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1.3: Fatoração Prime - Matemática


  • Números primos e compostos
  • O princípio fundamental da aritmética
  • A fatoração principal de um número inteiro

Números primos e compostos

Observe que os únicos fatores de 7 são 1 e 7 em si, e que os únicos fatores de 23 são 1 e 23 em si.

Definição: número primo

Um número inteiro maior que 1 cujos únicos fatores de número inteiro são ele mesmo e 1 é chamado número primo.

Os primeiros sete números primos são

2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17

O número 1 não é considerado um número primo, e o número 2 é o primeiro e único número primo par.
Muitos números têm outros fatores além deles próprios e 1. Por exemplo, os fatores de 28 são 1, 2, 4, 7, 14 e 28 (uma vez que cada um desses números inteiros e apenas esses números inteiros se dividem em 28 sem resto).

Definição: Número Composto

Um número inteiro que é composto de outros fatores que não ele mesmo e 1 é chamado de número composto. Números compostos não são números primos.


Alguns números compostos são 4, 6, 8, 10, 12 e 15.

O princípio fundamental da aritmética

Os números primos são muito importantes no estudo da matemática. Nós os usaremos em breve em nosso estudo de frações. Vamos agora, no entanto, ser apresentados a um importante princípio matemático.

Definição: O Princípio Fundamental da Aritmética

Exceto pela ordem dos fatores, todo número inteiro, exceto 1, pode ser fatorado de uma e apenas uma maneira como um produto de números primos.

Definição: Fatoração primária

Quando um número é fatorado de modo que todos os seus fatores sejam números primos, a fatoração é chamada de fatoração primária do número.

Conjunto de amostra A

Exemplo ( PageIndex {1} )

Encontre a fatoração primária de 10.

(10=2 · 5)

Ambos 2 e 5 são números primos. Assim, 2 · 5 é a fatoração primária de 10.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Encontre a fatoração primária de 60.

60 = 2 · 30 30 não é primo. 30 = 2 · 15

= 2 · 2 · 15 15 não é primo. 15 = 3,5

= 2 · 2 · 3 · 5 Usaremos expoentes. 2 · 2 = (2 ^ 2 )

= (2^2) · 3 · 5

Os números 2, 3 e 5 são todos primos. Assim, 22 · 3 · 5 é a fatoração primária de 60.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Encontre a fatoração primária de 11.

11 é um número primo. A fatoração primária aplica-se apenas a números compostos.

A fatoração principal de um número inteiro

O método a seguir fornece uma maneira de encontrar a fatoração primária de um número inteiro. Os exemplos a seguir usarão o método e o tornarão mais claro.

  1. Divida o número repetidamente pelo menor número primo que se dividirá no número sem resto.
  2. Quando o número primo usado na etapa 1 não mais se divide no número fornecido sem resto, repita o processo com o próximo maior número primo.
  3. Continue esse processo até que o quociente seja 1.
  4. A fatoração primária do número dado é o produto de todos esses divisores primos.

Conjunto de amostra B

Exemplo ( PageIndex {4} )

Encontre a fatoração primária de 60.

Como 60 é um número par, ele é divisível por 2. Vamos dividir repetidamente por 2 até que não possamos mais (quando começarmos a obter um resto). Devemos dividir da seguinte maneira.

30 é divisível por 2 novamente.

15 não é divisível por 2, mas é divisível por 3, o próximo maior primo.

5 não é divisível por 3, mas é divisível por 5, o próximo maior primo.

O quociente é 1, então paramos o processo de divisão

A fatoração principal de 60 é o produto de todos esses divisores.

60 = 2 · 2 · 3 · 5 Usaremos expoentes quando possível

60 = (2^2) · 3 · 5

Exemplo ( PageIndex {5} )

Encontre a fatoração primária de 441.

Como 441 é um número ímpar, não é divisível por 2. Vamos tentar 3, o próximo maior primo.

147 é divisível por 3.

49 não é divisível por 3 nem por 5, mas por 7.

7 é divisível por 7.

O quociente é 1, portanto, interrompemos o processo de divisão.

A fatoração principal de 441 é o produto de todos os divisores.

441 = 3 · 3 · 7 · 7 Usaremos expoentes quando possível.

441 = (3^2) · (7^2)

Para os problemas a seguir, determine quais números inteiros são primos e quais são compostos.

Exercício ( PageIndex {1} )

23

Responder

melhor

Exercício ( PageIndex {2} )

25

Responder

composto

Exercício ( PageIndex {3} )

27

Responder

composto

Exercício ( PageIndex {4} )

2

Responder

melhor

Exercício ( PageIndex {5} )

3

Responder

melhor

Exercício ( PageIndex {6} )

5

Responder

melhor

Exercício ( PageIndex {7} )

7

Responder

melhor

Exercício ( PageIndex {8} )

9

Responder

composto

Exercício ( PageIndex {9} )

11

Responder

melhor

Exercício ( PageIndex {10} )

34

Responder

composto

Exercício ( PageIndex {11} )

55

Responder

composto

Exercício ( PageIndex {12} )

63

Responder

composto

Exercício ( PageIndex {13} )

1044

Responder

composto

Exercício ( PageIndex {14} )

339

Responder

composto

Exercício ( PageIndex {15} )

209

Responder

composto

Para os problemas a seguir, encontre a fatoração primária de cada número inteiro. Use expoentes em fatores repetidos.

Exercício ( PageIndex {16} )

26

Exercício ( PageIndex {17} )

38

Responder

2 · 19

Exercício ( PageIndex {18} )

54

Exercício ( PageIndex {19} )

62

Responder

2 · 31

Exercício ( PageIndex {20} )

56

Exercício ( PageIndex {21} )

176

Responder

(2^4) · (11)

Exercício ( PageIndex {22} )

480

Exercício ( PageIndex {23} )

819

Responder

(3^2) · (7) · (13)

Exercício ( PageIndex {24} )

2025

Exercício ( PageIndex {25} )

148,225

Responder

(5^2) · (7^2) · (11^2)


Assista o vídeo: Prime Factorisation -Chapter 1- part 3 (Outubro 2021).