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4.10: Suplemento de Exercícios - Matemática


Expressões Algébricas

Para os problemas a seguir, escreva o número de termos que aparecem e, em seguida, escreva os termos.

Exercício ( PageIndex {1} )

(4x ^ 2 + 7x + 12 )

Responder

três: (4x ^ 2, 7x, 12 )

Exercício ( PageIndex {2} )

(14y ^ 6 )

Exercício ( PageIndex {3} )

(c + 8 )

Responder

dois: (c, 8 )

Exercício ( PageIndex {4} )

(8)

Liste, se houver algum, os fatores comuns para os problemas a seguir.

Exercício ( PageIndex {5} )

(a ^ 2 + 4a ^ 2 + 6a ^ 2 )

Responder

(a ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {6} )

(9y ^ 4 - 18y ^ 4 )

Exercício ( PageIndex {7} )

(12x ^ 2y ^ 3 + 36y ^ 3 )

Responder

(12y ^ 3 )

Exercício ( PageIndex {8} )

(6 (a + 4) + 12 (a + 4) )

Exercício ( PageIndex {9} )

(4 (a + 2b) +6 (a + 2b) )

Responder

(2 (a + 2b) )

Exercício ( PageIndex {10} )

(17x ^ 2y (z + 4) + 51y (z + 4) )

Exercício ( PageIndex {11} )

(6a ^ 2b ^ 3c + 5x ^ 2y )

Responder

sem fatores comuns

Para os problemas a seguir, responda a pergunta de quantos.

Exercício ( PageIndex {12} )

(x ) está em (9x )?

Exercício ( PageIndex {13} )

((a + b) ) 's em (12 (a + b) )?

Responder

12

Exercício ( PageIndex {14} )

(a ^ 4 ) 's em (6a ^ 4 )

Exercício ( PageIndex {15} )

(c ^ 3 ) 's em (2a ^ 2bc ^ 3 )?

Responder

(2a ^ 2b )

Exercício ( PageIndex {16} )

((2x + 3y) ^ 2 ) 's em (5 (x + 2y) (2x + 3y) ^ 3 )?

Para os problemas a seguir, um termo será fornecido seguido por um grupo de seus fatores. Liste o coeficiente do determinado grupo de fatores.

Exercício ( PageIndex {17} )

(8z, z )

Responder

(8)

Exercício ( PageIndex {18} )

(16a ^ 3b ^ 2c ^ 4, c ^ 4 )

Exercício ( PageIndex {19} )

(7y (y + 3), 7y )

Responder

((y + 3) )

Exercício ( PageIndex {20} )

((- 5) a ^ 5b ^ 5c ^ 5, bc )

Equações

Para os problemas a seguir, observe as equações e escreva a relação que está sendo expressa.

Exercício ( PageIndex {21} )

(a = 3b )

Responder

O valor de (a ) é igual a três vezes o valor de (b ).

Exercício ( PageIndex {22} )

(r = 4t + 11 )

Exercício ( PageIndex {23} )

(f = dfrac {1} {2} m ^ 2 + 6g )

Responder

O valor de (f ) é igual a seis vezes (g ) mais da metade do valor de (m ) ao quadrado.

Exercício ( PageIndex {24} )

(x = 5y ^ 3 + 2y + 6 )

Exercício ( PageIndex {25} )

(P ^ 2 = ka ^ 3 )

Responder

O valor de (P ) ao quadrado é igual ao valor de (a ) vezes ao cubo (k ).

Use a avaliação numérica para avaliar as equações para os problemas a seguir.

Exercício ( PageIndex {26} )

(C = 2 pi r ). Find (C ) is ( pi ) é aproximado por (3.14 ) e (r = 6 )

Exercício ( PageIndex {27} )

(I = dfrac {E} {R} ). Encontre (I ) é (E = 20 ) e (R = 2 ).

Responder

(10)

Exercício ( PageIndex {28} )

(I = prt ). Encontre (I ) se (p = 1000 ), (r = 0,06 ) e (t = 3 ).

Exercício ( PageIndex {29} )

(E = mc ^ 2 ). Encontre (E ) se (m = 120 ) e (c = 186.000 ).

Responder

(4,1515 vezes 10 ^ {12} )

Exercício ( PageIndex {30} )

(z = dfrac {x-u} {s} ). Encontre (z ) se (x = 42 ), (u = 30 ) e (s = 12 ).

Exercício ( PageIndex {31} )

(R = dfrac {24C} {P (n + 1)} ). Encontre (R ) se (C = 35 ), (P = 300 ) e (n = 19 ).

Responder

( dfrac {7} {50} ) ou (0,14 )

Classificação de expressões e equações

Para os problemas a seguir, classifique cada um dos polinômios como monômio, binomial ou trinomial. Declare o grau de cada polinômio e escreva o coeficiente numérico de cada termo.

Exercício ( PageIndex {32} )

(2a + 9 )

Exercício ( PageIndex {33} )

(4y ^ 3 + 3y + 1 )

Responder

trinomial, cúbico; 4, 3, 1

Exercício ( PageIndex {34} )

(10a ^ 4 )

Exercício ( PageIndex {35} )

(147)

Responder

monômio; zero; 147

Exercício ( PageIndex {36} )

(4xy + 2yz ^ 2 + 6x )

Exercício ( PageIndex {37} )

(9ab ^ 2c ^ 2 + 10a ^ 3b ^ 2c ^ 5 )

Responder

binomial; décimo; 9, 10

Exercício ( PageIndex {38} )

((2xy ^ 3) ^ 0, xy ^ 3 não = 0 )

Exercício ( PageIndex {39} )

Por que a expressão ( dfrac {4x} {3x-7} ) não é um polinômio?

Responder

... porque há uma variável no denominador

Exercício ( PageIndex {40} )

Por que a expressão (5a ^ { dfrac {3} {4}} ) não é um polinômio?

Para os problemas a seguir, classifique cada uma das equações por grau. Se o termo linear, quadrático ou cúbico se aplicar, use-o.

Exercício ( PageIndex {41} )

(3y + 2x = 1 )

Responder

linear

Exercício ( PageIndex {42} )

(4a ^ 2 - 5a + 8 = 0 )

Exercício ( PageIndex {43} )

(y - x - z + 4w = 21 )

Responder

linear

Exercício ( PageIndex {44} )

(5x ^ 2 + 2x ^ 2 - 3x + 1 = 19 )

Exercício ( PageIndex {45} )

((6x ^ 3) ^ 0 + 5x ^ 2 = 7 )

Responder

Quadrático

Combinando Polinômios Usando Adição e Subtração - Produtos Binomiais Especiais

Simplifique as expressões algébricas para os problemas a seguir.

Exercício ( PageIndex {46} )

(4a ^ 2b + 8a ^ 2b - a ^ 2b )

Exercício ( PageIndex {47} )

(21x ^ 2y ^ 3 + 3xy + x ^ 2y ^ 3 + 6 )

Responder

(22x ^ 2y ^ 3 + 3xy + 6 )

Exercício ( PageIndex {48} )

(7 (x + 1) + 2x − 6 )

Exercício ( PageIndex {49} )

(2 (3y ^ 2 + 4y + 4) + 5y ^ 2 + 3 (10y + 2) )

Responder

(11y ^ 2 + 38y + 14 )

Exercício ( PageIndex {50} )

(5 [3x + 7 (2x ^ 2 + 3x + 2) + 5] - 10x ^ 2 + 4 (3x ^ 2 + x) )

Exercício ( PageIndex {51} )

(8 {3 [4y ^ 3 + y + 2] + 6 (y ^ 3 + 2y ^ 2)} - 24y ^ 3 - 10y ^ 2 - 3 )

Responder

(120y ^ 3 + 86y ^ 2 + 24y + 45 )

Exercício ( PageIndex {52} )

(4a ^ 2bc ^ 3 + 5abc ^ 3 + 9abc ^ 3 + 7a ^ 2bc ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {53} )

(x (2x + 5) + 3x ^ 2 - 3x + 3 )

Responder

(5x ^ 2 + 2x + 3 )

Exercício ( PageIndex {54} )

(4k (3k ^ 2 + 2k + 6) + k (5k ^ 2 + k) + 16 )

Exercício ( PageIndex {55} )

(2 {5 [6 (b + 2a + c ^ 2)]} )

Responder

(60c ^ 2 + 120a + 60b )

Exercício ( PageIndex {56} )

(9x ^ 2y (3xy + 4x) - 7x ^ 3y ^ 2 - 30x ^ 3y + 5y (x ^ 3y + 2x) )

Exercício ( PageIndex {57} )

(3m [5 + 2m (m + 6m ^ 2)] + m (m ^ 2 + 4m + 1) )

Responder

(36m ^ 4 + 7m ^ 3 + 4m ^ 2 + 16m )

Exercício ( PageIndex {58} )

(2r [4 (r + 5) - 2r - 10] + 6r (r + 2) )

Exercício ( PageIndex {59} )

(abc (3abc + c + b) + 6a (2bc + bc ^ 2) )

Responder

(3a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 7abc ^ 2 + ab ^ 2c + 12abc )

Exercício ( PageIndex {60} )

(s ^ {10} (2s ^ 5 + 3s ^ 4 + 4s ^ 3 + 5s ^ 2 + 2s + 2) - s ^ {15} + 2s ^ {14} + 3s (s ^ {12} + 4s ^ {11}) - s ^ {10} )

Exercício ( PageIndex {61} )

(6a ^ 4 (a ^ 2 + 5) )

Responder

(6a ^ 6 + 30a ^ 4 )

Exercício ( PageIndex {62} )

(2x ^ 2y ^ 4 (3x ^ 2y + 4xy + 3y) )

Exercício ( PageIndex {63} )

(5m ^ 6 (2m ^ 7 + 3m ^ 4 + m ^ 2 + m + 1 )

Responder

(10m ^ {13} + 15m ^ {10} + 5m ^ 8 + 5m ^ 7 + 5m ^ 6 )

Exercício ( PageIndex {64} )

(a ^ 3b ^ 3c ^ 4 (4a + 2b + 3c + ab + ac + bc ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {65} )

((x + 2) (x + 3) )

Responder

(x ^ 2 + 5x + 6 )

Exercício ( PageIndex {66} )

((y + 4) (y + 5) )

Exercício ( PageIndex {67} )

((a + 1) (a + 3) )

Responder

(a ^ 2 + 4a + 3 )

Exercício ( PageIndex {68} )

((3x + 4) (2x + 6) )

Exercício ( PageIndex {69} )

(4xy - 10xy )

Responder

(- 6xy )

Exercício ( PageIndex {70} )

(5ab ^ 2 - 3 (2ab ^ 2 + 4) )

Exercício ( PageIndex {71} )

(7x ^ 4 - 15x ^ 4 )

Responder

(- 8x ^ 4 )

Exercício ( PageIndex {72} )

(5x ^ 2 + 2x - 3 - 7x ^ 2 - 3x - 4 - 2x ^ 2 - 11 )

Exercício ( PageIndex {73} )

(4 (x-8) )

Responder

(4x-32 )

Exercício ( PageIndex {74} )

(7x (x ^ 2 - x + 3) )

Exercício ( PageIndex {75} )

(- 3a (5a - 6) )

Responder

(- 15a ^ 2 + 18a )

Exercício ( PageIndex {76} )

(4x ^ 2y ^ 2 (2x-3y-5) - 16x ^ 3y ^ 2 - 3x ^ 2y ^ 3 )

Exercício ( PageIndex {77} )

(- 5y (y ^ 2-3y-6) - 2y (3y ^ 2 + 7) + (-2) (- 5) )

Responder

(- 11y ^ 3 + 15y ^ 2 + 16y + 10 )

Exercício ( PageIndex {78} )

(-[-(-4)])

Exercício ( PageIndex {79} )

(−[−(−{−[−(5)]})])

Responder

(-5)

Exercício ( PageIndex {80} )

(x ^ 2 + 3x - 4 - 4x ^ 2 - 5x - 9 + 2x ^ 2 - 6 )

Exercício ( PageIndex {81} )

(4a ^ 2b - 3b ^ 2 - 5b ^ 2 - 8q ^ 2b - 10a ^ 2b - b ^ 2 )

Responder

(- 6a ^ 2b - 8q ^ 2b - 9b ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {82} )

(2x ^ 2 - x - (3x ^ 2 - 4x - 5) )

Exercício ( PageIndex {83} )

(3 (a − 1) −4 (a + 6) )

Responder

(- a - 27 )

Exercício ( PageIndex {84} )

(- 6 (a + 2) −7 (a − 4) +6 (a − 1) )

Exercício ( PageIndex {85} )

Adicione (- 3x + 4 ) a (5x - 8 ).

Responder

(2x - 4 )

Exercício ( PageIndex {86} )

Adicione (4 (x ^ 2 - 2x - 3) ) a (- 6 (x ^ 2 - 5) ).

Exercício ( PageIndex {87} )

Subtraia (3 ) vezes ((2x-1) ) de (8 ) vezes ((x-4) )

Responder

(2x - 29 )

Exercício ( PageIndex {88} )

((x + 4) (x − 6) )

Exercício ( PageIndex {89} )

((x − 3) (x − 8) )

Responder

(x ^ 2 - 11x + 24 )

Exercício ( PageIndex {90} )

((2a − 5) (5a − 1) )

Exercício ( PageIndex {91} )

((8b + 2c) (2b − c) )

Responder

(16b ^ 2 - 4bc - 2c ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {92} )

((a-3) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {93} )

((3-a) ^ 2 )

Responder

(a ^ 2 - 6a + 9 )

Exercício ( PageIndex {94} )

((x-y) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {95} )

((6x - 4) ^ 2 )

Responder

(36x ^ 2 - 48x + 16 )

Exercício ( PageIndex {96} )

((3a-5b) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {97} )

((- x-y) ^ 2 )

Responder

(x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {98} )

((k + 6) (k − 6) )

Exercício ( PageIndex {99} )

((m + 1) (m − 1) )

Responder

(m ^ 2 - 1 )

Exercício ( PageIndex {100} )

((a − 2) (a + 2) )

Exercício ( PageIndex {101} )

((3c + 10) (3c − 10) )

Responder

(9c ^ 2 - 100 )

Exercício ( PageIndex {102} )

((4a + 3b) (4a − 3b) )

Exercício ( PageIndex {103} )

((5 + 2b) (5−2b) )

Responder

(25 - 4b ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {104} )

((2y + 5) (4y + 5) )

Exercício ( PageIndex {105} )

((y + 3a) (2y + a) )

Responder

(2y ^ 2 + 7ay + 3a ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {106} )

((6 + a) (6−3a) )

Exercício ( PageIndex {107} )

((x ^ 2 + 2) (x ^ 2 - 3) )

Responder

(x ^ 4 - x ^ 2 - 6 )

Exercício ( PageIndex {108} )

(6 (a − 3) (a + 8) )

Exercício ( PageIndex {109} )

(8 (2y − 4) (3y + 8) )

Responder

(48y ^ 2 + 32y - 256 )

Exercício ( PageIndex {110} )

(x (x − 7) (x + 4) )

Exercício ( PageIndex {111} )

(m ^ 2n (m + n) (m + 2n) )

Responder

(m ^ 4n + 3m ^ 3n ^ 2 + 2m ^ 2n ^ 3 )

Exercício ( PageIndex {112} )

((b + 2) (b ^ 2 - 2b + 3) )

Exercício ( PageIndex {113} )

(3p (p ^ 2 + 5p + 4) (p ^ 2 + 2p + 7) )

Responder

(3p ^ 5 + 21p ^ 4 + 63p ^ 3 + 129p ^ 2 + 84p )

Exercício ( PageIndex {114} )

((a + 6) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {115} )

((x-2) ^ 2 )

Responder

(x ^ 2 - 4x + 4 )

Exercício ( PageIndex {116} )

((2x-3) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {117} )

((x ^ 2 + y) ^ 2 )

Responder

(x ^ 4 + 2x ^ 2y + y ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {118} )

((2m - 5n) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {119} )

((3x ^ 2y ^ 3 - 4x ^ 4y) ^ 2 )

Responder

(9x ^ 4y ^ 6 - 24x ^ 6y ^ 4 + 16x ^ 8y ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {120} )

((a-2) ^ 4 )

Terminologia associada a equações

Encontre o domínio das equações para os seguintes problemas.

Exercício ( PageIndex {121} )

(y = 8x + 7 )

Responder

todos os números reais

Exercício ( PageIndex {122} )

(y = 5x ^ 2 - 2x + 6 )

Exercício ( PageIndex {123} )

(y = dfrac {4} {x-2} )

Responder

todos os números reais, exceto 2

Exercício ( PageIndex {124} )

(m = dfrac {-2x} {h} )

Exercício ( PageIndex {125} )

(z = dfrac {4x + 5} {y + 10} )

Responder

(x ) pode ser igual a qualquer número real; (y ) pode ser igual a qualquer número, exceto (- 10 )


Teste Completo de Prática de Matemática ALEKS

Fazer um teste prático de matemática ALEKS completo é a melhor maneira de ajudá-lo a se familiarizar com o formato do teste e a se sentir mais confiante. Isso não apenas ajudará você a medir a sua prontidão para o exame e solidificar os conceitos que você aprendeu, mas é a melhor maneira de simular o dia do teste.
Para ajudá-lo a obter o melhor deste teste prático completo e realista de ALEKS Math e preparar sua mente e corpo para o teste real, recomendamos que você trate este teste prático como um teste real. Prepare papéis de rascunho, lápis, um cronômetro e uma calculadora e faça o teste de uma vez e siga os limites de tempo até o minuto.
Faça o seguinte teste prático de matemática ALEKS completo para simular a experiência do dia do teste. Depois de terminar, pontue seus testes usando as chaves de resposta.
Boa sorte!


1- O Sr. Jones economiza $ 2.500 de sua renda familiar mensal de $ 55.000. Que parte de sua renda ele economiza?

2- Quatro réguas de um & # 8211 pé podem ser divididas entre quantos usuários deixar cada uma com ( frac <1> <6> ) de uma régua?

3- Simplifique a expressão.
((6x ^ 3-8x ^ 2 + 2x ^ 4) - (4x ^ 2-2x ^ 4 + 2x ^ 3) )

4- Em dois anos sucessivos, a população de uma cidade aumenta em (15 \% ) e (20 \% ). Que porcentagem da população aumenta depois de dois anos?

6- Um navio da linha de cruzeiro deixou o Porto A e viajou 80 milhas ao oeste e 150 milhas ao norte. Nesse ponto, qual é a distância mais curta do cruzeiro ao porto A em milhas? ____________

7- Uma camisa que custa $ 200 tem desconto (15 \% ). Depois de um mês, a camisa tem outro desconto (15 \% ). Qual das seguintes expressões pode ser usada para encontrar o preço de venda da camisa?

8- Resolva: (5 + 8 vezes (- 2) & # 8211 [4 + 22 vezes 5] div 6 =? )

9- Qual dos seguintes pontos está na linha (x + 2y = 4 )?

10-5 menos que duas vezes um número inteiro positivo é 83. Qual é o número inteiro?

11-11 metros, 6 pés e 4 polegadas é igual a quantas polegadas?

12- A família do Sr. Carlos está escolhendo um cardápio para sua recepção. Eles têm 3 opções de aperitivos, 5 opções de entradas, 4 opções de bolo. Quantas combinações diferentes de menu são possíveis para eles escolherem?

13- A média de cinco números consecutivos é 38. Qual é o menor número?

14- Qual é a diferença do menor número de 4 dígitos e maior número de 4 dígitos?

15- Quantos ladrilhos de 8 cm (^ 2 ) são necessários para cobrir um piso de 6 cm por 24 cm?

16- Uma escada está apoiada em uma parede formando um ângulo de (60 ^ circ ) entre o solo e a escada. Se a base da escada estiver a 30 pés de distância da parede, qual será o comprimento da escada?

17- O peso médio de 18 meninas em uma classe é 60 kg e o peso médio de 32 meninos na mesma classe é de 62 kg. Qual é o peso médio de todos os 50 alunos dessa turma?

18- Um ângulo é igual a um quinto de seu suplemento. Qual é a medida desse ângulo?

19- Em um estádio, a proporção de torcedores locais para torcedores visitantes em uma multidão é de 5: 7. Qual das seguintes opções poderia ser o número total de torcedores no estádio?

20- Se (40 \% ) de uma classe são meninas, e (25 \% ) das meninas jogam tênis, que porcentagem da classe joga tênis?


Respostas

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4.10: Suplemento de Exercícios - Matemática

div. A, título V, & sect591 (b), 1º de janeiro de 2021, 134 Stat. 3665, acrescentou o item 2193b e eliminou o antigo item 2193b & quotMelhoria da educação em áreas técnicas: programa de apoio ao ensino fundamental e médio em ciências, matemática e tecnologia & quot.

div. A, título V, & sect580 (d) (3), 5 de outubro de 1999, 113 Stat. 633, itens adicionados 2192, 2193, 2193a e 2193b e eliminados os itens anteriores 2192 "Ciências, matemática e educação em engenharia" e 2193 "Programa de melhoria da educação em ciências e matemática".

div. A, título II, & sect247 (a) (2) (A), (C), 5 de novembro de 1990, 104 Stat. 1523, substituiu & quotSUPPORT OF SCIENCE, MAATHEMATICS AND ENGINEERING EDUCATION & quot por & quotNATIONAL DEFENSE SCIENCE AND ENGINEERING GRADUATE FELLOWSHIPS & quot no cabeçalho do capítulo e adicionou os itens 2192 a 2196.

Incentivo aos Programas de Ciência, Tecnologia, Engenharia e Matemática (STEM) do empreiteiro

& quot (a) Em geral. & mdashO Subsecretário de Defesa para Pesquisa e Engenharia, em coordenação com o Subsecretário de Defesa para Aquisição e Sustentação, deve desenvolver programas e incentivos para garantir que os contratados do Departamento de Defesa tomem as medidas adequadas para & mdash

& quot (1) aprimorar programas de graduação, pós-graduação e doutorado em ciência, tecnologia, engenharia e matemática (nesta seção referido como & aposSTEM & apos)

& quot (2) fazer investimentos, como programação e desenvolvimento curricular, em programas STEM em escolas de ensino fundamental e médio

& quot (3) encorajar os funcionários a se voluntariarem em escolas primárias e secundárias, incluindo escolas que o Secretário de Defesa determina que atendam a um grande número ou porcentagem de alunos de famílias de baixa renda ou que atendam a populações significativas de dependentes militares, a fim de melhorar a educação STEM e programas

& quot (4) estabelecer parcerias com entidades competentes, incluindo instituições de ensino superior, com o objetivo de formar alunos em disciplinas técnicas

& quot (5) disponibilizar pessoal para aconselhar e auxiliar nas atividades educacionais STEM alinhadas com as funções do Departamento de Defesa

& quot (6) conceder bolsas de estudo e bolsas de estudo e estabelecer programas de aprendizagem baseados no trabalho em disciplinas científicas

& quot (7) conduzir atividades de recrutamento para aumentar a diversidade da força de trabalho STEM ou

& quot (8) disponibiliza estágios para alunos de escolas de ensino médio, graduação, pós-graduação e programas de doutorado em disciplinas STEM.

& quot (b) Programa de premiação. & mdashO Secretário de Defesa deve estabelecer procedimentos para reconhecer empreiteiros da indústria de defesa que demonstrem excelência no apoio à educação STEM, parcerias, programação e outras atividades para aumentar a participação nos campos STEM.

& quot (c) Implementação. & mdashNão depois de 270 dias após a data de promulgação desta Lei [janeiro 1, 2021], o Subsecretário de Defesa de Pesquisa e Engenharia deverá apresentar às comissões de defesa do Congresso [Comissões de Serviços Armados e Dotações do Senado e da Câmara dos Deputados] um relatório sobre as medidas tomadas para implementar os requisitos desta seção.

& quot (d) Definições. & mdashNesta seção:

& quot (1) Os termos & aposelementary school & apos e & apossecondary school & apos têm os significados dados a esses termos na seção 8101 da Lei de Educação Elementar e Secundária de 1965 (20 U.S.C. 7801).

& quot (2) O termo & aposinstituição de ensino superior & apos tem o significado dado a tal termo na seção 101 da Lei de Ensino Superior de 1965 (20 U.S.C. 1001). & quot

div. A, título VIII, & sect862, 31 de dezembro de 2011, 125 Stat. 1521, que se relacionava ao incentivo de programas de ciência, tecnologia, engenharia e matemática (STEM) de contratados, foi revogado por

CAPÍTULO 111 - APOIO À CIÊNCIA, MATEMÁTICA E EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA! @! Sec. 2191 ->

& sect2191. Bolsas de pós-graduação

(a) O Secretário de Defesa deve prescrever regulamentos que estabeleçam a concessão de bolsas a cidadãos e cidadãos dos Estados Unidos que concordem em buscar diplomas de pós-graduação em ciência, engenharia ou outros campos de estudo designados pelo Secretário como de interesse prioritário para o Departamento de Defesa.

(b) Uma bolsa concedida de acordo com os regulamentos prescritos na subseção (a) será conhecida como uma "Bolsa Nacional de Pós-Graduação em Ciências e Engenharia de Defesa".

(c) As Bolsas de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Defesa Nacional serão concedidas exclusivamente com base na capacidade acadêmica. O Secretário deverá tomar todas as medidas apropriadas para encorajar os pedidos de bolsas de pessoas que são membros de grupos (incluindo grupos minoritários, mulheres e pessoas com deficiência) que têm sido historicamente sub-representados nos campos da ciência e tecnologia. Os vencedores serão selecionados com base em um concurso de âmbito nacional. A concessão de uma bolsa segundo esta seção não pode ser baseada na região geográfica em que o beneficiário vive ou na região geográfica em que o beneficiário buscará um diploma avançado.

(d) Os regulamentos prescritos nesta seção devem incluir & mdash

(1) os critérios para concessão de bolsas

(2) os procedimentos para selecionar destinatários

(3) a base para determinar o valor de uma bolsa e

(4) o valor máximo que pode ser concedido a um indivíduo durante um ano letivo.

CAPÍTULO 111 - APOIO À CIÊNCIA, MATEMÁTICA E EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA! @! Sec. 2192 ->

& sect2192. Melhoria da educação em campos técnicos: autoridade geral em relação à educação em ciências, matemática e engenharia

(a) O Secretário de Defesa, em consulta com o Secretário de Educação, deve, em uma base contínua & mdash

(1) identificar ações que o Departamento de Defesa pode tomar para melhorar a educação nas habilidades científicas, matemáticas e de engenharia necessárias para atender às necessidades de defesa nacional de longo prazo dos Estados Unidos para pessoal proficiente em tais habilidades e

(2) estabelecer e conduzir programas para realizar tais ações.

(b) (1) No cumprimento da autoridade do Secretário de Defesa sob qualquer disposição deste capítulo ou qualquer outra disposição da lei para apoiar programas educacionais em ciências, matemática, engenharia e tecnologia, o Secretário de Defesa pode, a menos que o contrário especificado em tal disposição & mdash

(A) celebrar contratos e acordos de cooperação com entidades elegíveis

(B) fazer concessões de assistência financeira a entidades elegíveis

(C) fornecer prêmios em dinheiro e outros itens para entidades elegíveis

(D) aceitar serviços voluntários de entidades elegíveis e

(E) apoiar o julgamento da competição nacional, outras atividades de eventos educacionais e cerimônias de premiação associadas em conexão com esses programas educacionais.

(2) O Secretário de Defesa pode exercer a autoridade prevista no parágrafo (1) por intermédio dos Secretários dos departamentos militares.

(A) O termo & entidade quoteligível & quot inclui um departamento ou agência do Governo Federal, um Estado, uma subdivisão política de um Estado, um indivíduo e uma organização sem fins lucrativos ou outra organização do setor privado.

(B) O termo & quotEstado & quot significa qualquer Estado dos Estados Unidos, o Distrito de Columbia, a Comunidade de Porto Rico, Guam, as Ilhas Virgens dos Estados Unidos, a Comunidade das Ilhas Marianas do Norte, Samoa Americana e qualquer outro território ou posse dos Estados Unidos.

(c) O Secretário deverá designar um indivíduo dentro do Gabinete do Secretário de Defesa para aconselhar e auxiliar o Secretário em assuntos relacionados à ciência, matemática e educação e treinamento em engenharia.

Emendas

adicionado par. (2) e antigo par. (2) como (3).

adicionado subseg. (b) e ex-subsec. (b) como (c).

seção corrigida em geral. Antes da emenda, o slogan era o seguinte: & quotCiências, matemática e educação em engenharia & quot.

Programa piloto de bolsa de estudos em Ciências, Matemática e Pesquisa para a Transformação (SMART)

div. A, título X, & sect1075 (h) (5), 7 de janeiro de 2011, 124 Stat. 4377, que se relacionava a um programa piloto para fornecer assistência financeira para a educação em ciências, matemática, engenharia e habilidades tecnológicas e disciplinas que foram consideradas críticas para as funções de segurança nacional do Departamento de Defesa, foi revogado e reformulado na seção 2192a deste título por

Apoio do Departamento de Defesa para Educação em Ciências, Matemática e Engenharia

div. A, título VIII, & sect829, 5 de dezembro de 1991, 105 Stat. 1444, instruiu o Secretário de Defesa a desenvolver e apresentar ao Congresso um plano mestre para atividades do Departamento de Defesa durante cada um dos anos fiscais de 1993 a 1997 para apoiar a educação em ciências, matemática e engenharia em todos os níveis de educação nos Estados Unidos, com cada um desses planos deve ser desenvolvido em consulta com o Secretário de Educação, antes de ser revogado por

CAPÍTULO 111 - APOIO À CIÊNCIA, MATEMÁTICA E EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA! @! Sec. 2192a ->

& sect2192a. Ciência, Matemática e Pesquisa para a Transformação (SMART) Programa de Educação em Defesa

(a) Requisito para o Programa. & mdash O Secretário de Defesa deve realizar um programa para fornecer assistência financeira para a educação em ciências, matemática, engenharia e habilidades tecnológicas e disciplinas que, conforme determinado pelo Secretário, são essenciais para as funções de segurança nacional de Departamento de Defesa e são necessários na força de trabalho do Departamento de Defesa.

(b) Assistência Financeira. & mdash (1) De acordo com o programa desta seção, o Secretário de Defesa pode conceder uma bolsa de estudos de acordo com esta seção a uma pessoa que & mdash

(A) é um cidadão dos Estados Unidos ou, sujeito à subseção (g), um país cujo governo seja parte do memorando de entendimento do Programa de Cooperação Técnica (TTCP) de 24 de outubro de 1995

(B) está buscando um grau de associado, graduação ou grau avançado em uma habilidade crítica ou disciplina descrita na subseção (a) em uma instituição credenciada de ensino superior e

(C) celebra um contrato de serviço com o Secretário de Defesa, conforme descrito na subseção (c).

(2) O montante da assistência financeira fornecida no âmbito de uma bolsa de estudos concedida a uma pessoa ao abrigo desta subsecção será um montante determinado pelo Secretário de Defesa.

(3) A assistência financeira fornecida sob uma bolsa de estudos ou bolsa concedida de acordo com esta seção pode ser paga diretamente ao destinatário de tal bolsa ou bolsa de estudos ou a uma entidade administradora para desembolso dos fundos.

(c) Contrato de Serviço para Destinatários de Assistência Financeira. & mdash (1) Para receber assistência financeira sob esta seção & mdash

(A) no caso de um funcionário do Departamento de Defesa, o funcionário deve entrar em um acordo por escrito para continuar a trabalhar no departamento pelo período de serviço obrigatório determinado nos termos do parágrafo (2) e

(B) no caso de uma pessoa que não seja funcionário do Departamento de Defesa, a pessoa deve entrar em um acordo por escrito para aceitar e continuar no emprego pelo período de serviço obrigatório determinado no parágrafo (2) & mdash

(i) com o Departamento, inclusive servindo na ativa nas Forças Armadas ou

(ii) com uma entidade pública ou privada ou organização fora do Departamento se o Secretário & mdash

(I) é incapaz de encontrar uma posição adequada para a pessoa dentro do Departamento e

(II) determina que o emprego da pessoa com tal entidade ou organização para o propósito de tal serviço obrigatório proporcionaria um benefício ao Departamento.

(2) Para os fins desta subseção, o período de serviço obrigatório para um destinatário de assistência financeira sob esta seção será o período determinado pelo Secretário de Defesa como sendo apropriado para obter serviço adequado em troca de tal assistência financeira. O tempo de serviço exigido de um beneficiário não pode ser inferior ao período total de obtenção de um diploma coberto por essa assistência financeira. O período de serviço obrigatório é adicionado a qualquer outro período durante o qual o destinatário é obrigado a servir no serviço público dos Estados Unidos.

(3) Um acordo celebrado sob esta subseção por uma pessoa em busca de um diploma acadêmico deve incluir todos os termos e condições que o Secretário de Defesa determinar necessários para proteger os interesses dos Estados Unidos ou de outra forma apropriados para o cumprimento desta seção.

(d) Emprego de participantes do programa. & mdashThe Secretary of Defense & mdash

(1) pode, sem levar em consideração qualquer disposição do título 5 que rege a nomeação de funcionários para cargos de serviço competitivo dentro do Departamento de Defesa, nomear para um cargo no Departamento de Defesa no serviço de exceção um indivíduo que tenha concluído com êxito um programa acadêmico para que uma bolsa ou bolsa nos termos desta seção foi concedida e que, nos termos do acordo para tal bolsa ou bolsa, no momento de tal nomeação, deve um compromisso de serviço para o Departamento

(2) pode, após a conclusão satisfatória de 2 anos de serviço substancialmente contínuo por um titular que foi nomeado para um cargo de serviço excepcional sob a autoridade do parágrafo (1), converter a nomeação de tal indivíduo, sem competição, em uma carreira ou carreira nomeação condicional e

(3) pode estabelecer acordos para que os participantes possam participar de um estágio remunerado por um período apropriado com um patrocinador da indústria.

(e) Reembolso por Período de Serviço Obrigatório Não Atendido. & mdash (1) (A) Um participante do programa sob esta seção que não é um funcionário do Departamento de Defesa e que voluntariamente não conclui o programa educacional para o qual a assistência financeira foi estipulado nesta seção, ou deixar de manter um progresso acadêmico satisfatório conforme determinado de acordo com os regulamentos prescritos pelo Secretário de Defesa, devolverá aos Estados Unidos uma quantia apropriada, conforme determinado pelo Secretário.

(B) Um participante do programa nesta seção que é funcionário do Departamento de Defesa e que & mdash

(i) voluntariamente deixar de completar o programa educacional para o qual a assistência financeira foi fornecida, ou deixar de manter um progresso acadêmico satisfatório, conforme determinado de acordo com os regulamentos prescritos pelo Secretário ou

(ii) antes da conclusão do período de serviço obrigatório exigido de tal participante & mdash

(I) rescindir voluntariamente o emprego de tal participante no Departamento ou

(II) é removido do emprego de tal participante com o Departamento com base em má conduta,

devolverá aos Estados Unidos uma quantia apropriada, conforme determinado pelo Secretário.

(2) A obrigação de reembolsar os Estados Unidos imposta nos termos do parágrafo (1) é, para todos os efeitos, uma dívida para com os Estados Unidos.

(3) O Secretário de Defesa pode renunciar, no todo ou em parte, ao reembolso exigido nos termos do parágrafo (1) se o Secretário determinar que a recuperação seria contra a equidade e a boa consciência ou seria contrária aos melhores interesses dos Estados Unidos.

(4) Uma rescisão na falência sob o título 11 que é celebrada em menos de cinco anos após a rescisão de um contrato sob esta seção não exime a pessoa que assina tal contrato de uma dívida decorrente de tal contrato ou sob esta subseção.

(f) Relacionamento com outros programas. & mdash (1) O Secretário de Defesa deve coordenar a prestação de assistência financeira sob a autoridade desta seção com a prestação de assistência financeira sob as outras autoridades previstas neste capítulo, a fim de maximizar os benefícios derivados pelo Departamento de Defesa do exercício de todas essas autoridades.

(2) O Secretário de Defesa deve procurar firmar parcerias com instituições minoritárias de ensino superior e organizações do setor público e privado apropriadas para diversificar os participantes no programa sob a subseção (a).

(g) Limitação de participação. & mdash (1) O secretário não pode conceder bolsas de estudo ou bolsas de estudo sob esta seção para mais de cinco indivíduos descritos no parágrafo (2) por ano.

(2) Um indivíduo descrito neste parágrafo é um indivíduo que & mdash

(A) não recebeu anteriormente uma bolsa de estudos no programa desta seção

(B) não é cidadão dos Estados Unidos e

(C) é cidadão de um país cujo governo é parte do memorando de entendimento do Programa de Cooperação Técnica (TTCP) de 24 de outubro de 1995.


Você não pode aprender a falar um idioma lendo um livro de gramática e não pode aprender a andar de bicicleta estudando mecânica. Da mesma forma, você não pode aprender álgebra ou qualquer outro assunto matemático apenas lendo um livro e ouvindo palestras. Você precisa se envolver ativamente por meio do material, e uma das melhores maneiras de fazer isso é com exercícios.

Os exercícios serão postados a cada semana, para serem submetidos eletronicamente na semana seguinte. Classificarei aproximadamente quatro exercícios por semana entre aqueles que você enviar (o número real dependerá de quanto tempo os problemas levam para classificar). Dois dos problemas que eu avaliar serão de sua escolha e os outros dois serão minha escolha. Você deve escolher problemas desafiadores, mas nos quais você fez um progresso significativo.

Classificarei seus envios com base na clareza de sua redação, na exatidão de suas respostas e na adequação dos problemas que você escolheu.

Sua nota em cada tarefa será uma única letra: A, B, C. Elas correspondem aproximadamente a 'passar', 'passar condicional' e 'reprovar' nas provas preliminares & mdashnot para as notas que você eventualmente receberá no curso. Fornecerei comentários, que espero que você leia e às vezes discuta comigo (este é o objetivo de minha classificação de seus exercícios).

Diretrizes para enviar tarefas

  • As tarefas (após a primeira) devem ser digitadas em Latex e enviadas eletronicamente via D2L. Você pode enviar o primeiro eletronicamente, se preferir. Não envie trabalhos de casa por e-mail.
  • Cada tarefa deve incluir uma seção detalhando as referências que você consultou. Se você consultar uma referência e ela contribuir para o que você escreve, você deve citá-la. Não fazer isso é plágio!
  • Indique no início de sua inscrição o número de exatamente dois exercícios que você gostaria que eu classificasse. Se você não fizer isso, escolherei os dois problemas que parecem mais fáceis de classificar.

Diretrizes para colaboração e uso de recursos

Eu te encorajo a colaborar! Seus colegas de classe serão seu recurso mais valioso durante a pós-graduação. Fale com eles, aprenda com eles. Mas, por favor, siga as regras abaixo quando se trata de seus deveres de casa.

Da mesma forma, é bom buscar outras perspectivas sobre o material que estamos estudando. Aprender matemática é um processo contínuo de reorganização em busca de uma perspectiva intuitiva. Cada pessoa é diferente e você pode descobrir que alguns textos falam melhor com sua intuição do que outros.

Dito isso, é fácil encontrar soluções para todos os exercícios em Dummit e Foote online. Aqui está um link. É fácil colaborar ou usar soluções online de forma improdutiva ou contraproducente, enquanto você poderia consulte outros recursos, você deve fazê-lo de acordo com as regras abaixo:

  1. Antes de discutir um problema ou consultar um recurso externo, faça um esforço honesto para resolvê-lo sozinho.
  2. Certifique-se de que, ao falar com outras pessoas ou ler material externo, esteja ativamente envolvido em produzir a solução e aprender como ela funciona. Uma maneira de fazer isso é tentar melhorar a solução, seja no argumento matemático ou em sua exposição.
  3. Quando você escreve suas soluções do not use any notes or other resources other than your newly improved brain. This is the true test of whether you have improved your understanding.
  4. You must list any discussions or resources that have contributed to your solutions in any way in the references section of your solutions. Failure to do this is plagiarism!
  5. Anything you submit as sua solution to an exercise must be reflection sua understanding of that exercise and yours alone.

Week 1 (§1.1&mdash1.5): Due Monday, 8/31

§1.1: #5, 7, 20, 22, 24, 30 (see Example 6 on p. 18), 32
§1.2: supplement, #3 (try to do this without writing down the multiplication table), 7, 12
§1.3: #5, 7, 11, 15 (the hint is to use Exercise 10 of §3 and Exercise 24 of §1), 16
§1.4: #10

Week 2 (§1.6, 1.7, 2.1): Due Wednesday, 9/9

§1.6: #4, 6 (Hint: Look forward to §1.6, Ex. 21), 17, 23, supplement
§1.7: #8, 10a, 17, 18, 19, 21, 23
§2.1: #6 (Hint: consider the "infinite dihedral group"), 8, 10

Week 3 (§2.1&mdash2.4): Due Tuesday, 9/15

§1.3: supplement
§1.7: #13
§2.2: #7, 10, 14 (you can assume that F = &Ropf if you are unfamiliar with fields)
§2.3: #9, 12b, 18, 24, 25 (note: this map may not be a homomorphism!), 26
§2.4: #7, 12 (Writing out a multiplication table gets no credit for 7 and 12. Hint: use a presentation of the dihedral group.), 14cd, 15

Week 4 (§2.5, 3.1): Due Monday, 9/21

§2.5: #14 (just make the diagram no justification required you can hand in the diagram on paper if you want)
§3.1: #9, 12, 14, 19, 22, 25, 34, 35, 36, 42, supplement

Week 5 (Appendix I, §3.2&mdash3.4): Due Monday, 9/28

§2.4: #17
§3.2: #4, 9, 11, 14, 18, 22
§3.3: #4 (Hint: use universal properties!), 6, 7, 10
§3.4: #4

Week 6 (§3.4, 3.5, 4.1, 4.2): Due Monday, 10/5

§3.4: #5
§3.5: #10, 12
§4.1: #1, 9
§4.2: #7 (Hint: Every nontrivial subgroup of Q8 contains 〈-1〉), 8, 13 (Hint: compose the left regular permutation representation with the sign homomorphism and compute the image of an element of order 2)
§4.3: #17 (Hint: recognize D as the kernel of an action), 29

Week 7 (§4.3, 4.6): Due Monday, 10/12

§4.3: #13, 19, 25, 26 (Hint: use that if H is a subgroup of G and G is a union of conjugates of H then G = H), 30
§4.4: #14
§4.6: #4

Week 8 (§4.4, 4.5, 5.1, 5.2): Due Monday, 10/19

§4.4: #1, 20(a)
§4.5: #16, 19, 30, 32, 34
§5.1: #11
§5.2: #13 (observe that you are proving a universal property!)

Week 9 (§5.1&mdash5.5): Due Monday, 10/26

§4.4: #18
§5.2: #4bc, 14
§5.4: #5 (remember the universal property of the quotient by the commutator), 7 (this is good prelim practice), 11
§5.5: #11, 22, 23

Week 10 (§5.2, 6.3, review): Due Wednesday, 11/4

Week 11 (§7.1&mdash7.3): Due Monday, 11/9

Do up to 5 of these: §7.1, #3, 5, 6, 7, 15, 21 §7.2, #3b §7.3, #2, 11
Do these: §7.1, #10, 13bc §7.2, #2 §7.2, #3c, 5a, 7, 13 § 7.3, #12, 15
Do 5 less the number of problems you did from the first group: §7.1, #26, 27 §7.2, #5b §7.3, #14, 26c

Week 12 (§7.4&mdash7.6): Due Wednesday, 11/18

Do up to 5 of these: §7.3, #5 (remember all ring homomorphisms are unital), 7, 10, 22, 24 §7.4, #9, 15, 18 §7.5, #7
Do these: §7.3, #29 §7.4, #2, 13 (for part (a), note that &phi -1 (P) = R is impossible when &phi is a unital homomorphism), 19, 39, 36 §7.5, #6, 9
§7.5, #5
Do 5 less the number of problems you did from the first group: §7.3, #33 §7.4, #33, 45, 46 (these three exercises requires a little topology), §7.4, #40 §7.5, #11

Week 13 (§7.6, §8.1&mdash8.2, §9.2): Due Wednesday, 12/2

Do up to 3 of these: §7.6, #1, 7 §8.1, #7, 11b §8.2, #2, 6a supplement
Do these: §7.6, #6, supplement §8.1, #4 (for the first half of part (a), you do not need R to be a Euclidean domain), 6 (problem 4 may be helpful), 8
Do 3 less the number of problems you did from the first group: §7.6, #8, 10, 11, supplement

Week 14 (§9.4&mdash9.5): Due Monday, 12/14


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Evidence based recommendations to support physical exercise for adults with obesity

VIDEO: Professor Jean-Michel Oppert introduces the new EASO supplement Exercise Training in the management of overweight and obesity in adults: Synthesis of the evidence and recommendations from the European Association for the. view more

Exercise training can help support management of overweight and obesity in adults, and can contribute to health benefits beyond "scale victories". The supplement published today in Obesity Reviews, based on the work of an expert group convened under the auspices of the European Association for the Study of Obesity (EASO), provides scientific evidence on health and wellbeing benefits of exercise training for people living with overweight and obesity. Supplement highlights include a summary of key recommendations additional developed materials provide infographic tools for health care practitioners (HCPs) and people who are overweight or living with obesity, and a written interview with the senior scientist who coordinated development of these important new physical activity recommendations, Professor Jean-Michel Oppert.

Contact: Professor Jean-Michel Oppert, Department of Nutrition, Pitie-Salpetriere Hospital, Sorbonne University, Paris, France [email protected]

Isenção de responsabilidade: AAAS and EurekAlert! are not responsible for the accuracy of news releases posted to EurekAlert! by contributing institutions or for the use of any information through the EurekAlert system.


Front matter

  • Preface. Introductory note, copyright notice and main home page for all these pages.
  • Conteúdo. This page.
  • Instalação. Notes on installing or configuring a browser with MathML to view these pages.
  • The contents pages of the published book. PDF taken from the published book, for people who haven't bought it yet!
  • The preface from the published book. indicating the main aims of the book and how to read it.
  • A (very short!) list of errata for the published book.
  • The prfblock.sty LaTeX styles for typesetting proofs with the vertical lines as used in the book.

Answers to selected exercises in the book

In due course I hope to have web pages containing answers or hints to all the exercises in the book. If the one you are looking for is not here yet please be patient.

Additional exercises to test your knowledge and understanding

The following exercises test your knowledge and understanding of the marerial in the book further. They may be suitable for assessments for undergraduate courses, etc. Answers will not normally be provided on these web pages. They may not follow the order of the book exactly.

  • Exercises and examples on simple formal systems. Systems similar to those in Chapter 3. You need to understand formal derivations and inductions on derivations.
  • Exercises and examples on completeness and soundness for propositional logic. A complete baby propositional logic based on the arrow relation and the propositional constant bottom.
  • Exercises and examples on the Sheffer stroke. A system for propositional logic based on a single propositional connective.
  • Exercises and examples on first-order languages. Introductory exercises on first-order languages.

Supplementary material on propositional and first order logic

This lists some supplementary material for propositional and first order logic, directly related to the book and available here as additional reading, some of it advanced . In particular this includes the proof of the Soundness Theorem, which is quite technical, especially when done properly. Just like the simpler examples of Soundness in the book, it is by induction on the length of proof. This sequence of web pages takes the reader through the material. Along the way you will find precise definitions of truth in an eu-structure M and the precise definitions of substitution and the rules for first order logic. It is suitable for readers who want the full details and who have mastered most of The Mathematics of Logic.

  • More on the König-lemma system. More on the 0,1-System of Chapter 3 of The Mathematics of Logic , including a way to avoid the use of Zorn's lemma and an alternative way of deriving König's lemma from the completeness theorem.
  • Another 0-1 system. Some tricky variations on the 0-1 system to think about
  • Between order and logic. Systems for lattices and theories of and and or , intermediate between the systems of chapters 4 and 6 of The Mathematics of Logic .
  • Different propositional languages. Comparison of different languages and expressive completeness of propositional logical languages.
  • Boolean terms and unique readability. The formal definition of the set of boolean terms over a set X and the unique readability theorem for these.
  • Proofs as structured lists and proof trees. More on how to write a formal proof on a page.
  • Free variables. The definition of free occurences of variables in a formula.
  • Substitution in first-order language. The definition of valid substitution of terms for variables.
  • Substitution and the rules for first order logic. The rules of first order logic revisited and made precise using the notion of substitution.
  • The definition of truth. The definition of semantics for first order logic.
  • Sematic aspects of substitution. Some preliminary results towards the soundness theorem.
  • The proof of soundness. The proof of the Soundness Theorem for first order logic.

The Gödel incompleteness theorems

Possibly the most celebrated results in logic, the incompleteness theorems show there are intrinsic limitations to the idea of mechanised proof. (In other words, mathematicians are not and never will be redundant!) The pages here sketch the details and the links with computability.

  • Overview of the incompleteness theorems. Statements of the main theorems, and definitions of the key terms.
  • Discretely ordered rings. A minimal algebraic theory of arithmetic.
  • Exercises on discretely ordered rings.
  • Exercises on discretely ordered rings - answers.
  • Computability and the language of arithmetic. Connections between expressibility in the first order language of arithmetic and computability theory.
  • Representability and diagonalisation. Representing functions and sets in a theory the Diagonalisation lemma.
  • Gödel's first incompleteness theorem. The first application of Diagonalisation to incompleteness.
  • The Gödel-Rosser incompleteness theorem. Rosser's trick to improve Gödel's first incompleteness theorem.
  • Gödel's second incompleteness theorem. The non-provability of consistency.
  • Interpretações. Interpretations of arithmetic in another theory, and the Gödel theorems for these theories.
  • Hilbert's Programme.

Axiomatic set theory

Axiomatic set theory is a first order theory into which all normal mathematics embeds. It formalises many arguments presented in The Mathematics of Logic including results on Zorn's Lemma and cardinal numbers.

  • Introduction to axiomatic set theory. Basic axioms
  • The cumulative hierachy of sets.
  • The Axiom of Foundation.
  • The Axiom of Infinity.
  • The Axiom Scheme of Replacement with an application to transitive closure.
  • Epsilon induction and recursion.
  • Introduction to ordinals.
  • Induction and recursion on ordinals.
  • Ordinal arithmetic.
  • The cumulative hierarchy and rank.
  • The Axiom of Choice.
  • Cardinals.
  • König's inequality.
  • Cofinality and inaccessibles.

Some model theory

These pages build on Chapters 10 and 11 of The Mathematics of Logic. The goal is to give more examples and motivate the ideas of independence behind Morley's theorem.


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