each time an observation is conducted, a point can be plotted on the graph. Points are often connected to each other by lines.

Each time there is a change that may have an impact on behavior, a vertical line is drawn beginning on the x-axis, passing between the data points represented on the graph. Data points on either side of the condition line are not connected to each other. A condition change line can denote the move from baseline to intervention or from one intervention to another. Condition lines can also be used to denote other changes that may impact the behavior (e.g., sickness, a change in classroom, a change in teacher or supervisor). However, if the changes are temporary (e.g., presence of a substitute teacher, illness, father gone on a trip), arrows rather than condition lines, may be used to mark the beginning and end of these temporary factors.

Each condition in a graph must be labeled with a short descriptive phrase or word placed at the top of the graph above the data. This descriptive phase or word represents a condition (for instance, the baseline or intervention) that is implemented during the time period represented in the graph.

How do you use a graph to inspect the data gathered?

A visual analysis of the data in a line graph helps to answer two types of questions:

  • Are there meaningful changes in the behavior over time?
  • To what extent can that change in behavior be attributed to the teaching strategy or behavioral intervention that was introduced?

Although there are no formal rules for the visual analysis of graphs, there are certain properties that are common to all behavioral data. The properties within and across conditions that are examined visually include variability, level, and trends in the data.

Variability is the extent to which a behavior changes from one data point to the next. If the behavior does not show much variability, it may not be necessary to collect as much data since the behavior is considered more stable and chances are that the behavior will remain at this level is high. On the other hand, if a behavior shows a lot of variability, additional data should be collected before making any changes. This will allow one to better determine whether or not the changes in behavior are due to the intervention.

The level of a behavior is the increase or decrease in a behavior from the beginning to the end of a condition. The bigger the level of change, the more powerful the effect of the intervention. For instance, the greater the magnitude and direction of change that has occurred from baseline to intervention, the more likely that the intervention is effective. Sometimes a line representing the average of the data points within a condition is drawn on the graph to help show the change in level. This means line can be useful when the data are somewhat variable. In the figure below, the mean level line for the duration of tantrums shows that there isn't much difference between baseline and treatment, indicating that the treatment may not be too effective.

Trend refers to the direction the data points on a graph are heading. A steep slant upwards shows a strong increasing trend while a slant downward indicates the behavior is decreasing. Looking at the steepness and direction of the data points can also helps you make decisions about the effectiveness of an intervention. Before moving to a new condition, the trend in each phase is evaluated. It is important to make sure that the trend is stable before moving from baseline to intervention or from intervention to a new intervention. For example, if the baseline trend is steadily decreasing or increasing it is considered to be in the process of changing. If the intervention is begun during an increasing or decreasing trend, it is more difficult to know whether the change in behavior is due to the intervention since the behavior was in the process of changing prior to the intervention.


Assista o vídeo: Sammenheng mellom funksjonsuttrykk og graf (Outubro 2021).