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2.5: A hipótese de Riemann


Definição 2.19

A função zeta de Riemann ( zeta (z) ) é uma função complexa definida como segue em ( {z in mathbb {C} | mbox {Re} z> 1 } )

[ zeta (z) = sum_ {n = 1} ^ { infty} n ^ {- z} nonumber ]

Em outros valores de (z in mathbb {C} ) é definido pela continuação analítica desta função (exceto em (z = 1 ) onde tem um pólo simples).

A continuação analítica é semelhante a substituir (e ^ x ) onde (x ) é real por (e ^ z ) onde (z ) é complexo. Outro exemplo é a série ( sum_ {j = 0} ^ { infty} z ^ j ). Esta série diverge para (| z |> 1 ). Mas como uma função analítica, ela pode ser substituída por ((1-z) ^ {- 1} ) em todos os ( mathbb {C} ) exceto no pólo (z = 1 ) onde diverge.

Lembre-se de que uma função analítica é uma função diferenciável. Equivalentemente, é uma função localmente dada por uma série de potências convergentes. Se (f ) e (g ) são duas continuações analíticas para uma região (U ) de uma função (h ) dada em uma região (V subconjunto U ), então a diferença ( fg ) é zero em algum (U ) e, portanto, todas as suas expansões de potência são zero e, portanto, deve ser zero em toda a região. Portanto, as conjugações analíticas são únicas. Essa é a razão pela qual eles são significativos. Para mais detalhes, veja por exemplo [4, 14].

É costume denotar o argumento da função zeta por (s ). Faremos isso de agora em diante. Observe que (| n-s | = n- mbox {Re} s ), e assim para ( mbox {Re} s> 1 ) a série é absolutamente convergente. Neste ponto, o aluno deve se lembrar - ou procurar em [23] - o fato de que séries absolutamente convergentes podem ser reorganizadas arbitrariamente sem alterar a soma. Isso leva à seguinte proposição.

Proposição 2.20

Para ( mbox {Re} s> 1 ), temos

[ sum_ {n = 1} ^ { infty} n-s = prod_ {p primo} (1-p ^ {- s}) ^ {- 1} nonumber ]

Existem duas provas comuns desta fórmula. Vale a pena apresentar os dois.

Prova

A primeira prova usa o Teorema Fundamental da Aritmética. Primeiro, lembramos que usar séries geométricas

[(1-p ^ {- s}) ^ {- 1} = sum_ {k = 0} ^ { infty} p ^ {- ks} não numérico ]

para reescrever a mão direita do produto Euler. Isto dá

[ prod_ {p prime} (1-p ^ {- s}) ^ {- 1} = ( sum_ {k_1 = 0} ^ { infty} p_ {1} ^ {- k_ {1} s} ) ( sum_ {k_2 = 0} ^ { infty} p_ {2} ^ {- k_ {2} s}) ( sum_ {k_3 = 0} ^ { infty} p_ {3} ^ {- k_ { 3} s}) nonumber ]

Reorganizando os rendimentos dos termos

[ dots = (p_ {1} ^ {k_ {1}} p_ {2} ^ {k_ {2}} p_ {3} ^ {k_ {3}} dots) ^ {- s} nonumber ]

Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, a expressão ((p_ {1} ^ {k_ {1}} p_ {2} ^ {k_ {2}} p_ {3} ^ {k_ {3}} pontos) ) percorre todos os inteiros positivos exatamente uma vez. Assim, ao reorganizar novamente, obtemos a mão esquerda da fórmula de Euler.

A segunda prova, a que Euler usou, emprega um método de peneira. Desta vez, começamos com a mão esquerda do produto Euler. Se multiplicarmos ( zeta ) por (2 ^ {- s} ), obtemos precisamente os termos com (n ) par. Então

[(1-2 ^ {- s}) zeta (s) = 1 + 3 ^ {- s} +5 ^ {- s} + cdots = sum_ {2 nmid n} n ^ {- s } enhum número]

Posteriormente, multiplicamos esta expressão por ((1-3 ^ {- s}) ). Isso tem o efeito de remover os termos que permanecem onde (n ) é um múltiplo de (3 ). Segue-se que eventualmente

[(1-p_ {l} ^ {- s}) dots (1-p_ {1} ^ {- s}) zeta (s) = sum_ {p_ {1} nmid n, cdots p_ {l} nmid n} n ^ {- s} nonumber ]

O argumento usado na peneira de Eratóstenes (Seção 1.1) agora serve para mostrar que no lado direito da última equação todos os termos diferentes de (1 ) desaparecem à medida que tendo para o infinito. Portanto, a mão esquerda tende a 1, o que implica a proposição.

O teorema mais importante a respeito dos primos é provavelmente o seguinte (sem prova).

Figura 3. À esquerda, a função ( int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt ) em azul, ( pi (x) ) em vermelho, e (x / mbox {ln } x ) em verde. À direita, temos ( int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt - x / mbox {ln} x ) em azul, ( pi (x) - x / mbox {ln} x ) em vermelho.

Teorema 2.21 (Teorema dos números primos)

Seja ( pi (x) ) a função de contagem de primos, isto é: o número de primos menor ou igual a (x> 2 ).

Então

  1. ( lim_ {x rightarrow infty} frac { pi (x)} {(x / mbox {ln} x)} = 1 ) e
  2. ( lim_ {x rightarrow infty} frac { pi (x)} { int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt} = 1 )

onde ( mbox {ln} ) é o logaritmo natural.

A primeira estimativa é a mais fácil de provar, a segunda é a mais precisa. Na Figura 3 à esquerda, plotamos, para (x in [2,1000] ), de cima para baixo as funções ( int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt ) em azul, ( pi (x) ) em vermelho e (x / mbox {ln} x ). Na figura à direita, aumentamos o domínio para (x in [2, 100000] ). e plote a diferença dessas funções com (x / mbox {ln} x ). Agora fica claro que ( int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt ) é de fato uma aproximação muito melhor de ( pi (x) ). Desta figura pode-se ficar tentado a concluir que ( int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt - pi (x) ) é sempre maior ou igual a zero. Isso, entretanto, é falso. Sabe-se que existem infinitos n para os quais ( int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt - pi (x) <0 ). O primeiro desses (n ) é chamado de número Skewes. Não se sabe muito sobre este número, exceto que é inferior a 10317.

Talvez o problema aberto mais importante em toda a matemática seja o seguinte. Diz respeito à continuação analítica de ( zeta (s) ) dada acima.

Conjectura 2.22 (hipótese de Riemann)

Todos os zeros não reais de ( zeta (s) ) estão na linha ( mbox {Re} s = frac {1} {2} )

Em seu único artigo sobre a teoria dos números [20], Riemann percebeu que a hipótese permitiu-lhe descrever propriedades detalhadas da distribuição dos primos em termos de da localização do zero não real de ( zeta (s) ). Esta conexão completamente inesperada entre campos tão díspares - funções analíticas e primos em ( mathbb {N} - ) falou com a imaginação e levou a um enorme interesse pelo assunto. Em pesquisas posteriores, foi demonstrado que a hipótese também está relacionada a outras áreas da matemática, como, por exemplo, os espaçamentos entre os autovalores de matrizes hermitianas aleatórias [2], e até mesmo a física [5, 6].


Referências para Riemann Hypotheis fornecendo o melhor limite para o Teorema dos Números Primos

Quais livros cobrem a prova de que a hipótese de Riemann é equivalente ao melhor limite de erro para o teorema dos números primos?

Meu entendimento é que a hipótese de Riemann é equivalente ao melhor limite do teorema dos números primos. Von Koch (1901) provou que a hipótese de Riemann é equivalente ao "melhor possível" limite para o erro do teorema dos números primos, mas o artigo de Koch é em alemão, não consegui ler.

Alguém pode recomendar livros ou artigos em inglês que cubram essa prova?

Além disso, Schoenfeld deu uma versão melhorada desse argumento?


A hipótese de Riemann

Ganhador do Prêmio Beckenbach do Livro da Mathematical Association of America em 2018!

A hipótese de Riemann diz respeito aos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 & hellip Onipresente e fundamental na matemática como eles são, é importante e interessante saber o máximo possível sobre esses números. Perguntas simples seriam: como os números primos são distribuídos entre os inteiros positivos? Qual é o número de números primos de 100 dígitos? De 1.000 dígitos? Essas perguntas foram o ponto de partida de um artigo inovador de Bernhard Riemann escrito em 1859. Como um aparte em seu artigo, Riemann formulou sua agora famosa hipótese que até agora ninguém chegou perto de provar: Todos os zeros não triviais da função zeta repousam sobre a linha crítica. Oculto por trás dessa primeira frase misteriosa está todo um universo matemático de números primos, sequências infinitas, produtos infinitos e funções complexas.

O presente livro é uma primeira exploração deste mundo fascinante e desconhecido. Ele se originou de um curso online para alunos do ensino médio com talento matemático organizado pelos autores deste livro na Universidade de Amsterdã. O objetivo era colocar os alunos em contato com a matemática desafiadora de nível universitário e mostrar a eles do que se trata a hipótese de Riemann e por que ela é um problema tão importante para a matemática.


A hipótese de Riemann

O Comitê da Lista da Biblioteca Básica sugere que as bibliotecas de matemática de graduação considerem este livro para aquisição.

A hipótese de Riemann é um dos problemas mais difíceis e famosos da matemática. Sua formulação original, que vem da teoria das funções complexas, afirma que todos os zeros não reais da função zeta de Riemann têm parte real igual à metade. Por causa de sua formulação técnica, não é fácil falar sobre a hipótese de Riemann sem assumir o conhecimento da teoria das funções complexas, mas podemos explorar suas conexões com outros ramos da matemática. Um dos mais importantes é a luz que lança sobre a distribuição dos números primos. E também existem algumas conjecturas elementares que acabam sendo equivalentes à hipótese de Riemann.

O livro em análise, que parece ser um dos primeiros livros neste nível sobre a Hipótese de Riemann, é dirigido a alunos do ensino médio e de graduação. Ele se concentra principalmente na chamada "fórmula explícita", que conecta a distribuição dos zeros da função zeta de Riemann com a distribuição dos números primos. Os autores definem o cenário explicando fatos básicos sobre funções e números complexos, apresentando a função zeta e sua fórmula de produto. Eles então conduzem experimentos numéricos com a fórmula explícita, relatando-os em vários números.

O livro consiste em quatro capítulos e quatro apêndices. Cada capítulo termina com alguns exercícios. Os autores fornecem código de programação de computador para exercícios com sabor computacional e soluções completas para o resto deles.

O livro será útil para que alunos e professores se familiarizem com a hipótese de Riemann. Também pode ser usado como texto em um minicurso. O leitor interessado, entretanto, não encontrará aqui tudo o que poderia ser dito sobre a hipótese de Riemann neste nível. Acredito que teria havido espaço no presente livro para alguns tópicos relacionados, incluindo as muitas declarações elementares conhecidas como equivalentes da hipótese de Riemann, como uma desigualdade envolvendo a soma da função divisora ​​e os números harmônicos.

Mehdi Hassani é membro do corpo docente do Departamento de Matemática da Universidade Zanjan, Irã. Suas áreas de interesse são Teoria Elementar, Analítica e Probabilística dos Números.

1. Números primos
1.1 Primes como blocos de construção elementares
1.2 Contando Primes
1.3 Usando o logaritmo para contar poderes
1.4 Aproximações para
1.5 O teorema dos números primos
1.6 Contando as potências principais logaritmicamente
1.7 A hipótese de Riemann e um olhar para o futuro
1.8 Exercícios adicionais

2. A função zeta
2.1 Quantias infinitas
2.2 Série para funções bem conhecidas
2.3 Cálculo de ( zeta (2) )
2.4 Fórmula do produto Euler & rsquos
2.5 Olhando para trás e um vislumbre do que está por vir
2.6 Exercícios adicionais

3. A hipótese de Riemann
3.1 Euler & rsquos descoberta da fórmula do produto
3.2 Estendendo o domínio da função zeta
3.3 Um curso intensivo sobre números complexos
3.4 Funções e poderes complexos
3.5 A função zeta complexa
3.6 Os zeros da função zeta
3.7 A caça aos zeta zeta
3.8 Exercícios adicionais

4. Primos e a hipótese de Riemann
4.1 Equação funcional de Riemann & rsquos
4.2 Os zeros da função zeta
4.3 A fórmula explícita para ( psi (x) )
4.4 Emparelhar os zeros não triviais
4.5 O teorema dos números primos
4.6 Uma prova do teorema dos números primos
4.7 A música dos primos
4.8 Olhando para trás
4.9 Exercícios adicionais

Apêndice A. Por que grandes números primos são úteis
Apêndice B. Suporte de computador
Apêndice C. Leituras adicionais e navegação na Internet
Apêndice D. Soluções para os exercícios


Aqui está porque nos preocupamos com as tentativas de provar a hipótese de Riemann

Um famoso enigma matemático está mais uma vez no centro das atenções.

A hipótese de Riemann, postulada em 1859 ..

Um famoso enigma matemático está mais uma vez no centro das atenções.

A hipótese de Riemann, postulada em 1859 pelo matemático alemão Bernhard Riemann, é um dos maiores quebra-cabeças não resolvidos da matemática. A hipótese, que poderia desvendar os mistérios dos números primos, nunca foi provada. Mas os matemáticos estão preocupados com uma nova tentativa.

O estimado matemático Michael Atiyah tentou provar a hipótese em uma palestra no Heidelberg Laureate Forum na Alemanha em 24 de setembro. Apesar da estatura de Atiyah - que ganhou as duas homenagens de maior prestígio em matemática, a Medalha Fields e o Prêmio Abel - muitos pesquisadores expressaram ceticismo sobre a prova. Portanto, a hipótese de Riemann permanece em aberto.

Vamos quebrar o que é a hipótese de Riemann, e o que uma prova confirmada - se alguma vez for encontrada - significaria para a matemática.

Qual é a hipótese de Riemann?[hhmc]

A hipótese de Riemann é uma afirmação sobre uma curiosidade matemática conhecida como função zeta de Riemann. Essa função está intimamente ligada aos números primos - números inteiros que são divisíveis uniformemente apenas por 1 e eles próprios. Os números primos são misteriosos: eles estão espalhados em um padrão inescrutável ao longo da reta numérica, tornando difícil prever onde cada número primo cairá (SN Online: 2/4/08).

Mas se a função zeta de Riemann atender a uma certa condição, Riemann percebeu, ela revelaria segredos dos números primos, como quantos primos existem abaixo de um determinado número. Essa condição necessária é a hipótese de Riemann. Ele conjectura que certos zeros da função - os pontos onde o valor da função é igual a zero - todos se encontram ao longo de uma linha particular quando plotados (SN: 27/09/08, p. 14) Se a hipótese for confirmada, isso pode ajudar a expor um método à loucura dos primos.

Por que isso é tão importante?[hhmc]

Os números primos são VIPs matemáticos: como os átomos da tabela periódica, eles são os blocos de construção para números maiores. Os números primos também são importantes para fins práticos, pois são importantes para proteger as transmissões criptografadas enviadas pela Internet. E, o que é mais importante, uma infinidade de artigos matemáticos consideram a hipótese de Riemann como um dado. Se essa suposição básica for provada correta, “muitos resultados considerados verdadeiros serão conhecidos como verdadeiros”, diz o matemático Ken Ono, da Emory University, em Atlanta. “É uma espécie de oráculo matemático.”

As pessoas nunca tentaram provar isso antes?[hhmc]

Sim. É difícil contar o número de tentativas, mas provavelmente centenas de pesquisadores tentaram uma prova. Até agora nenhuma das provas resistiu ao escrutínio. O problema é tão teimoso que agora tem uma recompensa por sua cabeça: o Clay Mathematics Institute ofereceu até US $ 1 milhão para quem puder provar a hipótese de Riemann.

Por que é tão difícil provar?[hhmc]

A função zeta de Riemann é uma besta difícil de trabalhar. Até mesmo defini-lo é um desafio, diz Ono. Além disso, a função possui um número infinito de zeros. Se qualquer um desses zeros não estiver na linha esperada, a hipótese de Riemann está errada. E como existem zeros infinitos, verificar manualmente cada um não funcionará. Em vez disso, uma prova deve mostrar sem dúvida que nenhum zero pode ser um valor atípico. Para dilemas matemáticos difíceis como a hipótese de Riemann, a barreira para a aceitação de uma prova é extremamente alta. A verificação de tal prova normalmente requer meses ou mesmo anos de dupla verificação por outros matemáticos antes que todos sejam convencidos ou a prova seja considerada falha.

O que será necessário para provar a hipótese de Riemann?[hhmc]

Vários matemáticos fizeram algum progresso em direção a uma prova. Ono compara isso a uma tentativa de escalar o Monte Everest e chegar ao acampamento base. Embora algum matemático inteligente possa, eventualmente, ser capaz de terminar essa escalada, Ono diz, "existe a crença de que a prova definitiva ... se alguma for feita, exigirá um nível diferente de matemática."


Críticas editoriais

Análise

“Ao longo do livro, são fornecidas provas cuidadosas para todos os resultados discutidos, apresentando uma gama impressionante de ferramentas matemáticas. De fato, a principal conquista do trabalho é a maneira como demonstra como todas essas diversas áreas temáticas podem ser utilizadas na hipótese de Riemann. A exposição é acessível a alunos de graduação experientes, mas até mesmo especialistas encontrarão material aqui para interessá-los. ' D. R. Heath-Brown, Mathematical Reviews

'Este catálogo de dois volumes de muitos dos vários equivalentes da hipótese de Riemann por Kevin Broughan é um valioso acréscimo à literatura ... todos esses dois volumes são obrigatórios para qualquer pessoa interessada na hipótese de Riemann.' Steven Decke, MAA Comentários

'Os dois volumes são um recurso muito valioso e uma leitura fascinante sobre um problema muito intrigante.' R.S. MacKay, Boletim Informativo da London Mathematical Society

"Todos esses livros servem como uma boa introdução a uma ampla gama de matemática relacionada à hipótese de Riemann e constituem uma contribuição valiosa para a literatura. Eles são verdadeiramente enciclopédicos e tenho certeza que atrairão muitos leitores a consultar alguma literatura citada e, quem sabe, eventualmente, dar uma contribuição própria para a área. "Pieter Moree, Nieuw Archief voor Wiskunde

'Este livro pode servir como referência para a hipótese de Riemann e suas formulações equivalentes ou como uma inspiração para todos os interessados ​​na teoria dos números. Ele é escrito em um estilo muito legível e, na maioria das partes, pressupõe apenas conhecimentos básicos de (análise complexa). Assim, também pode servir como uma introdução (um tanto específica) à teoria analítica dos números. "J. Mahnkopf, Encyclopedia of Mathematics and its Applications


Conteúdo

A função zeta de Riemann é definida para complexos s com parte real maior que 1 pela série infinita absolutamente convergente

Leonhard Euler já considerava essa série na década de 1730 para valores reais de s, em conjunto com sua solução para o problema de Basel. Ele também provou que é igual ao produto Euler

onde o produto infinito se estende por todos os números primos p. [2]

A hipótese de Riemann discute zeros fora da região de convergência desta série e produto de Euler. Para dar sentido à hipótese, é necessário continuar analiticamente a função para obter uma forma que seja válida para todos os complexos s. Isso é permissível porque a função zeta é meromórfica, de modo que sua continuação analítica é garantida como única e em formas funcionais equivalentes em seus domínios. Começa-se mostrando que a função zeta e a função eta de Dirichlet satisfazem a relação

Mas a série à direita converge não apenas quando a parte real de s é maior que um, mas mais geralmente sempre que s tem parte real positiva. Assim, esta série alternativa estende a função zeta de Re (s) & gt 1 para o domínio maior Re (s) & gt 0, excluindo os zeros s = 1 + 2 π i n / log ⁡ 2 < displaystyle s = 1 + 2 pi in / log 2> de 1 - 2/2 s < displaystyle 1-2 / 2 ^> onde n < displaystyle n> é qualquer número inteiro diferente de zero (consulte a função eta de Dirichlet). A função zeta pode ser estendida a esses valores também tomando limites, dando um valor finito para todos os valores de s com parte real positiva, exceto para o pólo simples em s = 1.

Na faixa 0 & lt Re (s) & lt 1 a função zeta satisfaz a equação funcional

Pode-se então definir ζ (s) para todos os números complexos diferentes de zero restantes s (Re (s) ≤ 0 e s ≠ 0) aplicando esta equação fora da faixa, e deixando ζ (s) igual ao lado direito da equação sempre que s tem parte real não positiva (e s ≠ 0).

Se s é um número inteiro negativo mesmo, então ζ (s) = 0 porque o fator sin (πs/ 2) desaparece, estes são os zeros triviais da função zeta. (Se s é um número inteiro positivo, este argumento não se aplica porque os zeros da função seno são cancelados pelos pólos da função gama, pois ela recebe argumentos de número inteiro negativo.)

O valor ζ (0) = −1/2 não é determinado pela equação funcional, mas é o valor limite de ζ (s) Como s se aproxima de zero. A equação funcional também implica que a função zeta não tem zeros com parte real negativa além dos zeros triviais, então todos os zeros não triviais estão na faixa crítica onde s tem parte real entre 0 e 1.

. es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich.

. é muito provável que todas as raízes sejam reais. Claro que se desejaria aqui uma prova rigorosa. Por ora, após algumas tentativas vãs fugazes, pus provisoriamente de lado a busca, visto que me parece dispensável para o objetivo imediato de minha investigação.

A motivação original de Riemann para estudar a função zeta e seus zeros foi a sua ocorrência em sua fórmula explícita para o número de primos π (x) menor ou igual a um determinado número x, que publicou em seu artigo de 1859 "Sobre o número de primos menores que uma magnitude dada". Sua fórmula foi dada em termos da função relacionada

que conta os primos e potências principais até x, contando uma potência primária p n como 1 ⁄ n . O número de primos pode ser recuperado desta função usando a fórmula de inversão de Möbius,

Onde µ é a função Möbius. A fórmula de Riemann é então

onde a soma é sobre os zeros não triviais da função zeta e onde Π0 é uma versão ligeiramente modificada de Π que substitui seu valor em seus pontos de descontinuidade pela média de seus limites superior e inferior:

A soma na fórmula de Riemann não é absolutamente convergente, mas pode ser avaliada tomando os zeros ρ na ordem do valor absoluto de sua parte imaginária. A função li que ocorre no primeiro termo é a função integral logarítmica (não compensada) dada pelo valor principal de Cauchy da integral divergente

Os termos li (x ρ ) envolvendo os zeros da função zeta precisa de algum cuidado em sua definição, pois li tem pontos de ramificação em 0 e 1, e são definidos (para x & gt 1) por continuação analítica na variável complexa ρ na região Re (ρ) & gt 0, ou seja, devem ser considerados como Ei (ρ registro x) Os outros termos também correspondem a zeros: o termo dominante li (x) vem do pólo em s = 1, considerado como um zero de multiplicidade −1, e os pequenos termos restantes vêm dos zeros triviais. Para alguns gráficos das somas dos primeiros termos desta série, ver Riesel & amp Göhl (1970) ou Zagier (1977).

Essa fórmula diz que os zeros da função zeta de Riemann controlam as oscilações dos primos em torno de suas posições "esperadas". Riemann sabia que os zeros não triviais da função zeta estavam simetricamente distribuídos em torno da linha s = 1/2 + isto, e ele sabia que todos os seus zeros não triviais deveriam estar no intervalo 0 ≤ Re (s) ≤ 1. Ele verificou que alguns dos zeros estavam na linha crítica com a parte real 1/2 e sugeriu que todos eles fazem isso é a hipótese de Riemann.

Os usos práticos da hipótese de Riemann incluem muitas proposições conhecidas como verdadeiras sob a hipótese de Riemann, e algumas que podem ser mostradas como equivalentes à hipótese de Riemann.

Distribuição de números primos

Von Koch (1901) provou que a hipótese de Riemann implica o limite "melhor possível" para o erro do teorema dos números primos. Uma versão precisa do resultado de Koch, devido a Schoenfeld (1976), diz que a hipótese de Riemann implica

onde π (x) é a função de contagem principal, e log (x) é o logaritmo natural de x.

Schoenfeld (1976) também mostrou que a hipótese de Riemann implica

Esta é uma versão explícita de um teorema de Cramér.

Crescimento das funções aritméticas

A hipótese de Riemann implica limites fortes no crescimento de muitas outras funções aritméticas, além da função de contagem de primos acima.

Um exemplo envolve a função Möbius μ. A afirmação de que a equação

é válido para todos s com a parte real maior que 1/2, com a soma do lado direito convergindo, é equivalente à hipótese de Riemann. Disto podemos também concluir que se a função de Mertens é definida por

para cada ε positivo é equivalente à hipótese de Riemann (J.E. Littlewood, 1912, ver por exemplo: parágrafo 14.25 em Titchmarsh (1986)). (Para saber o significado desses símbolos, consulte a notação Big O). O determinante da ordem n Matriz Redheffer é igual a M(n), então a hipótese de Riemann também pode ser afirmada como uma condição para o crescimento desses determinantes. A hipótese de Riemann impõe um limite bastante restrito ao crescimento de M, uma vez que Odlyzko & amp te Riele (1985) refutou a conjectura de Mertens ligeiramente mais forte

A hipótese de Riemann é equivalente a muitas outras conjecturas sobre a taxa de crescimento de outras funções aritméticas além de μ (n) Um exemplo típico é o teorema de Robin, [5] que afirma que se σ (n) é a função divisora, dada por

para todos n & gt 5040 se e somente se a hipótese de Riemann for verdadeira, onde γ é a constante de Euler-Mascheroni.

Outro exemplo foi encontrado por Jérôme Franel, e estendido por Landau (ver Franel & amp Landau (1924)). A hipótese de Riemann é equivalente a várias declarações que mostram que os termos da sequência de Farey são razoavelmente regulares. Uma dessas equivalências é a seguinte: se Fn é a sequência de ordem de Farey n, começando com 1 /n e até 1/1, então a alegação de que para todos ε & gt 0

é equivalente à hipótese de Riemann. Aqui

é o número de termos na sequência de ordem de Farey n.

Para um exemplo da teoria do grupo, se g(n) é a função de Landau dada pela ordem máxima dos elementos do grupo simétrico Sn de grau n, então Massias, Nicolas & amp Robin (1988) mostraram que a hipótese de Riemann é equivalente ao limite

para todos suficientemente grande n.

Hipótese de Lindelöf e crescimento da função zeta

A hipótese de Riemann tem várias consequências mais fracas, uma delas é a hipótese de Lindelöf sobre a taxa de crescimento da função zeta na linha crítica, que diz que, para qualquer ε & gt 0,

A hipótese de Riemann também implica limites bastante nítidos para a taxa de crescimento da função zeta em outras regiões da faixa crítica. Por exemplo, isso implica que

então a taxa de crescimento de ζ (1+isto) e seu inverso seria conhecido até um fator de 2. [6]

Grande conjectura de gap primário

O teorema dos números primos implica que, em média, a lacuna entre os números primos p e seu sucessor é log p. No entanto, algumas lacunas entre os primos podem ser muito maiores do que a média. Cramér provou que, assumindo a hipótese de Riemann, cada lacuna é O( √ p registro p) Este é um caso em que mesmo o melhor limite que pode ser provado usando a hipótese de Riemann é muito mais fraco do que o que parece verdadeiro: a conjectura de Cramér implica que cada lacuna é O((registro p) 2), que, embora maior do que a lacuna média, é muito menor do que o limite implícito pela hipótese de Riemann. A evidência numérica apóia a conjectura de Cramér. [7]

Critérios analíticos equivalentes à hipótese de Riemann

Muitas declarações equivalentes à hipótese de Riemann foram encontradas, embora até agora nenhuma delas tenha levado a muito progresso em prová-la (ou refutá-la). Alguns exemplos típicos são os seguintes. (Outros envolvem a função divisor σ (n).)

O critério de Riesz foi dado por Riesz (1916), para o efeito de que o limite

vale para todo ε & gt 0 se e somente se a hipótese de Riemann for válida.

Nyman (1950) provou que a hipótese de Riemann é verdadeira se e somente se o espaço de funções da forma

onde ρ (z) é a parte fracionária de z, 0 ≤ θν ≤ 1, e

é denso no espaço de Hilbert eu 2 (0,1) de funções quadradas integráveis ​​no intervalo unitário. Beurling (1955) estendeu isso mostrando que a função zeta não tem zeros com parte real maior que 1 /p se e somente se este espaço de função é denso em L p (0,1)

Salem (1953) mostrou que a hipótese de Riemann é verdadeira se e somente se a equação integral

O critério de Weil é a afirmação de que a positividade de uma determinada função é equivalente à hipótese de Riemann. Relacionado está o critério de Li, uma afirmação de que a positividade de uma certa sequência de números é equivalente à hipótese de Riemann.

A sequência de Farey fornece duas equivalências, devido a Jerome Franel e Edmund Landau em 1924.

A constante De Bruijn-Newman denotada por Λ e nomeado após Nicolaas Govert de Bruijn e Charles M. Newman, é definido através dos zeros da função

que usa um parâmetro real λ, uma variável complexa z e uma função decadente superexponencialmente definida como

Uma vez que a hipótese de Riemann é equivalente à afirmação de que todos os zeros de H(0, z) são reais, a hipótese de Riemann é equivalente à conjectura de que Λ ≤ 0 < displaystyle Lambda leq 0>. Brad Rodgers e Terence Tao descobriram que a equivalência é na verdade Λ = 0 < displaystyle Lambda = 0> provando que zero é o limite inferior da constante. [8] Provar que zero também é o limite superior provaria, portanto, a hipótese de Riemann. Em abril de 2020, o limite superior é Λ ≤ 0,2 < displaystyle Lambda leq 0,2>. [9]

Consequências da hipótese generalizada de Riemann

Diversas aplicações usam a hipótese generalizada de Riemann para a série L de Dirichlet ou funções zeta de campos numéricos, em vez de apenas a hipótese de Riemann. Muitas propriedades básicas da função zeta de Riemann podem ser facilmente generalizadas para todas as séries L de Dirichlet, então é plausível que um método que prova a hipótese de Riemann para a função zeta de Riemann também funcionaria para a hipótese de Riemann generalizada para funções L de Dirichlet. Vários resultados provados pela primeira vez usando a hipótese generalizada de Riemann receberam mais tarde provas incondicionais sem usá-la, embora fossem geralmente muito mais difíceis. Muitas das consequências da lista a seguir foram retiradas de Conrad (2010).

  • Em 1913, Grönwall mostrou que a hipótese generalizada de Riemann implica que a lista de Gauss de campos quadráticos imaginários com número de classe 1 está completa, embora Baker, Stark e Heegner posteriormente tenham dado provas incondicionais disso sem usar a hipótese generalizada de Riemann.
  • Em 1917, Hardy e Littlewood mostraram que a hipótese generalizada de Riemann implica uma conjectura de Chebyshev de que
  • Em 1923, Hardy e Littlewood mostraram que a hipótese generalizada de Riemann implica uma forma fraca da conjectura de Goldbach para números ímpares: que todo número ímpar suficientemente grande é a soma de três primos, embora em 1937 Vinogradov tenha dado uma prova incondicional. Em 1997, Deshouillers, Effinger, te Riele e Zinoviev mostraram que a hipótese generalizada de Riemann implica que todo número ímpar maior que 5 é a soma de três primos. Em 2013, Harald Helfgott provou a conjectura ternária de Goldbach sem a dependência de GRH, sujeita a alguns cálculos extensos concluídos com a ajuda de David J. Platt.
  • Em 1934, Chowla mostrou que a hipótese generalizada de Riemann implica que o primeiro primo na progressão aritmética uma mod m é no máximo Km 2 log (m) 2 para alguma constante fixa K.
  • Em 1967, Hooley mostrou que a hipótese generalizada de Riemann implica a conjectura de Artin sobre as raízes primitivas.
  • Em 1973, Weinberger mostrou que a hipótese generalizada de Riemann implica que a lista de números idonais de Euler está completa. mostraram que a hipótese generalizada de Riemann para as funções zeta de todos os campos numéricos algébricos implica que qualquer campo numérico com número de classe 1 é euclidiano ou um campo numérico quadrático imaginário de discriminante −19, −43, −67 ou −163.
  • Em 1976, G. Miller mostrou que a hipótese generalizada de Riemann implica que se pode testar se um número é primo em tempo polinomial por meio do teste de Miller. In 2002, Manindra Agrawal, Neeraj Kayal and Nitin Saxena proved this result unconditionally using the AKS primality test. discussed how the generalized Riemann hypothesis can be used to give sharper estimates for discriminants and class numbers of number fields. showed that the generalized Riemann hypothesis implies that Ramanujan's integral quadratic formx 2 + y 2 + 10z 2 represents all integers that it represents locally, with exactly 18 exceptions.

Excluded middle

Some consequences of the RH are also consequences of its negation, and are thus theorems. In their discussion of the Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn theorem, Ireland & Rosen (1990, p. 359) say

The method of proof here is truly amazing. If the generalized Riemann hypothesis is true, then the theorem is true. If the generalized Riemann hypothesis is false, then the theorem is true. Thus, the theorem is true!! (punctuation in original)

Care should be taken to understand what is meant by saying the generalized Riemann hypothesis is false: one should specify exactly which class of Dirichlet series has a counterexample.

Littlewood's theorem

This concerns the sign of the error in the prime number theorem. It has been computed that π(x) < li(x) para todos x ≤ 10 25 (see this table), and no value of x is known for which π(x) > li(x).

In 1914 Littlewood proved that there are arbitrarily large values of x para qual

and that there are also arbitrarily large values of x para qual

Thus the difference π(x) − li(x) changes sign infinitely many times. Skewes' number is an estimate of the value of x corresponding to the first sign change.

Littlewood's proof is divided into two cases: the RH is assumed false (about half a page of Ingham 1932, Chapt. V), and the RH is assumed true (about a dozen pages). (Stanisław Knapowski [[#CITEREFKnapowski|]]) followed this up with a paper on the number of times Δ ( n ) changes sign in the interval Δ ( n ) .

Gauss's class number conjecture

This is the conjecture (first stated in article 303 of Gauss's Disquisitiones Arithmeticae) that there are only finitely many imaginary quadratic fields with a given class number. One way to prove it would be to show that as the discriminant D → −∞ the class number h(D) → ∞.

The following sequence of theorems involving the Riemann hypothesis is described in Ireland & Rosen 1990, pp. 358–361:

Theorem (Hecke 1918). Deixar D < 0 be the discriminant of an imaginary quadratic number field K. Assume the generalized Riemann hypothesis for eu-functions of all imaginary quadratic Dirichlet characters. Then there is an absolute constant C de tal modo que

h ( D ) > C | D | log ⁡ | D | . >>.>

Theorem (Deuring 1933). If the RH is false then h(D) > 1 if |D| is sufficiently large.

Theorem (Mordell 1934). If the RH is false then h(D) → ∞ as D → −∞.

Theorem (Heilbronn 1934). If the generalized RH is false for the eu-function of some imaginary quadratic Dirichlet character then h(D) → ∞ as D → −∞.

(In the work of Hecke and Heilbronn, the only eu-functions that occur are those attached to imaginary quadratic characters, and it is only for those eu-functions that GRH is true ou GRH is false is intended a failure of GRH for the eu-function of a cubic Dirichlet character would, strictly speaking, mean GRH is false, but that was not the kind of failure of GRH that Heilbronn had in mind, so his assumption was more restricted than simply GRH is false.)

In 1935, Carl Siegel later strengthened the result without using RH or GRH in any way.

Growth of Euler's totient

Dirichlet L-series and other number fields

The Riemann hypothesis can be generalized by replacing the Riemann zeta function by the formally similar, but much more general, global L-functions. In this broader setting, one expects the non-trivial zeros of the global eu-functions to have real part 1/2. It is these conjectures, rather than the classical Riemann hypothesis only for the single Riemann zeta function, which account for the true importance of the Riemann hypothesis in mathematics.

The generalized Riemann hypothesis extends the Riemann hypothesis to all Dirichlet L-functions. In particular it implies the conjecture that Siegel zeros (zeros of eu-functions between 1/2 and 1) do not exist.

The extended Riemann hypothesis extends the Riemann hypothesis to all Dedekind zeta functions of algebraic number fields. The extended Riemann hypothesis for abelian extension of the rationals is equivalent to the generalized Riemann hypothesis. The Riemann hypothesis can also be extended to the eu-functions of Hecke characters of number fields.

Function fields and zeta functions of varieties over finite fields

Artin (1924) introduced global zeta functions of (quadratic) function fields and conjectured an analogue of the Riemann hypothesis for them, which has been proved by Hasse in the genus 1 case and by Weil (1948) in general. For instance, the fact that the Gauss sum, of the quadratic character of a finite field of size q (com q odd), has absolute value q >> is actually an instance of the Riemann hypothesis in the function field setting. This led Weil (1949) to conjecture a similar statement for all algebraic varieties the resulting Weil conjectures were proved by Pierre Deligne (1974, 1980).

Arithmetic zeta functions of arithmetic schemes and their L-factors

Arithmetic zeta functions generalise the Riemann and Dedekind zeta functions as well as the zeta functions of varieties over finite fields to every arithmetic scheme or a scheme of finite type over integers. The arithmetic zeta function of a regular connected equidimensional arithmetic scheme of Kronecker dimension n can be factorized into the product of appropriately defined L-factors and an auxiliary factor Jean-Pierre Serre (1969–1970). Assuming a functional equation and meromorphic continuation, the generalized Riemann hypothesis for the L-factor states that its zeros inside the critical strip ℜ ( s ) ∈ ( 0 , n ) lie on the central line. Correspondingly, the generalized Riemann hypothesis for the arithmetic zeta function of a regular connected equidimensional arithmetic scheme states that its zeros inside the critical strip lie on vertical lines ℜ ( s ) = 1 / 2 , 3 / 2 , … , n − 1 / 2 and its poles inside the critical strip lie on vertical lines ℜ ( s ) = 1 , 2 , … , n − 1 . This is known for schemes in positive characteristic and follows from Pierre Deligne (1974, 1980), but remains entirely unknown in characteristic zero.

Selberg zeta functions

Selberg (1956) introduced the Selberg zeta function of a Riemann surface. These are similar to the Riemann zeta function: they have a functional equation, and an infinite product similar to the Euler product but taken over closed geodesics rather than primes. The Selberg trace formula is the analogue for these functions of the explicit formulas in prime number theory. Selberg proved that the Selberg zeta functions satisfy the analogue of the Riemann hypothesis, with the imaginary parts of their zeros related to the eigenvalues of the Laplacian operator of the Riemann surface.

Ihara zeta functions

The Ihara zeta function of a finite graph is an analogue of the Selberg zeta function, which was first introduced by Yasutaka Ihara in the context of discrete subgroups of the two-by-two p-adic special linear group. A regular finite graph is a Ramanujan graph, a mathematical model of efficient communication networks, if and only if its Ihara zeta function satisfies the analogue of the Riemann hypothesis as was pointed out by T. Sunada.

Montgomery's pair correlation conjecture

Montgomery (1973) suggested the pair correlation conjecture that the correlation functions of the (suitably normalized) zeros of the zeta function should be the same as those of the eigenvalues of a random hermitian matrix. Odlyzko (1987) showed that this is supported by large-scale numerical calculations of these correlation functions.

Montgomery showed that (assuming the Riemann hypothesis) at least 2/3 of all zeros are simple, and a related conjecture is that all zeros of the zeta function are simple (or more generally have no non-trivial integer linear relations between their imaginary parts). Dedekind zeta functions of algebraic number fields, which generalize the Riemann zeta function, often do have multiple complex zeros. [11] This is because the Dedekind zeta functions factorize as a product of powers of Artin L-functions, so zeros of Artin L-functions sometimes give rise to multiple zeros of Dedekind zeta functions. Other examples of zeta functions with multiple zeros are the L-functions of some elliptic curves: these can have multiple zeros at the real point of their critical line the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture predicts that the multiplicity of this zero is the rank of the elliptic curve.

Other zeta functions

There are many other examples of zeta functions with analogues of the Riemann hypothesis, some of which have been proved. Goss zeta functions of function fields have a Riemann hypothesis, proved by Sheats (1998). The main conjecture of Iwasawa theory, proved by Barry Mazur and Andrew Wiles for cyclotomic fields, and Wiles for totally real fields, identifies the zeros of a p-adic eu-function with the eigenvalues of an operator, so can be thought of as an analogue of the Hilbert–Pólya conjecture for p-adic eu-functions. [12]

Several mathematicians have addressed the Riemann hypothesis, but none of their attempts has yet been accepted as a proof. Watkins (2007) lists some incorrect solutions.

Operator theory

Hilbert and Pólya suggested that one way to derive the Riemann hypothesis would be to find a self-adjoint operator, from the existence of which the statement on the real parts of the zeros of ζ(s) would follow when one applies the criterion on real eigenvalues. Some support for this idea comes from several analogues of the Riemann zeta functions whose zeros correspond to eigenvalues of some operator: the zeros of a zeta function of a variety over a finite field correspond to eigenvalues of a Frobenius element on an étale cohomology group, the zeros of a Selberg zeta function are eigenvalues of a Laplacian operator of a Riemann surface, and the zeros of a p-adic zeta function correspond to eigenvectors of a Galois action on ideal class groups.

Odlyzko (1987) showed that the distribution of the zeros of the Riemann zeta function shares some statistical properties with the eigenvalues of random matrices drawn from the Gaussian unitary ensemble. This gives some support to the Hilbert–Pólya conjecture.

and even more strongly, that the Riemann zeros coincide with the spectrum of the operator 1 / 2 + i H ^ >> . This is in contrast to canonical quantization, which leads to the Heisenberg uncertainty principle σ x σ p ≥ ℏ 2 sigma _

geq <2>>> and the natural numbers as spectrum of the quantum harmonic oscillator. The crucial point is that the Hamiltonian should be a self-adjoint operator so that the quantization would be a realization of the Hilbert–Pólya program. In a connection with this quantum mechanical problem Berry and Connes had proposed that the inverse of the potential of the Hamiltonian is connected to the half-derivative of the function

The analogy with the Riemann hypothesis over finite fields suggests that the Hilbert space containing eigenvectors corresponding to the zeros might be some sort of first cohomology group of the spectrum Spec (Z) of the integers. Deninger (1998) described some of the attempts to find such a cohomology theory. [14]

Zagier (1981) constructed a natural space of invariant functions on the upper half plane that has eigenvalues under the Laplacian operator that correspond to zeros of the Riemann zeta function—and remarked that in the unlikely event that one could show the existence of a suitable positive definite inner product on this space, the Riemann hypothesis would follow. Cartier (1982) discussed a related example, where due to a bizarre bug a computer program listed zeros of the Riemann zeta function as eigenvalues of the same Laplacian operator.

Schumayer & Hutchinson (2011) surveyed some of the attempts to construct a suitable physical model related to the Riemann zeta function.

Lee–Yang theorem

The Lee–Yang theorem states that the zeros of certain partition functions in statistical mechanics all lie on a "critical line" with their real part equals to 0, and this has led to some speculation about a relationship with the Riemann hypothesis. [15]

Turán's result

Pál Turán (1948) showed that if the functions

Noncommutative geometry

Connes (1999, 2000) has described a relationship between the Riemann hypothesis and noncommutative geometry, and shows that a suitable analog of the Selberg trace formula for the action of the idèle class group on the adèle class space would imply the Riemann hypothesis. Some of these ideas are elaborated in Lapidus (2008).

Hilbert spaces of entire functions

Louis de Branges (1992) showed that the Riemann hypothesis would follow from a positivity condition on a certain Hilbert space of entire functions. However Conrey & Li (2000) showed that the necessary positivity conditions are not satisfied. Despite this obstacle, de Branges has continued to work on an attempted proof of the Riemann hypothesis along the same lines, but this has not been widely accepted by other mathematicians. [16]

Quasicrystals

The Riemann hypothesis implies that the zeros of the zeta function form a quasicrystal, a distribution with discrete support whose Fourier transform also has discrete support. Dyson (2009) suggested trying to prove the Riemann hypothesis by classifying, or at least studying, 1-dimensional quasicrystals.

Arithmetic zeta functions of models of elliptic curves over number fields

When one goes from geometric dimension one, e.g. an algebraic number field, to geometric dimension two, e.g. a regular model of an elliptic curve over a number field, the two-dimensional part of the generalized Riemann hypothesis for the arithmetic zeta function of the model deals with the poles of the zeta function. In dimension one the study of the zeta integral in Tate's thesis does not lead to new important information on the Riemann hypothesis. Contrary to this, in dimension two work of Ivan Fesenko on two-dimensional generalisation of Tate's thesis includes an integral representation of a zeta integral closely related to the zeta function. In this new situation, not possible in dimension one, the poles of the zeta function can be studied via the zeta integral and associated adele groups. Related conjecture of Fesenko (2010) on the positivity of the fourth derivative of a boundary function associated to the zeta integral essentially implies the pole part of the generalized Riemann hypothesis. Suzuki (2011) proved that the latter, together with some technical assumptions, implies Fesenko's conjecture.

Multiple zeta functions

Deligne's proof of the Riemann hypothesis over finite fields used the zeta functions of product varieties, whose zeros and poles correspond to sums of zeros and poles of the original zeta function, in order to bound the real parts of the zeros of the original zeta function. By analogy, Kurokawa (1992) introduced multiple zeta functions whose zeros and poles correspond to sums of zeros and poles of the Riemann zeta function. To make the series converge he restricted to sums of zeros or poles all with non-negative imaginary part. So far, the known bounds on the zeros and poles of the multiple zeta functions are not strong enough to give useful estimates for the zeros of the Riemann zeta function.

Number of zeros

The functional equation combined with the argument principle implies that the number of zeros of the zeta function with imaginary part between 0 and T É dado por

para s=1/2+iT, where the argument is defined by varying it continuously along the line with Im(s)=T, starting with argument 0 at ∞+iT. This is the sum of a large but well understood term

and a small but rather mysterious term

So the density of zeros with imaginary part near T is about log(T)/2π, and the function S describes the small deviations from this. A função S(t) jumps by 1 at each zero of the zeta function, and for t ≥ 8 it decreases monotonically between zeros with derivative close to −log t.

points where the function S(t) changes sign.

Selberg (1946) showed that the average moments of even powers of S are given by

This suggests that S(T)/(log log T) 1/2 resembles a Gaussian random variable with mean 0 and variance 2π 2 (Ghosh (1983) proved this fact). In particular |S(T) | is usually somewhere around (log log T) 1/2 , but occasionally much larger. The exact order of growth of S(T) is not known. There has been no unconditional improvement to Riemann's original bound S(T)=O(log T), though the Riemann hypothesis implies the slightly smaller bound S(T)=O(log T/log log T) [6] The true order of magnitude may be somewhat less than this, as random functions with the same distribution as S(T) tend to have growth of order about log(T) 1/2 . In the other direction it cannot be too small: Selberg (1946) showed that S(T) ≠ o((log T) 1/3 /(log log T) 7/3 ) , and assuming the Riemann hypothesis Montgomery showed that S(T) ≠ o((log T) 1/2 /(log log T) 1/2 ) .

Numerical calculations confirm that S grows very slowly: |S(T) | < 1 for T < 280 , |S(T) | < 2 for T < 6 800 000 , and the largest value of |S(T) | found so far is not much larger than 3. [17]

Riemann's estimate S(T) = O(log T) implies that the gaps between zeros are bounded, and Littlewood improved this slightly, showing that the gaps between their imaginary parts tends to 0.

Theorem of Hadamard and de la Vallée-Poussin

Hadamard (1896) and de la Vallée-Poussin (1896) independently proved that no zeros could lie on the line Re(s) = 1. Together with the functional equation and the fact that there are no zeros with real part greater than 1, this showed that all non-trivial zeros must lie in the interior of the critical strip 0 < Re(s) < 1 . This was a key step in their first proofs of the prime number theorem.

Both the original proofs that the zeta function has no zeros with real part 1 are similar, and depend on showing that if ζ(1+isto) vanishes, then ζ(1+2isto) is singular, which is not possible. One way of doing this is by using the inequality

for σ > 1, t real, and looking at the limit as σ → 1. This inequality follows by taking the real part of the log of the Euler product to see that

where the sum is over all prime powers p n , para que

which is at least 1 because all the terms in the sum are positive, due to the inequality

Zero-free regions

Hardy (1914) and Hardy & Littlewood (1921) showed there are infinitely many zeros on the critical line, by considering moments of certain functions related to the zeta function. Selberg (1942) proved that at least a (small) positive proportion of zeros lie on the line. Levinson (1974) improved this to one-third of the zeros by relating the zeros of the zeta function to those of its derivative, and Conrey (1989) improved this further to two-fifths.

Most zeros lie close to the critical line. More precisely, Bohr & Landau (1914) showed that for any positive ε, the number of zeroes with real part at least 1/2+ε and imaginary part at between -T e T is O ( T ) . Combined with the facts that zeroes on the critical strip are symmetric about the critical line and that the total number of zeroes in the critical strip is Θ ( T log ⁡ T ) , almost all non-trivial zeroes are within a distance ε of the critical line. Ivić (1985) gives several more precise versions of this result, called zero density estimates, which bound the number of zeros in regions with imaginary part at most T and real part at least 1/2+ε.

Hardy–Littlewood conjectures

> lying on the interval ( 0 , T ]

Selberg's zeta function conjecture

Numerical calculations

has the same zeros as the zeta function in the critical strip, and is real on the critical line because of the functional equation, so one can prove the existence of zeros exactly on the real line between two points by checking numerically that the function has opposite signs at these points. Usually one writes

where Hardy's Z function and the Riemann–Siegel theta function θ are uniquely defined by this and the condition that they are smooth real functions with θ(0)=0. By finding many intervals where the function Z changes sign one can show that there are many zeros on the critical line. To verify the Riemann hypothesis up to a given imaginary part T of the zeros, one also has to check that there are no further zeros off the line in this region. This can be done by calculating the total number of zeros in the region using Turing's method and checking that it is the same as the number of zeros found on the line. This allows one to verify the Riemann hypothesis computationally up to any desired value of T (provided all the zeros of the zeta function in this region are simple and on the critical line).

Some calculations of zeros of the zeta function are listed below, where the "height" of a zero is the magnitude of its imaginary part, and the height of the nth zero is denoted by γn. So far all zeros that have been checked are on the critical line and are simple. (A multiple zero would cause problems for the zero finding algorithms, which depend on finding sign changes between zeros.) For tables of the zeros, see Haselgrove & Miller (1960) or Odlyzko.

They also verified the work of Gourdon (2004) and others.

Gram points

A Gram point is a point on the critical line 1/2 + isto where the zeta function is real and non-zero. Using the expression for the zeta function on the critical line, ζ(1/2 + isto) = Z(t)e − euθ(t) , where Hardy's function, Z, is real for real t, and θ is the Riemann–Siegel theta function, we see that zeta is real when sin(θ(t)) = 0. This implies that θ(t) is an integer multiple of π, which allows for the location of Gram points to be calculated fairly easily by inverting the formula for θ. They are usually numbered as gn para n = 0, 1, . Onde gn is the unique solution of θ(t) = nπ.

Gram observed that there was often exactly one zero of the zeta function between any two Gram points Hutchinson called this observation Gram's law. There are several other closely related statements that are also sometimes called Gram's law: for example, (−1) n Z(gn) is usually positive, or Z(t) usually has opposite sign at consecutive Gram points. The imaginary parts γn of the first few zeros (in blue) and the first few Gram points gn are given in the following table

g−1 γ1 g0 γ2 g1 γ3 g2 γ4 g3 γ5 g4 γ6 g5
0 3.436 9.667 14.135 17.846 21.022 23.170 25.011 27.670 30.425 31.718 32.935 35.467 37.586 38.999

The first failure of Gram's law occurs at the 127th zero and the Gram point g126, which are in the "wrong" order.

g124 γ126 g125 g126 γ127 γ128 g127 γ129 g128
279.148 279.229 280.802 282.455 282.465 283.211 284.104 284.836 285.752

A Gram point t is called good if the zeta function is positive at 1/2 + isto. The indices of the "bad" Gram points where Z has the "wrong" sign are 126, 134, 195, 211, . (sequence A114856 in the OEIS). UMA Gram block is an interval bounded by two good Gram points such that all the Gram points between them are bad. A refinement of Gram's law called Rosser's rule due to Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) says that Gram blocks often have the expected number of zeros in them (the same as the number of Gram intervals), even though some of the individual Gram intervals in the block may not have exactly one zero in them. For example, the interval bounded by g125 e g127 is a Gram block containing a unique bad Gram point g126, and contains the expected number 2 of zeros although neither of its two Gram intervals contains a unique zero. Rosser et al. checked that there were no exceptions to Rosser's rule in the first 3 million zeros, although there are infinitely many exceptions to Rosser's rule over the entire zeta function.

Gram's rule and Rosser's rule both say that in some sense zeros do not stray too far from their expected positions. The distance of a zero from its expected position is controlled by the function S defined above, which grows extremely slowly: its average value is of the order of (log log T) 1/2 , which only reaches 2 for T around 10 24 . This means that both rules hold most of the time for small T but eventually break down often. Indeed, Trudgian (2011) showed that both Gram's law and Rosser's rule fail in a positive proportion of cases. To be specific, it is expected that in about 73% one zero is enclosed by two successive Gram points, but in 14% no zero and in 13% two zeros are in such a Gram-interval on the long run.

Mathematical papers about the Riemann hypothesis tend to be cautiously noncommittal about its truth. Of authors who express an opinion, most of them, such as Riemann (1859) and Bombieri (2000), imply that they expect (or at least hope) that it is true. The few authors who express serious doubt about it include Ivić (2008), who lists some reasons for skepticism, and Littlewood (1962), who flatly states that he believes it false, that there is no evidence for it and no imaginable reason it would be true. The consensus of the survey articles (Bombieri 2000, Conrey 2003, and Sarnak 2005) is that the evidence for it is strong but not overwhelming, so that while it is probably true there is reasonable doubt.

Some of the arguments for and against the Riemann hypothesis are listed by Sarnak (2005), Conrey (2003), and Ivić (2008), and include the following:

  • Several analogues of the Riemann hypothesis have already been proved. The proof of the Riemann hypothesis for varieties over finite fields by Deligne (1974) is possibly the single strongest theoretical reason in favor of the Riemann hypothesis. This provides some evidence for the more general conjecture that all zeta functions associated with automorphic forms satisfy a Riemann hypothesis, which includes the classical Riemann hypothesis as a special case. Similarly Selberg zeta functions satisfy the analogue of the Riemann hypothesis, and are in some ways similar to the Riemann zeta function, having a functional equation and an infinite product expansion analogous to the Euler product expansion. But there are also some major differences for example, they are not given by Dirichlet series. The Riemann hypothesis for the Goss zeta function was proved by Sheats (1998). In contrast to these positive examples, some Epstein zeta functions do not satisfy the Riemann hypothesis even though they have an infinite number of zeros on the critical line. [6] These functions are quite similar to the Riemann zeta function, and have a Dirichlet series expansion and a functional equation, but the ones known to fail the Riemann hypothesis do not have an Euler product and are not directly related to automorphic representations.
  • At first, the numerical verification that many zeros lie on the line seems strong evidence for it. But analytic number theory has had many conjectures supported by substantial numerical evidence that turned out to be false. See Skewes number for a notorious example, where the first exception to a plausible conjecture related to the Riemann hypothesis probably occurs around 10 316 a counterexample to the Riemann hypothesis with imaginary part this size would be far beyond anything that can currently be computed using a direct approach. The problem is that the behavior is often influenced by very slowly increasing functions such as log log T, that tend to infinity, but do so so slowly that this cannot be detected by computation. Such functions occur in the theory of the zeta function controlling the behavior of its zeros for example the function S(T) above has average size around (log log T) 1/2 . Como S(T) jumps by at least 2 at any counterexample to the Riemann hypothesis, one might expect any counterexamples to the Riemann hypothesis to start appearing only when S(T) becomes large. It is never much more than 3 as far as it has been calculated, but is known to be unbounded, suggesting that calculations may not have yet reached the region of typical behavior of the zeta function. 's probabilistic argument for the Riemann hypothesis [19] is based on the observation that if μ(x) is a random sequence of "1"s and "−1"s then, for every ε > 0 , the partial sums


2.5: The Riemann Hypothesis

The Riemann Hypothesis is a problem in mathematics which is currently unsolved.

To explain it to you I will have to lay some groundwork.

First: complex numbers, explained. You may have heard the question asked, "what is the square root of minus one?" Well, maths has an answer and we call it i. i multiplied by i equals -1. If the real number line . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. is represented as a horizontal line, then the numbers . -4i, -3i, -2i, -i, 0, i, 2i, 3i, 4i. can be thought of as the vertical axis on this diagram. The whole plane taken together is then called the complex plane. This is a two-dimensional set of numbers.

Every complex number can be represented in the form a + b i. For real numbers, we simply take b =0.

Next: functions. In mathematics, a function is a black box which, when you put a number into it, spits a different number out. A function is represented by a letter - usually " f ". If you put a number x into the function you call f , then what f then spits out is written " f ( x )".

In most cases there is a convenient way to express f ( x ) in terms of x . For example, f ( x )= x 2 is a very simple function. Whatever x you put in, you'll get x 2 out. f (1)=1. f (2)=4. f (3)=9. E assim por diante.

You're probably most familiar with real functions, or functions where you put a real number in and always get a real number out. HOWEVER. There's nothing stopping you from putting these weird new complex numbers into a function. For example, if f ( x )= x 2 and we let x =i, which is the square root of minus one I mentioned above, then you'll get f (i)=-1. That's just the beginning of what's more generally known as complex functions - where you can put any complex number a + b i in and get (potentially) any complex number out.

The Riemann Zeta Function is just such a complex function. "Zeta" is a Greek letter which is written "&zeta". For any complex number a + b i, &zeta ( a + b i) will be another complex number, c + d i.

The actual description of the Zeta Function is too boringly complicated to explain here.

Now, a zero of a function is (pretty obviously) a point a + b i where f ( a + b i)=0. If f ( x )= x 2 then the only zero is obviously at 0, where f (0)=0. For the Riemann Zeta Function this is more complicated. It basically has two types of zeros: the "trivial" zeroes, that occur at all negative even integers, that is, -2, -4, -6, -8. and the "nontrivial" zeroes, which are all the OTHER ones.

As far as we know, tudo the nontrivial zeroes occur at 1/2 + b i for algum b . No others have been found in a lot of looking. but are they ALL like that? The Riemann Hypothesis suggests that they are. but nobody has yet been able to prove it.


Just to understand the$^dagger$ statement of the problem, you would have to be familiar with complex analysis and analytic number theory. The $zeta$ function itself is an analytic object from number theory and to understand its significance (just on the surface!) you would have to study it in these realms. Of course it is also a function on $Bbb C$ after analytic continuation - attained using a functional equation - with a simple pole at $1$, and understanding what this means and how to manipulate the function deftly will mean studying complex analysis.

$^dagger$I refer to the statement that $zeta(s)$ has all nontrivial zeros on the critical line. There are actually a lot of equivalent statements that require very little knowledge of complex analysis (you'll still need to pick up a few definitions of arithmetic functions from analytic NT for many of them, these aren't too hard). You can find a lot of equivalences listed here for example.

Beyond that, to understand the modern aproximações to RH and related or generalized conjectures and all of the theory there is surrounding this creature, you must go much further in algébrico number theory at the very least, and travel to many other worlds like modular forms, differential geometry, quantum theory and random matrices, etc. - basically at least a basic knowledge of most advanced subjects in analysis, algebra and geometry, and then especially deeply in pertinent areas.


Everything about the Riemann hypothesis

Today's topic is The Riemann hypothesis.

This recurring thread will be a place to ask questions and discuss famous/well-known/surprising results, clever and elegant proofs, or interesting open problems related to the topic of the week.

Experts in the topic are especially encouraged to contribute and participate in these threads.

Next week's topic will be Galois theory.

These threads will be posted every Wednesday around 12pm UTC-5.

If you have any suggestions for a topic or you want to collaborate in some way in the upcoming threads, please send me a PM.

For previous week's "Everything about X" threads, check out the wiki link here

To kick things off, here is a very brief summary provided by wikipedia and myself:

Named after Bernhard Riemann, the Riemann hypothesis is one of the most famous open problems in mathematics, attracting the interest of both experts and laymen.

On Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Riemann studies the behaviour of the prime counting function and presents the now famous conjecture: The nontrivial zeros of the zeta function have real part 1/2.

The (Generalized) Riemann Hypothesis is famous for implying different results in related areas, inspiring the creation of entire branches of mathematics studied to this day, and having a 1M USD bouty

The Riemann Hypothesis is very easy to state, but its significance is not so straightforward.

It all boils down to two product formulas for the Riemann Zeta Function. The first is the product of (1-1/p -s ) -1 over all primes (valid for s>1). It is easy to use this expression to extract prime related functions, like the Chebyshev Functions, demonstrating that if we know stuff about the Riemann Zeta Function, then we know stuff about primes. On the other hand, we have that the Riemann Zeta Function is meromorphic on the entire complex plane (and we know its only pole), which means that we have all the niceness of entire functions at our disposal. The theory of Complex Analysis can then be used to set up another product formula for the Riemann Zeta Function, known as the Weierstrass Factorization. This, essentially, says that entire functions behave a inteira lot like infinite degree polynomials, including the fact that they are uniquely determined, up to "scale", by their zeros. The Weierstrass Factorization is then analog of factoring a polynomial by its roots it's a product of expressions over all the zeros of the zeta function.

If we go through the manipulations on the Riemann Zeta Function that gave us the Chebyshev function (which is a "smooth" prime-counting function), then we can write the Chebyshev function explicitly in terms of the zeros of the Riemann Zeta Function. This is the Riemann von-Mangoldt Explicit Formula. It is nothing more than an integral transformation of the two product representations of the Riemann Zeta Function. But this integral transformation explicitly gives us the information we seek about primes.

Now, the Functional Equation of the Riemann Zeta Function tells us that, outside a certain region, the only zeros of the Riemann Zeta Function are the negative even integers. But these, asymptotically, contribute nothing to the Chebyshev function and so are trivial. The zeros that really contribute to the growth of the Chebyshev function are the zeros in this certain region. In fact, the form of the Riemann von Mangold Formula is

Chebyshev = (Main Growth Term) + (Decay Term) + (Oscillatory Term)

The "Main Growth Term" comes directly from the pole of the Riemann Zeta Function. The "Decay Term" comes from the trivial zeros. The "Oscillatory Term" comes from the non-trivial zeros. The Oscillatory Term has the chance to contribute nontrivially to the growth of the Chebyshev function, but we would like to say that this does not happen and that the growth of the Chebyshev function is, more or less, completely governed by the "Main Growth Term".

Now, the nontrivial zeros lie in some region of the complex plane. But the amount that they contribute to the growth of the Chebyshev function through the Oscillatory Term is dependent on how close to the boundary of this region that they live. The Prime Number Theorem, which says that the Chebyshev function does, indeed, grow like the Main Growth Term, follows from proving that there are no zeros on the boundary of this region. But we would like to say that the Oscillatory Term contributes as little as possible to the growth of the Chebyshev function. This will then happen when the zeros are as far inside the critical region as possible. This is what the Riemann Hypothesis says. It is basically a conjecture on the error between the Chebyshev function and it's main asymptotic growth given by the Main Growth Term.

The Riemann Hypothesis, and its generalizations, is assumed for a lot of important results. It is mainly used to control the errors associated with out approximations for the prime counting function. If, say, you want to show that there is a number N so that there are infinitely many primes a distance at most N apart, then having a close and reliable approximation to where the primes are is probably a good thing. Luckily for the Bounded Gaps theorem, the exact General Riemann Hypothesis is not needed, instead you just need that it is true "on average". The Bombieri-Vinogradov Theorem is a sufficient enough result for this (after some tweaking) and basically says that the Generalized Riemann Hypothesis is true on average, and it's statement is a clear statement about the error between the prime counting function and its asymptotic approximation.

EDIT: I'm not sure if /u/chebushka was referring to my post of the original post description, but it should be emphasized that the important results generally all depend on the Generalized Riemann Hypothesis, or even the "Grand Riemann Hypothesis" which says that all zeros of all Riemann Zeta-like functions are on the critical line and are all their zeros are linearly independent over the rationals. Though the moral of bounding the error is relatively consistent throughout, a lot of the applications bounding the error for different types of prime-counting functions that each have their own "Riemann Hypothesis".