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4.7: Produtos Binomiais Especiais


Três produtos binomiais ocorrem com tanta frequência na álgebra que os designamos como produtos binomiais especiais. Já os vimos antes, mas vamos estudá-los novamente por causa de sua importância como dispositivos de economia de tempo e na resolução de equações (que estudaremos em um capítulo posterior).

Esses produtos especiais podem ser mostrados como o quadrados de um binômio

((a + b) ^ 2 ) e (a-b) ^ 2 )

e como o soma e diferença de dois termos.

((a + b) (a-b) )

Existem duas regras simples que nos permitem expandir (multiplicar) facilmente esses binômios. Vale a pena memorizá-los, pois economizarão muito tempo no futuro.

Expandindo ((a + b) ^ 2 ) e ((a − b) ^ 2 )

Quadrando um Binômio

Para enquadrar um binômio:

1. Quadrar o primeiro termo.

2. Pegue o produto dos dois termos e dobre-o.

3. Quadrar o último termo.

4. Adicione os três resultados juntos

((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 )

((a-b) ^ 2 = a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 )

Expansão (a + b) (a − b)

Soma e diferença de dois termos.

Para expandir a soma e a diferença de dois termos: †

  1. Eleve o primeiro termo e eleve o segundo termo.
  2. Subtraia o quadrado do segundo termo do quadrado do primeiro termo.

((a + b) (a-b) = a ^ 2 - b ^ 2 )

Conjunto de amostra A

Exemplo ( PageIndex {1} )

(
(x + 4) ^ {2}
)
Quadrado o primeiro termo: (x ^ {2} ).
O produto de ambos os termos é (4x ). Dobre: ​​ (8x ).
Quadrar o último termo: 16.

Some-os: (x ^ {2} + 8x + 16 )

((x + 4) ^ {2} = x ^ {2} +8 x + 16 )

Observe que ((x + 4) ^ {2} neq x ^ {2} + 4 ^ {2} ). O termo (8x ) está faltando!

Exemplo ( PageIndex {2} )

(
(a-8) ^ {2}
)
Quadrado o primeiro termo: (a ^ {2} ).
O produto de ambos os termos é (- 8a ). Dobre: ​​ (- 16a ).
Quadrar o último termo: 64.

Some-os: (a ^ 2 + (-16a) + 64 )

((a-8) ^ 2 = a ^ 2 - 16a + 64 )

Observe que o sinal do último termo nesta expressão é “ (+ ).” Isso sempre acontecerá, pois o último termo resulta de um número sendo quadrado. Qualquer número diferente de zero vezes o próprio é sempre positivo.

((+) (+) = + ) e ((-) (-) = + )

O sinal do segundo termo no trinômio sempre será o sinal que ocorre dentro os parênteses.

Exemplo ( PageIndex {3} )

(
(y-1) ^ {2}
)
Quadrado o primeiro termo: (y ^ {2} ).
O produto de ambos os termos é (- y ). Duplique: (- 2a ).
Quadrar o último termo: +1.

Some-os: (y ^ 2 + (-2y) + 1 )

Exemplo ( PageIndex {4} )

(
(5x + 3) ^ {2}
)
Quadrado o primeiro termo: (25x ^ {2} ).
O produto de ambos os termos é (15x ). Dobre: ​​ (30x ).
Quadrar o último termo: 9.

Some-os: (25x ^ 2 + 30x + 9 )

Exemplo ( PageIndex {5} )

(
(7b-2) ^ {2}
)
Quadrar o primeiro termo: (49b ^ {2} ).
O produto de ambos os termos é (- 14b ). Dobre: ​​ (- 28b ).
Quadrar o último termo: 4.

Some-os: (49b ^ 2 + (-28b) + 4 )

Exemplo ( PageIndex {6} )

(
(x + 6) (x-6)
)
Quadrado o primeiro termo: (x ^ 2 ).
Subtraia o quadrado do segundo termo ( (36 )) do quadrado do primeiro termo: (x ^ 2 - 36 )

((x + 6) (x-6) = x ^ 2 - 36 )

Exemplo ( PageIndex {7} )

(
(4a − 12) (4a + 12)
)
Quadrado o primeiro termo: (16a ^ 2 ).
Subtraia o quadrado do segundo termo ( (144 )) do quadrado do primeiro termo: (16a ^ 2-144 )

((4a-12) (4a + 12) = 16a ^ 2 - 144 )

Exemplo ( PageIndex {8} )

(
(6x + 8y) (6x − 8y)
)
Quadrado do primeiro termo: (36x ^ 2 ).
Subtraia o quadrado do segundo termo ( (64y ^ 2 )) do quadrado do primeiro termo: (36x ^ 2 - 64y ^ 2 )

((6x + 8y) (6x-8y) = 36x ^ 2 - 64y ^ 2 )

Conjunto de Prática A

Encontre os seguintes produtos.

Problema prático ( PageIndex {1} )

((x + 5) ^ 2 )

Responder

(x ^ 2 + 10x + 25 )

Problema prático ( PageIndex {2} )

((x + 7) ^ 2 )

Responder

(x ^ 2 + 14x + 49 )

Problema prático ( PageIndex {3} )

((y-6) ^ 2 )

Responder

(y ^ 2 - 12y + 36 )

Problema prático ( PageIndex {4} )

((3a + b) ^ 2 )

Responder

(9a ^ 2 + 6ab + b ^ 2 )

Problema prático ( PageIndex {5} )

((9m-n) ^ 2 )

Responder

(81m ^ 2 - 18mn + n ^ 2 )

Problema prático ( PageIndex {6} )

((10x - 2y) ^ 2 )

Responder

(100x ^ 2 - 40xy + 4y ^ 2 )

Problema prático ( PageIndex {7} )

((12a - 7b) ^ 2 )

Responder

(144a ^ 2 - 168ab + 49b ^ 2 )

Problema prático ( PageIndex {8} )

((5h - 15k) ^ 2 )

Responder

(25h ^ 2 - 150hk + 225k ^ 2 )

Exercícios

Para os problemas a seguir, encontre os produtos.

Exercício ( PageIndex {1} )

((x + 3) ^ 2 )

Responder

(x ^ 2 + 6x + 9 )

Exercício ( PageIndex {2} )

((x + 5) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {3} )

((x + 8) ^ 2 )

Responder

(x ^ 2 + 16x + 64 )

Exercício ( PageIndex {4} )

((x + 6) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {5} )

((y + 9) ^ 2 )

Responder

(y ^ 2 + 18y + 81 )

Exercício ( PageIndex {6} )

((y + 1) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {7} )

((a-4) ^ 2 )

Responder

(a ^ 2 - 8a + 16 )

Exercício ( PageIndex {8} )

((a-6) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {9} )

((a-7) ^ 2 )

Responder

(a ^ 2 - 14a + 49 )

Exercício ( PageIndex {10} )

((b + 10) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {11} )

((b + 15) ^ 2 )

Responder

(b ^ 2 + 30b + 225 )

Exercício ( PageIndex {12} )

((a-10) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {13} )

((x-12) ^ 2 )

Responder

(x ^ 2 - 24x + 144 )

Exercício ( PageIndex {14} )

((x + 20) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {15} )

((y-20) ^ 2 )

Responder

(y ^ 2 - 40y + 400 )

Exercício ( PageIndex {16} )

((3x + 5) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {17} )

((4x + 2) ^ 2 )

Responder

(16x ^ 2 + 16x + 4 )

Exercício ( PageIndex {18} )

((6x - 2) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {19} )

((7x - 2) ^ 2 )

Responder

(49x ^ 2 - 28x + 4 )

Exercício ( PageIndex {20} )

((5a - 6) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {21} )

((3a - 9) ^ 2 )

Responder

(9a ^ 2 - 54a + 81 )

Exercício ( PageIndex {22} )

((3w - 2z) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {23} )

((5a - 3b) ^ 2 )

Responder

(25a ^ 2 - 30ab + 9b ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {24} )

((6t - 7s) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {25} )

((2h - 8k) ^ 2 )

Responder

(4h ^ 2 - 32hk + 64k ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {26} )

((a + dfrac {1} {2}) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {27} )

((a + dfrac {1} {3}) ^ 2 )

Responder

(a ^ 2 + dfrac {2} {3} a + dfrac {1} {9} )

Exercício ( PageIndex {28} )

((x + dfrac {3} {4}) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {29} )

((x + dfrac {2} {5}) ^ 2 )

Responder

(x ^ 2 + dfrac {4} {5} x + dfrac {4} {25} )

Exercício ( PageIndex {30} )

((x - dfrac {2} {3}) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {31} )

((y- dfrac {5} {6}) ^ 2 )

Responder

(y ^ 2 - dfrac {5} {3} y + dfrac {25} {36} )

Exercício ( PageIndex {32} )

((y + dfrac {2} {3}) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {33} )

((x + 1,3) ^ 2 )

Responder

(x ^ 2 + 2,6x + 1,69 )

Exercício ( PageIndex {34} )

((x + 5,2) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {35} )

((a + 0,5) ^ 2 )

Responder

(a ^ 2 + a + 0,25 )

Exercício ( PageIndex {36} )

((a + 0,08) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {37} )

((x - 3,1) ^ 2 )

Responder

(x ^ 2 - 6,2x + 9,61 )

Exercício ( PageIndex {38} )

((y - 7,2) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {39} )

((b - 0,04) ^ 2 )

Responder

(b ^ 2 - 0,08b + 0,0016 )

Exercício ( PageIndex {40} )

((f - 1.006) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {41} )

((x + 5) (x - 5) )

Responder

(x ^ 2 - 25 )

Exercício ( PageIndex {42} )

((x + 6) (x-6) )

Exercício ( PageIndex {43} )

((x + 1) (x − 1) )

Responder

(x ^ 2 - 1 )

Exercício ( PageIndex {44} )

((t − 1) (t + 1) )

Exercício ( PageIndex {45} )

((f + 9) (f − 9) )

Responder

(f ^ 2 - 81 )

Exercício ( PageIndex {46} )

((y − 7) (y + 7) )

Exercício ( PageIndex {47} )

((2y + 3) (2y − 3) )

Responder

(4y ^ 2 - 9 )

Exercício ( PageIndex {48} )

((5x + 6) (5x − 6) )

Exercício ( PageIndex {49} )

((2a-7b) (2a + 7b) )

Responder

(4a ^ 2 - 49b ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {50} )

((7x + 3t) (7x − 3t) )

Exercício ( PageIndex {51} )

((5h − 2k) (5h + 2k) )

Responder

(25h ^ 2 - 4k ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {52} )

((x + dfrac {1} {3}) (x - dfrac {1} {3}) )

Exercício ( PageIndex {53} )

((a + dfrac {2} {9}) (a - dfrac {2} {9}) )

Responder

(a ^ 2 - dfrac {4} {81} )

Exercício ( PageIndex {54} )

((x + dfrac {7} {3}) (x - dfrac {7} {3}) )

Exercício ( PageIndex {55} )

((2b + dfrac {6} {7}) (2b - dfrac {6} {7}) )

Responder

(4b ^ 2 - dfrac {36} {49} )

Exercício ( PageIndex {56} )

Expanda ((a + b) ^ 2 ) para provar que é igual a (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 ).

Exercício ( PageIndex {57} )

Expanda ((a-b) ^ 2 ) para provar que é igual a (a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 ).

Responder

((a-b) (a-b) = a ^ 2 - ab - ab + b ^ 2 = a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {58} )

Expanda ((a + b) (a-b) ) para provar que é igual a (a ^ 2-b ^ 2 ).

Exercício ( PageIndex {59} )

Preencha a etiqueta que falta na equação abaixo.

Responder

Primeiro termo ao quadrado

Exercício ( PageIndex {60} )

Identifique as partes da equação abaixo.

Exercício ( PageIndex {61} )

Identifique as partes da equação abaixo.

Responder

a) Quadratura do primeiro termo.

b) Eleve ao quadrado o segundo termo e subtraia-o do primeiro.

Exercícios para revisão

Exercício ( PageIndex {62} )

Simplifique ((x ^ 3y ^ 0z ^ 4) ^ 5 ).

Exercício ( PageIndex {63} )

Encontre o valor de (10 ​​^ {- 1} cdot 2 ^ {- 3} )

Responder

( dfrac {1} {80} )

Exercício ( PageIndex {64} )

Encontre o produto.

((x + 6) (x-7) ).

Exercício ( PageIndex {65} )

Encontre o produto.

((5m - 3) (2m + 3) )

Responder

(10m ^ 2 + 9m - 9 )

Exercício ( PageIndex {66} )

Encontre o produto.

((a + 4) (a ^ 2 - 2a + 3) )


Vamos dar uma olhada em uma regra especial que nos permitirá encontrar o produto sem usar o método FOIL.

O quadrado de um binômio é a soma de: o quadrado dos primeiros termos, duas vezes o produto dos dois termos e o quadrado do último termo.

Eu sei que isso parece confuso, então dê uma olhada ..

Se você se lembrar desta fórmula, poderá avaliar quadrados polinomiais sem ter que usar o método FOIL. Isso exigirá prática.

Agora, vamos dar uma olhada no Exemplo 1 e encontrar o produto usando nossa regra especial.


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Questões

& lta href = & # 8221 / intermediatealgebraberg / back-matter / answer-key-6-6 / & # 8221 & gtAnswer Key 6.6


Calculadora FOIL - Multiplicando Binômios

Esta calculadora binomial calcula o produto de um binômio elevado à 2ª ou 3ª potência usando o método FOIL. O produto da expressão binomial é obtido, como acontece com todos os produtos, pela multiplicação de duas expressões binomiais.

Para usar a calculadora acima, seguimos o formato (ax + b) n. Um usuário apenas insere o uma e b valores. Ele também pode alterar o sinal e o expoente para o qual o binômio é elevado. Por padrão, o sinal e o expoente são "+" e "2". O usuário, entretanto, pode alterar o sinal para "-" e o expoente para "3". Assim, a calculadora permite uma entrada dinâmica.

Assim que o usuário clicar em "Calcular", a resposta será calculada automaticamente.

Multiplicando Binômios Diferentes

Esta calculadora binomial calcula o produto de dois binômios que podem ser iguais ou diferentes. Se eles forem iguais, você pode usar a primeira calculadora, mas se eles forem diferentes, você deve usar esta.

Novamente, isso calcula o produto dos binômios pelo método FOIL, as etapas que são explicadas a seguir.

FOIL explicou

Abaixo está um visual de referência de como funciona o FOIL:

O FOIL é um método de cálculo de produto binomial que utiliza as seguintes etapas mostradas abaixo:

Digamos que temos o seguinte binômio mostrado acima.

Se o expandirmos sem usar o expoente, ele se parecerá com o seguinte:

Usando FOIL, calcularemos este produto binomial pelas seguintes etapas:

Primeiro- Pegamos o primeiro termo de cada binômio e os multiplicamos. Com a expressão binomial (ax + b) (ax + b), os primeiros termos são machado e machado. Isso dá ao produto um 2 x 2.

Exterior- A seguir, tomamos os termos externos ou externos dos dois binômios. Com a expressão binomial (ax + b) (ax + b), os termos externos são machado e b. Isso produz o produto abx.

Interno- A seguir, pegamos os termos internos ou internos dos dois binômios. Com a expressão binomial (ax + b) (ax + b), os termos internos são b e machado. Isso produz o produto abx. Agora podemos combinar os termos externos e internos, uma vez que são termos semelhantes. Portanto, eles simplesmente somam para dar o termo 2abx.

Durar- A seguir, pegamos os últimos termos dos dois binômios. Com a expressão binomial (ax + b) (ax + b), os últimos termos são b e b. Isso produz o produto b 2 .

Portanto, agora no total, uma vez que somamos todos os termos, a partir dessa expressão binomial, obtemos o produto final de a 2 x 2 + 2abx + b 2.

FRUSTRAR
Primeiro- (3x) (3x) = 9x 2
Exterior- (3x) (4) = 12x
Interno- (4) (3x) = 12x
Durar- (4)(4)=16

Total de termos somados: 9x 2 + 12x + 12x +16 = 9x 2 + 24x + 16

FRUSTRAR
Primeiro- (2x) (5x) = 10x 2
Exterior- (2x) (- 7) = -14x
Interno- (3) (5x) = 15x
Durar- (3)(-7)= -21


Bain e Cinven compram Lonza Specialty Ingredients em um negócio de US $ 4,7 bilhões

ZURIQUE (Reuters) - A Bain Capital e a Cinven estão adquirindo a divisão de Ingredientes Especiais da Lonza em um negócio de US $ 4,7 bilhões, disse a farmacêutica contratada suíça na segunda-feira, enquanto se concentra em sua unidade de crescimento mais rápido que fornece empresas de medicamentos e biotecnologia.

O consórcio Bain-Cinven foi listado com a Lanxess da Alemanha e os grupos de aquisições Advent, Carlyle e outros como licitantes para a unidade que fabrica ingredientes de xampu anticaspa, suplementos nutricionais para suínos e controles microbianos para madeira e produtos de higiene.

A Lonza, que disse que o valor empresarial da transação é de 4,2 bilhões de francos suíços (US $ 4,7 bilhões), está dobrando em seu acelerado negócio de medicamentos. Seus clientes incluem Moderna, que a Lonza fornece ingredientes para sua vacina COVID-19, e AstraZeneca, que contratou a empresa suíça para ajudar a fazer seu tratamento com anticorpos COVID-19.

“A venda do negócio de Ingredientes Especiais permitirá que a Lonza se concentre em sua posição como parceira líder do setor de saúde”, disse o presidente Albert Baehny em um comunicado.

“O fluxo de caixa livre resultante da venda nos permitirá acelerar nossas prioridades estratégicas”, acrescentou.

As ações da Lonza subiram mais de 60% no ano passado, à medida que se expandia em medicamentos e se preparava para descarregar ingredientes especiais.

A unidade, que já foi o pilar da Lonza antes que a divisão de drogas e biotecnologia em ascensão a relegasse para segundo plano, viu a receita cair 2,1% no ano passado para 1,7 bilhão de francos no ano passado.

Em contraste, as receitas de medicamentos, biotecnologia e nutrição da Lonza aumentaram 7,2% para 4,5 bilhões de francos enquanto a Lonza avançava com uma grande expansão, incluindo a construção de quatro novas linhas de produção para a vacina da Moderna contra o novo coronavírus nos Estados Unidos e na Suíça.


Lane ORCCA (2020–2021): Recursos Abertos para Álgebra do Community College

Como agora somos capazes de multiplicar polinômios, examinaremos alguns casos especiais de multiplicação de polinômios.

Subseção 6.6.1 Quadrando um Binômio

Exemplo 6.6.1.

“Quadrar um binômio” é pegar um binômio e multiplicá-lo por ele mesmo. Sabemos que a notação de expoente significa que (4 ^ 2 = 4 cdot 4 text <.> ) Aplicando isso a um binômio, veremos que ((x + 4) ^ 2 = (x + 4) (x + 4) text <.> ) Para expandir esta expressão, vamos simplesmente distribuir ((x + 4) ) em ((x + 4) text <:> )

Da mesma forma, para expandir ((y-7) ^ 2 text <,> ) teremos:

Esses dois exemplos podem ser semelhantes a qualquer outro exemplo de multiplicação de binômios, mas olhando de perto podemos ver que algo muito específico (ou especial) ocorrido. Focando na expressão original e na simplificada, podemos ver que um padrão específico ocorreu em cada uma:

começar left (y-7 right) ^ 2 amp = y ^ 2 - destaque <7> y - destaque <7> y + destaque <7 cdot 7> left (y- destaque < 7> direita) ^ 2 amp = y ^ 2 -2 ( destaque <7> y) + destaque <7> ^ 2 fim

Observe que os dois termos do meio não são apenas os mesmos, eles também são exatamente o produto dos dois termos no binômio. Além disso, o último termo é o quadrado do segundo termo em cada binômio original.

O que estamos vendo é um padrão que se relaciona a duas frases importantes: O processo é chamado e o resultado é chamado a. A primeira frase é uma descrição do que estamos fazendo, estamos literalmente quadrando um binômio. A segunda frase é uma descrição do que você acaba obtendo. Este segundo nome se tornará importante em um capítulo futuro.

Exemplo 6.6.2.

A maneira geral como este padrão é apresentado é quadrando os dois binômios mais gerais possíveis, ((a + b) ) e ((ab) text <.> ) Vamos estabelecer o padrão para ((a + b) ^ 2 ) e ((ab) ^ 2 text <.> ) Assim que tivermos feito isso, seremos capazes de substituir qualquer coisa no lugar de (a ) e (b ) e confiar sobre o padrão geral para simplificar binômios quadrados.

Devemos primeiro expandir ((a + b) ^ 2 ) como ((a + b) (a + b) ) e então podemos multiplicar esses binômios:

Observe que a etapa de simplificação final foi adicionar (ab + ba text <.> ) Como esses termos são semelhantes, podemos combiná-los em (2ab text <.> )

Da mesma forma, podemos encontrar uma fórmula geral para ((a-b) ^ 2 text <:> )

Fato 6.6.3. Quadratura de fórmulas binomiais.

Se (a ) e (b ) são números reais ou expressões variáveis, temos as seguintes fórmulas:

Essas fórmulas nos permitirão multiplicar este tipo de produto especial mais rapidamente.

Observação 6.6.4.

Observe que quando ((a + b) ^ 2 ) e ((a-b) ^ 2 ) são expandidos no Exemplo 6.6.2, o último termo foi a positivo (b ^ 2 ) em ambos. Isso ocorre porque qualquer número ou expressão, independentemente de seu sinal, é positivo depois de ser elevado ao quadrado.

Subseção 6.6.2 Outros Exemplos de Binômios Quadrados

Exemplo 6.6.5.

Expanda ((2x-3) ^ 2 ) usando a fórmula binomial de quadratura.

Para este exemplo, precisamos reconhecer que para aplicar a fórmula ((ab) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 ) nesta situação, (a = 2x ) e (b = 3 text <.> ) Expandindo isso, temos:

Observação 6.6.6.

Embora confiemos na fórmula para elevar o binômio ao quadrado no Exemplo 6.6.5, frequentemente omitiremos a etapa de escrever formalmente a fórmula e pularemos para a simplificação, desta forma:

Exemplo 6.6.7.

Multiplique o seguinte usando a fórmula binomial de quadratura:

( displaystyle begin[t] (5xy + 1) ^ 2 amp = (5xy) ^ 2 + 2 (5xy) (1) + 1 ^ 2 amp = 25x ^ 2y ^ 2 + 10xy + 1 end )

Com esta expressão, vamos primeiro notar que o fator de (4 ) é lado de fora a parte da expressão que é elevada ao quadrado. Usando a ordem das operações, primeiro expandiremos ((3x-7) ^ 2 ) e, em seguida, multiplicaremos essa expressão por (4 text <:> )

Exemplo 6.6.8.

A área de um círculo pode ser calculada pela fórmula

onde (A ) representa a área e (r ) representa o raio. Se o raio de um certo círculo pode ser modelado em (x-5 ) pés, use um polinômio expandido para modelar a área do círculo.

A área do círculo seria:

A área do círculo pode ser modelada por ( pi x ^ 2-10 pi x + 25 pi ) pés quadrados.

Ponto de verificação 6.6.9.

Subseção 6.6.3 O Produto da Soma e Diferença de Dois Termos

Para identificar o próximo “caso especial” para multiplicação de polinômios, veremos alguns exemplos.

Exemplo 6.6.10.

Multiplique os seguintes binômios:

( displaystyle begin[t] (x + 5) (x-5) amp = x ^ 2-5x + 5x-25 amp = x ^ 2 -25 end )

( displaystyle begin[t] (y + 8) (y-8) amp = y ^ 2-8y + 8y-4 amp = y ^ 2 - 64 end )

Observe que, para cada um desses produtos, multiplicamos a soma de dois termos pela diferença do mesmo Dois termos. Observe também nesses três exemplos que, uma vez que essas expressões foram multiplicadas, os dois termos do meio eram opostos e, portanto, cancelados para zero.

Esses pares, geralmente escritos como ((a + b) ) e ((a-b) text <,> ) são conhecidos como. Se multiplicarmos ((a + b) (a-b) text <,> ), podemos ver este padrão geral mais claramente:

Como no caso especial anterior, este também tem dois nomes. Isso pode ser chamado de, porque esse padrão é construído na multiplicação de dois binômios que têm os mesmos dois termos, exceto que um binômio é uma soma e o outro binômio é uma diferença. O segundo nome é a, porque o resultado final da multiplicação é um binômio que é a diferença de dois quadrados perfeitos. Como antes, o segundo nome se tornará útil em um capítulo futuro, quando usar exatamente a técnica descrita nesta seção for pertinente.

Fato 6.6.11. O produto da fórmula da soma e diferença de dois termos.

Se (a ) e (b ) são números reais ou expressões variáveis, temos a seguinte fórmula:


Domingo, 22 de outubro de 2006

Polinômios: Operações 4.7

4.7 OPERAÇÕES COM POLINOMIAIS EM DIVERSAS VARIÁVEIS
uma. Avalie um polinômio em várias variáveis ​​para determinados valores das variáveis.
b. Identifique os coeficientes e os graus dos termos de um polinômio e o grau de um polinômio.
c. Colete os termos de um polinômio.
d. Adicione polinômios.
e. Subtraia polinômios.
f. Multiplique polinômios.

Objetivo a
Avalie um polinômio em várias variáveis ​​para determinados valores das variáveis.


Objetivo b
Identifique os coeficientes e os graus dos termos de um polinômio e o grau de um polinômio.

Objetivo c
Colete os termos de um polinômio.

Exemplo C Combine termos semelhantes.

Objetivo d
Adicione polinômios.

Objetivo e
Subtraia polinômios.

Objetivo f
Multiplique polinômios.



Polinômios: Operações 4.6

4.6 PRODUTOS ESPECIAIS
uma. Multiplique dois binômios mentalmente usando o método FOIL.
b. Multiplique a soma e a diferença de dois termos mentalmente.
c. Quadratura um binômio mentalmente.
d. Encontre produtos especiais quando produtos polinomiais são misturados.

Objetivo a
Multiplique dois binômios mentalmente usando o método FOIL.


Objetivo b
Multiplique a soma e a diferença de dois termos mentalmente.


Objetivo c
Quadrado um binômio mentalmente.


Objetivo d
Encontre produtos especiais quando produtos polinomiais são misturados.



Polinômios: Operações 4.5

4.5 MULTIPLICAÇÃO DE POLINOMIAIS
uma. Multiplique monômios.
b. Multiplique um monômio por qualquer polinômio.
c. Multiplique dois binômios.
d. Multiplique quaisquer dois polinômios.


Noções básicas do modelo de precificação de opção binomial

Com os modelos de preços de opções binomiais, as premissas são de que há dois resultados possíveis - portanto, a parte binomial do modelo. Com um modelo de precificação, os dois resultados são um movimento para cima ou para baixo. A principal vantagem de um modelo de precificação de opções binomial é que eles são matematicamente simples. No entanto, esses modelos podem se tornar complexos em um modelo multiperíodo.

Em contraste com o modelo Black-Scholes, que fornece um resultado numérico baseado em entradas, o modelo binomial permite o cálculo do ativo e a opção por vários períodos junto com a gama de resultados possíveis para cada período (veja abaixo).

A vantagem dessa visão de vários períodos é que o usuário pode visualizar a mudança no preço do ativo de um período para outro e avaliar a opção com base nas decisões tomadas em diferentes momentos. Para uma opção com base nos EUA, que pode ser exercida a qualquer momento antes da data de vencimento, o modelo binomial pode fornecer uma visão sobre quando o exercício da opção pode ser aconselhável e quando ela deve ser mantida por períodos mais longos.

Observando a árvore binomial de valores, um trader pode determinar com antecedência quando uma decisão sobre um exercício pode ocorrer. Se a opção tiver valor positivo, existe a possibilidade de exercício enquanto, se a opção tiver valor menor que zero, deve ser mantida por períodos mais longos.


(x + 2) 2 & # xa0 está na forma de (a + b) 2

Comparando & # xa0 (a + b) 2 & # xa0 e (x + 2) 2, obtemos

Escreva a fórmula / expansão para & # xa0 (a + b) 2.

Substitua x por a e 2 por b. & # Xa0

Portanto, a expansão de & # xa0 (x + 2) 2 & # xa0 é

(x - 5) 2 & # xa0 está na forma de (a - b) 2

Comparando & # xa0 (a - b) 2 & # xa0 e (x - 5) 2, obtemos

Escreva a fórmula / expansão para & # xa0 (a - b) 2.

Substitua x por a e 5 por b. & # Xa0

Portanto, a expansão de & # xa0 (x - 5) 2 & # xa0 é

(5x + 3) 2 & # xa0 está na forma de (a + b) 2

Comparando & # xa0 (a + b) 2 & # xa0 e (5x + 3) 2, obtemos

Escreva a expansão para & # xa0 (a + b) 2.

Substitua 5x por a e 3 por b. & # Xa0

(5x + 3) 2 & # xa0 = & # xa0 (5x) 2 & # xa0 + 2 (5x) (3) + 3 2

Portanto, a expansão de & # xa0 (5x + 3) 2 & # xa0 é

(5x - 3) 2 & # xa0 está na forma de (a - b) 2

Comparando & # xa0 (a - b) 2 & # xa0 e (5x - 3) 2, obtemos

Escreva a expansão para & # xa0 (a - b) 2.

Substitua 5x por a e 3 por b. & # Xa0

(5x - 3) 2 & # xa0 = & # xa0 (5x) 2 & # xa0- 2 (5x) (3) + 3 2

Portanto, a expansão de & # xa0 (5x - 3) 2 & # xa0 é

Se a + b & # xa0 = & # xa0 7 e a 2 + b 2 & # xa0 = & # xa0 29, encontre o valor de ab. & # xa0

Para obter o valor de ab, podemos usar a fórmula ou expansão de & # xa0 (a + b) 2.

Escreva a fórmula / expansão para & # xa0 (a + b) 2.

Substitua 7 por (a + b) & # xa0 e 29 por & # xa0 (a 2 + b 2).

Subtraia 29 de cada lado. & # Xa0

Se a - b & # xa0 = & # xa0 3 e a 2 & # xa0 + b 2 & # xa0 = & # xa0 29, encontre o valor de ab. & # xa0

Para obter o valor de ab, podemos usar a fórmula ou expansão de & # xa0 (a - b) 2.

Escreva a fórmula / expansão para & # xa0 (a - b) 2.

Substitua 3 por (a - b) & # xa0 e 29 por & # xa0 (a 2 & # xa0 + b 2).

Subtraia 29 de cada lado. & # Xa0

& # xa0 (√2 + 1 / √2) 2 & # xa0 está na forma de (a + b) 2

Comparando & # xa0 (a + b) 2 & # xa0 e & # xa0 (√2 + (1 / √2) 2, obtemos

Escreva a expansão para & # xa0 (a + b) 2.

Substitua & # xa0 √2 & # xa0 por a e 1 / √2 & # xa0 por b. & # Xa0

Portanto, o valor de & # xa0 (√2 + 1 / √2) 2 é

& # xa0 (√2 - 1 / √2) 2 & # xa0 está na forma de (a - b) 2

Comparando & # xa0 (a - b) 2 & # xa0 e & # xa0 (√2 - 1 / √2) 2, obtemos

Escreva a fórmula / expansão para & # xa0 (a - b) 2.

Substitua & # xa0 √2 & # xa0 por a e 1 / √2 & # xa0 por b. & # Xa0

Portanto, o valor de & # xa0 (√2 - 1 / √2) 2 & # xa0 é

Em vez de multiplicar 105 por 105 para obter o valor de (105) 2, podemos usar a fórmula algébrica para (a + b) 2 e encontrar o valor de (105) 2 & # xa0 facilmente.

Escreva & # xa0 (105) 2 & # xa0 na forma de (a + b) 2.

Escreva a expansão para & # xa0 (a + b) 2.

Substitua 100 & # xa0 por a e 5 & # xa0 por b. & # Xa0

(100 & # xa0 + 5) 2 & # xa0 = & # xa0 (100) 2 & # xa0 + 2 (100) (5) + (5) 2

Portanto, o valor de & # xa0 (10 5) 2 & # xa0 é

Em vez de multiplicar 95 por 95 para obter o valor de (9 5) 2, podemos usar a fórmula algébrica para (a - b) 2 & # xa0 e encontrar o valor de (95) 2 & # xa0 facilmente.

Escreva & # xa0 (95) 2 & # xa0 na forma de (a - b) 2.

Escreva a fórmula / expansão para & # xa0 (a - b) 2.

Substitua 100 & # xa0 por a e 5 & # xa0 por b. & # Xa0

(100 & # xa0- 5) 2 & # xa0 = & # xa0 (100) 2 & # xa0- 2 (100) (5) + (5) 2

Portanto, o valor de & # xa0 (9 5) 2 & # xa0 é

Depois de passar pelas coisas fornecidas acima, esperamos que os alunos tenham entendido a fórmula ou expansão de (a + b) 2 e os problemas de exemplo na expansão de (a + b) 2. & # xa0

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